(完整版)九年级数学中考复习专题一元二次方程练习题及答案

一元二次方程一、选择题1. （某某某某，5，4分）—元二次方程x 2＋2x ＋1=0的根的情况（ ）A ．有一个实数根B ．有两个相等的实数根C ．有两个不相等的实数根D ．没有实数根【答案】B【逐步提示】先根据一元二次方程x 2＋2x ＋1=0确定a 、b 、c 的值，再求判别式b 2－4ac 的值，最后根据判别式值的情况作出判断．【详细解答】解：一元二次方程x 2＋2x ＋1=0中，a =1，b =2，c =1，所以b 2－4ac =22-4×1×1=0，故选择B .【解后反思】一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0），当b 2－4ac ＞0时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当b2－4ac ＝0时，一元二次方程有两个相等的实数根；当b 2－4ac ＜0时，一元二次方程没有实数根；当b 2－4ac ≥0时，一元二次方程有实数根，以上结论反过来也成立．【关键词】一元二次方程；一元二次方程根的判别式2. （ 某某省，14，2分）a ，b ，c 为常数，且（a -c ）2>a 2+c 2，则关于x 的方程ax 2+bx +c =0根的情况是（）A ．有两个相等的实数根B ．有两个不相等的实数根C ．无实数根D ．有一根为0【答案】B【逐步提示】本题考查了一元二次方程根的判别式，先化简不等式得到ac ＜0，进而判断出b 2－4ac 的符号，由此可知方程根的情况.【详细解答】解：∵（a －c ）2＞a 2+c 2，即a 2－2ac+c 2＞a 2+c 2，∴ac ＜0，a ≠0.∴关于x 的方程ax 2+bx+c 是一元二次方程，且b 2－4ac ＞0，故该方程有两个不相等的实数根.【解后反思】1.一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0），当b 2－4ac ＞0时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当b 2－4ac ＝0时，一元二次方程有两个相等的实数根；当b 2－4ac ＜0时，一元二次方程没有实数根；当b 2－4ac ≥0时，一元二次方程有实数根，以上结论反过来也成立．ax 2＋bx ＋c ＝0来说，只有当a≠0时，这个方程才是一元二次方程.【关键词】不等式；根的判别式；一元二次方程的定义3. （某某省某某市，10，3分）关于x 的一元二次方程042=++k x x 有两个相等的实根，则k 的值为（ ）A.k =-4B.k =4C.4-≥kD.4≥k【答案】B【逐步提示】本题考查的是一元二次方程根的判别式，利用一元二次方程的根的情况得到判别式的大小是解题的关键.第一步，根据题目已知条件判断“0=∆”；第二步， 由ac b 42-=∆，列出含有字母k 的方程并求解即可得出答案。

【专题复习】九年级数学上册一元二次方程解法练习100题1.解方程：2x2﹣8x+3=0(用公式法)． 2.解方程：(2x-1)(x＋3)=43.解方程：4y2＋4y-1=-10-8y.4.解方程：x(x-3)=105.解方程：(x-1)(x-3)=86.解方程：x2-2=-2 x7.解方程：4x(3x-2)=6x-4. 8.解方程：3x(7-x)=18-x(3x-15)；9.解方程：5x2-8x+2=0. 10.解方程：x2+12x+27=0．11.解方程：2x2-4x+1=0(用配方法) 12.解方程：4(x-1)2=9(x-5)2 13.解方程：x2﹣6=﹣2(x+1) 14.解方程：x2+4x﹣5=0．15.解方程：2x2+5x﹣1=0．16.解方程：3(x-2)2=x(x-2)：17.解方程：2x2-3x-2=0 18.解方程：2x2-7x+1=019.解方程：x2﹣6x﹣4=0(用配方法) 20.解方程：x2-4x-3=021.解方程：x²-5x+2=0 22.解方程：x2﹣4x+8=0；23.解方程：3x2-6x+4=0 24.解方程：(x-2)(x-3)=1225.解方程：(x﹣3)(x+7)=﹣9 26.解方程：3x2+5(2x+1)=0(公式法) 27.解方程：x2﹣12x﹣4=0；28.解方程：(x﹣5)(x﹣6)=x﹣5．29.解方程：x2﹣8x﹣10=0；30.解方程：x(x﹣3)=15﹣5x；31.解方程：5x(x﹣3)=(x+1)(x﹣3) 32.解方程：x2+8x+15=033.解方程：25x2+10x+1=0 34.解方程：x2﹣7=﹣6x．(配方法)35.解方程：x2+4x﹣5=0(配方法) 36.解方程：4(x+3)2﹣(x﹣2)2=0(因式分解法)37.解方程：2x2+8x﹣1=0(公式法) 38.解方程：2x2-4x-1=0.39.解方程：(2x﹣5)2﹣(x+4)2=0．40.解方程:(x+1)(x﹣2)=2x(x﹣2) 41.解方程:4x2﹣6x﹣3=0(运用公式法) 42.解方程:2x2﹣x﹣3=0．43.解方程:(x+3)(x-1)=12 44.解方程:x2+3=3(x+1)45.解方程:x2-2x-24=0. 46.解方程:4x2-7x＋2=0.47.解方程:x2-2x=2x＋1；48.解方程:2(t-1)2＋t=1；49.解方程:(3x-1)2-4(2x＋3)2=0. 50.解方程:x2-6x-4=0；51.解方程:x(x﹣3)=4x+6．52.解方程:y2＋3y＋1=0；53.解方程:3y2＋4y-4=0 54.解方程:(x-3)2-2x(x-3)=055.解方程:x2﹣2x=4 56.解方程:3(x﹣1)2=x(x﹣1) 57.解方程:3x2﹣6x+1=0(用配方法) 58.解方程:3(x-5)2=2(5-x) 59.解方程:3x2+5(2x+1)=0 60.解方程:x2+6x=9．61.解方程：x2﹣2x=x﹣2．62.解方程：(2x﹣1)2=(3﹣x)2 63.解方程:2x2-10x=3. 64.解方程:(x﹣1)(x﹣3)=8．65.解方程:3x2＋2x-5=0；66.解方程:(1-2x)2=x2-6x＋9.67.解方程:5(3x-2)2=4x(2-3x)．68.解方程:(2x＋1)2＋4(2x＋1)＋3=0.69.解方程:2x2＋3=7x; 70.解方程:(2x＋1)2＋4(2x＋1)＋3=0.71.解方程:x2﹣2x﹣3=0．72.解方程:x﹣3=4(x﹣3)273.解方程:(x＋1)(x-1)=2x；74.解方程:3x2-7x＋4=0.75.解方程：(x+2)2﹣10(x+2)=0．76.解方程:x2＋3x＋2=0；77.解方程:(x-1)2-2(x2-1)=0 78.解方程:x2-4x＋2=0;79.解方程:x2﹣5x+1=0；80.解方程：x2﹣2x=4．81.解方程:x2+3x-2=0. 82.解方程:x2-5x+1=0（用配方法）83.解方程:x2+5x﹣6=0（因式分解法） 84.解方程：x2+3x﹣4=0（公式法）85.解方程:x2﹣4x+1=0（配方法） 86.解方程:(x﹣5)2=16 （直接开平方法）87.解方程:(x﹣1)(x+2)=6． 88.解方程:2x2+3x+1=089.解方程：（3x+1）2=9x+3． 90.解方程：5x2﹣3x=x+191.解方程：(x﹣4)2=(5﹣2x)2． 92. 解方程:(2x+1)2+15=8(2x+1)93.解方程：x2+x﹣1=0． 94.解方程：2x2﹣3x﹣1=0．95.解方程:x2-2x-3=0 96.解方程:3x2－7x＋4=0.97.解方程:(x+3)(x-1)=12 98.解方程:x2-x-6=099.解方程:2x2﹣4x=1（用配方法） 100.解方程:(x+8)(x+1)=-12参考答案1.答案为：x=，x2=．12.答案为：x=1,x2=-3.5.13.答案为：y=y2=-1.5.14.答案为：x=5,x2=-2.15.答案为：x=5,x2=-1.16.答案为：∴，7.答案为：x=1/2,x2=-2/3.18.答案为：x=39.答案为：10.答案为：x=-3,x2=-9.111.答案为：12.答案为：x=13,x2=-3.4.113.答案为：x=﹣1+，x2=﹣1﹣．114.答案为：x=1，x2=﹣5．115.答案为：x=．16.答案为：x=2,x2=3.117.答案为：x=-0.5,x2=-2.118.答案为：；19.答案为：x=-3+,x2=-3-120.答案为：x=2721.答案为：略；22.答案为：x=x2=2；123.方程无实根；24.答案为：x=-1,x2=6. ；125.答案为：x=﹣6，x2=2；126.答案为：∴x1=，x2=．27.答案为：x=6+2，x2=6﹣2；128.答案为：x=5，x2=7．129.答案为：x=4+，x2=4﹣；130.答案为：x=3，x2=﹣5131.答案为：x=3，x2=0.25．132.答案为：x=-3,x2=-5.133.答案为：x=x2=-0.2.134.答案为：x=1，x2=﹣7．135.答案为：x=﹣5，x2=1；136.答案为：x=﹣4/3，x2=﹣8；137.答案为：x=，x2=．138.答案为：x=＋1，x2=1-139.答案为：x=1/3，x2=9．140.答案为：x=2，x2=1．141.答案为：，；42.答案为：x=1.5，x2=﹣1．143.答案为：44.答案略；45.答案为：x=0，x2=3；146.答案为：x=＋，x2=-.147.答案为：x=2＋，x2=2-.148.答案为：t=1，t2=.149.答案为：x=-，x2=-7.150.答案为：x=3＋，x2=3-.151.答案为：x=，x2=．152.答案为：y=，y2=.153.答案为：54.答案为：x=3,x2=-3;155.答案为：∴x=1﹣，x2=1+；156.答案为：x=1，x2=1.5．157.答案为：x=1+，x2=1﹣；158.答案为：x=5，x2=13/3.159.答案为：60.答案为：x=﹣3+3，x2=﹣3﹣3．161.答案为：x=2，x2=1．162.答案为：63.答案为：x 1=，x 2=. 64.答案为：x 1=5，x 2=﹣1． 65.答案为：x 1=1，x 2=-. 66.答案为：x 1=，x 2=-2. 67.答案为：x 1=，x 2=.68.答案为：x 1=-1，x 2=-2.69.答案为：x 1=，x 2=3.70.答案为：x 1=-1，x 2=-2.71.答案为：x 1=3，x 2=﹣1．72.答案为：x 1=3，x 2=3.25；73.答案为：x 1=＋，x 2=-74.答案为：x 1=，x 2=1 75.答案为：x 1=﹣2，x 2=8．76.答案为：x 1=-1，x 2=2.77.答案为：x 1=1，x 2=3.78.答案为：x 1=22 ，x 2=2-2. 79.答案为： 80.答案为：x 1=1+，x 2=1﹣．81.∵a=1,b=3,c=-2,∴Δ=32-4×1×(-2)=17,∴x=,∴x 1=,x 2=.82.答案为：，.83.x1=﹣6，x2=1．84.答案为：x=﹣4，x2=1；185.；86.x=1，x2=9；187.x=，x2=．188.x1=﹣0.5，x2=﹣1；89.x1=﹣，x2=．90.x=﹣0.2，x2=1；191.x=3，x2=1．192.x=1，x2=2．193.x=，x2=．194.x=，x2=．195.96.解：(3)x＝，x2＝1197.98.99.x=1+，x2=1﹣．1100.1=﹣4，x2=﹣5．。

