角平分线的性质定理ppt课件

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角平分线的性质1PPT演示课件

方法二
利用角平分线性质和相似三角形，通过比例关系求解三角形面积。
实例分析：利用角平分线求三角形面积
实例一
实例三
已知三角形ABC中，角A的平分线AD 交BC于点D，且BD=3，CD=2，求三角形ABC的面积。
已知三角形ABC中，角C的平分线CF 交AB于点F，且AF=5，BF=4，求三角形ABC的面积。
PART 03
角平分线与三角形面积关系
REPORTING
WENKU DESIGN
三角形面积计算公式回顾
三角形面积公式
S = 1/2 * b * h，其中b为底边长度， h为高。
三角形面积公式推导
通过相似三角形和比例关系推导得出。
利用角平分线求三角形面积方法介绍
方法一
利用角平分线定理，将三角形面积转化为两个小三角形面积之和。
几何作图
利用角平分线的性质，可以进行几何作图，如作角的平分线、作线段的垂直平分线等。
三角形中的角平分线
在三角形中，角平分线有特殊的性质，如三角形的三条角平分线交于一点（内心），且这个点到三角形三边的距离相等。
物理和工程应用
角平分线的性质在物理和工程领域也有应用，如在建筑设计、机械设计和光学设计等领域中，可以利用角平分线的性质进行精确的计算和设计。
角平分线与三角形外角关系探讨
三角形外角性质
三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和。
角平分线与三角形外角关系
角平分线将相邻的一个外角和一个内角平分为两个相等的小角。
角平分线与三角形外角的综合应用
利用角平分线的性质以及三角形内外角的关系，可以解决一些与角度、距离和面积相关的问题。例如，通过作角平分线来构造等腰三角形或等边三角形，进而求解一些几何问题。

角平分线的性质课件

在数学竞赛和高考中，角平分线定理通常是必考内容，体现了它在数学教育中的重要性。
角平分线定理也被广泛应用于实际生活中，如建筑设计、机械制造和测量等领域。
角平分线定理的应用在其他学科领域中的体现
在经济学中，角平分线定理可以用于研究市场结构和市场份额。
在物理学中，角平分线定理可以用于研究物体的运动轨迹和受力分析。
CHAPTER
角平分线的历史背景和起源
角平分线的起源可以追溯到古代数学和几何学的研究。
在古埃及和古希腊时期，角平分线被用于解决几何问题，如土地
测量和建筑。
中世纪欧洲数学家进一步研究了角平分线，将其与三角形的其他
性质联
角平分线是数学中的一个基本概念，是几何学中的重要定理之一。
02 角平分线的定义与性质
CHAPTER
角平分线的定义
角平分线是一条射线，它把一个角分成两个相等的部分。
角平分线用符号“”表示，如“”表示角平分线。
角平分线的性质定理
角平分线将角的两边分为等长线段。
在角平分线上的点到角的两边的距离相等。
在角的内部，到角的两边距离相等的点一定在角平分线上。
角平分线的性质解决实际问题。
对后续学习的建议和展望
加强对角平分线性质的应用练习，通过更多的实际案例和应用实践提高自己的应用能力。加强与角平分线相关的其他几何性质的学习和研究，为后续的学习和实践打下坚实的基础。
通过参加数学竞赛、学术交流等活动，提高自己的数学素养和应用能力。
谢谢
THANKS
面积等。
03
利用角平分线定理解决立体几何问题
在立体几何中，角平分线定理可以用来解决一些与角度、距离相关的问
题。
04 角平分线在三角函数中的应用

八年级数学《角平分线的定义及性质》课件

图1
图2
图3
图4
几何语言：
OP 是的平分线
\
PD = PE
（角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。）
∵
推理的理由有三个，必须写完全，不能少了任何一个。
巩固练习：
1、如图1，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，CD=6cm，则点D到AB的距离为______cm 2、已知：如图2，C、D是∠AOB平分线上的点，CE⊥OA，垂足为E， CF⊥OB，垂足为F.求证：∠CDE=∠CDF PAO来自BCE
D
1
2
已知：如图，OC平分∠AOB，点P在OC上，PD⊥OA于点D，PE⊥OB于点E 求证: PD=PE
活
动
5
(3)验证猜想:
探究角平分线的性质
角平分线的性质定理：
角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。
B
A
D
O
P
E
C
定理应用所具备的条件：
（1）角的平分线；
（2）点在该平分线上；
（3）垂直距离。
A
B
O
M
N
C
(１)以O为圆心，适当长为半径作弧，交OA于M，交OB于N．
探索作已知角的平分线的方法
想一想：为什么OC是角平分线呢？
已知：OM=ON，MC=NC. 求证：OC平分∠AOB.
证明：连接CM，CN 在△OMC和△ONC中， OM=ON， MC=NC， OC=OC， ∴ △OMC≌△ONC （SSS） ∴∠MOC=∠NOC 即：OC平分∠AOB
A
B
O
C
D
你会过直线外一点作已知直线的垂线吗？
探究角平分线的性质
(1)实验：将∠AOB对折，再折出一个直角三角形（使第一条折痕为斜边），然后展开，观察两次折叠形成的三条折痕，你能得出什么结论？

