高三解析几何习题答案解析

高考数学《解析几何》专项训练一、单选题1．已知直线l 过点A （a ，0）且斜率为1，若圆224x y +=上恰有3个点到l 的距离为1，则a 的值为( )A ．B ．±C ．2±D ．2．已知双曲线2222:1x y C a b-=(0,0)a b >>，过右焦点F 的直线与两条渐近线分别交于A ，B ，且AB BF =uu u r uu u r，则直线AB 的斜率为（ ） A ．13-或13B ．16-或16C ．2D ．163．已知点P 是圆()()22:3cos sin 1C x y θθ--+-=上任意一点，则点P 到直线1x y +=距离的最大值为（ ）AB ．C 1D 2+4．若过点(4,0)A 的直线l 与曲线22(2)1x y -+=有公共点，则直线l 的斜率的取值范围为（ ）A ．⎡⎣B ．(C ．33⎡-⎢⎣⎦D ．33⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭5．已知抛物线C ：22x py =的焦点为F ，定点()M ，若直线FM 与抛物线C 相交于A ，B 两点(点B 在F ，M 中间)，且与抛物线C 的准线交于点N ，若7BN BF =，则AF 的长为（ ）A ．78B ．1C ．76D6．已知双曲线2222:1x y C a b-=(0,0)a b >>的两个焦点分别为1F ,2F ，以12F F 为直径的圆交双曲线C 于P ,Q ,M ,N 四点，且四边形PQMN 为正方形，则双曲线C 的离心率为（ ）A ．2-BC ．2D7．已知抛物线C ：22(0)y px p =>的焦点F ，点00(2p M x x ⎛⎫>⎪⎝⎭是抛物线上一点，以M 为圆心的圆与直线2p x =交于A 、B 两点（A 在B 的上方），若5sin 7MFA ∠=，则抛物线C 的方程为（ ）A ．24y x =B ．28y x =C ．212y x =D ．216y x =8．已知离心率为2的椭圆E ：22221(0)x y a b a b +=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，过点2F 且斜率为1的直线与椭圆E 在第一象限内的交点为A ，则2F 到直线1F A ，y 轴的距离之比为（ ）A ．5B ．35C ．2D二、多选题9．已知点A 是直线:0l x y +=上一定点，点P 、Q 是圆221x y +=上的动点，若PAQ ∠的最大值为90o ，则点A 的坐标可以是（ ）A ．(B ．()1C ．)D ．)1,110．已知抛物线2:2C y px =()0p >的焦点为F ，F ，直线l 与抛物线C交于点A 、B 两点（点A 在第一象限），与抛物线的准线交于点D ，若8AF =，则以下结论正确的是（ ） A ．4p = B ．DF FA =uuu r uu rC ．2BD BF = D ．4BF =三、填空题11．已知圆C 经过(5,1),(1,3)A B 两点，圆心在x 轴上，则C 的方程为__________．12．已知圆()2239x y -+=与直线y x m =+交于A 、B 两点，过A 、B 分别作x 轴的垂线，且与x轴分别交于C 、D 两点，若CD =m =_____．13．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的焦距为4，()2,3A 为C 上一点，则C 的渐近线方程为__________.14．已知抛物线()220y px p =>，F 为其焦点，l 为其准线，过F 任作一条直线交抛物线于,A B 两点，1A 、1B 分别为A 、B 在l 上的射影，M 为11A B 的中点，给出下列命题： （1）11A F B F ⊥；（2）AM BM ⊥；（3）1//A F BM ；（4）1A F 与AM 的交点的y 轴上；（5）1AB 与1A B 交于原点. 其中真命题的序号为_________.四、解答题15．已知圆22:(2)1M x y ++=，圆22:(2)49N x y -+=，动圆P 与圆M 外切并且与圆N 内切，圆心P 的轨迹为曲线C . （1）求曲线C 的方程；（2）设不经过点(0,Q 的直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，直线QA 与直线QB 的斜率均存在且斜率之和为-2，证明：直线l 过定点.16．已知椭圆方程为22163x y +=．（1）设椭圆的左右焦点分别为1F 、2F ，点P 在椭圆上运动，求1122PF PF PF PF +⋅u u u r u u u u r的值；（2）设直线l 和圆222x y +=相切，和椭圆交于A 、B 两点，O 为原点，线段OA 、OB 分别和圆222x y +=交于C 、D 两点，设AOB ∆、COD ∆的面积分别为1S 、2S ，求12S S 的取值范围．参考答案1．D 【解析】 【分析】因为圆224x y +=上恰有3个点到l 的距离为1，所以与直线l 平行且距离为1的两条直线，一条与圆相交，一条与圆相切，即圆心到直线l 的距离为1，根据点到直线的距离公式即可求出a 的值． 【详解】直线l 的方程为：y x a =-即0x y a --=．因为圆224x y +=上恰有3个点到l 的距离为1，所以与直线l 平行且距离为1的两条直线，一条与圆相交，一条与圆相切，而圆的半径为2，即圆心到直线l 的距离为1．1=，解得a =故选：D ． 【点睛】本题主要考查直线与圆的位置关系的应用，以及点到直线的距离公式的应用，解题关键是将圆上存在3个点到l 的距离为1转化为两条直线与圆的位置关系，意在考查学生的转化能力与数学运算能力，属于中档题． 2．B 【解析】 【分析】根据双曲线的离心率求出渐近线方程，根据AB BF =u u u r u u u r，得到B 为AF 中点，得到B 与A 的坐标关系，代入到渐近线方程中，求出A 点坐标，从而得到AB 的斜率，得到答案. 【详解】因为双曲线2222:1x y C a b-=(0,0)a b >>，又222c e a =22514b a =+=，所以12b a =，所以双曲线渐近线为12y x =± 当点A 在直线12y x =-上，点B 在直线12y x =上时， 设(),A A Ax y (),B B B x y ，由(c,0)F 及B 是AF 中点可知22A B A B x c x y y +⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，分别代入直线方程，得121222A A A A y x y x c ⎧=-⎪⎪⎨+⎪=⋅⎪⎩，解得24A Ac x c y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以,24c c A ⎛⎫-⎪⎝⎭， 所以直线AB 的斜率AB AFk k =42cc c =--16=-，由双曲线的对称性得，16k =也成立. 故选：B. 【点睛】本题考查求双曲线渐近线方程，坐标转化法求点的坐标，属于中档题. 3．D 【解析】 【分析】计算出圆心C 到直线10x y +-=距离的最大值，再加上圆C 的半径可得出点P 到直线10x y +-=的距离的最大值. 【详解】圆C 的圆心坐标为()3cos ,sin θθ+，半径为1，点C 到直线10x y +-=的距离为sin 14d πθ⎛⎫===++≤+ ⎪⎝⎭因此，点P 到直线1x y +=距离的最大值为12122++=+. 故选：D. 【点睛】本题考查圆上一点到直线距离的最值问题，当直线与圆相离时，圆心到直线的距离为d ，圆的半径为r ，则圆上一点到直线的距离的最大值为d r +，最小值为d r -，解题时要熟悉这个结论的应用，属于中等题. 4．D 【解析】设直线方程为(4)y k x =-，即40kx y k --=，直线l 与曲线22(2)1x y -+=有公共点，圆心到直线的距离小于等于半径22411k k d k -=≤+，得222141,3k k k ≤+≤，选择C 另外，数形结合画出图形也可以判断C 正确． 5．C 【解析】 【分析】由题意画出图形，求出AB 的斜率，得到AB 的方程，求得p ，可得抛物线方程，联立直线方程与抛物线方程，求解A 的坐标，再由抛物线定义求解AF 的长． 【详解】解：如图，过B 作'BB 垂直于准线，垂足为'B ，则'BF BB =，由7BN BF =，得7'BN BB =，可得1sin 7BNB '∠=， 3cos 7BNB '∴∠=-，tan 43BNB '∠=又()23,0M ，AB ∴的方程为2343y x =-， 取0x =，得12y =，即10,2F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则1p =，∴抛物线方程为22x y =． 联立223432y x x y ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，解得23A y =．12172326A AF y ∴=+=+=． 故选：C ． 【点睛】本题考查抛物线的简单性质，考查直线与抛物线位置关系的应用，考查计算能力，是中档题． 6．D 【解析】 【分析】设P 、Q 、M 、N 分别为第一、二、三、四象限内的点，根据对称性可得出22,22P c ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，将点P 的坐标代入双曲线C 的方程，即可求出双曲线C 的离心率. 【详解】设双曲线C 的焦距为()20c c >，设P 、Q 、M 、N 分别为第一、二、三、四象限内的点， 由双曲线的对称性可知，点P 、Q 关于y 轴对称，P 、M 关于原点对称，P 、N 关于x 轴对称，由于四边形PQMN 为正方形，则直线PM 的倾斜角为4π，可得,22P c ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭， 将点P 的坐标代入双曲线C 的方程得2222122c c a b -=，即()22222122c c a c a -=-， 设该双曲线的离心率为()1e e >，则()2221221e e e -=-，整理得42420e e -+=，解得22e =，因此，双曲线C 故选：D. 【点睛】本题考查双曲线离心率的计算，解题的关键就是求出双曲线上关键点的坐标，考查计算能力，属于中等题. 7．C 【解析】 【分析】根据抛物线的定义，表示出MF ，再表示出MD ，利用5sin 7MFA ∠=，得到0x 和p 之间的关系，将M 点坐标，代入到抛物线中，从而解出p 的值，得到答案.【详解】抛物线C ：22(0)y px p =>， 其焦点,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭，准线方程2p x =-，因为点(002p M x x ⎛⎫> ⎪⎝⎭是抛物线上一点， 所以02p MF x =+AB所在直线2p x =， 设MD AB ⊥于D ，则02p MD x =-， 因为5sin 7MFA ∠=，所以57 MD MF=，即5272pxpx-=+整理得03x p=所以()3,66M p将M点代入到抛物线方程，得()26623p p=⨯，0p>解得6p=，所以抛物线方程为212y x=故选：C.【点睛】本题考查抛物线的定义，直线与圆的位置关系，求抛物线的标准方程，属于中档题.8．A【解析】【分析】结合椭圆性质，得到a,b,c的关系，设2AF x=，用x表示112,AF F F,结合余弦定理，用c表示x，结合三角形面积公式，即可。

47． 已知椭圆E ：()222210x y a b a b +=>>，其短轴为2．（1）求椭圆E 的方程；（2）设椭圆E 的右焦点为F ，过点()2,0G 作斜率不为0的直线交椭圆E 于M ，N 两点，设直线FM 和FN 的斜率为1k ，2k ，试判断12k k +是否为定值，若是定值，求出该定值；若不是定值，请说明理由．48． 如图，椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>⎛ ⎝⎭，P 为椭圆上的一动点.（1）求椭圆C 的方程；（2）设圆224:5O x y +=，过点P 作圆O 的两条切线1l ，2l ，两切线的斜率分别为1k ，2k . ①求12k k 的值；①若1l 与椭圆C 交于P ，Q 两点，与圆O 切于点A ，与x 轴正半轴交于点B ，且满足OPA OQB S S =△△，求1l 的方程.49． 已知椭圆E ：22221x y a b +=（a ＞b ＞0）的左、右焦点分別为12,F F ，离心率为e =左焦点1F 作直线1l 交椭圆E 于A ，B 两点，2ABF 的周长为8. （1）求椭圆E 的方程；（2）若直线2l ：y =kx +m (km <0)与圆O ：221x y +=相切，且与椭圆E 交于M ，N 两点，22MF NF +是否存在最小值？若存在，求出22MF NF +的最小值和此时直线2l 的方程.50． 已知动点M 与两个定点()0,0O ，()3,0A 的距离的比为12，动点M 的轨迹为曲线C .（1）求C 的轨迹方程，并说明其形状；（2）过直线3x =上的动点()()3,0P p p ≠分别作C 的两条切线PQ 、PR （Q 、R 为切点），N 为弦QR 的中点，直线l ：346x y +=分别与x 轴、y 轴交于点E 、F ，求NEF 的面积S的取值范围.51． 在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l ：20x y ++=和圆O ：221x y +=，P 是直线l 上一点，过点P 作圆C 的两条切线，切点分别为A ，B . （1）若PA PB ⊥，求点P 的坐标； （2）求线段PA 长的最小值；（3）设线段AB 的中点为Q ，是否存在点T ，使得线段TQ 长为定值？若存在，求出点T ；若不存在，请说明理由.52． 已知以1C 为圆心的圆221:1C x y +=.（1）若圆222:(1)(1)4C x y -+-=与圆1C 交于,M N 两点，求||MN 的值；（2）若直线:l y x m =+和圆1C 交于,P Q 两点，若132PC PQ ⋅=，求m 的值. 53． 已知圆()22:21M x y +-=，点P 是直线:20l x y +=上的一动点，过点P 作圆M 的切线P A ，PB ，切点为A ，B ．（1）当切线P A P 的坐标；（2）若PAM △的外接圆为圆N ，试问：当P 运动时，圆N 是否过定点？若存在，求出所有的定点的坐标；若不存在，请说明理由； （3）求线段AB 长度的最小值．54． 已知圆22:2O x y +=，直线:2l y kx =-．（1）若直线l 与圆O 交于不同的两点,A B ，当90AOB ∠=︒时，求实数k 的值；（2）若1,k P =是直线l 上的动点，过P 作圆O 的两条切线PC 、PD ，切点为C 、D ，试探究：直CD 是否过定点．若存在，请求出定点的坐标；否则，说明理由．55． 在平面直角坐标系xOy中，(A，B ，C 是满足π3ACB ∠=的一个动点． （1）求ABC 垂心H 的轨迹方程；（2）记ABC 垂心H 的轨迹为Γ，若直线l ：y kx m =+（0km ≠）与Γ交于D ，E 两点，与椭圆T ：2221x y +=交于P ，Q 两点，且||2||DE PQ =，求证：||k > 56． 平面上一动点C的坐标为),sin θθ.（1）求点C 轨迹E 的方程；（2）过点()11,0F -的直线l 与曲线E 相交于不同的两点,M N ，线段MN 的中垂线与直线l 相交于点P ，与直线2x =-相交于点Q .当MN PQ =时，求直线l 的方程.答案及解析47．（1）2212x y +=；（2）是定值，该定值为0．【分析】（1）依题意求得,a b ，进而可得椭圆E 的方程；（2）设直线MN 的方程为()()20y k x k =-≠，与椭圆E 方程联立，利用韦达定理和斜率公式即可求得12k k +的值. 【详解】（1）由题意可知：22b =，1b =，椭圆的离心率c e a ==a =①椭圆E 的标准方程：2212x y +=；（2）设直线MN 的方程为()()20y k x k =-≠．22(2)12y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y 整理得：()2222128820k x k x k +-+-=．设()11,M x y ，()22,N x y ， 则2122812k x x k +=+，21228212k x x k -=+，()()()1212121212121212222211111k x k x y y x x k k k x x x x x x x x ⎡⎤--+-+=+=+=-⎢⎥-----++⎢⎥⎣⎦222222228242122208282111212k k k k k k k k k k ⎡⎤-⎢⎥⎛⎫-+=-=-=⎢⎥ ⎪--⎝⎭⎢⎥-+⎢⎥++⎣⎦． ①120k k +=为定值．【点睛】关键点点睛：第（2）问的关键点是：得出()12121212221x x k k k x x x x ⎡⎤+-+=-⎢⎥-++⎢⎥⎣⎦.48．（1）2214x y +=；（2）①14- ；①yy =+【分析】（1）根据已知条件结合222c a b =-列关于,a b 的方程，解方程即可求解；（2）①设()00,P x y ，切线:l 00()y y k x x -=-，利用圆心到切线的距离列方程，整理为关于k 的二次方程，计算两根之积结合点P 在椭圆上即可求12k k ；①由OPA OQB S S =△△可得PA BQ =，可转化为A B P Q x x x x +=+，设1l ：y kx m =+，与椭圆联立可得P Q x x +，再求出A x 、B x ，即可求出k 的值，进而可得出m 的值，以及1l 的方程. 【详解】（1）因为22222234c a b e a a -===，所以2a b =，因为点⎛ ⎝⎭在椭圆上，所以221314a b +=即2213144b b +=， 解得：1b =，2a =，所以椭圆方程为：2214x y +=；（2）①设()00,P x y ，切线:l 00()y y k x x -=-即000kx y y kx -+-= 圆心()0,0O到切线的距离d r ==整理可得：2220000442055x k x y k y ⎛⎫--+-= ⎪⎝⎭，所以2020122200441451544455x y k k x x ⎛⎫-- ⎪-⎝⎭===---，①因为OPA OQB S S =△△所以PA BQ =，所以A P Q B x x x x -=-，所以A B P Q x x x x +=+， 设切线为1:l y kx m =+，由2244y kx m x y =+⎧⎨+=⎩可得：()222418440k x kmx m +++-= 所以2841P Q kmx x k -+=+， 令0y =可得B mx k=-，设(),A A A x kx m +， 则1A OA A kx m k x k +==-，所以21A km x k -=+， 所以228411P Q km m kmx x k k k --+==-+++， 整理可得：()()()2222814121k k k k +=++，所以221k =，解得：k =， 因为圆心()0,0O 到1:l y kx m =+距离d ，所以mm =，因为0B mx k=->，所以当k =m =k =时，m =；所以所求1l的方程为y =或y = 【点睛】思路点睛：圆锥曲线中解决定值、定点的方法（1）从特殊入手，求出定值、定点、定线，再证明定值、定点、定线与变量无关； （2）直接计算、推理，并在计算、推理的过程中消去变量是此类问题的特点，设而不求的方法、整体思想和消元思想的运用可以有效的简化运算.49．（1）2214x y +=；（2）最小值为2，0x =或0x +-=.【分析】(1)由椭圆定义结合已知求出a ，半焦距c 即可得解；(2)由直线2l 与圆O 相切得221m k =+，联立直线2l 与椭圆E 的方程消去y ，借助韦达定理表示出22MF NF +，利用函数思想方法即可作答. 【详解】（1）依题意，结合椭圆定义知2ABF 的周长为4a ，则有4a =8，即a =2，又椭圆的离心率为c e a =c =2221b a c =-=， 所以椭圆E 的方程为2214x y +=；（2）因直线2l ：y =kx +m (km <0)与圆O ：221x y +=1=，即221m k =+，设()()()112212,,,,2,2M x y N x y x x ≤≤，而点M 在椭圆E 上，则221114x y +=，即221114x y =-，又2F ，21|2|MF x =-=12x -，同理222NF x =，于是得)22124MF NF x x +=+， 由2214y kx mx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 得：()222148440k x kmx m +++-=，显然Δ0>，则122814km x x k +=-+， 又km <0，且221m k =+，因此得1228||14km x x k +=+令2411t k =+≥，则12x x +=113t =，即t =3时等号成立，于是得22MF NF +存在最小值，且)221242MF NF x x +=+≥，22MF NF +的最小值为2，由2221413m k k ⎧=+⎨+=⎩，且km <0，解得k m ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或k m ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩. 所以所求直线2l的方程为y x =y x =0x =或0x +=.【点睛】关键点睛：解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：(1)观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；(2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题． 50．（1）()2214x y ++=，曲线C 是以1,0为圆心，半径为2的圆；（2）5542⎡⎤⎢⎥⎣⎦，.【分析】（1）设出动点M 坐标，代入距离比关系式，化简方程可得；（2）先求切点弦方程，再根据切点弦过定点及弦中点性质得出N 点轨迹，然后求出动点N 到定直线EF 的距离最值，最后求出面积最值.切点弦方程的求法可用以下两种方法.法一：由两切点即为两圆公共点，利用两圆相交弦方程（两圆方程作差）求出切点弦方程；法二：先分别求过Q 、R 两点的切线方程，再代入点P 坐标，得到Q 、R 两点都适合的同一直线方程，即切点弦方程. 【详解】解：（1）设(),M x y ，由12MO MA =12=. 化简得22230x y x ++-=，即()2214x y ++=. 故曲线C 是以1,0为圆心，半径为2的圆.（2）法一(由两圆相交弦方程求切点弦方程)：由题意知,PQ 、PR 与圆相切，Q 、R 为切点，则DQ PQ ⊥，DR PR ⊥，则D 、R 、P 、Q 四点共圆，Q 、R 在以DP 为直径的圆上(如图).设()1,0D -，又()()3,0P p p ≠，则DP 的中点为1,2p ⎛⎫⎪⎝⎭，DP .以线段DP 为直径的圆的方程为()22212p x y ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭⎝⎭， 整理得22230x y x py +---=①(也可用圆的直径式方程()()()()1300x x y y p +-+--=化简得. ) 又Q 、R 在C ：22230x y x ++-=①上， 由两圆方程作差即①-①得：40x py +=. 所以，切点弦QR 所在直线的方程为40x py +=. 法二(求Q 、R 均满足的同一直线方程即切点弦方程)： 设()1,0D -，()11,Q x y ，()22,R x y .由DQ PQ ⊥，可得Q 处的切线上任一点(,)T x y 满足0QT DQ ⋅=(如图)， 即切线PQ 方程为()()()()1111100x x x y y y -++--=.整理得()221111110x x y y x y x ++---=.又22111230x y x ++-=，整理得()111130x x y y x +++-=.同理，可得R 处的切线PR 方程为()222130x x y y x +++-=. 又()3,P p 既在切线PQ 上，又在切线PR 上，所以()()11122231303130x py x x py x ⎧+++-=⎪⎨+++-=⎪⎩，整理得11224040x py x py +=⎧⎨+=⎩. 显然，()11,Q x y ，()22,R x y 的坐标都满足直线40x py +=的方程. 而两点确定一条直线，所以切点弦QR 所在直线的方程为40x py +=. 则QR 恒过坐标原点()0,0O .由()2240,14x py x y +=⎧⎪⎨++=⎪⎩消去x 并整理得()22168480p y py +--=. 设()11,Q x y ，()22,R x y ，则122816py y p +=+.点N 纵坐标1224216N y y py p +==+. 因为0p ≠，显然0N y ≠，所以点N 与点()1,0D -，()0,0O 均不重合.(或者由对称性可知，QR 的中点N 点在x 轴上当且仅当点P 在x 轴上，因为0p ≠，点P 不在x 轴上，则点N 也不在x 轴上，所以点N 与D 、O 均不重合.) 因为N 为弦QR 的中点，且()1,0D -为圆心，由圆的性质，可得DN QR ⊥，即DN ON ⊥(如图).所以点N 在以OD 为直径的圆上，圆心为1,02G ⎛⎫- ⎪⎝⎭，半径12r =.因为直线346x y +=分别与x 轴、y 轴交于点E 、F ，所以()2,0E ，30,2F ⎛⎫⎪⎝⎭，52EF =.又圆心1,02G ⎛⎫- ⎪⎝⎭到直线3460x y +-=的距离32d ==. 设NEF 的边EF 上的高为h ，则点N 到直线346x y +=的距离h 的最小值为31122d r -=-=； 点N 到直线346x y +=的距离h 的最大值为31222d r +=+=(如图).则S 的最小值min 1551224S =⨯⨯=，最大值max 1552222S =⨯⨯=.因此，NEF 的面积S 的取值范围是5542⎡⎤⎢⎥⎣⎦，.【点睛】设00(,)P x y 是圆锥曲线外一点，过点P 作曲线的两条切线，切点为A 、B 两点，则 A 、B 两点所在的直线方程为切点弦方程.常见圆锥曲线的切点弦方程有以下结论： 圆222()()x a y b r -+-=的切点弦方程：200()()()()x a x a y b y b r --+--=， 圆220x y Dx Ey F ++++=的切点弦方程： 0000022x x y yx x y y D E F ++++++= 椭圆22221x y a b+=的切点弦方程：00221x x y y a b +=；双曲线22221x y a b-=的切点弦方程：00221x x y y a b -=；抛物线22y px =的切点弦方程为：00()y y p x x =+.特别地，当00(,)P x y 为圆锥曲线上一点时，可看作两切线重合，两切点A 、B 重合，以上切点弦方程即曲线在P 处的切线方程.51．（1）()1,1P --；（2）1；（3）存在点11,44T ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，使得线段TQ 长为定值.理由见解析.【分析】（1）依题意可得四边形PAOB 为正方形，设(),2P x x --，利用平面直角坐标系上两点的距离公式得到方程，计算可得；（2）由221PA PO =-可知当线段PO 长最小时，线段PA 长最小，利用点到线的距离公式求出PO 的最小值，即可得解；（3）设()00,2P x x --，求出以OP 为直径的圆的方程，即可求出公共弦AB 所在直线方程，从而求出动点Q 的轨迹方程，即可得解； 【详解】解：（1）若PA PB ⊥，则四边形PAOB 为正方形， 则P①P 在直线20x y ++=上，设(),2P x x --，则OP =，解得1x =-，故()1,1P --.（2）由221PA PO =-可知当线段PO 长最小时，线段PA 长最小. 线段PO 长最小值即点O 到直线l的距离，故min PO ==所以min 1PA =.（3）设()00,2P x x --，则以OP 为直径的圆的方程为()2222000022224x x x x x y +----⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 化简得()220020x x x x y y -+++=，与221x y +=联立，可得AB 所在直线方程为()0021x x x y -+=，联立()002221,1,x x x y x y ⎧-+=⎨+=⎩得()222000002443024x x x x x x x ++----=， ①Q 的坐标为002200002,244244x x x x x x --++++⎛⎫⎪⎝⎭，可得Q 点轨迹为22111448x y ⎛⎫⎛⎫+++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，圆心11,44⎛⎫-- ⎪⎝⎭，半径R =.其中原点()0,0为极限点（也可以去掉）.故存在点11,44T ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，使得线段TQ 长为定值.【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系、方程思想、数形结合方法、转化方法，考查运算求解能力和应用意识．52．（1；（2）m = 【分析】（1）由两个圆相交，可将两个圆的方程相减求得直线MN 的方程.利用圆心到直线的距离，结合垂径定理即可求得||MN 的值.（2）设()()1122,,,P x y Q x y ，利用向量的坐标运算表示出1,PC PQ .将直线方程与圆的方程联立，化简后由>0∆求得m 的取值范围，并表示出12x x +，12x x ，进而由直线方程表示出12y y .根据平面向量数量积的坐标运算，代入化简计算即可求得m 的值. 【详解】（1）直线MN 的方程为2222(1)(1)410x y x y -+----+=， 即2 2 10x y ++=；故圆1C 的圆心到2210x y ++=的距离d =故||MN == （2）设()()1122,,,P x y Q x y ，则()()1112121,,,PC x y PQ x x y y =--=--，由22,1,y x m x y =+⎧⎨+=⎩化简可得222210x mx m ++-=， 故()222481840,m m m ∆=--=->解得m < 12x x m +=-，2121,2m x x -=所以()()()212121212y y x m x m x x m x x m =++=+++，又()()2211121211212113,,2PC PQ x y x x y y x x y y x y ⋅=--⋅--=--++=， 又22111x y +=故121212x x y y +=-，故()21212122x x m x x m +++=-， 将12x x m +=-，2121,2m x x -=代入可得222112m m m --+=-，解得m =又因为m <所以2m =± 【点睛】本题考查了圆与圆的位置关系及公共弦长度的求法，直线与圆位置关系的综合应用，由韦达定理求参数的值，平面向量数量积的运算，综合性强，计算量大，属于难题.53．（1）()0,0P 或84,55P ⎛⎫- ⎪⎝⎭；（2）圆过定点()0,2，42,55⎛⎫- ⎪⎝⎭；（3）当25b =时，AB 有最小【分析】（1）设()2,P b b -，由MP b ，得出结果；（2）因为A 、P 、M 三点的圆N 以MP 为直径，所以圆N 的方程为()()222242224b b b x b y +-+⎛⎫++-=⎪⎝⎭，化简为()()222220x y b x y y -+++-=，由方程恒成立可知2222020x y x y y -+=⎧⎨+-=⎩，即可求得动圆所过的定点； （3）由圆M 和圆N 方程作差可得直线AB 方程，设点()0,2M 到直线AB 的距离d ，则AB =.【详解】（1）由题可知，圆M 的半径1r =，设()2,P b b -， 因为P A 是圆M 的一条切线，所以90MAP ∠=︒，所以2MP ==，解得0b =或45b =， 所以点P 的坐标为()0,0P 或84,55P ⎛⎫- ⎪⎝⎭．（2）设()2,P b b -，因为90MAP ∠=︒， 所以经过A 、P 、M 三点的圆N 以MP 为直径， 其方程为()()222242224b b b x b y +-+⎛⎫++-=⎪⎝⎭， 即()()222220x y b x y y -+++-=，由2222020x y x y y -+=⎧⎨+-=⎩， 解得02x y =⎧⎨=⎩或4525x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以圆过定点()0,2，42,55⎛⎫- ⎪⎝⎭．（3）因为圆N 方程为()()222242224b b b x b y +-+⎛⎫++-=⎪⎝⎭， 即()222220x y bx b y b ++-++=①又圆22:430M x y y +-+=①①-①得圆M 方程与圆N 相交弦AB 所在直线方程为 ()22230bx b y b --+-=．点()0,2M 到直线AB的距离d =所以相交弦长AB == 所以当25b =时，AB【点睛】本题考查直线和圆的位置关系，考查定点问题和距离的最值问题，难度较难. 54．（1）k =（2）直线CD 过定点(1,1)- 【分析】（1）由已知结合垂径定理求得圆心到直线的距离，再由点到直线的距离公式列式求得k ； （2）解法1：设切点11(,)C x y ，22(,)D x y ，动点00(,)P x y ，求出两条切线方程，计算出直线CD 的方程，从而得到定点坐标；解法2：由题意可知，O 、P 、C 、D 四点共圆且在以OP为直径的圆上，求出公共弦所在直线方程，再由直线系方程求得定点坐标. 【详解】（1）2AOB π∠=，∴点O 到l 的距离2d r =，k = （2）解法1：设切点11(,)C x y ，22(,)D x y ，动点00(,)P x y ，则圆在点C 处的切线方程为 1111()()0y y y x x x -+-=，所以221111x x y y x y +=+，即112x x y y +=同理，圆在点D 处的切线方程为222x x y y += 又点00(,)P x y 是两条切线的交点， 10102x x y y ∴+=，20202x x y y +=，所以点()11,C x y ，()22,D x y 的坐标都适合方程002x x y y +=， 上述方程表示一条直线，而过C 、D 两点的直线是唯一的， 所以直线CD 的方程为：002x x y y +=. 设(,2)P t t -，则直线CD 的方程为(2)2tx t y +-=， 即()(22)0x y t y +-+=， ∴0220x y y +=⎧⎨+=⎩，解得11x y =⎧⎨=-⎩，故直线CD 过定点(1,1)-.解法2：由题意可知：O 、P 、C 、D 四点共圆且在以OP 为直径的圆上， 设(,2)P t t -，则此圆的方程为：()(2)0x x t y y t -+-+=， 即：22(2)0x tx y t y -+--=， 又C 、D 在圆22:2O x y +=上，两圆方程相减得():220CD l tx t y +--=， 即()(22)0x y t y +-+=， ∴0220x y y +=⎧⎨+=⎩，解得11x y =⎧⎨=-⎩，故直线CD 过定点(1,1)-. 【点睛】本题考查了直线与圆的相交问题，由弦长求直线斜率，只需结合弦长公式计算圆心到直线的距离，然后求得结果，在求直线恒过定点坐标时，一定要先表示出直线方程，然后在求解. 55．（1）22(1)4x y ++=（2y ≠-）；（2）证明见解析． 【分析】（1）由题可求出顶点C 的轨迹方程，再利用相关点法可求垂心H 的轨迹方程；（2）利用弦长公式可求||DE ，再利用韦达定理法求||PQ ，由||2||DE PQ =得出2221m k ≥+，然后结合判别式大于零即可证. 【详解】设ABC 的外心为1O ，半径为R ，则有22sin ABR ACB==∠，所以1πcos 13OO R ==即1(0,1)O ，设(,)C x y ，()00,H x y ，有1O C R =，即有22(1)4x y +-=（0y ≠）， 由CH AB ⊥，则有0x x =，由AH BC ⊥，则有(00(0AH BC x x y y ⋅=+=，所以有(220(3(1)12x x x y y y yy y---=-===-，则有()220014x y ++=（02y ≠-），所以ABC 垂心H 的轨迹方程为22(1)4x y ++=（2y ≠-）； （2）记点(0,1)-到直线l 的距离为d ，则有d =所以||DE==，设()11,P x y，()22,Q x y，联立2221y kx mx y=+⎧⎨+=⎩，有()2222210k x kmx m+++-=，所以()224220k m∆=+->，||PQ==由||2||DE PQ=，可得()()()()()2222222222222418141(1)8412222k m k km mk k kk k++++-=-≤-+++++，所以()22222248(1)212m mk kk++≤+++，即有()()()22222224181(1)22k k mmk k+++≤+++，所以()()()22222222418122(1)22k k mm mk k+++--≥-++，即22222222222221(1)101222k k m k mm mk k k k⎛⎫-=-⇒-≥⇒≥+⎪+++⎝⎭又0∆>，可得2212km<+，所以222112kk+<+，解得22k>，故||k>56．（1）2212xy+=；（2）10x y±-=.【分析】（1）利用22sin cos1θθ+=求得点C的轨迹E的方程.（2）设直线l的方程为1x my=-，联立直线l的方程和曲线E的方程，化简写出根与系数关系，求得MN、PQ,由1PQMN=求得m的值，从而求得直线l的方程.【详解】 （1）设(),C x y ，则,sin x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩，即cos sin yθθ⎧=⎪⎨⎪=⎩， 所以2212x y +=，所以E 的方程为2212x y +=.（2）由题意知，直线l 的斜率不为0，设直线:1l x my =-，()()()1122,,,,,p p M x y N x y P x y .联立2221,1x y x my ⎧+=⎨=-⎩，消去x ，得()22+2210m y my --=，此时()281m ∆=+0>，且12222m y y m +=+，12212y y m =-+又由弦长公式得MN =整理得2212m MN m ++. 又122+=22p y y m y m =+，所以2212p p x my m -=-=+，所以222222p m PQ x m ++=+，所以1PQMN =， 所以21m =，即1m =±.综上，当1m =±，即直线l 的斜率为±1时，MN PQ =， 此时直线l 为10x y ±-=. 【点睛】求解直线和圆锥曲线相交所得弦长，往往采用设而不求，整体代入的方法来求解.。