word公式法解一元二次方程1．2x2﹣7x+3=0（公式法）2．2t2﹣t﹣3=0，3．2x2﹣7x+4=0．4．2x2+2x=15．5y+2=3y2．6．x2+3x﹣4=0 7. 2x2﹣4x﹣1=08．2x2﹣x﹣2=0．9．2x2﹣5x+1=0．10．x2﹣1=4x．11．x2+3x﹣3=0 12．3x2﹣4x﹣2=0．13．x2+x﹣4=0．14．2x2﹣6x+3=0．15．2x2﹣3x﹣1=0．16．2x2﹣2x﹣1=0 17．3x2﹣4x﹣1=0．18．2x2﹣x﹣4=0 19．2x2+x﹣2=0 20．3x2+6x﹣4=0 21．x2﹣x﹣3=0．22．3x2+4x﹣4=0，23．（3x﹣1）（x+2）=11x ﹣4．24．2x2﹣5x﹣1=0．25．．26．3x2+4x+5=0．28．x2﹣x﹣4=0．29．．30．2x2﹣2x﹣1=031．3x2+7x+10=1﹣8x．32．5x2﹣3x+2=0．34．x2+3x+1=0，35．4x2=2x+136．5x2﹣3x=x+1．37．3x2+7x+4=038．2x2﹣3x﹣1=0（用公式法）39．3x2+5x+1=0；40．x2﹣4x+1=041. x2﹣4x+5=042. x2+5x+3=043．2x2﹣3x﹣6=0．44．3x2+4x+1=045．x2﹣4x﹣8=046．2x2﹣x﹣2=047．3x2+2（x﹣1）=0．48．x2﹣4x﹣7=049．y2﹣2y﹣4=050．x2﹣3x=2 51．2x2+x﹣=0．52．x2x+1=053．2x2﹣9x+8=0；55. x2+x﹣1=0；56. 2x2﹣6x+3=0；57．2x（x+4）=158．3x2+5（2x+1）=0．59．2x2﹣4x﹣1=060．3x2﹣6x﹣4=061．x2+2x﹣5=0 62．x2﹣4x﹣3=063．4x2﹣3x﹣1=063. x2+2x﹣2=0；65. x2+3=2x．66．x2﹣4x=﹣367. 3x2﹣2x﹣1=0；68.；69. 2x2﹣7x+5=0；70. 2x2﹣7x﹣18=0．71. （x+1）（x+3）=6x+4；73. x2﹣（2m+1）x+m=0．74. x（x+8）=16，76. 2x2﹣2x+1=0，77. 5x2+2x﹣1=078. 6y2+13y+6=079. 3•x2+6x+9=780. 2x2﹣3x+1=0；81. 2y（y﹣1）+3=（y+1）2．82. x2=3x+1；83. （t+1）（t﹣3）=﹣t（3﹣3t）．84．x2﹣2ax﹣b2+a2=0．85. 3x2=2﹣5x；87. （x+1）（x﹣1）=2x．88．（2x﹣1）2﹣7=3（x+1）；89．x2﹣6x+11=090 ．5x2﹣8x+2=0．91．x2﹣3x+1=0．92．x2=5﹣12x93. x2+x﹣1=094．3x2﹣4x﹣1=095．3x2+2（x﹣1）=0，97．3x2﹣4x﹣1=098.99. ．101．2x2+5x﹣1=0．102．2x2﹣x﹣1=0．103．．104．3x2+5x﹣1=0．105．5x2﹣8x+2=0，106．3x2+7x+10=1﹣8x，公式法解一元二次方程106题参考答案：1．2x2﹣7x+3=0（公式法）a=2，b=﹣7，c=3，∴b2﹣4ac=（﹣7）2﹣4×2×3=49﹣24=25＞0，方程有两个不相等的实数根，即：，x1=3，2．2t2﹣t﹣3=0，∵a=2，b=﹣1，c=﹣3，∴x===，3．2x2﹣7x+4=0．∵a=2，b=﹣7，c=4，b2﹣4ac=49﹣32=17，∴x==，∴，∴x1=，x2=4．2x2+2x=1由原方程，得2x2+2x﹣1=0，∴该方程的二次项系数a=2，一次项系数b=2，常数项c=﹣1；∴x===，5．5y+2=3y2．移项，3y2﹣5y﹣2=0，a=3，b=﹣5，c=﹣2，b2﹣4ac=（﹣5）2﹣4×3×（﹣2）=49＞0，∴x=，∴x1=2，x2=﹣；6．x2+3x﹣4=0a=1，b=3，c=﹣4，△=9+4×1×4=25＞0，∴x==，∴x1=﹣4，x2=1．7. 2x2﹣4x﹣1=0a=2，b=﹣4，c=﹣1，△=16+4×2=24＞0，∴x==1±，∴x1=1+，x2=1﹣8．2x2﹣x﹣2=0．∵a=2，b=﹣1，c=﹣2，∴b2﹣4ac=17＞0∴x=．即x1=，x2=9．2x2﹣5x+1=0．∵a=2，b=﹣5，c=1，∴b2﹣4ac=17，∴x=，∴x1=，x2=2原方程化为一般式：x2﹣4x﹣1=0．∵a=1，b=﹣4，c=﹣1，∴△=b2﹣4ac=（﹣4）2﹣4×1×（﹣1）=20，∴x===2±，∴x1=2+，x2=2﹣11．x2+3x﹣3=0a=1，b=3，c=﹣3；∵b2﹣4ac=9+12=21＞0∴=∴，12．3x2﹣4x﹣2=0．a=3，b=﹣4，c=﹣2，△=b2﹣4ac=（﹣4）2﹣4×3×（﹣2）=40＞0，x==，x1=，x2=13．x2+x﹣4=0．∴x==，∵x1=﹣2，x2=．14．2x2﹣6x+3=0．∵a=2，b=﹣6，c=3∴x=∴x1=，x2=；15．2x2﹣3x﹣1=0．a=2，b=﹣3，c=﹣1，∴△=9+8=17，x1=，x2=16．2x2﹣2x﹣1=0a=2，b=﹣2，c=﹣1，∴b2﹣4ac=12，∴x==，∴x1=，x2=17．3x2﹣4x﹣1=0．∵一元二次方程3x2﹣4x﹣1=0的二次项系数a=3，一次项系数b=﹣4，常数项c=﹣1，∴x===，∴x1=，x2=18．2x2﹣x﹣4=0∵2x2﹣x﹣4=0，∴=，∴x 1=，19．2x2+x﹣2=0∵a=2，b=1，c=﹣2（1分）∵b2﹣4ac=12﹣4×2×（﹣2）=17＞0（2分）∴（4分）∴，20．3x 2+6x﹣4=0∵a=3，b=6，c=﹣4，∴b2﹣4ac=62﹣4×3×（﹣4）=84，∴x==，21．x2﹣x﹣3=0．∵a=1，b=﹣1，c=﹣3，∴△=（﹣1）2﹣4×1×（﹣3）=13＞0，∴x==，∴x1=，x2=．22．3x2+4x﹣4=0，这里a=3，b=4，c=﹣4，b2﹣4ac=42﹣4×3×（﹣4）=64，x=，x1=，x2=﹣223．（3x ﹣1）（x+2）=11x﹣4．3x 2+6x﹣x﹣2=11x﹣4，整理得3x2﹣6x+2=0，∵△=（﹣6）2﹣4×3×2=12，∴x==∴x1=，x2=24．2x2﹣5x﹣1=0．2x2﹣5x﹣1=0，∵b2﹣4ac=（﹣5）2﹣4×2×（﹣1）=33，∴x=，即x 1=，x2=25．．∵a=1，b=，c=﹣20，b2﹣4ac=（）2﹣4×1×（﹣20）=100＞0，∴x=，x=，解得x1=﹣+5，x2=﹣﹣5．26．3x2+4x+5=0．∵△=42﹣4×3×5=﹣44＜0，∴方程没有实数根．27．x2﹣4x﹣2=0．∵a=1，b=﹣4，c=﹣2，∴△=（﹣4）2﹣4×1×（﹣2）=4×6，∴x===2±，∴x1=2+，x2=2﹣．28．x2﹣x﹣4=0．a=1，b=﹣1，c=﹣4．b2﹣4ac=1+16=17＞0．∴=∴x1=，x2=29．．由原方程，得t2+2t﹣2=0，这里a=1，b=2，c=2．则t===﹣，即t1=t 2=﹣30．2x2﹣2x﹣1=0∵a=2，b=﹣2，c=﹣1，∴b2﹣4ac=（﹣2）2﹣4×2×（﹣1）=12，∴x1=，x2=31．3x2+7x+10=1﹣8x．原方程可化为x2+5x+3=0，解得：32．5x2﹣3x+2=0．∵b2﹣4ac=（﹣3）2﹣4×5×2＜0，∴此方程无解33. 5x2﹣3x=x+11（公式法）5x2﹣3x=x+11，整理得：5x2﹣4x﹣11=0，这里a=5，b=﹣4，c=﹣11，∵△=16+220=236，∴x==，则x1=，x2=34．x2+3x+1=0，这里a=1，b=3，c=1，∵△=b 2﹣4ac=9﹣4=5，∴x=，则x1=，x2=35．4x2=2x+1移项得：4x2﹣2x﹣1=0，∵b2﹣4ac=（﹣2）2﹣4×4×（﹣1）=20，∴x==，∴x1=，x2=36．5x2﹣3x=x+1．方程化简为：5x2﹣4x﹣1=0，这里a=5，b=﹣4，c=﹣1，∴x==，∴x1=1，x2=﹣．37．3x2+7x+4=03x2+7x+4=0，∵a=3，b=7，c=4，∴b2﹣4ac=49﹣48=1＞0，∴x=，∴x 1=﹣1，x2=﹣．38．2x2﹣3x﹣1=0（用公式法）∵a=2，b=﹣3，c=﹣1，∴△=（﹣3）2﹣4×2×（﹣1）=17，∴x==，所以x1=，x2=39．3x2+5x+1=0；∵原方程的二次项系数a=3，一次项系数b=5，常数项c=1，∴原方程的根是：x==，即x=；40．x2﹣4x+1=0a=1，b=﹣4，c=1，∴x====2±；41. x2﹣4x+5=0a=1，b=﹣4，c=5，∵△=b2﹣4ac=16﹣20=﹣4＜0，42. x2+5x+3=0a=1，b=5，c=3，∴x===43．2x2﹣3x﹣6=0．这里a=2，b=﹣3，c=﹣6，∵△=b2﹣4ac=9+48=57，∴x=，则x1=，x2=44．3x2+4x+1=0（用公式法）∵二次项系数a=3，一次项系数b=4，常数项c=1，∴△=b 2﹣4ac=42﹣4×3×1=4＞0∴x==∴x1=﹣1 x2=﹣；45．x2﹣4x﹣8=0（公式法）∵方程x2﹣4x﹣8=0的二次项系数a=1、一次项系数b=﹣4、常数项c=﹣8，∴x===2±2，∴x1=2+2，x2=2﹣2；46．2x2﹣x﹣2=0a=2，b=﹣1，c=﹣2，∵b2﹣4ac=（﹣1）2﹣4×2×（﹣2）=1+16=17＞0，∴x==，∴x1=，x2=47．3x2+2（x﹣1）=0．2∵a=3，b=2，c=﹣2，△=b2﹣4ac=4+24=28，x==，解得x1=，x2=48．x2﹣4x﹣7=0∵x2﹣4x﹣7=0的二次项系数是a=1、一次项系数是b=﹣4、常数项是c=﹣7，∴x===2±，∴x1=2+，x2=2﹣49．