(完整word版)电磁感应中的动力学和能量问题(一)

法拉第电磁感应定律1.法拉第电磁感应定律电路中感应电动势的大小，跟穿过这一电路的磁通量的变化率成正比，即tk E ∆∆Φ=，在国际单位制中k =1，所以有tE ∆∆Φ=。

对于n 匝线圈有tnE∆∆Φ=。

（平均值）将均匀电阻丝做成的边长为l 的正方形线圈abcd 从匀强磁场中向右匀速拉出过程，仅ab 边上有感应电动势E =Blv ，ab 边相当于电源，另3边相当于外电路。

ab 边两端的电压为3Blv /4，另3边每边两端的电压均为Blv /4。

在导线切割磁感线产生感应电动势的情况下，由法拉第电磁感应定律可推导出感应电动势大小的表达式是：E=BLv sin α（α是B 与v 之间的夹角）。

（瞬时值）【例题分析】例1. 如图所示，长L 1宽L 2的矩形线圈电阻为R ，处于磁感应强度为B 的匀强磁场边缘，线圈与磁感线垂直。

求：将线圈以向右的速度v 匀速拉出磁场的过程中，⑴拉力的大小F ；⑵拉力的功率P ；⑶拉力做的功W ；⑷线圈中产生的电热Q ；⑸通过线圈某一截面的电荷量q 。

解：这是一道基本练习题，要注意计算中所用的边长是L 1还是L 2 ，还应该思考一下这些物理量与速度v 之间有什么关系。

⑴v Rv L B F BIL F RE I v BL E ∝=∴===22222,,,⑵22222v Rv L B Fv P ∝==⑶v RvL L B FL W ∝==12221⑷v W Q ∝=⑸Rt RE t I q ∆Φ==⋅=与v 无关特别要注意电热Q 和电荷q 的区别，其中Rq∆Φ=与速度无关！例2．固定于水平面上的金属框cdef,处在竖直向下的匀强磁场中,金属棒ab 搁在框架上,可无摩擦滑动.此时abed 构成一个边长l 的正方形,棒电阻r ,其余电阻不计,开始时磁感应强度为B .（1）若以t =0时起,磁感应强度均匀增加,每秒增加量k ,同时保持棒静止,求棒中I 感. （2）在上述情况中,棒始终保持静止,当t =t 1时需加垂直于棒水平外力? （3）若从t =0时起,磁感应强度逐渐减小,当棒以恒定速度v 向右匀速运动,可使棒中不产生I 感,则磁感应强度怎样随时间变化?vd解析:(1)E =tl B ∆⋅∆2=kl 2I =rE =rkl 2逆时针方向(2)F 外=BIl =（B+kt ）rkl 2·l 向右(3)无I 感，故ΔΦ=0 B 0l 2=Bl (l+v t ) 所以B =vtl l B +0【电磁感应综合问题分析】（1）受力分析：导体受力运动产生感应电动势→感应电流→导体受安培力→合外力变化→加速度变化→速度变化→感应电动势变化→…动态变化过程结束时，加速度为零，导体达到稳定状态.（2）运动分析：一般在动态变化过程中，导体做加速度不断减小的变加速运动，动态变化过程结束后，导体做匀速运动.（3）能量分析；在动态变化过程中，其他形式的能转化为导体的动能和回路的电能；动态变化过程结束后，导体的动能不变，其他形式的能转化为回路的电能.【例题分析】例1、如图所示，水平放置的平行金属导轨左边接有电阻R ，轨道所在处有竖直向下的匀强磁场.金属棒ab 横跨导轨，它在外力作用下向右匀速运动，当速度由v 变成2v 时，（除R 外其余电阻不计，导轨光滑）那么（）A ．原来作用在ab 上的外力应装置加到4倍B ．感应电动势将增中为原来的2倍C ．感应电流的功率将增为原来的4倍D ．外力的功率将曾为原来的2倍【解析】棒匀速运动，外力安F F =，当速度由v 变成2v 时，由Rv L B F 22=安知，安F 安变原来的2倍，外力变为原来的2倍，选项A 错误.电动势E =BLv ，变为原来的2倍，选项B 正确.感应电流的功率：Rv L B v F P 222=∙=安，变为原来的4倍，选项C 正确.外力的功率等于感应电流的功率，也变为原来的4倍.选项D 错误.答案：BC例2、如图所示，两根足够长的固定的平行金属导轨位于同一水平面内，两导轨间的距离为l ，导轨上面横放着两根导体棒ab 和cd ，构成矩形回路.两根导体棒的质量皆为m ，电阻皆为R ，回路中其余部分的电阻可不计，在整个导轨平面内都有竖直向上的匀强磁场，磁感应强度为B ，设两导体棒均可沿导轨无摩擦地滑行.开始时，棒cd 静止，棒ab 有指向棒cd 的初速度v 0（见图）.若两导体棒在运动中始终不接触，求：在运动中产生的焦耳热最多是多少？【解析】从初始至两棒达到速度相同的过程中，两棒总动量守恒，有mv mv 20= 根据能量守恒，整个过程中产生的总热量 2022041)2(2121mv vm mv Q =-=例3、放在绝缘水平面上的两条平行导轨MN 和PQ 之间宽度为L ，置于磁感强度为B 的匀强磁场中，B 的方向垂直于导轨平面.导轨左端接有阻值为R 的电阻.其它部分电阻不计，导轨右端接有一电容为C 的电容器，长为2L 的金属棒放在导轨上与导轨垂直且接触良好，其a 端放在导轨PQ 上.现将金属棒以a 端为轴以角速度ω沿导轨平面顺时针转过90°角，如下图所示.求这个过程中的通过电阻R 的总电量是多少？（设导轨长度比2L 长得多）【解析】导体棒在转动θ=60°的过程中因切割磁感线产生感应电动势，一部分与电阻R 组成闭合回路，另一部分与电容器组成电路而给电容器充电.在该过程中棒中平均感应电动势t ∆∆Φ=ε，则平均电流强度tRI ∆∆Φ=，通过电阻R 的电量RBL RS B Rt I q 2321=∆=∆Φ=∆∙=.电容器放电是从金属棒脱离MN 开始，放电电压取金属棒在ac 位置时的瞬时值ωωε222)2(21BL L B ==因此电容器放电时带电量C BL C q ωε222==，放电时全部通过电阻R ，故整个过程中通过R 的总电量C BL RBL q q q ω2221223+=+=【例4】如图所示，倾角037=θ、电阻不计、间距L=0.3m 、长度足够的平行导轨处，加有磁感应强度为B ＝1T ，方向垂直于导轨平面（图中未画出）的匀强磁场，导轨两端各接一个阻值Ω=20R 电阻。

