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反比例函数是八年级数学上学期第十八章第二节内容，主要对反比例函数的图像及性质进行讲解，重点是反比例函数的性质的理解，难点是反比例函数表达式的归纳总结．通过这节课的学习为我们后期学习反比例函数的应用提供依据．
一、反比例函数的概念
1、如果两个变量的每一组对应值的乘积是一个不等于零的常数，我们就说这两个变量成反比例．用数学式子表示两个变量x、y成反比例，就是xy k
=，或表示为
k
y
x
=，其中k 是不等于0的常数．
2、解析式形如
k
y
x
=（k是常数，0
k≠）的函数叫做反比例函数，其中k叫做比例系数．
3、反比例函数
k
y
x
=的定义域是不等于零的一切实数．
反比例函数
知识结构
模块一：反比例函数的概念
知识精讲
内容分析
【例1】 下列变化过程中的两个变量成反比例的是（
）
A ．圆的面积和半径
B ．矩形的面积一定，它的长与宽
C ．完成一项工程的工效与完成工期的时间
D ．人的身高及体重
【难度】★ 【答案】B
【解析】矩形面积=长×宽，即S ab =，S 为定值，可知它的长与宽成反比例，B 正确；注
意区分C 选项，工效与工作时间成反比，而非完成工期的时间．
【总结】考查反比例函数的基本概念，会判断两个量是否是反比例关系，只需看两个量的乘积是否为定值即可．
【例2】 （1）已知：y 与x 成反比例，且1x =-时，2y =，则它的函数解析式是_________;
（2）已知y 与2x 成反比例，且当2x =-时，14y =-，则当1
3
x =时，y =_________.
【难度】★ 【答案】（1）2
y x
=-
；（2）9-． 【解析】（1）设函数解析式为k y x =，即有21k =-，得：2k =-，则函数解析式为2y x
=-；
（2）设函数解析式为2k y x =
，即有()
2
142k =--，得：1k =-，函数解析式为21
y x =-，
则当1
3x =时，2
1913y =-=-⎛⎫
⎪⎝⎭
． 【总结】考查利用“待定系数法”求反比例函数的比例系数，也可直接利用成反比例函数关系的积为定值求解．
例题解析
【例3】 下列函数（其中x 是自变量）中，哪些是反比例函数?哪些不是，为什么?
（1）3x y =； （2）12y x -=； （3）1
(0)y k kx =≠；
（4）2xy =-；
（5）2
1y x
=
+． 【难度】★
【答案】（2）、（3）、（4）是反比例函数，（1）、（5）不是反比例函数．
【解析】反比例函数有三种基本形式k
y x =、1y kx -=、xy k =，均要求0k ≠，（2）（3）（4）
符合这几种形式，是反比例函数，（1）（5）不是．
【总结】考查根据反比例函数的定义判断函数是否为反比例函数．
【例4】 （1）如果2
1
(1)k
k y k x --=-是反比例函数，则k 的值是_________； （2）已知函数2
10
(3)m
y m x -=-是反比例函数，则m =_________.
【难度】★★
【答案】（1）0；（2）3-．
【解析】（1）由题意可得211
10
k k k ⎧--=-⎨-≠⎩，解得：0k =；
（2）由题意可得2101
30m m ⎧-=-⎨-≠⎩
，解得：3m =-．
【总结】考查反比例函数()10y kx k -=≠的形式，根据次数确定相应字母取值一定要注意比例系数不为0的前提条件．
【例5】 下列说法中正确的有（ ）个．
（1） 当1
0k y kx
≠=时，是反比例函数；
（2） 如果2213y y x x
=，那么与成反比例； （3） 如果21
1m y m x
-=
+-是反比例函数，则1m =±； （4） 如果x 、y 成正比例，y 与z 成反比例，则x 与z 成反比例． A ．1 B ．2 C ．3 D ．4
【难度】★★
【答案】C
【解析】根据反比例函数的意义，可知（1）（2）正确；（3）为反比例函数，则有210
10m m -≠⎧⎨-=⎩
，
解得：1m =-，（3）错误；（4）根据题意，令()110x k y k =≠，()220k y k z =
≠，
则有12k k x z
=，
由120k k ≠，可知x 与z 成反比例；（1）（2）（4）正确，故选C ．
【总结】考查反比例函数的概念．
【例6】 已知某反比例函数，且当1x =时，2y =-，当3x y m =-=时，求m 的值． 【难度】★★
【答案】2
3
．
【解析】设函数解析式为(0)k y k x =≠，即有21k =-，得：2k =-，则函数解析式为2
y x =-，
则当3x =-时，23
y m ==
． 【总结】考查利用“待定系数法”求反比例函数的比例系数，也可直接利用成反比例函数关系的积为定值求解．
【例7】 已知21y x +-与成反比例，且当13x y =-=-时，当3x =时，y 的值． 【难度】★★ 【答案】1-． 【解析】令2(0)1k y k x +=≠-，根据题意，则有3211
k
-+=
--，得：2k =，
则相应解析式为221y x =
--，当3x =时，则有2
2131
y =-=--． 【总结】考查利用“待定系数法”求反比例函数的比例系数，也可直接利用成反比例函数关系的积为定值求解．
