柱体、锥体、台体的体积

柱体、锥体、台体的体积教案二时柱体、锥体、台体的体积（一）教学目标1．知识与技能（1）了解几何体体积的含义，以及柱体、锥体与台体的体积公式（不要求记忆公式）（2）熟悉台体与柱体和锥体之间体积的转换关系（3）培养学生空间想象能力和思维能力2．过程与方法（1）让学生通过对照比较，理顺柱体、锥体、台体之间的体积关系（2）通过相关几何体的联系，寻找已知条的相互转化，解决一些特殊几何体体积的计算3．情感、态度与价值观通过柱体、锥体、台体体积公式之间的关系培养学生探索意识（二）教学重点、难点重点：柱体、锥体、台体的体积计算难点：简单组合体的体积计算（三）教学方法讲练结合教学环节教学内容师生互动设计意图新导入1．复习柱体、锥体、台体表面积求法及相互关系教师设问，学生回忆师：今天我们共同学习柱体、锥体、台体的另一个重要的量：体积复习巩固点出主题探索新知柱体、锥体、台体的体积1．柱体、锥体、台体的体积公式：V柱体= Sh (S是底面积，h为柱体高)V锥体= (S是底面积，h为锥体高)V台体= (S′，S分别为上、下底面面积，h为台体的高)2．柱体、锥体、台体的体积公式之间的关系师：我们已经学习了正方体，长方体以及圆柱的体积公式，它们的体积公式是什么？生：V = Sh (S为底面面积，h为高)师：这个公式推广到一般柱体也成立，即一般柱体体积公式：V = Sh (S为底面面积，h为高)师：锥体包括圆锥和棱锥，锥体的高是指从顶点向底面作垂线，顶点与垂足之间的距离(投影或作出) 锥体的体积公式都是V = (S为底面面积，h为高)师：现在请对照柱体、锥体体积公式你发现有什么结论生：锥体体积同底等高的柱体体积的师：台体的结构特征是什么？生：台体是用平行于锥体底面的平面去截锥体，截得两平行平面间的部分师：台体的体积大家可以怎样求？生：台体的体积应该等于两个锥体体积的差师：利用这个原理我们可以得到台体的体积公式V =其中S′、S分别为上、下底面面积，Q为台体的高(即两底面之间的距离)师：现在大家计论思考一下台体体积公式与柱体、锥体的体积公式有什么关系？生：令S′=0，得到锥体体积公式令S′=S，得到柱体体积公式柱体、锥体、台体的体积公式只要求了解，故采用讲授式效率会更高因台体的体积公式的推导需要用到后面知识，故此处不予证明，只要学生了解公式及公式的推导思路培养探索意识，加深对空间几何体的了解和掌握典例分析例 1 有一堆规格相同的铁制(铁的密度是78g/3)六角螺帽(如图)共重8g，已知底面是正六边形，边长为12，内孔直径为10，高为10，问这堆螺帽大约有多少个( 取314，可用计算器)？解：六角螺帽的体积是六棱柱体积与圆柱体积的差，即≈296 (3) = 296(3)所以螺帽的个数为8×1000÷(78×296)≈ 22(个)答：这堆螺帽大约有22个师：六角螺帽表示的几何体的结构特征是什么？你准备怎样计算它的体积？