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高等代数第9章欧几里得空间习题 ppt课件

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高等代数-9第九章 欧几里得空间

高等代数-9第九章 欧几里得空间
3) ( , ) , ( , )
（线性性）
4) ( , ) 0, 当且仅当 o 时 ( , ) 0. （非负性）
则称 ( , )为 和 的内积,称这种定义了内积的 实数域 R上的线性空间V为欧几里得空间.
§1 定义与基本性质
b
§1 定义与基本性质
线性性 ( k f lg , h) a k f ( x ) lg ( x ) h( x )dx
b
k f ( x )h( x )dx l g ( x )h( x )dx
a a
b
b
k ( f , h ) l ( g , h)
非负性 ( f , f ) f ( x ) f ( x ) dx f 2 ( x ) dx 0 a a 且 ( f , f ) 0 f ( x ) 0. 故( f , g) 为一内积, C (a , b) 构成欧氏空间.
注1 欧几里得空间 V是特殊的线性空间. (1)V为实数域 R上的线性空间; (2)V既有向量的线性运算,还有内积运算; (3) , V ,( , ) R. 注2 欧几里得空间,Euclidean Space, 简称欧氏空间. 欧几里得(Euclid,约公元前330 年—前275年),古希腊数学家,是几 何学的奠基人,被称为“几何之 父”. 他最著名的著作是《几何原本》.
b b
§1 定义与基本性质
2. 内积的运算性质 设V为欧氏空间, , , , i V , k , l , ki R
1) ( , k ) k ( , ) 2) ( , ) ( , ) ( , ) 3) ( , k l ) k ( , ) l ( , ) 4) ( k l , ) k ( , ) l ( , )

大学数学(高数微积分)第九章欧几里得空间第七节(课堂讲义)PPT课件

大学数学(高数微积分)第九章欧几里得空间第七节(课堂讲义)PPT课件

一条直线)上所有点的距离以垂线最短.
下面可以证
明一个固定向量和一个子空间中各向量的距离也是
以“垂线最短” .
先设一个子空间 W，它是由向量 1, 2, …, k
所生成，即 W = L(1, 2, …, k) .
说一个向量 垂
直于子空间 W，就是指向量 垂直于 W 中任何一
个向量. 容易验证 垂直于 W 的充分必要条件是
我们想找出 y 对 x 的一个近似公式.
解 把表中数值画出图来看，发现它的变化
趋势近于一条直线.
因此我们决定选取 x 的一次式
ax + b 来表达 .
当然最好能选到适当的 a , b 使得
下面的等式
3.6a + b - 1.00 = 0 , 3.7a + b - 0.9 = 0 ,
9
3.8a + b - 0.9 = 0 , 3.9a + b - 0.81 = 0 , 4.0a + b - 0.60 = 0 , 4.1a + b - 0.56 = 0 , 4.2a + b - 0.35 = 0
都成立. 实际上是不可能的.
任何 a , b 代入上面
各式都会发生些误差.
于是想找 a , b 使得上面各
式的误差的平方和最小，即找 a , b 使
10
(3.6a + b - 1.00 )2 + (3.7a + b - 0.9 )2 + (3.8a + b - 0.9 )2 + (3.9a + b - 0.81 )2 + (4.0a + b - 0.60 )2 + (4.1a + b - 0.56 )2 + (4.2a + b - 0.35 )2 最小. 这里讨论的是误差的平方即二乘方，故称为 最小二乘法. 现在转向一般的最小二乘法问题.