12专题：电磁感应中的动力学、能量、动量的问题一、电磁感应中的动力学问题1.如图所示，两平行且无限长光滑金属导轨MN、PQ与水平面的夹角为θ＝30°，两导轨之间的距离为L＝1 m，两导轨M、P之间接入电阻R＝0.2 Ω，导轨电阻不计，在abdc区域内有一个方向垂直于两导轨平面向下的磁场Ⅰ，磁感应强度B0＝1 T，磁场的宽度x1＝1 m；在cd连线以下区域有一个方向也垂直于导轨平面向下的磁场Ⅱ，磁感应强度B1＝0.5 T。

一个质量为m＝1 kg的金属棒垂直放在金属导轨上，与导轨接触良好，金属棒的电阻r＝0.2 Ω，若金属棒在离ab连线上端x0处自由释放，则金属棒进入磁场Ⅰ恰好做匀速运动。

金属棒进入磁场Ⅱ后，经过ef时又达到稳定状态，cd与ef之间的距离x2＝8 m。

求：(g取10 m/s2)(1)金属棒在磁场Ⅰ运动的速度大小；(2)金属棒滑过cd位置时的加速度大小；(3)金属棒在磁场Ⅱ中达到稳定状态时的速度大小。

二、电磁感应中的能量问题2.如图甲所示，两条足够长的平行金属导轨间距为0.5 m，固定在倾角为37°的斜面上。

导轨顶端连接一个阻值为1 Ω的电阻。

在MN下方存在方向垂直于斜面向上、大小为1 T的匀强磁场。

质量为0.5 kg的金属棒从AB处由静止开始沿导轨下滑，其运动过程中的v－t图象如图乙所示。

金属棒运动过程中与导轨保持垂直且接触良好，不计金属棒和导轨的电阻，取g＝10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8。

(1)求金属棒与导轨间的动摩擦因数；(2)求金属棒在磁场中能够达到的最大速率；(3)已知金属棒从进入磁场到速度达到5 m/s时通过电阻的电荷量为1.3 C，求此过程中电阻产生的焦耳热。

三、电磁感应中的动量问题1、动量定理在电磁感应中的应用导体棒或金属框在感应电流所引起的安培力作用下做非匀变速直线运动时，安培力的冲量为：I安＝B I Lt＝BLq ，通过导体棒或金属框的电荷量为：q＝IΔt＝ER 总Δt＝nΔΦΔt·R总Δt＝nΔФR总，磁通量变化量：ΔΦ＝BΔS＝BLx.当题目中涉及速度v、电荷量q、运动时间t、运动位移x时常用动量定理求解．2、正确运用动量守恒定律处理电磁感应中的问题常见情景及解题思路双杆切割式(导轨光滑)杆MN做变减速运动．杆PQ做变加速运动，稳定时，两杆的加速度均为零，以相等的速度匀速运动．系统动量守恒，对其中某杆可用动量定理动力学观点：求加速度能量观点：求焦耳热动量观点：整体动量守恒求末速度，单杆动量定理求冲量、电荷量3.如图所示，光滑平行金属导轨的水平部分处于竖直向下的匀强磁场中，磁感应强度B＝3 T。