y2﹣2y﹣4=0（公式法）由原方程知，二次项系数a=1，一次项系数b=﹣2，常数项c=﹣4，∴x==，∴，∴x1=1+，x2=1﹣；50．x2﹣3x=2x2﹣3x﹣2=0，∵a=1，b=﹣3，c=﹣2，∴x===，∴x1=，x2=51．2x2+x﹣=0．∵关于x的一元二次方程2x2+x﹣=0的二次项系数a=2，一次项系数b=1，常数项c=﹣，∴原方程的根是：=，即x=52．x2x+1=0这里a=1，b=﹣2，c=1，∵△=8﹣4=4，∴x==±1，则x1=+1，x2=﹣153．2x2﹣9x+8=0；∵a=2，b=﹣9，c=8∴x=，x1=，x2=；54. x2﹣6x+1=0；∵a=1，b=﹣6，c=1∴x=，∴x1=3+2，x2=3﹣2；55. x2+x﹣1=0；∵a=1，b=1，c=﹣1，∴x==；56. 2x2﹣6x+3=0；∵a=2，b=﹣6，c=3，∴x===；57．2x（x+4）=12x2+8x﹣1=0，∵a=2，b=8，c=﹣1，△=b2﹣4ac=64+8=72，∴x===．即x1=，x2=58．3x2+5（2x+1）=0．3x2+5（2x+1）=0，整理得：3x2+10x+5=0，∵a=3，b=10，c=5，∴b2﹣4ac=100﹣60=40＞0，∴x==，则原方程的解为x1=，x2=59．2x2﹣4x﹣1=0（公式法）解：这里a=2，b=﹣4，c=﹣1，∵b2﹣4ac=（﹣4）2﹣4×2×（﹣1）=24，∴x==，∴x1=，x2=60．3x2﹣6x﹣4=0（公式法）3x2﹣6x﹣4=0，这里a=3，b=﹣6，c=﹣4，∵b2﹣4ac=36+48=84＞0，∴x==，则x1=，x2=61．x2+2x﹣5=0∵a=1，b=2，c=﹣5，b2﹣4ac=24，∴x==﹣1，即x1=，x2=﹣1．62．x2﹣4x﹣3=0由题意得：a=1，b=﹣4，c=﹣3，∴x====2±63．4x2﹣3x﹣1=0a=4，b=﹣3，c=﹣1，△=9+16=25x==∴x1=1，x2=﹣．63. x2+2x﹣2=0；这里a=1，b=2，c=﹣2，∵b2﹣4ac=22﹣4×1×（﹣2）=12＞0，∴x==﹣1，∴x1=﹣1+，x2=﹣1﹣；64. y2﹣3y+1=0；这里a=1，b=﹣3，c=1．∵b2﹣4ac=（﹣3）2﹣4×1×1=5＞0，∴y=，∴y1=，y 2=；65. x2+3=2x．移项，得x2﹣2x+3=0，这里a=1，b=﹣2，c=3．∵b2﹣4ac=（﹣2）2﹣4×1×3=﹣4＜0．∴原方程没有实数根66．x2﹣4x=﹣3移项，得x2﹣4x+3=0．∵a=1，b=﹣4，c=3，∴b2﹣4ac=（﹣4）2﹣4×1×3=4＞0，∴x==，∴x1=1，x2=367. 3x2﹣2x﹣1=0；∵a=3，b=﹣2，c=﹣1，∴b2﹣4ac=（﹣2）2﹣4×3×（﹣1）=16，∴x===，∴x1=1，x2=﹣．68.；∵a=2，b=﹣1，c=﹣，∴b2﹣4ac=（﹣1）2﹣4×2×（﹣）=5，∴x==，∴x1=，x2=．69. 2x2﹣7x+5=0；∵a=2，b=﹣7，c=5，∴b 2﹣4ac=（﹣7）2﹣4×2×5=9，∴x==，∴x1=，x2=1．70. 2x2﹣7x﹣18=0．∵a=2，b=﹣7，c=﹣18，∴b2﹣4ac=（﹣7）2﹣4×2×（﹣18）=193，∴x==，∴x1=，x2=71. （x+1）（x+3）=6x+4；去括号，移项方程化为一般式为：x2﹣2x﹣1=0，∵a=1，b=﹣2，=﹣1，∴b2﹣4ac=（﹣2）2﹣4×1×（﹣1）=8∴x===1±，∴x1=1+，x2=1﹣；72. x2+2（+1）x+2=0；∵a=1，b=2（+1），c=2，∴b2﹣4ac=[2（+1）]2﹣4×1×2=16，∴x===﹣（+1）±2，∴x 1=﹣﹣3，x2=﹣+1；73. x2﹣（2m+1）x+m=0．∵a=1，b=﹣（2m+1），c=m，∴b2﹣4ac=[﹣（2m+1）]2﹣4×1×m=4m2+1，∴x=，∴x1=，x2=74. x（x+8）=16，x2+8x﹣16=0，a=1，b=8，c=﹣16，b2﹣4ac=82﹣4×1×（﹣16）=128＞0，x=，x1=﹣4+4，x2=﹣4﹣4；75. x2﹣4x=4；x 2﹣4x﹣4=0；a=，b=﹣4，c=﹣4，b 2﹣4ac=（﹣4）2﹣4××（﹣4）=48＞0，x==±，x1=+，x2=﹣；76. 2x2﹣2x+1=0，a=2，b=﹣2，c=1，b2﹣4ac=（﹣2）2﹣4×2×1=0，x1=x2=．77. 5x2+2x﹣1=0 ∵a=5，b=2，c=﹣1，∴△=b2﹣4ac=4+4×5×1=24＞0∴x1•x2=∴x1=．78. 6y2+13y+6=0∵a=6，b=13，c=6，∴△=b2﹣4ac=169﹣4×6×6=25＞0 ∴x=∴x1=﹣，x2=﹣．79. 3•x2+6x+9=7整理，得：x2+6x+2=0∴a=1，b=6，c=2∴△=b2﹣4ac=36﹣4×1×2=28＞0 ∴x1•2==﹣3±∴x1=﹣3+，x2=﹣3﹣．80. 2x2﹣3x+1=0；根据原方程，得a=2，b=﹣3，c=1，∵b2﹣4ac=9﹣4×2×1=1＞0，∴x=，x==．∴x1=1，x2=；81. 2y（y﹣1）+3=（y+1）2．由原方程，得2y2﹣2y+3=y2+2y+1，即y2﹣4y+2=0，∴a=1，b=﹣4，c=2．b2﹣4ac=（﹣4）2﹣4×1×2=8＞0．∴x=x==∴x1=2+，x2=2﹣．82. x2=3x+1；方程化为x2﹣3x﹣1=0，∴a=1，b=﹣3，c=﹣1，b2﹣4ac=（﹣3）2﹣4×1×（﹣1）=13．∴x1=．83. （t+1）（t﹣3）=﹣t（3﹣3t）．方程化为2t2﹣t+3=0，a=2，b=﹣1，c=3b2﹣4ac=1﹣4×2×3=﹣23＜0，∴原方程无实数根84．x2﹣2ax﹣b2+a2=0．∵a=1，b=﹣2a，c=﹣b2+a2∴b2﹣4ac=4a2+4b2﹣4a 2=4b2∴x==a±|b|．85. 3x2=2﹣5x；a=3，b=5，c=﹣2b2﹣4ac=52﹣4×3×（﹣2）=25+24=49＞0．x==．所以x1=﹣2，x 2=．86. y2﹣4y=1；原方程变形为：3y2﹣8y﹣2=0．a=3，b=﹣8，c=﹣2．b2﹣4ac=（﹣8）2﹣4×3×（﹣2）=64+24=88．x==．所以x 1=，x2=．87. （x+1）（x﹣1）=2x．原方程变形x2﹣2x﹣1=0．a=1，b=﹣2，c=﹣1．b2﹣4ac=（﹣2）2﹣4×1×（﹣1）=8+4=12＞0．所以x==．故x1=+，x2=﹣．88．（2x﹣1）2﹣7=3（x+1）；整理，得4x2﹣7x﹣9=0，因为a=4，b=﹣7，c=﹣9．所以x=89．x2﹣6x+11=0由原方程，知a=，b=﹣6，c=11将其代入求根公式x=，得x=，∴原方程的根是：x1=4，x2=90 ．5x2﹣8x+2=0．这里a=5，b=﹣8，c=2，∵b2﹣4ac=64﹣40=24＞0，∴x==，则x1=，x2=．91．x2﹣3x+1=0．x2﹣3x+1=0，这里a=1，b=﹣3，c=1，∵b2﹣4ac=（﹣3）2﹣4×1×1=9﹣4=5＞0，∴x==，则x1=，x2=92．x2=5﹣12x方程化为一般形式为：x 2+12x﹣5=0，∴a=1，b=12，c=﹣5，∴△=122﹣4×1×（﹣5）=4×41＞0，∴x===﹣6±，所以x1=﹣6+，x2=﹣6﹣．93. x2+x﹣1=0解：x2+x﹣1=0，b2﹣4ac=12﹣4×1×（﹣1）=5，∴x=，∴x1=，x2=．94．3x2﹣4x﹣1=0解：3x2﹣4x﹣1=0，这里a=3，b=﹣4，c=﹣1，b2﹣4ac=（﹣4）2﹣4×3×（﹣1）=28，∴x==，∴原方程的解是：x1=，x2=，这里a=2，b=﹣2，c=1，∴b2﹣4ac=﹣4×2×1=4，∴x==，∴x1=，x2=，∴原方程的解是x1=，x2=95．3x 2+2（x﹣1）=0，整理得：3x2+2x ﹣2=0，这里a=3，b=2，c=﹣2，∵△=b2﹣4ac=4+24=28，∴x==，则x1=，x2=96．方程整理得：x2﹣2x+1=0，这里a=1，b=﹣2，c=1，∵△=8﹣4=4，∴x==±1，则x1=+1，x2=﹣1．97．3x2﹣4x﹣1=03x2﹣4x﹣1=0，这里a=3，b=﹣4，c=﹣1，∵b2﹣4ac=（﹣4）2﹣4×3×（﹣1）=16+12=28＞0，∴x==，则x1=，x 2=98.2x2﹣x+1=0a=2，b=﹣，c=1△=10﹣8=2x=∴x1=，x2=99. ．解：整理得：x2﹣2x﹣1=0，∴b2﹣4ac=﹣4×1×（﹣1）=12，∴x==±，∴x1=+，x2=﹣100．3x2﹣4x﹣1=0．3x2﹣4x﹣1=0，a=3，b=﹣4，c=﹣1，b2﹣4ac=（﹣4）2﹣4×3×（﹣1）=28，∴x==，∴x 1=，x2=101．2x2+5x﹣1=0．∵a=2，b=5，c=﹣1，△=b 2﹣4ac=25+8=33，∴x===．即x 1=，x2=102．2x2﹣x﹣1=0．∵原方程的二次项系数a=2，一次项系数b=﹣1，常数项c=﹣1，∴x===，∴x1=1，x2=﹣．103．．∵a=2，b=﹣，c=﹣，∴△=（﹣）2﹣4×2×（﹣）=6＞0，x==．104．3x2+5x﹣1=0．∵一元二次方程3x2+5x﹣1=0的二次项系数a=3，一次项系数b=5，常数项c=﹣1，∴x===，∴x 1=，x2=．105．5x2﹣8x+2=0，a=5，b=﹣8，c=2，b2﹣4ac=（﹣8）2﹣4×5×2=24＞0，x==，x1=，x2=．106．3x2+7x+10=1﹣8x，整理得：x 2+5x+3=0，解得：x==，即：x1=，x2=；。