高等代数课件(北大版)第九章 欧式空间§9.4

高等代数课件(北大版)第九章 欧式空间§9.4
1 , 2 , , n 下的矩阵 为第一类的（旋转）; 2）如果 A 1 , 则称 为第二类的．
§9.4 正交变换
数学与计算科学学院
例、在欧氏空间中任取一组标准正交基 1 , 2 , , n ,
数学与计算科学学院
所以，A是正交矩阵．
" " 设 1 , 2 , , n 为V的标准正交基，且
1 , 2 , , n 1 , 2 , , n A
即， 1 , 2 , , n 1 , 2 , , n A 由于当A是正交矩阵时， 1 , 2 , , n 也是V的 标准正交基， 再由 1 即得 为正交变换．
定义线性变换 为：
1 1
i i ,
i 2, 3, n .
则 为第二类的正交变换，也称之为镜面反射．
§9.4 正交变换
数学与计算科学学院
§9.4 正交变换
数学与计算科学学院
一、一般欧氏空间中的正交变换
1.定义
欧氏空间V的线性变换 如果保持向量的内积不变， 即 ， ( ), ( ) ( , ), , V 则称 为正交变换.
注：欧氏空间中的正交变换是几何空间中保持长度
不变的正交变换的推广.
1 , 2 , , n A
当 是正交变换时，由1知， 1 , 2 , , n 也是V
的标准正交基， 而由标准正交基 1 , 2 , , n 到标准
正交基 1 , 2 , , n 的过渡矩阵是正交矩阵.
§9.4 正交变换
第九章 欧氏空间
§1 定义与基本性质 §2 标准正交基 §3 同构 §4 正交变换 §5 子空间

高等代数课件(北大版)第九章 欧式空间§9.1

高等代数课件(北大版)第九章 欧式空间§9.1
事实上，对 V ,0，即 X 0
有 (,) X A X 0
A 为正定矩阵.
③ 由（10）知，在基 1,2, ,n下，向量的内积
由度量矩阵A完全确定.
*
第二十六页，共30页。
④ 对同一内积而言，不同基的度量矩阵是合同的.
证：设 1 ,2 , ,n ;1 ,2 , ,n为欧氏空间V的两组
基，它们的度量矩阵分别为A、B ，且
b
b
2 .( k f ,g ) a k f ( x ) g ( x ) d x k a f ( x ) g ( x ) d x
k(f,g)
*
第七页，共30页。
3 .(f g ,h ) a b f(x ) g (x ) h (x )d x
b
b
af(x )h (x )d x ag (x )h (x )d x
V为欧氏空间， ,, V , k R
1 ) ( , k ) k ( ,) , k , k k 2 ( ,)
2 )(, ) (,) (,)
s
s
推广： (,i)(,i)
i1
i1
3) (0,)0
* 第九页，共30页。
二、欧氏空间中向量的长度
1. 引入长度概念的可能性
1）在 R 3 向量 的长度（模） .
* 第十六页，共30页。
2）
施瓦兹 不等式
bf(x )g (x )d xbf2 (x )d xb g 2 (x )d x
a
a
a
证：在 C (a,b) 中，f(x) 与g(x) 的内积定义为
b
(f(x ),g (x ))af(x )g (x )d x
由柯西－布涅柯夫斯基不等式有
(f(x ),g (x ))f(x )g (x )

高等代数欧几里得空间课件

高等代数欧几里得空间课件

矩阵的定义
矩阵是一个由数字组成的矩形阵列，可 以表示向量之间的关系和线性变换。
VS
矩阵的性质
矩阵具有一些重要的性质，如矩阵的加法、 标量乘法和乘法满足相应的运算规则，矩 阵的转置、行列式、逆等也具有相应的性 质和定义。
矩阵的运算规则
1 2 3
矩阵的加法 矩阵的加法满足交换律和结合律，即 $A+B=B+A$和$(A+B)+C=A+(B+C)$。
运算规则二
如果 $W_1$ 和 $W_2$ 是子空间，且 $W_1 cap W_2 = {0}$， 则 $W_1 + W_2$ 是子空间。
运算规则三
如果 $W$ 是子空间，且 $u in W$，则存在唯一的 $v in W$ 使得 $u + v = 0$。
欧几里得空的同
06
构与等价
同构的定义与性质
等价性质
等价的欧几里得空间具有相同的秩，且线性变换在等价 下是可逆的。
THANKS.
矩阵运算对应线性变换运 算
矩阵的加法、标量乘法和乘法分别对应线性 变换的加法、标量乘法和复合运算。
特征与特征向量
04
特征值与特征向量的定义
特征值
对于一个给定的矩阵A，如果存在一个非零的数λ和相应的非零向量x，使得Ax=λx成立， 则称λ为矩阵A的特征值，x为矩阵A的对应于λ的特征向量。
特征向量
与特征值λ对应的非零向量x称为矩阵A的对应于λ的特征向量。
助于学生更好地理解和掌握这一概念。
04
复数域上的全体二维向量构成的集合是一个二维复数 欧几里得空间。
向量与向量的运算
ห้องสมุดไป่ตู้02
向量的定义与表示

