北京大学数学系《高等代数》(第3版)(欧几里得空间)笔记和课后习题(含考研真题)详解【圣才出品】

第10章双线性函数与辛空间10.1复习笔记一、线性函数1．定义设V是数域P上的一个线性空间，f是V到P的一个映射，如果f满足（1）f（α＋β）＝f（α）＋f（β），（2）f（kα）＝kf（α），式中α、β是V中任意元素，k是P中任意数，则称f为V上的一个线性函数．2．性质（1）设f是V上的线性函数，则f（0）＝0，f（－α）＝－f（α）．（2）如果β是α1，α2，…，αs的线性组合：β＝k1α1＋k2α2＋…＋k sαs．那么f（β）＝k1f（α1）＋k2f（α2）＋…＋k s f（αs）．3．矩阵的迹A是数域P上一个n级矩阵．设则A的迹Tr（A）＝a11＋a22＋…＋a nn是P上全体n级矩阵构成的线性空间P n×n上的一个线性函数．4．定理设V是P上一个n维线性空间，ε1，ε2，…，εn是V的一组基，a1，a2，…，a n是P中任意n个数，存在唯一的V上线性函数f使f（εi）＝a i，i＝1，2，…，n．二、对偶空间1．L（V，P）的加法和数量乘法（1）设f，g是V的两个线性函数定义函数f＋g如下：（f＋g）（α）＝f（α）＋g（α），α∈V，f＋g也是线性函数：f＋g称为f与g的和．（2）设f是V上线性函数．对P中任意数k，定义函数kf如下：（kf）（α）＝k（f（α）），α∈V，kf称为k与f的数量乘积，易证kf也是线性函数．2．L（V，P）的性质（1）对V中任意向量α，有而对L（V，P）中任意向量f，有（2）L（V，P）的维数等于V的维数，而且f1，f2，…，f n是L（V，P）的一组基．3．对偶空间（1）定义L（P，V）称为V的对偶空间．由决定的L（V，P）的基，称为ε1，ε2，…，εn的对偶基．V的对偶空间记作V*．（2）对偶基的性质（1）设ε1，ε2，…，εn及η1，η2，…，ηn是线性空间V的两组基，它们的对偶基分别为f1，f2，…，f n及g1，g2，…，g n．如果由ε1，ε2，…，εn到η1，η2，…，ηn的过渡矩阵为A，那么由f1，f2，…，f n到g1，g2，…，g n的过渡矩阵为（A'）－1．（2）设V是P上一个线性空间，V*是其对偶空间．取定V中一个向量x，定义V*的一个函数x**如下：x**（f）＝f（x），f∈V*．则x**是V*上的一个线性函数，因此是V*的对偶空间（V*）*＝V**中的一个元素．（3）V是一个线性空间，V**是V的对偶空间的对偶空间．V到V**的映射x→x**是一个同构映射．结论：任一线性空间都可看成某个线性空间的线性函数所成的空间．三、双线性函数1．定义V是数域P上一个线性空间，f（α，β）是V上一个二元函数，即对V中任意两个向量α，β，根据f都唯一地对应于P中一个数f（α，β）．如果f（α，β）有下列性质：（1）f（α，k1β1＋k2β2）＝k1f（α，β1）＋k2f（α，β2）；（2）f（k1α1＋k2α2，β）＝k1f（α1，β）＋k2f（α2，β）．其中α，α1，α2，β，β1，β2是V中任意向量，k1，k2是P中任意数，则称f（α，β）为V 上的一个双线性函数．2．常用结论（1）欧氏空间V的内积是V上双线性函数；（2）设f1（α），f2（α）都是线性空间V上的线性函数，则f（α，β）＝f1（α）f2（β），α，β∈V是V上的一个双线性函数．（3）设P n是数域P上n维列向量构成的线性空间X，Y∈P n，再设A是P上一个n 级方阵．令f（X，Y）＝X'AY，则f（X，Y）是P n上的一个双线性函数．3．度量矩阵（1）定义设f（α，β）是数域P上n维线性空间V上的一个双线性函数．ε1，ε2，…，εn是V的一组基，则矩阵称为f（α，β）在ε1，ε2，…，εn下的度量矩阵．（2）性质①度量矩阵被双线性函数及基唯一确定．②不同的双线性函数在同一组基下的度量矩阵一定是不同的．③在不同的基下，同一个双线性函数的度量矩阵一般是不同的，但是在不同基下的度量矩阵是合同的．4．非退化设f（α，β）是线性空间V上一个双线性函数，如果f（α，β）＝0，对任意β∈V，可推出α＝0，f就称为非退化的．双线性函数f（α，β）是非退化的充要条件为其度量矩阵A为非退化矩阵．5．对称双线性函数（1）定义f（α，β）是线性空间V上的一个双线性函数，如果对V中任意两个向量α，β都有f （α，β）＝f（β，α），则称f（α，β）为对称双线性函数．如果对V中任意两个向量α，β都有f（α，β）＝－f（β，α），则称f（α，β）为反对称双线性函数．这就是说，双线性函数是对称的，当且仅当它在任一组基下的度量矩阵是对称矩阵．同样地，双线性函数是反对称的当且仅当它在任一组基下的度量矩阵是反对称矩阵．（2）性质（1）设V是数域P上n维线性空间，f（α，β）是V上对称双线性函数，则存在V的一组基ε1，ε2，…，εn，使f（α，β）在这组基下的度量矩阵为对角矩阵．（2）设V是复数域上n维线性空间，f（α，β）是V上对称双线性函数，则存在V的一组基ε1，ε2，…，εn，对V中任意向量，有（3）设V是实数域上n维线性空间．f（α，β）是V上对称双线性函数．则存在V的一组基ε1，ε2，…，εn，对V中任意向量，有（4）V上的对称双线性函数f（α，β）如果是非退化的．则有V的一组基ε1，ε2，…，εn满足前面的不等式是非退化条件保证的，这样的基称为V的对于f（α，β）的正交基．6．二次齐次函数对称双线性函数与二次齐次函数是1－1对应的．设V是数域P上线性空间，f（α，β）是V上双线性函数．当α＝β时，V上函数f（α，β）称为与f（α，β）对应的二次齐次函数．7．反对称双线性函数性质（1）设f（α，β）是n维线性空间V上的反对称线性函数，则存在V的一组基ε1，ε。

