第九章 欧几里得空间习题解答
P394.1.1
(,)'0(""0)'(')'''(,)A A A αααααβαβαβααβαβ∴=≥=?====正定非负性证得
由矩阵失去,线性性成立,再由(,)=A A 对称性成立，是一个内积
(
)111
11
61P394.1.2,(006);19,,P394.1.2
|(,)|||||(,)|i i j ij i j n n
n
ij i j
i j n n ij i j i j A a x y c s B a x y εεαεεεαβαβαβ====?? ?
?
== ? ? ???
∴≤=∴--≤∑∑∑∑L L L Q 的度量矩阵即为A 不等式为|()
393.2P ①, α=(2,1,3,2), β
=(1,2,-2,1)
|||,)0,,2
αβαβαβπ
αβ∴====∴⊥∴=
〈〉
393.2P ②, α=(1,2,2,3), β
=(3,1,5,1)
|||6,(,)18
(,)(,)arc cos cos ||||24arc arc αβαβαβπαβαβ=====∴====
393.2P ③, α=(1,1,1,2), β
=(3,1,-1,0)
||||(,)3
,arc 700'30''38
αβαβαβ===∴==?〈〉
P393. 3 ||||||αβαβ+≤+Q
(,)|||()()|||||
(,)(,)
d d d αγαγαββγαββγαββγ∴=-=-+-≤-+-+ =
P393.4在4
R 中求一单位向量与(1,1,-1),(1,-1,1-,1),(2,1,1,3)正交
解设所求
2123412341234123
44123(,,,)1,00230
1
1111111
111111102000
1003,211301310
0314,0,1
4i x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x αα==+-+=???
?--+=????+++=?
???-????--
?
? ? ? ? ?--→-→=
?
? ? ? ? ?+ ?
??????
===-=
-∑则且与各向量的内积为0得令得
,0,1,3),()
-单位化
393.5P ①证:因为12(,)0, 1.2,,i n i n γαααα==L L 而是一个基
1
1
(,)(,)(,)0.
0.
n
n
i i i i i i k k γγγαγαγ==∴====∑∑因此,必有
393.5P ②证，Q 12(,)(,), 1.2,i i i n γαγα==L
12(,)0, 1.2i i n γγα∴-==L
由第①小题：12120,γγγγ-==故
P393.6 1231232211(,,)(,,)2123122αααεεε?? ?
=-- ? ?--??
Q
而1232211212,,3122ααα?? ?-- ? ?--??
是正交矩阵,所以是标准正交基
11212431231
212121124512451131212351152124531235393.7
,/2(,)1111
(22)
(,)222221
2
10
)
22)
1
()
2
s P αεεαεεεεεεεβααββαβαβεεεεεεεεβββαββεεεεηεεηεεεεηεεεε==-+=++==-
=-=-+-=-+-=--
=++-=+=-+-=++-123解:再正交化称:
P394.8，解：123452111310014001110101115X X X X X X ?? ? ?---???? ?=→= ? ?--- ?????
? ???
解出：123014115100010001ηηη-?????? ? ? ?- ? ? ?
? ? ?=== ? ? ? ? ? ? ? ? ???????
Schmidt:
1221331022711161151311116222105022130005ββηββηβ--???????? ? ? ? ?- ? ? ? ? ? ? ? ?==-=
-=++-= ?
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?????????
单位化便得到解空间的标准正交基：
123
7
6
6
13
5
εεε
?
??
??
?
?-
?
?
?
?
====
?
?
?
?
? ? ???
? ?
?? ?
??
P394.9 1
1
(,)()()
f g f x g x dx
-
=?
已知
23
1234
1,,,
x x x
αααα
====
解：11
1
βα
==
211
221
11
22
3132
3212
1122
3
43
4142
441234
112233
111222
(,)
(,)*
2
(,)(,)1
310
(,)(,)23
2
(,)
(,)(,)3
5
2
(,)(,)(,)5
3
2
(,)2||(,)||
3
(
xdx
x x
x x
x x x αβ
βαβ
ββ
αβαβ
βαββ
ββββ
αβ
αβαβ
βαβββα
ββββββ
ββββββ
-
-
=-=-
=--=---=-
=---=--=-
====
?
Q
又
142
333
1
1642
444
1
218
,)()||
3945
698
(,)()||
525175
x x dx
x x x dx
βββ
βββ
+
-
-
=-+==
=-+==
?
?
单位化标准正交基
3
12324
,1),3)
396.17.4
13333333
31333333
4
33133333
33313333
x x x x
P
A A E
γγγγ
===-=-
------
????
? ?
-----
? ?
==
? ?
-----
? ?
? ?
-----
????
1123443() 4.8
40
Acy Tr A x x λλλλχχ∴===-?==-+-=Q 221-秩(A+4E)=1
至少为重根,而
-(4+4+4)+解(A+4E)x=o,即
1111210311111110212003?????? ? ? ?-- ? ? ? ? ? ?- ? ? ? ? ? ?????
??
?????? ? ? ?-- ??? ???-- ??? ?????????得正交基础体系1100单位化为
28λ?? ? ? ? ? ???
解(A-8E)x=0.得解取自A+4E的一列
3-33-3
11111211
2412
4'1
40281
2
T T AT T AT -?? ?- ? ? ? ?-??-??- ?
- ?=
== ?- ? ???
-单位化为
令则
11212121111
1111395.10.10(,,)(,)(,)0,.
(,)(,)0P V V V V V k k k V ββαβαβαβββββαβαβ∈≠?
=+=?+∈?
?∈∴≤?==?∈?
11123123111P395.10.2 0
dim 1.
,,,(2)
(,)dim 1.
dim 1.
n n V V n V i V i L V V n V n αααααααααααα≠∴?≤-=∈≥∴≤?≥-∴≥-Q L L 故将扩充为的一个正交基那么.
P394，11①设两个基：12,12,,,n n εεεηηηL L 及,它们的度量矩阵分别为A 和B,并设
121211122
11122
1212
'''
221122
(,,,)(,,,),,(,,)(,,,)(,,)(,,,),(,)(')'()
n n n n n n C
V X X Y Y X CX Y CY X BY X AY X C AC Y C AC B ηηηεεεαβαεεηηηβεεηηηαβ=∈=========∴=L L L L L L 任设所以合同
P394.11②，
取V 的一个基12,,,,n A αααL 其度量矩阵为因为A 正交,故存在矩阵C,使
12121212',,,,,,',,,n n n n C AC E ηηηαααηηηηηη=L L L L C AC=E
做基(,)=()C,那么,的度量矩阵为因此,为标准正交基.
1212121212121212211111P394.12,,,,(,)(,,)()(,,),,|(,,)|,,,,(,,|0
()0|()|||0,m ij i j m ij m m
m m m m m m V G G G G G ααααααααααααααααααααααααααααααααα?∈==?≠?>?=≠L L L L L L L L 记:
，称，为，的Gram 矩阵称，为，的Gram 行列式证明，线性无关，）证:若m=1,线性无关，成立
121211,|(,,)|0(,,)
(,)(,,)0,0,1,2,.
n m m
j k k ij k ik k i k k k j
k j
k j
i j k k k j
m G A c c a c c i m αααβββββααααααγ=≠≠≠≠>==?=?==?-=∴?==∑∑∑∑L L L 若而，不妨设，
1212(,,,),
,,,j k k m k j
j k m k j
c L ck γαααααααααα≠≠=-∈?=?∑∑Q L L 线性相关
2112
1211212122
21221222222
12122
123|()|||||||||cos (,),(,)|(,)|(,),(,)
||||cos ||||||(1cos )(||||cos )|(,,)|()G G G αααααθ
ααααααααααααθ
αααθααθααα==
==-==类似地:
平行六面体积
P394，13，设：122200
0n n n n nn A αααααα??
? ?
=
?
???
L
L M M O M L
因为A 正交，故A'A=E ，令A=12(,,)n βββL
由第1行列，2
11111,1αα==±
由β1与其余各列正交，β1⊥βj （j>1），（β1，βj ）=111100(1)j j a a j α=?=>
1100A A ±??∴= ?
??