生：六角螺帽表示的几何体是一个组合体，在一个六棱柱中间挖去一个圆柱，因此它的体积等于六棱柱的体积减去圆柱的体积学生分析，教师板书过程师：求组合体的表面积和体积时，要注意组合体的结构特征，避免重叠和交叉等空间组合体的体积计算关键在于弄清它的结构特征典例分析例2 已知等边圆柱（轴截面是正方形的圆柱）的全面积为S，求其内接正四棱柱的体积【解析】如图，设等边圆柱的底面半径为r，则高h = 2r，∵S = S侧+ 2S底= 2 + ，∴∴内接正四棱柱的底面边长a=2r sin4°=∴V = S底•h == 4• ，即圆柱的内接正四棱柱的体积为教师投影例2并读题师：要解决此题首先要画出合适的轴截面图帮助我们思考，要求内接正四棱柱的体积，只需求出等边圆柱的底面圆半径r，根据已知条可以用S表示它大家想想，这个轴截面最好选择什么位置生：取内接正四棱柱的对角面师：有什么好处？生：这个截面即包括圆柱的有关量，也包括正四棱柱的有关量学生分析，教师板书过程师：本题是正四棱柱与圆柱的相接问题解决这类问题的关键是找到相接几何体之间的联系，如本例中正四棱柱的底面对角线的长与圆柱的底面直径相等，正四棱柱的高与圆柱的母线长相等，通过这些关系可以实现已知条的相互转化旋转体类组合体体积计算关键在于找好截面，找到这个截面，就能迅速搭好已知和未知的桥梁随堂练习1．下图是一个几何体的三视图(单位：)，画出它的直观图，并求出它的表面积和体积答案：232 22．正方体中，H、G、F分别是棱AB、AD、AA1的中点，现在沿三角形GFH所在平面锯掉正方体的一个角，问锯掉的这块体积是原正方体体积的几分之几？答案：学生独立完成培养学生理解能力，空间想象能力归纳总结1．柱体、锥体、台体的体积公式及关系2．简单组合体体积的计算3．等积变换学生归纳，教师补充完善巩固所学，提高自我整合知识能力后作业13 第二时习案学生独立完成固化知识提升能力备用例题例1：三棱柱AB – A1B11中，若E、F分别为AB、A的中点，平面EB11F将三棱柱分成体积为V1、V2的两部分，那么V1:V2 = 7: 【分析】不妨设V1对应的几何体AEF – A1B11是一个棱台，一个底面的面积与棱柱的底面积相等，另一个底面的面积等于棱柱底面的；V2对应的是一个不规则的几何体，显然这一部分的体积无法直接表示，可以考虑间接的办法，用三棱柱的体积减去V1表示【解析】设三棱柱的高为h，底面的面积为S，体积为V，则V = V1 + V2 = Sh∵E、F分别为AB、A的中点∴∴V1:V2 = 7:【评析】本题求不规则的几何体1B1—EBF的体积时，是通过计算棱柱AB—A1B11和棱台AEF—A1B11的体积的差求得的例2：一个底面直径为20的装有一部分水的圆柱形玻璃杯，水中放着一个底面直径为6，高为20的一个圆锥形铅锤，当铅锤从中取出后，杯里的水将下降几厘米？( =314)【解析】因为圆锥形铅锤的体积为(3)设水面下降的高底为x，则小圆柱的体积为(20÷2)2x = 100 x (3) 所以有60 =100 x，解此方程得x = 06 ()答：铅锤取出后，杯中水面下降了06。