第四节 电磁感应中的动力学和能量问题考点一 电磁感应中的动力学问题1．安培力的大小⎭⎪⎬⎪⎫安培力公式：F A ＝BIl 感应电动势：E ＝Bl v 感应电流：I ＝ER⇒F A＝B 2l 2v R ． 2．安培力的方向(1)用左手定则判断：先用右手定则判断感应电流的方向，再用左手定则判定安培力的方向． (2)用楞次定律判断：安培力的方向一定与导体切割磁感线的运动方向相反．3．安培力参与物体的运动：导体棒(或线框)在安培力和其他力的作用下，可以做加速运动、减速运动、匀速运动、静止或做其他类型的运动，可应用动能定理、牛顿运动定律等规律解题．4．电磁感应中的动力学临界问题(1)解决这类问题的关键是通过受力情况和运动状态的分析，寻找过程中的临界状态，如速速、加速度为最大值或最小值的条件．(2)基本思路是：导体受外力运动――→E ＝BL v感应电动势 ――→I ＝ER ＋r感应电流――→F ＝BIL导体受安培力―→合外力变化――→F 合＝ma加速度变化―→速度变化―→临界状态―→列式求解．命题视角1 水平导轨上的运动(2014·高考上海卷)如图，水平面内有一光滑金属导轨，其MN 、PQ 边的电阻不计，MP 边的电阻阻值R ＝1.5 Ω，MN 与MP 的夹角为135°，PQ 与MP 垂直，MP 边长度小于1 m ．将质量m ＝2 kg ，电阻不计的足够长直导体棒搁在导轨上，并与MP 平行．棒与MN 、PQ 交点G 、H 间的距离L ＝4 m ．空间存在垂直于导轨平面的匀强磁场，磁感应强度B ＝0.5 T ．在外力作用下，棒由GH 处以一定的初速度向左做直线运动，运动时回路中的电流强度始终与初始时的电流强度相等．(1)若初速度v 1＝3 m/s ，求棒在GH 处所受的安培力大小F A ；(2)若初速度v 2＝1.5 m/s ，求棒向左移动距离2 m 到达EF 所需时间Δt ；(3)在棒由GH 处向左移动2 m 到达EF 处的过程中，外力做功W ＝7 J ，求初速度v 3.[思路点拨] 当棒以一定的初速度向左运动时，由于安培力作用，将做非匀速直线运动；而且运动时电流强度相等，则感应电动势不变，由E ＝n ΔΦΔt＝BL v 求解问题．[解析] (1)棒的初速度为v 1时E ＝BL v 1，I 1＝BL v 1R， 由此得F A ＝B 2L 2v 1R＝8 N.(2)设棒移动距离a (a ＝2 m)，由几何关系EF 间距也为a ，磁通量变化ΔΦ＝12a (a ＋L )B .题设运动时回路中电流保持不变，即感应电动势不变，有：E ＝BL v 2， 因此E ＝ΔΦΔt ＝a (a ＋L )B2Δt ，解得Δt ＝a (a ＋L )2L v 2＝1 s.(3)设外力做功为W ，克服安培力做功为W A ，导体棒在EF 处的速度为v 3′， 由动能定理：W －W A ＝12m v 3′2－12m v 23，克服安培力做功：W A ＝I 23R Δt ′， 式中I 3＝BL v 3R ，Δt ′＝a (a ＋L )2L v 3，联立解得：W A ＝a (a ＋L )B 2L v 32R .由于电流始终不变，有：v 3′＝La v 3，因此W ＝a (a ＋L )B 2L v 32R ＋12m ⎝⎛⎭⎫L 2a 2－1v 23，代入数值得3v 23＋4v 3－7＝0， 解得v 3＝1 m/s 或v 3＝－73 m/s(舍去)．[答案] (1)8 N (2)1 s (3)1 m/s 命题视角2 倾斜导轨上的运动(2014·高考江苏卷)如图所示，在匀强磁场中有一倾斜的平行金属导轨，导轨间距为L，长为3d，导轨平面与水平面的夹角为θ，在导轨的中部刷有一段长为d的薄绝缘涂层．匀强磁场的磁感应强度大小为B，方向与导轨平面垂直．质量为m的导体棒从导轨的顶端由静止释放，在滑上涂层之前已经做匀速运动，并一直匀速滑到导轨底端. 导体棒始终与导轨垂直，且仅与涂层间有摩擦，接在两导轨间的电阻为R，其他部分的电阻均不计，重力加速度为g.求：(1)导体棒与涂层间的动摩擦因数μ；(2)导体棒匀速运动的速度大小v；(3)整个运动过程中，电阻产生的焦耳热Q.[审题点睛]导体棒从静止开始做加速度逐渐减小的加速运动，当加速度为零时，导体棒做匀速运动，然后由受力平衡求解问题．[解析](1)在绝缘涂层上导体棒受力平衡：mg sin θ＝μmg cos θ解得导体棒与涂层间的动摩擦因数μ＝tan θ.(2)在光滑导轨上感应电动势：E＝BL v，感应电流：I＝ER 安培力：F安＝BIL受力平衡的条件是：F安＝mg sin θ解得导体棒匀速运动的速度v＝mgR sin θB2L2.(3)摩擦生热：Q f＝μmgd cos θ根据能量守恒定律知：3mgd sin θ＝Q＋Q f＋12m v2解得电阻产生的焦耳热Q＝2mgd sin θ－m3g2R2sin2θ2B4L4.[答案](1)tan θ(2)mgR sin θB2L2(3)2mgd sin θ－m3g2R2sin2θ2B4L4命题视角3竖直方向上的运动(2015·高考天津卷)如图所示，“凸”字形硬质金属线框质量为m，相邻各边互相垂直，且处于同一竖直平面内，ab边长为l，cd边长为2l，ab与cd平行，间距为2l.匀强磁场区域的上下边界均水平，磁场方向垂直于线框所在平面．开始时，cd边到磁场上边界的距离为2l，线框由静止释放，从cd边进入磁场直到ef、pq边进入磁场前，线框做匀速运动，在ef、pq边离开磁场后，ab边离开磁场之前，线框又做匀速运动．线框完全穿过磁场过程中产生的热量为Q.线框在下落过程中始终处于原竖直平面内，且ab、cd边保持水平，重力加速度为g.求(1)线框ab边将离开磁场时做匀速运动的速度大小是cd边刚进入磁场时的几倍；(2)磁场上下边界间的距离H.[思路点拨]匀速运动时都满足受力平衡，但cd边刚进磁场时cd边为电源，ab边将离开磁场时ab边为电源，两种情况下安培力相同，则可求速度大小．