高中数学第3章数系的扩充与复数3.1.3复数的几何意义讲义新人教B版选修22

3.1.3 复数的几何意义1．掌握复数的几何意义,即能够掌握复数与复平面内的点的对应关系,掌握向量、复数及复平面上点的坐标之间的转化关系．2．能够利用复数的几何意义解决一些较简单的题目．1．复数的几何表示根据复数相等的定义,复数z ＝a ＋b i 被一个有序实数对( a ,b )所______确定,而每一个有序实数对( a ,b ),在平面直角坐标系中有唯一确定一点Z ( a ,b )( 或一个向量OZ )．这就是说,每一个复数,对应着平面直角坐标系中唯一的______( 或一个向量 )；反过来,平面直角坐标系中每一个点( 或每一个向量 ),也对应着唯一的一个有序实数对．这样我们通过有序实数对,可以建立复数z ＝a ＋b i 和点Z ( a ,b )( 或向量OZ )之间的一一对应关系．点Z ( a ,b )或向量OZ 是复数z 的______表示( 如图 )．复数z ＝a ＋b i ←−−−→一一对应有序实数对( a ,b )←−−−→一一对应点Z ( a ,b )． [做一做1－1]对于复平面,下列命题中是真命题的是( )． A ．虚数集和各个象限内的点的集合是一一对应的B ．实、虚部都是负数的虚数的集合与第二象限内的点的集合是一一对应的C ．实部是负数的复数的集合与第二、三象限的点的集合是一一对应的D ．实轴上方的点的集合与虚部为正数的复数的集合是一一对应的[做一做1－2]设z ＝( 2a 2＋5a －3 )＋( a 2－2a ＋3 )i( a ∈R ),则下列命题中正确的是( )．A ．z 的对应点Z 在第一象限B ．z 的对应点Z 在第四象限C ．z 不是纯虚数D ．z 是虚数 2．复平面建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做______．在复平面内,x 轴叫做______,y 轴叫做______．x 轴的单位是1,y 轴的单位是i.实轴与虚轴的交点叫做原点,原点( 0,0 )对应复数0.( 1 )复数与向量建立一一对应关系的前提是起点都是原点．( 2 )复数z 的几何表示为我们用向量方法解决复数问题或用复数方法解决向量问题创造了条件．( 3 )为了方便起见,我们常把复数z ＝a ＋b i( a ,b ∈R )说成点Z 或说成向量OZ ,并规定:相等向量表示同一个复数．[做一做2]下面有关复平面的命题,其中正确的有________． ①实轴与虚轴无交点；②实轴上的点对应的复数为实数,虚轴上的点对应的复数为虚数；③实轴与虚轴的单位都是1；④实数对应的点在实轴上,纯虚数对应的点在虚轴上．3．复数的模、共轭复数( 1 )设OZ＝a＋b i( a,b∈R),则向量OZ的长度叫做复数a＋b i的____( 或绝对值 ),记作|a＋b i|,|a＋b i|＝________.( 2 )如果两个复数的实部相等,而虚部互为相反数,则这两个复数叫做互为______复数．复数z的共轭复数用z表示．说明:①复数z的模即有向线段的长度或两点间的距离．在数轴( 一元坐标 )上我们叫实数的绝对值,在直角坐标系( 二元坐标 )上我们叫向量的模,但叫绝对值也可以．其本质都是线段的长．②由|z|＝a2＋b2,得|z|2＝a2＋b2,而由a2＋b2＝( a＋b i )( a－b i ),可得公式z·z＝|z|2＝|z|2,这一公式在分解因式、复数与实数的互化、模及共轭复数的运算中都应用很广泛．[做一做3－1]复数i＋2i2的共轭复数是( )．A．2＋i B．2－iC．－2＋i D．－2－i[做一做3－2]满足条件|z|＝|3＋4i|的复数z在复平面上对应的点的轨迹是( )．A．一条直线 B．两条直线C．圆 D．椭圆1．如何理解复数的两种几何形式？剖析:这种对应关系架起了联系复数与详细解析几何之间的桥梁,使得复数问题可以用几何方法解决,而几何问题也可以用复数方法解决( 即数形结合法 ),增加了解决复数问题的途径．复数z＝a＋b i( a,b∈R )对应的点的坐标是( a,b ),而不是( a,b i )．复数z＝a＋b i( a,b∈R)对应的向量OZ是以原点O为起点的,否则就谈不上一一对应,因为复平面上与OZ相等的向量有无数个．