柱体台体锥体的面积与体积公式柱体、台体和锥体是几何学中的常见立体图形，它们具有不同的形状和特点。

在几何学中，我们经常需要计算柱体、台体和锥体的面积和体积，以便解决各种实际问题。

下面将分别介绍柱体、台体和锥体的面积和体积公式。

一、柱体的面积和体积公式柱体是一种由两个平行且相等的圆面和一个侧面组成的立体图形。

柱体的底面是一个圆，侧面是一个矩形，顶面也是一个圆。

柱体的面积包括底面积、侧面积和全面积，而体积则是底面积乘以柱体的高。

1. 柱体的底面积公式柱体的底面积公式很简单，即底面的面积公式，也就是圆的面积公式。

设柱体的底面半径为r，则柱体的底面积为πr²，其中π是一个常数，约等于3.14。

2. 柱体的侧面积公式柱体的侧面积是一个矩形的面积，可以通过计算矩形的周长乘以柱体的高得到。

设柱体的底面半径为r，柱体的高为h，则柱体的侧面积为2πrh。

柱体的全面积包括底面积和侧面积，可以通过将底面积和侧面积相加得到。

柱体的全面积公式为2πr² + 2πrh。

4. 柱体的体积公式柱体的体积是底面积乘以柱体的高，可以通过将底面积乘以柱体的高得到。

柱体的体积公式为πr²h。

二、台体的面积和体积公式台体是一种由两个平行且相等的椭圆面、一个矩形面和两个梯形面组成的立体图形。

台体的底面和顶面都是椭圆，侧面是一个矩形，而底面和顶面之间的面是两个梯形。

台体的面积包括底面积、顶面积、侧面积和全面积，而体积则是底面积乘以台体的高。

1. 台体的底面积公式台体的底面积是一个椭圆的面积，可以通过计算椭圆的面积公式得到。

设台体的底面长轴为a，短轴为b，则台体的底面积为πab。

2. 台体的顶面积公式台体的顶面积也是一个椭圆的面积，可以通过计算椭圆的面积公式得到。

设台体的顶面长轴为A，短轴为B，则台体的顶面积为πAB。

台体的侧面积是一个矩形和两个梯形的面积之和，可以通过计算矩形和梯形的面积公式得到。

设台体的底面长轴为a，顶面长轴为A，底面短轴为b，顶面短轴为B，台体的高为h，则台体的侧面积为2(a+b)h。

7．2 棱柱、棱锥、棱台和圆柱、圆锥、圆台的体积学习目标 1.掌握柱体、锥体、台体的体积计算公式，会利用它们求有关几何体的体积.2.掌握求几何体体积的基本技巧．知识点一 柱、锥、台体的体积公式知识点二 柱体、锥体、台体的体积公式之间的关系V ＝ShV ＝13(S ′＋S ′S ＋S )hV ＝13Sh .1．锥体的体积等于底面面积与高之积．( × ) 2．台体的体积可转化为两个锥体的体积之差．( √ )类型一 多面体的体积例1 如图，四边形ABCD 为正方形，QA ⊥平面ABCD ，PD ∥QA ，QA ＝AB ＝12PD .(1)证明：PQ ⊥平面DCQ ；(2)求棱锥Q －ABCD 的体积与棱锥P －DCQ 的体积的比值． (1)证明 由题知四边形PDAQ 为直角梯形． 因为QA ⊥平面ABCD ，QA 平面PDAQ ， 所以平面PDAQ ⊥平面ABCD ，交线为AD . 又四边形ABCD 为正方形，DC ⊥AD ， 所以DC ⊥平面PDAQ ，可得PQ ⊥DC . 在直角梯形PDAQ 中可得DQ ＝PQ ＝22PD ， 则PQ ⊥QD .又DC ∩QD ＝D ，DC ，QD 平面DCQ ， 所以PQ ⊥平面DCQ .(2)解 设AB ＝a .由题设知AQ 为棱锥Q －ABCD 的高， 所以棱锥Q －ABCD 的体积V 1＝13a 3.由(1)知PQ 为棱锥P －DCQ 的高． 而PQ ＝2a ，△DCQ 的面积为22a 2， 所以棱锥P －DCQ 的体积V 2＝13a 3.故棱锥Q －ABCD 的体积与棱锥P －DCQ 的体积的比值为1. 反思与感悟 求几何体体积的四种常用方法 (1)公式法：规则几何体直接代入公式求解．