其中A 1仍为上三角正交矩阵，但阶数少1，故可用归纳法给出证明，且n=1时显然为真，由归纳法原理，证毕。
P394，14①，设1212(,,,),,,,n
n n A αααααα=L L ?则做成的一个基,用Schmidt 方
法把它们正交化12,,,(9,130,4.1)n P εεεL 由定理2
1212(,,,)(,,,),i i i L L εεεααα=?L L
111212212121(,,,)(,,,),0n in n n ii
n n nn t t t t t t t t εεεααα-??
? ?
∴=> ? ??
?
L L L L O
11
1211
1122
(,,),0()n n nn t Q T T t Q AT A QT QT A QT Q T εεε--??
?==
?
??
?
∴=====L
L O 111t 令正交,T =唯一性若
11
22122,0,0,Q Q T T Q
T T T T ---∴=∴∴Q -122上三角矩阵T T为正交矩阵Q 的对角线皆大于的对角线皆大于由13题(见P19,138,10.1)
T 2T -1=E ，∴T 2=T ，满秩 ∴Q 2=Q
P394，14②，Q A 正交，则存在C 可逆使
A=C'C
而C 可逆，由①，有C=QT ，Q 正交T 上三角。 ∴A=C'C=T'Q'QT=T'ET=T'T
P395，15①，A 2(,)V ααηαη
η=-∈为一单位向量
(,)(2(,),2(,))
(,)2(,)(,)2(,)(,)4(,)(,)(,)(,)
A A A αβαηαηβηβηαβηαηβηβαηηαηβηηαβ=--=--+=∴Q 保持内积
()(2,)(2(,))(2(,))A k l k l k l k l kA lA αβαβηαβη
αηαηβηβηαβ
+=+-+=-+-=+又
A ∴为线性的,故A 是正交变换
P395，15②，123,,,,n ηεηεεε=L 以为起点扩充一个标准正交基,
1111121220(2)
1
1(,,,)(,,,)1
1||1,i i i n n A A i A A εεεεεεεεεεεεε=-=-=-=≥-??
?
? ?∴=
?
? ??
?
∴=-L L O 则为第二类的
P395，15③，111,,dim 1,A n V V n -=-Q 至少为的重特征值特征子空间
11211112112,,,,,,(1,2,1),(121)((,,,))((,,))()n n n i i n i n n n n V V A i n A A i n A L A A A L L εεεεεεεεεεεεεεεεεε--⊥⊥-==-=-∴∈==L L Q L L L L 取的标准正交基扩充为的标准正交基而与正交
1(),dim n n n n n n A A A V n εεεεεε=±=?=∴=-Q 正交若矛盾,A
1
1
1
,22(,)n
i i
i n i i n n n n n n i V x A x x x ααεαεεαεαεαε---?∈==-=-=-∑∑是一个镜面反射
00000000
000000
395,16,'1,
,0,
'0
P A A X X X X AX X AX AX X X λλλλ=-≠∴≠====若为的特征值为其特征向量
()
()()
000000000000
000000
00''()'()('')()'''(')
X X X X X AX X A X AX X AX X X X X X λλλλ∴===-=-=-=-=-
00000('0)0X X λλλ∴≠=-=由或纯虚数
P395，17①：322
20
||212368(1)(4)(2)0
2E A λλλλλλλλλλ
--=
-=--+=--+
1231,4,2λλλ===-
111
'(2,1,2)'
31
:(4)0,(2,2,1)',(2,2,1)'
31
:(2)0,(1,2,2)',(1,2,2)'
32
21112232121:'42A E X X A E X X T T AT T AT λεεε-=--==-=-+===??
?=- ? ?
-??
??
?== ?
?-??
122解:(A-E)X=0
(A-E)X=0, X=(2,1,-2), 解 解 令则
P395，17②，A=222254245-?? ?- ? ?--??
解：①：,(A E E λλ-Q 用数1代),A-的秩为1
22211||(1)(),()10E A Tr A λλλλλλλ∴-=--∴=--=
2,()(10)0A E A E ?--=
123121111,220,:,22502x x ληη??
?? ? ? ?-=+-=== ? ? ? ??? ?
??
1解:x 得
12,
0εε??
? == ???
22131210,23223A E ληε????
? ? ?=-== ? ? ?- ???
?-??
3取的一列:
1323,3203T ?? ?
?
?= ? ?
?
- ??
?
取
11:'110T AT T AT -?? ?== ?
???
则
P395,17③,0
0410
01441001
400A ?? ?
?= ?
?
??
04110411041014114114|(5)
(5)(3)
410110110
1
4
01
4
1
11
E λ
λλλ
λλλλλλλ
λλ
-----=
=-=--------解:|A-
104133014(3)(5)
(3)(5)1
414101
1
1
1
4
λ
λλλλλλλλ---=--=-------
3311
(3)(5)1
311(3)(5)(3)
32
1
λ
λλλλλλλλλ---+-=------=--+---
1234(3)(3)(5)(5)
3,3,5,5
λλλλλλλλ=-+-+==-==-
11234111111,(,,,)'1222211111
3',(,,,)'22221111
5',(,,,)'
2222111,(,,22E E E E S λεεεε-?? ? ?=-- ?- ???
+∴=--∴=+∈∴=-解:(A-)X=0
(A-3)X=0,得:X=解:(A )X=0,得:X=(1,-1,-1,1)解:(A-)X=0,得:X=(1,1,1,1)解:(A )X=0,得:X=(1,1,-1,-1)'1
,)'
22-
11111111
1111
1
111
------1令:T=2
'?? ?
? ? ?
??
-13-3则:T AT=T AT=5-5
P395,17⑤：1
1111
11111111
111A ?? ?
?= ? ???
解：秩（A ）=1，103A λ∴=为的重根(特征根)
1112211234(),4
(4)0
0,:0
Tr A A A E x x x x λλλλλλ+++=∴=∴-==+++=对于解
得：
123123 111
111
,,:,,
021
003
00
αααεεε
??
??
?? ?
?
?????? ? ?
?
? ? ? ?- ?
? ? ? ?======
? ? ?
- ?
? ? ? ? ?
-
?????? ?
??
???
单位化
4
1
2
1
1
12
4,,
11
2
11
2
A
λαε
??
?
??
?
?
?
?
===
?
?
?
?
?? ?
?
??
24
对于其解为的一列:
令
T=
1
2
1
2
1
02
1
002
??
?
?
?
?
?
?
?
?
??
1
'
4
T AT T AT
-
??
?
?
==
?
?
??
则
P395，18①f=X'
120120
'222,222
023023
f X X B
--
??
??
??
=----
??
??
--
??
??
另解法，作正交矩阵，H=1
1
1,(')
1
H H H
-
??
?
==
?
?
?
?
320220
'222212170(9,139,11,4)
021020
A H BH E E A P
?-?-
??
????
∴=-=--=--
????
????
--
??
??
即为中的见
22111122'4'(')92122T T H BH E T ???? ??=-=- ???? --????取正交,则T AT=
12002121()'()4'050,12232001221HT B HT T ET HT ???-?
?? ???
∴=+==- ?????? --??????
即令1
123212
33123222
123
212333
12233322133325X y y y X y y y X y y y f y y y ?
=-++??
?=-+???=++??
=+-则 P395,18②122122'224,224242242f X X B --????
? ?=--=-- ? ?? ? --????
又Q A=-B+3E 即为17②中的A （见P9,138,10,3）
11312,'(3)1
310203T T AT T E B T -?? ??? ? ? ?==-= ? ? ??? ?
- ??
?取则
1112(3)12107T BT T E T --???? ? ?
∴=-= ? ? ? ?-????
令1123212332
3132323x y y y x y y y x y y ?
=++??
?=+??
?=-??
，则222
123227f y y y =+-
P395，18③,
0100
1000010
',,
0001100
0010
B
f X X B A
B ??
?
???? ?
===
? ? ?????
?
??
2
12
11
'1
1111
||1(1),(1),,
11
,
11
110111111110
11
111011111101
22
E B
T T
T BT T BT
λλλλεε
-
??
?
-=-=-+∴==
-
??
?
=?
-?
-
????????????====
????? ??? ?
----
????????????解
令则正交,且
11
1
1
01
,'
01
1
T
T T AT T AT
T
-
??
?
-
?? ?
=∴==
? ?
??
?
-
??
令也正交
112
212
334
434
2222
1234
x y y
x y y
x y y
x y y
f y y y y
?
