初一数学课件 角平分线的性质

M
B
D P
N C
∴ △AMP ≌ △ANP（AAS） ∴PM=PN
角平分线的性质1
角的平分线上的点到角的两边的距离相等.
应用所具备的条件：
M
B
（1）AD为角的平分线； （2）点P在该平分线上； A
D P
（3）PM⊥AB PN⊥AC
符号语言：
N C
∵AD平分∠BAC ，PM⊥AB ， PN⊥AC
∴PM=PN
作用：判断线段相等的依据.
练习一：判断正误，并说明理由：
1.如图，P是∠AOB的平分线OC上的一点，D、E分
别在OA、OB上，则PD=PE .
(×)
2.如图，P在射线OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，
PE=PF.
A
D
O
O
PC
E B
（1题）
A D
PC
E B
（2题）
(× )
3.如图，在∠AOB的平分线OC上任取一点P，若P到 OA 的距离为3cm，则P到OB的距离边为3cm.( √ )
B
A
D
C
结论： 角是轴对称图形，角的平分线所在的
直线是它的对称轴.
活动二：探索角平分线的第一个性质
请同学们在刚才折出的角平分线AD上，任意取一点 P，
通过尺规作图，过点 P 作 PM⊥AB，PN⊥AC，垂足分
别是点 M，N，用圆规比较 PM 与 PN 的大小，你有什
么发现？说明你的理由.
M
B
D
A
P
N C
结论：角平分线上的点，到这个角的两边的距离相等.
已知：AD是∠BAC的角平分线,点P是AD上任意一点，
PM⊥AB，PN⊥AC.求证：PM=PN

初中数学
例 已知：如图，AB = AC，BD = CD，DE⊥AB， 交AB的延长线于点E，DF⊥AC，交AC的延长线 于点F．求证：DE = DF．
E B
A
D
C F
初中数学
例 已知：如图，AB = AC，BD = CD，DE⊥AB， 交AB的延长线于点E，DF⊥AC，交AC的延长线 于点F．求证：DE = DF．
∴∠PDF＝∠PEH.
2．求证何来？“全等推相等”
于点F．求证：DE = DF．
“全等待条件”“双垂待角分”
∵∠AOP = ∠BOP
1．如图，在△ABC中，AD是它的角平分线．
例 如图，△ABC中，AD 是它的角平分线，且BD = CD，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F．
解： ∠PDA = ∠PEO．理由如下：
练习 如图，OP平分∠AOB，点D，EO分别在OA，
求证何来？“距离需作垂”
PC
“全等待条件”“双垂待角分”
E
1 ．已知可推？“角分双垂推相等”
在△ABD与△ACD中，
B
初中数学
练习 如图，OP平分∠AOB，点D，E分别在OA， OB上，且PD = PE，图中与∠PDA相等的角是
，并证明你的结论．
A N P FM
分析： 已知可推？“角分无双垂” 求证何来？“距离需作垂”
B
E
C 考虑“作双垂”．
注意：两组“角分待双垂”．
初中数学
例 如图，△ABC的角平分线BM，CN相交于P． 求证：点P到三边AB，BC，CA的距离相等．
A
ND P
FM
分析： 已知可推？“角分无双垂” 求证何来？“距离需作垂”
求证：点P到三边AB，BC，CA所在的直线的距离

计算角度
在已知三角形两个角的情况下，可以利用三角形内角和定理计算出第三个角的大小。
证明全等三角形
在证明两个三角形全等时，如果两个三角形有两组对应的角分别相等，并且其中一组等角的 对边相等，那么这两个三角形全等（AAS）。此时，可以通过作角的平分线来构造全等的条 件。
解决实际问题
在实际问题中，如测量、建筑等领域，经常需要利用三角形内角和定理和角的平分线性质 来解决相关问题。例如，在测量一个角度时，可以通过测量另外两个角度并利用三角形内 角和定理来计算出目标角度的大小。
04 角的平分线与三角形面积 关系
04 角的平分线与三角形面积 关系
三角形面积公式
三角形面积公式：S = 1/2 * b * h， 其中b为底边长度，h为高。
三角形面积公式是计算三角形面积的 基础，适用于任何类型的三角形。
三角形面积公式
三角形面积公式：S = 1/2 * b * h， 其中b为底边长度，h为高。
应用二
利用角的平分线性质解决与三角形面积相关的问题。例如， 在三角形中作一条角平分线，可以将原三角形划分为两个面 积相等的小三角形，从而简化问题或找到新的解题思路。
05 角的平分线在几何变换中 性质
05 角的平分线在几何变换中 性质
平移、旋转、对称变换下性质
01
02
03
平移不变性
角的平分线在平移变换下 保持其性质不变，即平移 后的角平分线仍然是原角 的平分线。
三角形内角和定理
三角形内角和定理
三角形的三个内角之和等于180°。
证明方法
通过平行线的性质或外角定理等方式证明。
角的平分线与内角和关系
角的平分线定义
从一个角的顶点引出一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平 分线。