高等代数--第九章 欧几里得空间

高等代数--第九章 欧几里得空间

反过来，如果等号成立，由以上证明
过程可以看出，或者 0 ，或者 ( , ) 0, ( , ) 也就是说 , 线性相关。
结合具体例子来看一下这个不等式是很有意 思的。对于例1的空间Rn ，(5)式是:柯西不等式
| a1b1 a2b2 an bn |
这就是说，不同基的度量矩阵是合同的。
根据条件4)，对于非零向量 ，即
0 0 X 0
有
( , ) X ' AX 0,
因此，度量矩阵是正定的。 欧几里得空间以下简称为欧氏空间。 BACK
标准正交基
定义6 欧氏空间V中一组非零的向量，如果它 们两两正交，就称为一正交向量组。 按定义，由单个非零向量所成的向量组也 是正交向量组。
即对于任意的向量 , 有
| ( , ) || || | . (5)
当且仅当 , 线性相关时，等号才成立。 证明 当 0，(5)式显然成立。以下设 0。 令t是一个实变数，作向量 t . 由4)可知，不论t取何值，一定有 ( , ) ( t , t ) 0. 即 ( , ) 2( , )t ( , )t 2 0. (6)
(m1 ,i ) ( ,i ) ki (i ,i ) (i 1,2,, m).
取
( , i ) ki (i 1,2,, m). ( i , i )
有
( i , m1 ) 0 (i 1,2,, m).
m1 0 。因此 1 , 2 ,, m , m1 由 的选择可知， 1 , 2 ,, m , 是一正交向量组，根据归纳法假定， m1 可以扩充成一正交基。于是定理得证。 定理的证明实际上也就给出了一个具体的扩 充正交向量组的方法。

高等代数第9章欧几里得空间习题 [1]...

高等代数第9章欧几里得空间习题 [1]...

α
α 是一个单位向量. 是一个单位向量.
在欧氏空间V中 定义 在欧氏空间 中, 任意两个非零向量 之间的夹角 夹角定义为 α, β之间的夹角定义为 (α , β ) θ =< α , β >= arccos
α β
显然有0≤ ≤π． 注(1) 显然有 ≤ <α, β > ≤π． (2)由C-S不等式 上述定义有意义 不等式,上述定义有意义 由 不等式 上述定义有意义. 是欧氏空间, 定义 设V是欧氏空间 对α, β∈V, 如果 是欧氏空间 (α , β ) = 0 正交, 则称α与β 正交 记作α⊥β. 零向量0与任何向量正交 与任何向量正交. 零向量 与任何向量正交.
第9章 欧几里得空间习题课 §1 §2 §3 §4 §5 §6 定义与基本性质 标准正交基的定义及求法 正交变换，对称变换 正交变换， 子空间的正交补 实对称矩阵的标准形 向量到子空间的距离
§1
定义
定义与基本性质
是实数域R上的线性空间 设V是实数域 上的线性空间 在V上 是实数域 上的线性空间,在 上 定义了一个二元实函数 即对于V中任意两个 定义了一个二元实函数, 即对于 中任意两个 函数 向量α, β, 都有惟一确定的实数与之对应, 都有惟一确定的实数与之对应 该实数记作( 它满足如下性质: 该实数记作 α, β), 它满足如下性质: (1)(α, β)=(β, α ); (2)(α+β, γ)= (α, γ) + (β, γ); (3) (kα, β)= k(α, β ); (4) (α, α)≥0, (α, α)=0当且仅当α=0. 当且仅当α
欧氏空间中，下述式子成立： 定理 在欧氏空间中，下述式子成立： (1) 三角形不等式 |α+β| ≤ |α|+|β| ; 三角形不等式: | (2) 勾股定理 当α⊥β 时, |α+β|2=|α|2+|β|2. 勾股定理: | |

