人教A版数学必修四《任意角的三角函数》word导学案

1.2任意角的三角函数
1.2.1 任意角的三角函数（一）
一、学习目标、细解考纲
1.借助单位圆理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义．(重点、难点)
2.掌握任意角三角函数(正弦、余弦、正切)在各象限的符号．(易错点)
3掌握公式——并会应用．
4.借助单位圆给出任意角三角函数的定义，培养了学生数学抽象和数学建模的核心素养.
5.通过利用三角函数定义及符号特点求值，提升了学生直观想象和数学运算的核心素养.
二、自主学习—————（素养催化剂）
（阅读教材第11—14页内容，完成以下问题：）
1.任意角的正弦,余弦,正切是怎样定义的?明确函数定义域
2.各函数在每个象限的符号怎么判断?
3.理解公式一,明确公式一的作用
三、探究应用,“三会培养”(素养生长剂)
四、拓展延伸、智慧发展（素养强壮剂）
五、备选例题
六、本课总结、感悟思考（素养升华剂）。

§ 1.2.1 任意角三角函数（1）..…学习目标1. 掌握任意角的正弦，余弦，正切的定义.2. 掌握正弦，余弦，正切函数的定义域和这三种函数的值在各象限的符号.学习过程一、课前准备（预习教材Pn~ P15，找出疑惑之处）在初中，我们利用直角三角形来定义锐角三角函数，你能说出锐角三角函数的定义吗？探探索新知问题1:你能用直角坐标系中角的终边上的点的坐标来表示锐角三角函数吗？问题2:改变终边上的点的位置这三个比值会改变吗？为什么?问题3:怎样将锐角三角函数推广到任意角?问题4:锐角三角函数的大小仅与角A的大小有关, 与直角三角形的大小无关，任意角的三角函数大小有无类似性质？问题5:随着角的确定，三个比值是否唯一确定？依据函数定义，可以构成一个函数吗？问题6:对于任意角的三角函数思考下列问题：①定义域；②函数值的符号规律③三个函数在坐标轴上的取值情况怎样？④终边相同的角相差2的整数倍，那么这些角的同一三角函数值有何关系?例1已知角的终边经过点P (2,-3), 求2sin cos tanA. (2k ,(2k 1) ) , k ZB. [2k -,(2k 1) ] , k Z2C [k 2,(k 1) ]，k Z变式训练⑴：已知角的终边经过点P (2a, -3a ) (a 0),求2sin cos tan 的值.变式训练⑵：角的终边经过点P (-X , -6 )且cos5，求X的值.13例2:确定下列三角函数值的符号7(1) cos 12 (2)s in (-465 o) (3)tan11变式训练⑴:若cos >0且tan <0，试问角为第几象限角变式训练⑵:使sin cos<0成立的角的集合为( )A.k k,k Z12B2k2k,k Z12C.2k 32k 2 ,k Z 2D.2k2k Z122动手试试1、函数、• sin x cosx的定义域是(D. [2k ,(2k 1) ] , k Z2、若B 是第三象限角，且 COS —0,则一是() 2 2 A.第一象限角B.第二象限角C.第三象限角 D •第四象限角3、已知点P ( tan ,cos )在第三象限，则角在 () A 第一象限B •第二象限 C.第三象限D •第四象限三角函数的定义及性质， 特殊角的三角函数值， 三角函数的符号问题 符号规律可概括为：“一正二正弦，三切四余弦” .丄 学习评价探 当堂检测(时量：5分钟 满分：10分)计分：1、若角a 终边上有一点 P(a,|a|)(a R 且a 0)，则Sin 的值为J2 &2 A 、二 B 、一二 22— C 土上2D 、以上都不对2 2、下列各式中不成立的一个是() A cos260 0 B 、tan( 1032 ) 06 17C sin 0D 、tan 1^ 0 5 3 3、已知a 终边经过 P( 5,12)，则sin .4、若a 是第二象限角，则点 A(sin ,cos )是第 几 ____________ 象限的点4、已知 sin tan> 0,则的取值集合为 各象限的三角函数的5、已知角0的终边在直线y = x 上，3贝H sin 0 = _______ ; tan = ___________ .7、(1)已知角 的终边经过点P(4, — 3)，求2sin +cos 的值; (2)已知角 的终边经过点 P(4a, — 3a)(a 丰0)，求2sin +cos(3)已知角 终边上一点P 与x 轴的距离和与y 轴的距离之比为3 ： 4 (且均不为零)， 求2sin +cos 的值. 尹课后作业6、设角x 的终边不在坐标轴上，求函数 sin x cosx tanx |sinx| | cosx| |tanx| 的值域• 的值;。

1.2.1 任意角的三角函数（1）导学案【学习目标】1.掌握任意角的三角函数的定义；2.已知角α终边上一点，会求角α的各三角函数值；3.记住三角函数的定义域、值域，诱导公式（一）. 【导入新课】【复习导入一】：初中锐角的三角函数是如何定义的？在Rt ABC ∆中，设A 对边为a ，B 对边为b ，C 对边为c ，锐角A 的正弦、余弦、正切依次为sin ,cos ,tan a b a A A A c c b=== ． 角推广后，这样的三角函数的定义不再适用，我们必须对三角函数重新定义. 【情境导入二】提问：锐角O 的正弦、余弦、正切怎样表示？ 借助直角三角形，复习回顾.引入：锐角三角函数就是以锐角为自变量，以比值为函数值的函数.你能用直角坐标系中角的终边上点的坐标来表示锐角三角函数吗?设锐角α的顶点与原点O 重合,始边与x 轴的正半轴重合,那么它的终边在第一象限.在α的终边上任取一点(,)P a b ,它与原点的距离0r =>.过P作x 轴的垂线,垂足为M ,则线段OM 的长度为a ,线段MP 的长度为b .则sin MP bOP r α==；cos OM a OP r α==;tan MP bOM aα==. 思考：对于确定的角α，这三个比值是否会随点P 在α的终边上的位置的改变而改变呢？ 显然，我们可以将点取在使线段OP 的长1r =的特殊位置上，这样就可以得到用直角坐标系内的点的坐标表示锐角三角函数：sin MP b OP α==;cos OM a OP α==;tan MP bOM aα==. 思考：上述锐角α的三角函数值可以用终边上一点的坐标表示.那么,角的概念推广以后，我们应该如何对初中的三角函数的定义进行修改，以利推广到任意角呢？本节课就研究这个问题――任意角的三角函数. 新授课阶段1．三角函数定义在直角坐标系中，设α是一个任意角，α终边上任意一点P （除了原点）的坐标为(,)x y，它与原点的距离为(0)r r ==>，那么：（1）比值y r叫做α的正弦，记作sin α，即sin y r α=；（2）比值x r 叫做α的余弦，记作cos α，即cos xr α=； （3）比值y x叫做α的正切，记作tan α，即tan y x α=；说明：①α的始边与x 轴的非负半轴重合，α的终边没有表明α一定是正角或负角，以及α的大小，只表明与α的终边相同的角所在的位置；②根据相似三角形的知识，对于确定的角α，三个比值不以点(,)P x y 在α的终边上的位置的改变而改变大小； ③当()2k k Z παπ=+∈时，α的终边在y 轴上，终边上任意一点的横坐标x 都等于0，所以tan yxα=无意义. ④除以上两种情况外，对于确定的值α，比值y r 、x r 、yx分别是一个确定的实数，所以正弦、余弦、正切 是以角为自变量，一比值为函数值的函数，以上三种函数统称为三角函数.2．三角函数的定义域、值域义{|,}2k k Z ααπ≠+∈例1 已知角α的终边经过点(2,3)P -，求α的三个函数制值. 解： 变式训练：已知角α的终边过点0(3,4)P --，求角α的正弦、余弦和正切值.解：例2 求下列各角的正弦值、余弦值、正切值：（1）0；（2）π；（3）32π．解：例3 已知角α的终边过点(,2)(0)a a a≠，求α的正弦值、余弦值、正切值. 解：变式训练：求函数xxxxytantancoscos+=的值域.解析：答案：4．三角函数的符号由三角函数的定义，以及各象限内点的坐标的符号，我们可以得知：①正弦值yr对于第一、二象限为正（0,0y r >>），对于第三、四象限为负（0,0y r <>）；②余弦值xr对于第一、四象限为正（0,0x r >>），对于第二、三象限为负（0,0x r <>）；③正切值yx对于第一、三象限为正（,x y 同号），对于第二、四象限为负（,x y 异号）． 说明：若终边落在轴线上，则可用定义求出三角函数值. 5．诱导公式由三角函数的定义，就可知道：终边相同的角三角函数值相同.即有：sin(2)sin k απα+=，cos(2)cos k απα+=， tan(2)tan k απα+=，其中k Z ∈．课堂小结1．任意角的三角函数的定义； 2．三角函数的定义域、值域；3．三角函数的符号及诱导公式.作业 见 同步练习 拓展提升1.α是第二象限角，P （x ，5）为其终边上一点，且x42cos =α，则αsin 的值为（ ）A. 410B. 46C. 42D.410-2.α是第二象限角，且2cos2cosαα-=，则2α是（ ）A. 第一象限角B. 第二象限角C. 第三象限角D. 第四象限角3．如果,42ππ<θ<那么下列各式中正确的是（ ） A. cos tan sin θ<θ<θ B. sin cos tan θ<θ<θ C. tan sin cos θ<θ<θ D. cos sin tan θ<θ<θ 二、填空题4.已知α的终边过（-a 39，2+a ）且0cos ≤α，0sin >α，则α的取值范围是 .5.函数x x y tan sin +=的定义域为 .6.4tan 3cos 2sin ⋅⋅的值为 （正数，负数，0，不存在）. 三、解答题7.已知角α的终边上一点P的坐标为（y ）（y 0≠），且sin y 4α=，求cos tan αα和1.2.1 任意角的三角函数（1）导学案参考答案例1解：因为2,3x y ==-，所以r ==sin13y r α===-；cos 13x r α===； 3tan 2y x α==-. 变式训练 解：4sin 5y r α==-,3cos 5x r α==-,4tan 3y x α==. 例2解：（1）因为当0α=时，x r =，0y =，所以sin 00=， cos 01=， tan 00=；（2）因为当απ=时，x r =-，0y =，所以sin 0π=， cos 1π=-， tan 0π=；（3）因为当32πα=时，0x =，y r =-，所以 3sin12π=-， 3cos 02π=， 3tan 2π不存在. 例3解：因为过点(,2)(0)a a a ≠，所以|r a =，,2x a y a ==.当0siny a r α>====时，cosx r α===；2tan =α；当0siny a r α<===时，cosx r α===；2tan =α． 变式训练：解析：分四个象限讨论.答案：{2，-2，0}拓展提升一、选择题：1. A 2 . C 3． D二、填空题4.]3,2(- 5. ⎭⎬⎫⎩⎨⎧Z∈+≠kkxx,2|ππ6. 负数三、解答题7. 解：由题意，得：sin y4α==解得：y=cos tan43α=-α=±。

§1.2.1 任意角三角函数（2）1.利用与单位圆有关的有向线段，将任意角的正弦、余弦、正切函数值别离用正弦线、余弦线、正切线表示出来，并能作出三角函数线。

2.培育分析、探讨问题的能力。

增进对数形结合思想的理解和感悟。

1517，找出疑惑的地方）咱们已学过任意角的三角函数，给出了任意角的正弦，余弦，正切的概念。

想一想能不能用几何元素表示三角函数值？（例如，能不能用线段表示三角函数值？）二、新课导学※ 探索新知问题1： 在初中，咱们明白锐角三角函数能够看成线段的比，那么，任意角的三角函数是不是也能够看成是线段的比呢？问题2：在三角函数概念中，是不是能够在角α的终边上取一个特殊点使得三角函数值的表达式更为简单？问题3．有向线段，有向线段的数量，有向线段长度的概念如何。

问题4．如何作正弦线、余弦线、正切线。

※ 典型例题例1：作出下列各角的三角函数线（1）611π （2）32π-例2:比较下列各组数的大小(1)sin1和sin 3π (2)cos 74π和cos 75π (3)tan 89π和tan 79π (4)sin 5π和tan 5π变式训练①：若α是锐角（单位为弧度），试利用单位圆及三角函数线，比较αααtan ,sin ,之间的大小关系。

变式训练②：按照单位圆中的正弦线，你能发觉正弦函数值有如何的转变规律。

例3：利用单位圆别离写出符合下列条件的角α的集合（1）21sin -=α， （2）21sin ->α ， (3) 3tan ≤α 。

变式训练①：已知角α的正弦线和余弦线别离是方向一正一反,长度相等的有向线段,则α的终边在 （ ）A 第一象限角平分线上B 第二象限角平分线上C 第三象限角平分线上D 第四象限角平分线上变式训练②：当角α,β知足什么条件时有βαsin sin =.变式训练③：sin α>cos α,则α的取值范围是_________。