2．复数的模、共轭复数有什么联系？剖析:( 1 )复数z＝a＋b i( a,b∈R )的模用|z|表示,其公式为|z|＝a2＋b2,它既是z 对应的向量OZ的长度又是其对应的点Z( a,b )到原点的距离．( 2 )复数z＝a＋b i( a,b∈R)的共轭复数为z＝a－b i,它们对应的点关于实轴对称．当b＝0时,z＝z,此时z与z对应的点是实轴上的同一个点．如果z＝z,可以推得z为实数．由此可得z＝z⇔z为实数．|z|2＝z·z.题型一复数的几何表示[典型例题1]已知a∈R,则z＝( a2－2a＋4 )－( a2－2a＋2 )i所对应的点在第几象限？复数z所对应的点的轨迹是什么？分析:根据复数与复平面上点的对应关系知,复数z对应的点在第几象限与复数z的实部和虚部的符号有关；求复数z对应的点的轨迹问题,首先把z表示成为z＝x＋y i( x,y∈R )的形式,然后寻求x,y之间的关系,但要注意参数限定的条件．题型二 共轭复数[典型例题2]已知x －1＋y i 与i －3x 是共轭复数,求实数x 与y 的值． 分析:根据共轭复数及复数相等的概念列方程组求x ,y .反思:复数z 的共轭复数用z 来表示,即若z ＝a ＋b i( a ,b ∈R ),则z ＝a －b i( a ,b ∈R )．在复平面内,点Z ( a ,b )对应复数z ＝a ＋b i( a ,b ∈R )；点Z ( a ,－b )对应复数z ＝a －b i( a ,b ∈R ),点Z 和Z 关于实轴对称．题型三 复数的模[典型例题3]已知复数z 1＝3－i,z 2＝－12＋32i.( 1 )求|z 1|及|z 2|的值并比较大小；( 2 )设z ∈C ,满足条件|z 2|≤|z |≤|z 1|的点Z 的集合是什么图形？ 分析:根据模的定义及几何意义来求解．反思:复数的模表示复数在复平面内对应的点到原点的距离．计算复数的模时,应先找出复数的实部与虚部,然后再利用公式进行计算,复数的模可以比较大小．题型四 易错辨析易错点:复数的模是实数的绝对值概念的扩充,但在求解有关问题时,不能当成实数的“绝对值”加以求解,否则易丢解、漏解,造成正确答案不完整或错误．[典型例题4]求方程－5|x |＋6＝0在复数集上解的个数．错解:∵－5|x |＋6＝0,∴5|x |＝6,即|x |＝65,∴x ＝±65,故原方程在复数集上有两个解．1如果复数a ＋b i 在复平面内对应的点在第二象限,则( )． A ．a ＞0,b ＜0 B ．a ＞0,b ＞0 C ．a ＜0,b ＜0 D ．a ＜0,b ＞02复数z ＝3a －6i 的模为40,则实数a 的值为( )． A ．23 B ．－23 C ．±23 D ．433若a ,b ∈R ,z ＝a ＋b i,我们称复数－a －b i 为z 的相反复数,则( )． A ．复平面上表示z 和它的相反复数的点关于虚轴对称B ．复平面上表示z 的共轭复数z 的点与表示z 的相反复数的点关于虚轴对称C ．z 的共轭复数z 的相反复数是zD ．z 的相反复数与z 不相等4复数z ＝1＋itan 200°的模是________．5已知θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4,复数z ＝2cos θ＋isin θ,则|z |的取值范围是________．正确答案:基础知识·梳理1．唯一 一个点 几何[做一做1－1]D 当虚数为纯虚数时,所对应的点位于虚轴上,不属于任何象限,因此选项A 不正确；实、虚部都是负数的虚数的集合与第三象限内的点的集合是一一对应的,因此选项B 不正确；实部是负数的实数所对应的点位于实轴上,不属于第二、三象限,因此选项C 不正确；选项D 正确．[做一做1－2]D 由2a 2＋5a －3＝( 2a －1 )( a ＋3 ),得其实部可正,可负也可以是零,而虚部a 2－2a ＋3＝( a －1 )2＋2＞0,故z 是虚数．2．复平面 实轴 虚轴[做一做2]④ 由于实轴与虚轴相交于原点,故①错；由于原点也在虚轴上,它与复数0对应,故②不正确；虚轴的单位为i,所以③错；④正确．3．( 1 )模 a 2＋b 2( 2 )共轭[做一做3－1]D i ＋2i 2＝－2＋i,其共轭复数是－2－i.