高等代数课件北大版第九章欧式空间ppt.ppt

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§9.7 向量到子空间的距离 数学与计算科学学院
2.向量到子空间的距离
(1) 设 为一固定向量 ，如果 与子空间 W 中 每个向量垂直， 称 垂直于子空间W , 记作 W.
注:
如果 W L(1,2 , ,k ), 则 W i , i 1,2, ,k.
§9.7 向量到子空间的距离 数学与计算科学学院
§9.7 向量到子空间的距离
一、向量到子空间的距离 二、最小二乘法
§9.7 向量到子空间的距离 数学与计算科学学院
一、向量到子空间的距离
1. 向量间的距离
定义 长度 称为向量 和 的距离，
记为 d , .
基本性质
（i）d , d , （ii）d , 0, 并且仅当 的等号才成立； （iii）(三角形不等式) d , d , d , .
§9.7 向量到子空间的距离 数学与计算科学学院
实际上是不可能的．任何a,b 代入上面各式都发生 些误差.于是想找到 a,b 使得上面各式的误差的平方 和最小，即找 a,b 使 (3.6a b 1.00)2 (3.7a b 0.9)2 (3.8a b 0.9)2 (3.9a b 0.81)2 (4.0a b 0.60)2 (4.1a b 0.56)2 (4.2a b 0.35)2 最小.
§9.7 向量到子空间的距离 数学与计算科学学院
解：把表中数值画出图来看，发现它的变化趋势 近于一条直线．因此我们决定选取 x 的一次式 ax b 来表达．当然最好能选到适当的 a,b, 使得下面的等式
3.6a b 1.00 0, 3.7a b 0.9 0 3.8a b 0.9 0, 3.9a b 0.81 0, 4.0a b 0.60 0, 4.1a b 0.56 0, 4.2a b 0.35 0 都成立.

大学数学第九章欧几里得空间第一节精品PPT课件

大学数学第九章欧几里得空间第一节精品PPT课件

构成一欧几里得空间.
同样地，线性空间 R[ x ] , R[ x ]n 对于内积 (2)
也构成欧几得里空间.
内积定义中的四个性质：
3.
欧几里得空间的性质 内 积 定 义 中内的积四定个义性中质的：四 个 性 质 ：
下面来看1欧) 几( 里, 得) 空= 间( 的, 一)；些基本性质.
首先，1定) (2义) 中,(k条) ,=件()1=), (k()表,；, 明) =内)；(积 ,是 对)；称的.
即
( , )2 ( , ) ( , ) .
两边开方便得
| ( , ) | | | | | .
当 , 线性相关时，等号显然成立. 反过来，如
果等号成立，由以上证明过程可以看出，或者 =0
或者
(,) 0, (,)
也就是说 , 线性相关.
证毕
3. 两个著名的不等式
| (对, 于 )例| 1| 在|中|线的性|欧空几间里R得n 空中间， 对Rn于，(向4 )量 式就
由 4 ) ( 可, 知) ， 0不，论当t且取仅何当值， =一0定时有( , ) = 0 .
( , ) = ( + t , + t ) 0.
即
( , ) + 2( , ) t + ( , ) t 2 0.
(5)
取
t (, ) . (, )
代入 (5) 式，得
(,)(,)2 0, (,)
性质 2 柯西 - 布涅柯夫斯基不等式
设 , 是任意两个向量，则
| ( , ) | | | | |，
(4)
当且内仅积当定义, 中线的性四相个关性时，质等：号才成立.
1 )证(明, ) 当= ( , = 0)；时，(4) 式显然成立. 以下