苏州市高三数学 解析几何一．填空题【考点一】：直线方程及直线与直线的位置关系例1．若直线ax ＋(2a －1)y ＋1＝0和直线3x ＋ay ＋3＝0垂直，则a 的值为_________． 【答案】a ＝0或a ＝－1．【解析】由两直线垂直得3a ＋(2a －1)a ＝0，解得a ＝0或a ＝－1．例2．若直线l ：y ＝kx －3与直线2x ＋3y －6＝0的交点位于第一象限，则直线l 的倾斜角的范围是_________． 【答案】⎝⎛⎭⎫π6，π2．【解析】方法一：由⎩⎨⎧y ＝kx －3，2x ＋3y －6＝0，解得：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6＋332＋3k ，y ＝6k －232＋3k .因为交点在第一象限，所以⎩⎪⎨⎪⎧6＋332＋3k ＞0，6k －232＋3k ＞0，解得：k ＞33． 所以，直线l 的倾斜角的范围是⎝⎛⎭⎫π6，π2．方法二：因为直线l ：y ＝kx －3恒过定点(0，－3)，直线2x ＋3y －6＝0与x 轴，y 轴交点的坐标分别为(3,0)，(0,2) ．又点(0，－3)与点(3,0)连线的斜率为0＋33－0＝33，点(0，－3)与点(0,2)连线的斜率不存在，所以要使直线l 与直线2x ＋3y －6＝0的交点位于第一象限，则k ＞33，所以直线l 的倾斜角的范围是⎝⎛⎭⎫π6，π2．例3．已知点A (－1,0)，B (1,0)，C (0,1)，直线y ＝ax ＋b (a >0)将△ABC 分割为面积相等的两部分，则b 的取值范围是 ． 【答案】⎝⎛⎭⎫1－22，12．【解析】由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝1，y ＝ax ＋b 消去x ，得y ＝a ＋ba ＋1，当a ＞0时，直线y ＝ax ＋b 与x 轴交于点⎝⎛⎭⎫－b a ，0，结合图形知12×a ＋b a ＋1×⎝⎛⎭⎫1＋b a ＝12，化简得(a ＋b )2＝a (a ＋1)，则a ＝b 21－2b．∵a ＞0，∴b 21－2b ＞0，解得b ＜12．考虑极限位置，即a ＝0，此时易得b ＝1－22，故答案为⎝⎛⎭⎫1－22，12． 例4．设m ∈R ，过定点A 的动直线x ＋my ＝0和过定点B 的动直线mx －y －m ＋3＝0交于点P (x ，y )，则P A ·PB 的最大值是 ． 【答案】5．【解析】因为直线x ＋my ＝0与mx －y －m ＋3＝0分别过定点A ，B ，所以A (0,0)，B (1,3)． 当点P 与点A (或B )重合时，P A ·PB 为零； 当点P 与点A ，B 均不重合时，因为P 为直线x ＋my ＝0与mx －y －m ＋3＝0的交点，且易知此两直线垂直， 所以△APB 为直角三角形，所以AP 2＋BP 2＝AB 2＝10，所以P A ·PB ≤P A 2＋PB 22＝102＝5，当且仅当P A ＝PB 时，上式等号成立．【考点二】： 圆方程及直线与圆的位置关系例5．圆心在直线y ＝－4x 上，且与直线l ：x ＋y －1＝0相切于点P (3，－2)，则该圆的标准方程是 ． 【答案】(x －1)2＋(y ＋4)2＝8．【解析】方法一： 如图，设圆心(x 0，－4x 0)，依题意得4x 0－23－x 0＝1，∴x 0＝1，即圆心坐标为(1，－4)，半径r ＝22， 故圆的方程为(x －1)2＋(y ＋4)2＝8．方法二：设所求方程为(x －x 0)2＋(y －y 0)2＝r 2，根据已知条件得⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=-+=--+--=r y x r y x x y 2|1|)2()3(4002202000，解得⎪⎩⎪⎨⎧=-==224100r y x ，因此所求圆的方程为(x －1)2＋(y ＋4)2＝8．例6．已知圆C ：(x －3)2＋(y －4)2＝1和两点A (－m ，0)，B (m ，0)(m ＞0)．若圆C 上存在点P ，使得∠APB ＝90°，则m 的最大值为________． 【答案】6【解析】如图所示，则圆心C 的坐标为(3，4)，半径r ＝1，且AB ＝2m ．因为∠APB ＝90°，连接OP ，易知OP ＝12AB ＝m ．要求m 的最大值，即求圆C 上的点P 到原点O 的最大距离．因为OC ＝32＋42＝5， 所以OP max ＝OC ＋r ＝6， 即m 的最大值为6．例7．在平面直角坐标系xOy 中，(2,0)A ，O 是坐标原点，若在直线0x y m ++=上总存在点P，使得PA ，则实数m 的取值范围是 ．【答案】11m +≤．【解析】设P (x ,y ),由PA =得,化简得22(1)3x y ++=,所以点P 是直线0x y m ++=与圆22(1)3x y ++=,的公共点，即直线与圆,解得11m -≤．例8．已知圆C ：22(1)5x y +-=，A 为圆C 与x 负半轴的交点，过点A 作圆的弦AB ，记线段AB 的中点为M ．若OA OM =，则直线AB 的斜率 ． 【答案】2k =．【解析】设直线AB ：(2)y k x =+． 因为CM AB ⊥，直线CM ：11y x k=-+． 将它与直线AB 的方程联立得222(12)2(,)11k k k kM k k -+++．因为2OA OM ==2=，2k =±． 当2k =-不符合，故2k =．例9．已知直线3y ax =+与圆22280x y x ++-=相交于,A B 两点，点00(,)P x y 在直线2y x =上，且PB PA =，则0x 的取值范围为 ．【答案】(1,0)(0,2)-．【解析】先从第一个条件出发，确定参数a 的取值范围．因为P 在线段AB 的中垂线上，从而用a 的代数式表示直线PC 的斜率后得到00211x x a=-+， 3,04a a <->解得：0x 的取值范围为(1,0)(0,2)-．例10．设P 为直线3x ＋4y ＋3＝0上的动点，过点P 作圆C ：x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0的两条切线，切点分别为A ，B ，则四边形P ACB 的面积的最小值为________． 【答案】3．【解析】圆C ：(x －1)2＋(y －1)2＝1的圆心是点C (1,1)，半径是1， 易知PC 的最小值等于圆心C (1,1)到直线3x ＋4y ＋3＝0的距离，即105＝2，而四边形P ACB 的面积等于2S △P AC ＝2×(12P A ·AC )＝P A ·AC ＝P A ＝PC 2－1＝22－1＝3，因此四边形P ACB 的面积的最小值是3．例11．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆()41:22=-+y x C ．若等边PAB ∆的一边AB为圆C 一条弦，则PC 的最大值为 ． 【答案】4．【解析】由PAB ∆为等腰三角形，PAB ∆为等边三角形，故PC 与AB 垂直，设PC 与AB 交于点H ，记,,AH BH x PH y PC t ====，则CH =，满足()224,0x y x y t y ⎧+=>⎪⎨=+⎪⎩求PC的最小值．记直线:l y t =+，利用线性规划作图，可知当直线l 与圆弧()224,0x y x y +=>相切时，则t 取最大值，求得max 4t =，即PC 的最大值为4．例12．已知圆C 的方程为22(1)(1)9x y -+-=，直线:3l y kx =+与圆C 交于,A B 两点，M 为弦AB 上一动点，以M 为圆心，2为半径的圆与圆C 总有公共点，则实数k 的范围________． 【答案】k ≥34-． 【解析】因为5MC <，只要MC ≥1对于任意的点M 恒成立， 只需点位于的中点时存在公共点即可． 点（1，1）到直线的距离d =≥1，解得：k ≥34-． 【考点三】： 圆锥曲线方程与性质例13．若椭圆2215x y m+=的离心率e =，则m 的值是________．【答案】3或253． 【解析】当焦点在x轴上时，e ==3m =； 当焦点在y轴上时，e ==253m =． 例14．设12F F 是椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>的左、右焦点，P 为直线32ax =上的一点,∆21F PF 是底角为30的等腰三角形，则E 的离心率为________． 【答案】34．【解析】∆21F PF 是底角为30的等腰三角形221332()224c PF F F a c c e a ⇒==-=⇔== ．例15．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点为F ，C 与过原点的直线相交于A ，B 两点，连接AF ，BF ．若AB ＝10，BF ＝8，cos ∠ABF ＝45，则C 的离心率为________．【答案】35．【解析】如图，设AF ＝x ，则cos ∠ABF ＝82＋102－x 22×8×10＝45． 解得x ＝6，∴∠AFB ＝90°，由椭圆及直线关于原点对称可知AF 1＝8，∠F AF 1＝∠F AB ＋∠FBA ＝90°，△F AF 1是直角三角形，所以F 1F ＝10，故2a ＝8＋6＝14，2c ＝10，∴c a ＝57．例16．若点O 和点F 分别为椭圆22143x y +=的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则OP FP 的最大值为 ． 【答案】6．【解析】由题意，F （-1，0），设点P 00(,)x y ，则有2200143x y +=,解得22003(1)4x y =-， 因为00(1,)FP x y =+，00(,)OP x y =，所以2000(1)OP FP x x y ⋅=++=00(1)OP FP x x ⋅=++203(1)4x -=20034x x ++，此二次函数对应的抛物线的对称轴为02x =-，因为022x -≤≤，所以当02x =时，OP FP ⋅取得最大值222364++=．例17．设P 是有公共焦点F 1，F 2的椭圆C 1与双曲线C 2的一个交点，且PF 1⊥PF 2，椭圆C 1的离心率为e 1，双曲线C 2的离心率为e 2.若e 2＝3e 1，则e 1＝________．【答案】53． 【解析】设椭圆C 1的长半轴长为a 1，短半轴长为b 1，双曲线C 2的实半轴长为a 2，虚半轴长为b 2.∵ PF 1⊥PF 2，根据椭圆的性质可得S △PF 1F 2＝b 21，又e 1＝c a 1，∴ a 1＝c e 1，∴ b 21＝a 21－c 2＝c 2⎝⎛⎭⎫1e 21－1.根据双曲线的性质可得S △PF 1F 2＝b 22，∵ e 2＝c a 2，a 2＝c e 22，∴ b 22＝c 2－a 22＝c 2⎝⎛⎭⎫1－1e 22，∴ c 2⎝⎛⎭⎫1e 21－1＝c 2⎝⎛⎭⎫1－1e 22，即1e 21＋1e 22＝2.∵ 3e 1＝e 2，∴ e 1＝53. 例18．已知直线:20l x y m -+=上存在点M 满足与两点(2,0)A -，(2,0)B 连线的斜率34MA MB K K =-，则实数m 的值是___________．【答案】[]4,4-．【解析】点M 的轨迹为221(2)43x y x +=≠． 把直线:2l x y m =-代入椭圆方程得，221612(312)0y my m -+-=． 根据条件，上面方程有非零解，得△≥0，解得－4≤m ≤4．例19．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>．双曲线221x y -=的渐近线与椭圆C 有四个交点，以这四个焦点为顶点的四边形的面积为16，则椭圆C 的方程为 ．【答案】152022=+y x ． 【解析】因为椭圆的离心率为23, 所以23==a c e ,2243a c =,222243b a ac -==，所以2241a b =,即224b a =． 双曲线的渐近线为x y ±=，代入椭圆得12222=+bx a x ，即1454222222==+b x b x b x ． 所以b x b x 52,5422±==,2254b y =,b y 52±=， 则第一象限的交点坐标为)52,52(b b ．四边形的面积为16516525242==⨯⨯b b b ，故52=b ．因此，椭圆方程为152022=+y x ． 例20．已知双曲线22221(00)x y a b a b-=＞＞，的左、右焦点分别为12F F ，，以12F F 为直径的圆与双曲线在第一象限的交点为P ．若1230PF F ∠=︒，则该双曲线的离心率为 ．1．【解析】由双曲线定义易得，12122,PF PF a PF -==，1212212F F ce a PF PF ===-． 例21．已知圆O ：224x y +=与x 轴负半轴的交点为A ，点P 在直线l0y a +-=上，过点P 作圆O 的切线，切点为T ．（1）若a ＝8，切点1)T -,求直线AP 的方程； （2）若P A =2PT ，求实数a 的取值范围．【解析】由题意，直线PT 切于点T ，则OT ⊥PT ，又切点T 的坐标为(4,3)-，所以OT k =，1PT OT k k =-=，故直线PT的方程为1y x +-40y --=． 联立直线l 和PT，40,80,y y --=+-=解得2,x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩即2)P ，所以直线AP的斜率为k ===，故直线AP的方程为2)y x =+，即1)21)0x y -+=，即1)20x y -+=．（2）设(,)Pxy ，由P A ＝2PT ，可得2222(2)4(4)x y x y ++=+-，即22334200x y x ++-=，即满足P A ＝2PT 的点P 的轨迹是一个圆22264()39x y -+=，所以问题可转化为直线0y a +-=与圆22264()39x y -+=有公共点，所以83d =，即16|3a -≤a ． 例22．已知圆C ：x 2＋(y －1)2＝5，直线l ：mx －y ＋1－m ＝0． (1)求证：对m ∈R ，直线l 与圆C 总有两个交点；(2)设直线l 与圆C 交于点A ，B ，若AB ＝17，求直线l 的倾斜角；(3)设直线l 与圆C 交于A ，B ，若定点P (1,1)满足2AP →＝PB →，求此时直线l 的方程． 【解析】(1)证明 直线l 恒过定点P (1,1)，由12＋(1－1)2<5知点P 在圆C 内， 所以直线l 与圆C 总有两个交点．(2)圆心到直线的距离d ＝222⎪⎭⎫ ⎝⎛-AB r ＝32，又d ＝|0－1＋1－m |m 2＋1，所以32＝|0－1＋1－m |m 2＋1，解得m ＝±3，所以，l 的倾斜角为π3或2π3．(3)方法一：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．由2AP →＝PB →得：2(1－x 1,1－y 1)＝(x 2－1，y 2－1)， 所以x 2＋2x 1＝3，①直线l 的斜率存在，设其方程为y －1＝k (x －1)，⎩⎨⎧=-+-=-5)1()1(122y x x k y ⇒(k 2＋1)x 2－2k 2x ＋k 2－5＝0， 所以⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+=+③②,15,1222212221k k x x k k x x由①②③消去x 1，x 2解得k ＝±1，故所求直线l 的方程为x －y ＝0或x ＋y －2＝0．方法二：如图，过点C 作CD ⊥AB 于D ，设AP ＝t ，则PB ＝2t ，AD ＝1．5t ，PD ＝0．5t ．在Rt △CDP 中，有CP 2＝CD 2＋PD 2，得CD 2＝1－(0．5t )2，在Rt △CDA 中，CD 2＝5－()1.5t 2，所以t ＝2， 从而，CD ＝22，又直线AB 的方程为mx －y ＋1－m ＝0，d ＝|m |m 2＋1＝22， 解得m ＝±1，故所求直线l 的方程为x －y ＝0或x ＋y －2＝0．例23．如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 为椭圆上一点(在x 轴上方)，连结PF 1并延长交椭圆于另一点Q ，设PF 1→＝λF 1Q →.(1) 若点P 的坐标为⎝⎛⎭⎫1，32，且△PQF 2的周长为8，求椭圆C 的方程； (2) 若PF 2垂直于x 轴，且椭圆C 的离心率e ∈⎣⎡⎦⎤12，22，求实数λ的取值范围．【解析】 (1) 因为F 1，F 2为椭圆C 的两焦点，且P ，Q 为椭圆上的点，所以PF 1＋PF 2＝QF 1＋QF 2＝2a ， 从而△PQF 2的周长为4a .由题意，得4a ＝8，解得a ＝2.因为点P 的坐标为⎝⎛⎭⎫1，32， 所以1a 2＋94b2＝1，解得b 2＝3.所以椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1.(2) (法1)因为PF 2⊥x 轴，且P 在x 轴上方，故设P (c ，y 0)，y 0＞0.设Q (x 1，y 1)． 因为P 在椭圆上，所以c 2a 2＋y 20b 2＝1，解得y 0＝b 2a ，即P ⎝⎛⎭⎫c ，b 2a .因为F 1(－c ，0)，所以PF 1→＝⎝⎛⎭⎫－2c ，－b 2a ，F 1Q →＝(x 1＋c ，y 1)．由PF 1→＝λF 1Q →，得－2c ＝λ(x 1＋c )，－b 2a＝λy 1，解得x 1＝－λ＋2λc ，y 1＝－b2λa ，所以Q ⎝⎛⎭⎪⎫－λ＋2λc ，－b 2λa .因为点Q 在椭圆上，所以⎝⎛⎭⎫λ＋2λ2e 2＋b2λ2a2＝1，即(λ＋2)2e 2＋(1－e 2)＝λ2，(λ2＋4λ＋3)e 2＝λ2－1.因为λ＋1≠0，所以(λ＋3)e 2＝λ－1，从而λ＝3e 2＋11－e 2＝41－e 2－3. 因为e ∈⎣⎡⎦⎤12，22，所以14≤e 2≤12，即73≤λ≤5.所以λ的取值范围是⎣⎡⎦⎤73，5.(法2)因为PF 2⊥x 轴，且P 在x 轴上方， 故设P (c ，y 0)，y 0＞0.因为P 在椭圆上，所以c 2a 2＋y 20b 2＝1，解得y 0＝b 2a，即P ⎝⎛⎭⎫c ，b 2a . 因为F 1(－c ，0)，故直线PF 1的方程为y ＝b 22ac(x ＋c )．由⎩⎨⎧y ＝b22ac（x ＋c ），x 2a 2＋y2b 2＝1，得(4c 2＋b 2)x 2＋2b 2cx ＋c 2(b 2－4a 2)＝0.因为直线PF 1与椭圆有一个交点为P ⎝⎛⎭⎫c ，b 2a ，设Q (x 1，y 1)，则x 1＋c ＝－2b 2c 4c 2＋b 2，即－c －x 1＝2b 2c4c 2＋b 2.因为PF 1→＝λF 1Q →所以λ＝2c －c －x 1＝4c 2＋b 2b 2＝3c 2＋a 2a 2－c 2＝3e 2＋11－e 2＝41－e 2－3. 因为e ∈⎣⎡⎦⎤12，22，所以14≤e 2≤12，即73≤λ≤5.所以λ的取值范围是⎣⎡⎦⎤73，5.例24．如图，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)经过点P (1，32)，离心率e ＝12，直线l 的方程为x＝4.(1)求椭圆C 的方程；(2)AB 是经过右焦点F 的任一弦(不经过点P )，设直线AB 与直线l 相交于点M ，记P A ，PB ，PM 的斜率分别为k 1，k 2，k 3.问：是否存在常数λ，使得k 1＋k 2＝λk 3？若存在，求λ的值；若不存在，说明理由．【解析】(1)由P ⎝⎛⎭⎫1，32在椭圆上得，1a 2＋94b 2＝1.① 依题设知a ＝2c ，则b 2＝3c 2.② ②代入①解得c 2＝1，a 2＝4，b 2＝3. 故椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1.(2)法一：由题意可设直线AB 的斜率为k ， 则直线AB 的方程为y ＝k (x －1)．③代入椭圆方程3x 2＋4y 2＝12并整理，得(4k 2＋3)x 2－8k 2x ＋4(k 2－3)＝0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则有 x 1＋x 2＝8k 24k 2＋3，x 1x 2＝4(k 2－3)4k 2＋3.④在方程③中令x ＝4得，M 的坐标为(4,3k )． 从而k 1＝y 1－32x 1－1，k 2＝y 2－32x 2－1，k 3＝3k －324－1＝k －12.由于A ，F ，B 三点共线，则有k ＝k AF ＝k BF ，即有y 1x 1－1＝y 2x 2－1＝k . 所以k 1＋k 2＝y 1－32x 1－1＋y 2－32x 2－1＝y 1x 1－1＋y 2x 2－1－32⎝⎛⎭⎫1x 1－1＋1x 2－1＝2k －32·x 1＋x 2－2x 1x 2－(x 1＋x 2)＋1.⑤④代入⑤得k 1＋k 2＝2k －32·8k 24k 2＋3－24(k 2－3)4k 2＋3－8k 24k 2＋3＋1＝2k －1，又k 3＝k －12，所以k 1＋k 2＝2k 3.故存在常数λ＝2符合题意．法二：设B (x 0，y 0)(x 0≠1)，则直线FB 的方程为y ＝y 0x 0－1(x －1)，令x ＝4，求得M ⎝⎛⎭⎫4，3y 0x 0－1，从而直线PM 的斜率为k 3＝2y 0－x 0＋12(x 0－1)，联立⎩⎨⎧y ＝y 0x 0－1(x －1)，x 24＋y23＝1，得A ⎝⎛⎭⎪⎫5x 0－82x 0－5，3y 02x 0－5，则直线P A 的斜率为k 1＝2y 0－2x 0＋52(x 0－1)，直线PB 的斜率为k 2＝2y 0－32(x 0－1)，所以k 1＋k 2＝2y 0－2x 0＋52(x 0－1)＋2y 0－32(x 0－1)＝2y 0－x 0＋1x 0－1＝2k 3，故存在常数λ＝2符合题意．例25．如图6，已知椭圆22:1124x y C +=，点B 是其下顶点，过点B 的直线交椭圆C 于另一点A （A 点在x 轴下方），且线段AB 的中点E 在直线y x =上． （1）求直线AB 的方程；（2）若点P 为椭圆C 上异于,A B 的动点，且直线,AP BP 分别交直线y x =于点,M N ，证明：OM ON ⋅为定值．【解析】（1）设点E （m ，m ），由B （0，－2）得A （2m ，2m +2）． 代入椭圆方程得224(22)1124m m ++=，即22(1)13m m ++=， 解得32m =-或0m =（舍）． 所以A （3-，1-）．故直线AB 的方程为360x y ++=．（2）设00(,)P x y ，则22001124x y +=，即220043x y =-． 设),(M M y x M ，由M P A ,,三点共线， ∴)3)(1()1)(3(00++=++M M x y y x ． 又点M 在直线x y =上，图6解得M 点的横坐标000032M y x x x y -=-+．设),(N N y x N ，由N P B ,,三点共线， ∴00(2)(2)N N x y y x +=+．点N 在直线y x =上，解得N 点的横坐标00022N x x x y -=--．所以OM ON ⋅0|0|M N x x --=2||||M N x x ⋅＝200003||2y x x y --+0002||2x x y -⋅--=2000200262||()4x x y x y ---=2000220000262||23x x y x x x y ---=2000200032||3x x y x x y --=6． 例26．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点为F (－1，0)，左准线方程为x ＝－2.(1) 求椭圆C 的标准方程；(2) 已知直线l 交椭圆C 于A ，B 两点．① 若直线l 经过椭圆C 的左焦点F ，交y 轴于点P ，且满足P A →＝λAF →，PB →＝μBF →.求证：λ＋μ为定值；② 若OA ⊥OB (O 为原点)，求△AOB 面积的取值范围．【解析】(1)由题设知c ＝1，a 2c＝2，a 2＝2c ，∴ a 2＝2，b 2＝a 2－c 2＝1，∴ 椭圆C ：x 22＋y 2＝1.(2) ① 证明：由题设知直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为y ＝k (x ＋1)，则P (0，k )．设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，直线l 方程代入椭圆方程，得x 2＋2k 2(x ＋1)2＝2，整理得(1＋2k 2)x 2＋4k 2x ＋2k 2－2＝0，∴ x 1＋x 2＝－4k 21＋2k 2，x 1x 2＝2k 2－21＋2k 2.由P A →＝λAF →，PB →＝μBF →知，λ＝－x 11＋x 1，μ＝－x 21＋x 2，∴ λ＋μ＝－x 1＋x 2＋2x 1x 21＋x 1＋x 2＋x 1x 2＝－－4k 21＋2k 2＋4k 2－41＋2k 21＋－4k 21＋2k 2＋2k 2－21＋2k2＝－－4－1＝－4(定值)． ②当直线OA ，OB 分别与坐标轴重合时，易知△AOB 的面积S ＝22.当直线OA ，OB 的斜率均存在且不为零时，设OA ：y ＝kx ，OB ：y ＝－1kx .设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，将y ＝kx 代入椭圆C 方程，得x 2＋2k 2x 2＝2，∴ x 21＝22k 2＋1，y 21＝2k 22k 2＋1，同理可得x 22＝2k 22＋k 2，y 22＝22＋k 2， △AOB 的面积S ＝OA ·OB 2＝（k 2＋1）2（2k 2＋1）（k 2＋2）.令t ＝k 2＋1∈[1，＋∞)，则S ＝t 2（2t －1）（t ＋1）＝12＋1t －1t2；令u ＝1t∈(0，1)，则S ＝1－u 2＋u ＋2＝1－⎝⎛⎭⎫u －122＋94∈⎣⎡⎭⎫23，22. 综上所述，S ∈⎣⎡⎦⎤23，22，即△AOB 面积的取值范围是⎣⎡⎦⎤23，22.三．课本改编题1．课本原题（必修2第112页习题2．2第12题）：已知点(,)M x y 与两个定点(0,0),(3,0)O A 的距离之比为12，那么点M 的坐标应满足什么关系？画出满足条件的点M 所构成的曲线．改编1：（2008高考江苏卷第13题）满足条件2,AB AC ==的三角形ABC 的面积的最大值为 ．改编2：（2013高考江苏卷第18题）如图，在平面直角坐标系xOy 中，点A (0,3)，直线l ：y=2x －4．设圆C 的半径为1，圆心在l 上．（1）若圆心C 也在直线y =x －1上，过点A 作圆C 的切线，求切线方程； （2）若圆C 上存在点M ，使MA =2MO ，求圆心C 的横坐标a 的取值范围．[说明]：利用阿波罗尼斯圆进行命题的经典考题很多，最著名的当属高考中出现的这两题．课本上虽未出现阿波罗尼斯圆的字眼，但是必修2教材上的这道习题已经体现了这类问题的本质．如果我们平时能钻研教材，对这道习题有所研究，那么我们的数学意识就会有所增强，再碰到此类问题时就会得心应手．2．课本原题（1）（选修2-1第42页习题第5题）在ABC D 中，(6,0),(6,0)B C -，直线AB 、AC 的斜率乘积为94，求顶点A 的轨迹．原题（2）（选修2-2第105页复习题第14题）：已知椭圆具有如下性质：设M 、N 是椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上关于原点对称的两点，点P 是椭圆上的任意一点．若直线PM 、PN 的斜率都存在并分别记为,PM PN k k ，则P M P N k k ×是与点P 的位置无关的定值．试类比椭圆，写出双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一个类似性质，并加以证明．改编1：（2012年南通市高三数学第二次模拟考试第13题）在平面直角坐标系xOy 中，F 1，F 2分别为椭圆x 2a 2＋y 2b2=1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，B 、C 分别为椭圆的上、下顶点，直线BF 2与椭圆的另一交点为D ．若cos ∠F 1BF 2=725，则直线CD 的斜率为____．改编2：（2013苏北四市期末18题第2、3问）如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆E的方程为22143x y +=．若点A ，B 分别是椭圆E 的左、右顶点，直线l 经过点B 且垂直于x 轴，点P 是椭圆 上异于A ，B 的任意一点，直线AP 交l 于点.M（1）设直线OM 的斜率为,1k 直线BP 的斜率为2k ，求证：21k k 为定值；（2）设过点M 垂直于PB 的直线为m ．求证：直线m 过定点，并求出定点的坐标．改编3：（2011年高考江苏卷第18题）如图，在平面直角坐标系xOy中，M、N分别是椭圆22142x y+=的顶点，过坐标原点的直线交椭圆于P、A两点，其中P在第一象限，过P作x轴的垂线，垂足为C，连接AC，并延长交椭圆于点B，设直线P A的斜率为k．（1）当直线P A平分线段MN，求k的值；（2）当k=2时，求点P到直线AB的距离d；（3）对任意k>0，求证：P A⊥PB．[说明]原题是推理与证明中的复习题，教学中可以把握教材前后的联系，在椭圆的学习中就可以对该结论进行探究．利用该结论进行命题的经典考题非常多，以上几例利用这个结论会大大降低运算的难度．平时我们要多留意课本上的常见结论，加强知识储备，这对提高我们的解题能力大有帮助．3．课本原题（必修2 P88思考运用13）：已知直线l 过点（2，3），与两坐标轴在第一象限围成的三角形面积为16，求该直线l 的方程改编1：过点（-5，-4）且与两坐标轴围成的三角形面积为5的直线方程是 ． [解析]设所求直线方程为)5(4+=+x k y ．依题意有5)45)(54(21=--k k． ∴01630252=+-k k （无解）或01650252=+-k k ，解得52=k ,或58=k ． ∴直线的方程是01052=--y x ,或02058=+-y x ．改编2：（2006年上海春季卷）已知直线l 过点)1,2(P ，且与x 轴、y 轴的正半轴分别交于A 、B 两点，O 为坐标原点，则△OAB 面积的最小值为 ． [解析]设直线AB 的方程为)0()2(1<-=-k x k y ，则1111111(2)(12)44[4(4)()][442222OAB S k k k k k k ∆=--=--=+-+-+=≥，当且仅当k k 14-=-即21-=k 时取等号， ∴当21-=k 时，OAB S ∆有最小值4． 改编3：已知射线)0(4:>=x x y l 和点)4,6(M ，在射线l 上求一点N ，使直线MN 与l 及x 轴围成的三角形面积S 最小． [解析]设)1)(4,(000>x x x N ，则直线MN 的方程为0)4)(6()6)(44(00=-----y x x x ．令0=y 得1500-=x x x ， ∴]211)1[(101]1)1[(101104)15(2100020020000+-+-=-+-=-=⋅-=x x x x x x x x x S2]40=≥， 当且仅当11100-=-x x 即20=x 时取等号． ∴当N 为（2，8）时，三角形面积S 最小．[说明]原题的本质是建立三角形的面积与斜率之间的方程关系，通过解方程求出未知量，而变体题则是建立这两者之间的函数关系，利用求函数最值的知识解决问题。

