静力学基本方程

静力学三个基本方程静力学是力学中的一个重要分支，在众多的力学理论中，它负责研究物体在受力情况下的平衡状态。

在这个领域中，有三个基本方程，它们是：1. 力的平衡方程力的平衡方程是静力学中最基础的方程之一，它描述的是物体在受到多个力的作用下，处于平衡状态的条件。

具体来说，它是通过对物体上所有受力的分析，找到它们之间的联系，从而得到一个关于力的平衡的数学方程式。

这个方程的本质就是等式，在其中，所有作用于物体上的力都要符合以下条件：∑F=0其中，∑F代表所有作用于物体上的力的合力，如果它等于零，那么就意味着物体处于平衡状态。

这个方程式可以用来计算物体上每一个点所受力的大小和方向，也是力学分析的基础。

2. 力矩平衡方程力矩平衡方程是静力学中比较重要的方程之一，它描述的是物体在受到力矩的作用下，处于平衡状态的条件。

力矩本质上是一个力在物体上产生的转动效应，它的大小取决于力的大小和它与物体的距离。

如果多个力产生的力矩平衡，那么物体就可以平衡。

力矩平衡方程的数学表示如下：∑M=0其中，∑M代表所有作用于物体上的力矩的合力，如果它等于零，那么就意味着物体处于平衡状态。

在使用这个方程的时候，需要先确定一个参考点，然后求出每一个力在这个点产生的力矩，最后求和，如果和为零，那么就说明力矩平衡。

3. 杠杆平衡方程杠杆平衡方程是静力学中最常用的方程之一，它主要应用于杠杆等简单机械的分析中。

杠杆平衡方程的核心原理是杠杆的力臂原理，即相同的力在不同的力臂长度下，产生的力矩会有所不同。

杠杆平衡方程的数学表示如下：F1L1=F2L2其中，F1和F2代表作用于杠杆上的两个力，L1和L2代表它们的力臂长度。

这个方程式可以用来计算杠杆的长度和所施加的力的大小，也是很多工程问题的基础。

总结静力学的三个基本方程，包括力的平衡方程、力矩平衡方程和杠杆平衡方程，是力学分析的核心。

在物理和工程学科中，这些方程式经常被应用于各种实际问题的分析和解决中。

流体静力学基本方程一、静止液体中的压强分布规律重力作用下静止流体质量力：X=Y=0，Z=-g代入 Zdz)Ydy (Xdx dp ++=ρ (压强p 的全微分方程)得：dp ＝ρ（-g ）dz ＝-γdz积分得： p=-γz +c即： 常数=+γpz 流体静力学基本方程对1、2两点： γγ2211p z p z +=+结论： 1）仅在重力作用下，静止流体中某一点的静水压强随深度按线性规律增加。

2）自由表面下深度h 相等的各点压强均相等——只有重力作用下的同一连续连通的静止流体的等压面是水平面。

3）推广：已知某点的压强和两点间的深度差，即可求另外一点的压强值。

p 2=p 1+γΔh4）仅在重力作用下，静止流体中某一点的静水压强等于表面压强加上流体的容重与该点淹没深度的乘积。

观看录像: 水静力学 观看动画: 静水力学基本方程演示 >>二、静止液体中的压强计算自由液面处某点坐标为z 0，压强为p 0；液体中任意点的坐标为z ，压强为p ，则：γγ00p z pz +=+∴坐标为z 的任意点的压强 ：p ＝p 0＋γ（z 0－z ） 或 p ＝p 0＋γh三、静止液体中的等压面静止液体中质量力――重力，等压面垂直于质量力，∴静止液体中的等压面必为水平面算一算：1. 如图所示的密闭容器中，液面压强p 0＝9.8kPa ，A 点压强为49kPa ，则B 点压强为39.2kPa ,在液面下的深度为3m 。