[做一做3－2]C |3＋4i|＝32＋42＝5.故复数z 的模为5,即点Z 到原点的距离等于5,因此满足条件|z |＝5的点Z 的集合是以原点为圆心,以5为半径的圆．典型典型例题·领悟[典型例题1]解:由于a 2－2a ＋4＝( a －1 )2＋3＞0, a 2－2a ＋2＝( a －1 )2＋1＞0,∴复数z 的实部为正,虚部为负,即复数z 对应的点在第四象限．设z ＝x ＋y i( x ,y R ),则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a 2－2a ＋4，y ＝－a 2－2a ＋2.上述两式相加,得x ＋y ＝2.又x ＝a 2－2a ＋4＝( a －1 )2＋3≥3,∴复数z 对应的点的轨迹是一条射线,其方程为x ＋y －2＝0( x ≥3 )． [典型例题2]解:i －3x 的共轭复数为－3x －i,所以x －1＋y i ＝－3x －i,从而⎩⎪⎨⎪⎧－3x ＝x －1，y ＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝14，y ＝－1.[典型例题3]解:( 1 )|z 1|＝|3＋i|＝32＋12＝2.|z 2|＝|－12－32i|＝－122＋－322＝1.所以|z 1|＞|z 2|.( 2 )由|z 2|≤|z |≤|z 1|,得1≤|z |≤2.因为|z |≥1表示圆|z |＝1上及其外部所有点组成的集合,|z |≤2表示圆|z |＝2上及其内部所有点组成的集合,故符合题设条件的点的集合是以O 为圆心,以1和2为半径的圆所夹的圆环( 包括边界 ),如图．[典型例题4]错因分析:错解中将|x |看成了实数的绝对值,忽略在复数集上解方程而导致错误．正解:设x ＝a ＋b i( a ,b R ),原方程可化为a 2＋b 2＝65,即a 2＋b 2＝3625,在复平面上满足此条件的点有无数个,所以原方程在复数集上有无数个解．随堂练习·巩固 1．D2．C ∵( 3a )2＋( －6 )2＝40,∴a ＝±23.3．B 选项A 中应关于原点对称；选项C 中因为z ＝a －b i,则z 的相反复数为－a ＋b i,并非等于z ；选项D 中若z 为纯虚数,则z 的相反复数与z 相等．4．1cos 20° |z |＝12＋tan 2200°＝1＋tan 220°＝1cos 220°＝1cos 20°.5．⎣⎢⎡⎦⎥⎤102，2 ∵|z |＝2cos θ2＋sin θ2＝4cos 2θ＋sin 2θ＝1＋3cos 2θ,又θ⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4,∴22≤cos θ≤1,∴52≤1＋3cos 2θ≤4,故102≤|z |≤2.。

高中数学 第三章 数系的扩充与复数 3.1.3 复数的几何意义课堂探究 新人教B 版选修2-2探究一 复数与点的对应1．确定复数对应的点在复平面内的位置时，关键是理解好复数与该点的对应关系，复数的实部就是该点的横坐标，复数的虚部就是该点的纵坐标，据此可建立复数的实部与虚部应满足的条件，通过解方程或不等式求解．2．确定复数对应点的集合的图形时，首先根据复数与点的对应关系找出点的横坐标、纵坐标之间的关系，再结合平面解析几何的相关知识确定图形形状．【典型例题1】 已知复数z ＝(a 2－1)＋(2a －1)i ，其中a ∈R .当复数z 在复平面内对应的点满足下列条件时，求a 的值(或取值范围)．(1)在实轴上；(2)在第三象限；(3)在抛物线y 2＝4x 上．思路分析：根据复数与点的对应关系，得到复数的实部与虚部之间的对应关系，建立关于a 的方程或不等式求解．解：复数z ＝(a 2－1)＋(2a －1)i 在复平面内对应的点是(a 2－1,2a －1)．(1)若z 对应的点在实轴上，则有2a －1＝0，解得a ＝12； (2)若z 对应的点在第三象限，则有⎩⎪⎨⎪⎧ a 2－1<0，2a －1<0，解得－1＜a ＜12； (3)若z 对应的点在抛物线y 2＝4x 上，则有(2a －1)2＝4(a 2－1)，即4a 2－4a ＋1＝4a 2－4，解得a ＝54. 