高考数学解析几何专题练习及答案解析版-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN高考数学解析几何专题练习解析版82页1．一个顶点的坐标()2,0，焦距的一半为3的椭圆的标准方程是（ ） A. 19422=+y x B. 14922=+y x C. 113422=+y x D. 141322=+y x2．已知双曲线的方程为22221(0,0)x y a b a b-=>>，过左焦点F 1的直线交双曲线的右支于点P ，且y 轴平分线段F 1P ，则双曲线的离心率是( ) A ． 3B ．32+C ． 31+D ． 323．已知过抛物线y 2 =2px （p>0）的焦点F 的直线x －my+m=0与抛物线交于A ，B 两点，且△OAB （O 为坐标原点）的面积为，则m 6+ m 4的值为（ ）A ．1B ． 2C ．3D ．44．若直线经过(0,1),(3,4)A B 两点，则直线AB 的倾斜角为 A ．30o B ． 45o C ．60o D ．120o5．已知曲线C 的极坐标方程ρ=2θ2cos ,给定两点P(0，π/2)，Q （-2，π），则有 ( )（Ａ）P 在曲线C 上，Q 不在曲线C 上 （Ｂ）P 、Q 都不在曲线C 上 （Ｃ）P 不在曲线C 上，Q 在曲线C 上 （Ｄ）P 、Q 都在曲线C 上 6．点M 的直角坐标为)1,3(--化为极坐标为（ ） A ．)65,2(π B ．)6,2(π C ．)611,2(π D ．)67,2(π7．曲线的参数方程为⎩⎨⎧-=+=12322t y t x (t 是参数)，则曲线是（ ） A 、线段 B 、直线 C 、圆 D 、射线 8．点（2,1）到直线3x-4y+2=0的距离是（ ）A ． 54B ．45C ．254D ．4259． 圆06422=+-+y x y x 的圆心坐标和半径分别为（ ） A.)3,2(-、13 B.)3,2(-、13 C.)3,2(--、13 D.)3,2(-、1310．椭圆12222=+by x 的焦点为21,F F ,两条准线与x 轴的交点分别为M 、N ，若212F F MN ≤，则该椭圆离心率取得最小值时的椭圆方程为 ( )A.1222=+y x B. 13222=+y x C.12222=+y x D.13222=+y x 11．过双曲线的右焦点F 作实轴所在直线的垂线，交双曲线于A ，B 两点，设双曲线的左顶点M ，若MAB ∆是直角三角形，则此双曲线的离心率e 的值为 （ ）A ．32 B ．2 C ．2 D ．312．已知)0(12222>>=+b a b y a x ，N M ,是椭圆上关于原点对称的两点，P 是椭圆上任意一点且直线PN PM ,的斜率分别为21,k k ，021≠k k ，则21k k +的最小值为1,则椭圆的离心率为( ). (A)22 (B) 42 (C) 23 (D)43 13．设P 为双曲线11222=-y x 上的一点，F 1、F 2是该双曲线的两个焦点，若2:3:21=PF PF ，则△PF 1F 2的面积为（ ） A ．36B ．12C ．123D ．2414．如果过点()m P ,2-和()4,m Q 的直线的斜率等于1,那么m 的值为( ) A ．4B ．1C ．1或3D ．1或415．已知动点(,)P x y 在椭圆2212516x y +=上,若A 点坐标为(3,0),||1AM =,且0PM AM ⋅=则||PM 的最小值是（ ）A ．2B ．3C ．2D ．316．直线l 与抛物线交于A,B 两点;线段AB 中点为，则直线l 的方程为 A 、 B 、、 C 、D 、17．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=＞＞F 且斜率为(0)k k ＞的直线与C 相交于A B 、两点．若3AF FB =，则k =（ ）（A ）1 （B （C （D ）218．圆22(2)4x y ++=与圆22(2)(1)9x y -+-=的位置关系为( )A.内切B.相交C.外切D.相离19．已知点P 在定圆O 的圆内或圆周上,动圆C 过点P 与定圆O 相切,则动圆C 的圆心轨迹可能是( ) (A)圆或椭圆或双曲线 (B)两条射线或圆或抛物线 (C)两条射线或圆或椭圆 (D)椭圆或双曲线或抛物线20．若直线l ：y ＝kx 与直线2x ＋3y －6＝0的交点位于第一象限，则直线l 的倾斜角的取值范围是( ) A ．[6π，3π) B ．(6π，2π) C ．(3π，2π) D ．[6π，2π] 21．直线l 与两直线1y =和70x y --=分别交于,A B 两点，若线段AB 的中点为(1,1)M -，则直线l 的斜率为（ ）A ．23B ．32 C ．32- D ． 23-22．已知点()()0,0,1,1O A -，若F 为双曲线221x y -=的右焦点，P 是该双曲线上且在第一象限的动点，则OA FP ⋅的取值范围为（ ）A ．)1,1 B ．C ．(D ．)+∞23．若b a ,满足12=+b a ，则直线03=++b y ax 过定点（ ）.A ⎪⎭⎫ ⎝⎛-21,61 B .⎪⎭⎫ ⎝⎛-61,21 C .⎪⎭⎫ ⎝⎛61,21 .D ⎪⎭⎫ ⎝⎛-21,6124．双曲线1922=-y x 的实轴长为 ( ) A. 4 B. 3 C. 2 D. 125．已知F 1 、F 2分别是双曲线1by a x 2222=-（a>0,b>0）的左、右焦点，P 为双曲线上的一点，若︒=∠9021PF F ,且21PF F ∆的三边长成等差数列，则双曲线的离心率是（ ）A ．2B ． 3C ． 4D ． 526．过A(1，1)、B(0，-1)两点的直线方程是( ) A.B.C. D.y=x27．抛物线x y 122=上与焦点的距离等于6的点横坐标是（ ） A ．1 B ．2 Ｃ．3 Ｄ．428．已知圆22:260C x y x y +-+=，则圆心P 及半径r 分别为 （ ） A 、圆心()1,3P ，半径10r =； B 、圆心()1,3P ，半径10r =；C 、圆心()1,3P -，半径10r =；D 、圆心()1,3P -，半径10r = 29．F 1、F 2是双曲线C ：x 2－22y b＝１的两个焦点，P 是C 上一点，且△F 1PF 2是等腰直角三角形，则双曲线C 的离心率为 A ．12 B ．22C ．32D ．3230．圆01222=--+x y x 关于直线032=+-y x 对称的圆的方程是（ ）Ａ．21)2()3(22=-++y x Ｂ．21)2()3(22=++-y x Ｃ．2)2()3(22=-++y xＤ．2)2()3(22=++-y x31．如图，轴截面为边长为34等边三角形的圆锥，过底面圆周上任一点作一平面α，且α与底面所成二面角为6π，已知α与圆锥侧面交线的曲线为椭圆，则此椭圆的离心率为（ ）（A ）43 （B ）23 （C ）33 （D ） 22 32．已知直线(2)(0)y k x k =+>与抛物线C ：28y x =相交于A.B 两点，F 为C的焦点，若2FA FB=，则k =（ ）A. 13B. 2C. 23D. 2233．已知椭圆23)0(1:2222的离心率为>>=+b a by a x C ，过右焦点F 且斜率为)0(>k k 的直线与B A C ,相交于两点，若3=，则=k （ ） A. 1 B ．2 C ． 3 D ．234．已知抛物线2:2(0)C y px p =＞的准线为l ，过(1,0)M 且斜率为3的直线与l 相交于点A ，与C 的一个交点为B ．若AM MB =，则P 的值为（ ）（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）435．若动圆与圆(x -2)2+y 2=1外切，又与直线x +1=0相切，则动圆圆心的轨迹方程是 ( )A.y 2=8xB.y 2=-8xC.y 2=4xD.y 2=-4x36．若R k ∈，则方程12322=+++k y k x 表示焦点在x 轴上的双曲线的充要条件是（ ）A ．23-<<-kB ．3-<kC ．3-<k 或2->kD ．2->k37．点（-1，2）关于直线y =x -1的对称点的坐标是 （A ）（3，2） （B ）（-3，-2） （C ）（-3，2）（D ）（3，-2）38．设圆422=+y x 的一条切线与x 轴、y 轴分别交于点B A 、, 则AB 的最小值为( )A 、4B 、24C 、6D 、839．圆220x y ax by +++=与直线220(0)ax by a b +=+≠的位置关系是 ( )A ．直线与圆相交但不过圆心.B ． 相切.C ．直线与圆相交且过圆心.D ． 相离40．椭圆的长轴为A1A2，B 为短轴的一个端点，若∠A1BA2=120°，则椭圆的离心率为A ．36B ．21C ．33D ．2341．已知圆C 与圆(x －1)2＋y 2＝1关于直线y ＝－x 对称，则圆C 的方程为（ ）A ．(x ＋1)2＋y 2＝1B ．x 2＋y 2＝1C ．x 2＋(y ＋1)2＝1D ．x 2＋(y －1)2＝142．已知直线l 经过坐标原点，且与圆22430x y x +-+=相切，切点在第四象限，则直线l 的方程为( )A.3y x = B ．3y x = C ．33y x =D ．3y x =43．当曲线214y x =+-与直线240kx y k --+=有两个相异的交点时，实数k 的取值范围是 （ ） A ．5(0,)12 B ．13(,]34 C ．53(,]124 D ．5(,)12+∞44．已知F 1、F 2分别是双曲线22221x y a b-=的左、右焦点,P 为双曲线右支上的任意一点且212||8||PF a PF =，则双曲线离心率的取值范围是（ ）A. (1,2]B. [2 +∞)C. (1,3]D. [3，+∞)45．已知P 是圆22(3)(3)1x y -+-=上或圆内的任意一点，O 为坐标原点，1(,0)2OA =，则OA OP ⋅的最小值为（ ）A ．12B ．32C ．1D ．246．已知0AB >且0BC <，则直线0Ax By C ++=一定不经过( ) （A ）第一象限 （B ）第二象限 （C ）第三象限 （D ）第四象限 47．[2012·课标全国卷]等轴双曲线C 的中心在原点，焦点在x 轴上，C 与抛物线y 2＝16x 的准线交于A ，B 两点，|AB|＝43，则C 的实轴长为( ) A.2 B.22 C.4 D.8 48．双曲线具有光学性质：“从双曲线的一个焦点发出的光线经过双曲线反射后，反射光线的反向延长线都汇聚到双曲线的另一个焦点。

