第四章 立体的表面交线

第四章立体的表面交线形体表面常见到两种交线，一种是由平面与立体相交而形成的表面交线即截交线，另一种是由两立体相交而形成的表面交线相贯线，如图4-1所示。

图4-1立体表面交线实例第一节平面体的截交线基本形体经平面切割后形成新的形体，切割基本形体的平面称为截平面，截平面与形体表面的交线称为截交线，由截交线围成的平面图形称为截面（或断面），它是新形体的一个表面，如图4-2所示。

截交线是相交两表面的共有线，也是它们的分界线，这些分界线是由一系列共有点组成的，因此求截交线可归纳为求立体表面共有点的问题。

图4-2 平面体截交线的概念一、平面体表面取点平面体表面取点就是根据平面体表面上的一个投影，求作该点其余的投影，并判别其可见性。

在特殊位置平面上的点可利用该平面的积聚性投影作图求得；在一般位置平面上的点，则要利用“找点先找线”的方法求得，即过已知点作一辅助直线，求出辅助直线的投影，再求辅助直线上已知点的投影。

其次要注意判别点的可见性，即点的投影的可见性与它所在立体表面的可见性一致。

【例4-1】如图4-3所示，已知三棱柱的表面上点A和点B的正面投影（a’）和b’，求出它们的水平投影和侧面投影。

图4-3 三棱柱表面取点分析：由图4-3（a）可以看出，点A的正面投影不可见，可判断A在三棱柱的后棱面上；点B正面投影可见，又位于右侧，可判断B在三棱柱的右侧棱面上，由于三棱柱棱面的水平投影及后棱面的侧面投影均有积聚性，因此可利用积聚性直接作图。

作图：①根据“长对正”的投影规律，如图4-3（b）所示，由点a´和b’向下引一条铅垂线与正三棱柱后棱面及右侧棱面的水平投影（斜直线）相交，交点即为A点、B点的水平投影a和b。

②根据“高平齐，宽相等”的投影规律，由a＇、b＇和a、b求得a"、b"。

③判别可见性，点A所在的平面，其水平投影和侧面投影均具有积聚性，所以无需判别它的可见性。

点B所在的右侧棱面其侧面投影不可见，故b" 不可见，标记为（b"）。

【例4-2】如图4-4（a）所示，已知三棱锥表面上点M的水平投影m和点N的正面投影n’，求出点它们的水平投影和侧面投影。

图4-4 三棱锥表面取点包分析：根据点M的水平投影m可见，且在Δasc内，可判定点M位于三棱锥后侧棱面上；由于该棱面为侧垂面，则可利用积聚性直接求出m”。

点N的正面投影n’可见，且在Δa´s´b´内，可判定点N于前面左侧棱面上；该棱面为一般位置平面，需借助面内的辅助线求点的其他投影。

通常利用平面内的投影面平行线作辅助线，如图4-4中的ⅠⅡ∥AB。

作图：(如图4-4b)①利用积聚性求m’、m”。

先根据m在a”s”c”上确定m”，再由m、m"求出m’。

②作辅助线求n和n”。

过n’作平行于a’b’的辅助线ⅠⅡ的正面投影1’2’，交s’a’于1’；在sa、s”a” 上定出相应的1、1”，并作12∥ab、1”2”∥a”b”，即得辅助线ⅠⅡ的另两个投影；再在12及1”2”上求出n和n"。

③判定可见性，点M 所在的后棱面在正面投影中不可见，所以m’不可见，故标记为（m’）。

点N 所在的前面左侧棱面的各个投影均可见，因此n、n”为可见。

二、平面体截交线的形状及求法任何平面体被截平面切割，其截交线必定是一个封闭的线框，且一般是一个多边形。

多边形的边是截平面与平面体各棱面的交线，其边数为截平面所截到的棱面数；多边形的顶点是平面体上各棱线（或底边）与截平面的交点。

作平面体截交线的投影，首先根据立体特征及截切位置判断截交线的空间形状，然后求出截平面与被截平面体上各棱线的交点，然后顺序连接各交点的同面投影。

【例4-3】如图4-5所示，已知正三棱锥被正垂面截切，已知其正面投影，求作截交线的水平投影。

图4-5 三棱锥斜切的截交线分析：截平面斜切三棱锥，其截交线是三角形，要求出它的水平投影，需求出三角形各顶点的水平投影，因为截平面是正垂面，它的正面投影积聚成一直线，这条直线与三棱锥各侧棱投影的交点即为截面各顶点的正面投影，根据直线上点的投影特性及投影规律，可求出各交点的水平投影，依次连接之即为所求。