人教版数学 初三中考复习 一元二次方程 专题练习题1．下列方程中，一定是一元二次方程的是( )A ．3x 2＋2x －1＝0B ．5x 2－6y －3＝0C ．ax 2－x ＋2＝0D ．3x 2－2x －1＝02．若关于x 的方程(a －2)x 2－2ax ＋a ＋2＝0是一元二次方程，则a 的值是( )A ．2B ．－2C ．0D ．不等于2的任意实数3．将一元二次方程3x 2＝－2x ＋5化为一般形式，其一次项系数与常数项的和为____．4．将一元二次方程y(2y －3)＝(y ＋2)(y －2)化为一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项．2x 2＋x ＝2的解是( )＝－1和x ＝06．已知关于x 的方程x 2＋x ＋2a －1＝0的一个根是0，则a ＝______． 7．若关于x 的一元二次方程ax 2－bx －2018＝0有一根为x ＝－1，则a ＋b ＝______．8．今年我市计划扩大城区绿地面积，现有一块长方形绿地，它的短边长为60 m ，若将短边增长到与长边相等(长边不变)，使扩大后的绿地的形状是正方形，则扩大后的绿地面积比原来增加1600 m 2，设扩大后的正方形绿地边长为x m ，下面所列方程正确的是( )A ．x(x －60)＝1600B ．x(x ＋60)＝1600C ．60(x ＋60)＝1600D ．60(x －60)＝16009. 有x 支球队参加篮球比赛，共比赛了45场，每两队之间都比赛一场，则下列方程中符合题意的是( )A .12x(x －1)＝45 B. 12x(x ＋1)＝45 C ．x(x －1)＝45 D ．x(x ＋1)＝4510．如图所示的图形的面积为24，根据图中的条件，可列出方程：_______________________．11．下列方程中是关于x 的一元二次方程的是( )A ．x 2＋1x 2＝0B ．ax 2＋bx ＋c ＝0C ．(x －1)(x ＋2)＝1D ．x(x －1)＝x 2＋2x12．若关于x 的一元二次方程(a －1)x 2＋x ＋|a|－1＝0的一个根是0，则实数a 的值为( )A ．－1B ．0C ．1D ．－1或113．已知m 是关于x 的方程x 2－2x －3＝0的一个根，则2m 2－4m ＝______．14．若方程(m －2)x 2＋m x ＝1是关于x 的一元二次方程，则m 的取值范围是______________________．15．小明用30厘米的铁丝围成一个斜边长等于13厘米的直角三角形，设该直角三角形的一条直角边长为x 厘米，则另一条直角边长为__________厘米，可列出方程：___________________________．16．根据下列问题列出一元二次方程，并将其化成一般形式．(1)某市2015年平均房价为每平方米8000元，2017年平均房价降到每平方米7000元，求这两年平均房价年平均降低率；(2)如图，在一块长为22米，宽为17米的矩形地面上，要修建同样宽的两条互相垂直的道路(两条道路各与矩形的一边平行)，剩余部分种上草坪，使草坪面积为300平方米，求道路的宽；(3)某种服装平均每天可销售20件，每件盈利30元，若单价每件降价1元，则每天可多销售5件，如果每天要盈利1445元，求每件服装应降价多少元．17．一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的一个根是1，且a ，b 满足等式b ＝a －1＋1－a ＋2，求这个一元二次方程．18．已知关于x 的方程(k 2－9)x 2＋(k ＋3)x ＝0.(1)当k 为何值时，此方程是一元一次方程？(2)当k 为何值时，此方程是一元二次方程？并写出这个一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项．19．若x 2a ＋b －3x a －b ＋1＝0是关于x 的一元二次方程，求a ，b 的值．下面是两位同学的解法．甲：根据题意，得⎩⎨⎧2a ＋b ＝2，a －b ＝1，解得⎩⎨⎧a ＝1，b ＝0.乙：根据题意，得⎩⎨⎧2a ＋b ＝2，a －b ＝1或⎩⎨⎧2a ＋b ＝1，a －b ＝2，解得⎩⎨⎧a ＝1，b ＝0或⎩⎨⎧a ＝1，b ＝－1.你认为上述两位同学的解法是否正确？为什么？如果都不正确，请给出正确的解法．答案：1. D2. D3. －34. 解：一般形式为y 2－3y ＋4＝0，二次项系数是1，一次项系数是－3，常数项是45. C6. 127. 20188. A9. A10. (x ＋1)2－1＝2411. C12. A13. 614. m≥0且m≠215. (17－x) x 2＋(17－x)2＝13216. 解：(1)设这两年平均房价年平均降低率为x ，根据题意得8000(1－x)2＝7000，化成一般形式为8x 2－16x ＋1＝0(2)设道路的宽为x 米，则(22－x)(17－x)＝300，化成一般形式为x 2－39x ＋74＝0(3)设每件应降价x 元，则(20＋5x)(30－x)＝1445，化成一般形式为x 2－26x ＋169＝017. 解：a ＝1，b ＝2，c ＝－3，此方程为x 2＋2x －3＝018. (1) 解：由题意得⎩⎨⎧k 2－9＝0，k ＋3≠0，解得k ＝3，∴k ＝3时，此方程是一元一次方程 (2) 解：由题意得k 2－9≠0，则k≠±3，∴k≠±3时，此方程是一元二次方程，二次项系数、一次项系数和常数项分别为k 2－9，k ＋3，019. 解：都不正确，均考虑不全面．正确解法如下：要使x 2a ＋b －3x a －b ＋1＝0是关于x 的一元二次方程，则⎩⎨⎧2a ＋b ＝2，a －b ＝2或⎩⎨⎧2a ＋b ＝2，a －b ＝1或⎩⎨⎧2a ＋b ＝2，a －b ＝0或⎩⎨⎧2a ＋b ＝1，a －b ＝2或⎩⎨⎧2a ＋b ＝0，a －b ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝43，b ＝－23或⎩⎨⎧a ＝1，b ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝23，b ＝23或⎩⎨⎧a ＝1，b ＝－1或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝23，b ＝－43。