高等代数（北大第三版）答案目录第一章多项式第二章行列式第三章线性方程组第四章矩阵第五章二次型第六章线性空间第七章线性变换第八章 —矩阵第九章欧氏空间第十章双线性函数与辛空间注：答案分三部分，该为第二部分，其他请搜索，谢谢！12．设A 为一个n 级实对称矩阵，且0<A ，证明：必存在实n 维向量0≠X ，使0<'A X X 。

证 因为0<A ，于是0≠A ，所以()n A rank =，且A 不是正定矩阵。

故必存在非退化线性替换Y C X 1-=使()BY Y ACY CY AX X '=''='-12222122221n p p p y y y y y y ----+++=++ ，且在规范形中必含带负号的平方项。

于是只要在Y C Z 1-=中，令p y y y === 21,1,021=====++n p p y y y 则可得一线性方程组⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++=++++++11002211,122,111,122111212111n nn n n n n p p p n pn p p n n x c x c x c x c x c x c x c x c x c x c x c x c ，由于0≠C ，故可得唯一组非零解()ns s s s x x x X ,,,21 =使()0111000<--=----+++='p n AX X s s， 即证存在0≠X ，使0<'A X X 。

13．如果B A ,都是n 阶正定矩阵，证明：B A +也是正定矩阵。

证 因为B A ,为正定矩阵，所以BX X AX X '',为正定二次型，且 0>'A X X ， 0>'B X X ，因此()0>'+'=+'BX X AX X X B A X ， 于是()X B A X +'必为正定二次型，从而B A +为正定矩阵。

第4章矩阵4.1复习笔记一、矩阵的运算1．加法（１）定义设是两个s×n矩阵．则矩阵称为A和B的和．记为C＝A＋B 注意：相加的矩阵必须要有相同的行数和列数．（2）基本性质（1）A＋（B＋C）＝（A＋B）＋C；（结合律）（2）A＋B＝B＋A；（交换律）（3）A＋0＝A（4）A＋（－A）＝0（5）A－B＝A＋（－B）（6）秩（A＋B）≤秩（A）＋秩（B）．2．乘法（1）定义设A＝（a ik）sn，B＝（b kj）nm，那么矩阵C＝（c ij）sm，其中称为A与B的乘积，记为C＝AB．（2）性质①在乘积的定义中，要求第二个矩阵的行数与第一个矩阵的列数相等；②矩阵的乘法适合结合律；即（AB）C＝A（BC）；③矩阵的乘法不适合交换律，即AB BA；④分配律：A（B＋C）＝AB＋AC，（B＋C）＝BA＋CA．（3）单位矩阵主对角线上的元素全是1，其余元素全是0的n×n矩阵称为n级单位矩阵，记为E n，或者在不致引起含混的时候简单写为E．3．数量乘法（1）定义矩阵称为矩阵A＝（a ij）sn与数k的数量乘积，记为k A．换句话说，用数k乘矩阵就是把矩阵的每个元素都乘上k．（2）性质：①（k＋l）A＝k A＋l A；②k（A＋B）＝k A＋k B；③k（l A）＝（kl）A；④1A＝A；⑥k（AB）＝（k A）B＝A（k B）；⑦k A＝（k E）A＝A（k E），k E＋l E＝（k＋l）E，（k E）（l E）＝（kl）E，其中k E是数量矩阵．4．转置（1）定义设A的转置就是指矩阵显然，s×n矩阵的转置是n×s矩阵．（2）性质：①（A'）'＝A，②（A＋B）'＝A'＋B'，③（AB）'＝B'A'，④（k B）'＝k B'二、矩阵乘积的行列式与秩1．矩阵乘积的行列式（1）计算公式设A，B是数域P上的两个n×n矩阵，那么｜AB｜＝｜A｜｜B｜，即矩阵乘积的行列式等于它的因子的行列式的乘积．推论设A1，A2，…，A m是数域P上的n×n矩阵，于是｜A1A2…A m｜＝｜A1｜A2｜…｜A m｜．（2）退化的定义数域P上的n×n矩阵A称为非退化的，如果｜A｜≠0；否则称为退化的．一n×n矩阵是非退化的充分必要条件是它的秩等于n．推论设A，B是数域P上n×n矩阵，矩阵AB为退化的充分必要条件是A，B中至少有一个是退化的．2．矩阵的秩设A是数域P上n×m矩阵，B是数域P上m×s矩阵，于是秩（AB）≤min[秩（A），秩（B）]，即乘积的秩不超过各因子的秩．三、矩阵的逆1．逆矩阵n级方阵A称为可逆的，如果有n级方阵B，使得AB＝BA＝E．这里E是n级单位矩阵，那么B就称为A的逆矩阵，记为A-1．2．伴随矩阵设A i j是矩阵中元素a ij的代数余子式，矩阵称为A的伴随矩阵．3．性质（1）矩阵A是可逆的充分必要条件是A非退化，而（2）如果矩阵A，B可逆，那么A'与AB也可逆，且（3）A是一个s×n矩阵，如果P是s×s可逆矩阵，Q是n×n可逆矩阵，那么秩（A）＝秩（PA）＝秩（AQ）四、矩阵的分块1．定义。

