三角函数的有关计算导学案 (2)

注重数形结合的“任意角的三角函数的定义”导学案【关键词】数形结合法三角函数定义导学案新课堂模式下，导学案的编写是非常重要的，它是学生学习新知识，形成独立思维的导航图，是课堂顺利、有效进行的方向标。

下面笔者结合具体案例，谈谈导学案的设计。

【导学目标】从数与形上理解任意角的三角函数概念，会利用定义及图形求三角函数值的问题。

【导学过程】问题引入：现实世界中有很多周期性的现象（比如钟表的指针），所形成的角不一定是锐角，那么我们又该怎样计算它们的三角函数值呢？如求sin180°=？一、独学1.初中锐角三角函数是如何定义的？请画图说明。

2.根据你所画的图形填空：sinα=________,cosα=________，tanα=________.二、群学活动1：初中学过锐角三角函数，是以为自变量，以为函数值的函数。

能否在直角坐标系中用角的终边上点的坐标来表示锐角三角函数？我们把锐角α的顶点与原点O重合，始边与轴非负半轴重合，那么角α的终边在第一象限，在α终边上任取一点P（x，y）；tanα=________=________.【小组展示1】让点P在a角的终边上移动，与点O及点P不重合，得到P’（如图2），对于确定的角a，这三个比值不会随点P在α终边上位置的改变而改变。

活动2：根据小组展示1，取OP=1，即在单位圆中（如图3），可以用直角坐标系下角α终边与单位圆交点的坐标表示锐角三角函数，sinα=________=________；cosα=________=________；tanα=________=________.活动3：锐角三角函数可以用单位圆上点的坐标表示，画出钝角，同时，另外再画任意一个角，找出角的终边与单位圆的交点，能否用单位圆上点的坐标表示？你发现了什么规律？【小组展示2】角可以推广到实数表示的任意角，那么任意角是否也能像锐角一样定义三角函数，应如何设法定义？（如图4）把任意放在直角坐标系中，那么角α的终边与单位圆交于点P（x，y），那么siα=________=________；cosα=________=________；tanα=________=________.活动4：（1）让α角的终边旋转，当a=2k?仔+?仔（k∈Z）时，a的终边横坐标x=0，所以tana无意义，除此之外对任意角a，正弦、余弦、正切都是以角为，以单位圆上点坐标或坐标比值为的函数。