[解析](1)设磁场的磁感应强度大小为B，cd边刚进入磁场时，线框做匀速运动的速度为v1，cd边上的感应电动势为E 1，由法拉第电磁感应定律，有E 1＝2Bl v 1①设线框总电阻为R ，此时线框中电流为I 1，由闭合电路欧姆定律，有 I 1＝E 1R②设此时线框所受安培力为F 1，有 F 1＝2I 1lB ③由于线框做匀速运动，其受力平衡，有 mg ＝F 1④ 由①②③④式得 v 1＝mgR 4B 2l2⑤设ab 边离开磁场之前，线框做匀速运动的速度为v 2，同理可得 v 2＝mgR B 2l2⑥由⑤⑥式得 v 2＝4v 1.⑦(2)线框自释放直到cd 边进入磁场前，由机械能守恒定律，有 2mgl ＝12m v 21⑧线框完全穿过磁场的过程中，由能量守恒定律，有 mg (2l ＋H )＝12m v 22－12m v 21＋Q ⑨ 由⑦⑧⑨式得 H ＝Qmg＋28l .[答案] (1)4倍 (2)Qmg＋28l1．[视角1]如图甲所示，磁感应强度B ＝2 T 、方向竖直向下的匀强磁场以虚线MN 为左边界，MN 的左侧有一质量m ＝0.1 kg ，bc 边长L 1＝0.2 m ，电阻R ＝2 Ω的矩形线圈abcd 放置于绝缘光滑水平面上，t ＝0时，用一恒定拉力F 拉线圈，使其由静止开始向右做匀加速运动，经过时间1 s ，线圈的bc 边到达磁场边界MN ，此时立即将拉力F 改为变力，又经过1 s ，线圈恰好完全进入磁场，整个运动过程中，线圈中感应电流i 随时间t 变化的图象如图乙所示．(1)求线圈bc 边刚进入磁场时的速度v 1的大小和线圈在第1 s 内运动的距离x ； (2)写出第2 s 内变力F 随时间t 变化的关系式； (3)求出线圈ab 边的长度L 2.解析：(1)由题图乙可知，线圈刚进入磁场时的感应电流I 1＝0.1 A ，由E ＝BL 1v 1及I 1＝ER 得v 1＝I 1R BL 1＝0.1×22×0.2 m/s ＝0.5 m/s ，x ＝v 12t ＝0.25 m.(2)由题图乙知，在第2 s 内，线圈中的电流随时间均匀增加，有i ＝(0.2t －0.1)A ，线圈速度随时间均匀增加，线圈所受安培力随时间均匀增加，则F 安＝BiL 1＝(0.08t －0.04)N t ＝2 s 时线圈的速度v 2＝I 2R BL 1＝0.3×22×0.2 m/s ＝1.5 m/s线圈在第2 s 内的加速度a 2＝v 2－v 1Δt ＝1.5－0.51 m/s 2＝1 m/s 2.由牛顿第二定律得F ＝F 安＋ma 2＝(0.08t ＋0.06)N.(3)在第2 s 内，线圈的平均速度v ＝v 1＋v 22＝0.5＋1.52m/s ＝1 m/s ，L 2＝v ·Δt ＝1 m.答案：(1)0.5 m/s 0.25 m (2)F ＝(0.08t ＋0.06)N(3)1 m2．[视角2]如图，两条平行导轨所在平面与水平地面的夹角为θ，间距为L .导轨上端接有一平行板电容器，电容为C .导轨处于匀强磁场中，磁感应强度大小为B ，方向垂直于导轨平面．在导轨上放置一质量为m 的金属棒，棒可沿导轨下滑，且在下滑过程中保持与导轨垂直并良好接触．已知金属棒与导轨之间的动摩擦因数为μ，重力加速度大小为g .忽略所有电阻．让金属棒从导轨上端由静止开始下滑，求：(1)电容器极板上积累的电荷量与金属棒速度大小的关系； (2)金属棒的速度大小随时间变化的关系．解析：(1)设金属棒下滑的速度大小为v ，则感应电动势为E ＝BL v ① 平行板电容器两极板之间的电势差为U ＝E ②设此时电容器极板上积累的电荷量为Q ，按定义有 C ＝Q U③联立①②③式得Q ＝CBL v .④(2)设金属棒的速度大小为v 时经历的时间为t ，通过金属棒的电流为i .金属棒受到的磁场的作用力方向沿导轨向上，大小为F 安＝BLi ⑤设在时间间隔(t ，t ＋Δt )内流经金属棒的电荷量为ΔQ ，据定义有i ＝ΔQΔt⑥ΔQ 也是平行板电容器两极板在时间间隔(t ，t ＋Δt )内增加的电荷量．由④式得：ΔQ ＝CBL Δv ⑦ 式中，Δv 为金属棒的速度变化量．据定义有 a ＝Δv Δt⑧金属棒所受到的摩擦力方向斜向上，大小为F f ＝μF N ⑨式中，F N 是金属棒对导轨的正压力的大小， 有F N ＝mg cos θ⑩金属棒在时刻t 的加速度方向沿斜面向下，设其大小为a ，根据牛顿第二定律有 mg sin θ－F 安－F f ＝ma ⑪联立⑤至⑪式得a ＝m (sin θ－μcos θ)m ＋B 2L 2Cg ⑫由⑫式及题设可知，金属棒做初速度为零的匀加速运动．t 时刻金属棒的速度大小为v ＝m (sin θ－μcos θ)m ＋B 2L 2C gt .答案：(1)Q ＝CBL v (2)v ＝m (sin θ－μcos θ)m ＋B 2L 2Cgt3．[视角3](多选)如图所示，两固定的竖直光滑金属导轨足够长且电阻不计．两质量、长度均相同的导体棒c 、d 置于边界水平的匀强磁场上方同一高度h 处．磁场宽为3h ，方向与导轨平面垂直．先由静止释放c ，c 刚进入磁场立即匀速运动，此时再由静止释放d ，两导体棒与导轨始终保持良好接触．用a c 表示c 的加速度，E k d 表示d 的动能，x c 、x d 分别表示c 、d 相对释放点的位移．下图中正确的是( )解析：选BD.导体棒c 落入磁场之前做自由落体运动，加速度恒为g ，有h ＝12gt 2，v ＝gt ，c 棒进入磁场以速度v 做匀速直线运动时，d 棒开始做自由落体运动，与c 棒做自由落体运动的过程相同，此时c 棒在磁场中做匀速直线运动的路程为h ′＝v t ＝gt 2＝2h ，d 棒进入磁场而c 棒还没有穿出磁场的过程，无电磁感应，两导体棒仅受到重力作用，加速度均为g ，直到c 棒穿出磁场，B 正确．c 棒穿出磁场，d 棒切割磁感线产生电动势，在回路中产生感应电流，因此时d 棒速度大于c 棒进入磁场时切割磁感线的速度，故电动势、电流、安培力都大于c 棒刚进入磁场时的大小，d 棒减速，直到穿出磁场仅受重力，做匀加速运动，结合匀变速直线运动v 2－v 20＝2gh ，可知加速过程动能与路程成正比，D 正确．