=+
?
?
?=-
??
?
?=
?
?
?=
??
=-+-
令
则
P395，18④，
1132
1123
''
3211
2311
f X X X AX
--
??
?
--
?
==
?
--
?
--
??
11321132
11231123 ||(1)
32111211
23111311
E A
λ
λλ
λλ
λλ
λλ
---
----
-==-
---
-----
解:
1
1321231112
31121
(1)(7)
(1)(7)
121
11110
1
1
1
1
λλλλλλλλλλ-------+-=--=---+---
121
(1)(7)(1)(1)(3)111
11λλλλλλ
--=----++-+
1
2
1(1)(7)03
(1)(7)(1)(3)031
λλλλλλλλλ--=--+=--++++
12341,7,1,3λλλλ∴===-=-
112233441
'(1,1,1,1)'
2
1
'(1,1,1,1)'
2
1
'(1,1,1,1)'
21
'(1,1,1,12λελελελε==--=--=--(A-E)X=(A-E)X=0,得X=(1,1,1,1),(A-E)X=(A-7E)X=0,得X=(1,-1,1,-1),(A-E)X=(A+E)X=0,得X=(1,1,-1,-1),(A-E)X=(A+3E)X=0,得X=(1,-1,-1,1),)'
11111111117,'1111111113T AT T AT -???? ? ?-- ?
?∴== ?
?--- ? ?
---???
?1令:T=则2 1112223334442222
1234
111111111,11112111173X y y X y y T X y y X y y f y y y y ?????
??
??? ? ? ? ?--? ?
? ?
?==?
?
? ? ?--? ? ? ? ??--????????
?=+--则
P395,19,Q A 实对称，存在正交矩阵T ，使
12
1
'n T AT T AT D λλλ-?? ?
?=== ? ??
?
O 12,0(1,2)
n i i A A D n λλλλ???>?=L L 其中，为的所有特征根
正交正交正惯性指数=n
P396.20“充分性”，设1λ为A 的实特征根，取1λ的单位特征向量1ε，扩充为n
?的标准正
交基12112,,,,(,,,)n n T εεεεεε=L L 取为正交矩阵
1111
11
11T AT T AT A λα-??
==
??
?
111||()||,,E A E A A λλλλ-=--Q 故的特征根全为实根且阶数少,故由归纳假设（n=1，
显然成立），存在T 2正交。
2212B T AT =为上三角矩阵
313210,0T T T T T ??
== ??
?
11113113321211212110'()000AT T T AT T T T T T AT B λαλαλβ---????== ???
????
????= ? ?????
-11那么,T AT=T 0A
为上三角矩阵
111221
"",',,||||(),,,
n n
n n n
ii nn i T AT T AT B A T B E A E B b b b b λλλ-??===∈∴∈
-=-=∏-Q Q L 必要性若为上三角
全为实特征根
P396，21“必要性”T -1AT=B ，则A ，B 相似，故特征值全部相同，
“充分性”，若A ，B 的特征值都由λ1，λ2，…λn ，
则存在，T 1，T 2正交，使
3,T T 作正交矩阵
112
2
'1
''11112222
,n n T AT T AT T BT T BT D λλλλλλ-????
? ?
? ?==== ? ? ? ??
??
?
O O
111122
'121111211222,()T AT T BT T T T AT T T AT T T DT B
------∴=====-112令T=T T 也是正交的且
2-1
12
-1
11P396,22,A'=A,A =A,'AT=T AT=0:A T AT=T'AT=n λλλ??
?
? ? ??
?
??
?
? ? ??
?
O Q O 证存在T 正交,T 证实对称,故必有正交矩阵T 使
123()n λλλλ≥≥≥≥L 其中特征值
()0,(1),(1)r n r A A E x x x x --=-∴-Q 最小多项式为的因式特征多项式为
121,|(1)10
1,0r n r i i i r r n X x X λλλλλλλλ-+--?=∴=======L L 而为特征值或证毕.
396,23(),,((,)(,)(,)0,P A L V W V A W W A W A A A A W W A αββγββγαγαβαβα⊥⊥
⊥∈≤?∈?∈∈∴?∈∈∴===∈Q 为正交变换子空间为的不变子空间
由于对有必须假设dimW 有限)
dimW 有限,AW=W,W,必有W,使A =因此故也是的不变子空间
}{
}
{1123,|0(0,,,,,).,r n W V x x A x x x x A ααα∞=∈====L L L L L 12n i (注:若dimW=,V==(x ,x ,,x )|x 中有限个非0内积为对应分量之积之和则为正交变换.}{12((1,|0,/(0,0,,1,0,),(0,,0,1,0,,0))
r r n r r W A W V x x x A W A W αγγ⊥+++⊥⊥-=∈=====-=∈=?L L Q L L L L 个)
个)
为子空间不是子空间但
P396、24①“必要性”，若A 反对称，在标准正交基12,,n εεεL 下
A 11(,)(,)n n A εεεε=L L ()ij n n A a ?=
则：(,)(,)(,).ij j i j i i j ij a A A A a εεεεεε==-=-=- ∴'A A =-
“充分性”，若A 11(,)(,)n n A εεεε=L L ∴'A A =-
11(,)(,).n n X Y αεεβεε?==L L ,A A αβ以坐标为AX 、AY 。
∴(,)()'''''()(,)A AX Y X A Y X AY X AY A αβαβ===-=-=- 即，A 为反对称的
P396、24○2设V 1为/A-子空间，A 反对称。
W=V W α?∈ 1V β?∈ Q A 1V β∈
∴（A α，β）=（α，A β）=0
A W α∴∈ 故W 为A-子空间。
2
112111
2222
P397.25.V=V ,(V ,V ),V.|||()()|||||||||.
V αβγβγξαββξαξαββξαβαβαβαξ⊕∈∈?-⊥-∴-=-+-=-≥--≤-设必要性,若=+则即
充分性，取
2
111121111
222
1111|||||
||||||||0V V V V αααααααααβααβααααββαβαβα+∈∈≤-≤--∈∴-=-+-?-=?=Q 21在的分解式,=于是|-又必为内射影.
1212396,26,()P V V V V ⊥⊥⊥+=?证 1) 和12122)()V V V V ⊥⊥⊥?=+
1212121212121212121212121212(),(),()
,,()
()()i i V V V V V V V V V V V V V V V V V V V V V V V αβββββαβαβαβββα⊥⊥⊥⊥⊥⊥
⊥⊥⊥
⊥⊥⊥
⊥⊥⊥
+?∴+???∈??∈+=+∈⊥⊥∴⊥+=?∈+∴??++=?Q Q 证 1)反过来,则故
2),由于正交补是唯一的
()()
12121
212()()()
()
V V V V V
V V V ⊥⊥⊥
⊥⊥⊥⊥⊥⊥⊥⊥⊥?=?=+=+Q
0.39 1.8910.61 1.801396,27
0.93 1.6811.35 1.501P A B -??
?? ? ?- ? ?=
= ?
?- ? ?-????
3.2116 5.4225 3.28''5.422511.8845 6.87'',|'|8.76475395: 1.728585,
4.277892
0.1972200250.197
0.488678960.488
x y y x A A A B A AX A B A A d d d d d
X M d
d
-????== ? ?
--????
∴=====-∴==≈=
=-≈-得
12121212(,),(,)0.1970.4880.488A B W L B αααααααα==-+设故到子空间的垂足为到W的距离为 |B-0.197|
10.076830.922320.0008510.120170.87840.001430.0040339060.0040310.183210.819840.0030510.265950.7320.00205???????? ? ? ? ?
?
? ? ?=---==≈ ? ? ? ?- ? ? ? ?????????
P397补1，设λ为A （正交）的特征值，定义AX=AX ，则A 为正交变换
0000|/|||||11,()AX X AX X λλλλ=?=?=?=±∈Q Q ?