九年级数学（一元二次方程）一、选择题 (共8题，每题有四个选项，其中只有一项符合题意。

每题3分,共24分)：1.下列方程中不一定是一元二次方程的是( )A.(a-3)x 2=8 (a ≠3)B.ax 2+bx+c=0232057x +-= 2下列方程中,常数项为零的是( )A.x 2+x=1B.2x 2-x-12=12；C.2(x 2-1)=3(x-1)D.2(x 2+1)=x+23.一元二次方程2x 2-3x+1=0化为(x+a)2=b 的形式,正确的是( ) A. 23162x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭; B.2312416x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭; C. 231416x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭; D.以上都不对 4.关于x 的一元二次方程()22110a x x a -++-=的一个根是0，则a 值为（ ）A 、1B 、1-C 、1或1-D 、125.已知三角形两边长分别为2和9,第三边的长为二次方程x 2-14x+48=0的一根, 则这个三角形的周长为( )A.11B.17C.17或19D.196.已知一个直角三角形的两条直角边的长恰好是方程22870x x -+=的两个根，则这个直角三角形的斜边长是（ ）A 、、3 C 、6 D 、97.使分式2561x x x --+ 的值等于零的x 是( ) A.6 B.-1或6 C.-1 D.-68.若关于y 的一元二次方程ky 2-4y-3=3y+4有实根,则k 的取值范围是( ) A.k>-74 B.k ≥-74 且k ≠0 C.k ≥-74 D.k>74且k ≠0 9.已知方程22=+x x ，则下列说中，正确的是（ ）（A ）方程两根和是1 （B ）方程两根积是2（C ）方程两根和是1- （D ）方程两根积比两根和大210.某超市一月份的营业额为200万元,已知第一季度的总营业额共1000万元, 如果平均每月增长率为x,则由题意列方程应为( )A.200(1+x)2=1000B.200+200×2x=1000C.200+200×3x =1000D.200[1+(1+x)+(1+x)2]=1000二、填空题:(每小题4分,共20分)11.用______法解方程3(x-2)2=2x-4比较简便.12.如果2x 2+1与4x 2-2x-5互为相反数,则x 的值为________.13.22____)(_____3-=+-x x x14.若一元二次方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)有一个根为-1,则a 、b 、c 的关系是______.15.已知方程3ax 2-bx-1=0和ax 2+2bx-5=0,有共同的根-1, 则a= ______, b=______.16.一元二次方程x 2-3x-1=0与x 2-x+3=0的所有实数根的和等于____.17.已知3-2是方程x 2+mx+7=0的一个根,则m=________,另一根为_______.18.已知两数的积是12,这两数的平方和是25, 以这两数为根的一元二次方程是___________.19.已知x x 12，是方程x x 2210--=的两个根，则1112x x +等于__________.20.关于x 的二次方程20x mx n ++=有两个相等实根，则符合条件的一组,m n 的实数值可以是m = ，n = .三、用适当方法解方程：（每小题5分，共10分）21.22(3)5x x -+= 22.22330x x ++=四、列方程解应用题：（每小题7分，共21分）23.某电视机厂计划用两年的时间把某种型号的电视机的成本降低36%, 若每年下降的百分数相同,求这个百分数.24.如图所示，在宽为20m ，长为32m 的矩形耕地上，修筑同样宽的三条道路，（互相垂直），把耕地分成大小不等的六块试验田，要使试验田的面积为570m 2，道路应为多宽？25.某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件赢利40元，为了扩大销售，增加赢利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件。

专题复习】九年级数学上册一元二次方程解法练习100题(含答案)1.解方程：$2x^2-8x+3=0$，使用公式法。

2.解方程：$(2x-1)(x+3)=43$。

3.解方程：$4y^2+4y-1=-10-8y$。

4.解方程：$(x-1)(x-3)=8$。

5.解方程：$5x^2-8x+2=0$。

6.解方程：$x(x-3)=10$。

7.解方程：$x^2-2=-2x$。

8.解方程：$3x(7-x)=18-x(3x-15)$。

9.解方程：$4x(3x-2)=6x-4$。

10.解方程：$x^2+12x+27=0$。

11.解方程：$2x^2-4x+1=0$，使用配方法。

12.解方程：$4(x-1)^2=9(x-5)$。

13.解方程：$x^2-6=-2(x+1)$。

14.解方程：$x^2+4x-5=0$。

15.解方程：$2x^2+5x-1=0$。

16.解方程：$3(x-2)^2=x(x-2)$。

17.解方程：$2x^2-3x-2=0$。

18.解方程：$2x^2-7x+1=0$。

19.解方程：$x^2-6x-4=0$，使用配方法。

20.解方程：$x^2-4x-3=0$。

21.解方程：$x^2-5x+2=0$。

22.解方程：$x^2-4x+8=0$。

23.解方程：$3x^2-6x+4=0$。

24.解方程：$(x-2)(x-3)=12$。

25.解方程：$(x-3)(x+7)=-9$。

26.解方程：$3x^2+5(2x+1)=0$，使用公式法。

27.解方程：$x^2-12x-4=0$。

28.解方程：$(x-5)(x-6)=x-5$。

29.解方程：$x^2-8x-10=0$。

30.解方程：$x(x-3)=15-5x$。

31.解方程：$5x(x-3)=(x+1)(x-3)$。

32.解方程：$x^2+8x+15=0$。

33.解方程：$25x^2+10x+1=0$。

34.解方程：$x^2+6x-7=0$，使用配方法。

35.解方程：$x^2+4x-5=0$，使用配方法。

中考数学专题复习一元二次方程组的综合题附详细答案一、一元二次方程1．在等腰三角形△ABC 中，三边分别为a 、b 、c ，其中ɑ＝4，若b 、c 是关于x 的方程x 2﹣（2k +1）x +4（k ﹣12）＝0的两个实数根，求△ABC 的周长． 【答案】△ABC 的周长为10． 【解析】 【分析】分a 为腰长及底边长两种情况考虑：当a=4为腰长时，将x=4代入原方程可求出k 值，将k 值代入原方程可求出底边长，再利用三角形的周长公式可求出△ABC 的周长；当a=4为底边长时，由根的判别式△=0可求出k 值，将其代入原方程利用根与系数的关系可求出b+c 的值，由b+c=a 可得出此种情况不存在．综上即可得出结论． 【详解】当a ＝4为腰长时，将x ＝4代入原方程，得：()214421402k k ⎛⎫-++-= ⎪⎝⎭解得：52k = 当52k =时，原方程为x 2﹣6x +8＝0， 解得：x 1＝2，x 2＝4，∴此时△ABC 的周长为4+4+2＝10；当a ＝4为底长时，△＝[﹣（2k +1）]2﹣4×1×4（k ﹣12）＝（2k ﹣3）2＝0， 解得：k ＝32， ∴b +c ＝2k +1＝4． ∵b +c ＝4＝a ，∴此时，边长为a ，b ，c 的三条线段不能围成三角形． ∴△ABC 的周长为10． 【点睛】本题考查了根的判别式、根与系数的关系、一元二次方程的解、等腰三角形的性质以及三角形的三边关系，分a 为腰长及底边长两种情况考虑是解题的关键．2．已知关于x 的二次函数22(21)1y x k x k =--++的图象与x 轴有2个交点. （1）求k 的取值范围；（2）若图象与x 轴交点的横坐标为12,x x ，且它们的倒数之和是32-，求k 的值. 【答案】（1）k ＜-34；（2）k=﹣1【解析】试题分析：（1）根据交点得个数，让y=0判断出两个不相等的实数根，然后根据判别式△= b 2-4ac 的范围可求解出k 的值；（2）利用y=0时的方程，根据一元二次方程的根与系数的关系，可直接列式求解可得到k 的值.试题解析：（1）∵二次函数y=x 2-（2k-1）x+k 2+1的图象与x 轴有两交点，∴当y=0时，x 2-（2k-1）x+k 2+1=0有两个不相等的实数根． ∴△=b 2-4ac=[-（2k-1）]2-4×1×（k 2+1）＞0． 解得k ＜-34； （2）当y=0时，x 2-（2k-1）x+k 2+1=0． 则x 1+x 2=2k-1，x 1•x 2=k 2+1，∵=== 32-， 解得：k=-1或k= 13-（舍去）， ∴k=﹣13．由图看出，用水量在m 吨之内，水费按每吨1.7元收取，超过m 吨，需要加收．4．如图，在Rt ABC 中，90B =∠，10AC cm =，6BC cm =，现有两点P 、Q 的分别从点A 和点B 同时出发，沿边AB ，BC 向终点C 移动．已知点P ，Q 的速度分别为2/cm s ，1/cm s ，且当其中一点到达终点时，另一点也随之停止移动，设P ，Q 两点移动时间为xs ．问是否存在这样的x ，使得四边形APQC 的面积等于216cm ？若存在，请求出此时x 的值；若不存在，请说明理由．【答案】假设不成立，四边形APQC 面积的面积不能等于216cm ，理由见解析 【解析】 【分析】根据题意，列出BQ 、PB 的表达式，再列出方程，判断根的情况. 【详解】解：∵90B ∠=，10AC =，6BC =， ∴8AB =．∴BQ x =，82PB x =-；假设存在x 的值，使得四边形APQC 的面积等于216cm ， 则()1168821622x x ⨯⨯--=， 整理得：2480x x -+=， ∵1632160=-=-<，∴假设不成立，四边形APQC 面积的面积不能等于216cm ． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，熟练掌握方程根的判别方法、理解方程的意义是本题的解题关键.5．解方程：(x ＋1)(x －1)＝x.【答案】x 1，x 2 【解析】试题分析：根据方程的特点，根据平方差公式化为一般式，然后可根据公式法求解即可.试题解析：(x ＋1)(x －1)＝x 2-2x-1=0∵a=1，b=-c=-1 ∴△=b 2-4ac=8+4=12＞0∴∴x 1x 2.6．阅读下面的例题，范例：解方程x 2﹣|x|﹣2=0，解：（1）当x≥0时，原方程化为x 2﹣x ﹣2=0，解得：x 1=2，x 2=﹣1（不合题意，舍去）． （2）当x ＜0时，原方程化为x 2+x ﹣2=0，解得：x 1=﹣2，x 2=1（不合题意，舍去）．∴原方程的根是x 1=2，x 2=﹣2请参照例题解方程x 2﹣|x ﹣10|﹣10=0．【答案】x 1=4，x 2=﹣5． 【解析】 【分析】分为两种情况：当x≥10时，原方程化为x 2﹣x=0，当x ＜10时，原方程化为x 2+x ﹣20=0，分别求出方程的解即可． 【详解】当x≥10时，原方程化为x 2﹣x+10﹣10=0，解得x 1=0（不合题意，舍去），x 2=1（不合题意，舍去）；当x＜10时，原方程化为x2+x﹣20=0，解得x3=4，x4=﹣5，故原方程的根是x1=4，x2=﹣5．【点睛】本题考查了解一元二次方程——因式分解法，解此题的关键是能正确去掉绝对值符号．7．关于x的一元二次方程．（1）.求证：方程总有两个实数根；（2）.若方程的两个实数根都是正整数，求m的最小值．【答案】（1）证明见解析；（2）-1.【解析】【分析】（1）根据一元二次方程根的个数情况与根的判别式关系可以证出方程总有两个实数根. (2)根据题意利用十字相乘法解方程，求得，再根据题意两个根都是正整数，从而可以确定的取值范围，即求出吗的最小值.【详解】(1)证明：依题意，得．，∴．∴方程总有两个实数根．由．可化为：得，∵方程的两个实数根都是正整数，∴．∴．∴的最小值为．【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式与根的个数关系和利用十字相乘法解含参数的方程，熟知根的判别式大于零方程有两个不相等的实数根，判别式等于零有两个相等的实数根或只有一个实数根，判别式小于零无根和十字相乘法的法则是解题关键.8．如图，要利用一面墙(墙长为25米)建羊圈，用100米的围栏围成总面积为400平方米的三个大小相同的矩形羊圈，求羊圈的边长AB，BC各为多少米？【答案】羊圈的边长AB，BC分别是20米、20米.【解析】试题分析：设AB的长度为x米，则BC的长度为（100﹣4x）米；然后根据矩形的面积公式列出方程．试题解析：设AB的长度为x米，则BC的长度为（100﹣4x）米．根据题意得（100﹣4x）x=400，解得 x1=20，x2=5．则100﹣4x=20或100﹣4x=80．∵80＞25，∴x2=5舍去．即AB=20，BC=20考点：一元二次方程的应用．9．工人师傅用一块长为10dm，宽为6dm的矩形铁皮制作一个无盖的长方体容器，需要将四角各裁掉一个正方形．（厚度不计）求长方体底面面积为12dm2时，裁掉的正方形边长多大？【答案】裁掉的正方形的边长为2dm，底面积为12dm2.【解析】试题分析：设裁掉的正方形的边长为xdm，则制作无盖的长方体容器的长为（10-2x）dm，宽为（6-2x）dm，根据长方体底面面积为12dm2列出方程，解方程即可求得裁掉的正方形边长.试题解析：设裁掉的正方形的边长为xdm，由题意可得(10-2x)(6-2x)=12，即x2-8x+12=0，解得x=2或x=6(舍去)，答：裁掉的正方形的边长为2dm，底面积为12dm2.10．关于x的一元二次方程(k-2)x2-4x+2=0有两个不相等的实数根．(1)求k的取值范围；(2)如果k是符合条件的最大整数，且一元二次方程x2-4x+k=0与x2+mx-1=0有一个相同的根，求此时m的值．【答案】（1）k＜4且k≠2.（2）m=0或m=8 3 .【解析】分析：（1）由题意，根据一元二次方程的定义和一元二次方程根的判别式列出关于k 的不等式组，解不等式组即可求得对应的k 的取值范围；（2）由（1）得到符合条件的k 的值，代入原方程，解方程求得x 的值，然后把所得x 的值分别代入方程x 2+mx -1=0即可求得对应的m 的值.详解：(1)∵一元二次方程(k-2)x 2-4x+2=0有两个不相等的实数根， ∴△=16-8(k-2)=32-8k ＞0且k-2≠0. 解得：k ＜4且k≠2.(2)由(1)可知，符合条件的：k=3，将k=3代入原方程得：方程x 2-4x+3=0，解此方程得：x 1=1，x 2=3.把x=1时，代入方程x 2+mx-1=0，有1+m-1=0，解得m=0. 把x=3时，代入方程x 2+mx-1=0，有9+3m-1=0，解得m=83-.∴m=0或m=83-.点睛：（1）知道“在一元二次方程20?(0)ax bx c a ++=≠中，当△=240b ac ->时，方程有两个不相等的实数根；当△=240b ac -=时，方程有两个相等的实数根；△=240b ac -<时，方程没有实数根”是正确解答第1小题的关键；（2）解第2小题时，需注意相同的根存在两种情况，解题时不要忽略了其中任何一种情况.11．已知：关于x 的一元二次方程221(1)204x m x m +++-=.（1）若此方程有两个实数根，求没m 的最小整数值； （2）若此方程的两个实数根为1x ，2x ，且满足22211221184x x x m x +=--，求m 的值. 【答案】（1）-4；（2）m=3 【解析】 【分析】（1）利用根的判别式的意义得到△≥0，然后解不等式得到m 的范围，再在此范围内找出最小整数值即可；（2）利用根与系数的关系得到12(1)x x m +=-+，212124x x m =-，然后解关于m 的一元二次方程，即可确定m 的值． 【详解】解：（1）∵221(1)204x m x m +++-=有两个实数根，∴221(1)41(2)04m m ∆=+-⨯⨯-≥，∴290m +≥， ∴92m ≥-； ∴m 的最小整数值为：4m =-；（2）由根与系数的关系得：12(1)x x m +=-+，212124x x m =-， 由22212121184x x x x m ++=-得： ()22211121844m m m ⎛⎫⎡⎤-+--=- ⎪⎣⎦⎝⎭∴22150m m +-=， 解得：3m =或5m =-；∵92m ≥-， ∴3m =.【点睛】本题考查了根与系数的关系：若x 1，x 2是一元二次方程ax 2+bx+c=0（a≠0）的两根时，则12bx x a +=-，12c x x a=．也考查了根的判别式．解题的关键是熟练掌握根与系数的关系和根的判别式.12．解方程：（x 2+x ）2+（x 2+x ）＝6． 【答案】x 1＝﹣2，x 2＝1 【解析】 【分析】设x 2+x ＝y ，将原方程变形整理为y 2+y ﹣6＝0，求得y 的值，然后再解一元二次方程即可．【详解】解：设x 2+x ＝y ，则原方程变形为y 2+y ﹣6＝0，解得y 1＝﹣3，y 2＝2．①当y ＝2时，x 2+x ＝2，即x 2+x ﹣2＝0， 解得x 1＝﹣2，x 2＝1；②当y ＝﹣3时，x 2+x ＝﹣3，即x 2+x+3＝0， ∵△＝12﹣4×1×3＝1﹣12＝﹣11＜0， ∴此方程无解；∴原方程的解为x 1＝﹣2，x 2＝1． 【点睛】本题考查了换元法和一元二次方程的解法，设出元化简原方程是解答本题的关键.13．阅读材料:若22228160m mn n n -+-+=，求m 、n 的值.解:22228160m mn n n -+-+=，222(2)(816)0m mn n n n ∴-++-+= 22()(4)0m n n ∴-+-=， 0,40m n n ∴-=-=， 4,4n m ∴==.根据你的观察，探究下面的问题:（1）己知2222210x xy y y ++++=，求x y -的值.（2）已知△ABC 的三边长a 、b 、c 都是正整数，且满足2268250a b a b +--+=，求边c 的最大值.（3） 若己知24,6130a b ab c c -=+-+=，求a b c -+的值. 【答案】（1）2（2）6（3）7 【解析】 【分析】（1）将多项式第三项分项后，结合并利用完全平方公式化简，根据两个非负数之和为0，两非负数分别为0求出x 与y 的值，即可求出x ﹣y 的值；（2）将已知等式25分为9+16，重新结合后，利用完全平方公式化简，根据两个非负数之和为0，两非负数分别为0求出a 与b 的值，根据边长为正整数且三角形三边关系即可求出c 的长；（3）由a ﹣b =4，得到a =b +4，代入已知的等式中重新结合后，利用完全平方公式化简，根据两个非负数之和为0，两非负数分别为0求出b 与c 的值，进而求出a 的值，即可求出a ﹣b +c 的值． 【详解】（1）∵x 2+2xy +2y 2+2y +1=0∴（x 2+2xy +y 2）+（y 2+2y +1）=0 ∴（x +y ）2+（y +1）2=0 ∴x +y =0 y +1=0 解得：x =1，y =﹣1 ∴x ﹣y =2；（2）∵a 2+b 2﹣6a ﹣8b +25=0∴（a 2﹣6a +9）+（b 2﹣8b +16）=0 ∴（a ﹣3）2+（b ﹣4）2=0 ∴a ﹣3=0，b ﹣4=0 解得：a =3，b =4∵三角形两边之和＞第三边∴c ＜a +b ，c ＜3+4，∴c ＜7．又∵c 是正整数，∴△ABC 的最大边c 的值为4，5，6，∴c 的最大值为6；（3）∵a ﹣b =4，即a =b +4，代入得：（b +4）b +c 2﹣6c +13=0，整理得：（b 2+4b +4）+（c 2﹣6c +9）=（b +2）2+（c ﹣3）2=0，∴b +2=0，且c ﹣3=0，即b =﹣2，c =3，a =2，则a ﹣b+c=2﹣（﹣2）+3=7．故答案为7．【点睛】本题考查了因式分解的应用，以及非负数的性质，熟练掌握完全平方公式是解答本题的关键．14．如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝6 cm，BC＝8 cm，若点P从点A沿AB边向B点以1 cm/s的速度移动，点Q从B点沿BC边向点C以2 cm/s的速度移动，两点同时出发．(1)问几秒后，△PBQ的面积为8cm²？(2)出发几秒后，线段PQ的长为cm ?(3)△PBQ的面积能否为10 cm2？若能，求出时间；若不能，请说明理由．【答案】(1) 2或4秒 cm；(3)见解析.【解析】【分析】（1）由题意，可设P、Q经过t秒，使△PBQ的面积为8cm2，则PB=6-t，BQ=2t，根据三角形面积的计算公式，S△PBQ=12BP×BQ，列出表达式，解答出即可；（2）设经过x秒后线段PQ的长为cm，依题意得AP=x，BP=6-x，BQ=2x，利用勾股定理列方程求解；（3）将△PBQ的面积表示出来，根据△=b2-4ac来判断．【详解】(1)设P，Q经过t秒时，△PBQ的面积为8 cm2，则PB＝6－t，BQ＝2t，∵∠B＝90°，∴12(6－t)× 2t＝8，解得t1＝2，t2＝4，∴当P，Q经过2或4秒时，△PBQ的面积为8 cm2；(2)设x秒后，PQ＝ cm，由题意，得(6－x)2＋4x2＝32，解得x1＝25，x2＝2，故经过25秒或2秒后，线段PQ的长为 cm；(3)设经过y秒，△PBQ的面积等于10 cm2，S △PBQ ＝12×(6－y)× 2y ＝10， 即y 2－6y ＋10＝0，∵Δ＝b 2－4ac ＝36－4× 10＝－4＜ 0， ∴△PBQ 的面积不会等于10 cm 2. 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，熟练的掌握一元二次方程的应用是本题解题的关键.15．阅读材料：各类方程的解法求解一元一次方程，根据等式的基本性质，把方程转化为x=a 的形式。