变式训练④：已知集合E={θ|cos θ<sin θ,0πθ2≤≤}, F={θtan θ<sin θ}。

1.1.1.任意角学习目标.1.了解角的概念.2.掌握正角、负角和零角的概念，理解任意角的意义.3.熟练掌握象限角、终边相同的角的概念，会用集合符号表示这些角.知识点一.角的相关概念思考1.用旋转方式定义角时，角的构成要素有哪些？答案.角的构成要素有始边、顶点、终边.思考2.将射线OA绕着点O旋转到OB位置，有几种旋转方向？答案.有顺时针和逆时针两种旋转方向.思考3.如果一个角的始边与终边重合，那么这个角一定是零角吗？答案.不一定，若角的终边未作旋转，则这个角是零角.若角的终边作了旋转，则这个角就不是零角.梳理.(1)角的概念：角可以看成平面内一条射线绕着端点O从一个位置OA旋转到另一个位置OB 所成的图形.点O是角的顶点，射线OA，OB分别是角α的始边和终边.(2)按照角的旋转方向，分为如下三类：知识点二.象限角思考.把角的顶点放在平面直角坐标系的原点，角的始边与x轴的非负半轴重合，旋转该角，则其终边(除端点外)可能落在什么位置？答案.终边可能落在坐标轴上或四个象限内.梳理.在直角坐标系内，使角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合.象限角：终边在第几象限就是第几象限角；轴线角：终边落在坐标轴上的角.知识点三.终边相同的角思考1.假设60°的终边是OB，那么－660°，420°的终边与60°的终边有什么关系，它们与60°分别相差多少？答案.它们的终边相同.－660°＝60°－2×360°，420°＝60°＋360°，故它们与60°分别相差了－2个周角及1个周角.思考2.如何表示与60°终边相同的角？答案.60°＋k·360°(k∈Z).梳理.终边相同角的表示：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和.类型一.任意角概念的理解例1.(1)给出下列说法：①锐角都是第一象限角；②第一象限角一定不是负角；③第二象限角是钝角；④小于180°的角是钝角、直角或锐角.其中正确说法的序号为 .(把正确说法的序号都写上)(2)将时钟拨快20分钟，则分针转过的度数是 .答案.(1)①.(2)－120°解析.(1)锐角指大于0°小于90°的角，都是第一象限的角，所以①对；由任意角的概念知，第一象限角也可为负角，第二象限角不一定是钝角，小于180°的角还有负角、零角，所以②③④错误.(2)分针每分钟转6°，由于顺时针旋转，所以20分钟转了－120°.反思与感悟.解决此类问题要正确理解锐角、钝角、0°～90°角、象限角等概念.角的概念推广后，确定角的关键是确定旋转的方向和旋转量的大小.跟踪训练1.写出下列说法所表示的角.(1)顺时针拧螺丝2圈；(2)将时钟拨慢2小时30分，分针转过的角.解.(1)顺时针拧螺丝2圈，螺丝顺时针旋转了2周，因此所表示的角为－720°.(2)拨慢时钟需将分针按逆时针方向旋转，因此将时钟拨慢2小时30分，分针转过的角为900°.类型二.象限角的判定例2.在0°～360°范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判定它们是第几象限角.(1)－150°；(2)650°；(3)－950°15′.解.(1)因为－150°＝－360°＋210°，所以在0°～360°范围内，与－150°角终边相同的角是210°角，它是第三象限角.(2)因为650°＝360°＋290°，所以在0°～360°范围内，与650°角终边相同的角是290°角，它是第四象限角.(3)因为－950°15′＝－3×360°＋129°45′，所以在0°～360°范围内，与－950°15′角终边相同的角是129°45′角，它是第二象限角. 引申探究确定αn(n ∈N *)的终边所在的象限.解.一般地，要确定αn所在的象限，可以作出各个象限的从原点出发的n 等分射线，它们与坐标轴把周角分成4n 个区域，从x 轴的非负半轴起，按逆时针方向把这4n 个区域依次标上1，2，3，4，…，4n ，标号为几的区域，就是根据α所在第几象限时，αn的终边所落在的区域，如此，αn所在的象限就可以由标号区域所在的象限直观的看出.反思与感悟.判断象限角的步骤： (1)当0°≤α<360°时，直接写出结果；(2)当α<0°或α≥360°时，将α化为k ·360°＋β(k ∈Z ，0°≤β<360°)，转化为判断角β所属的象限.跟踪训练2.下列各角分别是第几象限角？请写出与下列各角终边相同的角的集合S ，并把S 中适合不等式－360°≤β<720°的元素β写出来. (1)60°；(2)－21°.解.(1)60°角是第一象限角，所有与60°角终边相同的角的集合S ＝{β|β＝60°＋k ·360°，k ∈Z }，S 中适合－360°≤β<720°的元素是60°＋(－1)×360°＝－300°，60°＋0×360°＝60°，60°＋1×360°＝420°.(2)－21°角是第四象限角，所有与－21°角终边相同的角的集合S ＝{β|β＝－21°＋k ·360°，k ∈Z }，S 中适合－360°≤β<720°的元素是－21°＋0×360°＝－21°，－21°＋1×360°＝339°，－21°＋2×360°＝699°. 类型三.终边相同的角命题角度1.求与已知角终边相同的角例3.在与角10 030°终边相同的角中，求满足下列条件的角. (1)最大的负角；(2)最小的正角；(3)[360°，720°)的角.解.与10 030°终边相同的角的一般形式为β＝k ·360°＋10 030°(k ∈Z )，(1)由－360°＜k ·360°＋10 030°＜0°，得－10 390°＜k ·360°＜－10 030°，解得k ＝－28，故所求的最大负角为β＝－50°.(2)由0°＜k ·360°＋10 030°＜360°，得－10 030°＜k ·360°＜－9 670°，解得k ＝－27，故所求的最小正角为β＝310°.(3)由360°≤k ·360°＋10 030°＜720°，得－9 670°≤k ·360°＜－9 310°，解得k ＝－26，故所求的角为β＝670°.反思与感悟.求适合某种条件且与已知角终边相同的角，其方法是先求出与已知角终边相同的角的一般形式，再依条件构建不等式求出k 的值.跟踪训练3.写出与α＝－1 910°终边相同的角的集合，并把集合中适合不等式－720°≤β＜360°的元素β写出来.解.由终边相同的角的表示知，与角α＝－1 910°终边相同的角的集合为{β|β＝k ·360°－1 910°，k ∈Z }. ∵－720°≤β＜360°，即－720°≤k ·360°－1 910°＜360°(k ∈Z )， ∴31136≤k ＜61136(k ∈Z )，故取k ＝4，5，6. 当k ＝4时，β＝4×360°－1 910°＝－470°； 当k ＝5时，β＝5×360°－1 910°＝－110°； 当k ＝6时，β＝6×360°－1 910°＝250°. 命题角度2.求终边在给定直线上的角的集合 例4.写出终边在直线y ＝－3x 上的角的集合.解.终边在y ＝－3x (x <0)上的角的集合是S 1＝{α|α＝120°＋k ·360°，k ∈Z }； 终边在y ＝－3x (x ≥0)上的角的集合是S 2＝{α|α＝300°＋k ·360°，k ∈Z }.因此，终边在直线y ＝－3x 上的角的集合是S ＝S 1∪S 2＝{α|α＝120°＋k ·360°，k ∈Z }∪{α|α＝300°＋k ·360°，k ∈Z }，即S ＝{α|α＝120°＋2k ·180°，k ∈Z }∪{α|α＝120°＋(2k ＋1)·180°，k ∈Z }＝{α|α＝120°＋n ·180°，n ∈Z }.故终边在直线y ＝－3x 上的角的集合是S ＝{α|α＝120°＋n ·180°，n ∈Z }.反思与感悟.求终边在给定直线上的角的集合，常用分类讨论的思想，即分x ≥0和x <0两种情况讨论，最后再进行合并. 跟踪训练4.写出终边在直线y ＝33x 上的角的集合. 解.终边在y ＝33x (x ≥0)上的角的集合是S 1＝{α|α＝30°＋k ·360°，k ∈Z }；终边在y＝33x(x<0)上的角的集合是S2＝{α|α＝210°＋k·360°，k∈Z}.因此，终边在直线y＝33x上的角的集合是S＝S1∪S2＝{α|α＝30°＋k·360°，k∈Z}∪{α|α＝210°＋k·360°，k∈Z}，即S＝{α|α＝30°＋2k·180°，k∈Z}∪{α|α＝30°＋(2k＋1)·180°，k∈Z}＝{α|α＝30°＋n·180°，n∈Z}.故终边在直线y＝33x上的角的集合是S＝{α|α＝30°＋n·180°，n∈Z}.类型四.区域角的表示例5.如图所示.(1)写出终边落在射线OA，OB上的角的集合；(2)写出终边落在阴影部分(包括边界)的角的集合.解.(1)终边落在射线OA上的角的集合是{α|α＝k·360°＋210°，k∈Z}.终边落在射线OB上的角的集合是{α|α＝k·360°＋300°，k∈Z}.(2)终边落在阴影部分(含边界)的角的集合是{α|k·360°＋210°≤α≤k·360°＋300°，k∈Z}.反思与感悟.解答此类题目应先在0°～360°上写出角的集合，再利用终边相同的角写出符合条件的所有角的集合，如果集合能化简的还要化成最简.跟踪训练5.如图所示，写出终边落在阴影部分的角的集合.解.设终边落在阴影部分的角为α，角α的集合由两部分组成.①{α|k·360°＋30°≤α<k·360°＋105°，k∈Z}.②{α|k·360°＋210°≤α<k·360°＋285°，k∈Z}.∴角α的集合应当是集合①与②的并集，即S＝{α|k·360°＋30°≤α<k·360°＋105°，k∈Z}∪{α|k·360°＋210°≤α<k·360°＋285°，k∈Z}＝{α|2k·180°＋30°≤α<2k·180°＋105°，k∈Z}∪{α|(2k＋1)180°＋30°≤α<(2k＋1)180°＋105°，k∈Z}＝{α|2k·180°＋30°≤α<2k·180°＋105°或(2k＋1)·180°＋30°≤α<(2k＋1)180°＋105°，k∈Z}＝{α|n·180°＋30°≤α<n·180°＋105°，n∈Z}.1.下列说法正确的是(..)A.终边相同的角一定相等B.钝角一定是第二象限角C.第一象限角一定不是负角D.小于90°的角都是锐角答案.B2.与－457°角终边相同的角的集合是(..)A.{α|α＝k·360°＋457°，k∈Z}B.{α|α＝k·360°＋97°，k∈Z}C.{α|α＝k·360°＋263°，k∈Z}D.{α|α＝k·360°－263°，k∈Z}答案.C解析.－457°＝－2×360°＋263°，故选C.3.2 017°是第象限角.答案.三解析.因为2 017°＝5×360°＋217°，故2 017°是第三象限角.4.与－1 692°终边相同的最大负角是 .答案.－252°解析.∵－1 692°＝－4×360°－252°，∴与－1 692°终边相同的最大负角为－252°.5.写出终边落在坐标轴上的角的集合S.解.终边落在x轴上的角的集合：S1＝{β|β＝k·180°，k∈Z}；终边落在y轴上的角的集合：S2＝{β|β＝k·180°＋90°，k∈Z}.∴终边落在坐标轴上的角的集合：S＝S1∪S2＝{β|β＝k·180°，k∈Z}∪{β|β＝k·180°＋90°，k∈Z}＝{β|β＝2k·90°或β＝(2k＋1)·90°，k∈Z}＝{β|β＝n·90°，n∈Z}.1.对角的理解，初中阶段是以“静止”的眼光看，高中阶段应用“运动”的观点下定义，理解这一概念时，要注意“旋转方向”决定角的“正负”，“旋转幅度”决定角的“绝对值大小”.2.关于终边相同的角的认识一般地，所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和. 注意：(1)α为任意角；(2)k·360°与α之间是“＋”号，k·360°－α可理解为k·360°＋(－α)；(3)相等的角终边一定相同；终边相同的角不一定相等，终边相同的角有无数多个，它们相差360°的整数倍；(4)k∈Z这一条件不能少.课时作业一、选择题1.把－1 485°化成k·360°＋α(0°≤α＜360°，k∈Z)的形式是(..)A.315°－5×360°B.45°－4×360°C.－315°－4×360°D.－45°－10×180°答案.A解析.可以估算－1 485°介于－5×360°与－4×360°之间.∵0°≤α＜360°，∴k＝－5，则α＝315°.2.若α是第四象限角，则180°－α是(..)A.第一象限角B.第二象限角C.第三象限角D.第四象限角答案.C解析.可以给α赋一特殊值－60°，则180°－α＝240°，故180°－α是第三象限角.3.设A＝{θ|θ为锐角}，B＝{θ|θ为小于90°的角}，C＝{θ|θ为第一象限的角}，D＝{θ|θ为小于90°的正角}，则下列等式中成立的是(..)A.A＝BB.B＝CC.A＝CD.A＝D答案.D解析.直接根据角的分类进行求解，容易得到答案.4.时针走过了2小时40分，则分针转过的角度是(..)A.80°B.－80°C.960°D.－960°答案.D解析.分针转过的角是负角，且分针每转一周是－360°，故共转了－360°×(2＋4060)＝－960°.5.若α与β的终边关于x轴对称，则α可以用β表示为(..)A.2kπ＋β(k∈Z)B.2kπ－β(k∈Z)C.kπ＋β(k∈Z)D.kπ－β(k∈Z)答案.B解析.∵α与β的终边关于x轴对称，∴α＋β＝2kπ(k∈Z)，∴α＝2kπ－β(k∈Z).故选B.6.设集合A＝{α|α＝45°＋k·180°，k∈Z}∪{α|α＝135°＋k·180°，k∈Z}，集合B ＝{β|β＝45°＋k·90°，k∈Z}，则(..)A.A∩B＝∅B.A BC.B AD.A＝B答案.D解析.对于集合A，α＝45°＋k·180°＝45°＋2k·90°或α＝135°＋k·180°＝45°＋90°＋2k·90°＝45°＋(2k＋1)·90°.∵k∈Z，∴2k表示所有的偶数，2k＋1表示所有的奇数，∴集合A＝{α|α＝45°＋n·90°，n∈Z}，又集合B＝{β|β＝45°＋k·90°，k∈Z}，∴A＝B.故选D.二、填空题7.已知角α＝－3 000°，则与α终边相同的最小正角是 .答案.240°解析.与α＝－3 000°终边相同的角的集合为{θ|θ＝－3 000°＋k·360°，k∈Z}，令－3 000°＋k ·360°>0°，解得k >253，故当k ＝9时，θ＝240°满足条件.8.如图，终边落在OA 的位置上的角的集合是 ；终边落在OB 的位置上，且在－360°～360°内的角的集合是 ；终边落在阴影部分(含边界)的角的集合是 .答案.{α|α＝120°＋k ·360°，k ∈Z }.{315°，－45°} {α|－45°＋k ·360°≤α≤120°＋k ·360°，k ∈Z } 解析.终边落在OA 的位置上的角的集合是 {α|α＝120°＋k ·360°，k ∈Z }. 终边落在OB 的位置上的角的集合是 {α|α＝315°＋k ·360°，k ∈Z }， 取k ＝0，－1得α＝315°，－45°. 故终边落在OB 的位置上，且在－360°～360°内的角的集合是{315°，－45°}. 终边落在阴影部分的角的集合是{α|－45°＋k ·360°≤α≤120°＋k ·360°，k ∈Z }. 9.若α＝k ·360°＋45°，k ∈Z ，则α2是第 象限角.答案.一或三解析.∵α＝k ·360°＋45°，k ∈Z ， ∴α2＝k ·180°＋22.5°，k ∈Z . 当k 为偶数，即k ＝2n ，n ∈Z 时，α2＝n ·360°＋22.5°，n ∈Z ，∴α2为第一象限角； 当k 为奇数，即k ＝2n ＋1，n ∈Z 时，α2＝n ·360°＋202.5°，n ∈Z ，∴α2为第三象限角. 综上，α2是第一或第三象限角.10.集合A ＝{α|α＝k ·90°－36°，k ∈Z }，B ＝{β|－180°<β<180°}，则A ∩B＝ .答案.{－126°，－36°，54°，144°} 解析.当k ＝－1时，α＝－126°； 当k ＝0时，α＝－36°； 当k ＝1时，α＝54°； 当k ＝2时，α＝144°.∴A ∩B ＝{－126°，－36°，54°，144°}. 三、解答题11.如图所示，半径为1的圆的圆心位于坐标原点，点P 从点A (1，0)出发，以逆时针方向等速沿单位圆周旋转，已知P 点在1 s 内转过的角度为θ (0°<θ<180°)，经过2 s 到达第三象限，经过14 s 后又回到了出发点A 处，求θ.解.∵0°<θ<180°，且k ·360°＋180°<2θ<k ·360°＋270°，k ∈Z ， 则一定有k ＝0，于是90°<θ<135°. 又∵14θ＝n ·360°(n ∈Z )， ∴θ＝n ·180°7，从而90°<n ·180°7<135°，∴72<n <214，∴n ＝4或5. 当n ＝4时，θ＝720°7；当n ＝5时，θ＝900°7.12.已知角β的终边在直线3x －y ＝0上. (1)写出角β的集合S ；(2)写出集合S 中适合不等式－360°<β<720°的元素.解.(1)如图，直线3x －y ＝0过原点，倾斜角为60°，在0°～360°范围内，终边落在射线OA 上的角是60°，终边落在射线OB 上的角是240°，所以以射线OA ，OB 为终边的角的集合分别为S 1＝{β|β＝60°＋k ·360°，k ∈Z }，........S 2＝{β|β＝240°＋k ·360°，k ∈Z }，所以，角β的集合S ＝S 1∪S 2＝{β|β＝60°＋k ·360°，k ∈Z }∪{β|β＝60°＋180°＋k ·360°，k ∈Z }＝{β|β＝60°＋2k ·180°，k ∈Z }∪{β|β＝60°＋(2k ＋1)·180°，k ∈Z }＝{β|β＝60°＋n ·180°，n ∈Z }.(2)由于－360°<β<720°，即－360°<60°＋n ·180°<720°，n ∈Z .解得－73<n <113，n ∈Z ，所以n ＝－2，－1，0，1，2，3.所以集合S 中适合不等式－360°<β<720°的元素为60°－2×180°＝－300°；60°－1×180°＝－120°；60°＋0×180°＝60°；60°＋1×180°＝240°；60°＋2×180°＝420°；60°＋3×180°＝600°.13.已知α，β都是锐角，且α＋β的终边与－280°角的终边相同，α－β的终边与670°角的终边相同，求角α，β的大小.解.由题意可知，α＋β＝－280°＋k ·360°，k ∈Z .∵α，β为锐角，∴0°＜α＋β＜180°.取k ＝1，得α＋β＝80°.①α－β＝670°＋k ·360°，k ∈Z .∵α，β为锐角，∴－90°＜α－β＜90°.取k ＝－2，得α－β＝－50°，② 由①②得α＝15°，β＝65°.。