四、绝对压强、相对压强和真空度的概念1.绝对压强（absolute pressure ）：是以绝对真空状态下的压强（绝对零压强）为起点基准计量的压强。

一般 p ＝p a +γh2. 相对压强（relative pressure ）：又称“表压强”，是以当时当地大气压强为起点而计算的压强。

可“＋”可“– ”，也可为“0”。

p '＝p-p a3.真空度（Vacuum ）：指某点绝对压强小于一个大气压p a 时，其小于大气压强p a 的数值。

图卜2流体静力学皐木方程式的推导(3) 作用于整个液柱的重力 GG = JgA(Z i -Z 2)(N) 0由于液柱处于静止状态，在垂直方向上的三个作用力的合力为零，即 ：p i A+ ：?gA(Z i -Z 2) - — p 2 A = 0令：h= (Z i -Z 2) 整理得： p 2 = p i +「gh若将液柱上端取在液面，并设液面上方的压强为p o ； 则:p 0 = p i + ：'gh上式均称为流体静力学基本方程式，它表明了静止流体内部压力变化的规律。

即:静止流体内部某一点的压强等于作用在其上方的压强加上液柱的重力压强。

2、 静力学基本方程的讨论：(1) 在静止的液体中，液体任一点的压力与液体密度和其深度有关。

(2) 在静止的、连续的同一液体内，处于同一水平面上各点的压力均相等。

(3) 当液体上方的压力有变化时，液体内部各点的压力也发生同样大小的变化。

三、流体静力学基本方程式1、 方程的推导设：敞口容器内盛有密度为 二的静止流体，取任意一个垂直流体液柱，上下底面积2均为Am 。

作用在上、下端面上并指向此两端面的压力分别为P 1和P 2。

该液柱在垂直方向上受到的作用力有： (1) 作用在液柱上端面上的总压力 P iPi = p i A (N) 也 (2) 作用在液柱下端面上的总压力 P 2P = p A (N)压强差的也大小可利用一定高度的液体柱来表示。

p P (5) 整理得：z 1g1二z 2g 也为静力学基本方程P g (6) 方程是以不可压缩流体推导出来的，对于可压缩性的气体，只适用于压强变 化不大的情况。

3、静力学基本方程的应用(1)测量流体的压差或压力①U 管压差计U 管压差计的结构如图。

对指示液的要求：指示液要与被测流体不互溶，不起 A化学作用，且其密度：7指应大于被测流体的密度：、。

通常采用的指示液有：水、油、四氯化碳或汞等。

I测压差：设流体作用在两支管口的压力为 p 1和P 2，且P i > P 2 , A-B 截面为等压面 即：P A 二P B 根据流体静力学基本方程式分别对 U 管左侧和U 管右侧进行计算整理得： P i - P 2 =：〔'指一'Rg讨论： (a )压差(p i -P 2)只与指示液的读数 R 及指示液冋被测流体的密度差有关。

第二讲流体静力学基本方程及其应用【学习要求】1．理解流体静力学方程的意义；2．掌握流体静力学方程的应用。

【预习内容】1．在均质流体中，流体所具有的与其所占有的之比称为。

任何流体的密度都随它的和而变化，但对液体的密度影响很小，可忽略，故常称液体为的流体。

2．流体静压力的两个重要特性分别是：（1）；（2）。

3．1atm = mmHg = Pa = mH2O【学习内容】一、流体静力学基本方程式1．流体静力学基本方程式的形式p2 = p1+ ρ ( z1—z2 )g 或p2 = p1+ hρg流体静力学方程表明：在重力作用下静止液体内部的变化规律。

即在液体内部任一点的流体静压力等于。

2．流体静力学基本方程式的意义流体静力学方程表明：（1）当作用于流体面上方的压强有变化时；（2）当流体面上方的压强一定时，静止流体内部任一点压强的大小与流体本身的和有关，因此在的的同一液体处，处在都相等。