P397，补2， A 为V 中正交变换，|A|=1
设A 的特征值为12,,,||1,()n i x λλλλ=L Q A 及f 是一个实系数多项式,
12212,,,,1n k n i i i k λλλλλλ-∴L L 中有对共轭之积为1,剩下的n-2k 个实根之积为。 1,1s i λ=±∴-Q 的个数必为偶数个,而dimV 为奇数,因此至少有一个特征值为实数1
P397补3（仿上题），Q |A|=-1，剩下的n-2k 个实根之积为-1，其中必有特征值= -1。
P397,补4：令(,r A k l kA lA A αβαβ=+--Q 得内积
实验五、空间分析建模：Model Builder土壤侵蚀危险性建模分析专业年级：地信071 姓名：王媛媛学号：06407024 一、实验目的与要求 1.实验目的 空间分析建模是指运用GIS空间分析建立数学模型的过程，其过程包括：明确问题、分解问题、组建模型、检验模型结果和应用分析结果。模型生成器（Model Builder）是ArcGIS所提供的构造地理处理工作流和脚本的图形化建模工具。在模型中，分别定义不同的图形代表输入数据、输出数据、空间处理工具，它们以流程图的形式进行组合以创建高级的空间分析功能和流程，加速复杂地理处理模型的设计和实施。 通过对本次练习，我们可以认识如何在Model Builder 环境下通过绘制数据处理流程图的方式实现空间分析过程的自动化，加深对地理建模过程的认识，对各种GIS分析工具的用途有深入的理解。 2.实验要求 （1）确定目标，加载数据 （2）创建模型 （3）认识Model Builder操作界面 （4）编辑模型 （5）执行模型，查看结果：土壤侵蚀危险性分布图 （6）设置参数，保存模型 二、实验原理 利用 Model Builder 进行空间分析建模，实现土壤侵蚀危险性分析。 三、实验数据 矢量数据：研究区界线(Study Area)、植被(Vegetation)； 栅格数据：土壤类型栅格(Soilsgrid)、elevation.dem 四、实验内容及步骤 1. 确定目标，加载数据 （1）明确问题 目标：获取《土壤侵蚀危险性分布图》 土壤侵蚀影响因子确定：坡度（由DEM生成，权重50％）、土壤类型（权重25%）、植被覆盖（权重25%）。 根据不同土壤类型对土壤侵蚀危险性的影响力，给各种土壤类型赋值（1表示土壤侵蚀危险度较低，9表示较高）：Bedrock（基岩）1、Sandy loam（砂壤土）3、Clay（粘土）5、Clay loam（粘壤土）9。 根据不同植被类型对土壤侵蚀危险性的影响力，给各种植被类型赋值（1表示土壤侵蚀危险度较低，
ARCGIS空间分析基本操作 一、实验目的 1. 了解基于矢量数据和栅格数据基本空间分析的原理和操作。 2. 掌握矢量数据与栅格数据间的相互转换、栅格重分类(Raster Reclassify)、栅格计算－查询符合条件的栅格(Raster Calculator)、面积制表（Tabulate Area）、分区统计(Zonal Statistic)、缓冲区分析(Buffer) 、采样数据的空间内插(Interpolate)、栅格单元统计（Cell Statistic）、邻域统计（Neighborhood）等空间分析基本操作和用途。 3. 为选择合适的空间分析工具求解复杂的实际问题打下基础。 二、实验准备 预备知识： 空间数据及其表达 空间数据（也称地理数据）是地理信息系统的一个主要组成部分。空间数据是指以地球表面空间位置为参照的自然、社会和人文经济景观数据，可以是图形、图像、文字、表格和数字等。它是GIS所表达的现实世界经过模型抽象后的内容，一般通过扫描仪、键盘、光盘或其它通讯系统输入GIS。 在某一尺度下，可以用点、线、面、体来表示各类地理空间要素。 有两种基本方法来表示空间数据：一是栅格表达; 一是矢量表达。两种数据格式间可以进行转换。 空间分析 空间分析是基于地理对象的位置和形态的空间数据的分析技术，其目的在于提取空间信息或者从现有的数据派生出新的数据，是将空间数据转变为信息的过程。 空间分析是地理信息系统的主要特征。空间分析能力（特别是对空间隐含信息的提取和传输能力）是地理信息系统区别与一般信息系统的主要方面，也是评价一个地理信息系统的主要指标。 空间分析赖以进行的基础是地理空间数据库。 空间分析运用的手段包括各种几何的逻辑运算、数理统计分析，代数运算等数学手段。 空间分析可以基于矢量数据或栅格数据进行，具体是情况要根据实际需要确定。 空间分析步骤 根据要进行的空间分析类型的不同，空间分析的步骤会有所不同。通常，所有的空间分析都涉及以下的基本步骤，具体在某个分析中，可以作相应的变化。 空间分析的基本步骤: a)确定问题并建立分析的目标和要满足的条件 b)针对空间问题选择合适的分析工具 c)准备空间操作中要用到的数据。
空间想象不仅是认识现实世界空间形式不可缺少的能力因素，而且是形成和发展创造力的源泉，因此，空间想象能力是数学教学必须培养的基本数学能力之一。 空间想象能力的培养与几何教学有关。直观几何教学的主要任务是通过学生制作模型、搭积木、画图、识图，对图形进行描述、分类、整理等学习活动，认识、理解我们所处的现实世界的几何空间，以形成空间观念。综合几何教学的主要任务是运用逻辑推理的方法研究图形的性质，帮助学生从逻辑的角度进一步弄清几何空间的意义，学会几何思考的方法，培养空间想象能力和逻辑推理能力。 模块一、对称图形 【例1】将一块正方形纸片沿对角线折叠一次，然后在得到的三角形的三个角上各挖去一个圆洞，再展开正方形纸片，得到图1中的。（填序号） ①②③④ 【考点】几何中的空间想象【难度】1星【题型】填空 【解析】逆推法③ 【答案】③ 【例2】(希望杯五年级一试第8题，6分)下面四幅图形中不是轴对称图形的是。（填序号）（注：如果一个图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做对称图形。） 【考点】几何中的空间想象【难度】1星【题型】填空 【解析】③④ 【答案】③④ 模块二、平面图形 【例3】(希望杯四年级二试第5题，6分)将一张长方形纸对折再对折（如图），然后沿着图中的虚线剪下，得到①、②两部分，将①展开后得到的平面图形一定是。（填“三角形”、“长方形”、“梯 形”或“菱形”） 例题精讲 知识点拨 4-1-4.几何中的空间想象
展开 ②① 【考点】几何中的空间想象 【难度】2星 【题型】填空 【解析】 菱形 【答案】菱形 【例 4】 (希望杯六年级一试第18题，6分)如图，房间里有一只老鼠，门外有一只小猫，如果每块正方形地 砖的连长为50厘米，那么老鼠在地面上能避开小猫视线的活动范围为_________平方厘米.(将小猫和老鼠分别看作两个点,墙的厚度忽略不计) 猫 【考点】几何中的空间想象 【难度】4星 【题型】填空 【解析】 猫看不到的地方如图所示阴影部分，其中梯形面积为（1+3.5）×2.5÷2=5.625平方米.三角形的面积为2×1÷2=1平方米.老鼠的活动范围共6.625平方米，即66250平方厘米. 【答案】66250平方厘米 模块三、立体图形 【例 5】 用红、黄、蓝、白、黑、绿六种颜色分别涂在正方体的各个面上，每一个面只涂一种颜色．如图 所示，现有涂色方式完全一样的四块小正方体拼成了一个长方体．试回答：每个小正方体中，红色面的对面涂的是什么色？黄色面的对面涂的是什么色？黑色面的对面是什么色？ 【考点】几何中的空间想象 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 在能看见的9个面中红色出现的次数最多．观察图8—4中最上面的一个正方体，由于红色和黑色、