欧几里得空间课件

欧几里得空间课件
不同类型拓扑的性质
不同类型的拓扑具有不同的性质和特点，例如离散拓扑中的点是孤立的，紧凑拓扑中的点是逐渐趋近于某个点的 ，线性拓扑中的点在直线上呈线性排列等。
拓扑的应用与实例
拓扑的应用
拓扑在数学、物理学、工程学和其他学 科中都有广泛的应用，例如在计算机科 学中，拓扑排序和图论中的问题解决需 要用到拓扑的性质。
。
立方体
立方体是一个三维的欧几里得空 间，其中两点之间的距离可以通 过连接这两点的线段的长度来定
义。
非欧几里得空间的例子
球面
球面是一个二维的曲面，其中两点之间的距 离可以通过连接这两点的最短线段的长度来 定义。球面不同于平面，因为球面的曲率是 变化的。
双曲几何
双曲几何是一种非欧几里得空间，其中两点 之间的距离可以通过连接这两点的线段的长 度来定义。双曲几何不同于欧氏空间，因为 它的角度和距离的定义与欧氏空间不同。
05
欧几里得空间的拓扑学
拓扑的定义与性质
拓扑的定义
拓扑是研究空间结构的一种数学分支，主要关注空间中点、线、面等基本元素之间的相互关系和性质 。
拓扑的性质
拓扑研究空间中的开集、闭集、连续性、紧致性、连通性等基本性质，这些性质在欧几里得空间和非 欧几里得空间中有所不同。
拓扑的分类与性质
拓扑的分类
根据空间中基本元素的性质和相互关系，可以将拓扑分为离散拓扑、紧凑拓扑、线性拓扑和微分拓扑等不同类型 。
子空间的定义与性质
01
02
子空间的定义：设E是域 P上的线性空间，F是E的 子集，如果F对于E的加 法和数量乘法构成域P上 的线性空间，则称F为E 的子空间。
子空间的性质
03
1. F是E的子集。
04

高等代数(第9章)

高等代数(第9章)

证 依题意，可设 = k11+k22+…+knn ,则
n
n
( , ) ( ki i , ) ki ( i , ) 0
i 1
i 1
故 = 0.
(2)性质 设V是欧氏空间，则内积有如下性质
(i) (, 0)= (0, )=0
对称性
(ii) (k , )= (, k )
3.度量矩阵
定义 设V是n维欧氏空间, 1, 2,…,n为V的一组基.称
( 1 , 1 ) ( 1 , 2 ) ( 1 , n )
A ( 2 , 1 ) ( 2 , 2 ) ( 2 , n )



( n , 1 ) ( n , 2 ) ( n , n )
依定义，若1, 2,…,n是n维欧氏空间V中一个标
准正交基，则
( i ,
j)

1, 0,
i i

j j
(i, j 1,2,, n).
反之亦然，因此有如下结论.
定理 n维欧氏空间V的一组基1, 2,…,n是标准正 交基为该基的度量矩阵A=((i,j))nn为单位矩阵.
(ii)|k |=| k| | | (iii) |+ || |+ | | (后证)
证 (ii) k (k, k ) k 2 (, ) k .
长度为1的向量称为单位向量，而 称为把单位化.
(2)向量的夹角 为合理引进两个向量夹角的概念,首先证明欧氏空
间中的柯西——布涅科夫斯基(Cauchy-Buniakowski) 不等式.
定理 设V是欧氏空间， , V,有 |( , ) ||| | |
当且仅当 , 线性相关时等号成立. 证 (i)若 , 线性无关,则0, t , tR.考虑向量 =-t ( 0),由于