1.类型“电—动—电”型“动—电—动”型示意图棒ab长为L、质量为m、电阻为R，导轨光滑水平，电阻不计棒ab长为L、质量为m、电阻为R，导轨光滑，电阻不计分析S闭合，棒ab受安培力F＝BLER，此时a＝BLEmR，棒ab速度v↑→感应电动势BL v↑→电流I↓→安培力F＝BIL↓→加速度a↓，当安培力F＝0(a＝0)时，v最大棒ab释放后下滑，此时a＝g sin α，棒ab速度v↑→感应电动势E＝BL v↑→电流I＝ER↑→安培力F＝BIL↑→加速度a↓，当安培力F＝mg sin α(α＝0)时，v最大2.用“四步法”分析电磁感应中的动力学问题解决电磁感应中的动力学问题的一般思路是“先电后力”，具体思路如下：(1)先进行“源”的分析——分离出电路中由电磁感应所产生的电源，求出电源参数E和r.(2)再进行“路”的分析——分析电路结构，弄清串、并联关系，求出相关部分的电流大小，以便求解安培力．(3)然后是“力”的分析——分析研究对象(常是金属杆、导体线圈等)的受力情况，尤其注意其所受的安培力．(4)接着进行“运动”状态的分析——根据力和运动的关系，判断出正确的运动模型.考点二电磁感应中的能量问题1．电磁感应过程实质是不同形式的能量转化的过程，电磁感应过程中产生的感应电流在磁场中必定受到安培力作用．因此要维持安培力存在，必须有“外力”克服安培力做功．此过程中，其他形式的能转化为电能．“外力”克服安培力做多少功，就有多少其他形式的能转化为电能．当感应电流通过用电器时，电能又转化为其他形式的能．同理，安培力做功的过程，是电能转化为其他形式的能的过程，安培力做多少功就有多少电能转化为其他形式的能．2．解电磁感应现象中的能量问题的一般步骤(1)在电磁感应中，切割磁感线的导体或磁通量发生变化的回路将产生感应电动势，该导体或回路就相当于电源．(2)分析清楚有哪些力做功，就可以知道有哪些形式的能量发生了相互转化．(3)根据能量守恒列方程求解．命题视角1水平导轨中的能量分析如图所示，一对光滑的平行金属导轨固定在同一水平面内，导轨间距l＝0.5 m，左端接有阻值R＝0.3 Ω的电阻．一质量m＝0.1 kg，电阻r＝0.1 Ω的金属棒MN放置在导轨上，整个装置置于竖直向上的匀强磁场中，磁场的磁感应强度B＝0.4 T．金属棒在水平向右的外力作用下，由静止开始以a＝2 m/s2的加速度做匀加速运动，当金属棒的位移x＝9 m时撤去外力，棒继续运动一段距离后停下来，已知撤去外力前后回路中产生的焦耳热之比Q1∶Q2＝2∶1.导轨足够长且电阻不计，金属棒在运动过程中始终与导轨垂直且两端与导轨保持良好接触．求：(1)金属棒在匀加速运动过程中，通过电阻R的电荷量q；(2)撤去外力后回路中产生的焦耳热Q2；(3)外力做的功W F.[审题点睛]根据q＝nΔΦR总计算电量；根据功能关系计算产生的焦耳热以及外力做的功，然后由电路结构分配焦耳热．[解析](1)设金属棒匀加速运动的时间为Δt，回路的磁通量的变化量为ΔΦ，回路中的平均感应电动势为E，由法拉第电磁感应定律得E＝ΔΦΔt①其中ΔΦ＝Blx②设回路中的平均电流为I，由闭合电路欧姆定律得I＝E －R＋r③则通过电阻R的电荷量为q＝IΔt④联立①②③④式，得q＝Blx R＋r代入数据得q＝4.5 C.(2)设撤去外力时金属棒的速度为v，对于金属棒的匀加速运动过程，由运动学公式得v2＝2ax⑤设金属棒在撤去外力后的运动过程中克服安培力所做的功为W，由动能定理得W＝0－12m v2⑥撤去外力后回路中产生的焦耳热Q2＝－W⑦联立⑤⑥⑦式，代入数据得Q2＝1.8 J．⑧(3)由题意知，撤去外力前后回路中产生的焦耳热之比Q1∶Q2＝2∶1，可得Q1＝3.6 J⑨在金属棒运动的整个过程中，外力F克服安培力做功，由功能关系可知W F＝Q1＋Q2⑩由⑧⑨⑩式得W F＝5.4 J.[答案](1)4.5 C(2)1.8 J(3)5.4 J命题视角2倾斜导轨运动中的能量问题(2014·高考安徽卷)如图甲所示，匀强磁场的磁感应强度B为0.5 T，其方向垂直于倾角θ为30°的斜面向上．绝缘斜面上固定有“∧”形状的光滑金属导轨MPN(电阻忽略不计)，MP和NP长度均为2.5 m，MN连线水平，长为3 m．以MN中点O为原点，OP为x轴建立一维坐标系Ox.一根粗细均匀的金属杆CD，长度d为3 m、质量m为1 kg、电阻R为0.3 Ω，在拉力F的作用下，从MN处以恒定速度v＝1 m/s在导轨上沿x轴正向运动(金属杆与导轨接触良好)．g取10 m/s2.(1)求金属杆CD运动过程中产生的感应电动势E及运动到x＝0.8 m处电势差U CD；(2)推导金属杆CD从MN处运动到P点过程中拉力F与位置坐标x的关系式，并在图乙中画出F－x关系图象；(3)求金属杆CD从MN处运动到P点的全过程产生的焦耳热．[审题点睛](1)由于导轨电阻不计，因此导轨两端的电压为0，C、D两端的电压等于导轨外金属杆产生的电动势，注意U CD的正负．(2)回路中电流恒定，但CD的有效长度变化，金属杆所受安培力为变力，根据F－x图象求功．(3)外力做功使金属杆CD的机械能增加和产生焦耳热．[解析](1)金属杆CD在匀速运动中产生的感应电动势E＝Bl v，l＝d，解得E＝1.5 V当x＝0.8 m时，金属杆在导轨间的电势差为零．设此时杆在导轨外的长度为l外，则l外＝d－OP－xOP d，OP＝MP2－⎝⎛⎭⎫MN22＝2 m得l外＝1.2 m由右手定则判断D点电势高，故CD两端电势差U CD＝－Bl外v＝－0.6 V.(2)杆在导轨间的长度l与位置x的关系是l＝OP－xOP d＝3－32x对应的电阻R1＝ld R电流I＝Bl vR1杆受到的安培力为F安＝BIl＝7.5－3.75x根据平衡条件得F＝F安＋mg sin θF＝12.5－3.75x(0≤x≤2)画出的F－x图象如图所示．