高三数学总复习专题10 解析几何方法点拨1．圆锥曲线中的最值 （1）椭圆中的最值12,F F 为椭圆()222210+=>>x y a b a b的左、右焦点，P 为椭圆上的任意一点，B 为短轴的一个端点，O 为坐标原点，则有： ①[],∈OP b a ； ②[]1,∈-+PF a c a c ；③2212,⎡⎤⋅∈⎣⎦PF PF b a ；④1212∠≤∠F PF F BF ． （2）双曲线中的最值12,F F 为双曲线()222210,0-=>>x y a b a b的左、右焦点，P 为双曲线上的任一点，O 为坐标原点，则有：①≥OP a ；②1≥-PF c a ． （3）抛物线中的最值点P 为抛物线()220=>y px p 上的任一点，F 为焦点，则有： ①2≥pPF ；②(),A m n 为一定点，则+PA PF 有最小值． 2．定点、定值问题（1）由直线方程确定定点，若得到了直线方程的点斜式：()00-=-y y k x x ，则直线必过定点()00,x y ；若得到了直线方程的斜截式：=+y kx m ，则直线必过定点()0,m ． （2）解析几何中的定值问题是指某些几何量(线段的长度、图形的面积、角的度数、直线的斜率等)的大小或某些代数表达式的值等和题目中的参数无关，不依参数的变化而变化，而始终是一个确定的值． 3．圆锥曲线中范围、最值的求解策略（1）数形结合法：利用待求量的几何意义，确定出临界位置后数形结合求解． （2）构建不等式法：利用已知或隐含的不等关系，构建以待求量为元的不等式求解．（3）构建函数法：先引入变量构建以待求量为因变量的函数，再求其值域． 4．定点问题的l 过定点问题的解法：设动直线方程(斜率存在)为=+y kx t 由题设条件将t 用k 表示为=t mk ，得()=+y k x m ，故动直线过定点(),0-m ．（2）动曲线C 过定点问题的解法：引入参变量建立曲线C 的方程，再根据其对参变量恒成立，令其系数等于零，得出定点．（3）从特殊位置入手，找出定点，再证明该点符合题意． 5．求解定值问题的两大途径（1）首先由特例得出一个值(此值一般就是定值)然后证明定值：即将问题转化为证明待证式与参数(某些变量)无关．（2）先将式子用动点坐标或动线中的参数表示，再利用其满足的约束条件使其绝对值相等的正负项抵消或分子、分母约分得定值． 6．解决探索创新问题的策略存在性问题，先假设存在，推证满足条件的结论，若结论正确则存在，若结论不正确则不存在．（1）当条件和结论不唯一时，要分类讨论．（2）当给出结论而要推导出存在的条件时，先假设成立，再推出条件． （3）当条件和结论都不知，按常规方法解题很难时，要思维开放，采取另外的途径．经典试题汇编一、选择题．1．（陕西省渭南市临渭区2021届高三一模）若直线:3=-l y kx 与直线2360+-=x y 的交点位于第一象限，则直线l 的倾斜角的取值范围是（ ）A ．ππ,43⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．ππ,32⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．ππ,42⎛⎫⎪⎝⎭ D ．ππ,32⎛⎫⎪⎝⎭2．（安徽省淮北市2020-2021学年高三一模）过圆2216+=x y 上的动点作圆22:4+=C x y 的两条切线，两个切点之间的线段称为切点弦，则圆C 内不在任何切点弦上的点形成的区域的面积为（ ） A ．πB ．32πC ．2πD ．3π3．（山西省大同市天镇县实验中学2021-2022学年高三一模）圆222440+-+-=x y x y 与直线2140()---=∈R tx y t t 的位置关系为（ ） A ．相离B ．相切C ．相交D ．以上都有可能4．（吉林省长春市2022届高三一模）已知圆22:(2)(3)2-+-=C x y ，直线l 过点(3,4)A 且与圆C 相切，若直线l 与两坐标轴交点分别为,M N ，则MN =（ ）A ．B ．6C ．D ．85．（河南省联考2021-2022学年高三一模）若点()2,1--P 为圆229+=x y 的弦AB 的中点，则弦AB 所在直线的方程为（ ）A ．250++=x yB ．250+-=x yC ．250-+=x yD ．250--=x y6．（四川省南充市2021-2022学年高三一模）若A ，B 是O ：224+=x y 上两个动点，且2⋅=-OA OB ，A ，B 到直线l 40+-=y 的距离分别为1d ，2d ，则12+d d 的最大值是（ ） A ．3B ．4C ．5D ．67．（湖南省长沙市雅礼中学2021届高三一模）过双曲线2214-=y x 的左焦点1F 作一条直线l 交双曲线左支于P ，Q 两点，若4=PQ ，2F 是双曲线的右焦点，则2△PF Q 的周长是（ ） A ．6B ．8C ．10D ．128．（四川省成都市2020-2021学年高三一模）已知抛物线24=x y 的焦点为F ，过F的直线l 与抛物线相交于A ，B 两点，70,2⎛⎫⎪⎝-⎭P ．若⊥PB AB ，则=AF （ ）A ．32B ．2C ．52D ．39．（湖南省湘潭市2021-2022学年高三上学期一模）已知抛物2:2C y px =（0>p ）的焦点为F ，点T 在C 上，且52=FT ，若点M 的坐标为()0,1，且⊥MF MT ，则C 的方程为（ ） A ．22=y x 或28=y x B ．2=y x 或28=y x C ．22=y x 或24=y xD ．2=y x 或24=y x10．（河南省联考2021-2022学年高三一模）点F 为抛物线22=y px ()0>p 的焦点，l 为其准线，过F 的一条直线与抛物线交于A ，B 两点，与l 交于点C ．已知点B 在线段CF 上，若BF ，AF ，BC 按照某种排序可以组成一个等差数列，则AFBF的值为（ ） A ．32或3B ．2或4C ．32或4D ．2或311．（贵州省遵义市2021届高三一模）双曲线221927-=x y 上一点P 到右焦点2F 距离为6，1F 为左焦点，则12∠F PF 的角平分线与x 轴交点坐标为（ ）A ．()1,0-B ．()0,0C ．()1,0D ．()2,012．（吉林省长春市2022届高三一模）已知P 是抛物线24=y x 上的一动点，F 是抛物线的焦点，点(3,1)A ，则||||+PA PF 的最小值为（ ）A ．3B ．C ．4D ．13．（多选）（湖南省湘潭市2021-2022学年高三一模）已知双曲线2222:1-=x y C a b（0>a ，0>b ）的左，右焦点为1F ，2F ，右顶点为A ，则下列结论中，正确的有（ ）A ．若=a b ，则CB ．若以1F 为圆心，b 为半径作圆1F ，则圆1F 与C 的渐近线相切C ．若P 为C 上不与顶点重合的一点，则12△PF F 的内切圆圆心的横坐标=x aD ．若M 为直线2=a x c（=c 0的一点，则当M 的纵坐标为时，2MAF 外接圆的面积最小 14．（江西省赣州市2021届高三3月一模）已知M 、N 是双曲线()2222:10,0-=>>x y C a b a b上关于原点对称的两点，P 是C 上异于M 、N 的动点，设直线PM 、PN 的斜率分别为1k 、2k ．若直线12=y x 与曲线C 没有公共点，当双曲线C 的离心率取得最大值时，且123≤≤k ，则2k 的取值范围是（ ） A ．11,128⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．11,812⎡⎤--⎢⎥⎣⎦ C ．11,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．11,23⎡⎤--⎢⎥⎣⎦15．（四川省成都市2021-2022学年高三一模）已知双曲线()222210,0-=>>x y a b a b的一条渐近线方程为=y ，则该双曲线的离心率为（ ）A B C ．2D ．316．（四川省成都市2020-2021学年高三一模）已知平行于x 轴的一条直线与双曲线()222210,0-=>>x y a b a b 相交于P ，Q 两点，4=PQ a ，π3∠=PQO （O 为坐标原点），则该双曲线的离心率为（ ）A B C D17．（甘肃省嘉谷关市第一中学2020-2021学年高三一模）已知双曲线22221(0,0)-=>>y x a b a b与抛物线2=x 共焦点F ，过点F 作一条渐近线的垂线，垂足为M ，若三角形OMF 的面积为2，则双曲线的离心率为（ ）AB ．16C D ．4或4318．（四川省乐山市高中2022届一模）已知双曲线()222210,0-=>>x y a b a b，过原点的直线与双曲线交于A ，B 两点，以线段AB 为直径的圆恰好过双曲线的右焦点F ，若ABF 的面积为22a ，则双曲线的离心率为（ ）AB C D ．219．（四川省达州市2021-2022学年高三一模）双曲线()222210,0-=>>x y a b a b的左顶点为A ，右焦点(),0F c ，若直线=x c 与该双曲线交于B 、C 两点，ABC 为等腰直角三角形，则该双曲线离心率为（ ）A ．2BCD ．320．（陕西省汉中市2022届高三一模）已知F 是椭圆2222:1(0)+=>>x y C a b a b 的右焦点，点P 在椭圆C 上，线段PF 与圆22239⎛⎫-+= ⎪⎝⎭c b x y 相切于点Q ，且2=PQ QF ，则椭圆C 的离心率等于（ ）A B ．23C ．2D ．1221．（广西柳州市2022届高三一模）已知1F ，2F 分别为双曲线C ：22221-=x y a b()0,0>>a b 的左，右焦点，以12F F 为直径的圆与双曲线C 的右支在第一象限交于A 点，直线2AF 与双曲线C 的右支交于B 点，点2F 恰好为线段AB 的三等分点(靠近点A )，则双曲线C 的离心率等于（ ）A B C ．3D ．12+ 二、填空题．22．（贵州省遵义市2021届高三一模）直线1=-+y kx k 与圆224+=x y 交于,A B 两点，则AB 最小值为________．23．（湖南省长沙市雅礼中学2021届高三一模）若抛物线22=y px 上一点()02,P y 到其准线的距离为4，则抛物线的标准方程为___________．24．（四川省成都市第七中学2021-2022学年高三一模）已知12,F F 为双曲线22:1169-=x y C 的两个焦点，,P Q 为C 上关于坐标原点对称的两点，且12=PQ F F ，则四边形12PF QF 的面积为________．25．（四川省达州市2021-2022学年高三一模）设直线()y kx k =∈R 交椭圆221164+=x y 于A ，B 两点，将x 轴下方半平面沿着x 轴翻折与x 轴上方半平面成直二面角，则AB 的取值范围是___________．26．（四川省成都市2021-2022学年高三一模）已知斜率为13-且不经过坐标原点O的直线与椭圆22+197x y =相交于A ，B 两点，M 为线段AB 的中点，则直线OM 的斜率为________． 三、解答题．27．（四川省成都市第七中学2021-2022学年高三一模）已知两圆221:(2)54C x y -+=，222:(2)6C x y ++=，动圆M 在圆1C 内部且和圆1C 内切，和圆2C 外切．（1）求动圆圆心M 的轨迹C 的方程；（2）过点()3,0A 的直线与曲线C 交于,P Q 两点，P 关于x 轴的对称点为R ，求ARQ 面积的最大值．28．（四川省成都市2020-2021学年高三一模）已知椭圆()2222:10+=>>x y C a b a b的离心率为2，且直线1+=x ya b与圆222+=x y 相切． （1）求椭圆C 的方程；（2）设直线l 与椭圆C 相交于不同的两点A ﹐B ，M 为线段AB 的中点，O 为坐标原点，射线OM 与椭圆C 相交于点P ，且O 点在以AB 为直径的圆上．记AOM ，△BOP的面积分别为1S ，2S ，求12S S 的取值范围． 29．（陕西省汉中市2022届高三一模）已知椭圆2222:1(0)+=>>x y C a b a b 的离心率为12，左､右焦点分别为12,F F ，O 为坐标原点，点P 在椭圆C 上，且满足2122,3π=∠=PF F PF ．（1）求椭圆C 的方程；（2）已知过点(1,0)且不与坐标轴垂直的直线l 与椭圆C 交于M ，N 两点，在x 轴上是否存在定点Q ，使得∠=∠MQO NQO ，若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，说明理由．30．（四川省南充市2021-2022学年高三一模）已知椭圆()2222:10+=>>x y C a b a b的离心率为2，椭圆C 的下顶点和上顶点分别为1B ，2B ，且122=B B ，过点()0,2P 且斜率为k 的直线l 与椭圆C 交于M ，N 两点．（1）求椭圆C 的标准方程； （2）当1=k 时，求OMN 的面积；（3）求证：直线1B M 与直线2B N 的交点T 的纵坐标为定值．31．（江西省赣州市2021届高三3月一模）设离心率为12的椭圆2222:1(0)+=>>x y E a b a b 的左，右焦点分别为1F ，2F ，点P 在E 上，且满足1260∠=︒F PF ，12△PF F（1）求a ，b 的值；（2）设直线:2(0)=+>l y kx k 与E 交于M ，N 两点，点A 在x轴上，且满足0⋅+⋅=AM MN AN MN ，求点A 横坐标的取值范围．32．（广西柳州市2022届高三一模）已知椭圆C ：22221+=x y a b()0>>a b 的左右焦点分别为1F ，2F ，过2F 且与x 轴垂直的直线与椭圆C 交于A ，B 两点，AOB 的面积为﹐点P 为椭圆C 的下顶点，2=PF ． （1）求椭圆C 的标准方程；（2）椭圆C 上有两点M ，N (异于椭圆顶点且MN 与x 轴不垂直)．当OMN 的面积最大时，直线OM 与ON 的斜率之积是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由． 33．（湖南省湘潭市2021-2022学年高三一模）已知圆锥曲线E 上的点M 的坐标(),x y=．（1）说明E 是什么图形，并写出其标准方程；（2）若斜率为1的直线l 与E 交于y 轴右侧不同的两点A ，B ，点P 为()2,1． ①求直线l 在y 轴上的截距的取值范围； ②求证：∠APB 的平分线总垂直于x 轴．34．（四川省乐山市高中2022届一模）如图，从椭圆22221(0)+=>>x y a b a b上一点P 向x轴作垂线，垂足恰为左焦点1F ．又点A 是椭圆与x 轴正半轴的交点，点B 是椭圆与y轴正半轴的交点，且=OP AB k ，13=F A ． （1）求椭圆的方程；（2）直线l 交椭圆于M ､Q 两点，判断是否存在直线l ，使点2F 恰为MQB △的重心？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由．35．（安徽省淮北市2020-2021学年高三一模）已知椭圆2222:1(0)+=>>x y C a b a b的离心率为12，左顶点为A ，右焦点F ，3=AF ．过F 且斜率存在的直线交椭圆于P ，N 两点，P 关于原点的对称点为M ． （1）求椭圆C 的方程；（2）设直线AM ，AN 的斜率分别为1k ，2k ，是否存在常数λ，使得12λ=k k 恒成立？若存在，请求出λ的值；若不存在，请说明理由．36．（湖南省长沙市雅礼中学2021届高三一模）已知椭圆()222210:x y a b a bC +=>>，连接椭圆上任意两点的线段叫作椭圆的弦，过椭圆中心的弦叫做椭圆的直径．若椭圆的两直径的斜率之积为22-b a，则称这两直径为椭圆的共轭直径．特别地，若一条直径所在的斜率为0，另一条直径的斜率不存在时，也称这两直径为共轭直径．现已知椭圆22:143x y E +=．（1）已知点31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭A ，31,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭B 为椭圆E 上两定点，求AB 的共轭直径的端点坐标；（2）过点()作直线l 与椭圆E 交于1A ､1B 两点，直线1A O 与椭圆E 的另一个交点为2A ，直线1B O 与椭圆E 的另一个交点为2B ．当11A OB 的面积最大时，直径12A A 与直径12B B 是否共轭，请说明理由；（3）设CD 和MN 为椭圆E 的一对共轭直径，且线段CM 的中点为T ．已知点P 满足：λ=OP OT ，若点P 在椭圆E 的外部，求λ的取值范围．参考答案一、选择题． 1CACCADDDADDC 13．【答案】ABD【解析】对于A 中，因为=a b ，所以222=a c ，故C的离心率==ce a所以A 正确； 对于B 中，因为()1,0-F c 到渐近线0-=bx ay的距离为==d b ，所以B 正确；对于C 中，设内切圆与12△PF F 的边1221,,F F F P F P 分别切于点1,,A B C ， 设切点1A (,0)x ，当点P 在双曲线的右支上时，可得121212-=+--=-PF PF PC CF PB BF CF BF1112=-A F A F ()()22=+--==c x c x x a ，解得=x a ，当点P 在双曲线的左支上时，可得=-x a ，所以12△PF F 的内切圆圆心的横坐标=±x a ，所以C 不正确； 对于D 中，由正弦定理，可知2MAF 外接圆的半径为222sin =∠AF R AMF ，所以当2sin ∠AMF 最大时，R 最小，因为2<a a c，所以2∠AMF 为锐角，故2sin ∠AMF 最大，只需2tan ∠AMF 最大，由对称性，不妨设2,⎛⎫ ⎪⎝⎭a M t c （0>t ），设直线2=a x c 与x 轴的交点为N ，在直角2△NMF 中，可得222tan ==∠-a c NF NM NMF ct ， 在直角△NMA 中，可得2tan =-=∠a a NA A NM NM c t，又由2222tan tan tan tan()1tan tan NMF NMAAMF NMF NMA NMF NMA∠-∠∠=∠-∠=∠⋅+∠222222()1c c a ab c a a a a c ct t a a c t a c c t tc t -==≤+-----⨯-+， 当且仅当()22-=ab c a t c t ，即=t 2tan ∠AMF 取最大值， 由双曲线的对称性可知，当=t 2tan ∠AMF 也取得最大值，所以D 正确，故选ABD ． 14．【答案】A【解析】因为直线12=y x 与双曲线()2222:10,0-=>>x y C a b a b 没有公共点，所以双曲线C 的渐近线的斜率12=≤bk a ，而双曲线C的离心率====c e a 当双曲线C 的离心率取最大值时，b a 取得最大值12，即12=b a ，即2=a b ，则双曲线C 的方程为222214-=x y b b，设()11,M x y 、()11,--N x y 、()00,P x y ，则2211222200221414⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩x y b b x y b b ， 两式相减得()()()()10101010224+-+-=x x x x y y y y b b ，即1010101014-+⋅=-+y y y y x x x x ， 即1214⋅=k k ， 又123≤≤k ，211,128⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦k ，故选A ． 15．【答案】B【解析】双曲线22221-=x y a b 的渐近线方程为=±by x a，因为渐近线方程为=y ，所以=ba故可得====e B ． 16．【答案】D【解析】如图，由题可知，△POQ 是等边三角形，4=PQ a ，()2,∴P a ，将点P 代入双曲线可得22224121-=a a a b ，可得224=b a，∴离心率===c e a D ．17．【答案】C【解析】抛物线2=x 的交点坐标为(F ，又双曲线22221(0,0)-=>>y x a b a b与抛物线2=x 共焦点，∴双曲线的半焦距=c ，三角形OMF 的面积为2，且=OM a ，=MF b ，∴122=⋅ab ，即4=ab ， 有22217+==a b c ，∴1=a 或4=a ，∴双曲线的离心率为=e ，故选C ．18．【答案】B【解析】设双曲线的左焦点为'F ，连接'AF ，'BF ， 因为以AB 为直径的圆恰好经过双曲线的右焦点(),0F c ， 所以⊥AF BF ，圆心为()0,0O ，半径为c ， 根据双曲线的对称性可得四边形'AFBF 是矩形，设=AF m ，=BF n ，则222224122⎧⎪-=⎪+=⎨⎪⎪=⎩n m a n m c mn a ，由()2222-=+-n m m n mn ，可得222484-=c a a ，所以223=c a ，所以2223==c e a，所以=e ，故选B ．19．【答案】A【解析】联立22222221=⎧⎪⎪-=⎨⎪=+⎪⎩x cxy a b c a b，可得2=±b y a ，则22=b BC a ，易知点B 、C 关于x 轴对称，且F 为线段BC 的中点，则=AB AC ，又因为ABC 为等腰直角三角形，所以2=BC AF ，即()222=+b c a a， 即()222+==-a c a b c a ，所以=-a c a ，可得2=c a ， 因此，该双曲线的离心率为2==ce a，故选A ． 20．【答案】A【解析】圆22239⎛⎫-+= ⎪⎝⎭c b x y 的圆心为,03⎛⎫ ⎪⎝⎭c A ，半径为3=b r ． 设左焦点为1F ，连接1PF ，由于124,33==AF c AF c ， 所以12==AF PQAF QF，所以1//AQ PF ，所以12,2==-PF b PF a b ， 由于⊥AQ PF ，所以1⊥PF PF ， 所以()()()22222224+-==-b a b c a b ，2320,3-==b b a a ，===c e a ，故选A ．21．【答案】C【解析】设2=AF x ，则22=BF x ，由双曲线的定义可得1222=+=+AF AF a a x ，12222=+=+BF BF a a x ， 因为点A 在以12F F 为直径的圆上，所以190∠=F AB ，所以22211+=AF AB BF ，即()()()2222322++=+a x x a x ，解得23=x a ， 在12△AF F 中，1823=+=AF a x a ，223=AF a ，122=F F c ， 由2221212+=AF AF F F 可得()22282233⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭a a c ，即22179=a c ，所以双曲线离心率为3===e ，故选C ．二、填空题． 22．【答案】【解析】直线1=-+y kx k 过定点过()1,1M ， 因为点()1,1M在圆的内部，且OM == 由圆中弦的性质知当直线与OM 垂直时，弦长最短， 此时结合垂径定理可得AB ==故答案为 23．【答案】28=y x【解析】抛物线的准线方程为2=-p x ，点()02,P y 到其准线的距离为22+p ， 由题意可得242+=p，解得4=p ， 故抛物线的标准方程为28=y x ，故答案为28=y x ． 24．【答案】18【解析】由双曲线的对称性以及12=PQ F F 可知，四边形12PF QF 为矩形，所以1222212284100⎧-==⎪⎨+==⎪⎩PF PF a PF PF c ，解得1218=PF PF ， 所以四边形12PF QF 的面积为1218=PFPF ， 故答案为18．25．【答案】(⎤⎦【解析】设1122(,),(,)A x y B x y ，联立方程组221164=⎧⎪⎨+=⎪⎩y kx x y ，可得22(14)160+-=k x ， 可得1212216,014=-+=+x x x x k ，所以221221614==+x x k ， 将椭圆x 轴下方半平面沿着x 轴翻折与x 轴上方半平面成直二面角， 分别作,⊥⊥BC x AD x 于点,C D ，如图所示， 则2222=++AB BC CD AD ，又由222222222211,====BC y k x AD y k x ，2222212*********64()2()414=-=+-=+-=+CD x x x x x x x x x x k， 所以222222221226414=++=+++AB BC CD AD k x k x k 2222232648(417)78(1)141414+⋅++===⋅++++k k k k k ， 因为∈R k ，所以20≥k ，所以2411+≥k ，所以270741<≤+k ，所以2788(1)6414<⋅+≤+k ，即2864<≤AB，所以8<≤AB ，所以AB的取值范围是(⎤⎦，故答案为(⎤⎦．26．【答案】73【解析】设直线AB 的方程为13=-+y x b ，联立2213197⎧=-+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩y x b x y ，得221()3197-++=x b x ，即22869630-+-=x bx b ，由223632(963)0b b ∆=-->，得-<<b 设11(,)A x y ，22(,)B x y ，00(,)M x y ，则120328+==x x b x ，0011373388=-+=-⨯+=b by x b b ， 即37(,)88b bM ，则直线OM 的斜率为0073==y k x ，故答案为73．三、解答题．27．【答案】（1）2212420+=x y ；（2．【解析】（1）依题意，圆1C 的圆心()12,0C，半径1=r 圆2C 的圆心()22,0-C，半径2=r设圆M 的半径为r ，则有11=-MC r r ，22=+MC r r ，因此，1212124+=+=>=MC MC r r C C ，于是得点M 的轨迹是以12,C C为焦点，长轴长2=a 此时，焦距24=c ，短半轴长b 有22220=-=b a c ，所以动圆圆心M 的轨迹C 的方程为2212420+=x y ．（2）显然直线PQ 不垂直于坐标轴，设直线PQ 的方程为3(0)=+≠x my m ，1122(,),(,)P x y Q x y ，由22356120=+⎧⎨+=⎩x my x y ，消去x 得22(56)30750++-=m x my ， 则1226350+=-+m y y m ，1227556=-+y y m ， 点P 关于x 轴的对称点11(,)-R x y ，1211|2|||2=⋅⋅-PQRSy x x ，111232=⋅⋅-APRS y x ，如图，显然1x 与2x 在3的两侧，即21-x x 与13-x 同号， 于是得()()()1211121133=-=---=⋅---AQRPQRAPRSSSy x x x y x x x121212275|||75|||3|||||||6565|||==⋅-==⋅==++≤m y x y my my y m m m ， 当且仅当65||||=m m ，即=m 时取“=”，因此，当=m 时，max ()=AQR S，所以ARQ 面积的最大值4． 28．【答案】（1）22163+=x y；（2）⎣⎦．【解析】（1）∵椭圆的离心率为2，∴2=c a （c 为半焦距）， ∵直线1+=xy ab与圆222+=x y=，又∵222+=c b a ，∴26=a ，23=b ，∴椭圆C 的方程为22163+=x y ．（2）∵M 为线段AB 的中点，∴12==AOM BOP OMS S S S OP△△． （ⅰ）当直线l 的斜率不存在时，由⊥OA OB 及椭圆的对称性，不妨设OA 所在直线的方程为=y x ，得22=Ax ．则22=Mx ，26=P x，∴123==OM S S OP ； （ⅱ）当直线l 的斜率存在时，设直线():0=+≠l y kx m m ，()11,A x y ，()22,B x y ，由22163=+⎧⎪⎨+=⎪⎩y kx mx y ，消去y ，得()222214260++-=＋k x kmx m ， ∴()()()2222221682138630k m k m k m ∆=-+-=-+>，即22630-+>k m ．∴122421+=-+kmx x k ，21222621-=+m x x k ．∵点O 在以AB 为直径的圆上，∴0⋅=OA OB ，即12120+=x x y y ， ∴()()221212121210+=++++=x x y y k x x km x x m ，∴()22222264102121-⎛⎫++-+= ⎪++⎝⎭m km k km m k k ． 化简，得2222=＋m k ，经检验满足0∆>成立， ∴线段AB 的中点222,2121⎛⎫-⎪++⎝⎭km m M k k ， 当0=k 时，22=m，此时123==S S ； 当0≠k 时，射线OM 所在的直线方程为12=-y x k， 由2212163⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩y x k x y ，消去y ，得2221221=+P k x k ，22321=+P y k ， ∴==M P OM y OP y ∴12==S S12,33⎛∈ ⎝⎭S S ， 综上，12S S的取值范围为⎣⎦．29．【答案】（1）22143+=x y ；（2）存在，()4,0．【解析】（1）在12△PF F 中，1122,2=-=cPF a a ，所以，由余弦定理()224(22)4222=-+--c a a，解得2,==a b ，所以，椭圆方程为22143+=x y ．（2）假设存在点(),0Q m 满足条件，设直线l 的方程为()10=+≠x ty t ，设()()1122,,,M x y N x y ，联立()22221,34690143=+⎧⎪++-=⎨+=⎪⎩x ty t y ty x y ， 121212221269,,3434--+==+=+++--MQ NQy y t y y y y k K t t x m x m， 又因为∠=∠MQO NQO ，所以0+=MQ NQ K K ，即1212=--y y x m m x ， 即()()1211-=-y m x y m x ，将11221,1=+=+x ty x ty 代入化简得()()121212-+=m y y ty y ， 即()2261183434---=++t m tt t ，计算得4=m ，所以存在()4,0点使得∠=∠MQO NQO ．30．【答案】（1）2212+=x y ；（2）面积不存在；（3）证明见解析．【解析】（1）因为122=B B ，所以22=b ，即1=b ，因为离心率为2，所以2=c a ，设=c m，则=a ，0>m ， 又222=-c a b ，即2222=-m m b ，解得1=m 或1-（舍去），所以=a 1=b ，1=c ，所以椭圆的标准方程为2212+=x y ．（2）由22122⎧+=⎪⎨⎪=+⎩x y y x ，得()222220++-=x x ，23860++=x x ，284360∆=-⨯⨯<，所以直线与椭圆无交点，故OMN 的面积不存在．（3）由题意知，直线l 的方程为2=+y kx ，设()11,M x y ，()22,N x y ，则22212=+⎧⎪⎨+=⎪⎩y kx x y ，整理得()2221860+++=k x kx ，则()()22122122846120821621Δk k k x x k x x k ⎧=-⨯+>⎪⎪⎪+=-⎨+⎪⎪=⎪+⎩，因为直线和椭圆有两个交点，所以()()22824210k k ∆=-+>，则232>k ，设(),T m n ，因为1B ，T ，M 在同一条直线上，则111111313+++===+y kx n k m x x x ， 因为2B ，T ，N 在同一条直线上，则222221111-+-===+y kx n k m x x x ， 由于()21212283311213440621⎛⎫⋅- ⎪++-+⎝⎭+⋅=+=+=+k x x n n k k k m m x x k ，所以12=n ， 则交点T 恒在一条直线12=y 上，故交点T 的纵坐标为定值12．31．【答案】（1）2=a，=b （2）6⎡⎫-⎪⎢⎪⎣⎭． 【解析】（1）设椭圆短轴的端点为B ，则21sin 2∠=OBF ，所以26π∠=OBF ，123π∠=F BF ，所以点P 即为点B，所以12122=⋅⋅==△PF F S c b bc ，又12=c a ，222=-a b c ，所以2=a，=b（2）设(,0)A m ，()11,M x y ，()22,N x y ，MN 的中点()00,H x y ，由2223412=+⎧⎨+=⎩y kx x y ，得()22431640+++=k x kx ， 所以()()222(16)164348410k k k ∆=-+=->， 又0>k ，所以12>k ，所以1221643+=-+kx x k ， 所以12028243+==-+x x k x k ，0026243=+=+y kx k ，即2286,4343⎛⎫- ⎪++⎝⎭k H k k ， 因为()20⋅+⋅=+⋅=⋅=AM MN AN MN AM AN MN AH MN ， 所以⊥AH MN ，所以226143843+=---+k k k mk ，得2223434=-=-++k m k k k ， 因为12>k，所以34+≥k k，当且仅当=k =”号，所以⎡⎫∈⎪⎢⎪⎣⎭m ， 故点A的横坐标的取值范围是6⎡⎫-⎪⎢⎪⎣⎭． 32．【答案】（1）22184+=x y ；（2）12-，理由见解析．【解析】（1）由题意可得：在2OPF Rt 中，22222+=OP OF PF ，即)222+=b c ，所以=b c ，椭圆C ：22221+=x y a b 中，令=x c 可得2422221⎛⎫=-= ⎪⎝⎭c b y b a a，所以2=±b y a ，可得22=b AB a，所以22122=⋅⋅==AOBb bc Sc a a所以2=b c ，因为=b c ，222=+a b c，所以34====b b ， 可得24=b ，所以2==c b ，2228=+=a b c ，所以椭圆C 的标准方程为22184+=x y ．（2）设直线MN 的方程为=+y kx t ，()11,M x y ，()22,N x y ，由22184=+⎧⎪⎨+=⎪⎩y kx tx y ，可得()222214280+++-=k x ktx t ， ()()222216421280k t k t ∆=-+->，即2284<+t k ，122412-+=+ktx x k，21222812-=+t x x k ， 所以()()()2212121212=++=+++y y kx t kx t k x x kt x x t()()22222222222228124812121212-+-=-+=++++k t k t k t t k k k k k，12=-=MN x==， 点()0,0O 到直线=+y kx t的距离=d所以OMN的面积为1122⋅==MN d222284212+-+≤=+t k t k， 当且仅当22284=-+t k t 即2224-=t k 时等号成立，2222222122222128128241122828282-+--+⋅==⨯===-+---OM ONy y t k k t k t t k k x x k t t t ， 所以当OMN 的面积最大时，直线OM 与ON 的斜率之积是12-．33．【答案】（1）E是以()，)为焦点，长轴长为22163+=x y ；（2）①(3,-；②证明见解析． 【解析】（1）圆锥曲线E是以()，)为焦点，长轴长为的椭圆，其标准方程为22163+=x y ．（2）①设直线l ：=+y x m ，()11,A x y ，()22,B x y ，由22163⎧+=⎪⎨⎪=+⎩x y y x m ，消去y ，得2234260++-=x mx m ， 由题意，有()()22122124432604032603m m mx x m x x ∆⎧=-⨯->⎪⎪⎪+=->⎨⎪⎪-=>⎪⎩，解得3-<<m ， 所以直线l 在y轴上的截距的取值范围为(3,-．②因为点P 在椭圆上，若直线l 过点P ，即点A （或点B ）与P 重合，则l 与E 的另一个交点为25,33⎛⎫--⎪⎝⎭，不合题意，所以点A （或点B ）与P 不重合； 若AP 或BP 的斜率不存在，则直线l 过点()2,1-，此时，l 与E 只有一个交点， 所以AP 与BP 的斜率都存在，设直线AP 的斜率为1k ，直线BP 的斜率为2k ， 因为A ，B 在轴的右侧，结合图象，可知，要证∠APB 的平分线总垂直于x 轴，只要证120=+k k ， 因为11112-=-y k x ，22212-=-y k x ，也即证()()()()122112120--+--=y x y x ，而()()()()()()()()1221122112121212--+--=+--++--y x y x x m x x m x()()()2121241242344344033-⎛⎫=+-+-+=+---+= ⎪⎝⎭m m x x m x x m m m 成立， 故∠APB 的平分线总垂直于x 轴．34．【答案】（1）22143+=x y ；（2）存在，:80--=l y ．【解析】（1）由题可知，(,0)A a ，(0,)B b ，2,⎛⎫- ⎪⎝⎭b P c a ，因为=OP AB k，则200--=---b b a c a，解得=b ，故有2223+=⎧⎪=⎨⎪+=⎩a cb bc a ，解得2=a，=b椭圆方程为22143+=x y ．（2）法一：假设存在，易知直线l 的斜率存在， 设直线l 的方程为=+y kx m ，()11,M x y ，()22,Q x y ，联立22143=+⎧⎪⎨+=⎪⎩y kx mx y ，得()2223484120+++-=k x kmx m ， 则122212283441234⎧+=-⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩km x x k m x x k ， 因为2F 为MQB △的重心，则121201303++⎧=⎪⎪⎨++⎪=⎪⎩x x y y，解得12123+=⎧⎪⎨+=⎪⎩x x y y则122128334⎧+=-=⎪+⎨⎪+++=⎩km x x k kx m kx m，化简得228334634⎧=-⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩km k m k，解得⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩k m ，所以直线:80--=l y ．法二：设()11,M x y ，()22,Q x y ，因为2F 为MQB △的重心，则120130++⎧=⎪⎪=x x，解得12123+=⎧⎪⎨+=⎪⎩x x y y设MQ 的中点R，则3,2⎛ ⎝⎭R ， 因为M ，Q 在椭圆22143+=x y 上，则22112222143143⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩x y x y ，两式相减得34⋅=-MQ OR k k，即=MQ k所以直线:80--=l y ．35．【答案】（1）22143+=x y ，（2）3λ=．【解析】（1）因为离心率为12，所以12==c e a ， 又3=AF ，所以3+=a c ，解得2=a ，1=c ， 又222=-c a b ，所以23=b ，所以椭圆方程为22143+=x y ．（2）由（1）知()1,0F ，()2,0-A ，设直线PN 的方程为1=+x my ，()11,P x y ，()22,N x y ， 因为M 与P 关于原点对称，所以()11,--M x y ， 所以1112=-y x k ，2222=+yk x ， 若存在λ，使得12λ=k k 恒成立，所以121222λ=-+y yx x ， 所以()()122122λ+=-y x y x ，两边同乘1y 得()()21221122λ+=-y x y y x ，又因为()11,P x y 在椭圆上，所以2211143+=x y ，所以()()2112113223144-+⎛⎫=-= ⎪⎝⎭x x x y ，所以()()()()112211322224λ-++=-x x x y y x ，当12≠x 时，则()()12213224λ-++=x x y y ， 所以()21212136124λ--+-=x x x x y y ①； 当12=x 时，M 与A 重合，联立方程221143=+⎧⎪⎨+=⎪⎩x my x y ，消元得()2234690++-=m y my ，所以212212934634-⎧=⎪⎪+⎨-⎪+=⎪+⎩y y m m y y m ，所以()212128234+=++=+x x m y y m ，()222121212412134-=+++=+m x x m y y m y y m ，代入①得22221236489124343434λ-+--+-=+++m m m m ， 整理得10836λ-=-，解得3λ=． 36．【答案】（1）2-⎭和2⎛ ⎝⎭；（2）直径12A A 与直径12B B 共轭，理由见解析；（3）λ>λ< 【解析】（1）由题设知32=AB k ，设所求直线方程为=y kx ，则34⋅=-AB k k ，则12=-k ， 故共轭直径所在直线方程为12=-y x ．联立椭圆与12=-y x ，即2212143⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩y x x y 可得23=x，=x故端点坐标为⎭和⎛ ⎝⎭．（2）由题设知，l 不与x 轴重合，故设l：=x my ()111,A x y ､()122,B x y ，联立方程()22223430143⎧=⎪⇒+--=⎨+=⎪⎩x my m y x y ，则12234+=+y y m ，122334-=+y y m ，2122121234-=+m x x m ，122223434=-=⋅=++S y mm 63=≤=，当且仅当2313+=m ，即223=m 时取等号， 此时121221222123312124-⋅===-=--A A B By y b k k x x m a，故直径12A A 与直径12B B 共轭． （3）设点()11,C x y ，()22,M x y ，当CD 不与坐标轴重合时，设CD l ：=y kx ，则MN l ：34=-y x k， 联立2222211221212,3434143=⎧⎪⇒==⎨+++=⎪⎩y kx k x y x y k k ， 同理可得22221634=+k x k ，222934=+y k． 由椭圆的对称性，不妨设C 在第一象限，则M 必在第二象限或第四象限，则1=x1=y若M在第二象限，则2=x2=y ，从而 ⎪⎝⎭T ，则⎫⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭P ．又P在椭圆外，则223412⎫⎪⎪+>⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 化简可得22λ>，即λ>λ<若M 在第四象限，同理可得22λ>，即λ>λ<当CD 与x 轴垂直或重合时，由椭圆的对称性，不妨取()2,0C，(M ，则λ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭P ． 又P 在椭圆外，则2223341224λλλ+⋅>⇒>，即λ>λ<综上：λ>λ<。