空间向量及其运算 3.1.1 空间向量及其加减运算 教学目标： （1）通过本章的学习，使学生理解空间向量的有关概念。 （2）掌握空间向量的加减运算法则、运算律，并通过空间几何体加深对运算的理解。 能力目标： （1）培养学生的类比思想、转化思想，数形结合思想，培养探究、研讨、综合自学应用能力。 （2）培养学生空间想象能力，能借助图形理解空间向量加减运算及其运算律的意义。（3）培养学生空间向量的应用意识 教学重点： （1）空间向量的有关概念 （2）空间向量的加减运算及其运算律、几何意义。 （3）空间向量的加减运算在空间几何体中的应用 教学难点： （1）空间想象能力的培养，思想方法的理解和应用。 （2）空间向量的加减运算及其几何的应用和理解。 考点：空间向量的加减运算及其几何意义，空间想象能力，向量的应用思想。 易错点：空间向量的加减运算及其几何意义在空间几何体中的应用 教学用具：多媒体 教学方法：研讨、探究、启发引导。 教学指导思想：体现新课改精神，体现新教材的教学理念，体现学生探究、主动学习的思维习惯。 教学过程： （老师）：同学们好！首先请教同学们一个问题：物理学中，力、速度和位移是什么量？怎样确定？ （学生）：矢量，由大小和方向确定 （学生讨论研究）（课件）引入：（我们看这样一个问题）有一块质地均匀的正三角形面的钢板，重500千克，顶点处用与对边成60度角，大小200千克的三个力去拉三角形钢板，问钢板在这些力的作用下将如何运动？这三个力至少多大时，才能提起这块钢板？ （老师）：我们研究的问题是三个力的问题，力在数学中可以看成是什么？ （学生）向量 （老师）：这三个向量和以前我们学过的向量有什么不同？ （学生）这是三个向量不共面 （老师）：不共面的向量问题能直接用平面向量来解决么？ （学生）：不能，得用空间向量 （老师）：是的，解决这类问题需要空间向量的知识这节课我们就来学习空间向量板书：空间向量及其运算 （老师）:实际上空间向量我们随处可见，同学们能不能举出一些例子？ （学生）举例 （老师）：然后再演示（课件）几种常见的空间向量身影。（常见的高压电线及支架所在向量，长方体中的三个不共线的边上的向量，平行六面体中的不共线向量） （老师）:接下来我们我们就来研究空间向量的知识、概念和特点，空间向量与平面向量既有联系又有区别，我们将通过类比的方法来研究空间向量，首先我们复习回顾一下平面向量
空间分析复习提纲 一、基本概念(要求：基本掌握其原理及含义，能做名词解释) 1、空间分析：是基于地理对象的位置和形态的空间数据的分析技术，其目的在于提取和传输空间信息。 2、空间数据模型：以计算机能够接受和处理的数据形式，为了反映空间实体的某些结构特性和行为功能，按一定的方案建立起来的数据逻辑组织方式，是对现实世界的抽象表达。分为概念模型、逻辑模型、物理模型。 3、叠置分析：是指在同一地区、同一比例尺、同一数学基础、不同信息表达的两组或多组专题要素的图形或数据文件进行叠加，根据各类要素与多边形边界的交点或多边形属性建立多重属性组合的新图层，并对那些结构和属性上既互相重叠，又互相联系的多种现象要素进行综合分析和评价；或者对反映不同时期同一地理现象的多边形图形进行多时相系列分析，从而深入揭示各种现象要素的内在联系及其发展规律的一种空间分析方法。 4、网络分析：网络分析是通过研究网络的状态以及模拟和分析资源在网络上的流动和分配情况，对网络结构及其资源等的优化问题进行研究的一种空间分析方法。 5、缓冲区分析：即根据分析对象的点、线、面实体，自动建立它们周围一定距离的带状区，用以识别这些实体或主体对邻近对象的辐射范围或影响度，以便为某项分析或决策提供依据。其中包括点缓冲区、线缓冲区、面缓冲区等。 6、最佳路径分析：也称最优路径分析，以最短路径分析为主，一直是计算机科学、运筹学、交通工程学、地理信息科学等学科的研究热点。这里“最佳”包含很多含义，不仅指一般地理意义上的距离最短，还可以是成本最少、耗费时间最短、资源流量（容量）最大、线路利用率最高等标准。 7、空间插值：空间插值是指在为采样点估计一个变量值的过程，常用于将离散点的测量数据转换为连续的数据曲面，它包括内插和外推两种算法。，前者是通过已知点的数据计算同一区域内其他未知点的数据，后者则是通过已知区域的数据，求未知区域的数据。 8、空间量算：即空间量测与计算，是指对GIS数据库中各种空间目标的基本参数进行量算与分析，如空间目标的位置、距离、周长、面积、体积、曲率、空间形态以及空间分布等，空间量算是GIS获取地理空间信息的基本手段，所获得的基本空间参数是进行复杂空间分析、模拟与决策制定的基础。 9、克里金插值法：克里金插值法是空间统计分析方法的重要内容之一，它是建立在半变异函数理论分析基础上，对有限区域内的区域变化量取值进行无偏最优估计的一种方法，不仅考虑了待估点与参估点之间的空间相关性，还考虑了各参估点间的空间相关性，根据样本空间位置不同、样本间相关程度的不同，对每个参估点赋予不同的权，进行滑动加权平均，以估计待估点的属性值。 二、分析类(要求：重点掌握其原理及含义，能结合本专业研究方向做比较详细的阐述) 1、空间数据模型的分类？ 答：分为三类： ①场模型：用于表述二维或三维空间中被看作是连续变化的现象； ②要素模型：有时也称对象模型，用于描述各种空间地物； ③网络模型：一种某一数据记录可与任意其他多个数据记录建立联系的有向图结构的数据模型，可 以模拟现实世界中的各种网络。
2017届高二数学导学案编写 审核 审批 课题：立体几何中的向量方法—证明平行和垂直 第 周 第 课时 班 组 组评 姓名 师评 【使用说明】 1、依据学习目标。课前认真预习，完成自主学习内容； 2、课上思考，积极讨论，大胆展示，充分发挥小组合作优势，解决疑难问题； 3、当堂完成课堂检测题目； 4、★的多少代表题目的难以程度。★越多说明试题越难。不同层次学生选择相应题目完成 【学习目标】1．理解空间向量的概念；掌握空间向量的加法、减法和数乘； 2．了解空间向量的基本定理； 3．掌握空间向量的数量积的定义及其性质；理解空间向量的夹角的概念；掌握空间向量的数量积的概念、性质和运算律；了解空间向量的数量积的几何意义；能用向量的数量积判断向量的共线与垂直。 【教学重点】理解空间向量的概念；掌握空间向量的运算方法 【教学难点】 理解空间向量的概念；掌握空间向量的运算方法 【学习方法】学案导学法，合作探究法。 【自主学习·梳理基础】 1、 考点深度剖析 利用空间向量证明平行或垂直是高考的热点，内容以解答题为主，主要围绕考查空间直角坐标系的建立、空间向量的坐标运算能力和分析解决问题的能力命制试题，以多面体为载体、证明线面(面面)的平行(垂直)关系是主要命题方向． 2．【课本回眸】 1.直线的方向向量与平面的法向量的确定 ①直线的方向向量：l 是空间一直线，A ，B 是直线l 上任意两点，则称AB → 为直线l 的方向向量，与AB → 平行的任意非零向量也是直线l 的方向向量． ②平面的法向量可利用方程组求出：设a ，b 是平面α内两不共线向量，n 为平面α的法向量， 则求法向量的方程组为??? ?? n·a ＝0， n·b ＝0. 2.用向量证明空间中的平行关系 ①设直线l 1和l 2的方向向量分别为v 1和v 2，则l 1∥l 2(或l 1与l 2重合)?v 1∥v 2. ②设直线l 的方向向量为v ，与平面α共面的两个不共线向量v 1和v 2，则l ∥α或l ?α?存在两个实数x ，y ，使v ＝xv 1＋yv 2. ③设直线l 的方向向量为v ，平面α的法向量为u ，则l ∥α或l ?α?v ⊥u . ④设平面α和β的法向量分别为u 1，u 2，则α∥β?u 1∥u 2. 3. 用向量证明空间中的垂直关系 ①设直线l 1和l 2的方向向量分别为v 1和v 2，则l 1⊥l 2?v 1⊥v 2?v 1·v 2＝0. ②设直线l 的方向向量为v ，平面α的法向量为u ，则l ⊥α?v∥u . ③设平面α和β的法向量分别为u 1和u 2，则α⊥β?u 1⊥u 2?u 1·u 2＝0. 4.共线与垂直的坐标表示 设a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3)，则a ∥b ?a ＝λb ?a 1＝λb 1，a 2＝λb 2，a 3＝λb 3(λ∈R)， a ⊥ b ?a·b ＝0?a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3＝0(a ，b 均为非零向量)． 【课堂合作探究】 探究一：如图，在棱长为2的正方体1111D C B A ABCD -中， N M F E ,,,分别是棱1111,,,D A B A AD AB 的中点，点Q P ,分别在 棱 1DD ,1BB 上移动，且()20<<==λλBQ DP . 当1=λ时，证明：直线//1BC 平面EFPQ . 探究二：如图所示，在四棱锥P -ABCD 中，PA ⊥底面ABCD ，AB ⊥AD ，AC ⊥CD ，∠ABC ＝60°，PA ＝AB ＝BC ，E 是PC 的中点．证明： (1)AE ⊥CD ； (2)PD ⊥平面ABE .