第1课时诱导公式二、三、四1.角的对称(1)π＋α的终边与角α的终边关于□1原点对称，如图a；(2)－α的终边与角α的终边关于□2x轴对称，如图b；(3)π－α的终边与角α的终边关于□3y轴对称，如图c.2．诱导公式1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)利用诱导公式二可以把第三象限角的三角函数化为第一象限角的三角函数．( )(2)利用诱导公式三可以把负角的三角函数化为正角的三角函数．( )(3)利用诱导公式四可以把第二象限角的三角函数化为第一象限角的三角函数．( )(4)诱导公式二～四两边的函数名称一致．( ) (5)诱导公式中的角α只能是锐角．( ) 答案 (1)√ (2)√ (3)√ (4)√ (5)× 2．做一做(1)已知tan α＝4，则tan(π－α)等于( ) A ．π－4 B ．4 C ．－4 D ．4－π 答案 C解析 tan(π－α)＝－tan α＝－4.答案选C. (2)(教材改编P 25例1(2))sin 7π6的值是( ) A ．－12 B ．－2 C ．2 D.12 答案 A解析 sin 7π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π＋π6＝－sin π6＝－12.故选A. (3)cos(3π＋α)＋cos(2π＋α)＝________. 答案 0解析 cos(3π＋α)＋cos(2π＋α)＝cos(π＋α)＋cos α＝ －cos α＋cos α＝0.探究1 给角求值问题 例1 求下列三角函数值：(1)sin(－1200°)；(2)tan945°；(3)cos 119π6. 解 (1)sin(－1200°)＝－sin1200° ＝－sin(3×360°＋120°)＝－sin120° ＝－sin(180°－60°)＝－sin60°＝－32. (2)tan945°＝tan(2×360°＋225°) ＝tan225°＝tan(180°＋45°) ＝tan45°＝1.(3)cos 119π6＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫20π－π6 ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝cos π6＝32. 拓展提升利用诱导公式解决给角求值问题的步骤【跟踪训练1】 求下列各式的值：(1)sin(－1320°)cos1110°＋cos(－1020°)sin750°＋tan495°；(2)sin 8π3cos 31π6＋tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－23π4.解 (1)原式＝sin(120°－4×360°)cos(30°＋3×360°)＋cos(60°－3×360°)sin(30°＋2×360°)＋tan(135°＋360°)＝sin120°·cos30°＋cos60°·sin30°＋tan135°＝32×32＋12×12－1＝0.(2)原式＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π＋2π3·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫4π＋7π6＋tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－6π＋π4 ＝sin 2π3·cos 7π6＋tan π4 ＝sin π3·⎝ ⎛⎭⎪⎫－cos π6＋tan π4 ＝32×⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＋1＝14.探究2 给值求值问题例2 (1)已知cos(π－α)＝－35，且α是第一象限角，则sin(－2π－α)的值是( )A.45 B ．－45 C ．±45 D.35(2)已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝33，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋5π6＝________. 解析 (1)因为cos(π－α)＝－cos α，所以cos α＝35. 因为α是第一象限角，所以sin α>0. 所以sin α＝1－cos 2α＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫352＝45. 所以sin(－2π－α)＝sin(－α)＝－sin α＝－45. (2)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋5π6＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π－⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝－33. 答案 (1)B (2)－33[互动探究] 1.若本例(2)中的条件不变，如何求cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－13π6？解 cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－13π6＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫13π6－α＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2π＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝33.2．若本例(2)条件不变，求cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6＋α－sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6的值．解 因为cos ⎝⎛⎭⎪⎫5π6＋α＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π－⎝⎛⎭⎪⎫π6－α＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝－33，sin 2⎝⎛⎭⎪⎫α－π6＝sin 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤－⎝⎛⎭⎪⎫π6－α＝1－cos 2⎝⎛⎭⎪⎫π6－α＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫332＝23，所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6＋α－sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＝－33－23＝－2＋33. 拓展提升解决条件求值问题的策略(1)解决条件求值问题，首先要仔细观察条件与所求式之间的角、函数名称及有关运算之间的差异及联系．(2)可以将已知式进行变形向所求式转化，或将所求式进行变形向已知式转化．【跟踪训练2】 (1)已知sin β＝13，cos(α＋β)＝－1，则sin(α＋2β)的值为( )A ．1B ．－1 C.13 D ．－13(2)已知cos(α－55°)＝－13，且α为第四象限角，则sin(α＋125°)的值为________；(3)已知tan(π＋α)＝3，求2cos (π－α)－3sin (π＋α)4cos (－α)＋sin (2π－α)的值．答案 (1)D (2)223 (3)见解析 解析 (1)∵cos(α＋β)＝－1， ∴α＋β＝π＋2k π，k ∈Z ，∴sin(α＋2β)＝sin[(α＋β)＋β]＝sin(π＋β)＝－sin β＝－13. (2)∵cos(α－55°)＝－13<0，且α是第四象限角． ∴α－55°是第三象限角． ∴sin(α－55°)＝－1－cos 2(α－55°)＝－223.∵α＋125°＝180°＋(α－55°)， ∴sin(α＋125°)＝sin[180°＋(α－55°)] ＝－sin(α－55°)＝223.(3)因为tan(π＋α)＝3，所以tan α＝3. 故2cos (π－α)－3sin (π＋α)4cos (－α)＋sin (2π－α)＝－2cos α＋3sin α4cos α－sin α ＝－2＋3tan α4－tan α＝－2＋3×34－3＝7.探究3 三角函数式的化简 例3 化简下列各式：(1)tan (2π－α)sin (－2π－α)cos (6π－α)cos (α－π)sin (5π－α)；(2)sin ⎝⎛⎭⎪⎫2k π＋2π3·cos ⎝⎛⎭⎪⎫k π＋4π3(k ∈Z )．解 (1)原式＝sin (2π－α)cos (2π－α)·sin (－α)cos (－α)cos (π－α)sin (π－α)＝－sin α(－sin α)(－cos α)sin α＝－sin αcos α＝－tan α. (2)当k 为偶数时，原式＝sin 2π3·cos 4π3＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫π－π3cos ⎝⎛⎭⎪⎫π＋π3＝－sin π3cos π3＝－34.当k 为奇数时，原式＝sin 2π3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π＋4π3 ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π－π3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π＋π3 ＝sin π3cos π3＝34. 拓展提升三角函数式化简的常用方法(1)依据所给式子合理选用诱导公式将所给角的三角函数转化为角α的三角函数．(2)切化弦：一般需将表达式中的切函数转化为弦函数． (3)注意“1”的应用：1＝sin 2α＋cos 2α＝tan π4.(4)用诱导公式进行化简时，若遇到k π±α(k ∈Z )的形式，需对k 进行分类讨论，然后再运用诱导公式进行化简．【跟踪训练3】 化简：(1)cos (－α)tan (7π＋α)sin (π－α)；(2)sin (1440°＋α)·cos (α－1080°)cos (－180°－α)·sin (－α－180°). 解 (1)cos (－α)tan (7π＋α)sin (π－α)＝cos αtan (π＋α)sin α ＝cos α·tan αsin α＝sin αsin α＝1.