作图：①求截交线各顶点的正面投影1´、2´、3´。

②由1´、3´点引垂线与水平投影中对应棱线的投影相交，即得截交线顶点Ⅰ、Ⅲ的水平投影1、3。

③Ⅱ点的水平投影是通过在棱锥侧面ΔSAB上作辅助线ⅡE平行于AB求出。

④连接1、2、3得截交线的水平投影。

【例4-4】如图4-6（a）所示，已知正六棱柱被截切后的正面投影，试完成其水平投影和侧面投影。

分析：六棱柱体被两相交平面切割，其中之一是侧平面，截交线为矩形，其正面投影和水平投影均积聚成竖直线，侧面投影反映实形。

另一截平面是正垂面，截交线为七边形，其正面投影积聚成倾斜直线，水平面投影与六棱柱表面的投影重合，侧面投影为类似形。

两截平面的交线为正垂线。

作图：①做出完整六棱柱的侧面投影。

②由正面的积聚投影求其水平投影，再由正面投影和水平投影做出两组截交线及截平面交线的侧面投影。

③擦去多余的线条，判别可见性，将不可见棱线（右棱线的侧面投影）以虚线画出，加深轮廓线，完成作图。

图4-6 六棱柱斜切的截交线第二节曲面体的截交线一、曲面体表面取点曲面体表面取点和平面上取点的基本方法相同，即当曲面的一个投影有积聚性时，可利用积聚性投影直接求得点的投影；当点在立体表面的轮廓素线上时，可利用线上取点法作图；当曲面体的各个投影都没有积聚性时，则需利用曲面上的辅助线取点求解。

值得注意的是，选择辅助线时，应使辅助线是曲面上的直素线或平行于投影面的圆。

【例4-5】如图4-7所示，已知圆柱面上A、B两点的正面投影，求作其他两面投影。

图4-7圆柱表面取点包分析：因圆柱面的水平投影积聚为一个圆，故A、B两点的水平投影a、b必在该圆周上，由于A、B两点的正面投影a’、b’可见，判定A、B两点位于圆柱的前半柱面上，且点A位于最前轮廓素线上。