(2)等积法：如四面体的任何一个面都可以作为底面，只需选用底面积和高都易求的形式即可． (3)补体法：将几何体补成易求解的几何体，如棱锥补成棱柱、三棱柱补成四棱柱等． (4)分割法：将几何体分割成易求解的几部分，分别求体积．跟踪训练1 如图，在三棱柱111ABC A B C －中，若E ，F 分别为AB ，AC 的中点，平面11EB C F 将三棱柱分成体积为l 2V V ，的两部分，那么12:V V ＝________.答案 7∶5解析 设三棱柱的高为h ，底面的面积为S ，体积为V ，则V ＝V 1＋V 2＝Sh . 因为E ，F 分别为AB ，AC 的中点，所以AEFS ＝14S ， 1V ＝13h ⎝⎛⎭⎫S ＋14S ＋S ·S 4＝712Sh ， 2V ＝Sh －1V ＝512Sh ，故12:7:5V V ＝.类型二 旋转体的体积例2 体积为52 cm 3的圆台，一个底面面积是另一个底面面积的9倍，求截得这个圆台的圆锥的体积．解 由底面面积之比为1∶9知，体积之比为1∶27. 截得的小圆锥与圆台体积比为1∶26， ∴小圆锥的体积为2 cm 3， 故原来圆锥的体积为54 cm 3.反思与感悟 要充分利用旋转体的轴截面，将已知条件尽量归结到轴截面中求解，分析题中给出的数据，列出关系式后求出有关的量，再根据几何体的体积公式进行运算、解答． (1)求台体的体积，其关键在于求高，在圆台中，一般把高放在等腰梯形中求解．(2)“还台为锥”是求解台体的体积问题的重要思想，作出截面图，将空间问题平面化，是解决此类问题的关键．跟踪训练2 设圆台的高为3，如图，在轴截面中母线AA 1与底面直径AB 的夹角为60°，轴截面中的一条对角线垂直于腰，则圆台的体积为________．考点 题点答案 21π解析 设上，下底面半径，母线长分别为r ，R ，l .作A 1D ⊥AB 于点D ，则A 1D ＝3，∠A 1AB ＝60°， 又∠BA 1A ＝90°， ∴∠BA 1D ＝60°， ∴AD ＝A 1Dtan 60°＝3， ∴R －r ＝ 3.BD ＝A 1D ·tan 60°＝33，∴R ＋r ＝3 3.∴ R ＝23，r ＝3，而h ＝3.∴V 圆台＝13πh (R 2＋Rr ＋r 2)＝13π×3×[(23)2＋23×3＋(3)2]＝21π.∴圆台的体积为21π. 类型三 几何体体积的求法 命题角度1 等体积法例3 如图，已知ABCD －A 1B 1C 1D 1是棱长为a 的正方体，E 为AA 1的中点，F 为CC 1上一点，求三棱锥A 1－D 1EF 的体积．考点 柱体、锥体、台体的体积 题点 锥体的体积解 1111A D EF F A D E V V －－＝，锥锥三棱三棱由1121111124A D E S EA A D a ∆⋅＝＝， 又三棱锥F －A 1D 1E 的高为CD ＝a ，11231113412F A D E V a a a ∴⨯⨯－＝＝，锥三棱 1131.12A D EF V a ∴－＝三棱锥反思与感悟 (1)三棱锥的每一个面都可当作底面来处理． (2)利用等体积法可求点到面的距离．跟踪训练3 如图所示，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，在三棱锥A 1－ABD 中，求A 到平面A 1BD 的距离d .考点 题点解 在三棱锥A 1－ABD 中，AA 1是三棱锥A 1－ABD 的高，AB ＝AD ＝AA 1＝1，A 1B ＝BD ＝A 1D ＝ 2.∵13×12×12×1＝13×12×2×32×2×d ， ∴d ＝33. 命题角度2 割补法例4 如图，在多面体ABCDEF 中，已知面ABCD 是边长为4的正方形，EF ∥AB ，EF ＝2，EF 与平面AC 的距离为3，求该多面体的体积．考点 题点解 如图，连接EB ，EC ，AC .