【典型例题2】 试确定在复平面内，满足下列条件的复数z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )对应的点的集合分别是什么图形．(1)y ＝2；(2)1≤x ≤4；(3)x ＝y ；(4)|z |≤5.思路分析：根据复数满足的条件，获得复数对应点的横、纵坐标之间满足的条件，从而确定点对应的图形．解：(1)复数z 对应点的坐标是(x ，y )，而y ＝2，所以点的集合是一条与实轴平行的直线．(2)复数对应的点为(x ，y )，而1≤x ≤4，所以点的集合是夹在垂直于实轴的两条直线之间的一个带形区域(含两边界直线)．(3)复数对应的点是(x ，y )，而x ＝y ，所以点的集合是一条直线，它是复平面的第一、三象限的平分线．(4)复数对应的点是(x ，y )，而|z |≤5，即x 2＋y 2≤5，所以x 2＋y 2≤25，因此点的集合是一个以原点为圆心，半径等于5的圆的内部，包含圆的边界．探究二 复数与向量的对应1．若O 为坐标原点，则向量OA →对应的复数就是点A 对应的复数；2．一个向量不管怎样平移，它所对应的复数不变，但其终点和起点所对应的复数可能改变．【典型例题3】 已知向量OA →对应的复数是4＋3i ，点A 关于实轴的对称点为A 1，将向量OA 1→平移，使其起点移动到A 点，这时终点为A 2.(1)求向量OA 1→对应的复数；(2)求点A 2对应的复数．思路分析：根据复数与点、复数与向量的对应关系求解．解：(1)∵向量OA →对应的复数是4＋3i ，∴点A 对应的复数也是4＋3i ，∴点A 坐标为(4,3)，∴点A 关于实轴的对称点A 1为(4，－3)，故向量OA 1→对应的复数是4－3i ；(2)依题意知OA 1→＝AA 2→，而OA 1→＝(4，－3)，设A 2(x ，y )，则有(4，－3)＝(x －4，y －3)，∴x ＝8，y ＝0，即A 2(8,0)，∴点A 2对应的复数是8.探究三 复数的模及其计算1．复数的模表示复数在复平面内对应的点到原点的距离；2．求复数的模时，应先确定复数的实部与虚部，再套用复数模的计算公式计算求解；3．若两个复数相等，它们的模一定相等；反之，两个复数的模相等，这两个复数不一定相等；4．两个复数不一定能比较大小，但复数的模一定可以比较大小．【典型例题4】 (1)若复数z ＝(a －2)＋2a i 的模等于5，则实数a 的值等于________． (2)若复数z ＝(m 2－9)＋(m 2＋2m －3)i 是纯虚数，其中m ∈R ，则|z |＝________. 解析：(1)由已知可得a －22＋2a 2＝5， 即5a 2－4a ＋4＝5,5a 2－4a －1＝0，解得a ＝1或－15. (2)由于复数z 是纯虚数，所以⎩⎪⎨⎪⎧ m 2－9＝0，m 2＋2m －3≠0，解得m ＝3.这时z ＝12i ，因此|z |＝|12i|＝12.答案：(1)1或－15(2)12 探究四 共轭复数及其应用复数z 的共轭复数用z 来表示，即若z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则z ＝a －b i(a ，b ∈R )．在复平面内，点Z (a ，b )对应复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )；点Z (a ，－b )对应复数z ＝a －b i(a ，b ∈R )，点Z 和Z 关于实轴对称．【典型例题5】 已知x －1＋y i 与i －3x 是共轭复数，求实数x 与y 的值．思路分析：根据共轭复数及复数相等的概念列方程组求x ，y .解：i －3x 的共轭复数为－3x －i ，所以x －1＋y i ＝－3x －i ，即⎩⎪⎨⎪⎧ x －1＝－3x ，y ＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝14，y ＝－1.。

3.1.2 复数的几何意义
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目标导航
1.了解复数的几何意义. 2.理解复数的模的概念,会求复数的模.