（来自《点拨》）
知2－练
1 【中考·怀化】如图，OP为∠AOB的平分线， PC⊥OA，PD⊥OB，垂足分别是C，D，则下列 结论错误的是( B ) A．PC＝PD B．∠CPO＝∠DOP C．∠CPO＝∠DPO D．OC＝OD
（来自《典中点》）
知2－练
2 如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC， AD平分∠CAB交BC于D，DE⊥AB于E，若 AB＝6 cm，则△DBE的周长是( A ) A．6 cm B．7 cm C．8 cm D．9 cm
7.如图所示，D是∠ACG的平分线上的一点. DE⊥AC， DF⊥CG，垂足分别为E，F.试说明：CE＝CF.
解：∵CD是∠ACG的平分线， DE⊥AC，DF⊥CG，
∴DE＝DF. 在Rt△CDE和Rt△CDF中，
CD DE
CD, DF,
∴Rt△CDE≌Rt△CDF(HL)，
∴CE＝CF.
总结
因为∠AEB＝∠AOB＝90°， 所以∠OAF＋∠AFO＝90°，∠OBD＋∠AFO＝90°. 所以∠OAF＝∠OBD. 又因为OA＝OB，∠AOF＝∠BOD＝90°， 所以△AOF≌△BOD(ASA)． 所以AF＝BD. 所以BD＝2AE.
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方 法 4 截取作对称图形法
4．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，∠C＝ 2∠B.
即为所求．
（来自《点拨》）
知识点 2 角的平分线的性质
做一做
(1)在一张纸上任意画∠AOB，沿角的
两边将角剪下，将这个角对折，使 角的两边重合，折痕就是∠AOB的 平分线. (2)在∠AOB的角平分线上任意取一点C，分别折出过点C 且与∠AOB的两边垂直的直线，垂足分别为D，E，将 ∠AOB再次对折， 线段CD与CE能重合吗？ 改变点C的位置，线段CD和CE还相等吗?