一、一元二次方程 真题与模拟题分类汇编（难题易错题） 1．关于x 的方程x 2﹣2（k ﹣1）x +k 2＝0有两个实数根x 1、x 2． （1）求k 的取值范围；（2）若x 1+x 2＝1﹣x 1x 2，求k 的值．【答案】（1）12k ≤；（2）3k = 【解析】试题分析：（1）方程有两个实数根，可得240b ac ∆=-≥，代入可解出k 的取值范围； （2）由韦达定理可知，()2121221,x x k x x k +=-=，列出等式，可得出k 的值．试题解析：(1)∵Δ＝4(k －1)2－4k 2≥0，∴－8k ＋4≥0，∴k ≤12； (2)∵x 1＋x 2＝2(k －1)，x 1x 2＝k 2，∴2(k －1)＝1－k 2， ∴k 1＝1，k 2＝－3. ∵k ≤12，∴k ＝－3.2．解方程：(x+1)(x ﹣3)=﹣1． 【答案】x 1=1+3，x 2=1﹣3 【解析】试题分析：根据方程的特点，先化为一般式，然后利用配方法求解即可. 试题解析：整理得：x 2﹣2x=2，配方得：x 2﹣2x+1=3，即（x ﹣1）2=3， 解得：x 1=1+3，x 2=1﹣3．3．已知x 1、x 2是关于x 的﹣元二次方程（a ﹣6）x 2+2ax+a=0的两个实数根． （1）求a 的取值范围；（2）若（x 1+1）（x 2+1）是负整数，求实数a 的整数值． 【答案】（1）a≥0且a≠6;（2）a 的值为7、8、9或12． 【解析】 【分析】（1）根据一元二次方程的定义及一元二次方程的解与判别式之间的关系解答即可；（2）根据根与系数的关系可得x 1+x 2=﹣26a a + ，x 1x 2=6aa + ，由（x 1+1）（x 2+1）=x 1x 2+x 1+x 2+1=﹣66a - 是是负整数，即可得66a -是正整数．根据a 是整数，即可求得a 的值2． 【详解】（1）∵原方程有两实数根，∴，∴a≥0且a≠6．（2）∵x 1、x 2是关于x 的一元二次方程（a ﹣6）x 2+2ax+a=0的两个实数根， ∴x 1+x 2=﹣，x 1x 2=，∴（x 1+1）（x 2+1）=x 1x 2+x 1+x 2+1=﹣+1=﹣．∵（x 1+1）（x 2+1）是负整数， ∴﹣是负整数，即是正整数．∵a 是整数，∴a ﹣6的值为1、2、3或6， ∴a 的值为7、8、9或12． 【点睛】本题考查了根的判别式和根与系数的关系，能根据根的判别式和根与系数的关系得出关于a 的不等式是解此题的关键．4．发现思考：已知等腰三角形ABC 的两边分别是方程x 2﹣7x+10=0的两个根，求等腰三角形ABC 三条边的长各是多少？下边是涵涵同学的作业，老师说他的做法有错误，请你找出错误之处并说明错误原因． 涵涵的作业解：x 2﹣7x+10=0 a=1 b=﹣7 c=10 ∵b 2﹣4ac=9＞0∴x=2b b 4ac 2a--=732±∴x 1=5，x 2=2所以，当腰为5，底为2时，等腰三角形的三条边为5，5，2． 当腰为2，底为5时，等腰三角形的三条边为2，2，5． 探究应用：请解答以下问题：已知等腰三角形ABC 的两边是关于x 的方程x 2﹣mx+m 2﹣14=0的两个实数根． （1）当m=2时，求△ABC 的周长； （2）当△ABC 为等边三角形时，求m 的值．【答案】错误之处及错误原因见解析；（1）当m=2时，△ABC 的周长为72；（2）当△ABC 为等边三角形时，m 的值为1． 【解析】【分析】根据三角形三边关系可以得到等腰三角形的三条边不能为2、2、5． （1）先解方程，再确定边，从而求周长；（2）是等边三角形，则两根相等，即△=（﹣m）2﹣4（m2﹣14）=m2﹣2m+1，可求得m.【详解】解：错误之处：当2为腰，5为底时，等腰三角形的三条边为2、2、5．错误原因：此时不能构成三角形．（1）当m=2时，方程为x2﹣2x+34=0，∴x1=12，x2=32．当12为腰时，12+12<32，∴12、12、32不能构成三角形；当32为腰时，等腰三角形的三边为32、32、12，此时周长为32+32+12=72．答：当m=2时，△ABC的周长为72．（2）若△ABC为等边三角形，则方程有两个相等的实数根，∴△=（﹣m）2﹣4（m2﹣14）=m2﹣2m+1=0，∴m1=m2=1．答：当△ABC为等边三角形时，m的值为1．【点睛】本题考核知识点：二元一次方程的运用.解题关键点：熟练掌握二元一次方程的解法和等腰三角形性质.5．按上述方案，一家酒店四、五两月用水量及缴费情况如下表所示，那么，这家酒店四、五两月的水费分别是按哪种方案计算的？并求出的值.月份用水量（吨）水费（元）四月3559.5五月80151【答案】6．由图看出，用水量在m 吨之内，水费按每吨1.7元收取，超过m 吨，需要加收．7．（问题）如图①，在a×b×c （长×宽×高，其中a ，b ，c 为正整数）个小立方块组成的长方体中，长方体的个数是多少？ （探究）探究一：（1）如图②，在2×1×1个小立方块组成的长方体中，棱AB 上共有1+2=232⨯=3条线段，棱AC ，AD 上分别只有1条线段，则图中长方体的个数为3×1×1=3． （2）如图③，在3×1×1个小立方块组成的长方体中，棱AB 上共有1+2+3=342⨯=6条线段，棱AC ，AD 上分别只有1条线段，则图中长方体的个数为6×1×1=6． （3）依此类推，如图④，在a×1×1个小立方块组成的长方体中，棱AB 上共有1+2+…+a=()a a 12+线段，棱AC ，AD 上分别只有1条线段，则图中长方体的个数为______． 探究二：（4）如图⑤，在a×2×1个小立方块组成的长方体中，棱AB 上有()a a 12+条线段，棱AC上有1+2=232⨯=3条线段，棱AD 上只有1条线段，则图中长方体的个数为()a a 12+×3×1=()3a a 12+．（5）如图⑥，在a×3×1个小立方块组成的长方体中，棱AB 上有()a a 12+条线段，棱AC上有1+2+3=342⨯=6条线段，棱AD 上只有1条线段，则图中长方体的个数为______． （6）依此类推，如图⑦，在a×b×1个小立方块组成的长方体中，长方体的个数为______．探究三：（7）如图⑧，在以a×b×2个小立方块组成的长方体中，棱AB 上有()a a 12+条线段，棱AC 上有()b b 12+条线段，棱AD 上有1+2=232⨯=3条线段，则图中长方体的个数为()3a a 12+×()b b 12+×3=()()3ab a 1b 14++．（8）如图⑨，在a×b×3个小立方块组成的长方体中，棱AB 上有()a a 12+条线段，棱AC上有()b b 12+条线段，棱AD 上有1+2+3=342⨯=6条线段，则图中长方体的个数为______．（结论）如图①，在a×b×c 个小立方块组成的长方体中，长方体的个数为______． （应用）在2×3×4个小立方块组成的长方体中，长方体的个数为______． （拓展）如果在若干个小立方块组成的正方体中共有1000个长方体，那么组成这个正方体的小立方块的个数是多少？请通过计算说明你的结论．【答案】探究一：（3）()a a12+；探究二：（5）3a（a+1）；（6）()()ab a1b14++；探究三：（8）()()3ab a1b12++；【结论】：①()()()abc a1b1c18+++；【应用】：180；【拓展】：组成这个正方体的小立方块的个数是64，见解析.【解析】【分析】（3）根据规律，求出棱AB，AC，AD上的线段条数，即可得出结论；（5）根据规律，求出棱AB，AC，AD上的线段条数，即可得出结论；（6）根据规律，求出棱AB，AC，AD上的线段条数，即可得出结论；（8）根据规律，求出棱AB，AC，AD上的线段条数，即可得出结论；(结论)根据规律，求出棱AB，AC，AD上的线段条数，即可得出结论；(应用)a=2，b=3，c=4代入(结论)中得出的结果，即可得出结论；(拓展)根据(结论)中得出的结果，建立方程求解，即可得出结论．【详解】解：探究一、（3）棱AB上共有()a a12+线段，棱AC，AD上分别只有1条线段，则图中长方体的个数为()a a12+×1×1=()a a12+，故答案为() a a12+；探究二：（5）棱AB上有()a a12+条线段，棱AC上有6条线段，棱AD上只有1条线段，则图中长方体的个数为()a a12+×6×1=3a（a+1），故答案为3a（a+1）；（6）棱AB上有()a a12+条线段，棱AC上有()b b12+条线段，棱AD上只有1条线段，则图中长方体的个数为()a a12+×()b b12+×1=()()ab a1b14++，故答案为()() ab a1b14++；探究三：（8）棱AB上有()a a12+条线段，棱AC上有()b b12+条线段，棱AD上有6条线段，则图中长方体的个数为()a a12+×()b b12+×6=()()3ab a1b12++，故答案为()()3ab a 1b 12++；(结论)棱AB 上有()a a 12+ 条线段，棱AC 上有()b b 12+条线段，棱AD 上有()c c 12+条线段，则图中长方体的个数为()a a 12+×()b b 12+×()c c 12+=()()()abc a 1b 1c 18+++，故答案为()()()abc a 1b 1c 18+++；(应用)由(结论)知，()()()abc a 1b 1c 18+++，∴在2×3×4个小立方块组成的长方体中，长方体的个数为()()()2342131418⨯⨯⨯+⨯+⨯+=180，故答案为为180；拓展：设正方体的每条棱上都有x 个小立方体，即a=b=c=x ，由题意得33(1)8x x +=1000， ∴[x （x+1）]3=203， ∴x （x+1）=20，∴x 1=4，x 2=-5（不合题意，舍去） ∴4×4×4=64所以组成这个正方体的小立方块的个数是64． 【点睛】解此题的关键在于根据已知得出规律，题目较好，但有一定的难度，是一道比较容易出错的题目．8．阅读下面的例题， 范例：解方程x 2﹣|x|﹣2=0，解：（1）当x≥0时，原方程化为x 2﹣x ﹣2=0，解得：x 1=2，x 2=﹣1（不合题意，舍去）． （2）当x ＜0时，原方程化为x 2+x ﹣2=0，解得：x 1=﹣2，x 2=1（不合题意，舍去）． ∴原方程的根是x 1=2，x 2=﹣2请参照例题解方程x 2﹣|x ﹣10|﹣10=0． 【答案】x 1=4，x 2=﹣5． 【解析】 【分析】分为两种情况：当x≥10时，原方程化为x 2﹣x=0，当x ＜10时，原方程化为x 2+x ﹣20=0，分别求出方程的解即可．【详解】当x≥10时，原方程化为x 2﹣x+10﹣10=0，解得x 1=0（不合题意，舍去），x 2=1（不合题意，舍去）；当x ＜10时，原方程化为x 2+x ﹣20=0，解得x 3=4，x 4=﹣5， 故原方程的根是x 1=4，x 2=﹣5． 【点睛】本题考查了解一元二次方程——因式分解法，解此题的关键是能正确去掉绝对值符号．9．已知关于x 的一元二次方程x 2﹣mx ﹣2＝0…①（1）若x ＝﹣1是方程①的一个根，求m 的值和方程①的另一根； （2）对于任意实数m ，判断方程①的根的情况，并说明理由．【答案】（1）方程的另一根为x=2；(2)方程总有两个不等的实数根，理由见解析. 【解析】试题分析：（1）直接把x=-1代入方程即可求得m 的值，然后解方程即可求得方程的另一个根；（2）利用一元二次方程根的情况可以转化为判别式△与0的关系进行判断． (1)把x=-1代入得1+m-2=0，解得m=1 ∴2--2=0．∴∴另一根是2； (2)∵，∴方程①有两个不相等的实数根．考点：本题考查的是根的判别式，一元二次方程的解的定义，解一元二次方程点评：解答本题的关键是熟练掌握一元二次方程根的情况与判别式△的关系：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根10．已知关于x 的方程（a ﹣1）x 2+2x +a ﹣1＝0． （1）若该方程有一根为2，求a 的值及方程的另一根；（2）当a 为何值时，方程的根仅有唯一的值？求出此时a 的值及方程的根． 【答案】（1）a=15，方程的另一根为12；（2）答案见解析. 【解析】 【分析】（1）把x=2代入方程，求出a 的值，再把a 代入原方程，进一步解方程即可；（2）分两种情况探讨：①当a=1时，为一元一次方程；②当a≠1时，利用b 2－4ac ＝0求出a 的值，再代入解方程即可． 【详解】（1）将x ＝2代入方程2(a 1)x 2x a 10-++-=，得4(a 1)4a 10-++-=，解得：a ＝15．将a＝15代入原方程得24x2054x5-+-=，解得：x1＝12，x2＝2．∴a＝15，方程的另一根为12；（2）①当a＝1时，方程为2x＝0，解得：x＝0.②当a≠1时，由b2－4ac＝0得4－4(a－1)2＝0，解得：a＝2或0．当a＝2时，原方程为：x2＋2x＋1＝0，解得：x1＝x2＝－1；当a＝0时，原方程为：－x2＋2x－1＝0，解得：x1＝x2＝1．综上所述，当a＝1，0，2时，方程仅有一个根，分别为0，1，－1.考点：1.一元二次方程根的判别式；2.解一元二次方程；3.分类思想的应用.。