1-21《任意角的三角函数》导学案【学习目标】（1）掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义（包括这三种三角函数的定义域和函数值在各象限的符号）；（2）理解任意角的三角函数不同的定义方法；（3）了解如何利用与单位圆有关的有向线段，将任意角u的正眩、余眩、正切函数值分别用正弦线、余弦线、正切线表示岀來；（4）掌握并能初步运用公式一；（5）树立映射观点，正确理解三角函数是以实数为自变量的函数.［重点难点】重点:''任金角的正弦、余弦、正切的定义（包括这三种三角函数的定义域和函数值在各象限的符号）；终边相同的角的同一三角函数值相等（公式一）.难点：任意角的正弦、余眩、正切的定义（包括这三种三角函数的定义域和函数值在各象限的符号）；三角函数线的正确理解.【学法指导】1.了解三角函数的两种定义方法；2.知道三角函数线的基木做法.【知识链接】：根据课本本节内容，完成预习目标，完成以下各个概念的填空.三、提出疑惑【学习过程】（一）复习：1、初中锐角的三角函数 ______ - ___________________________ ____________________________2、在RtAABC中，设A对边为a, B对边为b, C对边为c,锐角A的正弦、余弦、正切依次为（二）新课：1.三角函数定义在直角坐标系屮，设a是一个任意角，a终边上任意一点P （除了原点）的坐标为（X, y）,它与原点的距离为心=+ 〉0）,那么（1）________ 比值 ________________________ 叫做U的正眩，记作,即（2）________ 比值叫做a的余弦，记作,即（3）________ 比值叫做a的正切，记作，即;2.三角函数的定义域、值域3.三角函数的符号由三角函数的定义，以及各彖限内点的坐标的符号，我们可以得知：①正弦值上对于第一、二象限为 ________ (y>0“>0),对于第三、四象限为—r(y < 0, r > 0 ):x②余弦值一对于第一、四象限为 ________ (x>0,r>0 ),对于第二、三象限为—r(x v 0,厂> 0 )；③正切值上对于第一、三象限为 __________ 同号)，对于第二、四象限为__________________ (兀y异号).4.诱导公式由三角函数的定义，就可知道：_________________________________即有：•__________________5.当角的终边上一点P(x.y)的坐标满足 _______________________ 时，有三和函数止弦.余弦、止切值的几何表示一一三角函数线。

第2课时三角函数线1.了解三角函数线的定义和意义.2.会用三角函数线表示一个角的正弦、余弦和正切.3.掌握三角函数线的简单应用.三角函数线(1)有向线段：带有的线段叫做有向线段.(2)定义：如图，设单位圆与x轴的正半轴交于点A，与角α的终边交于点P(角α的顶点与原点重合，角α的始边与x轴的非负半轴重合).过点P作x轴的垂线PM，垂足为M，过点A作单位圆的切线交OP的延长线(或反向延长线)于T点，这样就有sin α＝，cos α＝，tan α＝.单位圆中的有向线段MP、OM、AT分别叫做角α的线、线、线，统称为三角函数线.①三角函数线的位置：正弦线为α的终边与单位圆的交点到x轴的垂直线段；余弦线在x轴上；正切线在过单位圆与x轴正方向的交点的切线上，三条有向线段中正弦线和余弦线在单位圆内，正切线在单位圆外.②三角函数线的方向：正弦线由垂足指向α的终边与单位圆的交点；余弦线由原点指向垂足；正切线由切点指向单位圆与α的终边(或反向延长线)的交点.③三角函数线的正负：三条有向线段凡与x轴正方向或y轴正方向同向的为正值，与x 轴正方向或y轴正方向反向的为负值.④三角函数线的书写：有向线段的起点字母在前，终点字母在后.⑤三角函数线的意义：三角函数线的方向表示三角函数值的符号；三角函数线的长度等于所表示的三角函数值的绝对值.【做一做1－1】如图所示，P是角α的终边与单位圆的交点，PM⊥x轴于M，AT和A′T′均是单位圆的切线，则角α的()A.正弦线是PM ，正切线是A ′T ′B.正弦线是MP ，正切线是A ′T ′C.正弦线是MP ，正切线是ATD.正弦线是PM ，正切线是AT【做一做1－2】 不论角α的终边位置如何，在单位圆中作三角函数线时，下列说法正确的是( )A.总能分别作出正弦线、余弦线、正切线B.总能分别作出正弦线、余弦线、正切线，但可能不只一条C.正弦线、余弦线、正切线都可能不存在D.正弦线、余弦线总存在，但正切线不一定存在答案：(1)方向 (2)MP OM AT 正弦 余弦 正切 【做一做1－1】 C 【做一做1－2】 D三角函数线的应用剖析：三角函数线是三角函数值的直观表达形式，从三角函数线的方向可看出三角函数值的符号，从三角函数线的长度可看出三角函数值的绝对值大小.三角函数线的主要作用是解三角方程和不等式、证明三角不等式、求函数定义域及比较大小，同时它也是以后画三角函数图象的基础.题型一 解三角方程【例1】 在单位圆中画出满足sin α＝12的角α的终边，并写出α组成的集合.分析：先作出直线y ＝12与单位圆的交点P ，Q ，再连接OP ，OQ 即得.反思：形如sin α＝m ，cos α＝n ，tan α＝t 的等式，可借助于三角函数线写出α组成的集合.其步骤是：①在单位圆中画出α的终边；②在［0,2π)内找出满足条件的角；③用终边相同的角的集合写出.题型二 解简单的三角不等式【例2】 解不等式sin α≥－12.分析：由于sin ⎝⎛⎭⎫－π6＝sin 76π＝－12，则在坐标系中画出－π6和76π，确定α的终边位置. 反思：解简单的三角不等式时，常借助于三角函数线，转化为终边在某区域内的角的范围.如本题转化为求终边在优弧AB 对应的扇形区域内角的范围.题型三 易错辨析易错点 错解函数的定义域【例3】 求函数y ＝1＋2cos x ＋lg(2sin x ＋3)的定义域.错解：要使函数有意义，则需满足1＋2cos x ≥0且2sin x ＋3＞0，即cos x ≥－12，且sinx ＞－32.所以2k π＋4π3≤x ≤2k π＋8π3且2k π－π3＜x ＜2k π＋4π3，其中k ∈Z .其交集为空集，故无定义域.错因分析：因两个不等式中的k 各自独立，因此上述两集合是有公共部分的，如图所示.反思：解三角不等式组时，先解每个三角不等式，再取它们的交集.取交集时，要注意各自解集中k 的独立性.答案：【例1】 解：如图，作直线y ＝12交单位圆于点P ，Q ，连接OP ，OQ ，则射线OP ，OQ为角α的终边．由于sin π6＝12，sin 5π6＝12，则OP 是π6的终边，OQ 是5π6的终边．所以α＝π6＋2k π或α＝5π6＋2k π，k ∈Z .则α组成的集合为S ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪α＝π6＋2k π或α＝5π6＋2k π，k ∈Z .【例2】 解：如图所示，作直线y ＝－12交单位圆于A ，B 两点，则∠xOA ＝7π6，∠xOB＝－π6.过在直线AB 上方的圆弧上任一点P 作PM ⊥x 轴于M ，则MP ＝sin α.则α的终边不能与直线AB 下方的圆弧有交点，则有2k π－π6≤α≤2k π＋7π6(k ∈Z )．即原不等式的解集是⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪2k π－π6≤α≤2k π＋76π，k ∈Z .【例3】 正解：要使函数有意义，则需同时满足1＋2cos x ≥0且2sin x ＋3＞0，即cos x ≥－12，且sin x ＞－32.由cos x ≥－12，知2k π－2π3≤x ≤2k π＋2π3，k ∈Z .由sin x ＞－32，知2n π－π3＜x ＜2n π＋4π3，n ∈Z ， ∴x 的取值范围是{x |2k π－π3＜x ≤2k π＋2π3，k ∈Z }．1．下列各式正确的是( ) A.sin 1＞sin 3πB.sin 1＜sin 3πC.sin 1＝sin3πD.sin 1≥sin3π2．已知tan x ＝1，则x ＝________.3．不等式cos x ＞0的解集是________. 4．在单位圆中画出满足cos α＝12的角α的终边，并写出α组成的集合.5．求函数y 的定义域.答案：1．B 1和π3的终边均在第一象限，且π3的正弦线大于1的正弦线，则sin 1＜πsin3. 2．x ＝π4＋k π(k ∈Z ) 3．{x |2k π－π2＜x ＜2k π＋π2，k ∈Z }． 如图所示，OM 是角x 的余弦线，则有cos x＝OM ＞0，∴OM 的方向向右．∴角x 的终边在y 轴的右方．∴2k π－π2＜x ＜2kx ＋π2，k ∈Z . 4. 解：如图所示，作直线x ＝12交单位圆于M ，N ，连接OM ，ON ，则OM ，ON 为α的终边．由于πcos 3＝12，5πcos 3＝12，则M 在π3的终边上，N 在5π3的终边上，则α＝π3＋2k π或α＝5π3＋2k π，k ∈Z .所以α组成的集合为 S ＝π5π|2π2π,Z 36k k k ααα⎧⎫=+=+∈⎨⎬⎩⎭或. 5．解：要使函数有意义，自变量x 的取值需满足－1－2cos x ≥0， 得cos x ≤12-，如图所示，则x 的终边在阴影部分的区域内． 由于2πcos3＝12-，4πcos 3＝12-，则M 在2π3的终边上，N 在4π3的终边上， 则2π3＋2k π≤x ≤4π3＋2k π，k ∈Z .所以函数的定义域是2π4π|2π2π,Z 33x k x k k ⎧⎫+≤≤+∈⎨⎬⎩⎭.。

1.1 任意角和弧度制导学案2、掌握终边相同角的表示方法，并能解决一些简单问题。

【重点、难点】：1、将0°—360°范围的角推广到任意角,终边相同的角的集合；2、用集合来表示终边相同的角.25体操跳水比赛中有“转体720º”，“翻腾转体两周半”这样的动作名称,720º在这里表示什么？任务二、新课导学※探索新知问题1：在初中我们是如何定义一个角的？角的范围是什么？问题2：（1）手表慢了5分钟，如何校准，校准后，分针转了几度？（2）手表快了10分钟，如何校准，校准后，分针转了几度？新授课阶段一、角的定义与范围的扩大1．角的定义：一条射线绕着它的端点O，从起始位置OA旋转到终止位置OB，形成一个角α，点O是角OA OB分别是角α的终边、始边.的顶点，射线,2．角的分类：按____________方向旋转形成的角叫做；按方向旋转形成的角叫做__________ ；如果____________________________，我们称它形成了一个零角；综上，我们把角的概念推广到__________，任意角包括_____________________。