(3)外力F所做的功W F等于F－x图线下所围的面积．即W F＝5＋12.52×2 J＝17.5 J而杆的重力势能增加量ΔE p＝mgOP sin θ故全过程产生的焦耳热Q＝W F－ΔE p＝7.5 J.[答案](1)1.5 V－0.6 V(2)F＝12.5－3.75x(0≤x≤2)图象见解析(3)7.5 J命题视角3竖直方向运动中的能量问题如图所示，足够长的光滑平行金属导轨MN、PQ竖直放置，一匀强磁场垂直穿过导轨平面，导轨的上端M与P间连接阻值为R＝0.40 Ω的电阻，质量为m＝0.01 kg、电阻为r＝0.30 Ω的金属棒ab紧贴在导轨上．现使金属棒ab由静止开始下滑，其下滑距离与时间的关系如下表所示，导轨电阻不计，重力加速度g取10 m/s2时间t(s)00.10.20.30.40.50.60.7下滑距离x(m)00.10.30.7 1.4 2.1 2.8 3.5(1)当t＝0.7 s时，重力对金属棒ab做功的功率；(2)金属棒ab在开始运动的0.7 s内，电阻R上产生的焦耳热；(3)从开始运动到t＝0.4 s的时间内，通过金属棒ab的电荷量．[思路点拨]由动能定理可求得安培力做的功，且安培力做多少功，电路就产生多少电能，然后根据串并联关系进行能量的分配．[解析](1)由表格中数据可知：金属棒先做加速度减小的加速运动，最后以7 m/s的速度匀速下落，则t＝0.7s时，重力对金属棒ab做功的功率为P G＝mg v＝0.7 W.(2)根据动能定理：W G＋W安＝12m v2－12m v2W安＝12m v2－12m v2－mgh＝－0.105 JQ R＝RR＋r|W安|＝0.06 J.(3)当金属棒ab匀速下落时，G＝F安，则mg＝BIL＝B2L2vR＋r解得BL＝0.1 T·m则电荷量q＝It＝ΔΦR＋r＝BLxR＋r＝0.2 C.[答案](1)0.7 W(2)0.06 J(3)0.2 C4．[视角1](2016·上海闵行区调研)如图所示，纸面内有一矩形导体闭合线框abcd，ab边长大于bc边长．从置于垂直纸面向里、边界为MN的匀强磁场外，线框两次匀速地完全进入磁场，两次速度大小相同，方向均垂直于MN.第一次ab边平行MN进入磁场．线框上产生的热量为Q1，通过线框导体横截面的电荷量为q1；第二次bc边平行MN进入磁场．线框上产生的热量为Q2，通过线框导体横截面的电荷量为q2，则()A ．Q 1>Q 2 q 1＝q 2B ．Q 1>Q 2 q 1>q 2C ．Q 1＝Q 2 q 1＝q 2D ．Q 1＝Q 2 q 1>q 2解析：选A.设ab 和bc 边长分别为L 1、L 2，线框电阻为R ，若假设穿过磁场区域的时间为t . 通过线框导体横截面的电荷量 q ＝I t ＝ΔΦR ＝BL 1L 2R ，因此q 1＝q 2.线框上产生的热量为Q ，第一次：Q 1＝BL 1I 1L 2＝BL 1BL 1vR L 2，同理可以求得Q 2＝BL 2I 2L 1＝BL 2BL 2vR L 1，由于L 1>L 2，则Q 1>Q 2，故A 正确．5．[视角2]如图所示，足够长平行金属导轨倾斜放置，倾角为37°，宽度为0.5 m ，电阻忽略不计，其上端接一小灯泡，电阻为1 Ω.一导体棒MN 垂直于导轨放置，质量为0.2 kg ，接入电路的电阻为1 Ω，两端与导轨接触良好，与导轨间的动摩擦因数为0.5.在导轨间存在着垂直于导轨平面的匀强磁场，磁感应强度为0.8 T ．将导体棒MN 由静止释放，运动一段时间后，小灯泡稳定发光，此后导体棒MN 的运动速度以及小灯泡消耗的电功率分别为(重力加速度g 取10 m/s 2，sin 37°＝0.6)( )A ．2.5 m/s 1 WB ．5 m/s 1 WC ．7.5 m/s 9 WD ．15 m/s 9 W解析：选B.小灯泡稳定发光说明棒做匀速直线运动． 此时：F 安＝B 2l 2vR 总对棒满足：mg sin θ－μmg cos θ－B 2l 2vR 棒＋R 灯＝0因为R 灯＝R 棒则：P 灯＝P 棒再依据功能关系：mg sin θ·v －μmg cos θ·v ＝P 灯＋P 棒 联立解得v ＝5 m/s ，P 灯＝1 W ，所以B 项正确． 6．[视角3](2016·陕西五校联考)如图所示，光滑的定滑轮上绕有轻质柔软细线，线的一端系一质量为3m 的重物，另一端系一质量为m 、电阻为r 的金属杆．在竖直平面内有间距为L 的足够长的平行金属导轨PQ 、EF ，在QF 之间连接有阻值为R 的电阻，其余电阻不计，磁感应强度为B 0的匀强磁场与导轨平面垂直，开始时金属杆置于导轨下端QF 处，将重物由静止释放，当重物下降h 时恰好达到稳定速度而匀速下降．运动过程中金属杆始终与导轨垂直且接触良好，忽略所有摩擦，重力加速度为g ，求：(1)电阻R 中的感应电流方向； (2)重物匀速下降的速度v ；(3)重物从释放到下降h 的过程中，电阻R 中产生的电热Q R ；(4)若将重物下降h 时的时刻记为t ＝0，速度记为v 0，从此时刻起，磁感应强度逐渐减小，若此后金属杆中恰好不产生感应电流，则磁感应强度B 怎样随时间t 变化(写出B t 与t 的关系式)．解析：(1)由右手定则可知电阻R 中的感应电流方向为Q →R →F . (2)金属杆匀速上升，处于平衡状态，由平衡条件得： T －mg －F ＝0，式中：T ＝3mg ，F ＝B 0IL ＝B 20L 2vR ＋r，所以v ＝2mg (R ＋r )B 20L2. (3)设电路中产生的总电热为Q ，则由能量守恒得：减少的重力势能等于增加的动能和总电热Q ， 即：3mgh －mgh ＝12(3m )v 2＋12m v 2＋Q .所以电阻R 中产生的电热Q R 为 Q R ＝R R ＋r Q ＝2mghR R ＋r －8m 3g 2(R ＋r )RB 40L 4. (4)金属杆中恰好不产生感应电流，即磁通量不变Φt ＝Φ0， (h ＋h t )LB t ＝hLB 0， 式中h t ＝v 0t ＋12at 2，又a ＝3mg －mg 3m ＋m ＝12g ，则磁感应强度B 随时间t 的变化关系式为 B t ＝B 0hh ＋v 0t ＋g 4t2.