(2)原式＝sin (4×360°＋α)·cos (3×360°－α)cos (180°＋α)·[－sin (180°＋α)]＝sin α·cos (－α)(－cos α)·sin α＝cos α－cos α＝－1.1.公式中的角α可以是任意角．2.这四组诱导公式可以叙述为k ·2π＋α(k ∈Z )，－α，π＋α，π－α的三角函数值，等于α的同名三角函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号．3.以上四组公式可用“函数名不变，符号看象限”记忆．其中“函数名不变”是指等式两边的三角函数同名；“符号”是指等号右边是正号还是负号；“看象限”是指假设α是锐角，要看原函数在本公式中角的终边所在象限是取正值还是取负值．如sin(π＋α)，若将α看成锐角，则π＋α在第三象限，正弦在第三象限取负值，故sin(π＋α)＝－sin α.4.诱导公式—～四的应用记忆口诀：负化正，大化小，化到锐角再求值.1．若n 为整数，则化简sin (n π＋α)cos (n π＋α)所得的结果是( )A ．tan nαB ．－tan nαC ．tan αD ．－tan α 答案 C解析 原式＝tan(n π＋α)，无论n 是奇数还是偶数，tan(n π＋α)都等于tan α.2．已知tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝13，则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＋α＝( ) A.13 B ．－13 C.233 D ．－233 答案 B解析 因为tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＋α＝tan ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π－⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝－tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α，所以tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＋α＝－13. 3.cos (－585°)sin495°＋sin (－570°)的值等于________． 答案2－2解析 原式＝cos (360°＋225°)sin (360°＋135°)－sin (210°＋360°)＝cos225°sin135°－sin210°＝cos (180°＋45°)sin(180°－45°)－sin (180°＋30°)＝－cos45°sin45°＋sin30°＝－2222＋12＝2－2.4．已知sin(45°＋α)＝513，则sin(225°＋α)＝________. 答案 －513解析 sin(225°＋α)＝sin[(45°＋α)＋180°]＝－sin(45°＋α)＝－513. 5．化简：sin (α＋n π)＋sin (α－n π)sin (α＋n π)cos (α－n π)(n ∈Z )．解 当n ＝2k ，k ∈Z 时，原式＝ sin (α＋2k π)＋sin (α－2k π)sin (α＋2k π)cos (α－2k π)＝2cos α.当n ＝2k ＋1，k ∈Z 时，原式＝sin[α＋(2k ＋1)π]＋sin[α－(2k ＋1)π]sin[α＋(2k ＋1)π]cos[α－(2k ＋1)π]＝－2cos α.所以原式＝⎩⎪⎨⎪⎧2cos α(n 为偶数)，－2cos α(n 为奇数).A 级：基础巩固练一、选择题 1．cos540°＝( )A ．0B ．1C ．－1 D.12 答案 C解析 cos540°＝cos(180°＋360°)＝cos180°＝－cos0°＝－1，故选C.2．若sin A ＝13，则sin(6π－A )的值为( ) A.13 B ．－13 C ．－223 D.223 答案 B解析 sin(6π－A )＝sin(－A )＝－sin A ＝－13，故选B. 3．若tan(7π＋α)＝a ，则sin (α－3π)＋cos (π－α)sin (－α)－cos (π＋α)的值为( )A.a －1a ＋1B.a ＋1a －1 C ．－1 D ．1答案 B解析 由tan(7π＋α)＝a ，得tan α＝a ， ∴sin (α－3π)＋cos (π－α)sin (－α)－cos (π＋α)＝－sin (3π－α)－cos α－sin α＋cos α ＝sin α＋cos αsin α－cos α＝tan α＋1tan α－1＝a ＋1a －1. 4．若α，β的终边关于y 轴对称，则下列等式成立的是( ) A ．sin α＝sin β B ．cos α＝cos β C ．tan α＝tan β D ．sin α＝－sin β答案 A解析 因为α，β的终边关于y 轴对称，所以β＝π－α＋2k π，k ∈Z .根据诱导公式可知，sin β＝sin(π－α＋2k π)＝sin α，所以正确选项为A.5．下列三角函数式：①sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2n π＋3π4；②cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2n π－π6；③sin ⎝⎛⎭⎪⎫2n π＋π3；④cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤(2n ＋1)π－π6；⑤sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤(2n －1)π－π3.其中n ∈Z ，则函数值与sin π3的值相同的是( )A ．①②B ．②③④C ．②③⑤D ．③④⑤答案 C解析 ①中sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2n π＋3π4＝sin 3π4≠sin π3；②中，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2n π－π6＝cos π6＝sin π3；③中，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2n π＋π3＝sin π3；④中，cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤(2n ＋1)π－π6＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π－π6＝－cos π6≠sin π3；⑤中，sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤(2n －1)π－π3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π－π3＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π＋π3＝sin π3.二、填空题6.2＋2sin (2π－θ)－cos 2(π＋θ)可化简为________． 答案 1－sin θ 解析 2＋2sin (2π－θ)－cos 2(π＋θ)＝2－2sin θ－cos 2θ ＝2－2sin θ－(1－sin 2θ) ＝sin 2θ－2sin θ＋1 ＝(sin θ－1)2＝1－sin θ.7．已知cos(508°－α)＝1213，则cos(212°＋α)＝________. 答案 1213解析 cos(212°＋α)＝cos[720°－(508°－α)] ＝cos(508°－α)＝1213.8．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧sinπx ，x <0，f (x －1)－1，x >0，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－116＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫116的值为________．答案 －2解析 因为f ⎝⎛⎭⎪⎫－116＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫－11π6＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫－2π＋π6＝sin π6＝12；f ⎝ ⎛⎭⎪⎫116＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫56－1＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－16－2＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6－2＝－12－2＝－52. 所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－116＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫116＝－2.三、解答题9．已知函数f (x )＝6cos (π＋x )＋5sin 2(π－x )－4cos (2π－x )，且f (m )＝2，试求f (－m )的值．解 因为f (x )＝6cos (π＋x )＋5sin 2(π－x )－4cos (2π－x )＝－6cos x ＋5sin 2x －4cos x， 又因为f (－x )＝－6cos (－x )＋5sin 2(－x )－4cos (－x )＝－6cos x ＋5sin 2x －4cos x ＝f (x )，所以f (－m )＝f (m )＝2.B 级：能力提升练已知1＋tan (θ＋720°)1－tan (θ－360°)＝3＋22，求[cos 2(π－θ)＋sin(π＋θ)cos(π－θ)＋2sin 2(θ－π)]·1cos 2(－θ－2π)的值．解 由1＋tan (θ＋720°)1－tan (θ－360°)＝3＋22，得(4＋22)tan θ＝2＋22， 所以tan θ＝2＋224＋22＝22.故[cos 2(π－θ)＋sin(π＋θ)·cos(π－θ)＋2sin 2(θ－π)]·1cos 2(－θ－2π)＝(cos 2θ＋sin θcos θ＋2sin 2θ)·1cos 2θ＝1＋tan θ＋2tan 2θ＝1＋22＋2×⎝ ⎛⎭⎪⎫222＝2＋22.。