角平分线ppt课件

两边距离相(等√） )
B
D A
C
小结
角平分线上的点到角的两边间隔相等
到角的两边间隔相等的点在这个角的平分线上.
结语
谢谢大家！
PDOPEO(AAS)
PDPE全 ( 等三角形的对应等边）相
反过来，到一个角的两边间隔相等的点是否一
定在这个角度平富乡上呢？
已知：P如 D O图 A P， E , OB
点 D， E为垂足。求证： P在点 AO的 B平分线上
证明 PD ： OP A E ,O点 BD,E,
A
为垂足
PD P O E R t O
例 1：已知： A如 B的图 C角，平 B分 M C线 ,N 相交P 于点求证P ：在点 BA的 C角平分线上
证明P： D A作 B PE , BC P F , AC
垂足分 DE,F 别 , 为
A
BM 是 AB 的 C平分P在线 B， M 上点
PD P（ E角平分线上的点的到两角边距离相等）D
上任意P点 D O， A P,EOB 垂, 足分D别 E, . 为
求证P： D PE
A
D P
1
O
2
E
C B
证明：
OC是AOB的平分线（已知） 1 2(角平分线的定义） PD O， APE O（ B 已知） PDOPEO 90(垂直的定义）
在 PD和 O PE中 O
PDO PEO(已证） 1 （ 2 已证） OP OP(公共边）
从上面实验可以角看是出轴，对称图形，对称轴是它的线角所平在分的直线。
假如前面活动中的纸片换成木板，钢板等没法折叠的角，又该怎么办？
用尺规作图的方法作出角平分线

《角平分线》PPT教学课件

知识讲解
如图，是一个角平分仪，其中AB=AD,BC=DC.将点A放在角
的顶点,AB和AD沿着角的两边放下,沿AC画一条射线AE,AE就
是角平分线，你能说明它的道理吗?
两个三角形三边对应相等，两个三角形全
A C
等，两全等三角形的对应角相等.所以AE就
是角平分线想一想：能够运用这种方法作出任意角的角平分线吗？
B
（1）∵ 如图，AD平分∠BAC（已知）
× ∴ BD = CD ，
A
D C
( 角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等)
理由：没有垂直，不能确定BD,CD是点D到角两边的距离.
知识讲解
★ 练一练
(2)∵ 如图， DC⊥AC，DB⊥AB （已知）.
× ∴ BD = CD ,
(角内任意一条线上的点到这个角的两边的距离相等 )
B
A
D
C
理由：无法确定点D在∠BAC的平分线上.
知识讲解
线段的垂直平分线的性质定理有逆定理，角的平分线的性质定理是否也有逆定理呢？
如果一个点到角两边的距离相等，那么这个点在角的平分线上.
知识讲解
角平分线性质定理的逆定理到角的两边的距离相等的点在角的平分线上.
A
D C
P
O
E
B
用途：证明点在角平分线上，即可以判定角平分线.
知识讲解
典例讲解例题如图，△ABC的角平分线BM，CN相交于点P，求证：点P到三边AB，BC，CA的距离相等.
A N PM
B
C
知识讲解
证明：
A
D
N
P
F M
B
C
E
知识讲解