答案：(1)Q →R →F (2)2mg (R ＋r )B 20L 2 (3)2mghR R ＋r－8m 3g 2(R ＋r )R B 40L 4(4)B t ＝B 0hh ＋v 0t ＋g 4t2 7．[视角3](2016·浙江名校联盟卷)如图所示，条形磁场组方向水平向里，磁场边界与地面平行，磁场区域宽度为L ＝0.1 m ，磁场间距为2L ，一正方形金属线框质量为m ＝0.1 kg ，边长也为L ，总电阻为R ＝0.02 Ω.现将金属线框置于磁场区域1上方某一高度h 处自由释放，线框在经过磁场区域时bc 边始终与磁场边界平行．当h ＝2L 时，bc 边进入磁场时金属线框刚好能做匀速运动．不计空气阻力，重力加速度g 取10 m/s 2.(1)求磁感应强度B 的大小；(2)若h >2L ，磁场不变，金属线框bc 边每次出磁场时都刚好做匀速运动，求此情形中金属线框释放的高度h ； (3)求在(2)情形中，金属线框经过前n 个磁场区域过程中线框中产生总的焦耳热． 解析：(1)当h ＝2L 时，bc 边进入磁场时金属框的速度 v ＝2gh ＝2gL ＝2 m/s ， 此时金属线框刚好能做匀速运动，则有 mg ＝BIL ， 又I ＝E R ＝BL v R，综合即得：磁感应强度B ＝1LmgR v ，代入数据即得B ＝1 T.(2)当h >2L 时，bc 边第一次进入磁场时金属线框的速度 v 0＝2gh >2gL ，即有mg <BI 0L ，故金属线框将做减速运动．又已知金属线框bc 边每次出磁场时都刚好做匀速运动，所以金属线框在磁场做减速运动直到v ＝2gL ＝2 m/s ，如图．金属线框ad 边从磁场穿出后，线框又将在重力作用下做加速运动，经过的位移为L ，设此时线框的速度为v ′，则有v ′2 ＝ v 2＋2gL ，解得v ′＝ 6 m/s.根据题意，为保证金属线框bc 边每次出磁场时都刚好做匀速运动，则应有v ′＝v 0＝2gh ， 即得h ＝0.3 m.(3)设金属线框在每次经过一个条形磁场过程中产生的热量为Q 0，则根据能量守恒有： 12m v ′2＋mg (2L )＝12m v 2＋Q 0， 代入数据得Q 0＝0.3 J ，则经过前n 个磁场区域时线框上产生总的焦耳热Q ＝nQ 0＝0.3n J. 答案：(1)1 T (2)0.3 m (3)0.3n J用“守恒与转化”的观点处理电磁感应中的能量问题1.能量守恒与转化的特点机械能或其他形式的能――→安培力做负功电能――→电流做功内能或其他形式的能2．电能的三种求解思路(1)利用克服安培力做功：感应电路中产生的焦耳热等于克服安培力做的功，即Q＝W A.(2)利用Q＝I2Rt：感应电路中电阻产生的焦耳热等于电流通过电阻做的功，即Q＝I2Rt.(3)利用能量守恒：感应电路中产生的焦耳热等于电磁感应现象中其他形式能量的减少，即Q＝ΔE其他．一、选择题(1～6小题为单选题，7～10小题为多选题)1.如图所示，质量均为m的金属棒ab、cd与足够长的水平金属导轨垂直且接触良好，两金属棒与金属导轨间的动摩擦因数为μ，磁感应强度为B的匀强磁场的方向竖直向下．则ab棒在恒力F ＝2μmg作用下向右运动的过程中，有()A．安培力对ab棒做正功B．安培力对cd棒做正功C．ab棒做加速度逐渐减小的加速运动，最终匀速运动D．cd棒做加速度逐渐减小的加速运动，最终匀速运动[导学号76070450]解析：选C.对于ab棒，因为F＝2μmg>μmg，所以从静止开始加速运动，ab棒运动会切割磁感线产生感应电流，从而使ab棒受到一个向左的安培力，这样加速度会减小，最终会做匀速运动；而cd棒所受到的最大安培力与摩擦力相同，所以总保持静止状态，即安培力对ab棒做负功，对cd棒不做功，所以选项C正确，A、B、D错误．2．(2016·河南三市联考)两根足够长的光滑导轨竖直放置，间距为L，顶端接阻值为R的电阻．质量为m、电阻为r的金属棒在距磁场上边界某处由静止释放，金属棒和导轨接触良好，导轨所在平面与磁感应强度为B的匀强磁场垂直，如图所示，不计导轨的电阻，重力加速度为g，则下列说法错误的是()A．金属棒在磁场中运动时，流过电阻R的电流方向为b→aB．金属棒的速度为v时，金属棒所受的安培力大小为B2L2vR＋rC．金属棒的最大速度为mg(R＋r)BLD．金属棒以稳定的速度下滑时，电阻R的热功率为⎝⎛⎭⎫mgBL2R[导学号76070451]解析：选C.金属棒在磁场中向下运动时，由楞次定律知，流过电阻R的电流方向为b→a，选项A正确；金属棒的速度为v时，金属棒中感应电动势E＝BL v，感应电流I＝ER＋r，所受的安培力大小为F ＝BIL＝B2L2vR＋r，选项B正确；当安培力F＝mg时，金属棒下滑速度最大，金属棒的最大速度为v＝mg(R＋r)B2L2，选项C错误；金属棒以稳定的速度下滑时，电阻R和r的总热功率为P＝mg v＝⎝⎛⎭⎫mgBL2(R＋r)，电阻R的热功率为⎝⎛⎭⎫mgBL2R，选项D正确．3.如图所示，水平放置的光滑平行金属导轨上有一质量为m的金属棒ab，导轨的一端连接电阻R，其他电阻均不计，磁感应强度为B的匀强磁场垂直于导轨平面向下，ab在一水平恒力F作用下由静止开始向右运动的过程中()A．随着ab运动速度的增大，其加速度也增大B．外力F对ab做的功等于电路中产生的电能C．外力F做功的功率始终等于电路中的电功率D．克服安培力做的功一定等于电路中产生的电能[导学号76070452]解析：选D.由牛顿第二定律可得F－B2l2vR＝ma，棒向右做加速度减小的加速运动，A错．由于在达到最终速度前F>B2l2vR，力F做的功等于电路中获得的电能与金属棒的动能之和，则F的功率大于克服安培力做功的功率，即大于电路中的电功率，电路中获得的电能等于克服安培力所做的功．B、C错，D正确．。