淮安市南陈集中学__九_年级_数学_教学案主备人：_张勇_ 审核人：_田小波__ 第_7_章第__3_节特殊角的三角函数值第_1_课时总第_4_课时教学班级：___________授课人：___________教学日期：___________淮安市南陈集中学九年级数学导学案主备人：张勇审核人：田小波第 7 章第 3 节特殊角的三角函数值导学案日期：__________ 班级：___________ 姓名：__________ 组别：__________ 评价：_________【教学目标】1.熟记30°、45°、60°特殊角的三角函数值，并利用其进行求值计算。

2.会根据特殊角的正弦、余弦、正切值求该锐角的大小。

3.经历操作观察思考求解等过程，感受数形结合的数学思想方法。

【教学重点】利用三角函数有关概念解决问题 【教学难点】利用三角函数有关概念解决问题 【自主学习】 要养成阅读、思考的好习惯哦！※请同学们仔细阅读课本P.105—106内容，认真完成下面的预习作业，相信你一定行的！复习、归纳1．分别说出30°、45°、60°角的三角函数值。

【课中交流】 有目标才能成功！1.计算.（1）cos45°－sin30° （2）sin 260°＋cos 260°(3)tan45°－sin30°·cos60° (4) 020230tan 45cos2．化简：︒︒︒sin60cos60tan45－·tan 30°;3.求满足下列条件的锐角α。

(1) cos α=23(2)2sin α=1(3)2sin α－2=0 (4)3tan α－1=04.已知：如图，在Rt △ABC 中， 90=∠C，AC 点D 为BC 边上一点，且2BD AD =，60ADC ∠=︒．求△ABC 周长．（结果保留根号）【拓展延伸】 挑战自我，走向辉煌！ 如图，已知秋千吊绳的长度3.5m ，求秋千升高1m 时，秋千吊绳与竖直方向所成的角度（精确到0.1°）（已知sin45.6°=57）B【课堂记录】D CBA。

【新教材】5.2.1 三角函数的概念（人教A版）1.借助单位圆理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义．2.掌握任意角三角函数(正弦、余弦、正切)在各象限的符号．3.掌握公式一并会应用．1.数学抽象：理解任意角三角函数的定义；2.逻辑推理：利用诱导公式一求三角函数值；3.直观想象：任意角三角函数在各象限的符号；4.数学运算：诱导公式一的运用.重点：①借助单位圆理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义；②掌握任意角三角函数(正弦、余弦、正切)在各象限的符号.难点：理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义．一、预习导入阅读课本177-180页，填写。