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(1)实验：将∠AOB对折，再折出一个直角三角形（使第一条折痕为斜边），然后展开，观察两次折叠形成的三条折痕，你能得出什么结论？
(2)猜想:角的平分线上的点到角的两边的距离相等.
.
探究角平分线的性质
已知：如图，OC平分∠AOB，点P在OC
上，PD⊥OA于点D，PE⊥OB于点E A 求证: PD=PE
.
B
C E
2、证明：
A
在△ACD和△ACB中
AD=AB（已知）
DC=BC（已知）
CA=CA（公共边） D
B
∴ △ACD≌ △ACB（SSS）
∴∠CAD=∠CAB（全等三角形的 C
对应边相等） E ∴AC平分∠DAB（角平分线的定义）
.
活动 3
N
根据角平分仪的制作原理怎样
作一个角的平分线？（不用角平分
C
在△OMC和△ONC中
OM=ON
O
MC=NC
N
B
OC=OC
∵△OMC≌△ONC(SSS)
∴∠AOC=∠BOC
即:OC 是∠ＡＯＢ的角平分线.
.
C
1〉平分平角∠AOB
BO
A
D
2〉通过上面的步骤，得到射线OC以后，把它反向延长得到直线CD，直线CD与直线AB 是什么关系？
.
活动 5 探究角平分线的性质
BD=CD,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别是E,F.
求证:EB=FC.
A
证明：
E
F
∵ AD平分∠CAB
DE⊥AB，DF⊥AC B
D
C
∴ DE ＝ DF(角平分线的性质)
在Ｒt△BDE和Rt△CDF中,
DE=DF （已证）
BD=CD（已知）
∴ Rt△BDE≌Rt△CDF (HL)
∴ EB=CF （全等三角形对应边相等）
.
小结:
1：画一个已知角的角平分线； (注意作图痕迹和几何语言的表达)
及画一条已知直线的垂线； 2：角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等． 3：角平分线的性质的应用
.
1.如图，OC是∠AOB的平分线， ∵ PD⊥OA，PE⊥OB
∴PD=PE
A
D
C 思考：由PD=PE能不能
得到PD⊥OA，PE⊥OB？
求证：CF=EB。
证明：
A
∵ AD平分∠CAB
DE⊥AB，∠C＝90°（已知）
∴ CD＝DE (角平分线的性质)
在Ｒt△CDF和Rt△EDB中,
F
E
CD=DE （已证）
C
D
B
DF=DB （已知）
∴ Rt△CDF≌Rt△EDB (HL)
∴ CF=EB （全等三角形对应边相等）
.
已知:如图,在△ABC中,AD是它的角平分线,且
.
思考：
要在Ｓ区建一个集贸市场，使它到公路，铁路距离相等且离公路，铁路的交叉处５００米，应建在何处？（比例尺 1：20 000）
Ｏ
公路
铁路
Ｓ
.
A
如图：在 △ ABC 中， F
E
∠C=90° AD是∠BAC的平分线
， DE⊥AB 于 E ， F 在 AC 上，
BD=DF；
求证：CF=EB
D
证明：在△PDO和△PEO中
C
1
P
2
O
EB
∵OC平分∠ AOB ∴ ∠1= ∠2
∵PD ⊥ OA，PE ⊥ OB
∠PDO= ∠PEO ∠1= ∠2 OP=OP ∴ △PDO ≌ △PEO(AAS) ∴PD=PE
∴ ∠PDO= 点到角的两边的距离相等．
A
E
C
D
B
变式已知AB ＝15cm, 求△DBE的周长
.
3.在Rt△ABC中，BD平分∠ABC， DE⊥AB于E，则：
⑴图中相等的线段有哪些？相等的角呢？
⑵哪条线段与DE相等？为什么？
A E
D
B
C
⑶若AB＝10，BC＝8，AC＝6，求BE，AE的长和△AED的周长。
.
C
D
B
分析:要证CF=EB,首先我们想到的是要证它
们所在的两个三角形全等,即Rt△CDF ≌Rt△EDB.
现已有一个条件BD=DF(斜边相等),还需
要我们找什么条件
DC=DE (因为角的平分线的性质)
再用HL证明.
.
已知：如图，△ABC中，∠C=90°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于E，F在AC上BD=DF，
角平分线的性质
第一课时
.
活动 1
不利用工具，请你将一张用纸
片做的角分成两个相等的角。你有什
么办法？
A
（对折）
再打开纸片，看看折 C 痕与这个角有何关系？
O
B
.
活动 2
如果前面活动中的纸片换成木板、钢板等没法折的角，又该怎么办呢？ A
1、如图，是一个角平分仪，其中AB=AD,BC=DC。将点A放在角的顶点,AB和AD D 沿着角的两边放下,沿AC画一条射线AE,AE就是角平分线，你能说明它的道理吗?
仪或量角器）
A
E
N
C
C E
O
M
O
B
M
.
如何用尺规作角的平分线？
作法：
A
１．以Ｏ为圆心，适当长为半径作弧，交ＯＡ于Ｍ，
Ｍ
交ＯＢＮ于．
Ｃ
２．分别以Ｍ，Ｎ为
圆心．大于 1 ＭＮ的长为 2
半径作弧．两弧在∠AOB
Ｂ
Ｎ
Ｏ
的内部交于Ｃ．
３．作射线OC．
则射线ＯＣ即为所求． .
A
证明:连结MC,NC由作法知: M
P·
O
E B
.
提高与拓展
A
1、如图，连接角平分仪的 B
D
边BD、AC，那么AC与BD
有什么关系？为什么?
C
.
A E
C
B
D
2.如图,在△ABC中，AC⊥BC， AD为∠BAC的平分线， DE⊥AB，AB＝7㎝，AC＝3 ㎝，求BE的长。
.
例1 已知：在等腰Rt△ABC中，AC ＝ BC ∠C＝90°，AD平分∠ BAC，DE⊥AB于点E。求证：BD＋DE ＝AC A
D
∵点P是∠AOB平分线上的一点
又PD⊥OA，PE⊥OB
∴ PD=PE
O
（角平分线上的点到角的两边的距离相等）
P
EB
应用定理的前提条件是：
有角的平分线，有垂直距离
定理的作用：证明线段相等
.
EA
如图所示OC是∠AOB
的平分线,P 是OC上任意
O
P
C 一点,问PE=PD?为什么?
D
B
PD,PE没有垂直OA,OB,它们不是角平分线上任一点这个角两边的距离,所以不一定相等直