说明：零角的始边和终边重合.例1.能以同一条射线为始边作出下列角吗？210º-150º-660º990º3．象限角和轴线角在直角坐标系中，使角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x 轴的非负轴重合，则 （1）象限角：若角的终边（端点除外）在第几象限，我们就说这个角是第几象限角. 例如：30,390,330-ooo都是第一象限角；300,60-oo是第四象限角. （2）轴线角：如角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何象限. 例如：90,180,270ooo等等.说明：角的始边“与x 轴的非负半轴重合”不能说成是“与x 轴的正半轴重合”.因为x 轴的正半轴不包括原点，就不完全包括角的始边，角的始边是以角的顶点为其端点的射线.问题：上述四个角分别是第几象限角，那些终边在坐标轴上，其中哪些角的终边相同.例2.在0º到360º的范围内，找出与下列各角终边相同的角，并分别判断它们是第几象限角： （1）650º （2）-150º （3）-990º15¹【探索——终边相同角的表示】阅读课本第4页上端内容，将课文补充完整，并回答下面的问题： 1、在直角坐标系中标出210°，-150°，570o 角的终边，你有什么发现？它们之间有何数量关系？2、所有与角α终边相同的角，连同角α在内，怎样用一个集合表示出来？即任一与角α终边相同的角，都可以表示成 _________________________________。