1．单位圆在直角坐标系中，我们称以原点O为圆心，以__________为半径的圆为单位圆．2．任意角的三角函数的定义(1)条件在平面直角坐标系中，设α是一个任意角，它的终边与__________交于点P(x，y)，那么：图1­2­1(2)结论①y叫做α的__________，记作__________，即sin α＝y；②x叫做α的__________，记作__________，即cos α＝x；③yx叫做α的__________，记作__________，即tan α＝yx(x≠0)．(3)总结正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，我们将它们统称为三角函数．思考：若已知α的终边上任意一点P的坐标是(x，y)，则其三角函数定义为？在平面直角坐标系中，设α的终边上任意一点P的坐标是(x，y)，它与原点O的距离是r(r＝x2＋y2＞0)．三角函数定义名称sinα__________ 正弦cosα__________ 余弦tanα__________ 正切正弦函数、余弦函数、正切函数统称三角函数.3．正弦、余弦、正切函数在弧度制下的定义域三角函数定义域sin α__________cos α__________tan α__________4．正弦、余弦、正切函数值在各象限内的符号(1)图示：图1­2­2(2)口诀：“一全正，二__________，三__________，四__________”．5．诱导公式一1．若角α的终边经过点P (2，3)，则有( )A ．sin α＝21313B ．cos α＝132C ．sin α＝31313D ．tan α＝232．已知sin α＞0，cos α＜0，则角α是( )A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角3．sin 253π＝ ．4．角α终边与单位圆相交于点M ⎝⎛⎭⎫32，12，则cos α＋sin α的值为 ．题型一 三角函数的定义及应用例1 在平面直角坐标系中，角α的终边在直线y ＝－2x 上，求sin α，cos α，tan α的值． 跟踪训练一1．已知角θ终边上一点P (x,3)(x ≠0)，且cos θ＝1010x ，求sin θ，tan θ. 题型二 三角函数值的符号例2 (1)若α是第四象限角，则点P (cos α，tan α)在第________象限．(2)判断下列各式的符号： ①sin 183°；②tan 7π4；③cos 5. 跟踪训练二1．确定下列式子的符号：(1) tan 108°·cos 305°；(2)cos 5π6·tan11π6sin2π3；(3)tan 120°·sin 269°.题型三 诱导公式一的应用例3 求值：(1)tan 405°－sin 450°＋cos 750°；(2)sin 7π3cos ⎝⎛⎭⎫－23π6＋tan ⎝⎛⎭⎫－15π4cos 13π3.跟踪训练三 1．化简下列各式：(1)a 2sin(－1 350°)＋b 2tan 405°－2ab cos(－1 080°)； (2)sin ⎝⎛⎭⎫－11π6＋cos 125π·tan 4π.1．有下列说法：①终边相同的角的同名三角函数的值相等； ②sin α是“sin”与“α”的乘积；③若sin α＞0，则α是第一、二象限的角；④若α是第二象限的角，且P (x ，y )是其终边上一点，则cos α＝－. 其中正确的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．32．如果α的终边过点(2sin 30°，－2cos 30°)，那么sin α＝( )A. 12B ．－12C. 32D ．－323．若sin θ·cos θ＞0，则θ在( )A ．第一或第四象限B ．第一或第三象限C ．第一或第二象限D ．第二或第四象限4．若cos α＝－32，且角α的终边经过点P (x ，2)，则P 点的横坐标x 是( )A ．2B ．±2C ．－2D ．－25．在平面直角坐标系xOy 中，角α与角β均以Ox 为始边，它们的终边关于x 轴对称，若sin α＝51，则sin β＝ ．6．求值：(1)sin 180°＋cos 90°＋tan 0°；(2)cos 25π3+tan15π4.答案小试牛刀 1．C 2．B 3．324.3＋12. 自主探究例1 【答案】当α的终边在第二象限时，sin α＝255，cos α＝－55，tan α＝－2.当α的终边在第四象限时， sin α＝－255，cos α＝55，tan α＝－2.【解析】当α的终边在第二象限时，在α终边上取一点P (－1，2)，则r ＝－12＋22＝5，所以sin α＝25＝255，cos α＝－15＝－55，tan α＝2－1＝－2.当α的终边在第四象限时， 在α终边上取一点P ′(1，－2)， 则r ＝12＋－22＝5，所以sin α＝－25＝－255，cos α＝15＝55，tan α＝－21＝－2.跟踪训练一1．【答案】当x ＝1时，sin θ＝31010，tan θ＝3；当x ＝－1时，此时sin θ＝31010，tan θ＝－3.【解析】由题意知r ＝|OP |＝x 2＋9，由三角函数定义得cos θ＝x r ＝xx 2＋9.又∵cos θ＝1010x ，∴x x 2＋9＝1010x .∵x ≠0，∴x ＝±1. 当x ＝1时，P (1,3)，此时sin θ＝312＋32＝31010，tan θ＝31＝3.当x ＝－1时，P (－1,3)，此时sin θ＝3－12＋32＝31010，tan θ＝3－1＝－3. 例2 【答案】（1）四； （2） ①sin 183°<0；②tan 7π4<0；③cos 5>0. 【解析】(1)∵α是第四象限角，∴cos α>0，tan α<0，∴点P (cos α，tan α)在第四象限． (2) ①∵180°<183°<270°，∴sin 183°<0； ②∵3π2<7π4<2π，∴tan 7π4<0；③∵3π2<5<2π，∴cos 5>0.跟踪训练二1．【答案】(1) tan 108°·cos 305°＜0；(2) cos 5π6·tan11π6sin2π3＞0；（3）tan 120°sin 269°＞0.【解析】(1)∵108°是第二象限角，∴tan 108°＜0.∵305°是第四象限角，∴cos 305°＞0.从而tan 108°·cos 305°＜0. (2)∵5π6是第二象限角，11π6是第四象限角，2π3是第二象限角，∴cos 5π6＜0，tan 11π6＜0，sin 2π3＞0.从而cos 5π6·tan11π6sin2π3＞0.(3)∵120°是第二象限角，∴tan 120°＜0，∵269°是第三象限角，∴sin 269°＜0.从而tan 120°sin 269°＞0.例3 【答案】（1）32；（2）54. 【解析】 (1)原式＝tan(360°＋45°)－sin(360°＋90°)＋cos(2×360°＋30°) ＝tan 45°－sin 90°＋cos 30°＝1－1＋32＝32. (2)原式＝sin ⎝⎛⎭⎫2π＋π3cos ⎝⎛⎭⎫－4π＋π6＋tan ⎝⎛⎭⎫－4π＋π4·cos ⎝⎛⎭⎫4π＋π3 ＝sin π3cos π6＋tan π4cos π3＝32×32＋1×12＝54.跟踪训练三1．【答案】（1）(a －b )2 ； （2）12.【解析】(1)原式＝a 2sin(－4×360°＋90°)＋b 2tan(360°＋45°)－2ab cos(－3×360°)＝a 2sin 90°＋b 2tan 45°－2ab cos 0° ＝a 2＋b 2－2ab ＝(a －b )2. (2)sin ⎝⎛⎭⎫－116π＋cos 125π·tan 4π ＝sin ⎝⎛⎭⎫－2π＋π6＋cos 125π·tan 0＝sin π6＋0＝12. 当堂检测1-4． BDBD 5.−156．【答案】(1) 0；(2) 32 .【解析】 (1)sin 180°＋cos 90°＋tan 0°＝0＋0＋0＝0.(2) cos25π3+tan15π4＝cos π3+tan π4＝12＋1＝32.。