第10章　双线性函数与辛空间1．V是数域P上一个3维线性空间，ε1，ε2，ε3是它的一组基，f是V上一个线性函数，已知f（ε1＋ε3）＝1，f（ε2－2ε3）＝－1，f（ε1＋ε2）＝－3，求f（x1ε1＋x2ε2＋x3ε3）．解：先计算出f（ε1）＝4，f（ε2）＝－7，f（ε3）＝－3，就得到f（x1ε1＋x2ε2＋x3ε3）＝4x1－7x2－3x3．2．V及ε1，ε2，ε3同上题，试找出一个线性函数f，使f（ε1＋ε3）＝f（ε1－2ε3）＝0，f（ε1＋ε2）＝1．解：可算出f（ε1）＝f（ε3）＝0，f（ε2）＝1，就得到f（x1ε1＋x2ε2＋x3ε3）＝x2．3．设ε1，ε2，ε3是线性空间V的一组基，f1，f2，f3是它的对偶基，a1＝ε1－ε3，a2＝ε1＋ε2＋ε3，a3＝ε2＋ε3．试证a1，a2，a3是V的一组基并求它的对偶基（用f1，f2，f3表出）．解：可利用定理3．计算由于右端的矩阵的行列式≠0，故a1，a2，a3是V的一组基．设g1，g2，g3是a1，a2，a3的对偶基，则即g1＝f2－f3，g2＝f1－f2＋f3，g3＝－f1＋2f2－f3．4．设V是一个线性空间，f1，f2，…，f n是V*中非零向量，试证，存在a∈V，使f（a）≠0，i＝1，2， (5)证明：每个f i（a）＝0作为V上向量的方程，其全体解向量构成V的一个子空间V，且都不等于V．由第六章补充题第5题的结论及解答后面的注，必有a∈V，a∈，i＝1，2，…，s．所以a满足f i（a）≠0，i＝1，2，V…，s．5．设a1，a2，…，a s是线性空间V中非零向量，证明有f∈V*使f（a i）≠0，i＝1，2，…，s．证明：由于a i**∈（V*）*，a i**（f）＝f（a i），f∈V*，a i**是（V*）*上的非零向量．由第四题必有f∈V*使f（a i）＝a i**（f）≠0．6．V＝P[x]3，对p（x）＝c0＋c1x＋c2x2∈V定义试证f1，f2，f3都是V上线性函数，并找出V的一组基p1（x），p2（x），p3（x）使f1，f2，f3是它的对偶基．证明：易证f1，f2，f3都是V＝P[x]3上线性函数．令p1（x）＝c0＋c1x＋c2x2使得f1（p1（x））＝1，f2（p1（x））＝f3（p1（x））＝0，即有解出得同样可算出满足由于p1（x），p2（x），p3（x）是V的一组基，而f1，f2，f3是它的对偶基．7．设V是一个n维欧氏空间，它的内积为（α，β），对V中确定的向量α，定义V 上一个函数α*：α*（β）＝（α，β）．（1）证明α*是V上线性函数；（2）证明V到V*的映射：α→α*是V到V*的一个同构映射．（在这个同构下，欧氏空间可看成自身的对偶空间）证明：（1）易证α*是V上线性函数，即α*∈v*．（2）现在令映射φ为下面逐步证明φ是线性空间的同构．①φ是单射．即证明当φ（α）＝φ（β）时有α＝β．对γ∈V，（φ（α））（γ）＝α*（γ）＝（α，γ），（φ（β））（γ）＝（β，γ）．故（α，γ）＝（β，γ），∨γ∈V．这样（α，α）＝（β，α），（α，β）＝（β，β）．于是（α－β，α－β）＝（α，α）－（α，β）－（β，α）－（β，β）＝0，即有α－β＝0，因此α＝β．②φ是满射．取ε1，ε2，…，εn 是V 的一组标准正交基，令f 1，f 2，…，f n 是它们的对偶基，对f ＝l 1f 1＋…＋l n f n ∈V*，令a ＝l 1ε1＋l 2ε2＋…＋l n εn 则对所有εi ，∀故对所有εi ，有φ（α）（εi ）＝f （εi ），即φ（α）＝f ．③φ是线性映射．对α，β，γ∈V，k∈R，∀ φ（α＋β）（γ）＝（α＋β，γ）＝（α，γ）＋（β，γ）＝φ（α）（γ）＋φ（β）（γ）＝[φ（α）＋φ（β）]（γ）．故φ（α＋β）＝φ（α）＋φ（β）．又φ（kα）（γ）＝（kα，γ）＝k （α，γ）＝kφ（α）（γ）＝（kφ（α））（γ），故φ（kα）＝kφ（α）．以上证明了φ是线性空间V 到V *的同构．8．设A 是P 上n 维线性空间V 的一个线性变换．（1）证明：对V 上的线性函数f ，fA 仍是V 上线性函数；（2）定义V *到自身的映射A *为f→fA证明A *是V *上的线性变换（3）设ε1，ε2，…，εn 是V 的一组基，f 1，f 2，…，f n 是它的对偶基，并设A 在ε1，ε2，…，εn 下的矩阵为A ．证明：A *在f 1，f 2，…，f n 下的矩阵为A'．（因此A *称作A 的转置映射）证明：（1）α，β∈V，k∈P，有∀∀f A （α＋β）＝f （A （α＋β））＝f （A α＋A β）＝f A α＋f A β，f A （kα）＝f （A （kα））＝f （k A α）＝kf A α．故f A 是V 上线性函数．（2）由定义A *f ＝f A ，对f ，g∈V *，k∈P，α∈V 有∀A *（f ＋g ）（α）＝[（f ＋g ）A ]（α）＝（f ＋g ）（A （α））＝f A （α）＋g A （α）＝（f A ＋g A ）（α）＝（A *f ＋A *g ）（α）故A *（f ＋g ）＝A *（f ）＋A *（g ）．又（A *（kf ））（α）＝（kf ）A （α）＝kf （A （α））＝k （A *f ）（α），故A *（kf ）＝k （A *f ）．以上证明了A *是V *上的线性变换．（3）由A （ε1，ε2，…，εn ）＝（ε1，ε2，…，εn ）A ，f i A （ε1，ε2，…，εn ）＝（f i （ε1），…，f i （εn ））A ＝（a i1，a i2，…，a in ），于是即有。