任意角的三角函数1.2.1 任意角的三角函数整体设计教学分析学生已经学过锐角三角函数,它是用直角三角形边长的比来刻画的.锐角三角函数的引入与“解三角形”有直接关系.任意角的三角函数是刻画周期变化现象的数学模型,它与“解三角形”已经没有什么关系了.因此,与学习其他基本初等函数一样,学习任意角的三角函数,关键是要使学生理解三角函数的概念、图象和性质,并能用三角函数描述一些简单的周期变化规律,解决简单的实际问题.本节以锐角三角函数为引子,利用单位圆上点的坐标定义三角函数.由于三角函数与单位圆之间的这种紧密的内部联系,使得我们在讨论三角函数的问题时,对于研究哪些问题以及用什么方法研究这些问题等,都可以从圆的性质(特别是对称性)中得到启发.三角函数的研究中,数形结合思想起着非常重要的作用.利用信息技术,可以很容易地建立角的终边和单位圆的交点坐标、单位圆中的三角函数线之间的联系,并在角的变化过程中,将这种联系直观地体现出来.所以,信息技术可以帮助学生更好地理解三角函数的本质.激发学生对数学研究的热情,培养学生勇于发现、勇于探索、勇于创新的精神;通过学生之间、师生之间的交流合作,实现共同探究、教学相长的教学情境.三维目标1.通过借助单位圆理解并掌握任意角的三角函数定义,理解三角函数是以实数为自变量的函数,并从任意角的三角函数定义认识正弦、余弦、正切函数的定义域,理解并掌握正弦、余弦、正切函数在各象限内的符.2.通过对任意角的三角函数定义的理解,掌握终边相同角的同一三角函数值相等.3.正确利用与单位圆有关的有向线段,将任意角α的正弦、余弦、正切函数值表示出来,即用正弦线、余弦线、正切线表示出来.4.能初步应用定义分析和解决与三角函数值有关的一些简单问题.重点难点教学重点:任意角的正弦、余弦、正切的定义,终边相同的角的同一三角函数值相等.教学难点:用角的终边上的点的坐标来刻画三角函数;三角函数符;利用与单位圆有关的有向线段,将任意角α的正弦、余弦、正切函数值用几何形式表示.课时安排2课时教学过程第1课时导入新课思路 1.我们把角的范围推广了,锐角三角函数的定义还能适用吗?譬如三角形内角和为180°,那么sin200°的值还是三角形中200°的对边与斜边的比值吗?类比角的概念的推广,怎样修正三角函数定义?由此展开新课.另外用“单位圆定义法”单刀直入给出定义,然后再在适当时机联系锐角三角函数,这也是一种不错的选择.思路 2.教师先让学生看教科书上的“思考”,通过这个“思考”提出用直角坐标系中角的终边上点的坐标表示锐角三角函数的问题,以引导学生回忆锐角三角函数概念,体会引进象限角概念后,用角的终边上点的坐标比表示锐角三角函数的意义,从而为定义任意角的三角函数奠定基础.教科书在定义任意角的三角函数之前,作了如下铺垫:直角三角形为载体的锐角三角函数→象限角为载体的锐角三角函数→单位圆上点的坐标表示的锐角三角函数. 推进新课新知探究提出问题问题①:在初中时我们学了锐角三角函数,你能回忆一下锐角三角函数的定义吗? 问题②:你能用直角坐标系中角的终边上的点的坐标来表示锐角三角函数吗?活动:教师提出问题,学生口头回答,突出它是以锐角为自变量,边的比值为函数值的三角函数,教师并对回答正确的学生进行表扬,对回答不出来的同学给予提示和鼓励.然后教师在黑板上画出直角三角形.教师提示:前面我们对角的概念已经进行了扩充,并且学习了弧度制,知道了角的集合与实数集是一一对应的,在此基础上,我们来研究任意角的三角函数.教师在直角三角形所在的平面上建立适当的坐标系,画出角α的终边;学生给出相应点的坐标,并用坐标表示锐角三角函数.图1如图1,设锐角α的顶点与原点O 重合,始边与x 轴的正半轴重合,那么它的终边在第一象限.在α的终边上任取一点P(a,b),它与原点的距离22b a >0.过P 作x 轴的垂线,垂足为M,则线段OM 的长度为a,线段MP 的长度为b.根据初中学过的三角函数定义,我们有sin α=OP MP =r b ,cos α=OP OM =r a ,tan α=OP MP =ab . 讨论结果:①锐角三角函数是以锐角为自变量,边的比值为函数值的三角函数.②sin α=OP MP =rb ,cos α=OP OM =r a ,tan α=OM MP =a b . 提出问题问题①:如果改变终边上的点的位置,这三个比值会改变吗?为什么?问题②:你利用已学知识能否通过取适当点而将上述三角函数的表达式简化?活动:教师先让学生们相互讨论,并让他们动手画画图形,看看从图形中是否能找出某种关系来.然后提问学生,由学生回答教师的问题,教师再引导学生选几个点,计算一下对应的比值,获得具体认识,并由相似三角形的性质来证明.最后可以发现,由相似三角形的知识,对于确定的角α,这三个比值不会随点P 在α的终边上的位置的改变而改变.过图形教师引导学生进行对比,学生通过对比发现取到原点的距离为1的点可以使表达式简化.此时sin α=OPMP =b,cos α=OP OM =a,tan α=OM MP =a b . 在引进弧度制时我们看到,在半径为单位长度的圆中,角α的弧度数的绝对值等于圆心角α所对的弧长(符由角α的终边的旋转方向决定).在直角坐标系中,我们称以原点O 为圆心,以单位长度为半径的圆为单位圆.这样,上述P 点就是α的终边与单位圆的交点.锐角三角函数可以用单位圆上点的坐标表示.同样地,我们可以利用单位圆定义任意角的三角函数.图2如图2所示,设α是一个任意角,它的终边与单位圆交于点P(x,y),那么:(1)y 叫做α的正弦,记作sin α,即sin α=y;(2)x 叫做α的余弦,记作cos α,即cos α=x; (3)x y 叫做α的正切,记作tan α,即tan α=xy (x≠0). 所以,正弦、余弦、正切都是以角为自变量,以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数,我们将它们统称为三角函数.教师出示定义后,可让学生解释一下定义中的对应关系.教师应指出任意角的正弦、余弦、正切的定义是本节教学的重点.用单位圆上点的坐标表示任意角的三角函数,与学生在锐角三角函数学习中建立的已有经验有一定的距离,与学生在数学必修一的学习中建立起来的经验也有一定的距离.学生熟悉的函数y=f(x)是实数到实数的一一对应,而这里给出的三角函数首先是实数(弧度数)到点的坐标的对应,然后才是实数(弧度数)到实数(横坐标或纵坐标)的对应,这就给学生的理解造成一定的困难.教师在教学中可以在学生对锐角三角函数已有的几何直观认识的基础上,先建立直角三角形的锐角与第一象限角的联系,在直角坐标系中考查锐角三角函数,得出用角的终边上点的坐标(比值)表示锐角三角函数的结论,然后再“特殊化”引出用单位圆上点的坐标表示锐角三角函数的结论.在此基础上,再定义任意角的三角函数.在导学过程中教师应点拨学生注意,尽管我们从锐角三角函数出发来引导学生学习任意角的三角函数,但任意角的三角函数与锐角三角函数之间并没有一般与特殊的关系.教师在教学中应当使学生体会到,用单位圆上点的坐标表示锐角三角函数,不仅简单、方便,而且反映本质.教师可以引导学生通过分析三角函数定义中的自变量是什么,对应关系有什么特点,函数值是什么.特别注意α既表示一个角,又是一个实数(弧度数).“它的终边与单位圆交于点P(x,y)”包含两个对应关系.从而可以把三角函数看成是自变量为实数的函数.值得注意的是:(1)正弦、余弦、正切、余切、正割、余割都是以角为自变量,以比值为函数值的函数.(2)sin α不是sin 与α的乘积,而是一个比值;三角函数的记是一个整体,离开自变量的“sin”“tan”等是没有意义的.讨论结果:①这三个比值与终边上的点的位置无关,根据初中学过的三角函数定义,有sin α=OP MP =rb ,cos α=OP OM =r a , tan α=OP MP =a b . 由相似三角形的知识,对于确定的角α,这三个比值不会随点P 在α的终边上的位置的改变而改变.②能.提出问题问题①:学习了任意角,并利用单位圆表示了任意角的三角函数,引入一个新的函数,我们可以对哪些问题进行讨论?问题②:根据三角函数的定义,正弦、余弦、正切的定义域、值域是怎样的?活动:教师引导学生结合在数学必修一中的有关函数的问题,让学生回顾所学知识,并总结回答老师的问题,教师对学生总结的东西进行提问,并对回答正确的学生进行表扬,回答不正确或者不全面的学生给予提示和补充.教师让学生完成教科书上的“探究”,教师提问或让学生上黑板板书.按照这样的思路,我们一起来探究如下问题:请根据任意角的三角函数定义,先将正弦、余弦、正切函数在弧度制下的定义域填入下表,再将这三种函数的值在各象限的符填入图3中的括内. 三角函数定义域 sin αcos αtan α图3教师要注意引导学生从定义出发,利用坐标平面内点的坐标的特征得定义域、函数值的符等结论.对于正弦函数sin α=y,因为y 恒有意义,即α取任意实数,y 恒有意义,也就是说sin α恒有意义,所以正弦函数的定义域是R;类似地可写出余弦函数的定义域;对于正切函数tan α=x y ,因为x=0时,xy 无意义,即tan α无意义,又当且仅当角α的终边落在纵轴上时,才有x=0,所以当α的终边不在纵轴上时,xy 恒有意义,即tan α恒有意义,所以正切函数的定义域是α≠2π +k π(k∈Z ).(由学生填写下表) 三角函数定义域 sin αR cos αR tan α {α|α≠2π+k π,k∈Z } 三角函数的定义告诉我们,各三角函数在各象限内的符,取决于x,y 的符,当点P 在第一、二象限时,纵坐标y>0,点P 在第三、四象限时,纵坐标y<0,所以正弦函数值对于第一、二象限角是正的,对于第三、四象限角是负的(可制作课件展示);同样地,余弦函数在第一、四象限是正的,在第二、三象限是负的;正切函数在第一、三象限是正的,在第二、四象限是负的.从而完成上面探究问题.即“一全正,二正弦,三正切,四余弦”.讨论结果:①定义域、值域、单调性等.②y=sin α与y=cos α的定义域都是全体实数R ,值域都是[-1,1].y=tan α的定义域是{α｜α≠2π +k π(k∈Z )},值域是R . 应用示例思路1例1 已知角α的终边经过点P 0(-3,-4),求角α的正弦、余弦和正切值.活动:教师留给学生一定的时间,学生独立思考并回答.明确可以用角α终边上任意一点的坐标来定义任意角的三角函数,但用单位圆上点的坐标来定义,既不失一般性,又简单,更容易看清对应关系.教师要点拨引导学生习惯画图,充分利用数形结合,但要提醒学生注意α角的任意性.如图4,设α是一个任意角,P(x,y)是α终边上任意一点,点P 与原点的距离r=22y x +>0,那么:图4①r y 叫做α的正弦,即sin α=ry ; ②r x 叫做α的余弦,即cos α=rx ; ③x y 叫做α的正切,即tan α=x y (x≠0). 这样定义三角函数,突出了点P 的任意性,说明任意角α的三角函数值只与α有关,而与点P 在角的终边上的位置无关,教师要让学生充分思考讨论后深刻理解这一点. 解:由已知,可得OP 0=22)4()3(-+-=5.图5如图5,设角α的终边与单位圆交于点P(x,y).分别过点P 、P 0作x 轴的垂线MP 、M 0P 0,则|M 0P 0|=4,|MP|=-y,|OM 0|=3，|OM|=-x,△OMP∽△OM 0P 0,于是sin α=y=1y =||||OP MP -=||||000OP P M -=54-; cos α=x=1x =||||OP OM -=||||00OP OM -=53-;tan α=x y =a cos sin =34. 点评:本例是已知角α终边上一点的坐标,求角α的三角函数值问题.可以先根据三角形相似将这一问题化归到单位圆上,再由定义得解.变式训练求35π的正弦、余弦和正切值.图6解:在平面直角坐标系中,作∠AOB=35π,如图6. 易知∠AOB 的终边与单位圆的交点坐标为(21,23-), 所以sin 35π=23-,cos 35π=21,tan 35π=3-. 例2 求证:当且仅当下列不等式组成立时,角θ为第三象限角.⎩⎨⎧><.0tan ,0sin θθ 活动:教师引导学生讨论验证在不同的象限内各个三角函数值的符有什么样的关系,提示学生从三角函数的定义出发来探究其内在的关系.可以知道:三角函数的定义告诉我们,各三角函数在各象限内的符,取决于x,y 的符,当点P 在第一、二象限时,纵坐标y>0,点P 在第三、四象限时,纵坐标y<0,所以正弦函数值对于第一、二象限角是正的,对于第三、四象限角是负的;同样地,余弦函数在第一、四象限是正的,在第二、三象限是负的;正切函数在第一、三象限是正的,在第二、四象限是负的.证明:我们证明如果①②式都成立,那么θ为第三象限角.因为①sin θ<0成立,所以θ角的终边可能位于第三或第四象限,也可能位于y 轴的非正半轴上;又因为②式tan θ>0成立,所以θ角的终边可能位于第一或第三象限.因为①②式都成立,所以θ角的终边只能位于第三象限.于是角θ为第三象限角.反过来请同学们自己证明.点评:本例的目的是认识不同位置的角对应的三角函数值的符,其条件以一个不等式出现,在教学时要让学生把问题的条件、结论弄清楚,然后再给出证明.这一问题的解决可以训练学生的数学语言表达能力.变式训练(2007北京高考)已知cos θ·tan θ<0,那么角θ是( )A.第一或第二象限角B.第二或第三象限角C.第三或第四象限角D.第一或第四象限角答案:C例3 求下列三角函数值: (1)sin390°;(2)cos 619π;(3)tan(-330°). 活动:引导学生总结终边相同角的表示法有什么特点,终边相同的角相差2π的整数倍,那么这些角的同一三角函数值有何关系?为什么?引导学生从角的终边的关系到角之间的关系再到函数值之间的关系进行讨论,然后再用三角函数的定义证明.由三角函数的定义,可以知道:终边相同的角的同一三角函数的值相等.由此得到一组公式(公式一):sin(α+k·2π)=sin α,cos(α+k·2π)=cos α,tan(α+k·2π)=tan α,其中k∈Z .利用公式一,可以把求任意角的三角函数值,转化为求0到2π(或0°到360°)角的三角函数值.这个公式称为三角函数的“诱导公式一”. 解:(1)sin390°=sin(360°+30°)=sin30°=21; (2)cos 619π=cos(2π+67π)=cos 67π=23-; (3)tan(-330°)=tan(-360°+30°)=tan30°=33. 点评:本题主要是对诱导公式一的考查,利用公式一将任意角都转化到0—2π范围内求三角函数的值.思路2例1 已知角α的终边在直线y=-3x 上,则10sin α+3sec α=.活动:要让学生独立思考这一题目,本题虽然是个填空题,看似简单但内含分类讨论思想,可以找两个学生来板演这个例题.对解答思路正确的学生给以鼓励,对思路受阻的学生要引导其思路的正确性.并适时地点拨学生:假如是个大的计算题应该怎样组织步骤.解:设角α终边上任一点为P(k,-3k)(k≠0),则 x=k,y=-3k,r=22(-3k)k +=10｜k ｜.(1)当k>0时,r=10k ,α是第四象限角,sin α=r y =kk 103-=10103-,sec α=x r =k k 10=10,∴10sin α+3sec α=10×10103-+310=-310+310=0. (2)当k<0时,r=k 10-,α为第二象限角,sin α=r y =kk 103--=10103,sec α=x r =k k 10-=10-, ∴10sin α+3sec α=10×10103+3×(10-)=310-310=0. 综合以上两种情况均有10sin α+3sec α=0.点评:本题的解题关键是要清楚当k>0时,P(k,-3k)是第四象限内的点,角α的终边在第四象限;当k<0时,P(k,-3k)是第二象限内的点,角α的终边在第二象限内,这与角α的终边在y=-3x 上是一致的.变式训练设f(x)=sin 3πx,求f(1)+f(2)+f(3)+…+f(72)的值. 解:∵f(1)=sin3π=23,f(2)=sin 32π=23,f(3)=sin π=0, f(4)=sin 44π=23-,f(5)=sin 35π=23-,f(6)=sin2π=0, ∴f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)+f(6)=0.而f(7)=sin 37π=sin 3π,f(8)=sin 38π=sin 32π,…,f(12)=sin 312π=sin2π, ∴f(7)+f(8)+f(9)+f(10)+f(11)+f(12)=0.同理f(13)+f(14)+f(15)+f(16)+f(17)+f(18)=0,…,f(67)+f(68)+…+f(72)=0, ∴f(1)+f(2)+f(3)+…+f(72)=0.求函数y=a sin +tan α的定义域.活动:让学生先回顾求函数的定义域需要注意哪些特点,并让学生归纳出一些常见函数有意义的要求,根据函数有意义的特征来求自变量的范围.对于三角函数这种特殊的函数在解三角不等式时要结合三角函数的定义进行.求含正切函数的组合型三角函数的定义域时,正切函数本身的定义域往往被忽略,教师提醒学生应引起注意这种情况.同时,函数的定义域是一个集合,所以结论要用集合形式表示.解:要使函数y=a sin +tan α有意义,则sin α≥0且α≠k π+2π(k∈Z ). 由正弦函数的定义知道,sin α≥0就是角α的终边与单位圆的交点的纵坐标非负. ∴角α的终边在第一、二象限或在x 轴上或在y 轴非负半轴上,即2k π≤α≤π+2k π(k∈Z ).∴函数的定义域是{α｜2k π≤α<2π+2k π或2π+2k π<α≤(2k+1)π,k∈Z }.点评:本题的关键是弄清楚要使函数式有意义,必须sin α≥0,且tan α有意义,由此推导出α的取值范围就是函数的定义域.变式训练求下列函数的定义域:(1)y=sinx+cosx;(2)y=sinx+tanx; (3)y=xx x tan cos sin +;(4)y=x sin +tanx. 解:(1)∵使sinx,cosx 有意义的x∈R ,∴y=sinx+cosx 的定义域为R .(2)要使函数有意义,必须使sinx 与tanx 有意义.∴有⎪⎩⎪⎨⎧+≠∈2ππk x R x ∴函数y=sinx+tanx 的定义域为{x ｜x≠k π+2π,k∈Z }. (3)要使函数有意义,必须使tanx 有意义,且tanx≠0. ∴有⎪⎩⎪⎨⎧≠+≠πππk x ，k x 2(k∈Z ),∴函数y=xx x tan cos sin +的定义域为{x ｜x≠2πk ,k∈Z }. (4)当sinx≥0且tanx 有意义时,函数有意义, ∴有⎪⎩⎪⎨⎧+≠+≤≤2x ,1)(2k 2k ππππk x (k∈Z ). ∴函数y=sinx +tanx 的定义域为［2k π,2k π+2π)∪(2k π+2π,(2k+1)π］(k∈Z ). 知能训练课本本节练习.解答: 1.sin 67π=21-;cos 67π=23-;tan 67π=33 点评:根据定义求某个特殊角的三角函数值.2.sin θ=135;cos θ=1312-;tan θ=125-. 点评:已知角α终边上一点的坐标,由定义求角α的三角函数值.3. 角α0° 90° 180° 270° 360° 角α的弧度数 0 2π Π 23π 2πsinα0 1 0 -1 0cosα 1 0 -1 0 1tanα0 不存在0 不存在0点评:熟悉特殊角的三角函数值,并进一步地理解公式一.4.当α为钝角时,cosα和tanα取负值.点评:认识与三角形内角有关的三角函数值的符.5.(1)正;(2)负;(3)零;(4)负;(5)正;(6)正.点评:认识不同位置的角对应的三角函数值的符.6.(1)①③或①⑤或③⑤;(2)①④或①⑥或④⑥;(3)②④或②⑤或④⑤;(4)②③或②⑥或③⑥.点评:认识不同象限的角对应的三角函数值的符.7.(1)0.874 6;(2)3;(3)0.5;(4)1.点评:求三角函数值,并进一步地认识三角函数的定义及公式一.课堂小结本节课我们给出了任意角三角函数的定义,并且讨论了正弦、余弦、正切函数的定义域,任意角的三角函数实质上是锐角三角函数的扩展,是将锐角三角函数中边的比变为坐标与距离、坐标与坐标的比,记忆方法可用锐角三角函数类比记忆,至于三角函数的定义域可由三角函数的定义分析得到.本节课我们重点讨论了两个内容,一是三角函数在各象限内的符,二是一组公式,两者的作用分别是:前者确定函数值的符,后者将任意角的三角函数化为0°到360°角的三角函数,这两个内容是我们日后学习的基础,经常要用,请同学们熟记.作业课本习题1.2A组题1—9.设计感想关于三角函数定义法,总的说来就两种:“单位圆定义法”与“终边定义法”.这两种方法本质上是一致的.正因为此,各种数学出版物中,两种定义方法都有采用.在学习本节的过程中可以与初中学习的三角函数定义进行类比、学习.理解任意角三角函数的定义不但是学好本节内容的关键,也是学好本章内容的关键.在教学中,教师应该充分调动学生独立思考和总结的能力,以巩固对知识的理解和掌握.教师在教学中,始终引导学生紧扣三角函数的定义,善于利用数形结合.在利用三角函数定义进行求值时,应特别强调要注意横向联系,即不仅仅能求出该值,还要善于观察该值与其他三角函数值之间的联系,找出规律来求解.(设计者：房增凤)第2课时导入新课思路 1.(情境导入)同学们都在一些旅游景地或者在公园中见过大观览车,大家是否想过大观览车在转动过程中,座椅离地面的高度随着转动角度的变化而变化,二者之间有怎样的相依关系呢?思路 2.(复习导入)我们研究了三角函数在各象限内的符,学习了将任意角的三角函数化成0°—360°角的三角函数的一组公式,前面还分析讨论了三角函数的定义域,这些内容的研究,都是建立在任意角的三角函数定义之上的,这些知识在以后我们继续学习“三角”内容时,是经常、反复运用的,请同学们务必在理解的基础上要加强记忆.由三角函数的定义我们知道,对于角α的各种三角函数我们都是用比值来表示的,或者说是用数来表示的,今天我们再来学习正弦、余弦、正切函数的另一种表示方法——几何表示法.我们知道,直角坐标系内点的坐标与坐标轴的方向有关.因此自然产生一个想法是以坐标轴的方向来规定有向线段的方向,以使它们的取值与点的坐标联系起来.推进新课新知探究提出问题问题①:回忆上节课学习的三角函数定义并思考:三角函数的定义能否用几何中的方法来表示,应怎样表示呢?问题②:回忆初中学过的线段,若加上方向会怎样呢?什么是有向线段?活动:指导学生在平面直角坐标系内作出单位圆,设任意角α的顶点在原点,始边与x 轴的非负半轴重合,终边与单位圆相交于点P(x,y),x 轴的正半轴与单位圆相交于A(1,0),过P 作x 轴的垂线,垂足为M;过A 作单位圆的切线,这条切线必平行于y 轴(垂直于同一条直线的两直线平行),设它与角α的终边或其反向延长线交于点T.教师点拨学生观察线段的方向与点P 的坐标.显然,线段OM 的长度为|x|,线段MP 的长度为|y|,它们都只能取非负值. 当角α的终边不在坐标轴上时,我们可以把OM 、MP 都看作带有方向的线段:如果x>0,OM 与x 轴同向,规定此时OM 具有正值x;如果x<0,OM 与x 轴正向相反(即反向),规定此时OM 具有负值x,所以不论哪一种情况,都有OM=x.如果y>0,把MP 看作与y 轴同向,规定此时MP 具有正值y;如果y<0,把MP 看作与y 轴反向,规定此时MP 具有负值y,所以不论哪一种情况,都有MP=y.引导学生观察OM 、MP 都是带有方向的线段,这种被看作带有方向的线段叫做有向线段. 于是,根据正弦、余弦函数的定义,就有sin α=r y =1y =y=MP, cos α=r x =1x =x=OM. 这两条与单位圆有关的有向线段MP 、OM 分别叫做角α的正弦线、余弦线.类似地,我们把OA 、AT 也看作有向线段,那么根据正切函数的定义和相似三角形的知识,就有tan α=x y =OAAT =AT. 这条与单位圆有关的有向线段AT,叫做角α的正切线.讨论结果:①能.②被看作带有方向的线段叫做有向线段.提出问题问题①:怎样把三角函数线与有向线段联系在一起?问题②:正弦线、余弦线、正切线在平面直角坐标系中是怎样规定的?当角α的终边变化时,它们有什么变化?活动:师生共同讨论,最后一致得出以下几点:(1)当角α的终边在y 轴上时,余弦线变成一个点,正切线不存在.(2)当角α的终边在x 轴上时,正弦线、正切线都变成点.(3)正弦线、余弦线、正切线都是与单位圆有关的有向线段,所以作某角的三角函数线时,一定要先作单位圆.(4)线段有两个端点,在用字母表示正弦线、余弦线、正切线时,要先写起点字母,再写终点字母,不能颠倒;或者说,含原点的线段,以原点为起点,不含原点的线段,以此线段与x 轴的公共点为起点.(5)三种有向线段的正负与坐标轴正反方向一致,三种有向线段的数量与三种三角函数值相同.正弦线、余弦线、正切线统称为三角函数线.讨论结果:①略.②略.示例应用思路1例1 如图7,α,β的终边分别与单位圆交于点P,Q,过A(1,0)作切线AT,交图7射线OP 于点T,交射线OQ 的反向延长线于T′,点P 、Q 在x 轴上的射影分别为点M 、N,则sin α=______________,cos α=______________,tan α=______________,sin β=______________,cos β=______________,tan β=______________.活动:根据三角函数线的定义可知,sin α=MP,cos α=OM,tan α=AT,sin β=NQ,cos β =ON,tan β=AT′.答案:MP OM AT NQ ON AT′点评:掌握三角函数线的作法,注意用有向线段表示三角函数线时,字母的书写顺序不能随意颠倒.变式训练利用三角函数线证明｜sin α｜+｜cos α｜≥1.解:当α的终边落在坐标轴上时,正弦(或余弦)线变成一个点,而余弦(或正弦)线的长等于r,所以｜sin α｜+｜cos α｜=1.当角α终边落在四个象限时,利用三角形两边之和大于第三边有｜sin α｜+｜cos α｜=｜OM ｜+｜MP ｜>1,∴｜sin α｜+｜cos α｜≥1.例2 在单位圆中画出适合下列条件的角α的终边或终边所在的范围,并由此写出角α的集合:(1)sin α=21;(2)sin α≥21. 活动:引导学生画出单位圆,对于(1),可设角α的终边与单位圆交于A(x,y),则sin α=y,所以要作出满足sin α=21的终边,只要在单位圆上找出纵坐标为21的点A,则OA 即为角α的终边;对于(2),可先作出满足sin α=21的角的终边,然后根据已知条件确定角α的范围.图8。