高三数学解析几何试题答案及解析1.（本小题满分12分）已知椭圆:的焦点分别为、，点在椭圆上，满足，．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）已知点，试探究是否存在直线与椭圆交于、两点，且使得？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由．【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）【解析】（Ⅰ）本题求椭圆的方程只需确定一个未知数，建立一个方程即可，利用椭圆定义及焦点三角形,结合余弦定理可解：由，得，由余弦定理得，（Ⅱ）表明点在线段DE中垂线上，利用韦达定理列等量关系，求出与的关系，再根据判别式大于零，可解出的取值范围试题解析：（1）由，得，由余弦定理得，∴所求的方程为．（2）假设存在直线满足题设，设，将代入并整理得，由，得①又设中点为，，得②将②代入①得化简得，解得或所以存在直线，使得，此时的取值范围为．【考点】直线与椭圆位置关系2.抛物线：的准线的方程是____；以的焦点为圆心，且与直线相切的圆的方程是____．【答案】，．【解析】分析题意可知，∴准线方程为，焦点为，半径，∴所求圆方程为．【考点】1．抛物线的标准方程；2．直线与圆的位置关系．3.如图，为外一点，是切线，为切点，割线与相交于点，，且，为线段的中点，的延长线交于点，若，则__________；_________．【答案】，．【解析】由切割线定理，∴，，再由相交弦定理，∵是的中点，∴，，则．【考点】1．切割线定理；2．相交弦定理．4.椭圆的左焦点为，若关于直线的对称点是椭圆上的点，则椭圆的离心率为（）A．B．C．D．【答案】D．【解析】设关于直线的对称点的坐标为，则，所以，，将其代入椭圆方程可得，化简可得，解得，故应选．【考点】1、椭圆的定义；2、椭圆的简单几何性质；5.如图所示，过⊙O外一点A作一条直线与⊙O交于C，D两点，AB切⊙O于B，弦MN过CD的中点P．已知AC=4，AB=6，则MP·NP= ．【答案】【解析】由已知及圆的弦切割线定理得，，又知点P是CD的中点，所以，再由相交弦定理得；故答案为：．【考点】圆的性质．6.已知椭圆C：，为左右焦点，点在椭圆C上，△的重心为，内心为，且有（为实数），则椭圆方程为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】设点距轴的距离为，因为IG∥，则点距轴的距离为，连接，则，，所以，所以，所以椭圆方程为．【考点】椭圆的标准方程．7.已知双曲线（，）的焦距为，若、、顺次组成一个等比数列，则其离心率为．【答案】【解析】根据题意，有，即，式子两边同时除以，得，结合双曲线的离心率的取值范围，可求得．【考点】双曲线的离心率．8.设椭圆E：的右顶点为A、右焦点为F，B为椭圆E在第二象限上的点，直线BO交椭圆E于点C，若直线BF平分线段AC，则椭圆E的离心率是．【答案】【解析】如图，设AC中点为M，连接OM，则OM为的中位线，于是，且，即．【考点】椭圆的离心率．9.点M（χ，）是抛物线χ2=2P（P＞0）上一点，若点M到该抛物线的焦点的距离为2，则点M到坐标原点的距离为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】抛物线（）的准线方程是，因为点到该抛物线的焦点的距离为，所以，解得：，所以该抛物线的方程是，因为点是抛物线上的一点，所以，所以点到坐标原点的距离是，故选D．【考点】1、抛物线的定义；2、抛物线的标准方程．10.已知抛物线的焦点为，准线为，过点的直线交抛物线于两点，过点作准线的垂线，垂足为，当点的坐标为时，为正三角形，则此时的面积为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】如图所示，过点作的垂线，垂足为，则为的中点．因为点的坐标为，所以，，所以，即，所以抛物线的方程为，此时，，所以直线的方程为，将其代入抛物线方程可得，，解得或，所以或，所以的面积为，故应选．【考点】1、抛物线的定义；2、抛物线的简单几何性质．【思路点睛】本题考查了抛物线的定义、标准方程及其简单的几何性质的应用，属中档题．其解题的一般思路为：首先过点作的垂线，垂足为，则为的中点，然后利用点的坐标为，可求出，进而得出抛物线的方程，从而得出直线的方程，最后将其与抛物线的方程联立求出点的坐标，即可求出的面积．其解题的关键是求出抛物线的方程和直线的方程．11.已知、、c为正数，（1）若直线2x－（b－3）y＋6＝0与直线bx＋ay－5＝0互相垂直，试求的最小值；（2）求证：．【答案】（1）25；（2）证明见解析．【解析】（1）先利用两直线垂直得到关于正数的关系，再利用基本不等式进行求解；（2）先对不等式左边的每个括号进行因式分解，再利用基本不等式进行证明．试题解析：（1）由已知，有：即：、为正数，当且仅当时取等号，此时：故当时，的最小值是25．（2）、、c为正数，【考点】基本不等式．12.如图，已知抛物线的焦点为，椭圆的中心在原点，为其右焦点，点为曲线和在第一象限的交点，且．（1）求椭圆的标准方程；（2）设为抛物线上的两个动点，且使得线段的中点在直线上，为定点，求面积的最大值．【答案】（1）椭圆的标准方程为；（2）面积的最大值为．【解析】（1）由已知得，跟据抛物线定义，得，所以点；据椭圆定义，得．所以椭圆的标准方式是．（2）因为为线段的中点，得直线的方程为；联立，得，由弦长公式和点到直线的距离，得．再根据函数的单调性得面积的最大值为．试题解析：（1）设椭圆的方程为，半焦距为．由已知，点，则．设点，据抛物线定义，得．由已知，，则．从而，所以点．设点为椭圆的左焦点，则，．据椭圆定义，得，则．从而，所以椭圆的标准方式是．（2）设点，，，则．两式相减，得，即．因为为线段的中点，则．所以直线的斜率．从而直线的方程为，即．联立，得，则．所以．设点到直线的距离为，则．所以．由，得．令，则．设，则．由，得．从而在上是增函数，在上是减函数，所以，故面积的最大值为．【考点】1、抛物线的定义；2、椭圆的方程；3、最值问题．【方法点睛】本题考查抛物线的定义和简单几何性质、待定系数法求椭圆的标准方程、直线和椭圆相交中的有关中点弦的问题，综合性强，属于难题；对于直线和圆锥曲线相交中的中点弦问题，解决此类题目的最有效方法是点差法，两式直接相减就可以表示出斜率；而第二问中面积公式求出后，函数单调性的研究更是加深了此题的难度，运算量也比较大，不容易拿高分．13.已知抛物线（）的焦点与双曲线的右焦点重合，抛物线的准线与轴的交点为，点在抛物线上且，则点的横坐标为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】抛物线的焦点为，准线为．双曲线的右焦点为，所以，即，即，过作准线的垂线，垂足为，则，即，设，则代入，解得．故应选B．【考点】圆锥曲线的性质.【思路点睛】根据双曲线得出其右焦点坐标，可知抛物线的焦点坐标，从而得到抛物线的方程和准线方程，进而可求得的坐标，设，过点向准线作垂线，则，根据及，进而可求得点坐标．14.已知抛物线：，过焦点F的直线与抛物线交于两点（在第一象限）．（1）当时，求直线的方程；（2）过点作抛物线的切线与圆交于不同的两点，设到的距离为，求的取值范围．【答案】（1）；（2）【解析】（1）因为，故，设，，则可得则，由此可求直线的方程；（2）由于，因此故切线的方程为，化简得，则圆心（0，-1）到的距离为，且，故则，则点F到距离，则，然后再根据基本不等式即可求出结果．试题解析：（1）因为，故设，，则故则因此直线的方程为；（2）由于，因此故切线的方程为，化简得则圆心（0，-1）到的距离为，且，故则，则点F到距离则今则，故．【考点】1．直线与抛物线的位置关系；2．点到直线的距离公式；2．基本不等式．15.在直角坐标系中，直线的参数方程为（t为参数），再以原点为极点，以x正半轴为极轴建立坐标系，并使得它与直角坐标系有相同的长度单位，在该极坐标系中圆C的方程为．（1）求圆C的直角坐标方程；（2）设圆C与直线将于点、，若点的坐标为，求的值．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）极坐标与直角坐标之间的关系是，由此可实现极坐标方程与直角坐标方程的转化；（2）由直线参数方程的标准形式（即参数的几何意义），直线过点，直线上的标准参数方程为，把它代入圆的方程，其解满足，．试题解析：（1）由得，又，则有，配方得圆的标准方程为．（2）直线的普通方程为，点在直线上的标准参数方程为，代入圆方程得：．设对应的参数分别为，则，，于是．【考点】极坐标方程与直角坐标方程的互化，直线参数方程的应用．16.如图，在平面直角坐标系中，已知椭圆：的离心率，左顶点为，过点作斜率为的直线交椭圆于点，交轴于点．（1）求椭圆的方程；（2）已知为的中点，是否存在定点，对于任意的都有，若存在，求出点的坐标；若不存在说明理由；（3）若过点作直线的平行线交椭圆于点，求的最小值．【答案】（1）；（2）；（3）【解析】（1）确定椭圆标准方程，只需两个独立条件即可：一个是左顶点为，所以，另一个是，所以，（2）实质利用斜率k表示点，P ，E，假设存在定点，使得，因此，即恒成立，从而即（3）利用斜率k表示点M，因此，本题思路简单，但运算量较大．试题解析：（1）因为左顶点为，所以，又，所以又因为，所以椭圆C的标准方程为．（2）直线的方程为，由消元得，．化简得，，所以，．当时，，所以．因为点为的中点，所以的坐标为，则．直线的方程为，令，得点坐标为，假设存在定点，使得，则，即恒成立，所以恒成立，所以即因此定点的坐标为．（3）因为，所以的方程可设为，由得点的横坐标为，由，得，当且仅当即时取等号，所以当时，的最小值为．【考点】直线与椭圆位置关系17.选修4－4：坐标系与参数方程：在直角坐标系中，直线的参数方程为（t为参数），再以原点为极点，以x正半轴为极轴建立坐标系，并使得它与直角坐标系有相同的长度单位，在该极坐标系中圆C的方程为。

高三数学解析几何试题答案及解析1.中心在原点，其中一个焦点为（－2,0），且过点（2,3），则该椭圆方程为；【答案】【解析】略2.（本题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程选讲在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以原点为极点，以轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为（1）求曲线的普通方程与曲线的直角坐标方程；（2）设点，曲线与曲线交于，求的值．【答案】（1）；（2）。

【解析】（1）两式相加消去参数可得曲线的普通方程，由曲线的极坐标方程得，整理可得曲线的直角坐标方程。

（2）由（1）知曲线的方程为，且点在曲线上，所以把直线的参数方程与曲线的方程联立，利用韦达定理可得试题解析：（1）（2）将代人直角坐标方程得【考点】（1）极坐标方程、参数方程与直角坐标方程的互化；（2）直线参数方程中参数的几何意义。

3.（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程已知曲线的极坐标方程是．以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线的参数方程是是参数．（1）将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）若直线与曲线相交于、两点，且，求直线的倾斜角的值．【答案】（1）（2）或【解析】第一问注意极坐标和直角坐标的转换，第二问注意用好公式即可，注意直线的参数方程中参数的几何意义的应用．试题解析：（1）由得，于是有，化简可得（2）将代入圆的方程得，化简得．设、两点对应的参数分别为、,则,,,,或．【考点】极坐标方程与直角坐标方程的转换，直线被曲线截得的弦长问题，直线的参数方程中参数的几何意义的应用．4.已知抛物线y2 =8x的焦点为F，直线y=k（x+2）与抛物线交于A，B两点，则直线FA与直线FB的斜率之和为A．0B．2C．－4D．4【答案】A【解析】由题可知，如图，，设，联立，化为，由于，所以，因此，直线FA与直线FB的斜率之和为；【考点】抛物线的简单性质5.若圆C的半径为1，其圆心与点（1，0）关于直线y＝x对称，则圆C的标准方程为_______．【答案】【解析】∵圆心与点（1，0）关于直线y＝x对称，∴圆心为，又∵圆C的半径为1，∴圆C的标准方程为．【考点】圆的标准方程．6.已知是圆的切线，切点为，．是圆的直径，与圆交于点，，则圆的半径．【答案】【解析】在直角三角形中，由切割线定理可得，即，解得.【考点】1.勾股定理；2.切割线定理.7.如图，双曲线的中心在坐标原点，分别是双曲线虚轴的上、下顶点，是双曲线的左顶点，为双曲线的左焦点，直线与相交于点．若双曲线的离心率为2，则的余弦值是（）A．B．C．D．【答案】【解析】可设双曲线方程为，即得，，，所以直线方程为，直线方程为，又把和的直线方程联立解得，又，所以，即所以有，，则，又故答案选【考点】双曲线的简单性质．8.已知抛物线，则A．它的焦点坐标为B．它的焦点坐标为C．它的准线方程是D．它的准线方程是【答案】C【解析】将抛物线化为标准方程得，所以其焦点坐标为,准线方程为．【考点】抛物线的标准方程及几何性质．9.已知双曲线的离心率为，则的值为A．B．3C．8D．【答案】B【解析】试题分析:由题意知，，所以，解之得，故应选．【考点】1、双曲线的概念；2、双曲线的简单几何性质；10.已知抛物线：的焦点为，抛物线上的点到焦点的距离为3，椭圆：的一个焦点与抛物线的焦点重合，且离心率为．（1）求抛物线和椭圆的方程；（2）已知直线：交椭圆于、两个不同的点，若原点在以线段为直径的圆的外部，求的取值范围．【答案】（1）抛物线的方程为：；椭圆的方程为；（2）或．【解析】（1）由抛物线的定义并结合已知条件可得，，进而得出抛物线的方程；再由椭圆的一个焦点与抛物线的焦点重合，可得椭圆半焦距，即，又由椭圆的离心率为，即可联立方程组解出，的值，进而得出椭圆的方程；（2）首先设出、，然后联立直线与椭圆的方程并整理得到一元二次方程，由韦达定理可得，，以及判别式得出参数的取值范围，最后由原点在以线段为直径的圆的外部即得到关于的不等式，进而求出的取值范围．试题解析：（1）由题意可知，解得，所以抛物线的方程为：．∴抛物线的焦点，∵椭圆的一个焦点与抛物线的焦点重合，∴椭圆半焦距，．∵椭圆的离心率为，∴，解得，，∴椭圆的方程为．（2）设、，由得，∴，，由，即，解得或．①∵原点在以线段为直径的圆的外部，则，∴，解得．②由①②解得实数的范围是或．【考点】1、抛物线；2、椭圆的标准方程；3、直线与椭圆相交的综合问题．11.如图，已知椭圆（）经过点，离心率，直线的方程为．（1）求椭圆的标准方程；（2）是经过椭圆右焦点的任一弦（不经过点），设直线与相交于点，记，，的斜率分别为，，，问：是否存在常数，使得？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．【答案】（1）；（2）存在常数符合题意．【解析】（1）根据点在椭圆上，可将其代入椭圆方程，又且解方程组可得的值．（2）设直线的方程为，与椭圆方程联立消去可得关于的一元二次方程，从而可得两根之和，两根之积．根据斜率公式可用表示出．从而可得的值．试题解析：解：（Ⅰ）由点在椭圆上得，，①又，所以，②由①②得，故椭圆的方程为．（Ⅱ）假设存在常数，使得，由题意可设则直线的方程为，③代入椭圆方程，并整理得，设，则有，④在方程③中，令得，，从而．又因为共线，则有，即有，所以=，⑤将④代入⑤得，又，所以，故存在常数符合题意．【考点】1椭圆的简单几何性质；2直线与椭圆的位置关系问题．12.【选修4-2：极坐标与参数方程】已知直线n的极坐标是，圆A的参数方程是（θ是参数）（1）将直线n的极坐标方程化为普通方程；（2）求圆A上的点到直线n上点距离的最小值．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）利用,即可将极坐标方程化为平面直角坐标系方程；消去参数即可将圆的参数方程化为普通方程；（2）运用普通方程，并利用圆心到直线的距离减去半径即得最小值．试题解析：（1）由，展开为，化为；（2）圆A的（θ是参数）化为普通方程为，圆心，半径．∴圆心到直线n的距离．∴圆A上的点到直线n上点距离的最小值为：．【考点】（1）极坐标、参数方程化普通方程；（2）圆上点到直线距离的最值问题．13.已知曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．（1）把的参数方程化为极坐标方程；（2）求与交点的极坐标（）．【答案】（1）；（2），．【解析】（1）先得到的普通方程，进而得到极坐标方程；（2）先联立求出交点坐标，进而求出极坐标．试题解析：（1）将消去参数，化为普通方程5，即．将代入得，所以的极坐标方程为．（2）的普通方程为．由，解得或，所以与交点的极坐标分别为，．【考点】1、参数方程与普通方程的互化；2、极坐标方程与直角坐标方程的互化．14.已知双曲线的一条渐近线过点（2，），则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】因为双曲线的方程为所以双曲线一条渐近线方程经过点可得，，解得离心率，故选D．【考点】1、双曲线的渐近线；2、双曲线的离心率．15.已知直线l经过点，倾斜角，圆C的极坐标方程为．（1）写出圆C的直角坐标方程；（2）设l与圆C相交于两点A、B，求A、B两点间的距离．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）首先根据两角差的余弦公式展开，然后两边同时乘以，根据，，化简，得到圆的直角坐标方程；（2）根据定点和倾斜角写出直线的参数方程，代入圆的方程得到关于的二次方程，根据韦达定理和的几何意义，，即可求出结果．试题解析：解：（1）由得，所以，即，故圆C的直角坐标方程为．（2）直线l的参数方程为，即（t为参数），把（t为参数）代入得，设方程的两根为，，则，．故．【考点】1．极坐标方程与直角坐标方程的互化；2．弦长公式．【易错点睛】极坐标与参数方程的问题，属于基础题型，对于形如（t为参数）的参数方程，应先化为直线参数方程的标准形式后才能利用的几何意义解题．在参数方程与普通方程的互化中，必须使的取值范围保持一致．16.选修4-4：坐标系与参数方程已知直线（为参数），曲线（为参数）．（1）设与相交于，两点，求；（2）若把曲线上各点的横坐标压缩为原来的倍，纵坐标压缩为原来的倍，得到曲线，设点是曲线上的一个动点，求它到直线的距离的最小值．【答案】（1）；（2）【解析】（1）由得普通方程为，的普通方程为．联立方程组，即可求出结果；（2）的参数方程为（为参数），故点的坐标是，从而点到直线的距离，根据三角函数的性质即可求出结果．试题解析：（1）的普通方程为，的普通方程为，联立方程组，解得交点坐标为，，所以；（2）曲线（为参数）．设所求的点为，则到直线的距离当时，取得最小值．【考点】1．极坐标；2．参数方程．17.若直线和直线将圆分成长度相等的四段弧，则．【答案】18【解析】由题意得直线和直线截得圆的弦所对圆周角相等，皆为直角，因此圆心到两直线距离皆为，即【考点】直线与圆位置关系18.已知椭圆：的左右焦点分别为，，离心率为，直线：，为点关于直线对称的点，若为等腰三角形，则的值为．【答案】．【解析】分析题意可知为等腰三角形可得，即点到直线距离为，∴，故填：．【考点】双曲线的标准方程及其性质．19.已知椭圆过定点，以其四个顶点为顶点的四边形的面积等于以其两个短轴端点和两个焦点为顶点的四边形面积的倍．（Ⅰ）求此椭圆的方程；（Ⅱ）若直线与椭圆交于，两点，轴上一点，使得为锐角，求实数的取值范围．【答案】（Ⅰ）椭圆的方程为；（Ⅱ）的取值范围．【解析】（Ⅰ）以四个顶点为顶点的四边形和以其两个短轴端点和两个焦点为顶点的四边形均为菱形，易求它们的对角线长，根据其面积关系可得，又再把点代入椭圆方程，可得，从而求得其方程；（Ⅱ）由为锐角，得，根据向量数量积的坐标运算可得两点坐标之间的关系，整理方程组，根据韦达定理把两根之和和两根之积代入上面的关系式，可得关于的不等式，解不等式即可求得参数的取值范围．试题解析：（Ⅰ）以椭圆四个顶点为顶点的四边形的面积，以两个短轴端点和两个焦点为顶点的四边形面积．，即．可设椭圆方程为，代入点可得．所求椭圆方程为．（Ⅱ）由为锐角，得，设，，则，，，联立椭圆方程与直线方程消去并整理得．所以，，进而求得，所以，即，解之得的取值范围【考点】待定系数法求椭圆方程及直线与椭圆位置关系的应用．【方法点睛】本题第一问主要考查了待定系数求椭圆方程，发现两个四边形的形状快速求得其面积是解答本问的突破口；第二问中，对条件“为锐角”的转化是关键，在直线与圆锥曲线的位置关系问题中，夹角为“锐角”、“钝角”、 “直角”及“点在圆外、圆内、圆上”等实际上都可以转化为向量的数量积问题，通过向量数量积的坐标运算可得直线与圆锥曲线的交点坐标之间的关系，再结合方程组和韦达定理即可建立函数、方程或不等式，这里面会考查到学生转化的数学思想，数形结合的数学思想及函数与方程的思想等，这类问题综合性较强，属于中高档题目．20. （2015秋•锦州校级期中）已知△ABC ，点A （2，8）、B （﹣4，0）、C （4，﹣6），则∠ABC 的平分线所在直线方程为 ． 【答案】x ﹣7y+4=0【解析】先求出三角形ABC 是等腰直角三角形，作出∠ABC 的角平分线BD ，求出D 点坐标，BD 的斜率，再用点斜式求得所在直线方程即可．解：如图示：，∵k AB =，k BC =﹣，∴AB ⊥BC ，∵|AB|==10，|BC|==10，∴|AB|=|BC|， ∴△ABC 是等腰直角三角形， 作出∠ABC 的角平分线BD ，∴直线BD 是线段AC 的垂直平分线，D 是AC 的中点， ∴D （3，1）， 由k AC =﹣7得：k BD =，∴直线BD 的方程是：y=1=（x ﹣3）， 整理得：x ﹣7y+4=0， 故答案为：x ﹣7y+4=0．【考点】待定系数法求直线方程．21. 如图，分别是双曲线的左、右焦点，过的直线与的左、右两支分别交于点．若为等边三角形，则双曲线的离心率为（）A．4B．C．D．【答案】B【解析】由双曲线的定义，知，．又＝＝．又为等边三角形，所以＝，即＝，所以，所以，所以．在中，由余弦定理，得－＝，即，所以，所以，故选B．【考点】1、双曲线的定义及几何性质；2、余弦定理．【方法点睛】离心率的求解中可以不求出的具体值，而是得出与的关系，从而求得，一般步骤如下：①根据已知条件得到齐次方程；②化简得到关于的一元二次方程；③求解的值；④根据双曲线离心率的取值范围进行取舍．22.在以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立的极坐标系中，曲线的极坐标方程为，正三角形的顶点都在上，且依逆时针次序排列，点的坐标为．（I）求点的直角坐标；（II）设是圆上的任意一点，求的取值范围．【答案】（I），；(II) ．【解析】（I）先将曲线的极坐标方程化为普通方程，进而化为参数方程，再确定所求点的坐标；（II）设出点的参数坐标，化简表达式，利用三角恒等变形进行求解．试题解析：（1）由题意，得曲线的普通方程为，其参数方程为为参数，又因为点的坐标为，所以点的坐标为，即；点的坐标为，即．（2）由圆的参数方程，可设点，于是，∴的范围是．【考点】1.曲线的极坐标、普通方程、参数方程的转化；2.三角恒等变换．23.已知曲线的极坐标方程是．以极点为平面直角坐标系的原点,极轴为轴的正半轴,建立平面直角坐标系,直线的参数方程是（为参数）．（1）将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）若直线与曲线相交于、两点,且,求直线的倾斜角的值．【答案】（1）；（2）或.【解析】（1）把转化为 ,再利用,,转化为直角坐标方程；（2）将代入圆的方程化简得,．,求得,所以或．试题解析：（1）由得．∵,,,∴曲线的直角坐标方程为,即；（2）将代入圆的方程得,化简得．设两点对应的参数分别为、,则∴．∴,,或．【考点】参数方程、极坐标方程、直角坐标方程的互化及应用24.设双曲线的左、右焦点分别为，，离心率为，过的直线与双曲线的右支交于，两点，若是以为直角顶点的等腰直角三角形，则（）A．B．C．D．【答案】C【解析】设，则，，，∵，∴，∴，∵为直角三角形，∴，∴，∵，∴，∴，故选C．【考点】1、双曲线的定义；2、双曲线的简单几何性质．25.已知抛物线的焦点F与双曲线的右焦点重合，抛物线的准线与轴的交点为K，点A在抛物线上且，则A点的横坐标为（）A．B．3C．D．4【答案】B【解析】因为抛物线的焦点F与双曲线的右焦点重合，所以抛物线的标准方程为，，设点，则由，得，即，即，解得，即A点的横坐标为3；故选B．【考点】1.抛物线的定义；2.双曲线的定义．【技巧点睛】本题考查抛物线、双曲线的定义的应用和两点间的距离公式，属于基础题；在处理与抛物线的焦点有关的问题时，要注意利用抛物线的定义使抛物线的点到焦点的距离和到准线的距离进行相互转化，但要注意抛物线的标准方程的形式，如抛物线上的点到焦点的距离为，抛物线上的点到焦点的距离为，抛物线上的点到焦点的距离为，物线上的点到焦点的距离为.26.在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），在以直角坐标系的原点为极点，轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线的极坐标方程为．（1）求曲线的直角坐标方程和直线的普通方程；（2）若直线与曲线相交于两点，求的面积．【答案】（1），；（2）．【解析】（1）利用极坐标与直角坐标的互化，可把极坐标方程化为普通方程；消去参数可得直线的直角坐标方程；（2）将直线的参数方程代入曲线的方程，得，由，即可求解的长度，再利用点到直线的距离公式求解的高，即可求解三角形的面积．试题解析：（1）由曲线的极坐标方程是：，得．∴由曲线的直角坐标方程是：．由直线的参数方程，得代入中消去得：，所以直线的普通方程为：（2）将直线的参数方程代入曲线的普通方程，得，设两点对应的参数分别为，所，因为原点到直线的距离，所以的面积是【考点】参数方程、极坐标方程与直角坐标方程的互化；直线参数的应用．27.如图，椭圆左、右焦点分别为，上顶点轴负半轴上有点，满足，且，若过三点的圆与直线相切.(Ⅰ)求椭圆的方程；(Ⅱ)若为椭圆上的点，且直线垂直于轴，直线与轴交于点，直线与交于点，求的面积的最大值.【答案】(Ⅰ) (Ⅱ)【解析】（Ⅰ）由题得，即的外接圆圆心为，半径，则由过三点的圆与直线相切可求得，进而得到，则椭圆的方程可求；（Ⅱ）首先证明点恒在椭圆上通过设、直线，利用三角形面积公式化简可知，通过联立直线与椭圆方程后由韦达定理、换元化简可知，，令求出的最大值进而即得结论．试题解析：(Ⅰ)由题得，即，的外接圆圆心为，半径，∵过三点的圆与直线相切，∴，解得：，∴所求椭圆方程为：.(Ⅱ)设，则，∴，与的方程分别为：.则，∵，∴点恒在椭圆上.设直线，则，记，，，令,则，∵函数在为增函数，∴当即时，函数有最小值4，即时，，又∵.故【考点】【名师】本题考查了椭圆离心率，方程的求法，以及直线与椭圆位置关系，属中档题.解题时注意设而不求思想的应用．以及基本不等式的综合应用，难点在于证明点恒在椭圆上28.以双曲线的右焦点为圆心，为半径的圆恰好与双曲线的两条渐近线相切，则该双曲线的离心率为 .【答案】【解析】由题意得【考点】双曲线渐近线29.设分别为椭圆（）与双曲线（）的公共焦点，它们在第一象限内交于点，，若椭圆的离心率，则双曲线的离心率的取值范围为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】设，则，又，，所以，，则，由得，又，所以，即，所以．故选B．【考点】椭圆与双曲线的性质．【名师】本题是椭圆与双曲线的综合题，解题时要注意它们性质的共同点和不同点，如离心率是相同的，准线方程是，但椭圆中有，，双曲线中有，，这在解题时要特别注意不能混淆，否则易出错．30.在直角坐标系中，直线为过点，且倾斜角为的直线，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线（1）写出直线的参数方程和曲线的直角坐标方程；（2）若直线与曲线相交于两点，且，求的长【答案】（1）直线：（为参数，其中），；（2）．【解析】（1）过点，倾斜角为的直线的参数方程为，由此可写出题中直线的参数方程，利用公式，可把极坐标方程化为直角坐标方程；（2）考虑到参数方程中参数的几何意义，由于在椭圆内部，对应的参数分别为，则，因此把直线参数方程代入椭圆的直角坐标方程，整理后可得，利用可求得，从而得，而，由此可得弦长．试题解析：（1）直线：（为参数，其中），（2）把：代入，整理得，由于点在椭圆内，则恒成立，由韦达定理由于，由的几何意义知，所以，又，则所以【考点】参数方程与普通方程的互化，极坐标方程与直角坐标方程的互化．31.选修4—1：几何证明选讲如图，⊙O的半径OB垂直于直径AC，M为AO上一点，BM的延长线交⊙O于N,过N点的切线交CA的延长线于P．（1）求证：PM2=PA·PC；（2）若⊙O的半径为，OA=OM，求：MN的长．【答案】（1）证明见解析；（2）．【解析】（1）做出辅助线连接，根据切线得到直角，根据垂直得到直角，即且，根据同角的余角相等，得到角的相等关系，得到结论；（2）本题是一个求线段长度的问题，在解题时，应用相交弦定理，即，代入所给的条件，得到要求线段的长．试题解析：（1）连结，则，且为等腰三角形，则，，，．由条件，根据切割线定理，有，所以．（2），在中，．延长交⊙于点，连结．由条件易知∽，于是，即，得．所以．【考点】与圆有关的比例线段．32.、分别是椭圆：的左、右焦点，为坐标原点，是上任意一点，是线段的中点．已知的周长为，面积的最大值为．（Ⅰ）求的标准方程；（Ⅱ）过作直线交于两点，，以为邻边作平行四边形，求四边形面积的取值范围．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）【解析】（Ⅰ）连接，由椭圆定义知，是线段的中点，是线段的中点，，周长为，可得，……①又面积，可得，……②，由即可求出椭圆方程；（Ⅱ）设，，显然直线的斜率不能为0，故设直线的方程为，代入椭圆方程，整理得，，，， 9分设，则，，然后再利用基本不等式即可求出结果.试题解析：解：（Ⅰ）连接，由椭圆定义知，是线段的中点，是线段的中点，，周长为，即，……① 2分又面积，所以当时，最大，所以，……② 4分由解得，所以的标准方程为．（Ⅱ）设，，显然直线的斜率不能为0，故设直线的方程为，代入椭圆方程，整理得，，，，设，则，，因为，所以，当且仅当时，等号成立，所以，，四边形面积的取值范围．【考点】1.椭圆方程；2.直线与椭圆的位置关系.33.设是坐标原点，椭圆的左右焦点分别为，且是椭圆上不同的两点。

高中解析几何试题及答案1. 已知圆的方程为 \((x-2)^2+(y-3)^2=9\)，求该圆的圆心坐标和半径。

答案：圆心坐标为 \((2, 3)\)，半径为 \(3\)。

2. 求直线 \(2x + 3y - 6 = 0\) 关于点 \((1, 2)\) 对称的直线方程。

答案：对称直线的方程为 \(2x - 3y + 8 = 0\)。

3. 已知椭圆 \(\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1\)（其中\(a > b > 0\)）经过点 \((2, 3)\)，且离心率 \(e = \frac{c}{a}\) 为 \(\frac{1}{2}\)，求椭圆的长轴和短轴长度。