直角三角形边角关系导学案一、定义二、典型例题例1、如图，在Rt△ABC中，若tan A＝，AB＝10，则△ABC的面积为（）1题2题1、如图，在平面直角坐标系中，第一象限内的点P在射线OA上，OP＝13，cosα＝，则点P的坐标2、如图，D为平面直角坐标系内一点，OD与x轴构成∠1，那么tan∠1＝（）3、如图，在平面直角坐标系xOy中，AB＝2，连结AB并延长至C，连结OC，若满足OC2＝BC•AC，tanα＝3，则点C的坐标为（）3题4题5题4、如图，△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，若∠BCD＝30°，则sin∠A＝．5、如图，在△ABC中，∠B＝30°，tan C＝，AD⊥BC于点D．若AD＝4，求BC的长．6、如图，△ABC的顶点B，C的坐标分别是（1，0），（0，），且∠ABC＝90°，∠A＝30°，求点A的坐标．6题7题7、已知△ABC中，∠C=90°，tan A=12，D是AC上一点，∠CBD=∠A，则cos∠CDB的值为（）8、如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，sin A＝，BC＝，则AC的长为（）A．B．3C．D．23．在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝2，，则AC的长是（）A．B．3C．D．例2、△ABC中∠C＝90°，若AB＝2，∠A＝α，则AC的长为（）A．2sinαB．2cosαC．D．1、．Rt△ABC的边长都扩大2倍，则sin A的值（）A．不变B．变大C．变小D．无法判断18．如果将Rt△ABC各边的长度都扩大到原来的2倍，那么锐角∠A的正切值（）A．扩大到原来的2倍B．扩大到原来的4倍C．没有变化D．缩小到原来的一半19．把△ABC三边的长度都扩大为原来的3倍，则锐角A的余弦值（）A．不变B．缩小为原来的C．扩大为原来的3倍D．无法确定20．将Rt△ABC的各边长都缩小到原来的，则锐角A的正切值（）A．不变B．缩小为原来的C．扩大为原来的2倍D．缩小为原来的5．在Rt△ABC中，∠B＝90°，如果∠A＝α，BC＝a，那么AC的长是（）A．a•tanαB．a•cotαC．D．6．在Rt△ABC中，∠B＝90°，如果∠A＝α，BC＝α．那么AC的长是（）A．α•tanαB．α•tanαα•cotαC．D．例3、如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠D＝90°，AB＝3，BC＝2，tan A＝，则CD的值为（）1、如图，在△ABC中，sin B＝，tan C＝，AB＝4，则AC的长为．1题2题2、如图，在△ABC中，∠A＝45°，tan B＝，BC＝10，则AB的长为．3、在△ABC中，∠B＝120°，AB＝4，BC＝2，求AC的长．3题例3、如图，△ABC的顶点是正方形网格的格点，则cos∠ABC的值为（）42题2、如图，在边长相同的小正方形网格中，点A、B、C、D都在这些小正方形的顶点上，AB与CD相交于点P，则∠APD的余弦值为（）1．如图所示，△ABC的顶点是正方形网格的格点，则tan B的值为（）A．B．C．D．11题4题7题4．如图，△ABC的顶点在正方形网格的格点上，则tan∠ABC的值为（）A．B．1C．D．7．如图所示，网格中的每个小正方形的边长都是1，△ABC的顶点都在交点处，则∠ABC的正弦值为（）A．B．C．D．8．如图，点A、B、O都在格点上，则∠AOB的正弦值是（）B．C．D．A．8题9题10题9．如图，点A，B，C在正方形网格的格点处，sin∠ABC等于（）A．B．C．D．10．如图，在网格图形中，点A、O、B均在格点上，则tan∠AOB的值为（）A．B．2C．D．11．如图，在正方形方格纸中，每个小正方形的边长都是1，点A，B，C，D都在格点处，AB与CD相交于点O，则sin∠BOD的值是（）B．C．D．A．11题12题14题15题12．三角形在正方形网格纸中的位置如图所示，则sinα的值是（）A．B．C．D．14．在正方形网格中，△ABC的位置如图所示，则cos A的值是（）A．B．C．D．15．如图所示，△ABC的顶点在正方形网格的格点上，则tan A的值为（）A．B．C．2D．216．如图，点A、B、C均在边长为1的正方形网格的格点上，则sin∠BAC的值为（）B．1C．D．A．B．16题17题22题17．如图，网格中小正方形的边长均为1，△ABC的顶点都在格点上，则cos∠BAC等于（）A．B．C．D．22．如图，在正方形方格纸中，每个小的四边形都是相同的正方形，A，B，C，D都在格点处，AB与CD相交于点P，则sin∠APC的值为（）A．B．C．D．23．如图，在正方形方格纸中，每个小的四边形都是相同的正方形，点A，B，C，D都在格点处，AB与CD相交于点O，则tan∠BOD的值是（）B．C．D．A．B．22题23题25题24．如图，△ABC的顶点均在正方形网格的格点上，则sin∠ABC的值为（）A．B．2C．D．25．如图，将△ABC放在每个小正方形的边长为1的网格中，点A，B，C在格点上，则∠A 正切值是（）27．如图所示，在边长相同的小正方形组成的网格中，两条经过格点的线段相交所成的锐角为α，则夹角α的正弦值为（）A．B．C．D．128．如图在4×4的正方形方格图形中，小正方形的顶点称为格点△ABC的顶点都在格点上，则∠BAC的正弦值是（）A．B．C．D．529．如图，点A、B、C都在边长为1的正方形格点上，连接AB、BC，则cos∠ABC的值为（）A．B．C．D．1特殊角三角函数导学案一、推导30O 45O60OSinCostan二、典型例题例1、．在△ABC中，若sin A＝，cos B＝，∠A，∠B都是锐角，则∠C的度数是（）1、已知α为锐角，且2cos（α+10°）＝，则α等于2、王明同学遇到了这样一道题，，则锐角α的度数为3、已知，α+45°为锐角，则α＝．4、△ABC中，∠A，∠B都是锐角，若cos A＝，tan B＝1，则∠C＝．5、若sin（x﹣20°）＝，则x＝．例2、在△ABC中，若|sin A﹣|+（cos B﹣）2＝0，且∠A、∠B为锐角，则∠C的度数是．7．在△ABC中，若，则∠C＝．8．在△ABC中，∠A、∠B为锐角，且|sin A﹣|+（﹣3tan B）2＝0，则∠C＝度．9．若（3tan A﹣）2+|2sin B﹣|＝0，则以∠A、∠B为内角的△ABC的形状是．10、在△ABC中，若，则∠C的度数为．例3、计算：2cos45°+2sin60°﹣tan60°．2sin30°﹣tan45°+cos230°．sin30°﹣tan30°•tan60°+cos245°．2cos60°+2sin30°+3tan45°．sin30°+|sin60°﹣1|﹣（﹣1）2021 2cos45°+（π﹣3.14）0+|1﹣|+（）﹣1 （﹣1）0+（）﹣2+|﹣2|+tan60°|1﹣|+（2022﹣π）0+（﹣）﹣2﹣tan60°﹣4sin30°+|﹣2| |﹣3|﹣2tan45°+（﹣1）2022﹣（﹣π）0（）﹣1﹣+3tan30°+|﹣2|2cos60°﹣（﹣）﹣2+|2﹣|﹣（π﹣2020）0．﹣（2021﹣π）0+|5﹣|﹣tan60°．2cos30°﹣（﹣3）﹣2+（π﹣）0﹣tan60°．sin45°﹣|2﹣|+（π﹣1）0+（﹣）﹣1．（﹣2）﹣2+3tan30°﹣|﹣2|+（π﹣2022）0．。