§1.1.1 任意角导学案【学习要求】1．理解正角、负角、零角与象限角的概念．2．掌握终边相同角的表示方法．【学法指导】1．解答与任意角有关的问题的关键在于抓住角的四个“要素”：顶点、始边、终边和旋转方向．2．确定任意角的大小要抓住旋转方向和旋转量．3．学习象限角时，注意角在直角坐标系中的放法，在这个统一前提下，才能对终边落在坐标轴上的角、象限角进行定义.【知识要点】1．角的概念（1）角的概念：角可以看成平面内绕着从一个位置到另一个位置所成的图形．（22．象限角角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么，角的终边(除端点外)在第几象限，就说这个角是．如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限．3．终边相同的角所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与的和.【问题探究】探究点一角的概念的推广我们在初中已经学习过角的概念，角可以看作从同一点出发的两条射线组成的平面图形．这种定义限制了角的范围，也不能表示具有相反意义的旋转量．因此，从“旋转”的角度，对角作重新定义如下：一条射线OA绕着端点O旋转到OB的位置所形成的图形叫作角，射线OA叫角的始边，OB叫角的终边，O叫角的顶点．问题1正角、负角、零角是怎样规定的？问题2根据角的定义，图中角α＝120°；β＝；－α＝；－β＝；γ＝.问题3经过10小时，分别写出时针和分针各自旋转所形成的角．问题4如果你的手表快了1.25小时，只需将分针旋转多少度就可以将它校准？探究点二终边相同的角今后我们常在直角坐标系内讨论角．为了讨论问题的方便，我们使角的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合．角的终边落在第几象限，我们就说这个角是第几象限角．如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限．按照上述方法，在平面直角坐标系中，角的终边绕原点旋转360°后回到原来的位置．终边相同的角相差360°的整数倍．因此，所有与角α终边相同的角(连同角α在内)的集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}．根据终边相同的角的概念，回答下列问题：问题1已知集合S＝{θ|θ＝k·360°＋60°，k∈Z}，则－240°S,300°S，－1 020°S.(用符号：∈或∉填空)．问题2集合S＝{α|α＝k·360°－30°，k∈Z}表示与角终边相同的角，其中最小的正角是.问题3已知集合S＝{α|α＝45°＋k·180°，k∈Z}，则角α的终边落在上探究点三象限角与终边落在坐标轴上的角问题1问题2问题3写出终边落在x轴上的角的集合S.问题4写出终边落在y轴上的角的集合T.【典型例题】例1在0°～360°范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判定它们是第几象限角．（1）－150°；（2）650°；（3）－950°15′.跟踪训练1判断下列角的终边落在第几象限内：（1）1 400°；（2）－2 010°.例2写出终边落在直线y＝x上的角的集合S，并把S中适合不等式－360°≤β<720°的元素β写出来．跟踪训练2求终边在直线y＝－x上的角的集合S.例3 已知α是第二象限角，试确定2α，α2的终边所在的位置跟踪训练3 已知α为第三象限角，则α2所在的象限是 ( )A ．第一或第二象限B ．第二或第三象限C ．第一或第三象限D ．第二或第四象限【当堂检测】1．－361°的终边落在 ( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 2．下列各角中与330°角终边相同的角是 ( )A ．510°B ．150°C ．－150°D ．－390° 3．经过10分钟，分针转了________度． 4．写出终边落在坐标轴上的角的集合S .【课堂小结】1．对角的理解，初中阶段是以“静止”的眼光看，高中阶段应用“运动”的观点下定义，理解这一概念时，要注意“旋转方向”决定角的“正负”，“旋转幅度”决定角的“绝对值大小”． 2．关于终边相同角的认识一般地，所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S ＝{β|β＝α＋k ·360°，k ∈Z}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和． 注意：（1）α为任意角． （2）k ·360°与α之间是“＋”号，k ·360°－α可理解为k ·360°＋(－α)．（3）相等的角终边一定相同；终边相同的角不一定相等，终边相同的角有无数多个，它们相差360°的整数倍．（4）k ∈Z 这一条件不能少.【拓展提高】§1.1.2 弧度制导学案【学习要求】1．理解角度制与弧度制的概念，能对弧度和角度进行正确的转换．2．体会引入弧度制的必要性，建立角的集合与实数集一一对应关系． 3．掌握并能应用弧度制下的弧长公式和扇形面积公式．【学法指导】1．通过类比长度、重量的不同度量制，体会一个量可以用不同的单位制来度量，从而引出弧度制．2．弄清1弧度的角的含义是了解弧度制，并能进行弧度与角度换算的关键．3．引入弧度制后，应与角度制进行对比，明确角度制和弧度制下弧长公式和扇形面积公式的联系与区别.【知识要点】1．1弧度的角：把长度等于 的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，用符号 表示，读作 ．2．弧度制：用 作为单位来度量角的单位制叫做弧度制．3．角的弧度数的规定：一般地，正角的弧度数是一个 ，负角的弧度数是一个 ，零角的弧度数是 .如果半径为r 的圆的圆心角α所对弧的长为l ，那么，角α的弧度数的绝对值是 .这里，α的正负由角α的终边的旋转方向决定． 4．角度与弧度的互化： （1）角度转化为弧度： 360°＝ rad ；180°＝ rad ；1°＝ rad≈0.017 45 rad. （2）弧度转化为角度：2π rad ＝ ；π rad ＝ ；1 rad ＝⎝⎛⎭⎫180π°≈57.30°＝57°18′.【问题探究】探究点一 弧度制问题1 1弧度的角是怎样规定的？1弧度的角和圆半径的大小有关吗？你能作出一个1弧度的角吗？问题2 如果一个半径为r 的圆的圆心角α所对的弧长是l ，那么α的弧度数与l 、r 之间有着怎样的关系？请问题3 除了角度制，数学还常用弧度制表示角．请叙述一下弧度制的内容． 问题4 角度制与弧度制换算时，灵活运用下表中的对应关系，请补充完整.探究点二 弧度制下的弧长公式和扇形面积公式问题1 我们已经学习过角度制下的弧长公式和扇形面积公式，请根据“一周角(即360°)的弧度数为2π”这一事实化简上述公式．(设半径为r ，圆心角弧度数为α)． 问题2 角度制与弧度制下扇形的弧长及面积公式对比：探究点三 利用弧度制表示终边相同的角在弧度制下，与α终边相同的角连同α在内可以表示为2k π＋α(k ∈Z)，其中α的单位必须是弧度． 问题1 【典型例题】例1 （1）把112°30′化成弧度；(2)把－7π12化成角度．跟踪训练1 将下列角按要求转化： （1）300°＝________rad ； （2）－22°30′＝________rad ； （3）8π5＝________度例2 已知一扇形的周长为40 cm ，当它的半径和圆心角取什么值时，才能使扇形的面积最大？最大面积是多少？跟踪训练2 一个扇形的面积为1，周长为4，求圆心角的弧度数．例3 把下列各角化成2k π＋α (0≤α<2π，k ∈Z)的形式，并指出是第几象限角： （1）－1 500°； （2）23π6； （3）－4.跟踪训练3 将－1 485°化为2k π＋α (0≤α<2π，k ∈Z)的形式是___________【当堂检测】1．时针经过一小时，时针转过了( )A ．π6radB ．－π6 radC ．π12radD ．－π12rad2．若α＝－3，则角α的终边在 ( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．已知扇形的周长是6 cm ，面积是2 cm 2，则扇形的中心角的弧度数是 ( ) A ．1 B ．4 C ．1或4 D ．2或44．把－114π表示成θ＋2k π(k ∈Z)的形式，使|θ|最小的θ值是_______【课堂小结】1．角的概念推广后，在弧度制下，角的集合与实数集R 之间建立起一一对应的关系：每一个角都有唯一的一个实数(即这个角的弧度数)与它对应；反过来，每一个实数也都有唯一的一个角(即弧度数等于这个实数的角)与它对应．2．解答角度与弧度的互化问题的关键在于充分利用“180°＝π rad”这一关系式． 易知：度数×π180rad ＝弧度数，弧度数×⎝⎛⎭⎫180π°＝度数． 3．在弧度制下，扇形的弧长公式及面积公式都得到了简化，具体应用时，要注意角的单位取弧度.【拓展提高】§1.2.1 任意角的三角函数(一) 导学案【学习要求】1．通过借助单位圆理解并掌握任意角的三角函数定义，了解三角函数是以实数为自变量的函数．2．借助任意角三角函数的定义理解并掌握正弦、余弦、正切函数在各象限内的符号． 3．通过对任意角的三角函数定义的理解，掌握终边相同角的同一三角函数值相等．【学法指导】1．在初中所学习的锐角三角函数的基础上过渡到任意角三角函数的概念．2．紧扣任意角的三角函数的定义来掌握三角函数值在各象限的符号规律以及诱导公式一的记忆． 3．理解任意角三角函数的定义不仅是学好本节内容的关键，也是学好本章内容的关键.【知识要点】1．任意角三角函数的定义（1）在平面直角坐标系中，设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P (x ，y )，那么： ①y 叫做α的 ，记作 ，即 ； ②x 叫做α的 ，记作 ，即 ； ③yx叫做α的 ，记作 ，即 对于确定的角α，上述三个值都是唯一确定的．故正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，统称为三角函数．（2）设角α终边上任意一点的坐标为(x ，y )，它与原点的距离为r ，则sin α＝___，cos α＝___，tan α＝___ 2．正弦、余弦、正切函数值在各象限的符号3．诱导公式一终边相同的角的同一三角函数的值 ，即：sin(α＋k ·2π)＝ ，cos(α＋k ·2π)＝ ，tan(α＋k ·2π)＝ ，其中k ∈Z.【问题探究】探究点一 锐角三角函数的定义 问题1 Rt △ABC 中，∠C ＝90°，若已知a ＝3，b ＝4，c ＝5，试求sin A ，cos B ，sin B ，cos A ，tan A ，tan B 的值．问题2 如图，锐角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，在α终边上任取一点P (a ，b )，它与原点的距离为r ，作PM ⊥x 轴，你能根据直角三角形中三角函数的定义求出sin α，cos α，tan α吗？问题3 如图所示，在直角坐标系中，以原点为圆心，以单位长度为半径的圆为单位圆．锐角α的终边与单位圆交于P (x ，y ) 点，则有：sin α＝ ，cos α＝ ，tan α＝ .探究点二 任意角三角函数的概念关于任意角三角函数的定义，总的来说就两种：“单位圆定义法”与“终边定义法”．根据相似三角形对应边成比例．可知这两种定义方法本质上是一致的． 问题1 单位圆定义法：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P (x ，y )，那么： 叫做α的正弦， 记作sin α，即sin α＝ ； 叫做α的余弦，记作cos α，即cos α＝ ；yx 叫做α的正切，记作tan α，即tan α＝ (x ≠0)． 问题2 终边定义法：设角α终边上任意一点的坐标为(x ，y )，它与原点的距离为r ，则有sin α＝___，cos α＝___，tan α＝___ (x ≠0)，其中r ＝x 2＋y 2>0.问题3 由三角函数的定义知，三角函数值是一个比值，即一个实数，它的大小只与角α的终边位置有关，即与角有关，与角α终边上P 点的位置无关．请以角α为第二象限角为例，借助三角形相似的知识证明上述两种定义是一致的． 问题4 利用任意角三角函数的定义推导特殊角的三角函数值.探究点三 三角函数值在各象限的符号三角函数的定义告诉我们，三角函数在各象限内的符号，取决于x ，y 的符号．（1）sin α＝yr (r >0)，因此sin α的符号与y 的符号相同，当α的终边在第 象限时，sin α>0；当α的终边在第 象限时，sin α<0.（2）cos α＝xr (r >0)，因此cos α的符号与x 的符号相同，当α的终边在第 象限时，cos α>0；当α的终边在第 象限时，cos α<0.（3）tan α＝yx，因此tan α的符号由x 、y 确定，当α终边在第 象限时，xy >0，tan α>0；当α终边在第 象限时，xy <0，tan α<0.三角函数值在各象限内的符号，如图所示：三角函数值的符号在以后学习中经常用到，必须熟记，可根据定义记，也可按以下口诀记忆：一全正，二正弦，三正切，四余弦(是正的)．探究点四 诱导公式一由任意角的三角函数的定义可以知道，终边相同的角的同一三角函数值相等．由此得到诱导公式一： sin(k ·360°＋α)＝sin α，cos(k ·360°＋α)＝cos α，tan(k ·360°＋α)＝tan α，其中k ∈Z ， 或者：sin(2k π＋α)＝sin α，cos(2k π＋α)＝cos α，tan(2k π＋α)＝tan α，其中k ∈Z.诱导公式一的作用是将求任意角的三角函数值转化为求0°～360°的三角函数值． 例如：sin 420°＝sin 60°＝32；cos(－330°)＝ ＝ ；tan(－315°)＝ ＝ . 【典型例题】例1 已知角α的终边上一点P (－15a,8a ) (a ∈R 且a ≠0)，求α的各三角函数值． 跟踪训练1 已知角θ的终边上一点P (x,3) (x ≠0)，且cos θ＝1010x ，求sin θ，tan θ.例2 求下列各式的值． （1）cos25π3＋tan ⎝⎛⎭⎫－15π4； （2）sin(－1 320°)cos 1 110°＋cos(－1 020°)sin 750°＋tan 495°. 跟踪训练2 求下列各式的值． （1）cos ⎝⎛⎭⎫－23π3＋tan 17π4； （2）sin 630°＋tan 1 125°＋tan 765°＋cos 540°.例3 判断下列各式的符号： （1）sin α·cos α(其中α是第二象限角)； （2）sin 285°cos(－105°)；（3）sin 3·cos 4·tan ⎝⎛⎭⎫－23π4. 跟踪训练3 （1）若sin αcos α<0，则α是第_________象限角．（2）代数式：sin 2·cos 3·tan 4的符号是________．【当堂检测】1．sin(－1 380°)的值为 ( ) A ．－12B ．12C ．－32D ．322．如果角α的终边过点P (2sin 30°，－2cos 30°)，则cos α的值等于 ( )A ．12B ．－12C ．－32D ．323．若点P (3，y )是角α终边上的一点，且满足y <0，cos α＝35，则tan α等于 ( )A ．－34B ．34C ．43D ．－434．如果sin x ＝|sin x |，那么角x 的取值集合是________．【课堂小结】1．三角函数值是比值，是一个实数，这个实数的大小和点P (x ，y )在终边上的位置无关，只由角α的终边位置确定．即三角函数值的大小只与角有关．2．要善于利用三角函数的定义及三角函数的符号规律解题，并且注意掌握解题时必要的分类讨论及三角函数值符号的正确选取．3．要牢记一些特殊角的正弦、余弦、正切值.【拓展提高】§1.2.1 任意角的三角函数(二) 导学案【学习要求】1．掌握正弦、余弦、正切函数的定义域．2．了解三角函数线的意义，能用三角函数线表示一个角的正弦、余弦和正切． 3．能利用三角函数线解决一些简单的三角函数问题．【学法指导】1．三角函数线是利用数形结合的思想解决有关问题的重要工具，利用三角函数线可以解或证明三角不等式，求函数的定义域及比较大小，三角函数线也是后面将要学习的三角函数的图象的作图工具．2．三角函数线是有向线段，字母顺序不能随意调换，正弦线、正切线的正向与y 轴的正向相同，向上为正，向下为负；余弦线的正向与x 轴的正向一致，向右为正，向左为负；当角α的终边与x 轴重合时，正弦线、正切线分别变成一个点，此时角α的正弦值和正切值都为0；当角α的终边与y 轴重合时，余弦线变成一个点，正切线不存在.【知识要点】1．三角函数的定义域正弦函数y ＝sin x 的定义域是__；余弦函数y ＝cos x 的定义域是__；正切函数y ＝tan x 的定义域是_______． 2．三角函数线如图，设单位圆与x 轴的正半轴交于点A ，与角α的终边交于P 点．过点P 作x 轴的垂线PM ，垂足为M ，过A 作单位圆的切线交OP 的延长线(或反向延长线)于T 点．单位圆中的有向线段 、 、 分别叫做角α的正弦线、余弦线、正切线．记作：sin α＝ ，cos α＝ ，tan α＝【问题探究】探究点一 三角函数的定义域任意角的三角函数是在坐标系中定义的，角的范围是使函数有意义的实数集．根据任意角三角函数的定义可知正弦函数y ＝sin x 的定义域是__；余弦函数y ＝cos x 的定义域是__；正切函数y ＝tan x 的定义域是____________．在此基础上，可以求一些简单的三角函数的定义域．例如： （1）函数y ＝sin x ＋tan x 的定义域为________________． （2）函数y ＝sin x 的定义域为________________． （3）函数y ＝lg cos x 的定义域为________________探究点二 三角函数线的作法问题1 请叙述正弦线、余弦线、正切线的作法？ 问题2 作出下列各角的正弦线、余弦线和正切线． （1）－π4；（2）17π6；（3）10π3.探究点三 三角函数线的应用三角函数线是三角函数的几何表示，是任意角的三角函数定义的一种“形”的补充，线段的长度表示了三角函数绝对值的大小，线段的方向表示了三角函数值的正负．仔细观察单位圆中三角函数线的变化规律，回答下列问题．问题1 若α为任意角，根据单位圆中正弦线和余弦线的变化规律可得：sin α的范围是 ；cos α的范围是问题2 若α为第一象限角，证明sin α＋cos α>1.问题3 若α为任意角，根据单位圆中正弦线和余弦线的变化规律探究sin 2α＋cos 2α与1的关系．【典型例题】例1 在单位圆中画出满足sin α＝12的角α的终边，并求角α的取值集合．跟踪训练1 根据下列三角函数值，作角α的终边，然后求角的取值集合： （1）cos α＝12；（2）tan α＝－1.例2 在单位圆中画出适合下列条件的角α的终边的范围，并由此写出角α的集合： （1）sin α≥32； （2）cos α≤－12. 跟踪训练2 已知点P (sin α－cos α，tan α)在第一象限，在[0,2π)内，求α的取值范围．例3 求下列函数的定义域． f (x )＝1－2cos x ＋ln ⎝⎛⎭⎫sin x －22跟踪训练3 求函数f (x )＝lg(3－4sin 2x )的定义域．【当堂检测】1．角α(0<α<2π)的正、余弦线的长度相等，且正、余弦符号相异，那么α的值为 ( ) A ．π4B ．3π4C ．7π4D ．3π4或7π42．如图在单位圆中角α的正弦线、正切线完全正确的是 ( ) A ．正弦线PM ，正切线A ′T ′ B ．正弦线MP ，正切线A ′T ′ C ．正弦线MP ，正切线AT D ．正弦线PM ，正切线AT 3．在[0,2π]上，满足sin x ≥12的x 的取值范围为( )A ．⎣⎡⎦⎤0，π6 B ．⎣⎡⎦⎤π6，5π6 C ．⎣⎡⎦⎤π6，2π3 D ．⎣⎡⎦⎤5π6，π 4．利用三角函数线比较下列各组数的大小(用“>”或“<”连接)： （1）sin 23π________sin 45π；（2）cos 23π________cos 45π；（3）tan 23π________tan 45π.【课堂小结】1．三角函数线的意义三角函数线是用单位圆中某些特定的有向线段的长度和方向表示三角函数的值，三角函数线的长度等于三角函数值的绝对值，方向表示三角函数值的正负．具体地说，正弦线、正切线的方向同纵坐标轴一致，向上为正，向下为负；余弦线的方向同横坐标轴一致，向右为正，向左为负．三角函数线将抽象的数用几何图形表示出来了，使得问题更形象直观，为从几何途径解决问题提供了方便． 2．三角函数线的画法定义中不仅定义了什么是正弦线、余弦线、正切线，同时也给出了角α的三角函数线的画法即先找到P 、M 、T 点，再画出MP 、OM 、AT .注意三角函数线是有向线段，要分清始点和终点，字母的书写顺序不能颠倒.【拓展提高】§1.2.2 同角三角函数的基本关系(一) 导学案【学习要求】1．能通过三角函数的定义推导出同角三角函数的基本关系式．2．能运用同角三角函数的基本关系式进行三角函数式的求值和计算．【学法指导】1．推导和牢记同角三角函数间的基本关系是进行三角函数式恒等变形的基础和前提．2．要注意公式sin 2α＋cos 2α＝1及tan α＝sin αcos α的直接使用，公式逆用，公式变形用．利用平方关系sin 2α＋cos 2α＝1求值时，要注意符号的选择．3．已知任意角的正弦、余弦、正切中的一个值可以运用基本关系式求出另外的两个，这是同角三角函数关系式的一个最基本功能．在求值时，根据已知的三角函数值，确定角的终边所在的象限，有时由于角的象限不确定，因此解的情况不止一种.【知识要点】1．任意角三角函数的定义如图所示，以任意角α的顶点O 为坐标原点，以角α的始边的方向作为x轴的正方向，建立直角坐标系．设P (x ，y )是任意角α终边上不同于坐标原点的任意一点．其中，r ＝OP ＝x 2＋y 2 >0.则sin α＝___，cos α＝___，tan α＝___ 2．同角三角函数的基本关系式（1）平方关系： .（2）商数关系： ． 3．同角三角函数基本关系式的变形（1）sin 2α＋cos 2α＝1的变形公式：sin 2α＝ ；cos 2α＝ ； （2）tan α＝sin αcos α的变形公式：sin α＝ ；cos α＝【问题探究】探究点一 利用任意角三角函数的概念推导平方关系和商数关系问题1 利用任意角的三角函数的定义证明同角三角函数的平方关系和商数关系． 问题2 平方关系sin 2α＋cos 2α＝1与商数关系tan α＝sin αcos α成立的条件是怎样的？探究点二 已知一个角的三角函数值求其余两个三角函数值已知某角的一个三角函数值，再利用sin 2α＋cos 2α＝1求它的其余三角函数值时，要注意角所在的象限，恰当选取开方后根号前面的正负号，一般有以下三种情况：类型1：如果已知三角函数值，且角的象限已知，那么只有一组解． 例如：已知sin α＝35，且α是第二象限角，则cos α＝_____，tan α＝_____.类型2：如果已知三角函数值，但没有指定角在哪个象限，那么由已知三角函数值的正负确定角可能在的象限，然后求解，这种情况一般有两组解．例如：已知tan θ＝－3，求sin θ，cos θ.类型3：如果所给的三角函数值是由字母给出的，且没有确定角在哪个象限，那么就需要进行讨论． 例如：已知cos α＝m ，且|m |<1，求sin α，tan α.【典型例题】例1 已知cos α＝－817，求sin α，tan α.跟踪训练1 已知tan α＝43，且α是第三象限角，求sin α，cos α的值．例2 已知tan α＝2，求下列代数式的值．（1）4sin α－2cos α5cos α＋3sin α；（2）14sin 2α＋13sin αcos α＋12cos 2α.跟踪训练2 已知tan α＝3，求下列各式的值． （1）3cos α－sin α3cos α＋sin α；（2）2sin 2α－3sin αcos α.例3 已知sin θ＋cos θ＝15，θ∈(0，π)，求：（1）sin θ－cos θ；（2）sin 3θ＋cos 3θ.跟踪训练3 已知sin αcos α＝14，且π4<α<π2，求cos α－sin α的值．【当堂检测】1．α是第四象限角，cos α＝1213，则sin α等于( )A ．513B ．－513C ．512D ．－5122．若cos α＝－35，且α∈⎝⎛⎭⎫π，3π2，则tan α＝_______ 3．若tan θ＝－2，则sin θcos θ＝_______ 4．已知sin α＝15，求cos α，tan α【课堂小结】1．同角三角函数的基本关系揭示了“同角不同名”的三角函数的运算规律，它的精髓在“同角”二字上，如sin 22α＋cos 22α＝1，sin 8αcos 8α＝tan 8α等都成立，理由是式子中的角为“同角”． 2．已知角α的某一种三角函数值，求角α的其余三角函数值时，要注意公式的合理选择．一般是先选用平方关系，再用商数关系．在应用平方关系求sin α或cos α时，其正负号是由角α所在象限来决定，切不可不加分析，凭想象乱写公式．3．在三角函数的变换求值中，已知sin α＋cos α，sin αcos α，sin α－cos α中的一个，可以利用方程思想，求出另外两个的值.【拓展提高】§1.2.2 同角三角函数的基本关系(二) 导学案【学习要求】1．会用同角三角函数的基本关系进行三角函数式的化简和恒等式的证明．2．通过同角三角函数的基本关系的学习，培养三角函数恒等变形的能力，体验化归的思想．【学法指导】1．三角函数式的化简实际上是一种不指定答案的恒等变形．化简时，要善于观察待化简式子的结构特征，如果待化简的三角函数是分式，应想办法去掉分母；如果出现高次，则应设法灵活运用平方关系化高次为低次；如果待化简式子中含有根号，则应将根号下化为完全平方式，再去掉根号．2．在三角恒等式证明的过程中，要注意三角公式的灵活运用．由于三角公式多，因此要“盯住目标”选择恰当公式．在同时含有弦函数和切函数的三角函数式中，常“化切为弦”，统一为弦函数后，再化简.【知识要点】1．同角三角函数的基本关系（1）平方关系： ＝1.变形：1－sin 2α＝ ；1－cos 2α＝ . （2）商数关系：tan α＝sin αcos α.变形：sin α＝ ；cos α＝ .2．(sin α＋cos α)2＝ ；(sin α－cos α)2＝3．若设sin α＋cos α＝t ，则sin αcos α＝ ；若设sin α－cos α＝t ，则sin αcos α＝ .4．若设sin α＋cos α＝t ，则sin 3α＋cos 3α＝ ；若设sin α－cos α＝t ，则sin 3α－cos 3α＝ .【问题探究】探究点一 三角函数式的化简三角函数式的化简是将三角函数式尽量化为最简单的形式，其基本要求：尽量减少角的种数，尽量减少三角函数的种数，尽量化为同角且同名的三角函数等．三角函数式的化简实质上是一种不指定答案的恒等变形，体现了由繁到简的最基本的数学解题原则．它不仅要求熟悉和灵活运用所学的三角公式，还需要熟悉和灵活运用这些公式的等价形式．同时，这类问题还具有较强的综合性，对其他非三角知识的运用也具有较高的要求，因此在平常学习时要注意经验的积累．化简三角函数式时，在题设的要求下，应合理利用有关公式，常见的化简方法：异次化同次、高次化低次、切化弦、特殊角的三角函数与特殊值互化等．请按照上述标准化简下列三角函数式：已知α是第三象限角，化简：1＋sin α1－sin α－1－sin α1＋sin α.探究点二 三角恒等式的证明证明三角恒等式就是通过转化和消去等式两边差异来促成统一的过程，证明的方法在形式上显得较为灵活，常用的有以下几种：①直接法：从等式的一边开始直接化为等式的另一边，常从比较复杂、繁杂的一边开始化简到另一边，其依据是相等关系的传递性；②综合法：由一个已知成立的等式(如公式等)恒等变形得到所要证明的等式，其依据是等价转化的思想； ③中间量法：证明等式左右两式都等于同一个式子，其依据是等于同一个量的两个量相等，即“a ＝c ，b ＝c ，则a ＝b ”，它可由等量关系的传递性及对称性推出；④分析法：从结论出发，逐步向已知找条件，其证明过程的书写格式为“要证明……，只需……”，只要所需的条件都已经具备，则结论就成立；⑤比较法：设法证明：“左边－右边＝0”或“左边右边＝1”．请选用上面的方法，证明三角恒等式cos α1－sin α＝1＋sin αcos α，并体会上述方法的应用．【典型例题】例1 化简sin α1－cos α·tan α－sin αtan α＋sin α(其中α为第二象限角)跟踪训练1 化简：1－cos 4α－sin 4α1－cos 6α－sin 6α例2 求证：2sin x cos x －1cos 2x －sin 2x ＝tan x －1tan x ＋1跟踪训练2 证明：tan α·sin αtan α－sin α＝tan α＋sin αtan α·sin α例3 已知下列等式成立．（1）a sin θ－b cos θ＝a 2＋b 2；（2）sin 2θm 2＋cos 2θn 2＝1a 2＋b 2.求证：a 2m 2＋b2n 2＝1.跟踪训练3 已知tan 2α＝2tan 2β＋1，求证：sin 2β＝2sin 2α－1.【当堂检测】1．化简sin 2β＋cos 4β＋sin 2βcos 2β的结果是_______ 2．若α是第三象限角，化简 1＋cos α1－cos α＋1－cos α1＋cos α.3．求证：tan θ·sin θtan θ－sin θ＝1＋cos θsin θ4．已知6tan αsin α＝5，α∈⎝⎛⎭⎫－π2，0，求tan α的值 【课堂小结】1．在进行三角函数式的化简或求值时，细心观察题目的特征，灵活、恰当的选用公式，统一角、统一函数、降低次数是三角函数关系式变形的出发点．利用同角三角函数的基本关系主要是统一函数，要掌握“切化弦”和“弦化切”的方法． 2．在化简或恒等式证明时，注意方法的灵活运用，常用的技巧有：①“1”的代换；②减少三角函数的个数(化切为弦、化弦为切等)；③多项式运算技巧的应用(如因式分解、整体思想等)；④对条件或结论的重新整理、变形，以便于应用同角三角函数关系来求解.【拓展提高】§1.3 三角函数的诱导公式（一）导学案【学习要求】1．了解三角函数的诱导公式的意义和作用．2．理解诱导公式的推导过程．3．能运用有关诱导公式解决一些三角函数的求值、化简和证明问题．【学法指导】1．本节将要学习的诱导公式既是公式一的延续，又是后继学习内容的基础，广泛应用于求任意角的三角函数值以及有关三角函数的化简、证明等问题．2．这组诱导公式的推导思路是：首先确定角180°＋α、角－α的终边与角α的终边之间的位置关系，找出它们与单位圆交点的坐标，再由正弦函数、余弦函数的定义得出结论． 3．在诱导公式的学习中，化归思想贯穿始末．为什么确定180°＋α角为第一研究对象，－α角为第二研究对象，正是化归思想的运用．利用诱导公式把求任意角的三角函数值转化为求锐角的三角函数值，清晰地体现了化归的思想.【知识要点】1．设α为任意角，则π＋α，－α，π－α的终边与α的终边之间 的对称关系.2．诱导公式一～四（1）公式一：sin(α＋2k π)＝ ，cos(α＋2k π)＝ ，tan(α＋2k π)＝ ，其中k ∈Z. （2）公式二：sin(π＋α)＝ ，cos(π＋α)＝ ，tan(π＋α)＝ . （3）公式三：sin(－α)＝ ，cos(－α)＝ ，tan(－α)＝ . （4）公式四：sin(π－α)＝ ，cos(π－α)＝ ，tan(π－α)＝【问题探究】探究点一 诱导公式的作用和意义在前面的学习中，我们知道终边相同的角的同名三角函数相等，即公式一，并且利用公式一可以把绝对值较大的角的三角函数转化为0°～360°内的角的三角函数值，对于90°～360°内的三角函数我们能否进一步把它们转化到锐角范围内来求解？请你完成下面的问题，并注意观察三角函数的符号规律．（1）角π3的终边与单位圆的交点坐标为___ ____，所以sin π3＝___，cos π3＝___，tan π3＝___；（2）角4π3的终边与单位圆的交点坐标为_________，所以sin 4π3＝______，cos 4π3＝_____，tan 4π3＝____；。