四棱锥E －ABCD 的体积V E －ABCD ＝13×42×3＝16.因为AB ＝2EF ，EF ∥AB ，所以S △EAB ＝2S △BEF .所以V F －EBC ＝V C －EFB ＝12V C －ABE ＝12V E －ABC＝12×12V E －ABCD ＝4. 所以该多面体的体积V ＝V E －ABCD ＋V F －EBC ＝16＋4＝20.反思与感悟 通过“割补法”解决空间几何体的体积问题，需要思路灵活，有充分的空间想象力，什么时候“割”，什么时候“补”，“割”时割成几个图形，割成什么图形，“补”时补上什么图形，都需要灵活的选择．跟踪训练4 如图所示，一个底面半径为2的圆柱被一平面所截，截得的几何体的最短和最长母线长分别为2和3，求该几何体的体积．考点 题点解 用一个完全相同的几何体把题中几何体补成一个圆柱，如图所示，则圆柱的体积为π×22×5＝20π，故所求几何体的体积为10π.1.已知高为3的棱柱ABC —A 1B 1C 1的底面是边长为1的正三角形(如图)，则三棱锥B 1—ABC 的体积为( )A.14B.12C.36D.34考点 柱体、锥体、台体的体积 题点 锥体的体积答案 D解析 V ＝13Sh ＝13×34×3＝34.2．圆锥的轴截面是等腰直角三角形，侧面积是162π，则圆锥的体积是( ) A.128π3 B.64π3 C ．64π D ．1282π考点 柱体、锥体、台体的体积 题点 锥体的体积 答案 B解析 设圆锥的底面半径为r ，母线长为l ， 由题意知2r ＝l 2＋l 2，即l ＝2r ，∴S 侧＝πrl ＝2πr 2＝162π， 解得r ＝4.∴l ＝42，圆锥的高h ＝l 2－r 2＝4，∴圆锥的体积为V ＝13Sh ＝13π×42×4＝64π3.3．棱台的上、下底面面积分别是2,4，高为3，则该棱台的体积是( ) A ．18＋6 2 B ．6＋2 2 C ．24 D ．18考点 题点 答案 B解析 V ＝13(2＋4＋2×4)×3＝6＋2 2.4．已知某圆台的上、下底面面积分别是π，4π，侧面积是6π，则这个圆台的体积是________． 考点题点 台体的体积 答案73π3解析 设圆台的上、下底面半径分别为r 和R ，母线长为l ，高为h ，则S 上＝πr 2＝π，S 下＝πR 2＝4π.∴r ＝1，R ＝2，S 侧＝π(r ＋R )l ＝6π.∴l ＝2，∴h ＝3，∴V ＝13π(12＋22＋1×2)×3＝73π3.5．如图是一个底面直径为20 cm 的装有一部分水的圆柱形玻璃杯，水中放着一个底面直径为6 cm ，高为20 cm 的圆锥形铅锤，当铅锤从水中取出后，杯里的水将下降__________cm.考点 题点 答案 0.6解析 将铅锤取出后，水面下降部分实际是圆锥的体积． 设水面下降的高度为x cm ，则π×⎝⎛⎭⎫2022x ＝13π×⎝⎛⎭⎫622×20， 得x ＝0.6 cm.1．柱体、锥体、台体的体积之间的内在关系为V 柱体＝Sh ←―――S ′＝S V 台体＝13h (S ＋SS ′＋S ′)――→S ′＝0V 锥体＝13Sh .2．在三棱锥A －BCD 中，若求点A 到平面BCD 的距离h ，可以先求V A －BCD ，h ＝3V S △BCD.这种方法就是用等体积法求点到平面的距离，其中V 一般用换顶点法求解，即V A －BCD ＝V B －ACD ＝V C －ABD ＝V D －ABC ，求解的原则是V 易求，且△BCD 的面积易求．3．求几何体的体积，要注意分割与补形．将不规则的几何体通过分割或补形将其转化为规则的几何体求解．一、选择题1.如图，ABC －A ′B ′C ′是体积为1的棱柱，则四棱锥C －AA ′B ′B 的体积是( )A.13B.12C.23D.34考点 题点 答案 C解析 ∵V C －A ′B ′C ′＝13V ABC －A ′B ′C ′，∴V C －AA ′B ′B ＝23V ABC －A ′B ′C ′＝23.2.