答案：根据离心率 \(e = \frac{c}{a} = \frac{1}{2}\)，我们有 \(c =\frac{a}{2}\)。

由于椭圆经过点 \((2, 3)\)，代入椭圆方程得\(\frac{4}{a^2} + \frac{9}{b^2} = 1\)。

又因为 \(c^2 = a^2 -b^2\)，代入 \(c = \frac{a}{2}\) 得 \(\frac{a^2}{4} = a^2 -b^2\)，解得 \(b^2 = \frac{3}{4}a^2\)。

将 \(b^2\) 代入椭圆方程，解得 \(a^2 = 16\) 和 \(b^2 = 12\)。

因此，椭圆的长轴长度为\(2a = 32\)，短轴长度为 \(2b = 24\)。

4. 求抛物线 \(y^2 = 4px\)（\(p > 0\)）的焦点坐标。

答案：焦点坐标为 \((\frac{p}{2}, 0)\)。

5. 已知双曲线 \(\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1\) 的一条渐近线方程为 \(y = \frac{b}{a}x\)，求双曲线的离心率。

答案：双曲线的离心率 \(e = \sqrt{1 + \frac{b^2}{a^2}}\)。

高考数学解析几何专题练习解析版82页1．一个顶点的坐标2,0，焦距的一半为3的椭圆的标准方程是（）A.19422yxB.14922yxC.113422yxD.141322yx2．已知双曲线的方程为22221(0,0)x y a b ab，过左焦点F 1作斜率为3的直线交双曲线的右支于点P ，且y 轴平分线段F 1P ，则双曲线的离心率是( )A ．3B ．32C ．31D ．323．已知过抛物线y 2=2px （p>0）的焦点F 的直线x －my+m=0与抛物线交于A ，B 两点，且△OAB （O 为坐标原点）的面积为22，则m 6+ m 4的值为（）A ．1B ． 2C ．3D ．44．若直线经过(0,1),(3,4)A B 两点，则直线AB 的倾斜角为A ．30oB．45oC．60oD．120o5．已知曲线C 的极坐标方程ρ=22cos ,给定两点P(0，π/2)，Q （-2，π），则有 ( )（Ａ）P 在曲线C 上，Q 不在曲线C 上（Ｂ）P 、Q 都不在曲线C 上（Ｃ）P 不在曲线C 上，Q 在曲线C 上（Ｄ）P 、Q 都在曲线C 上6．点M 的直角坐标为)1,3(化为极坐标为（）A ．)65,2( B．)6,2( C ．)611,2( D．)67,2(7．曲线的参数方程为12322tyt x (t 是参数)，则曲线是（）A 、线段B 、直线C 、圆D 、射线8．点（2,1）到直线3x-4y+2=0的距离是（）A ．54B ．45C ．254D ．4259．圆06422y x yx的圆心坐标和半径分别为（）A.)3,2(、13B.)3,2(、13 C.)3,2(、13 D.)3,2(、1310．椭圆12222by x的焦点为21,F F ,两条准线与x 轴的交点分别为M 、N ，若212F F MN，则该椭圆离心率取得最小值时的椭圆方程为( )A.1222yxB.13222yxC.12222yxD.13222yx11．过双曲线的右焦点F 作实轴所在直线的垂线，交双曲线于A ，B 两点，设双曲线的左顶点M ，若MAB 是直角三角形，则此双曲线的离心率e 的值为（）A ．32B ．2C ．2D ．312．已知)0(12222baby ax ，N M ,是椭圆上关于原点对称的两点，P 是椭圆上任意一点且直线PN PM ,的斜率分别为21,k k ，021k k ，则21k k 的最小值为1,则椭圆的离心率为( ).(A)22 (B) 42 (C)23 (D)4313．设P 为双曲线11222yx上的一点，F 1、F 2是该双曲线的两个焦点，若2:3:21PF PF ，则△PF 1F 2的面积为（）A ．36B ．12C ．123D ．2414．如果过点m P,2和4,m Q 的直线的斜率等于1,那么m 的值为( )A ．4B ．1C ．1或3D ．1或415．已知动点(,)P x y 在椭圆2212516xy 上,若A 点坐标为(3,0),||1AM ,且0PM AM 则||PM 的最小值是（）A ．2 B．3 C．2 D．316．直线l 与抛物线交于A,B 两点;线段AB 中点为，则直线l 的方程为A 、B 、、C 、D、17．已知椭圆2222:1(0)x y C a b ab＞＞的离心率为32，过右焦点F 且斜率为(0)k k ＞的直线与C 相交于A B 、两点．若3AFFB ，则k（）（A ）1（B ）2（C ）3（D ）218．圆22(2)4x y与圆22(2)(1)9x y 的位置关系为( )A.内切B.相交C.外切D.相离19．已知点P 在定圆O 的圆内或圆周上,动圆C 过点P 与定圆O 相切,则动圆C 的圆心轨迹可能是()(A)圆或椭圆或双曲线(B)两条射线或圆或抛物线(C)两条射线或圆或椭圆(D)椭圆或双曲线或抛物线20．若直线l ：y ＝kx －3与直线2x ＋3y －6＝0的交点位于第一象限，则直线l 的倾斜角的取值范围是()A ．[6，3) B．(6，2) C．(3，2) D．[6，2]21．直线l 与两直线1y 和70x y 分别交于,A B 两点，若线段AB 的中点为(1,1)M ，则直线l 的斜率为（）A ．23B ．32 C ．32D ．2322．已知点0,0,1,1O A，若F 为双曲线221xy的右焦点，P 是该双曲线上且在第一象限的动点，则OA FP uu r uu r的取值范围为（）A ．21,1 B．21,2 C．1,2 D ．2,23．若b a,满足12b a ，则直线03b yax过定点（）.A 21,61B .61,21C .61,21.D 21,6124．双曲线1922yx 的实轴长为 ( )A.4 B. 3 C. 2 D. 125．已知F 1、F 2分别是双曲线1by ax 2222（a>0,b>0）的左、右焦点，P 为双曲线上的一点，若9021PF F ,且21PF F 的三边长成等差数列，则双曲线的离心率是（）A ．2B．3C． 4D． 526．过A(1，1)、B(0，-1)两点的直线方程是()A.B.C. D.y=x 27．抛物线x y 122上与焦点的距离等于6的点横坐标是（）A ．1B．2Ｃ．3Ｄ．428．已知圆22:260C xyx y，则圆心P 及半径r 分别为（）A 、圆心1,3P ，半径10r ；B 、圆心1,3P ，半径10r ；C 、圆心1,3P ，半径10r；D 、圆心1,3P ，半径10r。

第20题解析几何高考考点命题分析三年高考探源 考查频率曲线的方程或轨迹方程高考全国卷每年必有一道解析几何解答题，在高考中解析几何一般运算量较大，该题通常有2问，第1问多为曲线方程的确定，第2问多为直线与圆锥曲线的位置关系的应用，考查热点是长度、面积及定点定值问题2021课标全国Ⅰ21 2021课标全国Ⅱ20 2020课标全国Ⅰ202020课标全国Ⅱ19 2019课标全国Ⅲ20 2019课标全国Ⅰ19 2019课标全国Ⅱ21★★★★★ 直线与圆锥曲线位置关系及应用（长度、面积、定点、定值）2021课标全国Ⅰ21 2021课标全国Ⅱ20 2020课标全国Ⅰ20 2020课标全国Ⅲ20 2019课标全国Ⅰ19 2019课标全国Ⅱ21 2019课标全国Ⅲ21★★★★★例题（2021高考全国I ）已知抛物线()2:20C x py p =>的焦点为F ，且F 与圆22:(4)1M x y ++=上点的距离的最小值为4．（1）求p ；（2）若点P 在M 上，,PA PB 是C 的两条切线，,A B 是切点，求PAB △面积的最大值． 【答案】（1）2p =；（2）5解：（1）抛物线C 的焦点为0,2p F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，42pFM =+，（2分）所以，F 与圆22:(4)1M x y ++=上点的距离的最小值为4142p+-=，解得2p =；（4分）（2）抛物线C 的方程为24x y =，即24x y =，对该函数求导得2x y '=，（5分）设点()11,A x y 、()22,B x y 、()00,P x y ， 直线PA 的方程为()1112x y y x x -=-，即112x x y y =-，即11220x x y y --=， 同理可知，直线PB 的方程为22220x x y y --=，由于点P 为这两条直线的公共点，则10102020220220x x y y x x y y --=⎧⎨--=⎩，所以，点A 、B 的坐标满足方程00220x x y y --=， 所以，直线AB 的方程为00220x x y y --=，联立0022204x x y y x y --=⎧⎪⎨=⎪⎩，可得200240x x x y -+=， 由韦达定理可得1202x x x +=，1204x x y =，（8分） 所以，()()()222222001212000001414164422x x AB x x x x x y xx y ⎛⎫⎛⎫=++-=+-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，（9分）点P 到直线AB 的距离为200244x y d x -=+（100分）所以，()()()2300222200002041114442224PABx y S AB d xx y x y x -=⋅=+-=-+△， ()()2222000000041441215621x y y y y y y -=-+-=---=-++，由已知可得053y -≤≤-，所以，当05y =-时，PAB △的面积取最大值321202052⨯=（12分）1．（2022届山西省吕梁市高三模拟）已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F 3(3,6为C 上一点，过点1F 且与y 轴不垂直的直线l 与C 交于A ，B 两点． (1)求C 的方程；(2)在平面内是否存在定点Q ，使得QA QB ⋅为定值？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)221128x y +=(2)存在；8,03Q ⎛⎫- ⎪⎝⎭【解析】 (1)设C 的半焦距为()0c c >，由题意得222223361c a a b a b c⎧=⎪⎪⎪+=⎨⎪=+⎪⎪⎩，解得2221284a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩，所以C 的方程为221128x y +=．(2)假设存在定点(),Q s t ，使得QA QB ⋅为定值λ，设()11,A x y ，()22,B x y ． 由（1）知()2,0F -，因为l 不垂直于y 轴，故设l 的方程为2x my =-，联立，得2221128x my x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去x 并化简，得()22238160m y my +--=．则()226464230m m ∆=++>，且122823m y y m +=+，1221623y y m =-+， ()()1111,2,QA x s y t my s y t =--=---，()()2222,2,QB x s y t my s y t =--=---，所以()()()()121222QA QB my s my s y t y t ⋅=----+--()()()()2221212122m y y m s t y y s t =+-++++++⎡⎤⎣⎦()()()222221618222323m m s t m s t m m λ+++⎡⎤⎣⎦=--+++=++． 所以()()()222222221616828223223m s m tm s t m s t m λλ⎡⎤⎡⎤---+-++++++=+⎣⎦⎣⎦， 所以()()2216822222s s t λ--++++=，80t -=，()22163233s t λ-+++=，所以83s =-，0=t ，449λ=-．所以存在8,03Q ⎛⎫- ⎪⎝⎭，使得QA QB ⋅为定值449-．2．（2022届河南省顶级名校高三4月联合考）己知抛物线1C 的方程是223y x =，圆2C 的方程是()2211x a y -++=，过抛物线1C 上的点()(),0>P a b b 作圆2C 的切线，两切线分别与抛物线1C 相交于与点P 不重合的()()()112212,,,>A x y B x y y y 两点． (1)求直线P A ，PB 的方程（直线PB 的方程用含b 的等式表示）； (2)若PA PB =，求实数2b 的值．【答案】(1)x a =，()242214370b x by b b ---+=(2)227+【解析】 (1)由题意可知，直线PB 的方程是x a =，根据条件可设直线PA 的方程是()y k x a b =-+，即0kx y ka b --+=， ∵直线PA 与圆()2211x a y -++=相切，∴()2111k a ka bk --+=+，∴212b k b-=，∴直线PA 的方程是2221130222b b b x y b b b ----⋅+=，即()242214370b x by b b ---+=.(2)若210b -=，则0k =，直线PA 与抛物线1C 没有两个交点，不合题意， 故210b -≠，∴直线PA 的方程可写成()4222237121b b b x y b b -=+--，将它代入223y x =并化简得()2242314370b y by b b ---+=，∴()()2224Δ(4)121730b b b b =---->①，()12431b y b b +=-，即()12431by b b =--， ∴()21112211114PA b y b by k k=+-=++-()()()()()2222222222221354164143119131b b b b b b b b b b b b ⎡⎤+-⎢⎥=+---⎢⎥---⎣⎦，∵2PB b =，∴()22222135231b b b b b +-=-，解得，22b =，或227b += 经检验，22b =与227b +=①，所以实数2b 的值是227+3．（2022届山西省高三第二次模拟）已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>经过点()12,0A ，()24,0A ，(322,3A ，(422,3A -，53,3A 中的3个点.(1)求双曲线C 的方程；(2)已知点M ，N 是双曲线C 上与其顶点不重合的两个动点，过点M ，N 的直线1l ，2l 都经过双曲线C 的右顶点，若直线1l ，2l 的斜率分别为1k ，2k ，且121k k +=，判断直线MN 是否过定点，若过定点，求出该点的坐标；若不过定点，请说明理由【答案】(1)22143x y -=(2)直线MN 过定点，且定点坐标为()2,3【解析】 (1)由于34,A A 关于x 轴对称，所以34,A A 要么都在双曲线C 上，要么都不在双曲线C 上.点12,A A 不可能都在双曲线C 上，因为双曲线C 经过3个点，所以34,A A 都在双曲线C 上.将34,A A 的坐标代入22221x y a b-=得22831a b -=，由34,A A 都在双曲线C 上可知()24,0A 、53,3A 都不在双曲线C 上，所以点()12,0A 在双曲线C 上，故2a =， 结合22831a b -=可得3b = 所以双曲线C 的方程为22143x y -=.(2)设()()1122,,,M x y N x y ，其中12y y ≠，故可设直线MN 的方程为x my n =+，由22143x my nx y =+⎧⎪⎨-=⎪⎩消去x 并化简得()2223463120m y mny n -++-=，2340m -≠，21212226312,3434mn n y y y y m m -+=-⋅=--. 因为双曲线C 的右顶点为()12,0A ，且121k k +=， 所以121212122222y y y y x x my n my n +=+--+-+-12122212122(2)()(2)()(2)my y n y y m y y m n y y n +-+=+-++-22222222222226246123343413126122(2)3434mn m mn mnm m m m n m m n m n nn m m -----==----+---，所以32n m =-+，代入x my n =+得()32x m y =-+， 当3y =时，2x =， 所以直线MN 过定点()2,3.4．（2022届河北省九师联盟高三4月联考）已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左，右焦点分别为()16,0F ，)26,0F ．且该双曲线过点(22,2P ．(1)求C 的方程；(2)如图．过双曲线左支内一点(),0T t 作两条互相垂直的直线分别与双曲线相交于点A ，B 和点C ，D ．当直线AB ，CD 均不平行于坐标轴时，直线AC ，BD 分别与直线x t =相交于P ．Q 两点，证明：P ，Q 两点关于x 轴对称． 【答案】(1)22142x y -=(2)证明见解析 【解析】 (1)解：由已知可得22226821a b a b ⎧+⎪⎨-=⎪⎩，解得224,2a b ==， 所以双曲线C 的方程为22142x y -=； (2)证明：由题意，设直线AB 的方程为x my t =+，直线CD 的方程为1x y t m=-+，点 ()()()()11223344,,,,,,,A x y B x y C x y D x y ，由22142x y x my t ⎧-=⎪⎨⎪=+⎩，得 ()2222240m y mty t -++-=，则()()22222(2)424168320mt m t m t ∆=---=+->，得2224m t +>，所以212122224,22mt t y y y y m m --+==--， 同理可得()2234342242,1212t m mt y y y y m m-+==--，其中,m t 满足2224t m +>， 直线AC 的方程为()133111y y y y x x x x --=--，令x t =，得()131113y yy t x y x x -=-+-, 又11331,x my t x y t m =+=-+，所以()2121331m y y y m y y +=+，即()2132131,m y y P t m y y ⎛⎫+ ⎪ ⎪+⎝⎭， 同理可得()2242241,m y y Q t m y y ⎛⎫+ ⎪ ⎪+⎝⎭， 因为()()()()()()()2222123412341324222213241324111m m y y y y y y y y my y my y m y y m y y my y m y y ⎡⎤++++++⎣⎦+=++++()()()()()222222222221324442212122120m t t m mt mt m m m m m m y y m y y ⎡⎤---+⋅+⋅⎢⎥----⎢⎥⎣⎦==++， 所以,P Q 两点关于x 轴对称.5．（2022届天津市第七中学高三阶段检测）已知曲线C 上动点M 与定点()2,0F 的距离和它到定直线1:22l x =-22，若过()0,1P 的动直线l 与曲线C 相交于,A B 两点．(1)说明曲线C 的形状，并写出其标准方程； (2)是否存在与点P 不同的定点Q ，使得QA PAQB PB=恒成立？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)曲线C 为椭圆，标准方程为：22142x y +=，(2)存在定点()0,2Q ，使得QA PA QB PB =恒成立. 【解析】 (1) 设(),M x y ()2222222x y x ++=+，整理可得：22142x y +=， ∴曲线C 为椭圆，标准方程为：22142x y +=.(2)①当直线l 与y 轴垂直时，即:1l y =，由椭圆对称性可知：PA PB =，QA QB ∴=，∴点Q 在y 轴上；②当直线l 与x 轴垂直时，即:0l x =，则(2A ，(0,2B -， 若存在定点Q ，则由①知：点Q 在y 轴上，可设()()0,1Q t t ≠，由QA PA QB PB =221212t t --=++1t =（舍）或2t =，()0,2Q ∴； 则若存在定点Q 满足题意，则Q 点坐标必然是()0,2，只需证明当直线l 斜率存在时，对于()0,2Q ，都有QA PAQB PB=成立即可. 设:1l y kx =+，()11,A x y ，()22,B x y ，由221142y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得：()2212420k x kx ++-=，其中23280k ∆=+>恒成立，122122412212k x x k x x k ⎧+=-⎪⎪+∴⎨⎪=-⎪+⎩，121212112x x k x x x x +∴+==，设点B 关于y 轴的对称点为B '，则()22,B x y '-， 11111211QA y kx k k x x x --===-，22222211QB y kx k k x x x '--===-+--， 12112220QA QB k k k k k x x '⎛⎫∴-=-+=-= ⎪⎝⎭，即,,Q A B '三点共线，12QA QA x PAQB QB x PB∴==='； 综上所述：存在定点()0,2Q ，使得QA PAQB PB=恒成立. 6．（2022届浙江省嘉兴市高三4月二模）已知椭圆22122:1(0)x y C a b a b+=>>的左､右焦点分别为1F ，2F ，椭圆1C 上的点31,2A ⎛⎫- ⎪⎝⎭到两焦点1F ，2F 的距离之和为4.(1)求椭圆1C 的标准方程；(2)若抛物线22:2(0)C y px p =>的焦点F 与椭圆1C 的右焦点2F 重合，过点(,0)(0)P m m >作直线1l 交抛物线2C 于点M ，N ，直线MF 交抛物线2C 于点Q ，以Q 为切点作抛物线2C 的切线2l ，且21l //l ，求MNQ △面积S 的最小值.【答案】(1)22143x y +=；(2)16.【解析】 (1)因为椭圆1C 上的点31,2A ⎛⎫- ⎪⎝⎭到两焦点1F ，2F 的距离之和为4，所以有24a =，即2a =，将点31,2A ⎛⎫- ⎪⎝⎭代入椭圆1C 的方程22214x yb+=，得219144b+=，从而23b =， 所以椭圆1C 的标准方程为22143x y +=； (2)由（1）知椭圆的右焦点为(1,0)，因为抛物线2C 的焦点与椭圆1C 的右焦点重合，所以12p=，即2p =，从而抛物线2C 的方程为24y x =.设()11,M x y ，()22,N x y ，设直线MN 为：(0)x ty m t =+≠，联立24x ty my x =+⎧⎨=⎩，消去x 得2440y ty m --=，所以121244y y t y y m +=⎧⎨=-⎩①， 直线2114:14y MF x y y -=+与抛物线22:4C y x =联立，消去x 得 2211440y y y y ---=，所以得Q 点的纵坐标为14y -，所以21144,Q y y ⎛⎫- ⎪⎝⎭，因为21l //l ，所以直线2l 为：21144t x ty y y =++与抛物线22:4C y x =联立，消去x 得2211161640t y ty y y ---=，故2221114240t t t y y y ⎛⎫∆=++=+= ⎪⎝⎭，得12y t =-，代入①式可以得224y t t =+，122244y y t m t t ⎛⎫=-+=- ⎪⎝⎭，即212m t=+，又有()2,2Q t t ，直线MN 为212(0)x ty t t =++≠，得2221||12MN t t t =+++222121Q MN d t t t -⎫=++⎪⎭+所以33222222112222216MNQ S t t t t ⎛⎫⎛⎫=++≥⋅ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝=⎭△， 当且仅当1t =±时取到最小值.7．（2022届山西省吕梁市高三第二次模拟）已知O 为坐标原点，椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>6(6,1)P ． (1)求椭圆C 的方程；(2)直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，直线OA 的斜率为1k ，直线OB 的斜率为2k ，且1213k k =-，求OA OB ⋅的取值范围．【答案】(1)22193x y +=；(2)[3,0)(0,3]-.【解析】 (1)由题意，226611c a a b ⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，又222a b c =+，解得3,3a b ==所以椭圆C 为22193x y +=. (2)设()()1122,,,A x y B x y ，若直线l 的斜率存在，设l 为y kx t =+，联立22193y kx tx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y 得：()222136390+++-=k x ktx t ，22Δ390k t =+->，则12221226133913kt x x k t x x k -⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩，又12k k =121213y y x x =-， 故121213=-y y x x 且120x x ≠，即2390-≠t ，则23≠t ，又1122,y kx t y kx t =+=+，所以()()()222222222121212221212122691133939313-+++++-+==+=+==---+k t t kx t kx t kt x x t y y t k k k k t x x x x x x t k ， 整理得222933=+≥t k ，则232≥t 且Δ0>恒成立． 221212121212222122393333133313--⎛⎫⋅=+=-==⋅=⋅=- ⎪+⎝⎭t t OA OB x x y y x x x x x x k t t ， 又232≥t ，且23≠t ，故2331[3,0)(0,3)⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭t . 当直线l 的斜率不存在时，2121,x x y y ==-，又12k k =212113-=-y x ，又2211193x y +=，解得2192x =，则222111233⋅=-==OA OB x y x ． 综上，OA OB ⋅的取值范围为[3,0)(0,3]-．8．（2022届浙江省温州市高三3月适应性测试）已知椭圆()22122:10x y C a b a b+=>>离心率为662⎝⎭；圆()()2223:4C x m y n -+-=的圆心为M ，M 是椭圆上1C 上的点，过O 作圆2C 两条斜率存在的切线，交椭圆1C 于A ，B ．(1)求椭圆1C 方程；(2)记d OA OB =+，求d 的最大值． 【答案】(1)2213x y +=(2)22【解析】 (1)依题意22222226216a b a b c c a ⎧⎪⎪⎝⎭⎝⎭+=⎪⎪⎪=+⎨⎪⎪=⎪⎪⎪⎩，解得3,1,2a b c ==所以椭圆1C 的方程为2213x y +=.(2)设过原点的圆()()2223:4C x m y n -+-=的切线方程为y kx =，即0kx y ， 231km n k -=+()222348340m k mnk n -++-=， 其两根12,k k 满足21223434n k k m -=-，设12,OA OB k k k k ==，(),M m n 是椭圆1C 上的点，所以22221,133m m n n +==-. 2221222243341334133434343m m n k k m m m ⎛⎫--- ⎪-⎝⎭====----. 设()()1122,,,A x kx B x kx ，则2211221,1OA k x OB k x +=+，且2222221211221,133x x k x k x +=+=，2212221233,1313x x k k ==++ 所以()()222222112211OA OB k x k x +=+++()222222222222222222121122112211221122333362x x k x k x k x k x k x k x k x k x =+++=-+-++=-+ 2212221233621313k k k k ⎛⎫=-+ ⎪++⎝⎭()()()()222212212212313313621313k k k k k k +++=-⨯++ 2222221212122222221212123318332626262=41339233k k k k k k k k k k k k ++++=-⨯=-⨯=-+++++. 所以由基本不等式得()22222d OA OB OA OB =+≤+=，当且仅当OA OB =时等号成立. 所以d 的最大值为229．（2022届云南省高三第二次统一检测）已知曲线C ()22110x y x -++=，点D 的坐标为()1,0，点P 的坐标为()1,2．(1)设E 是曲线C 上的点，且E 到D 的距离等于4，求E 的坐标；(2)设A ，B 是曲线C 上横坐标不等于1的两个不同的动点，直线P A ，PB 与y 轴分别交于M 、N 两点，线段MN 的垂直平分线经过点P ．证明：直线AB 的斜率为定值． 【答案】(1)(3,23或(3,23-(2)证明见解析 【解析】 (1)∵曲线C ()22110x y x -++=，移项平方得()()22211x y x -+=+，化简得24y x =， ∴曲线C 的方程为24y x =．∴()1,0D 为抛物线24y x =的焦点，直线1x =-为抛物线24y x =的准线． 设()00,E x y ，则01ED x =+． ∵4ED =，∴014x +=，解得03x =．∴20412y x ==，解得023y =± ∴E 的坐标为(3,23或(3,23-．(2)∵()1,2P ，曲线C 的方程为24y x =，2241=⨯， ∴点()1,2P 在曲线C 上．∵A 、B 是曲线C 上横坐标不等于1的两个不同的动点，直线P A 、PB 与y 轴分别交于点M 、N ，∴直线P A 、PB 的斜率都存在，且都不为0，分别设为k 、1k ，则10kk ≠，直线P A 的方程为()21y k x -=-，即2y kx k =+-．当0x =时，2y k =-，即()0,2M k -． 同理可得()10,2N k -．∵线段MN 的垂直平分线经过点P ， ∴12222k k -+-=，即1k k =-．由224y kx k y x=+-⎧⎨=⎩，得：()2222222440k x k k x k k --++-+=． 设()11,A x y ，则1，1x 是()2222222440k x k k x k k --++-+=的解．由韦达定理得：2112441k k x x k -+=⋅=．∴21244422k k y k k k k-+=⨯+-=-．∴22444,2k k A k k ⎛⎫-+- ⎪⎝⎭． 同理可得22444,2k k B k k ⎛⎫++- ⎪-⎝⎭． ∴2222442214444ABk k k k k k k k k ---+==-++-+-． ∴直线AB 的斜率为定值．10．（2022届河南省五市高三第二次联合调研）已知椭圆C ：22221x y a b+=（0a b >>）的上顶点和两焦点构成的三角形为等腰直角三角形，且面积为2，点M 为椭圆C 的右顶点. (1)求椭圆C 的方程；(2)若经过点(,0)P t 的直线l 与椭圆C 交于,A B 两点，实数t 取何值时以AB 为直径的圆恒过点M ？【答案】(1)22142x y +=，(2)23t = 【解析】 (1)由题意知：2b cbc =⎧⎨=⎩解得：2b c ==2a =，所以椭圆C 的方程为22142x y +=. (2)由（1）知：(2,0)M ，若直线l 的斜率不存在，则直线l 的方程为x t =（22t -<<）， 此时222t A t ⎛- ⎝，2,22t B t ⎛-⎝， 由0MA MB ⋅=得2222,2022t t t t ⎛⎛--⋅---= ⎝⎝， 解得23t =或2t =（舍），即23t =. 若直线l 的斜率存在，不妨设直线l ：()y k x t =-，11(,)A x y ，22(,)B x y 联立()22142y k x t x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩，得()()22222124240k x k ty k t +-+-=.所以，2122412k tx x k +=+，221222412k t x x k -=+.由题意知：0MA MB ⋅=，即1122(2,)(2,)0x y x y -⋅-=， 易得()()()()222212121240kx x k t x x k t +-++++=，()()()()()22222222124244120k k tk t k t k t k +--++++=（），整理得，()223840k t t -+=，因为k 不恒为0故解得23t =或2t =（舍）， 综上，23t =时以AB 为直径的圆恒过点M . 11．（2022届江苏省南通市高三二模））已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别是F 1，F 2，焦距为2，点P 是椭圆C 上一动点，12PF F △的内切圆的面积的最大值为3π． (1)求椭圆C 的方程；(2)延长12,PF PF 与椭圆C 分别交于点A ，B ，问：1212PF PF F AF B+是否为定值?并说明理由．【答案】(1)22143x y +=，(2)是，理由见解析 【解析】 (1)设12PF F △的内切圆的半径为r ，点P 的坐标为()00,x y ． 因为焦距为2，所以122F F =，故1c =． 12PF F △的面积()12012121122S F F y PF PF F F r =⋅=++⋅，故0(1)y a r =+． 对于给定的椭圆，要使 12PF F △的内切圆的面积最大，即r 最大，即0y 最大, 由于12PF F △的内切圆的面积的最大值为3π,故此时3r =, 所以0y b =时，有3(1)b a =+①又221a b -=．②由①②，得224,3a b ==，所以椭圆C 的方程22143x y +=． (2)由题意知：12(1,0),(1,0)F F - ,设()()1122,,,A x y B x y ，直线1PF 的方程为1x my =-，与（1）中所求椭圆22:143x y C +=联立方程组并消去x 得， ()2234690my my +--=，24(1)0m ∆=+> ，所以012934y y m -=+，所以221001103409PF y m y F A y -+==-． 因为点00(,)P x y 在直线1:1PF x my =-上，所以001x m y +=， 又点 00(,)P x y 在椭圆22:143x y C +=上，所以22003412x y +=，所以()20222100000113431452993x PF y x y x y F A ⎛⎫++ ⎪+++⎝⎭===． 同理，可得202523PF x F B -=， 所以1212103PF PF F A F B +=（定值）． 12．（2022届浙江省稽阳高三4月联考）如图，点()()00,10A x x >在抛物线22x py =上，抛物线的焦点为F ，且||2AF =，直线y kx k =-交抛物线于B ，C 两点（C 点在第一象限），过点C 作y 轴的垂线分别交直线OA ，OB 于点P ，Q ，记PQO ，ACP △的面积分别为1S ，2S .(1)求0x 的值及抛物线的方程； (2)当0k <时，求12S S 的取值范围.【答案】(1)202,4x x y ==(2)10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】 （1）12,22pAF p =+=∴=， 204,2x y x ∴==.（2）设()()1122,,,C x y B x y ，因为直线OA ：12y x = 则()112,P yy ，直线OB 的方程为:22y y x x =,1212,y x Q y y ⎛⎫∴ ⎪⎝⎭, 联立方程组24y kx kx y=-⎧⎨=⎩消去y 可得:2440x kx k -+=,121244x x k x x k +=⎧∴⎨=⎩1121221,1x x x x x x x ∴+=∴=- ()()12111212111112212112y x y y PQ y y S S x y y PC y ⎛⎫- ⎪⋅⎝⎭∴==--- 2222211111121222221111112424112424x x x x x x x S S x x x x x x ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∴==⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫---- ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 21211221214414x S x x S x ∴==--,222111122222111144414444S x x x S x x x x ⎛⎫-+∴==-=-=-+ ⎪----⎝⎭ 又10,01k x <∴<<,-4<x12-4<-3, 221144141,103434x x ∴-<<--<+<--故1210,3S S ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭.。