高等代数课件(北大版)第九章 欧式空间§9.2

高等代数课件(北大版)第九章 欧式空间§9.2
使
1 , 2 ,, m , 1 , 2 ,, k
成为一组正交基. 现在来看 n m k 1 ( 1) 的情形. 因为 m n ,
所以必有向量 不能被 1 , 2 ,, m 线性表出，
作向量
m1 k11 k2 2 km m ( 0)
1
1
( 3 , 1 ) ( 3 , 2 ) 3 3 1 2 ( 1 , 1 ) ( 2 , 2 )
2 ( 3 , 1 ) x dx , 1 3
1 2
( 1 , 1 ) dx 2,
1
1
( 3 , 2 ) x dx 0,
数学与计算科学学院
一、正交向量组
定义：
设Ｖ为欧氏空间，非零向量 1 , 2 ,, m V , 如果它们两两正交，则称之为正交向量组.
注：
① 若 0, 则 是正交向量组. ② 正交向量组必是线性无关向量组.
§9.2 标准正交基
数学与计算科学学院
证：设非零向量 1 , 2 ,, m V 两两正交.
tii 0, i 1,2,, n
§9.2 标准正交基
数学与计算科学学院
② Schmidt正交化过程:
1 先把线性无关的向量组 1 ,, m
化成正交向量组 1 , 2 ,, m .
( 2 , 1 ) 1 1 , 2 2 1 , ( 1 , 1 ) j 1 ( j , i ) j j i , j 2,3,, m; i 1 ( i , i )
( 4 , 1 ) x dx 0,
变成单位正交的向量组. 解：令
1 1 (1,1,0,0) ( 2 , 1 ) 1 1 2 2 1 ( , ,1,0) ( 1 , 1 ) 2 2 1 1 1 ( 3 , 1 ) ( 3 , 2 ) 3 3 1 2 ( , , ,1) 3 3 3 ( 1 , 1 ) ( 2 , 2 ) ( 4 , 3 ) ( 4 , 1 ) ( 4 , 2 ) 4 4 1 2 3 ( 1 , 1 ) (2 , 2 ) (3 , 3 )

高等数学高教版第九章欧几里得空间第六节课件.ppt

高等数学高教版第九章欧几里得空间第六节课件.ppt

求出 1 , 2 , … , m ，它们是
是 A 的特征向量.
这样，正交矩阵 T 也就求出了.
五、举例
例 1 已知
0 1 1 1
A
1 1 1
0 1 1
1 0 1
1 1 0
,
求一正交矩阵 T 使 TTAT 成为对角形.
解 先求 A 的特征值. 1 1 1 1 1 1
| E A | 1 1 1 1 1 1
x2
,
xn
其中 xi 是 xi 的共轭复数，则 考察等式
A = 0 .
T (A ) = TAT = (A )T = (A )T ，
T (A ) = TAT = (A )T = (A )T ， 其左边为 0T ， 右边为 0T . 故
0T = 0T . 又因为 是非零向量，
T = x1 x1 + x2 x2 + … + xn xn 0 . 故 0 = 0 ，即 0 是一个实数.
我们还可以进一步要都求存在一个 n 级正交矩阵 T ，使 TTAT 成对角
|T|=1.
事实上，如果求得的正交矩阵 T 的行列式为 -1 ，
那么取
1
1
S
1
.
1
令 T1 = TS ，
则 T1 是正交矩阵，而且 | T1 | = | T | | S | = 1 .
显然
T1TAT1 = TTAT .
1x22 + 2y22 + 3z22 + d * = 0,
其中
d * d b1*2 b2*2 b3*2 .
1 2 3
例 3 把下列二次曲面的方程化为标准形，并
确定曲面的形状.
x2 y2 5z2 6xy 2xz 2yz 6x 6y 6z 10 0 .

大学数学高数微积分第九章欧几里得空间第二节课件课堂讲义

大学数学高数微积分第九章欧几里得空间第二节课件课堂讲义
能扩充成一组正交基.
证明 设 1 , 2 , … , m 是一正交向量组，
我们对 n - m 作数学归纳法. 当 n - m = 0 时， 1 , 2 , … , m 就是一组正交
基. 假设 n - m = k 时定理成立，也就是说，可以
找到向量 1 , 2 , … , s , 使得
1 , 2 , … , m , 1 , 2 , … , s
+ xi+1(i , i+1) + … + xn(i , n ) = xi(i , i ) = xi .
证毕
性质 3 设 1 , 2 , … , n 是一组标准正交基，
且
那么
= x1 1 + x2 2 + … + xn n ，
= y1 1 + y2 2 + … + yn n ，
( , ) = x1 y1 + x2 y2 + … + xn yn = XTY . (2)
若请本若本本请想若请单节若想节本请若单本节本结想请单内若击想结请节本内若单想击请节请内若若本请结单若本节本束击请容本想若返结本请本单内请束节若容想若击若返本结单请内请单想节容想束击想单节节内返已本本单结想节请回节束若单击容节单想返内想已结本回想击节束单容本若请本结若内单击本返结已结内内击回结容击节束堂请结内内单想按返已击本若结回内击结容结束本请堂按若本结返节想击已内本单束容节堂回若想请击返束束容本容结束若按返返请若本内若本已单束请容课结本回结击钮返容堂本束请按想返请节容钮束已束单本请课内想结本节回返结本束已击容堂若课按想单内返回结节本本本已已请钮束单想回回堂想已节击容想本若束结按!单束节,回返.节本钮课已单结单内.回击本结已堂容束单节按堂,结回束结内返想,钮已课本结!内击回堂按结容结节堂束击.单按结课想结返本堂结内已结按钮内束击按内堂.回击束,!击结容!按返已本堂束课结课内束钮击按结.回束容结,束容堂课束返按束钮!返内课已本束钮结击堂,回.课束束容结束容钮容课返按返本返已束回结堂钮,课!,容.束钮束按返已束本本已!课,!回回钮.,容束结.课堂按,返!!本已已已,束本本.!回结回堂钮回束课按.本已,.钮结回堂!堂结按,按.本,已!束钮课!结结回堂结堂堂按束按课.按,钮!堂结.!束课按钮课束堂钮结.束,束课按钮束课钮课,!钮.!课束,.钮课!,.束.,,!钮.!,!,.!!,. .!