作图：①过a´、b’向下作竖直线交前半圆周于a、b点。

②过a´向右作水平线，与圆柱最前轮廓素线交于a" ；再由b、b’，求出b"。

③判定可见性。

点B位于右半圆柱面上，其侧面投影为不可见，注记为（b"）。

【例4-6】如图4-8（a）所示，已知圆锥面上A、B两点的正面投影，求作其他两面投影。

图4-8 圆锥表面取点包分析：点B位于最右轮廓素线上，用线上取点法即可直接求出b和b"，如图4-8（b）所示。

点A位于左、前四分之一的圆锥面上，需作辅助线求解。

圆锥面可利用表面素线作辅助线，称为素线法。

同时，圆锥面又是回转面，在该面上可作一系列平行于锥底面的圆（正圆锥为水平圆）为辅助线，称为辅助圆法。

作图：①图4-8（b）示出了素线法的求解方法。

②图4-8（c）示出了辅助圆法的求解方法。

【例4-7】如图4-9所示，已知圆球面上点A的正面投影a´及点B的水平投影b，求其他两面投影。

图4-9 球表面取点分析：如图4-9（b）所示，点A不在圆球面的轮廓素线上，需用辅助线法。

由于球面上作不出直线，所以需作平行于投影面的辅助圆。

点B位于圆球面的正向轮廓素线圆上，b、b"就在其相应的投影上，可直接作图，又因点B在右半球上方，故b"不可见。

作图：①过a´作水平线，交于主视图轮廓圆上，长度即为辅助圆的直径，同时可作出辅助圆的侧面投影。

②作辅助圆的水平投影，该投影反映实形。

③根据点在辅助圆上，其投影必在辅助圆的同面投影上，由a´求出a和a"。

④由于点A位于左、上、前球面上，故三个投影均可见。

点B的作图过程见图4-9 (b)。

二、曲面体截交线的形状截交线是截平面与曲面体表面的共有线，它一般是封闭的平面图形。

当曲面立体的底面参加相交时，截交线为由曲线和直线组成的平面图形，当截平面通过锥顶或柱素线时截交线则为多边形。

（一）圆柱圆柱被平面截切，截交线有三种情况，见表4-1。

表4-1 圆柱截切的三种情况（二）圆锥圆锥被平面截切时，截交线有五种情况，见表4-2。

表4-2 圆锥截交线（三）圆球圆球被任意方向的平面截切，其截交线都是圆。

当截平面与投影面平形时，截交线在所平行的投影面上的投影为一个圆，其余两面投影积聚为直线；该直线的长度等于圆的直径，其直径的大小与截平面至球心的距离有关，如图4-10所示。

图4-10圆球被水平面截切三、曲面体截交线的画法求作曲面体截交线的投影，分为以下两种情况：（1）截交线为直线或平行于投影面的圆时，投影可由已知条件根据投影规律直接求出。

（2）截交线含椭圆、抛物线、双曲线等非圆曲线或非投影面平行圆时，需求出曲面和截平面上的一系列共有点，然后连成光滑的曲线。

求共有点常用的方法是“立体表面取点法”。

为使所求的截交线形状准确，作图迅速，在求作非圆曲线截交线时，应按照先求控制点（对截交线的投影起控制作用的点，又称特殊点），在求中间点的步骤作图。

这些控制点是曲面外形轮廓素线上的点、反映截交线的特征的点（如椭圆的长短轴端点、抛物线和双曲线的顶点）、曲面边界上的点（曲面底边上的点）及截交线的极限位置点（截交线上的最高、最低、最左、最右、最前、最后点）。

为使作图准确，在控制点之间可补充求若干个中间点。

【例4-8】如图4-11所示，补全开槽圆柱的三视图。

图4-11 开槽圆柱截交线的画法分析：圆柱上端开槽部分是由两个与轴线平行的侧平面和一个与轴线垂直的水平面截切而成的。

两个侧平面与圆柱面的截交线是左右对称的两个矩形，矩形的前后两边是对称的铅直素线，上边是截平面与顶面的交线，下边是该截平面与水平截平面的交线。

水平面与圆柱的截交线是前后两段水平弧和左、右与两侧截平面的两条相交直线。

由于三个截平面的正面投影都有积聚性，故其交线为正垂线，且截交线的正面投影为已知，只需求其水平和侧面投影。

作图：①如图4-11（b）所示，侧平面截交线矩形的投影可根据侧平面的投影特性和圆柱面水平投影的积聚性直接求得（注意矩形的水平投影与侧面投影宽度y相等）。

②水平截交线的水平投影反映实形，无需另求，其侧面投影积聚成一水平线段，长度等于圆柱直径。

注意，其中前后两段圆弧的侧面投影是两小段实线，两条交线的侧面投影为虚线。

③加深轮廓线时，注意侧向轮廓素线上部已被截去，不能画出。

【例4-9】如图4-12所示，圆锥被正垂面截切，求作截交线的投影。

图4-12 平面截切圆锥分析：圆锥被正垂面切断所有素线，截交线为椭圆。

该椭圆截交线上有六个控制点A、B、C、D、E、F，其中A、B是圆锥正向轮廓素线上的点，又是椭圆长轴的两端点和截交线的最高、最低点；C、D是圆锥侧向轮廓素线上的点，c”、d”又是截交线与该轮廓线侧面投影的切点；E、F是椭圆短轴的端点，又是截交线的最前、最后点，其正面投影位于截交线积聚投影的中点。