高三数学解析几何专题(含解析)1.【理科】已知动点P到点A(-1,0)和B(1,0)的距离分别为d1和d2，且∠APB=2θ，且d1d2cos2θ=1.Ⅰ）求动点P的轨迹C的方程；Ⅱ）过点B作直线l交轨迹C于M，N两点，交直线x=4于点E，求|EM||EN|的最小值。

2.已知椭圆C：(x^2/a^2)+(y^2/b^2)=1 (a>b>0)的离心率为2，其左、右焦点为F1、F2，点P是坐标平面内一点，且|OP|=7/2，PF·PF3/12=4.其中O为坐标原点。

I）求椭圆C的方程；Ⅱ）如图，过点S（0，1/3），且斜率为k的动直线l交椭圆于A、B两点，在y轴上是否存在定点M，使以AB为直径的圆恒过这个点？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由。

3.已知两定点F1(-2,0)、F2(2,0)，满足条件PF2-PF1=2的点P的轨迹是曲线E，直线y=kx-1与曲线E交于A、B两点。

Ⅰ）求k的取值范围；Ⅱ）如果AB=63，且曲线E上存在点C，使OA+OB=mOC，求m的值和△ABC的面积S。

4.已知抛物线W:y=ax^2经过点A(2,1)，过A作倾斜角互补的两条不同的直线L1、L2.1）求抛物线W的方程及其准线方程；2）当直线L1与抛物线W相切时，求直线L2与抛物线W所围成封闭区域的面积；3）设直线L1、L2分别交抛物线W于B、C两点（均不与A重合），若以BC为直径的圆与抛物线的准线相切，求直线BC的方程。

5.动点M(x,y)到定点F(-1,0)的距离与到y轴的距离之差为1.I）求动点M的轨迹C的方程；II）过点Q(-3,0)的直线l与曲线C交于A、B两点，问直线x=3上是否存在点P，使得△PAB是等边三角形？若存在，求出所有的点P；若不存在，请说明理由。

6.椭圆M的中心在坐标原点D，左、右焦点F1、F2在x轴上，抛物线N的顶点也在原点D，焦点为F2，椭圆M与抛物线N的一个交点为A(3,26)。

1.（本小题满分14分）如图4，弧AEC是半径为a的半圆，AC为直径，点E为弧AC的中点，点B和点C为线段AD 的三等分点，平面AEC外一点F满足FC⊥平面BED,FB=a5（1）证明：EB⊥FD（2）求点B到平面FED的距离.（1）证明： 点E为弧AC的中点2（本小题满分12分） 如图3所示，在长方体ABC D-1A 1B 1C 1D 中，AB=AD ＝１, AA 1=２, M 是棱C 1C 的中点.（Ⅰ）求异面直线1A Ｍ和1C 1D 所成的角的正切值;（Ⅱ）证明：平面ABM ⊥平面A 1B 1M.解 Ⅰ）如图，因为1111A B D C //，所以11B MA ∠异面 直线1A Ｍ和1C 1D 所成的角，因为1A 1B ⊥平面11B BCC ，所以01190=∠M B A ，而1A 1B =1，2212111=+=MC C B M B ，故211111==∠B A MB B MA tan . 即异面直线1A Ｍ和1C 1D 所成的角的正切值为2（Ⅱ）由1A 1B ⊥平面11B BCC ，BM ⊂⊥平面11B BCC ，得1A 1B ⊥ BM ①由（Ⅰ）知，21=M B ， 222=+=CM BC BM ，21=B B ，所以21221B B BM M B =+，从而BM ⊥B 1M ② 又1111B M B B A = , 再由① ②得BM ⊥平面A 1B 1M ，而BM ⊂平面ABM ，因此平面ABM ⊥平面A 1B 1M. 3.（本小题满分12分） 在如图所示的几何体中，四边形ABCD 是正方形，BCD A MA 平面⊥,PD ∥MA ,E G F 、、分别为MB 、PC PB 、的中点，且2MA PD AD ==．（Ⅰ）求证：平面PDC EFG 平面⊥;（Ⅱ）求三棱锥的体积之比与四棱锥ABCD P MAB P --．（I ）证明：由已知ABCD,PD MA,MA ⊥平面∥ 所以 P D A B C D∈平面 又 B C A B C D ⊂平面，所以 PD DC ⊥因为 四边形ABCD 为正方形， 所以 BC DC ⊥, 又 P D D C =D ⋂， 因此 B C P D C ⊥平面在PBC 中，因为G F 、分别为PB PC 、的中点， 所以 GF PC ∥ 因此 GF PDC ⊥平面 又 GF EFG ⊂平面，所以 EFG PDC ⊥平面平面．（Ⅱ）解：因为PD ABCD ⊥平面,四边形ABCD 为正方形，不妨设MA=1，则 P D =A D =2，所以P-ABCD ABCD 1V =S 3正方形·8PD=3由于DA MAB ⊥面的距离，且PD MA ∥所以DA 即为点P 到平面MAB 的距离，三棱锥322212131V MAB -P =⨯⨯⨯⨯=所以4:1V V ABCD -P MAB -P =：4.（本小题满分12分，（Ⅰ）小问5分，（Ⅱ）小问7分. ）如题（20）图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，PA ⊥底面ABCD ，2PA AB ==，点E 是棱PB 的中点.（Ⅰ）证明：AE ⊥平面PBC ；（Ⅱ）若1AD =，求二面角B EC D --的平面角的余弦值.（I ）证明：如答（20）图1，由PA ⊥底面ABCD ，得PA ⊥AB ，由PA=AB 知PAB ∆为等腰直角三角形，又点E 是棱PB 的中点，故AE ⊥PB 由题意知BC ⊥AB ，又AB 是PB 在面ABCD 内的射影， 由垂线定理得BC ⊥PB ，从而PC ⊥平面PAB ， 因AE ⊥BP ，AE ⊥BC ，所以AE ⊥平面PBC 。

高三数学解析几何练习及答案解析1．圆x2＋y2＋Dx＋Ey＝0的圆心在直线x＋y＝1上，那么D与E的关系是()A．D＋E＝2 B．D＋E＝1C．D＋E＝－1 D．D＋E＝－2[来X k b 1 . c o m解析 D 依题意得，圆心－D2，－E2在直线x＋y＝1上，因此有－D2－E2＝1，即D＋E＝－2.2．以线段AB：x＋y－2＝0(02)为直径的圆的方程为()A．(x＋1)2＋(y＋1)2＝2 B．(x－1)2＋(y－1)2＝2C．(x＋1)2＋(y＋1)2＝8 D．(x－1)2＋(y－1)2＝8解析 B 直径的两端点为(0,2)，(2,0)，圆心为(1,1)，半径为2，圆的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝2.3．F1、F2是椭圆x24＋y2＝1的两个焦点，P为椭圆上一动点，那么使|PF1||PF2|取最大值的点P为()A．(－2,0) B．(0,1) C．(2,0) D．(0,1)和(0，－1)解析 D 由椭圆定义，|PF1|＋|PF2|＝2a＝4，|PF1||PF2||PF1|＋|PF2|22＝4，当且仅当|PF1|＝|PF2|，即P(0，－1)或(0,1)时，取“＝”．4．椭圆x216 ＋y225＝1的焦点分别是F1、F2，P是椭圆上一点，假设连接F1、F2、P三点恰好能构成直角三角形，那么点P到y轴的间隔是()A.165 B．3 C.163 D.253解析 A 椭圆x216＋y225＝1的焦点分别为F1(0，－3)、F2(0,3)，易得F1PF22，PF1F2＝2或PF2F1＝2，点P到y轴的间隔d＝ |xp|，又|yp|＝3，x2p16＋y2p25＝1，解得|xP|＝165，应选A.5．假设曲线y＝x2的一条切线l与直线x＋4y－8＝0垂直，那么l的方程为()A．4x＋y＋4＝0 B．x－4y－4＝0C．4x－y－12＝0 D．4x－y－4＝0解析 D 设切点为(x0，y0)，那么y|x＝x0＝2x0， 2x0＝4，即x0＝2，切点为(2,4)，方程为y－4＝4(x－2)，即4x－y－4＝0.6．“m0”是“方程mx2＋ny2＝1表示焦点在y轴上的椭圆”的()A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件解析 C 方程可化为x21m＋y21n＝1，假设焦点在y轴上，那么1n0，即m0.7．设双曲线x2a2－y2b2＝1的一条渐近线与抛物线y＝x2＋1只有一个公共点，那么双曲线的离心率为()A.54 B．5 C.52 D.5解析 D 双曲线的渐近线为y＝bax，由对称性，只要与一条渐近线有一个公共点即可由y＝x2＋1，y＝bax，得x2－bax＋1＝0.＝b2a2－4＝0，即b2＝4a2，e＝5.8．P为椭圆x24＋y23＝1上一点，F1、F2为该椭圆的两个焦点，假设F1PF2＝60，那么PF1PF2＝()A．3 B.3C．23 D．2解析D ∵S△PF1F2＝b2tan602＝3tan 30＝3＝12|PF1||PF2|sin 60，|PF1||PF2|＝4，PF1PF2＝412＝2.9．设椭圆x2m2＋y2n2＝1(m0，n0)的右焦点与抛物线y2＝8x 的焦点相同，离心率为12，那么此椭圆的方程为()A.x212＋y216＝1B.x216＋y212＝1C.x248＋y264＝1D.x264＋y248＝1解析 B 抛物线的焦点为(2,0)，由题意得c＝2，cm＝12，m＝4，n2＝12，方程为x216＋y212＝1.10．设直线l过双曲线C的一个焦点，且与C的一条对称轴垂直，l与C交于A，B两点，|AB|为C的实轴长的2倍，那么C的离心率为()A.2B.3C．2 D．3解析 B 设双曲线C的方程为x2a2－y2b2＝1，焦点F(－c，0)，将x＝－c代入x2a2－y2b2＝1可得y2＝b4a2，|AB|＝2b2a＝22a，b2＝2a2，c2＝a2＋b2＝3a2，e＝ca＝3.11．抛物线y2＝4x的准线过双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的左顶点，且此双曲线的一条渐近线方程为y＝2x，那么双曲线的焦距为()A.5 B．25C.3 D．23解析B ∵抛物线y2＝4x的准线x＝－1过双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的左顶点，a＝1，双曲线的渐近线方程为y＝bax＝bx.∵双曲线的一条渐近线方程为y＝2x，b＝2，c＝a2＋b2＝5，双曲线的焦距为25.12．抛物线y2＝2px(p0)上一点M(1，m)(m0)到其焦点的间隔为5，双曲线x2a－y2＝1的左顶点为 A，假设双曲线的一条渐近线与直线AM平行，那么实数a的值为()A.19B.14C.13D.12解析 A 由于M(1，m)在抛物线上，m2＝2p，而M到抛物线的焦点的间隔为5，根据抛物线的定义知点M到抛物线的准线x＝－p2的间隔也为5，1＋p2＝5，p＝8，由此可以求得m＝4，双曲线的左顶点为A(－a，0)，kAM＝41＋a，而双曲线的渐近线方程为y＝xa，根据题意得，41＋a＝1a，a＝19.13．直线l1：ax－y＋2a＋1＝0和l2：2x－(a－1)y＋2＝0(aR)，那么l1l2的充要条件是a＝.解析 l1l2a2a－1＝－1，解得a＝13.【答案】 1314．直线l：y＝k(x＋3)与圆O：x2＋y2＝4交于A，B两点，|AB|＝22，那么实数k＝.解析∵|AB|＝22，圆O半径为2，O到l的间隔d＝22－2＝2.即|3k|k2＋1＝2，解得k＝ 147.【答案】 14715．过原点O作圆x2＋y2－6x－8y＋20＝0的两条切线，设切点分别为P、Q，那么线段的长为．解析如图，圆的方程可化为(x－3)2＋(y－4)2＝5，|OM|＝5，|OQ|＝25－5＝25.在△OQM中，12|QA||OM|＝12|OQ||QM|，|AQ|＝2555＝2，||＝4.【答案】 416．在△ABC中，|BC|＝4，△ABC的内切圆切BC于D点，且|BD|－|CD|＝22，那么顶点A的轨迹方程为．解析以BC的中点为原点，中垂线为y轴建立如下图的坐标系，E、F分别为两个切点．那么|BE|＝|BD|，|CD|＝|CF|，|AE|＝|AF|.|AB|－|AC|＝22，点A的轨迹为以B，C为焦点的双曲线的右支(y0)，且a＝2，c ＝2，b＝2，方程为x22－y22＝1(x2)．【答案】 x22－y22＝1(x2)17．(10分)在平面直角坐标系中，圆心在直线y＝x＋4上，半径为22的圆C经过原点O.(1)求圆C的方程；(2)求经过点(0,2)且被圆C所截得弦长为4的直线方程．解析 (1)设圆心为(a，b)，那么b＝a＋4，a2＋b2＝22，解得a＝－2，b＝2，故圆的方程为(x＋2)2＋(y－2)2＝8.(2)当斜率不存在时，x＝0，与圆的两个交点为(0,4)，(0,0)，那么弦长为4，符合题意；当斜率存在时，设直线为y－2＝kx，那么由题意得，8＝4＋－2k1＋k22，无解．综上，直线方程为x＝0.18．(12分)(xx合肥一模)椭圆的两个焦点坐标分别为F1(－3，0)和F2(3，0)，且椭圆过点1，－32.(1)求椭圆方程；(2)过点－65，0作不与y轴垂直的直线l交该椭圆于M，N两点，A为椭圆的左顶点．试判断MAN的大小是否为定值，并说明理由．解析 (1)设椭圆方程为x2a2＋y2b2＝1(a0)，由c＝3，椭圆过点1，－32可得a2－b2＝3，1a2＋34b2＝1，解得a2＝4，b2＝1，所以可得椭圆方程为x24＋y2＝1.(2)由题意可设直线MN的方程为：x＝ky－65，联立直线MN和椭圆的方程：x＝ky－65，x24＋y2＝1，化简得(k2＋4)y2－125ky－6425＝0.设M(x1，y1)，N(x2，y2)，那么y1y2＝－6425k2＋4，y1＋y2＝12k5k2＋4，又A(－2,0)，那么AMAN＝(x1＋2，y1)(x2＋2，y2)＝(k2＋1)y1y2＋45k(y1＋y2)＋1625＝0，所以MAN＝2.19．(12分)椭圆C的中心为直角坐标系xOy的原点，焦点在x 轴上，它的一个顶点到两个焦点的间隔分别为7和1.(1)求椭圆C的方程；(2)假设P为椭圆C上的动点，M为过P且垂直于x轴的直线上的点，|OP||OM|＝e(e为椭圆离心率)，求点M的轨迹方程，并说明轨迹是曲线．解析 (1)设椭圆长半轴长及半焦距分别为a，c，由，得a－c＝1，a＋c＝7，解得a＝4，c＝3.椭圆方程为x216＋y27＝1.(2)设M(x，y)，P(x，y1)，其中x[－4,4]，由得x2＋y21x2＋y2＝e2，而e＝34，故16(x2＋y21)＝9(x2＋y2)，①由点P在椭圆C上，得y21＝112－7x216，代入①式并化简，得9y2＝112.点M的轨迹方程为y＝473(－44)，轨迹是两条平行于x轴的线段．20．(12分)给定抛物线y2＝2x，设A(a,0)，a0，P是抛物线上的一点，且|PA|＝d，试求d的最小值．解析设P(x0，y0)(x00)，那么y20＝2x0，d＝|PA|＝x0－a2＋y20＝x0－a2＋2x0＝[x0＋1－a]2＋2a－1.∵a0，x00，(1)当01时，1－a0，此时有x0＝0时，dmin＝1－a2＋2a－1＝a；(2)当a1时，1－a0，此时有x0＝a－1时，dmin＝2a－1.21．(12分)双曲线的中心在原点，焦点F1，F2在坐标轴上，离心率为2，且过点(4，－10)，点M(3，m)在双曲线上．(1)求双曲线方程；(2)求证：点M在以F1F2为直径的圆上；(3)求△F1MF2的面积．解析(1)∵双曲线离心率e＝2，设所求双曲线方程为x2－y2＝(0)，那么由点(4，－10)在双曲线上，知＝42－(－10)2＝6，双曲线方程为x2－y2＝6.(2)假设点M(3，m)在双曲线上，那么32－m2＝6，m2＝3，由双曲线x2－y2＝6知F1(23，0)，F2(－23，0)，MF1MF2＝(23－3，－m)(－23－ 3，－m)＝m2－3＝0，MF1MF2，故点M在以F1F2为直径的圆上．(3)S△F1MF2＝12|F1F2||m|＝233＝6.22．(12分)实数m1，定点A(－m,0)，B(m,0)，S为一动点，点S与A，B两点连线斜率之积为－1m2.(1)求动点S的轨迹C的方程，并指出它是哪一种曲线；(2)当m＝2时，问t取何值时，直线l：2x－y＋t＝0(t0)与曲线C有且只有一个交点？(3)在(2)的条件下，证明：直线l上横坐标小于2的点P到点(1,0)的间隔与到直线x＝2的间隔之比的最小值等于曲线C的离心率．解析 (1)设S(x，y)，那么kSA＝y－0x＋m，kSB＝y－0x－m.由题意，得y2x2－m2＝－1m2，即x2m2＋y2＝1(xm)．∵m1，轨迹C是中心在坐标原点，焦点在x轴上的椭圆(除去x轴上的两顶点)，其中长轴长为2m，短轴长为2.(2)当m＝2时，曲线C的方程为x22＋y2＝1(x2)．由2x－y＋t＝0，x22＋y2＝1，消去y，得9x2＋8tx＋2t2－2＝0.令＝64t2－362(t2－1)＝0，得t＝3.∵t0，t＝3.此时直线l与曲线C有且只有一个公共点．(3)由(2)知直线l的方程为2x－y＋3＝0，设点P(a,2a＋3)(a2)，d1表示P到点(1,0)的间隔，d2表示P 到直线x＝2的间隔，那么d1＝a－12＋2a＋32＝5a2＋10a＋10，d2＝2－a，d1d2＝5a2＋10a＋102－a＝5a2＋2a＋2a－22.令f(a)＝a2＋2a＋2a－22，那么f(a)＝2a＋2a－22－2a2＋2a＋2a－2a－24＝－6a＋8a－23.令f(a)＝0，得a＝－43.∵当a－43时，f(a)0；当－432时，f(a)0.f(a)在a＝－43时取得最小值，即d1d2取得最小值，d1d2min＝5f－43＝22，又椭圆的离心率为22，d1d2的最小值等于椭圆的离心率．。

[必刷题]2024高三数学下册解析几何专项专题训练（含答案）试题部分一、选择题：1. 在直角坐标系中，点A(2,3)关于原点O的对称点坐标是（）A. (2,3)B. (2,3)C. (2,3)D. (3,2)2. 已知直线l的斜率为1，且过点P(1,2)，则直线l的方程为（）A. x+y3=0B. xy+3=0C. x+y+3=0D. xy3=03. 圆C的方程为x^2+y^2=4，点D(3,0)在圆外，则直线CD的斜率为（）A. 1B. 1C. 3D. 34. 下列关于椭圆的方程中，离心率最小的是（）A. x^2/4 + y^2/9 = 1B. x^2/9 + y^2/4 = 1C. x^2/16 + y^2/25 = 1D. x^2/25 + y^2/16 = 15. 设双曲线x^2/a^2 y^2/b^2 = 1的渐近线方程为y=kx，则k 的值为（）A. a/bB. b/aC. a/bD. b/a6. 在平面直角坐标系中，点A(1,2)到直线y=3x+1的距离为（）A. 2B. 3C. 4D. 57. 已知抛物线y^2=8x的焦点坐标为（）A. (2,0)B. (2,0)C. (0,2)D. (0,2)8. 若直线y=2x+3与圆(x1)^2+(y2)^2=16相交，则交点的个数为（）A. 0B. 1C. 2D. 39. 在等轴双曲线x^2 y^2 = 1上，点P到原点的距离为2，则点P的坐标为（）A. (1,1)B. (1,1)C. (1,1)D. (1,1)10. 已知点A(2,3)和点B(2,1)，则线段AB的中点坐标为（）A. (0,2)B. (0,4)C. (2,2)D. (2,4)二、判断题：1. 直线y=2x+1的斜率为2，截距为1。

（）2. 两个圆的半径分别为1和2，圆心距为3，则这两个圆相交。

（）3. 椭圆的离心率越大，其形状越接近圆。

（）4. 抛物线的焦点到准线的距离等于其焦距的一半。

高三数学解析几何试题答案及解析1.过平面区域内一点作圆的两条切线，切点分别为，记，则当最小时的值为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】根据题意可知，当点距离圆心越远时，越小，所以当点距离圆心最远时，即点落在处时角达到最小，此时，所以，故选C．【考点】圆的有关性质．2.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程已知曲线（为参数），（为参数）．（1）化，的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；（2）若上的点对应的参数为，为上的动点，求中点到直线（为参数）距离的最小值．【答案】（1），，是以为圆心，半径为的圆；为中心在坐标原点，焦点在轴上，长半轴长是，短半轴长是的椭圆；（2）【解析】第一问将参数消掉，求得其普通方程，根据方程确定出曲线的类型，第二问根据确定出的坐标，利用中点坐标公式，确定出，将的方程消参，求得直线的普通方程，利用点到直线的距离公式，结合三角函数的最值，求得距离的最小值．试题解析：（1），是以为圆心，半径为的圆；为中心在坐标原点，焦点在轴上，长半轴长是，短半轴长是的椭圆（2）当时，，，故；为直线，到的距离当，时，取最小值【考点】参数方程向普通方程转化，中点坐标公式，点到直线的距离的最小值．3.（本小题满分12分）已知椭圆C：的离心率为，长轴长为8．。

（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）若不垂直于坐标轴的直线经过点P（m，0），与椭圆C交于A，B两点，设点Q的坐标为（n，0），直线AQ，BQ的斜率之和为0，求的值。