课堂导学三点剖析1.三角函数的定义【例1】 已知角α的终边经过点P （-4a,3a ）(a≠0)，求sinα、cosα和tanα.思路分析：本题考查利用三角函数定义求三角函数值.选取角α终边上任意一点，求出r=22y x +,利用三角函数的定义便可求解.解：因为x=-4a,y=3a,所以r=22)3()4(a a +-=5|a|.当a ＞0时，r=5a,角α为第二象限角，所以 sinα=5353==a a r y ,cosα=5454-=-=a a r x , tanα=4343-=-=a a x y ; 当a ＜0时，r=-5a,角α为第四象限角，所以 sinα=5353-=-=a a r y ,cosα=5454=--=a a r x ,tanα=4343-=-=a a x y . 温馨提示当角α的终边上的点的坐标以参数形式给出时，要根据问题的实际情况及解题需要对参数进行分类讨论.已知角α终边上任意一点，求α的三角函数值时，我们直接用比值定义计算，没有必要用相似三角形向教材定义转化.2.三角函数符号及用向有线段表示三角函数【例2】 确定下列各式的符号：（1）sin105°·cos230°;(2)sin π87·tan π87; (3)cos6·tan6；（4）sin1-cos1.思路分析：先确定所给角的象限，再确定有关的三角函数值的符号.解：（1）∵105°，230°分别为第二、第三象限角，∴sin105°＞0,cos230°＜0.∴于是sin105°·cos230°＜0.(2)∵2π＜π87＜π,∴π87是第二象限角，则sin π87＞0,tan π87＜0. ∴sin π87·tan π87＜0. (3)∵π23＜6＜2π, ∴6是第四象限角,∴cos6＞0,tan6＜0.则cos6·tan6＜0.(4)∵4π＜1＜2π,如下图所示，由三角函数线可得：sin1＞22＞cos1.∴sin1-cos1＞0.温馨提示 (1)判断各三角函数值的符号，须判断角所在的象限.(2)sinθ既表示角θ的正弦值，同时也可以表示［-1，1］上的一个角的弧度数.(4)中解题的关键是将cosθ、sinθ视为角的弧度数.3.三角函数线的理解及应用【例3】在单位圆中画出适合下列条件的角α终边的范围，并由此写出角α的集合：（1）sinα≥23;(2)cosα≤-21. 思路分析：作出满足条件：sinα=23,cosα=21的角的终边，然后根据条件确定角α终边的范围.解：（1）作直线y=23交单位圆于A 、B 两点，连结OA 、OB.则OA 与OB 围成的区域（图甲中阴影部分）即为角α的终边范围.故满足条件sinα≥23的角α的集合为{α|2kπ+3π≤α≤2kπ+32π,k ∈Z }. (2)作直线x=-21交单位圆于C 、D 两点，连结OC 、OD.则OC 与OD 围成的区域（图乙中阴影部分）即为角α的终边的范围.故满足条件的角α的集合为{α|2kπ+32π≤α≤2kπ+34π 3,k ∈Z }.各个击破类题演练1求35π的正弦、余弦和正切值.解：在直角坐标系中，作∠AOB=35π（如右图），易知∠AOB 的终边与单位圆的交点坐标为（21，23-）.所以， sin 35π=23-,cos 35π=21,tan 35π=3-. 变式提升1已知角α的终边在直线y=-3x 上，求sinα.解：设角α终边上任一点为P （k,-3k ）(k≠0),则 x=k,y=-3k,r=||10)3(22k k k =-+.(1)当k ＞0时，r=10k,α是第四象限角， sinα=10103103-=-=kk r y , (2)当k ＜0时，r=-10k,α为第二象限角, sinα=10103103=--=k k r y . 温馨提示一个任意角α的三角函数只依赖于α的大小，只与终边位置有关，而与P 点在终边上的位置无关.类题演练2判断下列各式的符号：（1）tan250°·cos(-350°);(2)sin151°cos230°;(3)sin3cos4tan5;(4)sin(cosθ)·cos(sinθ)(θ是第二象限角).解：（1）∵tan250°＞0,cos(-350°)＞0,∴tan250°·cos(-350°)＞0.(2)∵sin151°＞0,cos230°＜0,∴sin151°·cos230°＜0.(3)∵2π＜3＜π,π＜4＜23π,23π＜5＜2π, ∴sin3＞0,cos4＜0,tan5＜0,∴sin3·cos4·tan5＞0.(4)∵θ是第二象限角，∴0＜sinθ＜1＜2π, ∴cos(sinθ)＞0. 同理，-2π＜-1＜cosθ＜0, ∴sin(cosθ)＜0,故sin(cosθ)·cos(sinθ)＜0.变式提升2若sin2α＞0且cosα＜0,试确定α所在的象限.解：∵sin2α＞0,∴2kπ＜2α＜2kπ+π(k ∈Z ),∴kπ＜α＜kπ+2π (k ∈Z ) 当k=2n(n ∈Z )时，有2nπ＜α＜2nπ+2π(n ∈Z )α为第一象限角. 当k=2n+1(n ∈Z )时，有2nπ+π＜α＜2nπ+23π(n ∈Z )，α为第三象限角. ∴α为第一或第三象限角.由cosα＜0，可知α在第二或第三象限，或α终边在x 轴的负半轴上.综上可知，α在第三象限.类题演练3利用单位圆中的三角函数线，确定满足sinα-cosα＞0的α的范围.解：如右图，设角α终边与单位圆的交点为P （x,y ）sinα=y,cosα=x.若sinα=cosα即y=x ，角α的终边落在直线y=x 上.此时α=kπ+4π,若sinα-cosα＞0, 即y-x ＞0.此时角α的终边落在y=x 上方,反之落在y=x 下方，因此角α的范围为2kπ+4π＜α＜2kπ+45π(k ∈Z ). 变式提升3试比较x,tanx,sinx 的大小，x ∈(0,2π).解析：如右图在单位圆中，设∠AOT=x,则AT=tanx,MP=sinx,∵S △OAT ＞S 扇OAP ＞S △OAP ，即21OA·AT ＞21OA·x ＞21OA·MP ，整理,即AT ＞x ＞MP.因此tanx ＞x ＞sinx. 答案:tanx ＞x ＞sinx。