欧几里德空间知识点总结PPT课件

欧几里德空间知识点总结PPT课件
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例6、 （1）设 A Rnn 为反对称矩阵，证明： E A 可逆，且 P (E A)(E A)1
是正交矩阵. （P395习题16） （注意：反对称实矩阵的特征值只能是0或纯虚数）
（2）设 AT A Rnn且满足A2 4 A 3I 0
证明：A 2I是正交矩阵.
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求a, b及所用的正交线性替换。 （类似P199习题5）
例2、设A是正定实对称矩阵，证明：
A E 1.
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例3、设 A, B 都是实对称矩阵，
（1）证明：存在正交矩阵 T ，使得 T 1AT B
的充分必要条件是 A, B的特征多项式的根全部相同.
（2）如果 B 是正定矩阵，证明存在一个 n n
将 11,12 , ,1n1 ,
,r1,r 2 , ,rnr 的分量依次作
矩阵P的第1，2，…，n列，
使 PT AP P 1 AP为对角形．
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2.对称变换定义
欧氏空间V的线性变换 ，如果
( ), ( , ( )), , V
则称 为对称变换.
注. 对称变换的特征值都是实数，属于不同特征值
为上三角阵，且 tii 0,i 1,2, ,n ，并证明这个分 解是唯一的。 （P188习题7）
（2）设A为n阶正定矩阵，证明存在一上三角形 矩阵P，使 A PT P 。
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二、正交变换
1.定义
欧氏空间V的线性变换 如果保持向量的内积不变，
( ), ( ) ( , ), , V
(v) 实对称矩阵A的正、负惯性指数分别为正、负特 特征值的个数（重根按重数计）． (vi) 当A退化时, n－秩(A)是0为A的特征值的重数.
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j1
j 1, ..., m
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然后将正交向量组1,2,,m单位化
向量, , 都有惟一确定的实数与之对应, 该实数记作(, ), 它满足如下性质:
(1)(, )=(, );
(2)(+, )= (, ) + (, );
(3) (k, )= k(, ); (4) (, )0, (, )=0当且仅当=0.
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2
则
(, )=XTAY,
其中X,Y为,的坐标列向量。
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11
（3）度量矩阵是正定矩阵. 因为 关于X0,
(,)= XTAX>0.
（4）不同基的度量矩阵是合同的。 （5）每一个n阶正定矩阵都可作为Rn中 某个基的度量矩阵（见习题1）。
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§2 标准正交基的定义与求法
一. 正交向量组
定义 设1,2,…,s是一组非零实向量,
如果它们两两正交,则称为正交向量组; 如果其中每个向量的长度都是1,则称 为正交单位向量组(或标准正交向量组).
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13
事实 向量组1, 2, …, s是一个
标准正交向量组, 当且仅当
1
(i , j )