知识梳理
1.复平面的定义
建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面,x轴叫做实轴,y
轴叫做虚轴,实轴上的点都表示实数;除了原点外,虚轴上的点都表
示纯虚数.
2.复数的几何意义
(1)复数集C和复平面内所有的点所成的集合是一一对应的,即
题型一
题型二
题型三
典例透析
解:方法一:由已知,得点A,B,C的坐标分别为A(0,1),B(1,0),C(4,2),
则线段 AC 的中点坐标为
2,
3 2
.
由平行四边形的性质,知点
2,
3 2
也是线段BD 的中点.
设点 D 的坐标为(x,y),则
������ +1 2
=
2,
������ +0 2
=
3 2
2.从几何意义上理解,复数的模表示复数对应的点到原点的距离, 所以|z|=r表示以原点为圆心,r为半径的圆.
典例透析
题型一
题型二
题型三
【变式训练3】 设z=a+bi(a,b∈R),求在复平面内满足下列条件 的点所组成的图形.
(1)|a|<2,且|b|<2; (2)|z|≤2,且|b|>1; (3)|z|=2,且a>b; (4)1≤|z|≤2. 解:(1)在复平面内,满足不等式|a|<2的点组成的图形是位于两条
复数z=
.
解析:依题意可设复数 z=a+2ai(a∈R),由|z|= 5,
得 ������2 + 4������2 = 5, 解得a=±1,故 z=1+2i 或 z=-1-2i.

(4)象限内的点与复数的对应: ①第一象限的复数特点:实部为正,且虚部为正; ②第二象限的复数特点:实部为负,且虚部为正; ③第三象限的复数特点:实部为负,且虚部为负; ④第四象限的复数特点:实部为正,且虚部为负.
2.复数几何意义的两个关注点 (1)复数与复平面上的点:复数z=a+bi(a,b∈R)的对应 点的坐标为(a,b),而不是(a,bi). (2)复数与向量的对应:复数z=a+bi(a,b∈R)的对应向 量 OZ 是以原点O为起点的,否则就谈不上一一对应, 因为复平面上与 OZ 相等的向量有无数个.
【方法技巧】 利用复数与点的对应解题的步骤
(1)找对应关系:复数的几何表示法即复数 z=a+bi(a,b∈R)可以用复平面内的点Z(a,b)来表示, 是解决此类问题的根据.
(2)列出方程:此类问题可建立复数的实部与虚部应满 足的条件,通过解方程(组)或不等式(组)求解.
【变式训练】
在复平面内,复数6+5i,-2+3i对应的点分别为A,B.若C
【解题探究】典例中复数z1=3+4i,z2=0,z3=c+(2c-6)i 对应点的坐标分别是多少?两点间的距离公式是什么?
提示:复数z1=3+4i,z2=0,z3=c+(2c-6)i对应点的坐标 分别是A(3,4),B(0,0),C(c,2c-6),A(x1,y1),B(x2,y2) 两点间的距离公式|AB|= (x1－x2 )2 (y1－y2 )2 .
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故c≠9.
所以c的取值范围是{c|c> 4,9且c≠9}.
11
【延伸探究】 1.(变换条件)若∠BAC为锐角,求实数c的取值范围.
【解析】要使∠BAC为锐角,由余弦定理得