二、流体静力学基本方程式的应用1．流体进压强的测量（1）U形管压差计①U形管压差计由、及管内指示液组成。

②指示液要与被测流体不，不起，其密度要，通常采用的指示液有、、及等。

③U形管压差计可用来测量压强差，也可以用来测量或。

【典型例题】例1用U形管测量管道中1、2两点的压强差。

已知管内流体是水，指示液是密度为1595 kg／m3的CCl4，压差计读数为40cm，求压强差(p1– p2)。

若管道中的流体是密度为2.5kg／m3的气体，指示液仍为CCl4，U形管读数仍为40cm，则管道中1、2两点的压强差是多少Pa？【例2】某蒸汽锅炉用本题附图中串联的汞-水U形管压差计以测量液面上方的蒸气压。

已知汞液面与基准面的垂直距离分别为h1 = 2.3 m，h2 = 1.2 m,h3 = 2.5 m,h4 = 1.4m,两U形管间的连接管内充满了水。

锅炉中水面与基准面的垂直距离h5 = 3.0m，大气压强p a = 99kPa。

试求锅炉上方水蒸汽的压强p0为若干（Pa）？【随堂练习】1．大气压强为750mmHg时，水面下20m深处水的绝对压强为多少Pa？2．水平导管上的两点接一盛有水银的U形管压差计（如图所示），压差计读数为26mmHg。