解：如图，过点 O 作 OE⊥AB 于 E，OF⊥AC 于 F， 连接 OA． ∵点 O 是∠ABC， ∠ACB 的平分线的交点， ∴OE＝OD，OF＝OD，即 OE＝OF＝OD＝3.
∴S△ABC＝S△ABO+S△BCO+S△ACO ＝ AB·OE+ BC·OD+ AC·OF ＝ ×3×（AB+BC+AC） ＝ ×3×20 ＝30．
14. 如图，在△ABC 中，∠C=90°，AD 平分∠BAC， DE⊥AB 于点 E，点 F 在 AC 上，且 BD=DF. （1）求证：CF=EB； （2）请你判断 AE、AF 与 BE 之间的数量关
系，并说明理由.
初中数学《角平分线》完美ppt北师大 版2-精 品课件 ppt(实 用版)
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三级拓展延伸练
13. 如图所示，若 AB∥CD，AP，CP 分别平分 ∠BAC 和∠ACD，PE⊥AC 于点 E，且 PE=3 cm， 求 AB 与 CD 之间的距离.
（2）请你判断 AE、AF 与 BE 之间的数量关
系，并说明理由.
（2）AF+BE＝AE．理由如下： ∵在Rt△ACD和Rt△AED中，
∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL）. ∴AC=AE. ∴AF+FC=AE，即AF+BE=AE.
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三角形的三条角平分线交于一点.
创设情境 探究新知 应用新知 巩固新知 课堂小结 布置作业
典型例题
例2：如图，要在S区建一个集贸市场，使它到公路、铁路的距离相 等，并且离公路与铁路的交叉处500m.这个集贸市场应建于何处（ 在图上标出它的位置，比例尺为1：20000）?
A
C
D
B
M
S
N
AB：500=1： 20 000 AB=2.5cm
情景导入
（2）下图是一个平分角的仪器，其中AB=AD，BC=DC.将点A放在 角的定点，AB和AD沿着角的两边放下，沿AC画一条射线AE，AE就是 这个角的平分线.你能说明它的道理吗?
分析
在△ACD和△ACB中
AD=AB，DC=BC AC=AC
△ACD≌△ACB
∠DAC=∠BAC
AC平分∠BAD
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思考
做一做：你能用三角形全等证明这个结论吗?
已知：如图，OC是∠AOB的平分线，P是OC上任意一点，做 PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别是D，E.求证：PD=PE.
分析： 要证明PD=PE，只要证明它们所在的△OPD≌△OPE， 而△OPD≌△OPE的条件由已知容易得到它满足公理 （AAS）.故结论可证.
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情景导入 （1）画一画：在纸上任意画一个角，用剪刀剪下，用折纸的方法， 如何确定角的平分线?
（1）在准备好的角上标好字母A，O，B；
（2）把∠ AOB对折，使得这个角得两边重合；
A
（3）折痕就是∠AOB的角平分线.
O
B
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对顶角：
如图直线AB与CD相交于点O，∠1 和∠3有公共顶点O，并且它们的两 边互为反向延长线，这样的两个角 叫做对顶角。
3、图中还有其他角能构成对顶角吗？ ∠2和∠4也是一对对顶角。
判断下列各图中∠1和∠2是否为对顶角，并说明理由？
1
2 （1）
1
（2）
2
1
2
（3）
1 2 （5）
12
（4）
1
2
人生舞台的大幕随时都可能拉开，关键是你愿意表演，还是选择躲避。人生最精彩的不是实现梦想的一瞬间，而是坚持梦想的过程。人与人之间的差距， 么大，还是因为不能狠下心来逼自己日出东海落西山，愁也一天，喜也一天；遇事不钻牛角尖，人也舒坦，心也舒坦。如果你坚信自己最优秀，那么你就 果你真心选择去做一件事，那么全世界都是帮助你的。头脑是日用品，而不是装饰品。我要的未来，要靠我自己去拼。想成功就要和成功者的思想、脚步 想干的人永远在找方法，不想干的人永远在找理由。要感谢痛苦与挫折，它是我们的功课，我们要从中训练，然后突破，这样才能真正解脱。要纠正别人 省自己有没有犯错。 也许终点只有绝望和失败，但这绝不是停止前行的理由。一个人的快乐，不是因为他拥有的多，而是因为他计较的少。一个人只有 己伤疤的时候才知道什么是痛，什么是对与错。一个一味沉溺于往事的人，是不能张开双臂去拥抱今天的。一切事无法追求完美，唯有追求尽力而为。这 出来的结果反而会更好有人说，世界上最美的是梦，最长的是路；最易做的是梦，最难走的是路。愿你像那石灰，别人越是浇你冷水，你越是沸腾。真正 人，总是容易获得比别人更多的机会。如果缺少破土面出并与风雪拼搏的勇气，种子的前途并不比落叶美妙一分。生活会辜负努力的人，但不会一直辜负 失败的历程也是成功的历程。时间会告诉你一切真相。有些事情，要等到你渐渐清醒了，才明白它是个错误；有些东西，要等到你真正放下了，才知道它 现自己既定的目标，必须能耐得住寂寞单干。输在犹豫，赢在行动。树苗如果因为怕痛而拒绝修剪，那就永远不会成材。13.在我们的生活中，如果没有了 像小鸟在天空中飞翔时断了翅膀一样，永远不能前进。战士的意志要象礁石一样坚定，战士的性格要像和风一样温柔。站起来的次数能够比跌倒的次数多 是强者。真正的爱，应该超越生命的长度、心灵的宽度、灵魂的深度。真正的强者不是没有眼泪的人，而是含着眼泪奔跑的人。只会幻想而不行动的人， 不到收获果实时的喜悦。志坚智达言信行果，失败的尽头是成功努力的终点是辉煌。志在峰巅的攀登者，不会陶醉在沿途的某个脚印之中竹根——即使被 人得见，也决然不会停止探索而力争冒出新笋。总要有一个人要赢，为什么不能是我。最坚固的捆绑是习惯。最可怕的不是有人比你优秀，而是比你优秀 更努力。最有希望的成功者，并不是才干出众的人而是那些最善利用每一时机去发掘开拓的人。昨天如影——记住你昨天的挫折和失败的教训；今天如画 生活、快乐和幸福的人生要靠你自己去描绘；明天如梦——珍惜今天,选择好自己的目标，努力地为自己的明天去寻求和拼搏。不曾扬帆，何以至远方。不 时候开始，重要的是开始之后就不要轻言放弃。不去耕耘，不去播种，再肥的沃土也长不出庄稼，不去奋斗，不去创造，再美的青春也结不出硕果。不要 要顺其自然。该是你的终会得到。成功也就不会太远了。趁着年轻，不怕多吃一些苦。这些逆境与磨练，才会让你真正学会谦恭。不然，你那自以为是的 一切的优越感，迟早会毁了你。成功的法则极为简单，但简单并不代表容易。成功的秘诀就是每天都比别人多努力一点。生命如自助餐厅，要吃什么菜自 命像流水，这些不快的事总要过去，如果注定一辈子要这么过，再不开心也没有用。如果你看到前面的阴影，别怕，那是因为你背后有阳光。如果为了安 海在一起，船就失去了存在的意义。山高路遥不足惧，最怕贪图安逸心。少壮不努力，老大徒伤悲。犹如一条船,每人都要有掌舵的准备。生活对于智者永 扬的歌，它的主旋律永远是奋斗。金钱难买健康，健康大于金钱，金钱难买幸福，幸福必有健康，生命的幸福不在名利在健康，身体的强壮不在金钱在运 生有那么多的徒劳无功，梦想，我还是要一次次全力以赴。经过大海的一番磨砺，卵石才变得更加美丽光滑。就算全世界都说我漂亮，但你却说我不漂亮 是不漂亮。可怕的是，比你优秀的人比你还要努力。空谈不如实干。踱步何不向前行。