人教版九年级数学下册导学案28.1锐角三角函数锐角三角函数(第2课时)学习目标1.探究体验,当直角三角形的锐角固定时,它是邻边与斜边、对边与邻边都固定这一事实.2.理解余弦、正切的概念,能根据余弦、正切的概念进行相关计算.学习过程一、自主复习1.在直角三角形中,当锐角A的度数一定时,不管三角形的大小如何,∠A的对边与斜边的比都是.2.在Rt△ABC中,∠C=90°,我们把锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的,记作.二、新知探究1.问题如图,在Rt△ABC和Rt△A'B'C',中,∠C=∠C'=90°,∠A=∠A'.那么(1)ACAB 与A'C'A'B'有什么关系?(2)BCAC与B'C'A'C'呢?解析:(1)∵∠C=∠C'=90°,,∴△ABC∽△A'B'C',∴,即ACAB =A'C'A'B'.(3)∵△ABC∽△A'B'C', ∴,即BCAC =B'C'A'C'.2.结论:(1)在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A的邻边斜边叫做∠A的,记作,即cos A=.(2)在Rt △ABC 中,∠C=90°,∠A 的对边∠A 的邻边叫做∠A 的 ,记作 ,即tan A= .(3)锐角A 的正弦、余弦、正切都叫做∠A 的 . 三、例题探析1.例题:(教材例2)如图,在Rt △ABC 中,∠C=90°,AB=10,BC=6,求sin A 、 cos A 、tan A 的值.解:由勾股定理,得AC= = = , 故sin A=∠A 的对边斜边= = ,cos A=∠A 的邻边斜边= = ,tan A=∠A 的对边∠A 的邻边= = .2.拓展:在例题的条件下,求sin B ,cos B ,tan B 的值. 解:四、知识梳理本节课你所学习的三个定义分别是什么? 答:评价作业(满分100分)1.(8分)在Rt △ABC 中,∠C=90°,∠A ,∠B ,∠C 所对的边分别为a ,b ,c ,则下列等式中不正确的是( )A.a=c×sin AB.b=a×tan BC.b=c×sin BD.c=b cosB2.(8分)已知Rt △ABC 中,∠C=90°,AB=5,BC=3,则tan B 的值是( ) A.35B.34C.45D.433.(8分)已知Rt △ABC 中,∠C=90°,tan A=4,BC=8,则AC 等于( ) A.6 B.323 C.10D.124.(8分)如图所示,若cos α=√10,则sin α的值为()10A.√1010B.23C.34D.3√10105.(8分)如图,在边长为1的小正方形组成的网格中,△ABC的三个顶点均在格点上,则cos ∠ABC的值是.6.(8分)如图所示,AB是☉O的直径,AB=15,AC=9,连接BC,则tan∠ADC=.,则tan B的7.(8分)如图所示,在Rt△ABC中,∠C=90°,AM是BC边上的中线,sin∠CAM=35值是.,AB=26.求cos B及AC的长.8.(10分)在Rt△ABC中,∠C=90°,tan A=239.(10分)如图所示,在△ABC中,AD是BC边上的高,tan B=cos∠DAC.(1)求证AC=BD;(2)若sin C=12,BC=12,求AD的长.1310.(12分)如图所示,在Rt△ABC中,∠C=90°,D是BC边上一点,AC=2,CD=1,设∠CAD=α.(1)求sin α,cos α,tan α的值;(2)若∠B=∠CAD,求BD的长.11.(12分)在Rt△ABC中,∠C=90°,请利用锐角三角函数的定义及勾股定理探索∠A的正弦、余弦之间的关系.参考答案学习过程一、自主复习1.固定的2.正弦sin A二、新知探究1.解析:(1)∠A=∠A'ACA'C'=ABA'B'(2)BCB'C'=ACA'C'2.结论:(1)余弦cos A bc(2)正切tan A ab(3)锐角三角函数三、例题探析1.解:√AB2-BC2√102-628BCAB 35ACAB45BCAC342.解:sin B=ACAB =45,cos B=BCAB=35,tan B=ACBC=43.四、知识梳理答:略评价作业1.D2.D3.A4.D5.√556.347.238.解:在Rt △ABC 中,∠C=90°,∴tan A=BCAC=23,∴设BC=2k ,AC=3k ,由勾股定理可得AB=√13k ,∴√13k=26,∴k=2√13,∴BC=2k=4√13,AC=3k=6√13,∴cos B=BCAB =4√1326=2√1313.∴AC 的长为6√13,cos B=2√1313. 9.(1)证明:∵AD 是BC 边上的高,∴AD ⊥BC ,∴∠ADB=90°,∠ADC=90°.在Rt △ABD 和Rt △ADC 中,tan B=AD BD ,cos ∠DAC=AD AC ,又∵tan B=cos ∠DAC ,∴AD BD =ADAC ,∴AC=BD.(2)解:在Rt △ADC 中,sin C=ADAC =1213,故可设AD=12k ,AC=13k ,∴CD=√AC 2-AD 2=5k ,∵BC=BD+CD ,又AC=BD ,∴BC=13k+5k=18k ,∵BC=12,∴18k=12,∴k=23,∴AD=12k=12×23=8.10.解:在Rt △ACD 中,∵AC=2,DC=1,∴AD=2+CD 2=√5.(1)sin α=CDAD =√5=√55,cosα=ACAD =√5=2√55,tan α=CD AC =12.(2)在Rt △ABC 中,tan B=ACBC ,即tan α=2BC =12,∴BC=4,∴BD=BC-CD=4-1=3. 11.解:∠A 的正弦、余弦值的平方和等于1,理由如下:∵sin A=ac ,cos A=bc ,a 2+b 2=c 2, ∴sin 2A+cos 2A=(a c )2+(b c )2=a 2+b 2c 2=1.。