电磁感应中的动力学和能量问题（一）考点一电磁感应中的动力学问题分析1．导体两种状态：(1)导体的平衡态——静止状态或匀速直线运动状态．(2)导体的非平衡态——加速度不为零．2．抓好受力情况、运动情况的动态分析：例1、如图所示，在竖直向下的磁感应强度为B的匀强磁场中，有两根水平放置且足够长的平行金属导轨AB、CD，在导轨的AC端连接一阻值为R的电阻，一根质量为m的金属棒ab，垂直导轨放置，导轨和金属棒的电阻不计。

金属棒与导轨间的动摩擦因数为μ，若用恒力F沿水平向右拉导体棒运动，求金属棒的最大速度。

思考：如图所示，线圈内有理想的磁场边界，当磁感应强度均匀增加时，有一带电量为q，质量为m的粒子静止于水平放置的平行板电容器中间，则此粒子带，若线圈的匝数为n，线圈面积为S，平行板电容器的板间距离为d，则磁感应强度的变化率为。

考点二电磁感应中的能量问题分析1．电磁感应过程往往涉及多种能量的转化(1)如图中金属棒ab沿导轨由静止下滑时，重力势能减少，一部分用来克服安培力做功，转化为感应电流的电能，最终在R上转化为焦耳热，另一部分转化为金属棒的动能．(2)若导轨足够长，棒最终达到稳定状态匀速运动时，重力势能的减小则完全用来克服安培力做功，转化为感应电流的电能．2．安培力做功和电能变化的特定对应关系“外力”克服安培力做多少功，就有多少其他形式的能转化为电能．同理，安培力做功的过程，是电能转化为其他形式的能的过程，安培力做多少功就有多少电能转化为其他形式的能．3．在利用功能关系分析电磁感应的能量问题时，首先应对研究对象进行准确的受力分析，判断各力做功情况，利用动能定理或功能关系列式求解．4．利用能量守恒分析电磁感应问题时，应注意明确初、末状态及其能量转化，根据力做功和相应形式能的转化列式求解．例2、如图所示，空间存在竖直向上、磁感应强度B＝1 T的匀强磁场，ab、cd是相互平行间距L＝1 m的长直导轨，它们处在同一水平面内，左边通过金属杆ac相连．质量m＝1 kg的导体棒MN水平放置在导轨上，已知MN与ac的总电阻R＝0.2 Ω，其他电阻不计．导体棒MN通过不可伸长的细线经光滑定滑轮与质量也为m的重物相连，现将重物由静止状态释放后与导体棒MN一起运动，并始终保持导体棒与导轨接触良好．已知导体棒与导轨间的动摩擦因数μ＝0.5，其他摩擦不计，导轨足够长，重物离地面足够高，重力加速度g取10 m/s2.(1)请定性说明：导体棒MN在达到匀速运动前，速度和加速度是如何变化的？达到匀速运动时MN受到的哪些力的合力为零？并定性画出棒从静止至匀速运动的过程中所受的安培力大小随时间变化的图象(不需说明理由及计算达到匀速运动的时间)；(2)若已知重物下降高度h＝2 m时，导体棒恰好开始做匀速运动，在此过程中ac边产生的焦耳热Q＝3 J，求导体棒MN的电阻值r.3、如图所示，两根足够长的光滑平行金属导轨MN、PQ间距为l＝0.5 m，其电阻不计，两导轨及其构成的平面均与水平面成30°角．完全相同的两金属棒ab、cd分别垂直导轨放置，每棒两端都与导轨始终有良好接触，已知两棒质量均为m＝0.02 kg，电阻均为R＝0.1 Ω，整个装置处在垂直于导轨平面向上的匀强磁场中，磁感应强度B＝0.2 T，棒ab在平行于导轨向上的力F作用下，沿导轨向上匀速运动，而棒cd恰好能够保持静止，取g＝10 m/s2，问：(1)通过棒cd的电流I是多(2)棒ab受到的力F多大？(3)棒cd每产生Q＝0.1 J的热量，力F做的功1．如图所示，MN和PQ是两根互相平行竖直放置的光滑金属导轨，已知导轨足够长，且电阻不计．有一垂直导轨平面向里的匀强磁场，磁感应强度为B，宽度为L，ab 是一根不但与导轨垂直而且始终与导轨接触良好的金属杆．开始，将开关S断开，让ab由静止开始自由下落，过段时间后，再将S闭合，若从S闭合开始计时，则金属杆ab的速度v随时间t变化的图象可能是()2．如图所示，两足够长平行金属导轨固定在水平面上，匀强磁场方向垂直导轨平面向下，金属棒ab、cd与导轨构成闭合回路且都可沿导轨无摩擦滑动，两金属棒ab、cd 的质量之比为2∶1.用一沿导轨方向的恒力F水平向右拉金属棒cd，经过足够长时间以后()A．金属棒ab、cd都做匀速运动B．金属棒ab上的电流方向是由b 向aC．金属棒cd所受安培力的大小等于2F/3 D．两金属棒间距离保持不变3、如图所示，水平固定放置的足够长的U形金属导轨处于竖直向上的匀强磁场中，在导轨上放着金属棒ab，开始时ab棒以水平初速度v0向右运动，最后静止在导轨上，就导轨光滑和导轨粗糙的两种情况相比较，这个过程()A．安培力对ab棒所做的功不相等B．电流所做的功相等C．产生的总内能相等D．通过ab棒的电荷量相等4、如图所示，一个质量为m=0.01kg，边长L=0.1m，电阻R=0.4Ω的正方形导体线框abcd，从高h=0.8m的高处由静止自由下落，下落时线框平面始终在竖直平面内，且保持与水平磁场方向垂直，当线框下边bc刚一进入下方的有界匀强磁场时，恰好做匀速运动（g=10m/s2）(1)磁场的磁感应强度B的大小(2)如果线圈的下边bc通过磁场所经历的时间为t=0.125s，求bc边刚从磁场下边穿出时线框的加速度大小。