MA=MB NA与NB是否也相
A
O
NA=NB 等？
B
N
D
性质：线段的垂直平分线上的点到这条线段两个端
点的距离相等
性质：线段的垂直平分线上的点到这条线段两个端 点的距离相等
C M
几何表达： ∵CD垂直平分AB，
M在CD上
A
B
∴MA=MB
D
三、巩固练习
1、如图(1)在三角形ABC中，AD垂直平分边
B C ， A B = 5 ， 那 么 A C = _5_ _ _
于点E、D且EB=6△EBC的周长为22则BC长
为_1__0__
A
E
B
D
C
5、在上图中△ABC中BC的中垂线交AB于点E 交BC于点D，△AEC的周长是18cm则AB+AC=_1_8_
6、在图（2）中MN是DE与BC的中垂线，BD与 CE相等吗？为什么？
M D
B
N
解：∵MN是DE的垂直平分线（已知）
∴MD=ME（线段垂直平分线的性 质）
E
又∵MN是BC的垂直平分线（已知）
∴MB=MC （线段垂直平分线的性 质）
C
∴MB-MD=MC-ME（等式的性质）
即：BD=CE
四、课堂小结
1、线段是轴对称图形，它的对称轴是它的垂直平分线.
2、线段的垂直平分线的定义. 3、线段的垂直平分线的性质. 4、三角形三条边垂直平分线的交点到三个顶点的 距离相等.
1、什么样的图形叫做轴对称图形？
答：把一个图形沿着某条直线对折，如果 对折的两部分是完全重合的，我们就称这 样的图形为轴对称图形，这条直线叫做这 个图形的对称轴.
2、下列图形哪些是轴对称图形？