空间分析复习资料 空间分析复习资料 (1) 一、名词解释 (2) 2、网络结构模型 (2) 3、空间数据模型： (2) 4、叠置分析 (2) 5、网络分析： (2) 6、栅格数据的聚类分析 (2) 8、坡度 (2) 9、坡向 (3) 12、空间插值 (3) 13、虚拟现实 (3) 16、再分类 (3) 17、空间变换 (3) 18、路径分析 (4) ※20、栅格结构 (4) 21、矢量结构 (4) 二、简答题 (4) 1、空间数据模型的分类 (4) 2、场模型的特征 (5) ※4、试比较矢量与栅格数据的优缺点 (5) 5、基于栅格结构的空间变换有哪几种方式？ (5) 6、简述空间分析的定义，空间分析在GIS中的地位和作用？ (6) 7、空间分析的内容包含哪几个方面？ (6) 12、地理空间数据立方体？ (6) 13、联机分析处理技术？ (7) 14、地理空间数据挖掘典型方法？ (7) 15、空间分析的研究对象？ (8) 16、空间分析的研究目标？ (8) 17、我国常用的坐标系统，有什么区别？ (9) 18、地理空间问题可分为哪四类？ (10) 19、尺度的涵义？ (10) 20、无级比例尺GIS? (11) 21、尺度变换方法有哪几个？ (12) 22、阐述邻近度分析、叠加分析和网络分析的用途？ (12) 23、网络分析功能有哪六个方面？各个方面有什么用途？ (13) 24、常见的克里格插值模型有哪几个？ (14) 25、三维景观分析有哪些内容？ (15) 三、问答题 (15) ※1、三维GIS所研究的内容以及实现的主要功能包括哪些？ (15) ※3、地理信息系统与一般管理信息系统有什么区别和共同点？ (16)
§8.5 空间向量及其运算 1． 空间向量的概念 (1)定义：空间中既有大小又有方向的量叫作空间向量． (2)向量的夹角：过空间任意一点O 作向量a ，b 的相等向量OA →和OB → ，则∠AOB 叫作向量a ，b 的夹角，记作〈a ，b 〉，0≤〈a ，b 〉≤π. 2． 共线向量定理和空间向量基本定理 (1)共线向量定理 对空间任意两个向量a ，b (b ≠0)，a ∥b 的充要条件是存在实数λ，使得a ＝λb . (2)空间向量基本定理 如果向量e 1，e 2，e 3是空间三个不共面的向量，a 是空间任一向量，那么存在唯一一组实数λ1，λ2，λ3使得a ＝λ1e 1＋λ2e 2＋λ3e 3，其中e 1，e 2，e 3叫作空间的一个基底． 3． 空间向量的数量积及运算律 (1)定义 空间两个向量a 和b 的数量积是一个数，等于|a ||b |cos 〈a ，b 〉，记作a ·b . (2)空间向量数量积的运算律 ①结合律：(λa )·b ＝λ(a·b )； ②交换律：a·b ＝b·a ； ③分配律：a·(b ＋c )＝a·b ＋a·c . 4． 空间向量的坐标表示及应用 (1)数量积的坐标运算 设a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3)， 则a·b ＝a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3. (2)共线与垂直的坐标表示 设a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3)， 则a ∥b ?a ＝λb ?a 1＝λb 1，a 2＝λb 2，a 3＝λb 3 (λ∈R )， a ⊥b ?a·b ＝0?a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3＝0(a ，b 均为非零向量)． (3)模、夹角公式 设a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3)， 则|a |＝a·a ＝a 21＋a 22＋a 23，
第八章 线性系统的状态空间分析与综合 习题及解答 8-1 已知电枢控制的直流伺服电机的微分方程组及传递函数 b a a a a a E dt di L i R U ++=+ dt d K E m b b θ= a m m i C M = dt d f dt d J M m m m m m θθ+=2 2 ) ()([)()(2m b m a a m m a m a m a m C K f R s R J f L s J L s C s U s ++++=Θ ⑴设状态变量m m x θ=1，m x θ =2，θ =3x 及输出量m y θ=，试建立其动态方程; ⑵设状态变量m m a x x i x θθ ===321,,及 m y θ=,试建立其动态方程。 解： （1）由题意可知： ??? ????=======123121x y x x x x x m m m m θθθθ ， 由已知 ???????+===++=m m m m m a m m m b b a a a a a f J M i C M K E E i L i R U θθθ 可推导出 ????? ????=++-+-===1 233 3221x y U J L C x J L C K f R x J L R J L f x x x x x a m a m m a m b m a m a a m a m 由上式，可列动态方程如下
=??????????321x x x ??? ?? ? ? ?????? ?+- +- m a a m m a m a m b m a J L R J f L J L C K f R 01 00010??????????321x x x +??????? ? ????? ???m a m J L C 00 a U y =[]001???? ??????321x x x （2）由题意可知：,1a i x =m m m y x x θθθ===,,32 可推导出 ???????? ???==-=-====+--=+--==2 3133 231111x y x J f x J C J f i J C x x x U L x L K x L R U L L K i L R i x m m m m m m m m a m m m m a a a b a a a a m a b a a a a θθθθθ 可列动态方程如下 []?? ?? ??????=321010x x x y 由 ?????===m m m x x x θθθ 321和 ??? ??===m m a x x i x θθ 321 得 ??? ? ????? -=-======3 133221x J f x J C J f i J C x x x x x m m m m m m m a m m m m m θθθθ 由上式可得变换矩阵为 ?????? ? ??????? -=m m m m J f J C T 0100 010 8-2 设系统微分方程为 u y y y y 66116=+++ 。式中，u 和y 分别为系统输入和输出量。试列写可控标准型（即矩阵A 为友矩阵）及可观测标准型(即矩阵A 为友矩阵转置)状态空间表达式，并画出状态变量图。 解： 由题意可得： 10110010220330R K a b x L L L x a a a x x U a C f x x m m J J m m ?? ??--???? ?????? ??????????=+??????????????????????- ????????