第7章　线性变换1．设数域Ｐ上n×n 矩阵F 的特征多项式为f （x ）及从而对数域P 上多项式G （x ），degG （x ）≥1有（G （x ），f （x ））＝1当且仅当|G （F ）|≠0．证明：F 的特征多项式为f （x ）＝|xE －F|．于是f （a i ）＝|a i E －F|，i ＝1，2，…，m ，由于对数域Ｐ上非常数多项式G （x ）．（G （x ），f （x ））＝1当且仅当它们在复数域上没有公共根．设在复数域上G （x ）＝k （x －a 1）（x －a 2）…（x －a m ），k∈P，则当且仅当有某a i 使f （a i ）≠0时G （x ）与f （x ）有公共根．故（G （x ），f （x ））＝1当且仅当|g （F ）|≠0．2．n×n 复方阵A 称为幂零的，若有正整数k 使A k ＝0．证明：A 是幂零阵的充要条件是A 的全部特征值皆为零．证明：必要性．设λ0是A 的一个特征值，ξ≠0是属于λ0的特征向量．于是Aξ＝λ0ξ．则A k ξ＝ξ＝0．0kλ由于ξ≠0，故＝0，即λ0＝0．k充分性．A 的特征值全为零，故A 的特征多项式f （x ）等于x n （因f （x ）的根全为零）．由哈密顿-凯莱定理有A n ＝0，即A 是幂零的．3．n×n 复方阵A 称为半单的，如果A 相似于对角形．证明对n×n 复方阵A 存在n×n 复方阵B 及C 使得（1）A ＝B ＋C ；（2）B 是半单的，C 是幂零的；（3）BC ＝CB ．证明：A可相似于若尔当形矩阵，即有可逆阵T使T -1JT ＝A ，其中而令它们满足（1）B相似对角阵，故是半单的．（2）N i皆幂零，故C为幂零的．（3）λi E i与N i都交换，故B与C是交换的．（4）B＋C＝T-1JT＝A．完成了证明．4．证明与下述若尔当块证明：方法1 设B＝（b ij）满足AB＝BA．计算b1,n－1＝b2n＝0，b1n＝0，b11＝b22＝…＝b nn，b21＝b32＝…＝b n，n-1b31＝b42＝…＝b n，n-2，……b n-1，1＝b n2，b n1自由．故又可计算得故B ＝b 11E ＋b 21A ＋b 31A 2＋…＋b n1A n －1是A 的多项式．方法2运用空间观点．取n 维线性空间V ，给定一组基ε1，ε2，…，εn ．作线性变换使它在上述基下的矩阵为A ，于是有或这样基ε1，ε2，…，εn 可写成而V 中任一向量都是基的线性组合．设ε∈V，其中是的多项式．这证明了V 中任一向量ξ都是的某个多项式在这种线性变换作用在ε1上的像．现设是V 上的线性变换与交换．来证明是的某个多项式．，它必是，其中是的某个多项式，又对V 的任一向量，故与在V 的任一向量上的作用都相同．因此又设矩阵B 满足BA ＝AB ．作线性变换它在基ε1，ε2，…，εn 下矩阵为B ，且有于是是的一个多项式由线性变换的等式就得到对应的矩阵的等式B ＝f （A ）．5．求下列n 阶循环矩阵C 的特征值以及属于这些特征值的特征向量：解：有其中要证明为此可对k 作归纳法，k＝1显然成立．设k －1时等式已成立，对于k 时的情形，只要证。

第6章线性空间[视频讲解]6.1本章要点详解本章要点■线性空间的定义与简单性质■维数、基与坐标■基变换与坐标变换■线性子空间的判定■线性子空间■子空间的交与和■子空间的直和■线性空间的同构重难点导学一、集合·映射1．集合（1）定义①集合：把一些事物汇集到一起组成的一个整体．②元素：组成集合的东西．a∈M，表示a是集合M的元素，读为：a属于M．a M，表示a不是集合M的元素，读为：a不属于M．③空集：不包含任何元素的集合．④子集合：如果集合M的元素全是集合N的元素，即由a∈M可以推出a∈N，则称M为N的子集合．空集合是任一集合的子集合．（2）集合的关系①集合相等：如果两个集合M与N含有完全相同的元素．即a∈M当且仅当a∈Ｎ．或者两个集合同时满足M∈N和N∈M．②集合的交：设M，N是两个集合．既属于M又属于N的全体元素所成的集合称为M与N的交，记为M∩N．③集合的并：属于集合M或者属于集合N的全体元素所组成的集合称为M与N的并，记为M∪N．2．映射（1）定义设M与M′是两个集合．存在一个法则，它使M中每一个元素a都有M′中一个确定的元素a′与之对应，则称这个法则为集合M到集合M′的一个映射．如果映射σ使元素a′∈M′与元素a∈M对应，则记为σ（a）＝a′．a′称为a在映射σ下的像，而a称为a′在映射σ下的一个原像．M到M自身的映射，也称为M到自身的变换．集合M到集合M′的两个映射σ及τ．若对M的每个元素a都有σ（a）＝τ（a），则称它们相等，记作σ＝τ．（2）映射的乘积设映射，乘积定义为(a)＝τ(σ(a))，即相继施行σ和τ的结果，是M到M"的一个映射．（3）映射的性质①设σ是集合M到M′的一个映射，用σ（M）代表M在映射σ下像的全体，称为M在映射σ下的像集合，显然σ（M）∈M′，如果σ（M）＝M′，映射σ就称为映上的或满射．②如果在映射σ下．M中不同元素的像也一定不同．即由a1≠a2一定有σ（a1）≠σ（a2），则称映射σ为1-1的或单射．③一个映射如果既是单射又是满射称为1-1对应或双射．（4）可逆映射设映射σ：M→M′，若有映射τ：M′→M，使得，则称σ为可逆映射，τ为σ的逆映射，记作σ－1．二、线性空间的定义与简单性质1．线性空间的定义如果加法与数量乘法满足下述规则，则V称为数域P上的线性空间．加法满足下面四条规则(1)α＋β＝β＋α；(2)（α＋β）＋γ＝α＋（β＋γ）；(3)在V中有一个元素0，对于V中任一元素α都有0＋α＝α（具有这个性质的元素0称为V的零元素）；(4)对于V中每一个元素α，都有V中的元素β，使得α＋β＝0（β称为α的负元素）．数量乘法满足下面两条规则(1)1α＝α;(2)k（lα）＝（kl）α．数量乘法与加法满足下面两条规则(1)（k＋l）α＝kα＋lα；(2)k（α＋β）＝kα＋kβ．在以上规则中，k，l表示数域P中的任意数；α，β，γ表示集合V中任意元素．由定义，几何空间中全部向量组成的集合是一个实数域上的线性空间．分量属于数域P 的全体n元数组构成数域P上的一个线性空间，这个线性空间用P n来表示．2．线性空间的简单性质（1）零元素是唯一的；（2）负元素是唯一的；（3）0α＝0；k0＝0；（－1）α＝－α；（4）如果kα＝0．那么k＝0或者α＝0．三、维数、基与坐标1．线性空间中向量之间的线性关系（1）有关定义①线性组合设V是数域P上的一个线性空间，α1，α2，…，αr（r≥1）是V中一组向量，k1，k2，…，k r是数域P中的数．使得向量α＝k1α1＋k2α2＋…＋k rαr，则称为向量组α1，α2，…，αr的一个线性组合，或者称向量α可以用向量组α1，α2，…，αr线性表出．②向量组等价设α1，α2，…，αr（6-1）β1，β2，…，βr（6-2）是V中两个向量组，如果向量组（6-1）中每个向量都可以用向量组（6-2）线性表出，则称向量组（6-1）可以用向量组（6-2）线性表出．如果向量组（6-1）与向量组（6-2）可以互相线性表出．则称向量组（6-1）与（6-2）为等价的．③线性无关线性空间V中向量α1，α2，…，αr（r≥1）称为线性相关，如果在数域P中有r个不全为零的数k1，k2，…，k r，使k1α1＋k2α2＋…＋k rαr＝0（6-3）如果向α1，α2，…，αr不线性相关，称为线性无关，或者称向量组α1，α2，…，αr为线性无关，如果式（6-3）只有在k1＝k2＝…＝k r＝0时才成立．（2）有关结论①单个向量α是线性相关的充分必要条件是α＝0．两个以上的向量α1，α2，…，αr线性相关的充分必要条件是其中有一个向量是其余向量的线性组合；②如果向量组α1，α2，…，αr线性无关，而且可以被β1，β2，…，βr线性表出，那么r ≤s．。