11.3三角函数的诱导公式 第二课时学习目标：1.经历诱导公式五、六的推导过程，体会数学知识的“发现”过程。

2.掌握诱导公式五、六，能初步应用公式解决一些简单的问题。

复习案回顾三角函数的诱导公式二到公式四，公式二： 公式三： 公式四：sin()cos()tan()παπαπα+=+=+= sin()cos()tan()ααα-=-=-= sin()cos()tan()παπαπα-=-=-=它们的记忆口诀是：探究案 一、探究角α与απ-2终边的关系 问题1.画出角α关于直线y x =对称的角的终边.设角α与单位圆的交点为P ，所画的角与单位圆的交点为'P ，问题2：：由图象我们可以看到，与角α关于直线y x =对称的角可以表示为如上图单位圆中，假设点P 的坐标为）（y x ,，则'P 的坐标为 =sin α ,=cos α=)-sin(απ2 ,=)-cos(απ2由此可得出αcos 与)-sin(απ2，αsin 与)-cos(απ2的关系，总结为公式为：预习检测1. 1、化简1）⎪⎭⎫⎝⎛-βπ25sin 2） )27cos(απ-2、证明：ααπcos 23sin )1-=⎪⎭⎫⎝⎛- ααπsin 23cos )2-=⎪⎭⎫⎝⎛- 证：二．由（公式五）推导（公式六）观察可得记忆口诀：把α看成锐角，函数名奇变偶不变，符号看象限。

预习检测2：1、求值：（1） )+cos(323ππ 5(2)sin 6π（用两种方法计算）=)-cos(=)-sin(απαπ22=)+cos(=)+sin(απαπ222典型例题：（一）例1：化简：1）11sin(2)cos()cos()cos()229cos()sin(3)sin()sin()2πππαπαααππαπαπαα-++-----+例2、已知0sin 75=，求00cos15,cos165.例3、已知:,212sin 计算-=⎪⎭⎫⎝⎛+απ（1）();2cos απ- （2）()πα7tan -例4、若⎪⎭⎫⎝⎛+=απα2cos sin ,则角α的集合为 课后练习案1、化简：1）()()()()0000261sin .171sin 99sin .1071sin --+-；2) ()()αππααππα--⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛-2cos .2sin .25sin 2cos 3）()()()ααα-+--sin 360tan cos 022、计算：1）()()0000660cos .330sin 750cos .420sin --+ 2）⎪⎭⎫⎝⎛-++425tan 325cos 625sin πππ3、已知():,21sin 计算-=+απ 1）⎪⎭⎫ ⎝⎛-23cos πα 2）⎪⎭⎫ ⎝⎛-απ2tan。

《简单的三角恒等变换》导学案一、学习目标1、能够运用两角和与差的正弦、余弦、正切公式进行简单的恒等变换。

2、掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式，并能进行简单的恒等变换。

3、能运用三角恒等变换解决一些简单的实际问题。

二、学习重难点1、重点（1）两角和与差的正弦、余弦、正切公式的应用。

（2）二倍角公式的应用。

2、难点（1）灵活运用三角恒等变换公式进行化简、求值和证明。

（2）三角恒等变换与其他数学知识的综合应用。

三、知识回顾1、两角和与差的正弦、余弦、正切公式（1）＼（＼sin(＼alpha ＋＼beta) ＝＼sin\alpha\cos\beta ＋＼cos\alpha\sin\beta\）（2）＼（＼sin(＼alpha ＼beta) ＝＼sin\alpha\cos\beta ＼cos\alpha\sin\beta\）（3）＼（＼cos(＼alpha ＋＼beta) ＝＼cos\alpha\cos\beta ＼sin\alpha\sin\beta\）（4）＼（＼cos(＼alpha ＼beta) ＝＼cos\alpha\cos\beta ＋＼sin\alpha\sin\beta\）（5）＼（＼tan(＼alpha ＋＼beta) ＝＼frac{＼tan\alpha ＋＼tan\beta}｛1 ＼tan\alpha\tan\beta}＼）（6）＼（＼tan(＼alpha ＼beta) ＝＼frac{＼tan\alpha ＼tan\beta}｛1 ＋＼tan\alpha\tan\beta}＼）2、二倍角公式（1）＼（＼sin 2\alpha ＝ 2\sin\alpha\cos\alpha\）（2）＼（＼cos 2\alpha ＝＼cos^2\alpha ＼sin^2\alpha ＝2\cos^2\alpha 1 ＝ 1 2\sin^2\alpha\）（3）＼（＼tan 2\alpha ＝＼frac{2\tan\alpha}｛1 ＼tan^2\alpha}＼）四、新课导入在数学中，三角恒等变换是解决三角函数问题的重要工具。