(情景1)我们在初中通过直角三角形的边角关系，学习了锐角的正弦、余弦、正切等三个三角函数．请回想：这三个三角函数分别是怎样规定的？
图2
图3
图4
(1)y叫做α的
图6
分5个板块
（1）复习高一的任意角和角的研究方法。

α――L
R
角与实数一一对应。

（2）任意角的三角函数的定义。

（四个象限数形结合）
（3）取R＝1定义单位圆。

（4）例题、练习题。

（思路、方法）（5）总结归纳，作业布置。

要求全体学生根据教师所提问题进行总结识记，提问检查并强调：
1．你是怎样把锐角三角函数定义推广到任意角的？或者说任意角三角函数具体是怎样定义的？(建立直角坐标系，使角的顶点与坐标原点重合……在终边上任意取定一点P……)．2．你如何判断和记忆正弦、余弦、正切函数的定义域？(根据定义……)
3．你如何记忆正弦、余弦、正切函数值的符号？(根据定义，想象坐标位置……)
设计意图
遗忘的规律是先快后慢，回顾再现是记忆的重要途径，在课堂内及时总结识记主要内容是上策．此处以问题的形式让学生自己归纳识记本节课的主体内容，抓住要害，人人参与，及时建构知识网络，优化知识结构，培养认知能力．。

某某省某某市三水区实验中学高中数学 1.2 任意角的三角函数导学案新人教A版必修4【学习目标】1.掌握任意角的三角函数的定义。

2.已知角α终边上一点，会求角α的各三角函数值。

【重点难点】1. 熟练求值。

2. 理解任意角的三角函数的定义。

【预习指导】1．阅读教材第11～13页。

2．回顾初中学过的锐角三角函数的定义？（如图）在Rt△ABC中，sinA= ,cosA= , tanA= .3．思考：你能用直角坐标系中角的终边上的点的坐标来表示锐角三角函数吗？点的位置对这三个比值有影响吗？4．在平面直角坐标系中，我们称以______为圆心，以__________为半径的圆为单位圆。

【合作探究】1. 例题研讨：例1：求下列各角的正弦、余弦、正切值：π、4π、3π、53π(讨论求法→试求（学生板演）→订正)ABC→小结：画角的终边与单位圆，求交点，求值.例2：已知角α的终边经过点P(-4,-3)，求角α的正弦、余弦和正切值.（学生试求→订正→小结解法）2. 任意角的三角函数的定义：①思考：已知角α终边上任意一点P (x, y)，如何求它的三角函数值呢?②定义：一般地，设角α终边上任意一点的坐标为P (x，y)，它与原点的距离为r，则sinα＝；cosα＝；tanα＝.③讨论：这三个比值与点P的位置是否有关？当α的终边落在x轴、y轴上时，哪些三角函数值无意义？任何实数是不是都有三角函数值？为什么？【达标测评】(参考《全优》P7)1.若角α终边上有一点P(0,3)，则下列函数值无意义的是() A．tan α B．sin αC．cos α D．无法确定2.已知角α的终边经过点P(m,-3)，且cosα=-45,则m等于( )A．－114 B.114C．-4 D．43.若点P(4，y)是角α终边上一点，且sin α＝－35，则y的值是________．【归纳小结】单位圆定义任意角的三角函数；2.由终边上任一点求任意角的三角函数；【巩固练习】（各班可按实际情况安排）1．练习：教材P15：1，3；2．作业：教材P15：2.第二课时：任意角的三角函数（二）【学习目标】1. 掌握各象限的三角函数值的符号。