§4.4 线性空间的同构 下面讨论同构的概念在线性空间中的应用，以便将两个线性空间进行比较。设V 与V '都 是数域P 上的线性空间，在V 与V '上各有加法和数量乘法运算，并且都用普通的加法和乘法符号表示。 定义4.4.1 设V 与V '都是数域P 上的线性空间，如果存在V 到V '上的双映射σ满足 （1） )()()(βσασβασ+=+； （2） )()(ασασk k =， 其中βα,是V 中任意向量，k 是数域P 中任意数，则称σ为V 到V '的同构映射，并且称V 与V '是同构的。 同构的线性空间具有如下性质。 定理4.4.1 设V 与V '是数域P 上的同构线性空间，σ为V 到V '的同构映射，则 （1） )0(σ=0； （2） 对任意V ∈α，)()(ασασ-=-； （3） 如果m αα,,1 是V 的一个向量组，∈m k k ,,1 P ，则 )()()(1111m m m m k k k k ασασαασ++=++ ； （4） V 中向量组m αα,,1 线性相关当且仅当它们的像)(1ασ,)(,m ασ 是V '中线性相关的向量组； （5） 如果V 是n 维的，n εε,,1 是V 的一组基，则V '也是n 维的，并且 )(,),(1n εσεσ 是V '的一组基。 证明 （1）－(3) 由定义4.4.1即得。 （4） 如果向量组m αα,,1 线性相关，则存在不全为零的数∈m k k ,,1 P 使得 011=++m m k k αα 由（1）和（3）得 0)()(11'=++m m k k ασασ 所以)(1ασ,)(,m ασ 线性相关。 反过来，如果)(1ασ,)(,m ασ 线性相关，则存在不全为零的数∈m k k ,,1 P ，使得 0)()(11=++m m k k ασασ 即
空间向量及其运算 基础知识梳理 1.空间向量的有关概念 (1)空间向量：在空间中，具有________和________的量叫做空间向量. (2)相等向量：方向________且模________的向量. (3)共线向量：表示空间向量的有向线段所在的直线互相______________的向量. (4)共面向量：________________________________的向量. 2.共线向量、共面向量定理和空间向量基本定理 (1)共线向量定理 对空间任意两个向量a ，b (b ≠0)，a ∥b 的充要条件是________________________. 推论 如图所示，点P 在l 上的充要条件是： OP →＝OA →＋t a ①其中a 叫直线l 的方向向量，t ∈R ，在l 上取AB →＝a ， 则①可化为OP →＝________或OP →＝(1－t )OA →＋tOB →. (2)共面向量定理的向量表达式：p ＝____________，其中x ，y ∈R ，a ， b 为不共线向量，推论的表达式为MP →＝xMA →＋yMB →或对空间任意一点 O ，有OP →＝____________或OP →＝xOM →＋yOA →＋zOB →，其中x ＋y ＋z ＝ ______. (3)空间向量基本定理 如果三个向量a ，b ，c 不共面，那么对空间任一向量p ，存在有序实数组{x ，y ，z }，使得p ＝____________，把{a ，b ，c }叫做空间的一个基底. 3.空间向量的数量积及运算律 (1)数量积及相关概念 ①两向量的夹角 已知两个非零向量a ，b ，在空间任取一点O ，作OA →＝a ，OB →＝b ，则∠AOB 叫做向 量a 与b 的夹角，记作____________，其范围是____________，若〈a ，b 〉＝π2 ，则称a 与b __________，记作a ⊥b . ②两向量的数量积 已知空间两个非零向量a ，b ，则____________叫做向量a ，b 的数量积，记作__________，即__________________. (2)空间向量数量积的运算律 ①结合律：(λa )·b ＝____________；②交换律：a·b ＝__________； ③分配律：a·(b ＋c )＝__________. 4.空间向量的坐标表示及应用 (1)数量积的坐标运算 设a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3)，则a·b ＝________________. (2)共线与垂直的坐标表示 设a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3)， 则a ∥b ?______________?____________，____________，______________， a ⊥b ?__________?________________________(a ，b 均为非零向量). (3)模、夹角和距离公式 设a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3)， 则|a |＝a·a ＝__________________，
综合习题 1、简述空间分析的概念及其研究的目标。 概念：空间分析是集空间数据分析和空间模拟于一体的技术方法，通过地理计算和空间表达挖掘潜在空间信息，以解决实际问题。本质特征包括：（1）探测空间数据 中的模式；（2）研究空间数据间的关系并建立相应的空间数据模型；（3）提高 适合于所有观察模式处理过程的理解；（4）改进发生地理空间事件的预测能力 和控制能力。 目标：根本目标是建立有效的空间数据模型来表达地理实体的时空特性，发展面向应用的时空分析模拟方法，以数字化方式动态地、全局地描述地理实体和地理现象的空间分布关系，从而反映地理实体的内在规律和变化趋势。①认知。有效获取空间数据，并对其进行科学的组织描述，利用数据再现事物本身。②解释。理解和解释地理空间数据的背景过程，认识事件的本质规律③预报。在了解、掌握事件发生现状与规律的前提下，运用有关预测模型对未来的状况做出预测④调控。对地理空间发生的事件进行调控。 2、对比分析高斯平面直角坐标系与UTM坐标系的特点。 高斯- 克吕格投影与UTM投影都是 1按分带方法各自进行投影，各带坐标成独立系统； 2以中央经线投影为纵轴X，赤道投影为横轴Y，两轴交点即为各带的坐标原点。 3为了避免横坐标出现负值，投影中都规定将坐标纵轴西移500公里当作起始轴，而UTM南半球投影除了将纵轴西移500公里外，横轴南移10000公里。 4每一个投影带的坐标都是对本带坐标原点的相对值，为了区别某一坐标系统属于哪一带，通常在横轴坐标前加上带号。 5高斯－克吕格投影在低纬度和中纬度地区投影误差较大，UTM投影把中央子午线的长度比缩小至0.999 6，并使投影后两割线上无变形。 3、简述地图投影选择的一般原则。 1 GIS所采用的投影系统应与本国的基本地图系列所采用的投影系统一致； 2各比例尺GIS中的投影系统应与相应比例尺主要信息源地图的投影一致； 3各地区的GIS投影系统应与该地区所使用的投影系统一致； 4、分别阐述几何数据的量测尺度和属性数据的量测尺度。 几何 主要是比例尺，含义是指系统所用空间数据的精度和详细程度，系统中空间数据的精度高、要素选取多、数据详细而全面就说明空间数据的比例尺大；相反，则说明空间数据的比
《GIS空间分析原理与方法》期末复习资料 说明（注意）：以下部分黑色粗斜体题干表示该题可能是未知题目具体所问，或者未知遗漏还是多出要求，或者表示答案不明确等。所以仍需进一步检查核实。欢迎大家改修补充。 第一章地理空间数据分析与GIS 1、什么是地理空间数据分析？ 它是通过研究地理空间数据及其相应分析理论、方法和技术，探索、证明地理要素之间的关系，揭示地理特征和过程的内在规律和机理，实现对地理空间信息的认知、解释、预测和调控。 2、什么是地理系统数学模拟？其模拟的一般过程是？ 建立地理系统数学模型的过程称为地理系统的数学模拟（简称地理模型）。 地理系统数学模拟的一般过程是：①从实际的地理系统或其要素出发，对空间状态、空间成分、空间相互作用进行分析，建立地理系统或要素的数学模型；②经验检查，若与实际情况不符，则要重新分析，修改模型；若大致相符，则选择计算方法，进行程序设计、程序调试和上机运算，从而输出模型解；③分析模型解，若模型解出错，则修改模型；若模型解正确，则对成果进行地理解释，提出切实可行的方案。 3、地理空间数据挖掘的体系结构？ 地理空间数据挖掘是数据挖掘的一个研究分支，其实质是从地理空间数据库中挖掘时空系统中潜在的、有价值的信息、规律和知识的过程，包括空间模式与特征、空间与非空间数据之间的概要关系等。 地理空间数据挖掘的体系结构由以下四部分组成： （1）图形用户界面（交互式挖掘）； （2）挖掘模块集合； （3）数据库和知识库（空间、非空间数据库和相关概念）； （4）空间数据库服务器（如ESRI/Oracle SDE，ArcGIS以及其他空间数据库引擎）。 4、什么是地理空间数据立方体？ 地理空间数据立方体是一个面向对象的、集成的、以时间为变量的、持续采集空间与非空间数据的多维数据集合，组织和汇总成一个由一组维度和度量值定义的多维结构，用以支持地理空间数据挖掘技术和决策支持过程。 5、地理空间统计模型的分为几类，它们的定义分别是什么？ 地理空间统计模型大致可分为三类：地统计、格网空间模型和空间点分布形态。（1）地统计：是以区域化变量理论为基础，以变差函数为主要工具，研究空间分布上既具有随机性又具有结构性的自然现象的科学。它可以根据离散数据生成连续表面，通过空间自相关进行空间预测。 （2）格网空间模型：用以描述分布于有限（或无穷离散）空间点（或区域）上数据的空间关系。 （3）空间点分布形态：在自然科学研究中，许多资料是由点（或小区域）所构成的集合，比如，地震发生地点分布、树木在森林中的分布、某种鸟类鸟巢的分布、生物组织中细胞核的分布，太空中星球的分布等，称之为空间点分布形态，其中点的位置为