工程流体力学公式1.流体静力学公式：(1) 压强公式：P = ρgh，其中P为压强，ρ为流体密度，g为重力加速度，h为液面高度。

(2)压力公式：P=F/A，其中P为压力，F为作用力，A为受力面积。

2.流体力学基本方程：(1)质量守恒方程：∂(ρ)/∂t+∇·(ρv)=0，其中ρ为密度，t为时间，v为速度矢量。

(2) 动量守恒方程：∂(ρv)/∂t + ∇·(ρvv) = -∇P + ∇·τ +ρg，其中P为压力，τ为应力张量，g为重力加速度。

(3) 能量守恒方程：∂(ρe)/∂t + ∇·(ρev) = -P∇·v +∇·(k∇T) + ρg·v，其中e为单位质量的总能量，T为温度，k为热传导系数。

3.流体动力学方程：(1)欧拉方程：∂v/∂t+(v·∇)v=-∇(P/ρ)+g，其中v为速度矢量，P为压力，ρ为密度，g为重力加速度。

(2)再循环方程：∂v/∂t+(v·∇)v=-∇(P/ρ)+g+F/M，其中F为体积力，M为质量。

4.流体阻力公式：(1) 粘性流体的阻力公式：F = 6πμrv，其中F为阻力，μ为粘度，r为流体直径，v为速度。

(2)粘性流体在管道中的流量公式：Q=(π/8)ΔP(R^4)/(Lμ)，其中Q为流量，ΔP为压差，R为半径，L为管道长度，μ为粘度。

5.流体力学定律：(1) Pascal定律：在封闭的液体容器中，施加在液体上的外力将均匀传递到液体的每一个点。

(2) Bernoulli定律：沿着流体流动方向，速度增大则压力减小，速度减小则压力增大。

除了上述公式之外，还有许多与特定问题相关的公式，如雷诺数、流体阻力系数、泵和液力传动公式等。

这些公式是工程流体力学研究和设计的基础，可以帮助工程师分析和解决与流体运动和相互作用有关的问题。

静力学平衡方程静力学平衡方程静力学平衡方程是物理学中一个重要的概念，是力学中用于描述物体所受外力作用下的静止状态的基本定理。

在数学上，这个方程被表达为：ΣF = 0其中ΣF表示作用在物体上的所有力的矢量和，等于零表示物体处于静止状态。

这个方程包含了牛顿第一定律，即一个物体如果受到的合力为零，则其将保持静止或匀速直线运动。

在工程学和物理学中，这个方程被广泛应用于杠杆、支撑结构、桥梁等工程中。

工程师通过运用这个方程来计算物体能否保持平衡，以及所需要的支撑结构大小和材料强度等参数。

杠杆原理杠杆原理是静力学平衡方程中应用最为广泛的应用之一，特别是在机械和结构工程中。

杠杆按位置分为一类，二类和三类。

在一类杠杆中，力和支点的位置关系导致了杠杆的刚性比较小，所以在外力相等的情况下，较小力的杆杆就可以产生比较大的力矩，从而达到平衡的效果。

例如，一个人试图从一个杆子上旋起一个沉重的箱子。

这个箱子对于人来说可能是太重了，但当他用一个搬运杆来支撑这个箱子时，他只需要用比箱子重的更小的力来旋转搬运杆，从而达到平衡的效果。

支撑结构另一个重要的应用是支撑结构。

在物理学和工程学中，支撑结构是指支撑物体并通过承受一定负载来保持稳定平衡的任何物体。

举个例子，一个高楼需要一定的支撑结构来承受地心引力以及风力等对建筑的作用力。

支撑结构必须满足静力学平衡方程，使支撑物体的重力和其他作用力等于零。

通过分析材料的强度和平衡方程，工程师可以计算出所需的支撑结构大小和材料强度，从而设计出完美的支撑结构。

桥梁桥梁结构也需要应用静力学平衡方程来保持稳定。

桥梁通常是由高低不平的地面或水体中跨过而设计的。

在设计桥梁时，需要考虑桥梁的重量、材料强度和内部支撑结构，以确保桥梁稳定平衡。

在桥梁支撑结构的设计中，静力学平衡方程是一个重要的工具。

通过计算桥墩、悬挂和支撑结构对于承受负载所产生的力和力矩，工程师可以确定支撑结构的安全度，从而设计桥梁的内部结构。

总结在物理学和工程学中，静力学平衡方程是至关重要的一个概念。

化工原理上册主要公式第一章 流体流动与输送机械 1. 流体静力学基本方程：gh p p ρ+=022. 双液位U 型压差计的指示: )(2121ρρ-=-Rg p p )3. 连续性方程：常数=uA4. 理想流体的伯努力方程：ρρ222212112121p u g z p u g z ++=++ 5. 实际流体机械能衡算方程：f e h p u g z W p u g z ∑+++=+++ρρ222212112121 6. 雷诺数：μρdu =Re7. 直管阻力：ρρμλff p d lu u d l h ∆==⋅⋅=223228. 局部阻力：2'2'22u h u d l h f e f ⋅=⋅⋅=ξλ或9. 出口局部阻力系数：1=ξ；进口的局部阻力系数：5.0=ξ 10. 流体输送机械的效率：NN e=η 11. 流体输送机械的轴功率：s e w W gQH N ==ρ12. 管路特性曲线：2e e BQ K H +=，其中gp z K ρ∆+∆=，gu d l l H BQ e f e2))((22ξλ∑++∑=∑=13. 单泵的特性曲线：2BQ A H -=，两台相同泵并联的特性曲线：22⎪⎭⎫⎝⎛-=Q B A H ，两台相同泵串联的特性曲线：22BQ A H-= 14. 