如图，已知正三棱锥S －ABC ，D ，E 分别为底面边AB ，AC 的中点，则四棱锥S －BCED 与三棱锥S －ABC 的体积之比为( )A ．1∶2B ．2∶3C ．3∶4D ．4∶3答案 C解析 两锥体高相等，因此V 四棱锥S －BCED ∶V 三棱锥S －ABC ＝S 四边形BCED ∶S △ABC ＝3∶4. 3．已知圆锥的母线长为8，底面圆的周长为6π，则它的体积是( ) A ．955π B ．955 C ．355π D ．355 考点 题点 答案 C解析 设圆锥的底面圆的半径为r ，高为h ，则2πr ＝6π，∴r ＝3. ∴h ＝64－32＝55，∴V ＝13π·r 2·h ＝355π.4.如图，在梯形ABCD 中，∠ABC ＝π2，AD ∥BC ，BC ＝2AD ＝2AB ＝2，将梯形ABCD 绕AD所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为( )A.53πB.43πC.23π D ．2π 考点 组合几何体的表面积与体积题点 柱、锥、台、球切割的几何体的表面积与体积 答案 A解析 由题意，旋转而成的几何体是圆柱，挖去一个圆锥(如图)，该几何体的体积为π×12×2－13×π×12×1＝53π.5．若一个圆锥的轴截面是等边三角形，其面积为3，则这个圆锥的母线长为( ) A ．2 B ．2 2 C. 2 D. 3 考点 题点 答案 A解析 如图所示，设等边三角形ABC 为圆锥的轴截面，由题意知圆锥的母线长即为△ABC 的边长，且S △ABC ＝34AB 2，∴3＝34AB 2，∴AB ＝2.6．如图所示，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，则三棱锥D 1－ACD 的体积是( )A.16B.13C.12D ．1答案 A 解析 三棱锥D 1－ADC 的体积V ＝13S △ADC ×D 1D ＝13×12×AD ×DC ×D 1D ＝13×12＝16. 7．将若干毫升水倒入底面半径为2 cm 的圆柱形器皿中，量得水面高度为6 cm ，若将这些水倒入轴截面是正三角形的倒圆锥形器皿中，则水面高度为( )A ．6 3 cmB ．6 cmC ．2318 cmD ．3312 cm 考点 柱体、锥体、台体的体积题点 锥体的体积答案 B解析 设圆锥中水的底面半径为r cm ，由题意知13πr 2×3r ＝π22×6， 得r ＝23，∴水面的高度是3×23＝6 cm.8．正三棱柱ABC －A 1B 1C 1的底面边长为2，侧棱长为3，D 为BC 的中点，则三棱锥A －B 1DC 1的体积为( )A ．1 B.32 C ．3 D.32考点题点答案 A解析 在正△ABC 中，D 为BC 中点，则有AD ＝32AB ＝3，11DB C S ＝12×2×3＝ 3. 又∵平面BB 1C 1C ⊥平面ABC ，平面BB 1C 1C ∩平面ABC ＝BC ，AD ⊥BC ，AD 平面ABC ，∴AD ⊥平面BB 1C 1C ，即AD 为三棱锥A －B 1DC 1底面上的高．∴1111DB C A B DC V S 三棱－＝锥·AD ＝13×3×3＝1. 二、填空题9．设甲、乙两个圆柱的底面积分别为S 1，S 2，体积分别为V 1，V 2.若它们的侧面积相等，且S 1S 2＝94，则V 1V 2的值是________． 考点题点答案 32解析 设两个圆柱的底面半径和高分别为r 1，r 2和h 1，h 2，由S 1S 2＝94，得πr 21πr 22＝94，则r 1r 2＝32. 由圆柱的侧面积相等，得2πr 1h 1＝2πr 2h 2，即r 1h 1＝r 2h 2，所以V 1V 2＝πr 21h 1πr 22h 2＝r 1r 2＝32. 