0
i j, i j.
则 Rn是一个欧几里得空间, 仍用Rn来表示．
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3
内积的性质
(1) (, k)=(k, )= k( ,)= k(, ); (2) (, + )= ( + ,)= ( , ) + ( ,);
= (, ) + ( ,); (3) (, 0)=0.
定理 设1, 2,…, n是n维欧氏空间V的 一组标准正交基, 对, V,设向量 ,的
坐标分别是X=(x1,x2,…,xn)T, Y=(y1,y2,…,yn)T 则
(1) xi = (, i )
i=1,2,…,n
(2) (, )=XTY=x1y1+x2y2+…+xnyn.。
n
m
nm
(4) ( ki i , l j j )
ki l j (i , j ).
i 1
j1
i1 j1
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4
二. 长度与夹角
由于(, )0, 在欧氏空间可引进向量的
长度的概念．
定义 在欧氏空间中,非负实数 (,)
称为向量的长度, 记作．
且等号成立当且仅当与 线性相关。
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6
定义 在欧氏空间V中, 任意两个非零向量
, 之间的夹角定义为 , arccos ( , )
注(1) 显然有0 <, > ．
(2)由C-S不等式,上述定义有意义.
定义 设V是欧氏空间, 对, V, 如果
第9章 欧几里得空间习题课
§1 定义与基本性质 §2 标准正交基的定义及求法 §3 正交变换，对称变换 §4 子空间的正交补 §5 实对称矩阵的标准形 §6 向量到子空间的距离
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1
§1 定义与基本性质
定义 设V是实数域R上的线性空间,在V上 定义了一个二元实函数, 即对于V中任意两个
设1,2,…,s两两正交，
则
1+2+…+s 2 = 12+ 22 +… + s 2
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9
三. 度量矩阵
定义 设1,2,…,n是n维欧氏空间V
的一组基, 作矩阵
(1,1) (1, 2 ) (1, n )
ABiblioteka (2,

1
(, ) = 0
则称与 正交, 记作.
零向量0与任何向p量pt课件 正交.
7
定理 在欧氏空间中，下述式子成立：
(1) 三角形不等式: + + ; (2) 勾股定理: 当⊥ 时, +2=2+2.
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8
定理 在欧氏空间中勾股定理成立：
1, 2, , i
等价( i = 1, 2, …, m )．
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18
令1=1, 若已构作出正交向量组1,2,,j-1,
则令

j

j

( j , 1 ) (1, 1)
1

( j , 2 ) (2 , 2 )
2


( j , ( j1
j1 ) , j1 )
由于(, )0,所以向量的长度一般
是非负数, 有且仅有零向量的长度才是零． 长度为１的向量称为单位向量.
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5
如果 0,
则
1
是一个单位向量.
通常称此过程为把 单位化．
定理(Cauchy-Schwarz不等式)
设V是欧氏空间，则关于任意, V，有
(, ) ,
其中, , 都是V中向量, k为任意实数. 则称(, )为向量与的内积 ．
定义了内积的实线性空间称为 欧几里得空间．
例1 在线性空间Rn中，对于向量
=(a1, a2, …, an)， = (b1, b2, …, bn) 定义 (, ) = a1b1+a2b2+…+anbn
)
( 2, 2 )


( 2, n )

( n,1) ( n, 2) ( n, n )
称A为基1, 2, …, n的度量矩阵．
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10
度量矩阵性质
（1）度量矩阵是对称矩阵
（2）设A为基1，n的度量矩阵。 若=x11++xnn, =y11++ynn,
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定理 正交向量组是线性无关的． 推论 n维欧氏空间V中, 两两正交的非零 向量的个数不会超过n．
二. 正交基
定义 在n维欧氏空间中, 由n个两两
正交的非零向量构成的向量组称为
正交基.
由单位向量组成的正交基称为
标准正交基.
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一组基是标准正交基当且仅当它的度
量矩阵是单位矩阵.
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三. 求标准正交基的办法： Schmidt正交化方法
定理 n维欧氏空间中任一个正交向量 组都能扩充成一组正交基.
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定理 设1, 2, , m是欧氏空间
V中一组线性无关的向量,则一定存在
一个正交单位向量组1, 2, , m,
使得
1, 2, , i
与