离心泵的汽蚀余量：gp g u g p NPSH vρρ-+=2211 15. 离心泵的允许吸上真空度：gp p H a s ρ1'-=16. 离心泵的允许安装高度：10,0)(----=f r vg H NPSH gp p H ρ，10,212'---=f s g H gu H H17. 比例定律：32''''''⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎭⎫⎝⎛==n n N N n n H H n n Q Q ，18. 切割定律：32''''''⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎭⎫⎝⎛==D D N N D D H H D D Q Q ，第二章 非均相物系分离 1. 形状系数：ps S S =φ 2. 层流区重力沉降速度：()μρρ182gd u s t -=3. 降尘室颗粒完全除去的条件：t θθ≥或t u H u l //≥4. 降尘室的生产能力：t s u A V 底≤5. 层流区离心沉降速度：()Ru d u Ts r 2218μρρ-=6. 旋风分离器能分离下来的临界颗粒的粒径：i c u B d /∝7. 总效率和粒级效率的关系：∑==ni i p i x 1,0ηη8. 恒压过滤方程：θ222KA V V V e =+，e e KA V θ22=，)()(22e e KA V V θθ+=+ 9. 连续过滤机的浸没度：360浸没角度=ψ10. 当滤布阻力忽略时，连续过滤机的生产能力：ψKn A Q 465= 第三章 传热1. 单层壁的定态热导率：，或mS b tQ λ∆=2. 多层圆筒壁定态热传导方程：∑=+-=ni mii in S b t t Q 111λ 3. 牛顿冷却定律：t S Q ∆=α 4. 总传热速率方程：m o o t S K Q ∆=5. 热负荷：流体无相变时，热流体放出的热量：)(21T T c W Q ph h -=，冷流体吸收的热量：)(12t t c W Q pc c -= 流体只有相变时的热负荷：Wr Q =6. 考虑热阻的总传热系数方程：io si so i o i m o o d d R R d d d d b K ⋅++⋅+⋅+=αλα111o 7. 逆流和并流时对数平均温度差：1212ln t t t t t m ∆∆∆-∆=∆ 8. 错流和折流时的温度差：'m t m t t ∆=∆∆φ9. 若热流体是最小值流体：mph h pc c ph h t T T C W KSNTU T T t t C W C W C C t T T T ∆-==--==--=21min 2112max min 1121，，ε 10. 若冷流体是最小值流体：mpc c ph h pc c t t t C W KSNTU t t T T C W C W C C t T t t ∆-==--==--=12min 1221max min 1112，，ε 11. 努塞尔数λαl Nu =普朗克数λμCp =Pr 12. 流体在圆形管内做强制对流：10000Re>，1600Pr6.0<<，50/>dlnNu PrRe023.08.0=，或nCpdud⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫⎝⎛=λμμρλα8.0023.0，其中当流体被加热时，n=0.4，当流体被冷却时n=0.3。

第一节 流体静力学基本方程式流体静力学是研究流体在外力作用下达到平衡的规律。

在工程实际中，流体的平衡规律应用很广，如流体在设备或管道内压强的变化与测量、液体在贮罐内液位的测量、设备的液封等均以这一规律为依据。

1-1-1流体的密度一、密度单位体积流体所具有的质量，称为流体的密度，其表达式为：Vm =ρ （1-1） 式中 ρ——流体的密度，kg/m 3；m ——流体的质量，kg ；V ——流体的体积，m 3。

不同的流体密度不同。

对于一定的流体，密度是压力P 和温度T 的函数。

液体的密度随压力和温度变化很小，在研究流体的流动时，若压力和温度变化不大，可以认为液体的密度为常数。

密度为常数的流体称为不可压缩流体。

流体的密度一般可在物理化学手册或有关资料中查得，本教材附录中也列出某些常见气体和液体的密度值，可供查用。

二、气体的密度气体是可压缩的流体，其密度随压强和温度而变化。

因此气体的密度必须标明其状态，从手册中查得的气体密度往往是某一指定条件下的数值，这就涉及到如何将查得的密度换算为操作条件下的密度。

但是在压强和温度变化很小的情况下，也可以将气体当作不可压缩流体来处理。

对于一定质量的理想气体，其体积、压强和温度之间的变化关系为将密度的定义式代入并整理得'''Tp p T ρρ= （1-2） 式中 p ——气体的密度压强，Pa ；V ——气体的体积，m 3；T ——气体的绝对温度，K ；上标“'”表示手册中指定的条件。