10.如图，在△ABC 中，AB ＝8，BC ＝10，AC ＝6，DB ⊥平面ABC ，且AE ∥FC ∥BD ，BD ＝3，FC ＝4，AE ＝5.则此几何体的体积为________．考点题点答案 96解析 用“补形法”把原几何体补成一个直三棱柱，使AA ′＝BB ′＝CC ′＝8，所以V 几何体＝12V 三棱柱＝12×S △ABC ·AA ′＝12×24×8＝96.11.如图，在三棱柱A 1B 1C 1－ABC 中，已知D ，E ，F 分别为AB ，AC ，AA 1的中点，设三棱锥A －FED 的体积为V 1，三棱柱A 1B 1C 1－ABC 的体积为V 2，则V 1∶V 2的值为______．考点 柱体、锥体、台体的表面积与体积题点 其他求体积、表面积问题答案 124解析 设三棱柱的高为h ，∵F 是AA 1的中点，∴三棱锥F －ADE 的高为h 2， ∵D ，E 分别是AB ，AC 的中点，∴S △ADE ＝14S △ABC ， ∵V 1＝13S △ADE ·h 2，V 2＝S △ABC ·h ， ∴V 1V 2＝16S △ADE ·h S △ABC ·h ＝124. 三、解答题12．在四边形ABCD 中，A (0,0)，B (1,0)，C (2,1)，D (0,3)，绕y 轴旋转一周，求所得旋转体的体积．解 如图为所得旋转体，由一个圆锥和一个圆台组成．∵C (2,1)，D (0,3)，∴圆锥的底面半径r ＝2，高h ＝2.∴V 圆锥＝13πr 2h ＝13π×22×2 ＝83π.∵B (1,0)，C (2,1)， ∴圆台的两个底面半径R ＝2，R ′＝1，高h ′＝1.∴V 圆台＝13πh ′(R 2＋R ′2＋RR ′) ＝13π×1×(22＋12＋2×1)＝73π， ∴V ＝V 圆锥＋V 圆台＝5π.13.如图所示是一个边长为5＋2的正方形，剪去阴影部分得到圆锥的侧面和底面展开图，求该圆锥的体积．考点题点解 设圆锥的底面半径为r ，母线长为l ，高为h ，则依题意有14·2πl ＝2πr ， ∴l ＝4r .又∵AC ＝OC ＋OA ＝2r ＋r ＋l ＝(2＋5)r ，且AC ＝2×(2＋5)，∴(2＋5)r ＝(2＋5)×2，∴r ＝2，∴l ＝42，∴h ＝l 2－r 2＝30，∴V 圆锥＝13πr 2h ＝13π(2)2×30＝2303π.故该圆锥的体积为2303π. 四、探究与拓展14．若正三棱台A 1B 1C 1－ABC 的两底面边长分别为2,8，侧棱长等于6，则此三棱台的体积V ＝________.答案 42 2解析 如图，设D 1，D 分别为A 1B 1，AB 的中点，O 1，O 为上、下两底面的中心，则O 1O 为棱台的高h ，O 1C 1＝233，OC ＝833，作C 1H ⊥OC 于点H ，则C 1H ＝h ，且CH ＝23，故h ＝C 1H ＝36－12＝2 6. ∵111A B C S ＝3，S △ABC ＝163，∴V ＝(3＋43＋163)×263＝42 2. 15.在三棱台ABC －A 1B 1C 1中，AB ∶A 1B 1＝1∶2，则三棱锥A 1－ABC ，B －A 1B 1C ，C －A 1B 1C 1的体积之比是多少？考点题点解 设棱台的高为h ，S △ABC ＝S ，则1114.A B C S S ∆＝ ∴1A ABC V －＝13S △ABC ·h ＝13Sh ， 1111114·.3C ABC A B C V S h Sh ∆－＝＝又V 台＝13h (S ＋4S ＋2S )＝73Sh ， ∴11B A B C V －＝V 台－1111A ABC C ABC V V －－－＝73Sh －13Sh －43Sh ＝23Sh . ∴1A ABC V －∶11B A B C V －∶111C A B C V －＝1∶2∶4.。