第8章　λ-矩阵一、分析计算题1．设n 维线性空间V 上的线性变换A 一的最小多项式与特征多项式相同．求证：，使得为v的一个基．[北京大学2007研]解：据题设，设的最小多项式与特征多项式同为则的前个不变因子为l ，1，…，1，第n 个不变因子为，容易知道，矩阵的不变因子也为，所以存在V 的一个基，使得A 在这个基下的矩阵为A ，即现在令，则，因此a 为V 的一个基．2．证明：矩阵不能用相似变换对角化．[中国科技大学研]证明：由于有一个一阶子式为非零常数，因此有即A 的最小多项式为，它有重根，所以A 不能对角化．3．设有一个6阶矩阵其中a ，b 都是实数，且6≠o，试求AE A的不变因子与初等因子，以及A 的若当标准形．[武汉大学研]解：因为特征矩阵①在①的右上角有一个5阶子式等于，而所以从而λE－A 的不变因子为A 的初等因子为A 的若当标准形为4．设A 是n 级幂等阵，且秩为r ，试求（1）矩阵A 的相似标准形，并说明理由；（2）计算[清华大学研]解：（1）因为A2＝A，从而A有无重根的零化多项式由于无重根，所以A相似于对角阵，且特征值只能是l或0．再由秩A＝r，所以存在可逆阵T，并有A的相似标准形为：其中Er，为r级单位阵．5．已知是6阶方阵A的极小多项式，且tr（A）=6，试求（1）A的特征多项式f（λ）及若当标准形．（2）A的伴随矩阵A*的若当标准形．[华东师范大学研]解：（1）设A的不变因子为（A），i=1，2， (6)由于A的极小多项式是A的最后一个不变因子，所以又A的特征多项式为6次多项式，且tr（A）=6，所以从而A的特征多项式A 有初等因子λ－1，λ－1，（λ－1+i ）2，（λ－1+i ）2，（λ－1－i ）2．A 的若当标准形为（2）由（1）知，存在可逆阵P ，使又显见| A |=4，所以有由于所以A*的若当标准形为6．设A为n阶复方阵．证明：存在一个n维向量α，使α，线性无关的充要条件是A的每一个特征根恰有一个线性无关的特征向量．[南京大学研]证明：：由于α，使n维向量组α．线性无关，所以可令取，则P是可逆矩阵，且由可得由此可得A的不变因子为．所以令则A的初等因子为，从而有A的若当标准形可见所以A的每个特征子空间的维数均为1，即A的每个特征根恰有一个线性无关的特征向量．：如果A的每个特征根恰有一个线性无关的特征向量，则对A的任一特征根右，从而A的若当标准形中不同若当块的对角线元素互不相同，因此A的特征多项式与最小多项式相等．设A的最小多项式为则A与有相同的不变因子，因而A与B相似．令，且则即。