一元二次方程一、选择题1．方程x2﹣2x﹣5=0，x3=x，y2﹣3x=2，x2=0，其中一元二次方程的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个2． x2﹣6x=1，左边配成一个完全平方式得（）A．（x﹣3）2=10 B．（x﹣3）2=9 C．（x﹣6）2=8 D．（x﹣6）2=103．方程（x﹣1）（x+3）=5的根为（）A．x1=﹣1，x2=﹣3 B．x1=1，x2=﹣3 C．x1=﹣2，x2=4 D．x1=2，x2=﹣44．若关于x的方程3x2﹣2x+m=0的一个根是﹣1，则m的值为（）A．﹣5 B．﹣1 C．1 D．55．用公式法解﹣x2+3x=1时，先求出a、b、c的值，则a、b、c依次为（）A．﹣1，3，﹣1 B．1，﹣3，﹣1 C．﹣1，﹣3，﹣1 D．1，﹣3，16．方程x2=0与3x2=3x的解为（）A．都是x=0B．有一个相同，且这个相同的解为x=0C．都不相同D．以上答案都不对7．已知x2﹣8xy+15y2=0，那么x是y的（）倍．A．3 B．5 C．3或5 D．2或48．已知x=1是方程x2﹣ax+1=0的根，化简﹣得（）A．1 B．0 C．﹣1 D．29．方程x（x+1）=x+1的根为（）A．﹣1 B．1C．﹣1或1 D．以上答案都不对10．某产品的成本两年降低了75%，平均每年递降（）A．50% B．25%C．37.5% D．以上答案都不对二、填空题11．方程3x2﹣5x=0的二次项系数是．12．5x2+5=26x化成一元二次方程的一般形式为．13．一元二次方程ax2+bx+c=0，若有一个根为﹣1，则a﹣b+c= ；如果a+b+c=0，则有一根为．14．一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有一根为零的条件是．15．关于x的方程2x﹣3=0是一元二次方程，则m= ．三、解答题16．用适当的方法解方程：（1）2x2﹣4x+1=0；（2）x2﹣5x﹣6=0；（3）（x﹣2）（x﹣3）=12；（4）9（x﹣3）2﹣4（x﹣2）2=0．17．用配方法推导一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的求根公式．18．已知下列n（n为正整数）个关于x的一元二次方程：x2﹣1=0，x2+x﹣2=0，x2+2x﹣3=0，…x2+（n﹣1）x﹣n=0．（1）请解上述一元二次方程；（2）请你指出这n个方程的根具有什么共同特点，写出一条即可．19．如图，有33米长的竹篱笆，要围成一边（墙长15米）面积为130平方米的长方形鸡场，求鸡场的长和宽各为多少？一元二次方程参考答案与试题解析一、选择题1．方程x2﹣2x﹣5=0，x3=x，y2﹣3x=2，x2=0，其中一元二次方程的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个【考点】一元二次方程的定义．【分析】直接根据一元二次方程的定义可得到在所给的方程中x2﹣2x﹣5=0，x2=0是一元二次方程．【解答】解：方程x2﹣2x﹣5=0，x3=x，y2﹣3x=2，x2=0，其中一元二次方程是x2﹣2x﹣5=0，x2=0．故选B．【点评】本题考查了一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为2的整式方程叫一元二次方程．2．x2﹣6x=1，左边配成一个完全平方式得（）A．（x﹣3）2=10 B．（x﹣3）2=9 C．（x﹣6）2=8 D．（x﹣6）2=10【考点】解一元二次方程﹣配方法．【专题】计算题．【分析】给方程左右两边都加上9，左边化为完全平方式，右边合并为一个常数，即可得到正确的选项．【解答】解：x2﹣6x=1，方程左右两边都加上9得：x2﹣6x+9=10，即（x﹣3）2=10．故选A【点评】此题考查了解一元二次方程﹣配方法，利用此方法解方程时，首先将方程的二次项系数化为1，同时将常数项移到方程右边，然后方程左右两边都加上一次项系数一半的平方，左边化为完全平方式，右边合并为一个非负常数，开方转化为两个一元一次方程来求解．3．方程（x﹣1）（x+3）=5的根为（）A．x1=﹣1，x2=﹣3 B．x1=1，x2=﹣3 C．x1=﹣2，x2=4 D．x1=2，x2=﹣4【考点】解一元二次方程﹣因式分解法．【分析】首先把方程转化为一般形式，再利用因式分解法即可求解．【解答】解：（x﹣1）（x+3）=5，x2+3x﹣x﹣3﹣5=0，x2+2x﹣8=0，（x﹣2）（x+4）=0，解得x1=2，x2=﹣4．故选D．【点评】本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法．4．若关于x的方程3x2﹣2x+m=0的一个根是﹣1，则m的值为（）A．﹣5 B．﹣1 C．1 D．5【考点】一元二次方程的解．【专题】方程思想．【分析】根据一元二次方程解的定义，将x=1代入原方程，然后解关于m的一元一次方程即可．【解答】解：∵关于x的方程3x2﹣2x+m=0的一个根是﹣1，∴当x=﹣1时，由原方程，得3+2+m=0，解得m=﹣5；故选A．【点评】本题考查的是一元二次方程的根即方程的解的定义．本题逆用一元二次方程解的定义易得出m的值．5．用公式法解﹣x2+3x=1时，先求出a、b、c的值，则a、b、c依次为（）A．﹣1，3，﹣1 B．1，﹣3，﹣1 C．﹣1，﹣3，﹣1 D．1，﹣3，1【考点】解一元二次方程﹣公式法．【分析】先移项，化成一般形式，再得出答案即可．【解答】解：∵﹣x2+3x=1，∴﹣x2+3x﹣1=0，∴x2﹣3x+1=0，∴a=﹣1，b=3，c=﹣1（或a=1，b=﹣3，c=1），【点评】本题考查了解一元二次方程和一元二次方程的一般形式的应用，解此题的关键是能把方程化成一般形式．6．方程x2=0与3x2=3x的解为（）A．都是x=0B．有一个相同，且这个相同的解为x=0C．都不相同D．以上答案都不对【考点】解一元二次方程﹣因式分解法．【专题】计算题．【分析】解x2=0得x1=x2=0；变形3x2=3x得x2﹣x=0，左边分解得到x（x﹣1）=0，则x1=0，x2=1．【解答】解：∵x2=0∴x1=x2=0；∵x2﹣x=0，∴x（x﹣1）=0，∴x1=0，x2=1．故选B．【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：先把方程右边变形为0，然后把方程左边进行因式分解，这样把一元二次方程转化为两个一元一次方程，再解一次方程可得到一元二次方程的解．7．已知x2﹣8xy+15y2=0，那么x是y的（）倍．A．3 B．5 C．3或5 D．2或4【考点】解一元二次方程﹣因式分解法．【专题】计算题．【分析】先把等式左边分解因式得到（x﹣3y）（x﹣5y）=0，则x﹣3y=0或x﹣5y=0，即可得到x=3y 或x=5y．【解答】解：∵（x﹣3y）（x﹣5y）=0，∴x﹣3y=0或x﹣5y=0，∴x=3y或x=5y．【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：先把方程右边变形为0，然后把方程左边进行因式分解，这样把一元二次方程转化为两个一元一次方程，再解一次方程可得到一元二次方程的解．8．已知x=1是方程x2﹣ax+1=0的根，化简﹣得（）A．1 B．0 C．﹣1 D．2【考点】一元二次方程的解；二次根式的性质与化简．【分析】先将x=1代入方程x2﹣ax+1=0，可得关于a的方程，解方程求出a的值，再根据二次根式的性质化简即可．【解答】解：∵x=1是方程x2﹣ax+1=0的根，∴12﹣a×1+1=0，∴a=2，∴﹣=﹣=a﹣1﹣（3﹣a）=2a﹣4=2×2﹣4=0．故选B．【点评】本题主要考查了方程的解的定义，二次根式的性质与化简，解题关键是将已知的根代入方程，正确求出a的值．9．方程x（x+1）=x+1的根为（）A．﹣1 B．1C．﹣1或1 D．以上答案都不对【考点】解一元二次方程﹣因式分解法．【分析】首先提取公因式，可得（x+1）（x﹣1）=0，继而可求得答案．【解答】解：∵x（x+1）=x+1，∴x（x+1）﹣（x+1）=0，∴（x+1）（x﹣1）=0，解得：x1=﹣1，x2=1．故选C．【点评】此题考查了因式分解法解一元二次方程．此题难度不大，注意因式分解法解一元二次方程的一般步骤：①移项，使方程的右边化为零；②将方程的左边分解为两个一次因式的乘积；③令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程；④解这两个一元一次方程，它们的解就都是原方程的解．10．某产品的成本两年降低了75%，平均每年递降（）A．50% B．25%C．37.5% D．以上答案都不对【考点】一元二次方程的应用．【专题】增长率问题．【分析】设平均每年降低x，根据经过两年使成本降低75%，可列方程求解．【解答】解：设平均每年降低x，（1﹣x）2=1﹣75%解得x=0.5=50%或x=1.5（舍去）．故平均每年降低50%．故选A．【点评】本题考查理解题意的能力，关键设出降低的百分率，然后根据现在的成本，可列方程求解．二、填空题11．方程3x2﹣5x=0的二次项系数是 3 ．【考点】一元二次方程的一般形式．【分析】先找出方程的二次项，再找出项的系数即可．【解答】解：方程3x2﹣5x=0的二次项系数是3，故答案为：3．【点评】本题考查了一元二次方程的一般形式的应用，主要考查学生的理解能力．12．5x2+5=26x化成一元二次方程的一般形式为5x2﹣26x+5=0 ．【考点】一元二次方程的一般形式．【专题】计算题．【分析】将方程右边的式子移项，并按照x的降幂排列，即可得到一元二次方程的一般形式．【解答】解：5x2+5=26x，移项得：5x2﹣26x+5=0．故答案为：5x2﹣26x+5=0【点评】此题考查了一元二次方程的一般形式，一元二次方程的一般形式为ax2+bx+c=0（a，b，c 为常数，且a≠0）．13．一元二次方程ax2+bx+c=0，若有一个根为﹣1，则a﹣b+c= 0 ；如果a+b+c=0，则有一根为 1 ．【考点】一元二次方程的解．【分析】由一元二次方程解的意义把方程的根x=﹣1代入方程，得到a﹣b+c=0；由a+b+c=0，可知a×12+b×1+c=0，故方程ax2+bx+c=0有一根为1．【解答】解：把x=﹣1代入一元二次方程ax2+bx+c=0得：a﹣b+c=0；如果a+b+c=0，那么a×12+b×1+c=0，所以方程ax2+bx+c=0有一根为1．故答案是：0；1．【点评】本题考查的是一元二次方程的解的定义，属于基础题型，比较简单．14．一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有一根为零的条件是c=0 ．【考点】一元二次方程的解．【专题】计算题．【分析】根据一元二次方程的定义和根与系数的关系解答．【解答】解：∵一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的二次项系数是a，常数项是c，∴x1•x2=，又∵该方程有一根为零，∴x1•x2==0；∵a≠0，∴c=0．故答案为：0．【点评】本题主要考查了一元二次方程的解，在解答此题时，利用了根与系数的关系．15．关于x的方程2x﹣3=0是一元二次方程，则m= ±．【考点】一元二次方程的定义．【分析】根据一元二次方程的概念，可得出m2﹣1=2，解得m即可．【解答】解：∵关于x的方程2x﹣3=0是一元二次方程，∴m2﹣1=2，解得m=±．故答案为：．【点评】本题考查了一元二次方程的概念，二次项系数不为0，未知数的最高次数为2．三、解答题16．用适当的方法解方程：（1）2x2﹣4x+1=0；（2）x2﹣5x﹣6=0；（3）（x﹣2）（x﹣3）=12；（4）9（x﹣3）2﹣4（x﹣2）2=0．【考点】解一元二次方程﹣因式分解法；解一元二次方程﹣配方法．【分析】（1）找出a，b，c的值，计算出根的判别式的值大于0，代入求根公式即可求出解；（2）利用因式分解法求解即可；（3）先将方程整理为一般形式，再利用因式分解法求解；（4）利用因式分解法求解即可．【解答】解：（1）2x2﹣4x+1=0，这里a=2，b=﹣4，c=1，∵△=16﹣4×2×1=8，∴x==，∴x1=，x2=；（2）x2﹣5x﹣6=0，（x﹣6）（x+1）=0，∴x﹣6=0或x+1=0，解得x1=6，x2=﹣1；（3）（x﹣2）（x﹣3）=12，整理，得x2﹣5x﹣6=0，（x﹣6）（x+1）=0，∴x﹣6=0或x+1=0，解得x1=6，x2=﹣1；（4）9（x﹣3）2﹣4（x﹣2）2=0，[3（x﹣3）+2（x﹣2）][3（x﹣3）﹣2（x﹣2）]=0，（5x﹣13）（x﹣5）=0，解得x1=，x2=5．【点评】本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法．17．用配方法推导一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的求根公式．【考点】解一元二次方程﹣公式法；配方法的应用．【专题】计算题．【分析】由a不为0，在方程左右两边同时除以a，并将常数项移到方程右边，方程左右两边都加上一次项系数一半的平方，左边化为完全平方式，右边通分并利用同分母分式的减法法则计算，当b2﹣4ac≥0时，开方即可推导出求根公式．【解答】解：ax2+bx+c=0（a≠0），方程左右两边同时除以a得：x2+x+=0，移项得：x2+x=﹣，配方得：x2+x+=﹣=，即（x+）2=，当b2﹣4ac≥0时，x+=±=±，∴x=．【点评】此题考查了一元二次方程的求根公式，以及配方法的应用，学生在开方时注意b2﹣4ac≥0这个条件的运用．18．已知下列n（n为正整数）个关于x的一元二次方程：x2﹣1=0，x2+x﹣2=0，x2+2x﹣3=0，…x2+（n﹣1）x﹣n=0．（1）请解上述一元二次方程；（2）请你指出这n个方程的根具有什么共同特点，写出一条即可．【考点】解一元二次方程﹣因式分解法；一元二次方程的解．【专题】规律型．【分析】（1）分别利用因式分解法解各方程；（2）根据方程根的特征易得这n个方程都有一个根为1，另外一根等于常数项．【解答】解：（1）x2﹣1=0，解得x1=1，x2=﹣1，x2+x﹣2=0，解得x1=1，x2=﹣2，x2+2x﹣3=0，解得x1=1，x2=﹣3，…x2+（n﹣1）x﹣n=0，解得x1=1，x2=﹣n；（2）这n个方程都有一个根为1，另外一根等于常数项．【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．19．如图，有33米长的竹篱笆，要围成一边（墙长15米）面积为130平方米的长方形鸡场，求鸡场的长和宽各为多少？【考点】一元二次方程的应用．【专题】几何图形问题．【分析】首先设鸡场的长为x米，则宽为米，根据题意可得等量关系：鸡场的长×宽=130平方米，列出方程，解出x的值．【解答】解：设鸡场的长为x米，则宽为米，由题意得：x×=130，解得：x1=25，x2=13，∵墙长15米，25＞15，∴25不合题意舍去，∴x=13，则： =10（米）．答：鸡场的长为13米，则宽为10米．【点评】此题主要考查了一元二次方程的应用，关键是弄懂题意，找出题目中的等量关系，此题根据鸡场的面积列出方程即可．。

