11反比例函数1

第十七章 反比例函数 17.1.1 反比例函数的意义

知识技能目标

1.理解反比例函数的概念，根据实际问题能列出反比例函数关系式；

2.利用正比例函数和反比例函数的概念求解简单的函数式． 过程性目标

1.经历从实际问题抽象出反比例函数的探索过程，发展学生的抽象思维能力；

2.探求反比例函数的求法，发展学生的数学应用能力． 教学过程 一、创设情境

两个相关联的量，一个量变化，另一个量也随着变化，如果两个数的积一定，这两个数的关系叫做反比例关系． 二、探究归纳

问题1 小华的爸爸早晨骑自行车带小华到15千米的镇外去赶集，回来时让小华乘公共汽车，用的时间少了．假设两人经过的路程一样，而且自行车和汽车的速度在行驶过程中都不变，爸爸要小华找出从家里到镇上的时间和乘坐不同交通工具的速度之间的关系．

分析 和其他实际问题一样，要探求两个变量之间的关系，就应先选用适当的符号表示变量，再根据题意列出相应的函数关系式．

设小华乘坐交通工具的速度是v 千米/时，从家里到镇上的时间是t 小时．因为在匀速运动中，时间＝路程÷速度，所以

v

t 15=

从这个关系式中发现:

1.路程一定时，时间t 就是速度v 的反比例函数．即速度增大了，时间变小；速度减小了，时间增大．

2.自变量v 的取值是v ＞0．

问题2：学校课外生物小组的同学准备自己动手，用旧围栏建一个面积为24平方米的矩形饲养场．设它的一边长为x (米)，求另一边的长y (米)与x 的函数关系式．

分析 根据矩形面积可知

xy ＝24，

即 x

y 24

=

从这个关系中发现： 1.当矩形的面积一定时，矩形的一边是另一边的反比例函数．即矩形的一边长增大了，则另一边减小；若一边减小了，则另一边增大； 2.自变量的取值是x ＞0．

上述两个函数都具有x k y =的形式，一般地，形如x

k

y =(k 是常数，k ≠0)

的函数叫做反比例函数(proportional function )．

说明 1.反比例函数与正比例函数定义相比较，本质上，正比例y ＝kx ，即

k x

y

=，k 是常数，且k ≠0；反比例函数x

k

y =

，则xy ＝k ，k 是常数，且k ≠0．可利用定义判断两个量x 和y 满足哪一种比例关系．

2.反比例函数的解析式又可以写成：1-==kx x

k

y ( k 是常数，k ≠0)．

3.要求出反比例函数的解析式，只要求出k 即可． 三、实践应用

例1 下列函数关系中，哪些是反比例函数？

(1)已知平行四边形的面积是12cm 2，它的一边是a cm ，这边上的高是h cm ，则a 与h 的函数关系；

(2)压强p 一定时，压力F 与受力面积s 的关系；

(3)功是常数W 时，力F 与物体在力的方向上通过的距离s 的函数关系． (4)某乡粮食总产量为m 吨，那么该乡每人平均拥有粮食y (吨)与该乡人口数x 的函数关系式．

分析 确定函数是否为反比例函数，就是看它们的解析式经过整理后是否符合

x

k

y =(k 是常数，k ≠0)．所以此题必须先写出函数解析式，后解答．

解 (1)h

a 12

=，是反比例函数；

(2)F ＝ps ，是正比例函数；

(3)s W

F =，是反比例函数；

(4)x

m

y =，是反比例函数．

例2 当m 为何值时，函数224

-=m x

y 是反比例函数，并求出其函数解析式．

分析 由反比例函数的定义易求出m 的值．

解 由反比例函数的定义可知：2m －2＝1，2

3

=m ．

所以反比例函数的解析式为x

y 4

=．

例3 将下列各题中y 与x 的函数关系与出来．

(1)z

y 1

=，z 与x 成正比例；

(2)y 与z 成反比例，z 与3x 成反比例；

(3)y 与2z 成反比例，z 与x 2

1

成正比例；

解 (1)根据题意，得z ＝kx (k ≠0)．

把z ＝kx 代入z y 1=，得kx y 1

=，即x

k y 1

=．因此y 是x 的反比例函数．

(2)根据题意，得x

k

z z k y 3,21==

(k 1，k 2均不为0)． 把x k z 32=

代入z k y 1=，得x k k x

k k y 212133==，即x k k

y 213=．

因此y 是x 的正比例函数． (3)根据题意，得x k z z k y 2121,2==

．把z

k y x k z 221

12==代入，得 x k k y 21

2

12⨯=

，即y ＝x

k

k 21．因此y 是x 的反比例函数．

例4 已知y 与x 2成反比例，并且当x ＝3时，y ＝2．求x ＝1.5时y 的值．

分析 因为y 与 x 2成反比例，所以设2x

k

y =，再用待定系数法就可以求出k ，进

而再求出y 的值．

解 设2x

k y =．因为当x ＝3时，y ＝2，所以92k

=，k ＝18．

当x ＝1.5时，8)

5.1(18

1822===

x y ． 例5 已知y ＝y 1＋y 2， y 1与x 成正比例，y 2与x 2成反比例，且x ＝2与x ＝3时，

y 的值都等于19．求y 与x 间的函数关系式．

分析 y 1与x 成正比例，则y 1＝k 1x ，y 2与x 2成反比例，则22

2x

k y =

，又由y ＝y 1＋y 2，可知，2

2

1x k x k y +

=，只要求出k 1和k 2即可求出y 与x 间的函数关系式． 解 因为y 1与x 成正比例，所以 y 1＝k 1x ； 因为y 2与x 2成反比例，所以 22

2x

k y =

， 而y ＝y 1＋y 2，所以 2

2

1x k x k y +

=， 当x ＝2与x ＝3时，y 的值都等于19．