第9章　欧几里得空间一、分析计算题1．设B 是实数域上n×n 矩阵，，对任一大于0的常数n ，证明定义了的一个内积，使得成为欧氏空间．其中表示列向量的转置，E表示单位矩阵．[浙江大学研]证明：（1）（2）（3）（4）由于，所以由上可知，定义了上的一个内积，从而成为欧氏空间．2．设n 维欧氏空间的两个线性变换在V 的基下的矩阵分别是A 和B ，证明：，都有，则存在正定矩阵P ，使[武汉大学研]证明：由题设任给，令则同理令基的度量矩阵为，则同理因，故考虑的任意性，并结合与均为对称矩阵知3．设是n 维欧氏空间V 子空间，且的维数小于的维数，证明必有一个非零向量正交于中一切向量．[浙江大学研]证：证法1：由于恰由一切与正交的向量组成，所以只要证明即可．事实上，如，则为直和．所以又 所以 所以 所以矛盾．证法2：（1）当时，结论显然成立．（2）设，取的基的基令因为等价于（1）而方程组（1）的方程个数未知量个数s ，所以它有非零解．即使．4．设α是欧氏空间V 的线性变换，τ是V 的一个变换，且．都有（σ（α），β）=（α，τ（β））．证明：（1）τ是V 的线性变换；（2）τ的值域Imτ等于σ的核ker （σ）的正交补．[武汉大学研]证明：（1）β，α，γ∈V∈V，由题设可得由α的任意性知（1）同理，λ∈R，ξ∈V，有（2）所以由式（1）、式（2）得τ是V的线性变换．（2）可等价地证明①，有所以②如，则有所以从而结合①、②可得5．设S 是酉空间V 的一个非空集合，记证明：是子空间，且，并举例说明不一定成立．[西安交通大学研]证明：对给定的集合S ，显然V 的零元素属于，所以（复数域），对任一γ∈S 有所以即由α、β、k 、l的任意性知是V的子空间．又，由题设知可见 因此不一定成立，如在酉空间中，取S={（0，0，1）}，S 不是V 的子空间，但是V 的子空间，所以6．在欧氏空间V 中（1）若向量α，β等长，证明：α＋β与α－β正交，作出几何解释；（2）设V 是n 维的，S 是V 的子空间，是V 中的一切与s 正交的向量所成集合，证明：是V的子空间，且[四川大学研]证明：（1）因为，所以几何解释：表示菱形两对角线互相垂直．（2）由已知有仿上题可证是V 的予空间，且，故①成立，且故S 和是同一子空间的正交补，由正交补的惟一性，即证②．7．实矩阵A 和B ，证明：A 和B 实相似的充要条件是复相似．[复旦大学研]证明：必要性显然．下证充分性，设A 与B 复相似，即存在复可逆阵使其中M 和H 都是n 阶实方阵，由①有，此即因为故不是零多项式，它在复数域上仅有有限个根，从而存在实数a ，使，令有8．设T 是酉空间V 的一个线性变换，证明：下面四个命题互相等价．（1）T 是酉变换；（2）T 是同构映射；（3）如果是标准正交基，那么也是标准正交基；（4）T 在任一组标准正交基下的矩阵为酉矩阵．[湖南大学研] 证明：（1）＝>（3）设T 是酉变换，即取为V 的一组标准正交基，且。

高等代数（北大*第三版）答案目录第一章多项式第二章行列式第三章线性方程组第四章矩阵第五章二次型第六章线性空间第七章线性变换第八章 —矩阵第九章欧氏空间第十章双线性函数与辛空间注：答案分三部分，该为第一部分，其他请搜索，谢谢！第一章 多项式1． 用)(x g 除)(x f ，求商)(x q 与余式)(x r ： 1）123)(,13)(223+-=---=x x x g x x x x f ； 2）2)(,52)(24+-=+-=x x x g x x x f 。

解 1）由带余除法，可得92926)(,9731)(--=-=x x r x x q ； 2）同理可得75)(,1)(2+-=-+=x x r x x x q 。

2．q p m ,,适合什么条件时，有 1）q px x mx x ++-+32|1， 2）q px x mx x ++++242|1。

解 1）由假设，所得余式为0，即0)()1(2=-+++m q x m p ，所以当⎩⎨⎧=-=++0012m q m p 时有q px x mx x ++-+32|1。

2）类似可得⎩⎨⎧=--+=--010)2(22m p q m p m ，于是当0=m 时，代入（2）可得1+=q p ；而当022=--m p 时，代入（2）可得1=q 。

综上所诉，当⎩⎨⎧+==10q p m 或⎩⎨⎧=+=212m p q 时，皆有q px x mx x ++++242|1。

3．求()g x 除()f x 的商()q x 与余式：1）53()258,()3f x x x x g x x =--=+； 2）32(),()12f x x x x g x x i =--=-+。

解 1）432()261339109()327q x x x x x r x =-+-+=-；2）2()2(52)()98q x x ix i r x i=--+=-+。

4．把()f x 表示成0x x -的方幂和，即表成2010200()()...()n n c c x x c x x c x x +-+-++-+的形式：1）50(),1f x x x ==；2）420()23,2f x x x x =-+=-；3）4320()2(1)37,f x x ix i x x i x i =+-+-++=-。

第9章欧式空间[视频讲解]9.1本章要点详解本章要点■欧式空间的定义■标准正交基■同构■正交变换■子空间■对称矩阵的标准型重难点导学一、定义与基本性质1．欧式空间的定义设V 是实数域R 上一线性空间，在V 上定义了一个二元实函数，记作（α，β），若（α，β）满足（1）（α，β）＝（β，α）；（2）（k α，β）＝k （α，β）；（3）（α＋β，γ）＝（α，γ）＋（β，γ）；（4）（α，α）≥0，当且仅当α＝0时（α，α）＝0．这里α，β，r 是V 中任意的向量，k 是任意实数，则称（α，β）为α和β的内积，并称线性空间V 为欧几里得空间．2．内积的简单性质V 为欧氏空间，∀α，β，γ，∀k ∈R ，则（1）(,)(,)k k =αβαβ；（2）(,)(,)(,)+=+αβγαβαγ；（3）(0,)=0β．2．欧氏空间中向量的长度（1）向量长度的定义非负实数称为向量α的长度，记为|α|．（2）关于长度的性质①零向量的长度是零；②|kα|＝|k||α|；③长度为1的向量称为单位向量.如果α≠0，向量1αα就是一个单位向量，称此过程为把α单位化．3．欧氏空间中向量的夹角（1）柯西-布涅柯夫斯基不等式，即对于任意的向量α，β有|（α，β）|≤|α||β|当且仅当α，β线性相关时，等号才成立．（2）非零向量α，β的夹角<α，β>定义为（3）如果向量α，β的内积为零，即（α，β）＝0，则称α，β为正交或互相垂直，记为α⊥β．注：零向量才与自己正交．（4）勾股定理：当α，β正交时，|α＋β|2＝|α|2＋|β|2．4．有限维空间的讨论（1）度量矩阵设V是一个n维欧几里得空间，在V中取一组基ε1，ε2，…，εn，对V中任意两个向量α＝x1ε1＋x2ε2＋…＋x nεn，β＝y1ε1＋y2ε2＋…＋y nεn，由内积的性质得a ij＝（εi，εj）（i，j＝1，2，…，n）有a ij＝a ji，则（α，β）还可写成（α，β）＝X'AY，其中分别是α，β的坐标，而矩阵A＝（a ij）nn称为基ε1，ε2，…，εn的度量矩阵．（2）性质①设η1，η2，…，ηn是空间V的另外一组基，而由ε1，ε2，…，εn到η1，η2，…，ηn的过渡矩阵为C，即（η1，η2，…，ηn）＝（ε1，ε2，…，εn）C，于是基η1，η2，…，ηn的度量矩阵B＝（b ij）＝（ηi，ηj）＝C'AC，则不同基的度量矩阵是合同的．②对于非零向量α，即有（α，α）＝X'AX＞0．因此，度量矩阵是正定的．二、标准正交基1．正交向量组欧式空间V中一组非零的向量，如果它们两两正交，称为正交向量组．按定义，由单个非零向量所成的向量组也是正交向量组．2．标准正交基（1）定义在n维欧氏空间中，由n个向量组成的正交向量组称为正交基；由单位向量组成的正交基称为标准正交基．注：①对一组正交基进行单位化就得到一组标准正交基．②一组基为标准正交基的充分必要条件是：它的度量矩阵为单位矩阵．（2）标准正交基的求法①n维欧氏空间中任一个正交向量组都能扩充成一组正交基．②对于n维欧氏空间中任意一组基ε1，ε2，…，εn，存在一组标准正交基η1，η2，…，η，使L（ε1，ε2，…，εi）＝L（η1，η2，…，ηi），i＝1，2，…，n．n把一组线性无关的向量变成一单位正交向量组的方法称为施密特正交化过程．3．标准正交基间的基变换设ε1，ε2，…，εn与η1，η2，…，ηn是欧氏空间V中的两组标准正交基，它们之间的过渡矩阵是A＝（a ij），即因为η1，η2，…，ηn是标准正交基，所以矩阵A的各列就是η1，η2，…，ηn在标准正交基ε1，ε2，…，εn下的坐标．4．正交矩阵n级实数矩阵A称为正交矩阵，如果A'A＝E．由标准正交基到标准正交基的过渡矩阵是正交矩阵；反过来，如果第一组基是标准正交基，同时过渡矩阵是正交矩阵，则第二组基一定也是标准正交基．三、同构。