利用空间向量证明面面平行垂直 1.如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F，M分别为棱BB1，CD，AA1的中点．证 明：平面ADE⊥平面A1D1F. 2.如图，在直三棱柱ABC?A1B1C1中，∠ABC=90°，BC=2，CC1=4，点E在棱BB1 上，EB1=1，D，F，G分别为CC1，B1C1，A1C1的中点，EF与B1D相交于点H．求证：平面EGF//平面ABD 3.如图，在四棱锥P?ABCD中，底面ABCD是边长为1的正方形，PA⊥平面ABCD， PA=1，M为侧棱PD的中点．证明：平面MAC⊥平面PCD
4.如图，四边形是矩形，平面，，为中点． 证明：平面平面 5.如图，在底面是矩形的四棱锥P?ABCD中，PA⊥平面ABCD，PA=AB=2，BC=4， E是PD的中点．求证：平面PDC⊥平面PAD 6.如图，在正方体ABCD?A1B1C1D1中，E为棱DD1的中点． 求证：平面EAC⊥平面AB1C
7.如图，正三棱柱ABC?A1B1C1的所有棱长都为2，D为CC1中点． 求证：平面ABB1A1⊥平面A1BD PD。 8.如图，四边形ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，PD//QA，QA=AB=1 2证明：平面PQC⊥平面DCQ
答案和解析 1.解：以D 为原点，向量DA ????? ，DC ????? ，DD 1???????? 的方向分别为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立坐标系如图， 设正方体的棱长为1． 则D(0,0，0)，A(1,0，0)，E (1,1,1 2)，C 1(0,1，1)，M (1,0,1 2)， DA ????? =(1,0，0)，DE ?????? =(1,1,12)，C 1M ???????? =(1,?1,?1 2 )． 设平面ADE 的法向量为m ??? =(a,b ，c)， 则{DA ????? ·m ??? =0 DE ?????? ·m ??? =0?{a =0,a +b +12 c =0.令c =2，得m ??? =(0,?1,2)， 由D 1(0,0，1)，A 1(1,0，1)，F (0,12,0)，得D 1A 1?????????? =(1,0，0)，D 1F ??????? =(0,1 2 ,?1)， 设平面A 1D 1F 的法向量为n ? =(x,y ，z)，则{D 1A 1?????????? ·n ? =0D 1F ??????? ·n ? =0?{x =0,12y ?z =0. 令y =2，则n ? =(0,2，1)．∵m ??? ·n ? =(0,?1,2)·(0,2，1)=0?2+2=0， ∴m ??? ⊥n ? .∴平面ADE ⊥平面A 1D 1F . 2.证明：如图所示建立空间直角坐标系， 设AB =a ，则A 1(a,0，0)，B 1(0,0，0)，C 1(0,2，0)，F(0,1，0)，E(0,0，1)， A(a,0，4)，B(0,0，4)，D(0,2，2)，G(a 2,1，0)． 所以B 1D ???????? =(0,2，2)，AB ????? =(?a,0，0)，BD ?????? =(0,2，?2)． AB ????? =(?a,0，0)，BD ?????? =(0,2，?2)，GF ????? =(?a 2,0，0)，EF ????? =(0,1，?1)，所以AB ????? =2GF ????? ，BD ?????? =2EF ????? ，所以GF ????? //AB ????? ，EF ????? //BD ?????? ?所以GF // AB ，EF // BD ． 又GF ∩EF =F ，AB ∩BD =B ，所以平面EGF //平面ABD ．
第一专题 线性空间和线性变换 矩阵是研究线性模型最基本的工具之一。根据本书的性质，我们假定读者已具备了这方面的基础知识。本书的目的是对本科《线性代数》教材中没有论及或讨论不够充分，而在线性模型讨论中经常用到的一些矩阵知识，给予系统而扼要地叙述。 §1 线性空间 一、线性空间的概念与性质 线性空间是由具体的几何平面和空间的特征经过抽象提炼出来的一个数学概念。粗略地说，在一个非空集合上定义了线性运算，并且这种运算满足一定的规则，那么这个非空集合就成为一个线性空间。因此，一个线性空间必须有由线性运算规定的代数结构(由集合与满足一定运算规律的一些代数运算合在一起组成的系统)，以便于用数学方法对它研究。为了说明它的来源，在引入定义之前，先看几个熟知的例子。 例1 在解析几何中，我们讨论过三维空间中的向量。向量的基本属性是可以按平行四边形规律相加，也可以与实数作数量乘法。我们看到，不少几何和力学对象的性质是可以通过向量的这两种运算来描述的。 例 2 为了解线性方程组，我们讨论过以n 元有序数组)(21n ,a ,,a a 作为元素的n 维向量空间。对于它们，也有加法和数量乘法，那就是： ),()()(22112121n n n n b ,a ,b ,a b a ,b ,,b b ,a ,,a a +++=+ ).()(2121n n ,ka ,,ka ka ,a ,,a a k = 从这些例子中我们可以看到，所考虑的对象虽然不同，但它们有一个共同点，那就是它们都有加法和数量乘法这两种运算。抽取它们的共同点，把它们统一起来加以研究，我们可以引入线性空间的概念。
在第一个例子中，我们用实数和向量相乘。在第二个例子中用什么数和向量相乘，就要看具体情况。例如，在有理数域中解线性方程组时，用有理数去作数量乘法就足够了，而在复数域中解线性方程组时，就需要用复数去作运算。可见，不同的对象与不同的数域相联系。当我们引入抽象的线性空间的概念时，也必须选定一个确定的数域作为基础。 定义1 设F 是一个数集，其中包含0和1。如果F 中任意两个数（它们可以相同）的和、差、积、商（除数不是0）仍是F 中的数，那么称F 为数域。 显然，全体实数集R 、全体复数集C 、全体有理数集Q 等都是数域。而全体正实数集+R ，全体整数集Z 等都不是数域。 定义2 设V 是一非空集合,F 是数域（本书特指实数域）,对V 中任意两个元βα,,定义一个加法运算,记为“+”:V ∈+βα（元βα+称为α与β的和）；定义一个数乘运算:F k V k ∈∈ ,α（元αk 称为k 与α的数积）。这两种运算（也称为V 的线性运算）,满足下列规则,则称V 为数域F 上的线性空间（或向量空间）。 加法满足下面四条规则： (1) αββα+=+； (2) )()(γβαγβα++=++； (3) 在V 中存在零元素0；对任何V ∈α，都有αα=+0； (4) 对任何V ∈α，都有α的负元素V ∈β，使0=+βα，记αβ-=； 数量乘法满足下面两条规则： (5) αα=1； (6) αα)()(λμμλ=； 数量乘法与加法满足下面两条规则； (7) μαλααμλ+=+)(；
第三章空间向量与立体几何 §3.1空间向量及其运算 3.1.1 空间向量及其加减运算 师：这节课我们学习空间向量及其加减运算，请看学习目标。 学习目标：⒈理解空间向量的概念，掌握其表示方法； ⒉会用图形说明空间向量加法、减法、数乘向量及它们的运算律； ⒊能用空间向量的运算意义及运算律解决简单的立体几何中的问题． 师：在必修四第二章《平面向量》中，我们学习了平面向量的一些知识，现在我们一起来复习。（不要翻书） （在黑板或背投上呈现或边说边写） 1、在平面中，我们把具有__________________的量叫做平面向量； 2、平面向量的表示方法：
①几何表示法：_________________________ ②字母表示法：_________________________ （注意：向量手写体一定要带箭头） 3、平面向量的模表示_________________，记作____________ 4、一些特殊的平面向量： ①零向量：__________________________，记作___（零向量的方向具有任意性） ②单位向量：______________________________ （强调：都只限制了大小，不确定方向） ③相等向量：____________________________ ④相反向量：____________________________ 5、平面向量的加法： 6、平面向量的减法： 7、平面向量的数乘：实数λ与向量a的积是一个向量，记作λa，其长度和 方向规定如下： (1)|λa|＝|λ||a| (2)当λ＞0时，λa与a同向； 当λ＜0时，λa与a反向； 当λ＝0时，λa＝0. 8、向量加法和数乘向量满足以下运算律 加法交换律：a＋b＝b＋a 加法结合律：(a＋b)＋c＝a＋（b＋c） 数乘分配律：λ(a＋b)＝λa＋λb 数乘结合律：λ（aμ）=a) (λμ [师]：刚才我们复习了平面向量，那空间向量会是怎样，与平面向量有怎样的区别和联系呢?请同学们阅读书P84-P86.（5分钟） [师]：对比平面向量，我们得到空间向量的相关概念。（在刚复习的黑板或幻灯片上，只需将平面改成空间） [师]：空间向量与平面向量有什么联系？ [生]：向量在空间中是可以平移的．空间任意两个向量都可以用同一平面内的两条有向线段表示．因此我们说空间任意两个向量是共面的．所以凡涉及 空间两个向量的问题，平面向量中有关结论仍适用于它们。