在数学竞赛和高考中，角平分线定理通常是必考内容，体现了它在数学 教育中的重要性。
角平分线定理也被广泛应用于实际生活中，如建筑设计、机械制造和测 量等领域。
角平分线定理的应用在其他学科领域中的体现
在经济学中，角平分线定理可以用于研究市场结构和 市场份额。
在物理学中，角平分线定理可以用于研究物体的运动 轨迹和受力分析。
CHAPTER
角平分线的历史背景和起源
角平分线的起源可以追溯到古代 数学和几何学的研究。
在古埃及和古希腊时期，角平分 线被用于解决几何问题，如土地
测量和建筑。
中世纪欧洲数学家进一步研究了 角平分线，将其与三角形的其他
性质联
角平分线是数学中的一个基本概念，是几何学中的重要定理之一。
02 角平分线的定义与性质
CHAPTER
角平分线的定义
角平分线是一条射线，它把一个角分 成两个相等的部分。
角平分线用符号“”表示，如“”表 示角平分线。
角平分线的性质定理
角平分线将角的两边分为等长 线段。
在角平分线上的点到角的两边 的距离相等。
在角的内部，到角的两边距离 相等的点一定在角平分线上。
角平分线的性质解决实际问题。
对后续学习的建议和展望
加强对角平分线性质的应用练习，通过更多的实际案例和应用实践提高自己的应用能力。 加强与角平分线相关的其他几何性质的学习和研究，为后续的学习和实践打下坚实的基础。
通过参加数学竞赛、学术交流等活动，提高自己的数学素养和应用能力。
谢谢
THANKS
面积等。
03
利用角平分线定理解决立体几何问题
在立体几何中，角平分线定理可以用来解决一些与角度、距离相关的问
题。
04 角平分线在三角函数中的应用

1.4角平分线的性质 第2课时
数学湘教版 八年级下
导入新知
1、角的平分线的性质定理: 角的平分线上的点到角的两边的距离相等
几何语言表述：
∵ OC是∠AOB的平分线
O
PD⊥OA，PE⊥OB
∴ PD＝PE
2、角平分线的性质定理的逆定理：
A D
1
P
2
C
E B
角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上。
课堂小结
角平分线的性质
1、角的平分线的性质定理:
角的平分线上的点到角的两边的距离相等 2、角平分线的性质定理的逆定理：
角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上。 3.角平分线的性质定理和角平分线的判定定理是证明角相等、 线段相逢的新途径
新知讲解
例2、如图，在△ABC的外角∠DAC的平分线上任取一点P，作PE⊥DB， PF⊥AC，垂足分别为点E，F。试探索BE+PF与PB的大小关系。
新知讲解
解：∵AP是∠DAC的平分线 又PE⊥DB，PF⊥AC ∴PE=PF 在△EBP中，BE+PE＞PB ∴BE+PF＞PB。
学以致用
如图：△ABC中，AD是∠BAC的平分线，E、F分别为AB、AC上的点，且 ∠EDF＋∠BAF＝180°． （1）求证：DE＝DF；
学以致用
分析：根据角平分线上的点到角两边的距离相等可得此点一定在角的平分 线上，故作出a、b、c三条线组成的角的平分线，其中两个角平分线的交 点就是度假村的位置． 解：如图所示：
点P即为所求．
新课讲解
归纳 定理：三角形的三条角平分线相较于一 点，并且这一点到三边的距离相等。 这个交点叫做三角形的内心
巩固提升
1 .到三角形三边距离相等的点是（ ）

辅 助 线 过角平分线上一点向两 添 加 边作垂线段
知识与方法
1.应用角平分线性质： 存在角平分线 条件 涉及距离问题
2.联系角平分线性质：
面积 周长
利用角平分线的性 质所得到的等量关 系进行转化求解
随堂演练
1. 如图，DE⊥AB，DF⊥BG，垂足分别是
E，F， DE =DF， ∠EDB= 60°，则
∠EBF= 60 度，BE= BF .
B
2.△ABC中, ∠C=90°, AD平分∠CAB,且
BC=8,BD=5,则点D到AB的距是 3
.
A
A E
C D
F
G
C
D
E
B
变式：如图，在Rt △ABC中，AC=BC,∠C＝900，AP平分∠BAC交BC 于点P，若PC＝4，AB=14.
（2）求△APB的面积.
已尺知规：作平图角：∠过A点OBO.作直线AB的垂线. 求作：平角∠AOB的角平分线.
C
BO
A
结论：作平角的平分线的方法就是过直线上一点
作这条直线的垂线的方法.
知识点二：角平分线的性质
实验：OC是∠AOB的平分线，点P是射线OC上的任意一点
1. 操 作 测 量 ： 取 点 P 的 三 个 不 同 的 位 置 ， 分 别 过 点 P 作
个.
定理的作用： 证明线段相等.
判一判，
∴BD= CD，
（在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等）×
B
B
A
D A
D
C
(2)∵ 如上右图， DC⊥AC，DB⊥AB （已知）C .
∴ BD = CD ,
( 在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等) ×