第5章二次型5.1复习笔记一、二次型及其矩阵表示1．二次型定义设P是一数域，一个系数在数域P中的x1，x2，…，x n的二次齐次多项式称为数域P上的一个n元二次型，或简称二次型．2．线性替换与二次型矩阵（1）线性替换定义设x1，…，x n；y1，…，y n是两组文字，系数在数域P中的一组关系式称为由x1，…，x n到y1，…，y n的一个线性代替，或简称线性替换．如果系数行列式，那么线性替换就称为非退化的．（2）二次型的矩阵令由于所以二次型可以写成其中的系数排成一个n×n 矩阵它就称为二次型的矩阵，因为a ij ＝a ji ，i，j＝1，…，n，所以A＝A'二次型的矩阵都是对称的．3．合同矩阵（1）定义数域P 上n×n 矩阵A ，B 称为合同的，如果有数域P 上可逆的n×n 矩阵C ，使B C AC¢=（2）性质①反身性：A＝E'AE ；②对称性：由B＝C'AC 即得A＝（C -1）'BC -1；③传递性：由A 1＝C 1'AC 1和A 2＝C 2'A 1C 2即得经过非退化的线性替换，新二次型的矩阵与原二次型的矩阵是合同的．二、标准形1．定义数域P 上任意一个二次型都可以经过非退化的线性替换变成平方和2221122n nd x d x d x +++ 的形式，该形式就称为的一个标准形．注意：二次型的标准型不是唯一的，而与所作的非退化线性替换有关．2．定理在数域P 上，任意一个对称矩阵都合同于一对角矩阵．即对于任意一个对称矩阵A 都可以找到一个可逆矩阵C，使C AC ¢成对角矩阵，并且该对角矩阵的值就是对应的标准形式的系数．三、唯一性1．基本概念（1）二次型的秩在一个二次型的标准形中，系数不为零的平方项的个数是唯一确定的，与所作的非退化线性替换无关，二次型矩阵的秩有时就称为二次型的秩．（2）复二次型的规范性设f（x1，x2，…，x n）是一个复系数的二次型．经过一适当的非退化线性替换后，f（x1，x2，…，x n）变成标准形，不妨假定它的标准形是易知r就是f（x1，x2，…，x n）的矩阵的秩．因为复数总可以开平方，我们再作一非退化线性替换（1）就变成称为复二次型f（x1，x2，…，x n）的规范形．结论：任意一个复系数的二次型，经过一适当的非退化线性替换可以变成规范形，且规范形是唯一的．即任一复数的对称矩阵合同于一个形式为的对角矩阵．从而有，两个复数对称矩阵合同的充分必要条件是它们的秩相等．（3）实二次型的规范形设f（x1，x2，…，x n）是一实系数的二次型，经过某一个非退化线性替换，再适当排列文字的次序，可使f（x1，x2，…，x n）变成标准形其中d i＞0，i＝1，…，r；r是f（x1，x2，…，x n）的矩阵的秩．因为在实数域中，正实数总可以开平方，所以再作一非退化线性替换（4）就变成（6）称为实二次型f（x1，x2，…，x n）的规范形．结论：任意一个实数域上的二次型，经过一适当的非退化线性替换可以变成规范形，且规范形是唯一的．2．惯性定理设实二次型f（x1，x2，…，x n）经过非退化线性替换X＝BY化成规范形而经过非退化线性替换X＝CZ也化成规范形则p＝q．另一种表述：实二次型的标准形中系数为正的平方项的个数是唯一确定的，它等于正惯性指数，而系数为负的平方项的个数就等于负惯性指数．3．惯性指数在实二次型f（x1，x2，…，x n）的规范形中，（1）正惯性指数：正平方项的个数p；（2）负惯性指数：负平方项的个数r－p；（3）符号差：p－（r－p）＝2p－r．该定义对于矩阵也是适合的．四、正定二次型1．定义实二次型，f（x1，x2，…，x n）称为正定的，如果对于任意一组不全为零的实数c1，c2，…，c n都有f（c1，c2，…，c n）＞0．2．常用的判别条件（1）n元实二次型f（x1，x2，…，x n）是正定的充分必要条件是它的正惯性指数等于。