一元二次方程一、填空题1．一元二次方程（1+3x）（x﹣3）=2x2+1化为一般形式为：，二次项系数为：，一次项系数为：，常数项为：．2．关于x的方程（m﹣1）x2+（m+1）x+3m+2=0，当m 时为一元一次方程；当m 时为一元二次方程．3．若（a+b）（a+b+2）=8，则a+b= ．4．x2+3x+ =（x+ ）2；x2﹣+2=（x ）2．5．直角三角形的两直角边是3：4，而斜边的长是20cm，那么这个三角形的面积是cm2．6．若方程x2+px+q=0的两个根是﹣2和3，则p= ，q= ．7．若代数式4x2﹣2x﹣5与2x2+1的值互为相反数，则x的值是．8．代数式2x2+3x+7的值为12，则代数式4x2+6x﹣10= ．9．当t 时，关于x的方程x2﹣3x+t=0可用公式法求解．10．若实数a，b满足a2+ab﹣b2=0，则= ．二、选择题11．下列方程中，是关于x的一元二次方程的是（）A．ax2+bx+c=0 B．x2+2x=x2﹣1 C．3（x+1）2=2（x+1）D． +﹣2=012．若2x+1与2x﹣1互为倒数，则实数x为（）A．± B．±1 C．±D．±13．若m是关于x的方程x2+nx﹣m=0的解，且m≠0，则m+n的值是（）A．1 B．﹣0.5 C．0.5 D．﹣114．关于x的方程x2+mx+n=0的两根中只有一个等于0，则下列条件中正确的是（）A．m=0，n=0 B．m=0，n≠0 C．m≠0，n=0 D．m≠0，n≠015．关于x的一元二次方程x2﹣k=0有实数根，则（）A．k＜0 B．k＞0 C．k≥0 D．k≤016．若方程ax2+bx+c=0（a≠0），a、b、c满足a+b+c=0和a﹣b+c=0，则方程的根是（）A．1，0 B．﹣1，0 C．1，﹣1 D．无法确定三、解答题17．（1）（x+4）2=5（x+4）；（2）（x+1）2=4x；（3）（x+3）2=（1﹣2x）2；（4）2x2﹣10x=3．18．已知等腰三角形底边长为8，腰长是方程x2﹣9x+20=0的一个根，求这个等腰三角形的腰长．19．已知一元二次方程（m﹣1）x2+7mx+m2+3m﹣4=0有一个根为零，求m的值．20．已知方程x2﹣2ax+a=4（1）求证：方程必有相异实根（2）a取何值时，方程有两个正根？（3）a取何值时，两根相异，并且负根的绝对值较大？（4）a取何值时，方程有一根为零？一元二次方程参考答案与试题解析一、填空题1．一元二次方程（1+3x）（x﹣3）=2x2+1化为一般形式为：x2﹣8x﹣4=0 ，二次项系数为： 1 ，一次项系数为：﹣8 ，常数项为：﹣4 ．【考点】一元二次方程的一般形式．【分析】去括号、移项变形为一元二次方程的一般形式ax2+bx+c=0，a叫二次项系数，b叫一次项系数，c叫常数项．【解答】解：去括号得，x﹣3+3x2﹣9x=2x2+1，移项得，x2﹣8x﹣4=0，所以一般形式为x2﹣8x﹣4=0；二次项系数为1；一次项系数为﹣8；常数项为﹣4．故答案为x2﹣8x﹣4=0，1，﹣8，﹣4．【点评】考查了一元二次方程的一般形式：ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数），a叫二次项系数，b叫一次项系数，c叫常数项．2．关于x的方程（m﹣1）x2+（m+1）x+3m+2=0，当m =1 时为一元一次方程；当m ≠1 时为一元二次方程．【考点】一元二次方程的定义；一元一次方程的定义．【专题】方程思想．【分析】根据一元二次方程和一元一次方程的定义，含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程是一元二次方程；含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1的整式方程是一元一次方程．可以确定m的取值．【解答】解：要使方程是一元一次方程，则m﹣1=0，∴m=1．要使方程是一元二次方程，则m﹣1≠0，∴m≠1．故答案分别是：m=1；m≠1．【点评】本题考查的是一元一次方程和一元二次方程的定义，根据定义确定m的取值．3．若（a+b）（a+b+2）=8，则a+b= 2或﹣4 ．【考点】换元法解一元二次方程．【专题】换元法．【分析】把原方程中的（a+b）代换成y，即可得到关于y的方程y2+2y﹣8=0，求得y的值即为a+b 的值．【解答】解：把原方程中的a+b换成y，所以原方程变化为：y2+2y﹣8=0，解得y=2或﹣4，∴a+b=2或﹣4．【点评】本题主要考查换元法在解一元二次方程中的应用．换元法是借助引进辅助元素，将问题进行转化的一种解题方法．这种方法在解题过程中，把某个式子看作一个整体，用一个字母去代表它，实行等量替换．这样做，常能使问题化繁为简，化难为易，形象直观．4．x2+3x+ =（x+ ）2；x2﹣2x +2=（x ﹣）2．【考点】完全平方式．【专题】计算题．【分析】（1）根据首项是x的平方及中间项3x，利用中间项等于x与乘积的2倍即可解答．（2）根据首项与尾项分别是x与的平方，那么中间项等于x与乘积的2倍即可解答．【解答】解：（1）∵首项是x的平方及中间项3x，∴3x=2×x×，x2+3x+=，∴应填，．（2）首项与尾项分别是x与的平方，∴2×x×即为中间项．∴x2﹣2x+2=，故应填：2，﹣．故答案为：，，2，﹣．【点评】本题考查了完全平方公式，属于基础题，关键要熟记完全平方公式．5．直角三角形的两直角边是3：4，而斜边的长是20cm，那么这个三角形的面积是96 cm2．【考点】一元二次方程的应用；勾股定理的应用．【专题】几何图形问题．【分析】根据直角三角形的两直角边是3：4，设出两直角边的长分别是3x、4x，再根据勾股定理列方程求解即可．【解答】解：设两直角边分别是3x、4x，根据勾股定理得：（3x）2+（4x）2=400，解得：x=4，（负值舍去）则：3x=12cm，4x=16cm．故这个三角形的面积是×12×16=96cm2．【点评】此题主要根据勾股定理来确定等量关系，也考查了三角形的面积公式．6．若方程x2+px+q=0的两个根是﹣2和3，则p= ﹣1 ，q= ﹣6 ．【考点】根与系数的关系．【分析】根据根与系数的关系，分别求出p、q的值．【解答】解：由题意知，x1+x2=﹣p，即﹣2+3=﹣p，∴p=﹣1；又x1x2=q，即﹣2×3=q，∴q=﹣6．【点评】已知了一元二次方程的两根求系数，可利用一元二次方程根与系数的关系：x1+x2=，x1x2=解答．7．若代数式4x2﹣2x﹣5与2x2+1的值互为相反数，则x的值是1或﹣．【考点】解一元二次方程﹣因式分解法．【分析】根据题意先列出方程，然后利用因式分解法解方程求得x的值．【解答】解：∵代数式4x2﹣2x﹣5与2x2+1的值互为相反数，∴4x2﹣2x﹣5+2x2+1=0，即（x﹣1）（3x+2）=0，解得x=1或﹣．【点评】本题是基础题，考查了一元二次方程的解法．8．代数式2x2+3x+7的值为12，则代数式4x2+6x﹣10= 0 ．【考点】代数式求值．【专题】整体思想．【分析】先对已知进行变形，把所求代数式化成已知的形式，再利用整体代入法求解．【解答】解：∵2x2+3x+7=12∴2x2+3x=12﹣7∴4x2+6x﹣10=2（2x2+3x）﹣10=2×（12﹣7）﹣10=0．【点评】此题考查的是代数式的转化，通过观察可知已知与所求的式子的关系，然后将变形的式子代入即可求出答案．9．当t ≤时，关于x的方程x2﹣3x+t=0可用公式法求解．【考点】根的判别式．【专题】计算题．【分析】关于x的方程x2﹣3x+t=0可用公式法求解，则△=b2﹣4ac≥0，即△=32﹣4×1×t=9﹣4t≥0，解不等式即可．【解答】解：∵关于x的方程x2﹣3x+t=0可用公式法求解，∴△=b2﹣4ac≥0，即△=32﹣4×1×t=9﹣4t≥0，∴t≤．故答案为≤．【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）根的判别式△=b2﹣4ac．当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．10．若实数a，b满足a2+ab﹣b2=0，则= ．【考点】解一元二次方程﹣公式法；一元二次方程的解．【专题】计算题．【分析】把b看成常数，解关于a的一元二次方程，然后求出的值．【解答】解：a2+ab﹣b2=0△=b2+4b2=5b2．a== b∴=．故答案是：【点评】本题考查的是用一元二次方程的求根公式解方程，把b看成是常数，用求根公式解关于a 的一元二次方程，然后求出的值．二、选择题11．下列方程中，是关于x的一元二次方程的是（）A．ax2+bx+c=0 B．x2+2x=x2﹣1 C．3（x+1）2=2（x+1）D． +﹣2=0【考点】一元二次方程的定义．【分析】本题根据一元二次方程的定义求解．一元二次方程必须满足三个条件：（1）方程是整式方程；（2）未知数的最高次数是2；（3）只含有一个未知数．由这三个条件得到相应的关系式，再求解即可．【解答】解：A、a=0时，不是一元二次方程，错误；B、原式可化为2x+1=0，是一元一次方程，错误；C、原式可化为3x2+4x+1=0，符合一元二次方程的定义，正确；D、是分式方程，错误．故选C．【点评】判断一个方程是否是一元二次方程，首先判断是否是整式方程，若是整式方程，再进行化简，化简以后只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2，这样的方程就是一元二次方程．12．若2x+1与2x﹣1互为倒数，则实数x为（）A．± B．±1 C．±D．±【考点】解一元二次方程﹣直接开平方法．【分析】两个数互为倒数，即两数的积是1，据此即可得到一个关于x的方程，从而求解．【解答】解：根据2x+1与2x﹣1互为倒数，列方程得（2x+1）（2x﹣1）=1；整理得4x2﹣1=1，移项得4x2=2，系数化为1得x2=；开方得x=±．故选C．【点评】用直接开方法求一元二次方程的解的类型有：x2=a（a≥0）；ax2=b（a，b同号且a≠0）；（x+a）2=b（b≥0）；a（x+b）2=c（a，c同号且a≠0）．法则：要把方程化为“左平方，右常数，先把系数化为1，再开平方取正负，分开求得方程解”．本题开方后要注意分母有理化．13．若m是关于x的方程x2+nx﹣m=0的解，且m≠0，则m+n的值是（）A．1 B．﹣0.5 C．0.5 D．﹣1【考点】一元二次方程的解．【专题】计算题．【分析】一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值；将m代入原方程即可求得m+n的值．【解答】解：把x=m代入方程x2+nx﹣m=0得m2+mn﹣m=0，又∵m≠0，方程两边同除以m，可得m+n=1；故本题选A．【点评】此题中应特别注意：方程两边同除以字母系数时，应强调字母系数不得为零．14．关于x的方程x2+mx+n=0的两根中只有一个等于0，则下列条件中正确的是（）A．m=0，n=0 B．m=0，n≠0 C．m≠0，n=0 D．m≠0，n≠0【考点】解一元二次方程﹣因式分解法；一元二次方程的解．【分析】代入方程的解求出n的值，再用因式分解法确定m的取值范围．【解答】解：方程有一个根是0，即把x=0代入方程，方程成立．得到n=0；则方程变成x2+mx=0，即x（x+m）=0则方程的根是0或﹣m，因为两根中只有一根等于0，则得到﹣m≠0即m≠0方程x2+mx+n=0的两根中只有一个等于0，正确的条件是m≠0，n=0．故选C．【点评】本题主要考查了方程的解的定义，以及因式分解法解一元二次方程．15．关于x的一元二次方程x2﹣k=0有实数根，则（）A．k＜0 B．k＞0 C．k≥0 D．k≤0【考点】解一元二次方程﹣直接开平方法．【分析】根据直接开平方法的步骤得出x2=k，再根据非负数的性质得出k≥0即可．【解答】解：∵x2﹣k=0，∴x2=k，∴一元二次方程x2﹣k=0有实数根，则k≥0，故选：C．【点评】此题考查了直接开平方法解一元二次方程，用直接开方法求一元二次方程的解的类型有：x2=a（a≥0）；ax2=b（a，b同号且a≠0）；（x+a）2=b（b≥0）；a（x+b）2=c（a，c同号且a≠0）．法则：要把方程化为“左平方，右常数，先把系数化为1，再开平方取正负，分开求得方程解”．16．若方程ax2+bx+c=0（a≠0），a、b、c满足a+b+c=0和a﹣b+c=0，则方程的根是（）A．1，0 B．﹣1，0 C．1，﹣1 D．无法确定【考点】一元二次方程的解．【分析】本题根据一元二次方程的根的定义、一元二次方程的定义求解，代入方程的左右两边，看左右两边是否相等．【解答】解：在这个式子中，如果把x=1代入方程，左边就变成a+b+c，又由已知a+b+c=0可知：当x=1时，方程的左右两边相等，即方程必有一根是1，同理可以判断方程必有一根是﹣1．则方程的根是1，﹣1．故选C．【点评】本题就是考查了方程的解的定义，判断一个数是否是方程的解的方法，就是代入方程的左右两边，看左右两边是否相等．三、解答题17．（1）（x+4）2=5（x+4）；（2）（x+1）2=4x；（3）（x+3）2=（1﹣2x）2；（4）2x2﹣10x=3．【考点】解一元二次方程﹣因式分解法．【专题】计算题．【分析】（1）运用提取公因式法分解因式求解；（2）运用公式法分解因式求解；（3）运用平分差公式分解因式求解；（4）运用公式法求解．【解答】解：（1）（x+4）2=5（x+4），（x+4）2﹣5（x+4）=0，（x+4）（x+4﹣5）=0，∴x1=﹣4，x2=1．（2）（x+1）2=4x，x2+2x+1﹣4x=0，（x﹣1）2=0，∴x1=x2=1．（3）（x+3）2﹣（1﹣2x）2=0，（x+3+1﹣2x）（x+3﹣1+2x）=0，（4﹣x）（3x+2）=0，∴x1=4，x2=﹣．（4） 2x2﹣10x=3，2x2﹣10x﹣3=0，x=，x1=，x2=．【点评】此题考查了选择适当的方法解一元二次方程的能力，属基础题．18．已知等腰三角形底边长为8，腰长是方程x2﹣9x+20=0的一个根，求这个等腰三角形的腰长．【考点】等腰三角形的性质；一元二次方程的解；三角形三边关系．【分析】首先求出方程的根，再根据三角形三边关系得到x=4时，4，4，8的三条线段不能组成三角形，确定等腰三角形腰长为5．【解答】解：x2﹣9x+20=0，解得x1=4，x2=5，∵等腰三角形底边长为8，∴x=4时，4，4，8的三条线段不能组成三角形，∴等腰三角形腰长为5．【点评】本题从边的方面考查三角形，涉及分类讨论的思想方法．求三角形的边长，不能盲目地作出判断，而应养成检验三边长能否组成三角形的好习惯，把不符合题意的舍去．19．已知一元二次方程（m﹣1）x2+7mx+m2+3m﹣4=0有一个根为零，求m的值．【考点】一元二次方程的解；解一元二次方程﹣因式分解法．【分析】由于一元二次方程（m﹣1）x2+7mx+m2+3m﹣4=0有一个根为零，那么把x=0代入方程即可得到关于m的方程，解这个方程即可求出m的值．【解答】解：∵一元二次方程（m﹣1）x2+7mx+m2+3m﹣4=0有一个根为零，∴把x=0代入方程中得m2+3m﹣4=0，∴m1=﹣4，m2=1．由于在一元二次方程中m﹣1≠0，故m≠1，∴m=﹣4【点评】此题主要考查了方程解的定义和解一元二次方程，此类题型的特点是，利用方程解的定义找到所求字母的方程，再解此方程即可解决问题．20．已知方程x2﹣2ax+a=4（1）求证：方程必有相异实根（2）a取何值时，方程有两个正根？（3）a取何值时，两根相异，并且负根的绝对值较大？（4）a取何值时，方程有一根为零？【考点】根与系数的关系；根的判别式．【专题】计算题．【分析】（1）根据△＞0恒成立即可证明．（2）由方程有两个正根，根据根与系数的关系即可求出a的取值．（3）由方程有两根相异，并且负根的绝对值较大，根据根与系数关系解答．（4）令x=0代入方程求解即可．【解答】解：（1）方程x2﹣2ax+a=4，可化为：x2﹣2ax+a﹣4=0，∴△=4a2﹣4（a﹣4）=4+15＞0恒成立，故方程必有相异实根．（2）若方程有两个正根x1，x2，则x1+x2=2a＞0，x1x2=a﹣4＞0，解得：a＞4．（3）若方程有两根相异，并且负根的绝对值较大，则可得：x1+x2=2a＜0，x1x2=a﹣4＜0，解得：a ＜0．（4）若方程有一根为零，把x=0代入方程x2﹣2ax+a=4，得：a=4．【点评】本题考查了根与系数的关系及根的判别式，难度适中，关键是熟记x1，x2是方程x2+px+q=0的两根时，x1+x2=﹣p，x1x2=q．。