一般当压强不太高，温度不太低时，可近似按下式来计算密度。

RTpM =ρ （1-3a ） 或 000004.22Tp p T Tp p T M ρρ== （1-3b ） 式中 p ——气体的绝对压强，kPa 或kN/m 2；M ——气体的摩尔质量，kg/kmol ；T ——气体的绝对温度，K ；R ——气体常数，8.314kJ/（kmol ·K ）下标“0”表示标准状态（T 0=273K ，p 0=101.3kPa ）。

第一章 流体流动与输送机械1. 流体静力学基本方程：gh p p ρ+=022. 双液位U 型压差计的指示: )21(21ρρ-=-Rg p p )3. 伯努力方程：ρρ222212112121p u g z p u g z ++=++4. 实际流体机械能衡算方程：f W p u g z p u g z ∑+++=++ρρ222212112121+ 5. 雷诺数：μρdu =Re6. 范宁公式：ρρμλfp d lu u d l Wf ∆==⋅⋅=22322 7. 哈根-泊谡叶方程：232d lup f μ=∆ 8. 局部阻力计算：流道突然扩大：2211⎪⎭⎫ ⎝⎛-=A A ξ流产突然缩小：⎪⎭⎫ ⎝⎛-=2115.0A A ξ第二章 非均相物系分离1. 恒压过滤方程：t KA V V V e 222=+令A V q /=，A Ve q e /=则此方程为：kt q q q e =+22第三章 传热1. 傅立叶定律：n t dAdQ ϑϑλ-=，dxdt A Q λ-= 2. 热导率与温度的线性关系：)1(0t αλλ+= 3. 单层壁的定态热导率：bt t AQ 21-=λ，或mA b tQ λ∆=4. 单层圆筒壁的定态热传导方程： )ln1(21221r r t t l Q λπ-=或m A b tt Q λ21-=5. 单层圆筒壁内的温度分布方程：C r l Qt +-=ln 2λπ（由公式4推导）6. 三层圆筒壁定态热传导方程：34123212141ln 1ln 1ln 1(2r r r r r r t t l Q λλλπ++-=7. 牛顿冷却定律：)(t t A Q w -=α，)(T T A Q w -=α8. 努塞尔数λαl Nu =普朗克数λμCp =Pr 格拉晓夫数223μρβtl g Gr ∆= 9. 流体在圆形管内做强制对流：10000Re >，1600Pr 6.0<<，50/>d lk Nu Pr Re 023.08.0=，或kCp du d ⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=λμμρλα8.0023.0，其中当加热时，k=，冷却时k= 10. 热平衡方程：)()]([1222211t t c q T T c r q Q p m s p m -=-+=无相变时：)()(12222111t t c q T T c q Q p m p m -=-=，若为饱和蒸气冷凝：)(12221t t c q r q Q p m m -== 11. 总传热系数：21211111d d d d b K m ⋅+⋅+=αλα 12. 考虑热阻的总传热系数方程：212121211111d d R R d d d d b K s s m ⋅++⋅+⋅+=αλα 13. 总传热速率方程：t KA Q ∆=14. 两流体在换热器中逆流不发生相变的计算方程：⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=--22111112211lnp m p m p m c q c q c q KA t T t T 15. 两流体在换热器中并流不发生相变的计算方程：⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=--22111122111lnp m p m p m c q c q c q KA t T t T 16. 两流体在换热器中以饱和蒸气加热冷流体的计算方程：2221ln p m c q KAt T t T =--第四章 蒸发1. 蒸发水量的计算：110)(Lx x W F Fx =-=2. 水的蒸发量：)1(1x x F W -= 3. 完成时的溶液浓度：WF F x -=4. 单位蒸气消耗量：rr D W '=，此时原料液由预热器加热至沸点后进料，且不计热损失，r 为加热时的蒸气汽化潜热r ’为二次蒸气的汽化潜热 5. 传热面积：mt K QA ∆=，对加热室作热量衡算，求得Dr h H D Q c =-=)(，1t T t -=∆，T 为加热蒸气的温度，t 1为操作条件下的溶液沸点。