第3章线性方程组3.1复习笔记一、消元法1．初等变换变换1：用一非零的数乘某一方程，变换2：把一个方程的倍数加到另一个方程，变换3：互换两个方程的位置，称为线性方程组的初等变换．2．消元法解方程的过程（1）首先用初等变换化线性方程组为阶梯形方程组，把最后的一些恒等式“0＝0”（如果出现的话）去掉；（2）如果剩下的方程当中最后的一个等式是零等于一非零的数，那么方程组无解，否则有解；（3）在有解的情况下，如果阶梯形方程组中方程的个数r等于未知量的个数，那么方程组有唯一的解；如果阶梯形方程组中方程的个数，小于未知量的个数，那么方程组就有无穷多个解．3．定理在齐次线性方程组中，如果s＜n，那么它必有非零解．二、n 维向量空间1．n 维向量的定义所谓数域P 上一个n 维向量就是由数域P 中n 个数组成的有序数组a i 称为向量（1）的分量．用小写希腊字母α，β，γ，…来代表向量．2．向量相等的定义如果n 维向量1212(,,...,),(,,...,)n n a a a b b b αβ==的对应分量都相等，即就称这两个向量是相等的．记作α＝β．3．向量和的定义向量1122(,,...,)n n a b a b a b γ=+++，称为向量1212(,,...,),(,,...,)n n a a a b b b αβ==的和，记为γαβ=+．4．零向量和负向量的定义分量全为零的向量（0，0，…，0）称为零向量，记为0；向量（－a 1，－a 2，…，－a n ）称为向量α＝（a 1，a 2，…，a n ）的负向量，记为－α．5．向量加法的基本运算规律（1）α＋β＝β＋α，（交换律）（2）α＋（β＋γ）＝（α＋β）＋γ，（结合律）（3）α＋0＝α，（4）α＋（－α）＝0，（5）α－β＝α＋（－β）．6．向量与数乘的定义设k为数域P中的数，向量称为向量与数k 的数量乘积，记为kα．7．向量乘法的运算性质：（1）k（α＋β）＝kα＋kβ，（2）（k＋l）α＝kα＋lα，（3）k（lα）＝（kl）α，（4）1α＝α．8．n维向量空间的定义以数域P中的数作为分量的n维向量的全体，同时考虑到定义在它们上面的加法和数量乘法，称为数域P上的n维向量空间．三、线性相关性1．定义向量α称为向量组β1，β2，…，βs 的一个线性组合，如果有数域P 中的数k 1，k 2，…，k s 使112s k k k 2s αβββ =+++．由定义知，零向量是任一向量组的线性组合（只要取系数全为0就行了）．当向量α是向量组β1，β2，…，βs 的一个线性组合时，也说α可以经向量组β1，β2，…，βs 线性表出．2．等价的定义（1）定义如果向量组α1，α2，…，αt 中每一个向量αi （i＝1，2，…，t）都可以经向量组β1，β2，…，βs 线性表出，那么向量组α1，α2，…，αt 就称为可以经向量组β1，β2，…，βs 线性表出．如果两个向量组互相可以线性表出，它们就称为等价．（2）向量等价的性质：①反身性：每一个向量组都与它自身等价．②对称性：如果向量组α1，α2，…，αs 与β1，β2，…，βt 等价，那么向量组β1，β2，…，βt 也与α1，α2，…，αs 等价．③传递性：如果向量组α1，α2，…，αs 与β1，β2，…，βt 等价，β1，β2，…，βt 与γ1，γ2，…，γp 等价，那么向量组α1，α2，…，αt 与γ1，γ2，…，γp 等价．3．线性相关性的定义如果向量组α1，α2，…，αs （s≥2）中有一个向量可以由其余的向量线性表出，那么向量组α1，α2，…，αs 称为线性相关的．定义的另一种表述为：向量组α1，α2，…，αs （s≥1）称为线性相关，如果有数域P 中不全为零的数k 1，k 2，…，k s ，使120s k k k 12s ααα +++=4．线性无关性的向量组（1）定义：一向量组α1，α2，…，αs （s≥1）不线性相关，即没有不全为零的数k 1，k 2，…，k s 使120s k k k 12s ααα +++=就称为线性无关；或者说，一向量组α1，α2，…，αs 称为线性无关．（2）两个小结论：①如果一向量组的一部分线性相关，那么这个向量组就线性相关．②如果一向量组线性无关．那么它的任何一个非空的部分组也线性无关．5．向量组的基本性质的几种表述（1）设α1，α2，…，αr 与β1，β2，…，βs 是两个向量组，如果①向量组α1，α2，…，αr 可以经β1，β2，…，βs 线性表出，②r＞s，那么向量组α1，α2，…，αr 必线性相关．（2）如果向量组α1，α2，…，αr 可以经向量组β1，β2，…，βs 线性表出，且α1，α2，…，αr 线性无关，那么r s．（3）任意n＋1个n 维向量必线性相关．（4）两个线性无关的等价的向量组，必含有相同个数的向量．6．极大线性无关组（1）定义一向量组的一个部分组称为一个极大线性无关组．如果这个部分组本身是线性无关的，并且从这向量组中任意添一个向量（如果还有的话），所得的部分向量组都线性相关．（2）性质：①向量组的极大线性无关组不是唯一的；②每一个极大线性无关组都与向量组本身等价；③一向量组的任意两个极大线性无关组都是等价的；④一向量组的极大线性无关组都含有相同个数的向量．7．向量组的秩（1）定义向量组的极大线性无关组所含向量的个数称为这个向量组的秩．（2）性质①线性无关的向量组就是它自身的极大线性无关组，所以一向量组线性无关的充分必要条件为它的秩与它所含向量的个数相同．②每一向量组都与它的极大线性无关组等价．由等价的传递性可知．任意两个等价向量组的极大线性无关组也等价．所以，等价的向量组必有相同的秩．③含有非零向量的向量组一定有极大线性无关组，且任一个无关的部分向量组都能扩充成一个极大线性无关组，全部由零向量组成的向量组没有极大线性无关组．规定这样的向量组的秩为零．。