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）．【解析】（Ⅰ）直接由题意和椭圆的概念可列出方程组，进而可求出椭圆的标准方程；（Ⅱ）根据已知设出直线方程为（），并记，于是联立直线与椭圆的方程并整理可得一元二次方程，进而由韦达定理可得，再由已知直线AQ，BQ的斜率之和为0，可得方程，将上述求得的的值直接代入即可求出参数的值．试题解析：（Ⅰ）由题意①，②，又③，由①②③解得：，所以求椭圆的标准方程为；（Ⅱ）设直线方程为（），且，直线的斜率分别为，将代入得：，由韦达定理可得：．由得，，将代入，整理得：即将代入，整理可解得【考点】1、椭圆的标准方程；2、直线与椭圆的相交综合问题；4.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，是⊙的直径，是弧的中点，，垂足为，交于点．（1）求证：；（2）若，⊙的半径为6，求的长．【答案】（1）证明见解析；（2）．【解析】第一问连结CO交BD于点M，根据弧的中点，结合三角形全等，从而证得结果，也可以延长CE 交圆O于点N，连接BN，根据角相等，证得结果，第二问根据圆中的直角三角形，利用勾股定理，求得结果．试题解析：（1）证法一:连接CO交BD于点M，如图1∵C为弧BD的中点，∴OC⊥BD又∵OC=OB,∴RtΔCEO≌RtΔBMO∴∠OCE=∠OBM又∵OC=OB,∴∠OCB=∠OBC∴∠FBC=∠FCB,∴CF=BF证法二：延长CE 交圆O于点N，连接BN，如图2∵AB是直径且CN⊥AB于点E．∴∠NCB=∠CNB又∵C为弧BD的中点∴∠CBD=∠CNB∴∠NCB=∠CBD即∠FCB=∠CBF∴CF=BF（2）∵O,M分别为AB,BD的中点∴OM=2OE∴EB=4在Rt△COE中，∴在Rt△CEB中，【考点】圆的性质．5.已知抛物线（）的焦点与双曲线的右焦点重合，抛物线的准线与轴的交点为，点在抛物线上且，则点的横坐标为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】∵双曲线，其右焦点坐标为．∴抛物线，准线为，∴,设，过点向准线作垂线，则，又，∴由得，从而，即，解得．故选B．【考点】圆锥曲线的性质.【思路点睛】根据双曲线得出其右焦点坐标，可知抛物线的焦点坐标，从而得到抛物线的方程和准线方程，进而可求得的坐标，设，过点向准线作垂线，则，根据及，进而可求得点坐标．6.抛物线y=2x2的焦点坐标是（）A．（0，）B．（0，）C．（，0）D．（，0）【答案】B【解析】先将抛物线的方程化为标准形式，所以焦点坐标为（）．故选B．【考点】求抛物线的焦点．7.设是双曲线的两个焦点，P在双曲线上，若（c为半焦距），则双曲线的离心率为（）A．B．C．2D．【答案】D【解析】由题意得，是直角三角形，由勾股定理得，∴，∴，∵，∴．故选：D．【考点】双曲线的简单性质．8.已知椭圆C: 的离心率为，且过点（1，）．（1）求椭圆C的方程；（2）设与圆相切的直线交椭圆C与A,B两点，求面积的最大值，及取得最大值时直线的方程．【答案】（1）；（2），．【解析】（1）利用题设条件可列出关于、、的方程组，从而可得、、的值．（2）因为直线与圆相切，所以欲求面积的最大值，只需求弦长的最大值，所以可求出弦长关于斜率的解析式，利用基本式可求得其最大值．试题解析：（1）由题意可得：．（2）①当不存在时，，②当存在时，设直线为，当且仅当即时等号成立，∴面积的最大值为，此时直线方程．【考点】求椭圆方程，直线与圆相切，弦长公式，基本不等式．【方法点睛】（1）对于直线的斜率，需要分类讨论斜率存在与不存在，这也是易忘易错之处．（2）注意到直线与圆相切，那么的高就是圆的半径，所以欲求面积的最大值，只需求弦长AB的最大值，也是本题的难点之一．（3）关于的化简，变形，进而结合基本不等式求解，是本题另一个难点．9.如图所示，一个酒杯的轴截面是一条抛物线的一部分，它的方程是：．在杯内放一个清洁球，要使清洁球能擦净酒杯的底部，则清洁球的最大半径为________．【答案】1【解析】球的截面大圆半径为，圆方程为，圆心为，设是抛物线上任意一点，由，由题意，最小值是与原点重合时取得，即时取得，因为，所以，，因此清洁球的最大半径为1．【考点】柱、锥、台、球的结构特征，圆的标准方程与一般方程，直线与抛物线的应用．【名师】本题考查圆与抛物线的位置关系，本题具有实际意义，从数学上讲，本题就是圆与抛物线切于抛物线的顶点处，从生活常识中可知，圆的半径很小时，圆一定与抛物线切于其顶点处，当圆半径很大时，圆不可能与抛物线切于顶点处，要满足题意，这个半径一定有最大值，从数学上来解，设圆心为，则抛物线上点到的距离的最小值在原点处取得，实质上本题转化为二次函数在上的最大值在自变量为0时取得，由此可得的最大值（范围）．10.已知抛物线与圆的两个交点之间的距离为4．（1）求的值；（2）设过抛物线的焦点且斜率为的直线与抛物线交于两点，与圆交于两点，当时，求的取值范围．【答案】（1）；（2）【解析】（1）利用圆与抛物线可求交点为，据此即可求出的值；（2）直线的方程为，分别于抛物线、圆的方程联立，求出，利用时，即可求的取值范围．试题解析：（1）由题意知交点坐标为代入抛物线解得（2）抛物线的焦点，设直线方程为与抛物线联立化简得设，则圆心到直线的距离为又，所以的取值范围为．【考点】1．抛物线的简单性质；2．直线与抛物线、圆的位置关系．11. 选修4-1：几何证明选讲 如图，⊙是的外接圆，平分交于，交的外接圆于．（1）求证：； （2）若，，，求的长． 【答案】（1）详见解析；（2）． 【解析】（1）过作交于，连接，则可得，再利用条件可证明；（2）利用，可得对应线段成比例，即可建立关于的方程，从而求解．试题解析：（1）如图，过作交于，连接，∴①， 又∵平分，∴，又∵，∴，∴，∴，∴②，由①②知；（2）∵，又∵， ∵，∴，∴，∴，∴，∴．【考点】1．圆的基本性质；2．相似三角形的判定与性质．12. 已知椭圆C ：的离心率为，点在椭圆C 上．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设动直线l 与椭圆C 有且仅有一个公共点，判断是否存在以原点O 为圆心的圆，满足此圆与l 相交两点P 1，P 2（两点均不在坐标轴上），且使得直线OP 1，OP 2的斜率之积为定值？若存在，求此圆的方程；若不存在，说明理由． 【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）当圆的方程为x 2+y 2=5时，圆与l 的交点P 1，P 2满足斜率之积k 1k 2为定值．【解析】（Ⅰ）利用离心率列出方程，通过点在椭圆上列出方程，求出a ，b 然后求出椭圆的方程．（Ⅱ）当直线l 的斜率不存在时，验证直线OP 1，OP 2的斜率之积．当直线l 的斜率存在时，设l 的方程为y=kx+m 与椭圆联立，利用直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点，推出m 2=4k 2+1，通过直线与圆的方程的方程组，设P 1（x 1，y 1），P 2（x 2，y 2），结合韦达定理，求解直线的斜率乘积，推出k 1•k 2为定值即可． 试题解析：（Ⅰ）解：由题意，得，a 2=b 2+c 2，又因为点在椭圆C 上， 所以，解得a=2，b=1，，所以椭圆C 的方程为．（Ⅱ）结论：存在符合条件的圆，且此圆的方程为x 2+y 2=5． 证明如下：假设存在符合条件的圆，并设此圆的方程为x 2+y 2=r 2（r ＞0）． 当直线l 的斜率存在时，设l 的方程为y=kx+m ． 由方程组得（4k 2+1）x 2+8kmx+4m 2﹣4=0，因为直线l 与椭圆C 有且仅有一个公共点， 所以，即m 2=4k 2+1． 由方程组得（k 2+1）x 2+2kmx+m 2﹣r 2=0，则．设P 1（x 1，y 1），P 2（x 2，y 2），则，，设直线OP 1，OP 2的斜率分别为k 1，k 2， 所以，将m 2=4k 2+1代入上式，得．要使得k 1k 2为定值，则，即r 2=5，验证符合题意．所以当圆的方程为x 2+y 2=5时，圆与l 的交点P 1，P 2满足k 1k 2为定值．当直线l 的斜率不存在时，由题意知l 的方程为x=±2， 此时，圆x 2+y 2=5与l 的交点P 1，P 2也满足．综上，当圆的方程为x 2+y 2=5时，圆与l 的交点P 1，P 2满足斜率之积k 1k 2为定值．【考点】圆锥曲线的定值问题；椭圆的标准方程．13. 已知是双曲线的一条渐近线，是上的一点，是的两个焦点，若，则到轴的距离为A ．B ．C ．D ．【答案】C 【解析】，不妨设的方程为，设由．得，故到轴的距离为，故选C ．【考点】1．双曲线的性质；2．向量的数量积．14. 已知圆：和抛物线，圆的切线与抛物线交于不同的两点.（1）当切线斜率为-1时，求线段的长；（2）设点和点关于直线对称，且，求直线的方程.【答案】（1）；（2）.【解析】试题解析：（1）圆的圆心为，，设，设的方程，利用直线是圆的切线，求得的值，从而可得到的方程，与抛物线方程联立，利用韦达定理及弦长公式，求出；（2）设直线的方程为，由直线是圆的切线，得到，解得此时直线的方程为；设直线的斜率不存在时，的方程为则得不成立，总上所述，存在满足条件其方程为.（1）因为圆，所以圆心为，半径.设，当直线的斜率为-1时，设的方程为.由，解得或，所以由消去得，所以弦长；（2）（i）当直线的斜率不存在时，因为直线是圆的切线，所以的方程为，与联立，则得，即，.不符合题意.（ii）当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即.由题意知，得①，由，消去得.由直线l是圆的切线，得到，解得此时直线l的方程为；设直线l的斜率不存在时，l的方程为则得不成立，总上所述，存在满足条件其方程为.【考点】1、抛物线的简单性质；2、直线方程.【思路点睛】（1）本题主要考察抛物线简单的性质，得到的方程，与抛物线方程联立，利用韦达定理及弦长公式，求出；（2）将直线与抛物线联立，韦达定理，求出，点到直线的的距离公式，直线的方程的基础知识．主要考察学生的分析问题解决问题的能力，转化能力，计算能力.15.如图，点O为坐标原点，直线l经过抛物线C：y2=4x的焦点F．（Ⅰ）若点O到直线l的距离为，求直线l的方程；（Ⅱ）设点A是直线l与抛物线C在第一象限的交点．点B是以点F为圆心，|FA|为半径的圆与x轴负半轴的交点．试判断直线AB与抛物线C的位置关系，并给出证明．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）直线AB与抛物线相切，见解析【解析】法一：（Ⅰ）抛物线的焦点F（1，0），当直线l的斜率不存在时，即x=1不符合题意．当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为：y=k（x﹣1），所以，由此能求出直线l 的方程．（Ⅱ）直线AB与抛物线相切．设A（x0，y），则．因为|BF|=|AF|=x+1，所以B（﹣x，0），由此能够证明直线AB与抛物线相切．法二：（Ⅰ）同解法一．（Ⅱ）直线AB与抛物线相切，设A（x0，y），则．设圆的方程为：由此能够证明直线AB与抛物线相切．解法一：（Ⅰ）抛物线的焦点F（1，0），…（1分）当直线l的斜率不存在时，即x=1不符合题意．…（2分）当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为：y=k（x﹣1），即kx﹣y﹣k=0．…（3分）所以，，解得：．…（5分）故直线l的方程为：，即．…（6分）（Ⅱ）直线AB与抛物线相切，证明如下：…（7分）（法一）：设A（x0，y），则．…（8分）因为|BF|=|AF|=x0+1，所以B（﹣x，0）．…（9分）所以直线AB的方程为：，整理得： (1)把方程（1）代入y2=4x得：，…（10分），所以直线AB与抛物线相切．…（12分）解法二：（Ⅰ）同解法一．（Ⅱ）直线AB与抛物线相切，证明如下：…（7分）设A（x0，y），则．…（8分）设圆的方程为：，…（9分）当y=0时，得x=1±（x+1），因为点B在x轴负半轴，所以B（﹣x，0）．…（9分）所以直线AB的方程为，整理得： (1)把方程（1）代入y2=4x得：，…（10分），所以直线AB与抛物线相切．…（12分）【考点】直线与圆锥曲线的关系；抛物线的标准方程．16.如图，中，以为直径的⊙分别交于点交于点.求证：（Ⅰ）过点平行于的直线是⊙的切线；（Ⅱ）.【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）证明见解析．【解析】（Ⅰ）连结，延长交于，利用圆内接四边形的性质证明三角形相似，再证明线线垂直；（Ⅱ）连续利用割线定理进行证明．试题解析：（Ⅰ）连结，延长交于，过点平行于的直线是，∵是直径，∴，∴，∵四点共圆，∴，又∵是圆内接四边形，∴，∴，而,∴∽, ∴,∴, ∴,∴是⊙的切线．（Ⅱ）∵,∴四点共圆，∴, 同理,两式相加【考点】圆内接四边形．17.双曲线的离心率为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】，故选C.【考点】双曲线的性质.18.已知圆内接中，为上一点，且为正三角形，点为的延长线上一点，为圆的切线.（Ⅰ）求的度数；（Ⅱ）求证：【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）证明见解析.【解析】对于（Ⅰ）可由与相似，并结合即可求出的度数；对于（Ⅱ）可先证明，再结合为等边三角形，进而可以证明所需结论.试题解析：证明：（Ⅰ）在与中，因为为圆的切线，所以，又公用，所以，因为为等边三角形，所以，（Ⅱ）因为为圆的切线，所以，因为为等边三角形，所以，所以，所以，所以，即，因为为等边三角形，所以，所以.【考点】几何证明.19.抛物线上的点P到它的焦点F的最短距离为________．【答案】1【解析】，根据焦半径公式．【考点】抛物线的几何性质.20.圆被直线分成两段圆弧，则较长弧长与较短弧长之比为（）A．1:1B．2:1C．3:1D．4:1【答案】C【解析】圆心到直线的距离为，半径为，则截圆的弦所对的劣弧的圆心角为，则较长弧长与较短弧长之比.故选C.【考点】直线与圆的位置关系.21.已知双曲线的一条渐近线与平行，且它的一个焦点在抛物线的准线上，则双曲线的方程为______.【答案】【解析】抛物线的准线为，由题意可得，设双曲线的一条渐近线与平行，由题意可得，即，解得，∴双曲线的标准方程为．所以答案应填：．【考点】1、双曲线的简单性质；2、抛物线的性质．【思路点睛】求出抛物线的准线方程，可得，根据双曲线的方程为，求出渐近线方程，由题意可得的方程，解方程可得或，进而得到双曲线的方程．正确运用双曲线的性质是解题的关键，本题考查双曲线的方程的求法、抛物线的准线方程和双曲线的渐近线方程，考查逻辑思维能力和计算能力，属于基础题．22.如图，已知椭圆，椭圆的长轴长为，离心率为.（1）求椭圆方程；（2）椭圆内接四边形的对角线交于原点，且，求四边形周长的最大值与最小值.【答案】（1）；（2）最大值是，最小值是.【解析】（1）由题意得，利用离心率可得，利用的关系，即可求解椭圆的标准方程；（2）由题意得对称性可得四边形为平行四边形，运用向量的数量积的性质，可得，即有四边形为菱形，既有，讨论直线的斜率为，可得最大值；不为时，设出直线方程，与椭圆方程联立，运用两点间的距离公式，化简整理，再借助二次函数的性质，即可求得最小值.试题解析：（1）由题意可知，所以.又因为，所以，所以椭圆方程是.（2）由题意可设，则，因为所以，所以四边形是平行四边形.因为，所以，所以四边形是菱形.设直线的方程是，则直线的方程是，并且由椭圆的对称性不妨设，由，得，所以，所以由，得，所以，所以所以，所以令，则，令，因为，所以，即时，.，即时，.所以四边形周长的最大值是，最小值是.【考点】椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的位置关系的应用.【方法点晴】本题主要考查了椭圆的定义、标准方程及其简单的几何性质、直线与椭圆位置关系的综合应用，其中直线与椭圆方程联立相交问题转化为联立方程组求交点、数量积的运算性质、二次函数的最值是解答的关键，着重考查了学生的推理、运算能力和转化与化归思想的应用，试题运算量与思维量较大，需要平时注意总结和积累，属于难题.23.双曲线的两顶点为A1，A2，虚轴两端点为B1，B2，两焦点为F1，F2.若以A1A2为直径的圆内切于菱形F1B1F2B2,则双曲线的离心率是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由题意，直线的方程是，因为圆与直线相切，所以点到直线的距离等于半径，即，又，得，，，故选B.【考点】1、双曲线的性质；2、双曲线的离心率.【方法点晴】本题主要考查利用双曲线的简单性质求双曲线的离心率，属于中档题.求解与双曲线性质有关的问题时要结合图形进行分析，既使不画出图形，思考时也要联想到图形，当涉及顶点、焦点、实轴、虚轴、渐近线等双曲线的基本量时，要理清它们之间的关系，挖掘出它们之间的内在联系.求离心率问题应先将用有关的一些量表示出来，再利用其中的一些关系构造出关于的等式，从而求出的值.本题是利用点到直线的距离等于圆半径构造出关于的等式，最后解出的值.24.已知椭圆的两个焦点，，且椭圆过点，，且是椭圆上位于第一象限的点，且的面积.（1）求点的坐标；（2）过点的直线与椭圆相交于点，，直线，与轴相交于，两点，点，则是否为定值，如果是定值，求出这个定值，如果不是请说明理由.【答案】（1）；（2）详见解析.【解析】（1）通过已知条件首先求得椭圆的标准方程，再结合三角形的面积计算公式，即可求得的坐标；（2）将直线的方程设出，联立直线方程与椭圆方程，通过计算说明是否为定值即可.试题解析：（1）∵椭圆过点，，∴，计算得，，∴椭圆的方程为.∵的面积，∴，∴，代入椭圆方程.∵，∴，∴；（2）法一：设直线的方程为，，，直线的方程为，可得，即，直线的方程为，可得，即.联立，消去，整理，得.由，可得，，，∴为定值，且.法二：设，，，，直线，，的斜率分别为，，，由，得，，可得，，，，由，令，得，即，同理得，即，则∴为定值，该定值为.【考点】1.椭圆的标准方程及其性质；2.直线与椭圆的位置关系；3.椭圆中的定值问题．【名师】求解定值问题的方法一般有两种：1.从特殊入手，求出定点、定值、定线，再证明定点、定值、定线与变量无关；2.直接计算、推理，并在计算、推理的过程中消去变量，从而得到定点、定值、定线.应注意到繁难的代数运算是此类问题的特点，设而不求方法、整体思想和消元的思想的运用可有效地简化运算.25.已知圆的方程为，定直线的方程为．动圆与圆外切，且与直线相切．（1）求动圆圆心的轨迹的方程；（2）直线与轨迹相切于第一象限的点，过点作直线的垂线恰好经过点，并交轨迹于异于点的点，记为（为坐标原点）的面积，求的值．【答案】（1）（2）【解析】（1）由圆与圆外切得圆心距为半径之和，即得，用坐标表示，化简得（2）按条件依次表示点的坐标及三角形面积：设点，则由导数几何意义得切线斜率，根据垂直关系得，再由直线方程过点得，即得点坐标为，直线的方程为，最后根据直线方程与抛物线方程解出点的坐标为，计算出三角形面积试题解析：解：（1）设动圆圆心的坐标为，动圆半径为，则，且，可得．由于圆在直线的上方，所以动圆的圆心应该在直线的上方，所以有，，整理得，即为动圆圆心的轨迹的方程．（2）设点的坐标为，则，，，所以直线的方程为．又，∴，∵点在第一象限，∴，点坐标为，直线的方程为．联立得，解得或4，∴点的坐标为．所以．【考点】直接法求轨迹方程，导数几何意义，直线与抛物线位置关系26.已知圆方程为：，直线过点，且与圆交于两点，若，则直线的方程是_______.【答案】或【解析】①当直线垂直于轴时，则此时直线方程为，与圆的两个交点坐标为和，其距离为满足题意.②若直线不垂直于轴，设其方程为，即，设圆心到此直线的距离为，则，得，∴，解得，故所求直线方程为.综上所述，所求直线方程为或.【考点】直线与圆位置关系27.已知双曲线的焦距为，且双曲线的一条渐近线与直线垂直，则双曲线的方程为A．B．C．D．【答案】A【解析】由题意，得又，所以所以双曲线的方程为，选A.【考点】双曲线【名师】求双曲线的标准方程的关注点：（1）确定双曲线的标准方程需要一个“定位”条件，两个“定量”条件，“定位”是指确定焦点在哪条坐标轴上，“定量”是指确定a，b的值，常用待定系数法．（2）利用待定系数法求双曲线的标准方程时应注意选择恰当的方程形式，以避免讨论．①若双曲线的焦点不能确定时，可设其方程为Ax2＋By2＝1（AB＜0）．②若已知渐近线方程为mx＋ny＝0，则双曲线方程可设为m2x2－n2y2＝λ（λ≠0）．28.选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，曲线的方程为，以原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为.（1）写出的极坐标方程，并求与的交点的极坐标；（2）设是椭圆上的动点，求的面积的最大值.【答案】（1），；（2）.【解析】（1）借助题设将建直角坐标化为极坐标求解；（2）借助题设条件参数方程建立目标函数求解.试题解析:（1）因为，所以的极坐标方程为，直线的直角坐标方程为，联立方程组，解得或，所以点的极坐标分别为.（2）因为是椭圆上的点，设点坐标为，则到直线的距离，所以，当时，取得最大值1.【考点】极坐标方程和参数方程等知识及运用．29.平面直角坐标系中，点、是方程表示的曲线上不同两点，且以为直径的圆过坐标原点，则到直线的距离为（）A．2B．C．3D．【答案】D【解析】由题设可得,注意到,由椭圆的定义可知动点的轨迹是以焦点,长轴长为的椭圆,所以其标准方程为.因为是椭圆上点,且以为直径的圆过坐标原点,所以,设,将这两点坐标代入可得, ,所以.即也即,设原点到直线的距离为,则,即,应选D.【考点】椭圆的标准方程和参数方程．【易错点晴】本题以方程的形式为背景考查的是圆锥曲线的几何性质与运用.解答本题的难点是如何建立两个动点的坐标的形式,将两点之间的距离表示出来,以便求坐标原点到这条直线的距离.解答时充分利用题设条件,先运用椭圆的定义将其标准方程求出来,再将两动点的坐标巧妙地设为,这也是解答本题的关键之所在.进而将这两点的坐标代入椭圆的方程并进行化简求得的长度之间的关系.最后运用等积法求出了坐标原点到直线的距离.30.选修4-1：几何证明选讲如图, 圆是的外接圆,垂直平分并交圆于点, 直线与圆相切于点,与的延长线交于点.（1）求的大小；（2）若,求的长.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）运用弦切角与三角形的内角和定理求解；（2）借助题设条件和切割线定理求解. 试题解析:（1）设,为圆的切线, ,由垂直平分并交圆于点,可得,,则,由,得,即的大小为.（2）为圆的切线,. 由（1）知,又,即.【考点】圆幂定理中切割线定理及运用．31.过抛物线的焦点的直线与双曲线的一条渐近线平行，并交抛物线于两点，若，且，则抛物线的方程为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】抛物线的焦点的坐标为，准线方程为，与双曲线的渐近线方程为，由于过抛物线的焦点的直线与双曲线的一条渐近线平行，并交抛物线于两点，且，所以可设直线方程为：，设，则，由可得，所以，由得或（舍去），所以抛物线方程为，故选A.【考点】1.直线与抛物线的位置关系；2.抛物线和双曲线的定义与性质.【名师】本题考查直线与抛物线的位置关系、抛物线和双曲线的定义与性质，属中档题；解决抛物线弦长相关问题时，要注意抛物线定义的应用，即将到焦点的距离转化为到准线的距离，通过解方程组求解相关问题即可。

25 高三数学训练题及解答（解析几何1）一、非解答题1 (10安徽文)过点(1, 0)且与直线x-2y-2=0平行的直线方程是( )(A) x-2y-l=0(B)x-2y+l=0(C)2x+y-2=0(D) x+2y-l=0【解析】设直线方程为x —2y + c = 0,又经过（1,0）,故c = —1,所求方程为x-2y-l = 0.【方法技巧】因为所求直线与与直线x-2y-2=0平行，所以设平行直线系方程为x-2y + c = 0 ,代入 此直线所过的点的坐标，得参数值，进而得直线方程.也可以用验证法，判断四个选项中方程哪一个 过点（1, 0）且与直线x-2y-2=0平行.2. （02全国）椭圆5x 2+ky 2=5的一个焦点是（0, 2）,那么斤等于（ ）A. — 1B.lC. A /5D. —y/~525解：椭圆方程可化为：#+'=1•.•焦点（0, 2）在y 轴上，.•<2=—，b 2=l,£ kk又 c 2=a 2—Z?2=4, /. k= 1Y 2 y 23、 （98全国）椭圆—+ ^-=1的焦点为Fi 和尸2，点P 在椭圆上•如果线段PFi 的中点在y 轴上， 那么是卩砂的（ ） A.7倍B.5倍C.4倍D.3倍解析：不妨设几7。

），兔（3, 0）由条件得P （3, ±亍，即阳盲 因此卩刊=7卩砂，故选A.4. （09江西）过椭圆l + £ = l （a 〉b 〉0）的左焦点耳作x 轴的垂线交椭圆于点P ,瑪为右焦点, a" b~则椭圆的离心率为（解：因P （-c,±—）,再由ZF {PF 2=60°有竺= 2a,从而可得e = - = — ,故选Ba aa 32 25、（11辽宁理14文16）设椭圆—+ ^ = 1上一点P 到左准线的距离为10, F 是该椭圆的左焦点,解析：椭圆—+ = 1左准线为% = ,左焦点为（-3, 0）, P （二土型），由已知M为PF25 16 3 3 3中点，M （—彳，土芈），所以\OM\= ^（-|）2+（±^-）2 =26（10上海文）圆C:x2 + y2-2x-4y + 4 = 0的圆心至Q直线3x + 4y + 4 = 0的距离d = ______ 。

高三数学解析几何试题答案及解析1.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图,是圆的直径，是半径的中点，是延长线上一点，且，直线与圆相交于点、（不与、重合），与圆相切于点，连结，，．（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）若，求．【答案】（Ⅰ）详见解析（Ⅱ）【解析】（Ⅰ）证明目标可看做线段成比例，即证明思路确定为证明三角形相似：利用切割线定理得：，又由与相似，得；所以（Ⅱ）由（1）知，，与相似，则，所以试题解析：（1）连接，,,为等边三角形，则，可证与相似，得；又，则（2）由（1）知，，与相似，则因为，所以【考点】三角形相似，切割线定理2.（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程在直角坐标系中，直线的参数方程为为参数），以该直角坐标系的原点为极点，轴的正半轴为极轴的极坐标系下，圆的方程为．（Ⅰ）求直线的普通方程和圆的圆心的极坐标；（Ⅱ）设直线和圆的交点为、，求弦的长．【答案】（Ⅰ）的普通方程为，圆心；（Ⅱ）.【解析】（Ⅰ）消去参数即可将的参数方程化为普通方程，在直角坐标系下求出圆心的坐标，化为极坐标即可；（Ⅱ）求出圆心到直线的距离，由勾股定理求弦长即可.试题解析：（Ⅰ）由的参数方程消去参数得普通方程为 2分圆的直角坐标方程, 4分所以圆心的直角坐标为，因此圆心的一个极坐标为. 6分(答案不唯一，只要符合要求就给分)（Ⅱ）由（Ⅰ）知圆心到直线的距离, 8分所以. 10分【考点】1.参数方程与普通方程的互化；2.极坐标与直角坐标的互化.：的焦点，且抛物线3.（本题满分12分）如图，O为坐标原点，点F为抛物线C1C1上点P处的切线与圆C2：相切于点Q．（Ⅰ）当直线PQ的方程为时，求抛物线C1的方程；（Ⅱ）当正数变化时，记S1，S2分别为△FPQ，△FOQ的面积，求的最小值．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）．【解析】第一问要求抛物线的方程，任务就是求的值，根据导数的几何意义，设出切点坐标，从而求得，再根据切点在切线上，得，从而求得，进而得到抛物线的方程，第二问根据三角形的面积公式，利用题中的条件，将两个三角形的面积转化为关于和切点横坐标的关系式，从而有，利用基本不等式求得最值．试题解析：（Ⅰ）设点，由得，，求导，……2分因为直线PQ的斜率为1，所以且，解得，所以抛物线C1的方程为．（Ⅱ）因为点P处的切线方程为：，即，根据切线又与圆相切，得，即，化简得，由，得，由方程组，解得，所以，点到切线PQ的距离是，所以，，所以，当且仅当时取“＝”号，即，此时，，所以的最小值为．【考点】导数的几何意义，三角形的面积，基本不等式．4.（本小题满分12分）已知椭圆的左、右焦点分别为F1（-3,0），F2（3,0），直线y=kx与椭圆交于A、B两点．（Ⅰ）若三角形AF1F2的周长为，求椭圆的标准方程；（Ⅱ）若，且以AB为直径的圆过椭圆的右焦点，求椭圆离心率e的取值范围．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）．【解析】（Ⅰ）直接由题意和椭圆的概念可列出方程组，进而可求出椭圆的标准方程即可；（Ⅱ）首先设出点，然后联立直线与椭圆的方程并整理可得一元二次方程，进而由韦达定理可得，再结合可列出等式并化简即可得到等式，最后结合已知，即可求出参数的取值范围，进而得出椭圆离心率e的取值范围即可．试题解析：（Ⅰ）由题意得，得．结合，解得，．所以，椭圆的方程为．（Ⅱ）由得．设．所以，易知，，因为，，所以．即，将其整理为．因为，所以，即，所以离心率．【考点】1、椭圆的标准方程；2、直线与椭圆的相交综合问题；5.（本小题满分12分）椭圆（）的上顶点为，是上的一点，以为直径的圆经过椭圆的右焦点．（1）求椭圆的方程；（2）动直线与椭圆有且只有一个公共点，问：在轴上是否存在两个定点，它们到直线的距离之积等于？如果存在，求出这两个定点的坐标；如果不存在，说明理由．【答案】（1）；（2）存在两个定点，．【解析】（1）由题设可得①，又点P在椭圆C上，可得②，又③，由①③联立解得c，b2，即可得解．（2）设动直线l的方程为y=kx+m，代入椭圆方程消去y，整理得（﹡），由△=0，得，假设存在，满足题设，则由对任意的实数k恒成立．由即可求出这两个定点的坐标．试题解析：（1），，由题设可知，得①又点在椭圆上，，②③①③联立解得，，故所求椭圆的方程为（2）当直线的斜率存在时，设其方程为，代入椭圆方程，消去，整理得（）方程（）有且只有一个实根，又，所以，得假设存在，满足题设，则由对任意的实数恒成立，所以，解得，或当直线的斜率不存在时，经检验符合题意．总上，存在两个定点，，使它们到直线的距离之积等于．……12分【考点】1、直线与圆锥曲线的关系；2、椭圆的标准方程．【方法点晴】本题主要考查了椭圆的标准方程的解法，考查了直线与圆锥曲线的关系，综合性较强，属于中档题．处理直线与圆锥曲线的关系问题时，注意韦达定理的应用，同时还得特别注意直线斜率不存在时的情况的验证．6.直线被圆截得的弦长为（）A．1B．2C．4D．【答案】C【解析】圆心，圆心到直线的距离，半径，所以最后弦长为.故选Ｃ.【考点】点到直线的距离.7.（本小题12分）己知、、是椭圆：（）上的三点，其中点的坐标为，过椭圆的中心，且，。

高三数学解析几何与向量练习题及答案解析几何与向量是高中数学中的重要内容。

通过解析几何与向量的学习，我们可以更加深入地理解几何图形的性质和运动规律，同时也可以应用向量的知识解决实际问题。

为了帮助高三学生巩固解析几何与向量的知识，以下是一些练习题及其答案供大家参考。

练习题1：已知平面α：2x - 3y + z - 4 = 0，点A(1, -2, 3)和点B(4, 1, 2)。

求点A关于平面α的对称点A'的坐标。

解析：首先，我们知道一个点关于平面的对称点，其坐标的x、y、z均不变，只是取相反数。

所以对于点A(x, y, z)，其关于平面α的对称点A'的坐标为A'(-x, -y, -z)。

所以，点A关于平面α的对称点A'的坐标为A'(-1, 2, -3)。

练习题2：已知直线l过点A(1, -2, 3)和点B(4, 1, 2)，平面α经过点C(3, 5, 6)且垂直于直线l。

求平面α的方程。

解析：首先，我们知道平面α垂直于直线l，所以平面α的法向量与直线l 的方向向量垂直。

直线l的方向向量可以通过点A和点B的坐标差求得：l的方向向量d = (4-1, 1-(-2), 2-3) = (3, 3, -1)。

由于平面α过点C(3, 5, 6)，所以平面α上任意一点P(x, y, z)到点C(3, 5, 6)的向量PC与平面α的法向量垂直，即它们的点积为0。

根据点积的定义，可以得到平面α的方程为：(3, 3, -1)·(x-3, y-5, z-6) = 0。

化简得：3(x-3) + 3(y-5) - 1(z-6) = 0。

展开得：3x - 9 + 3y - 15 - z + 6 = 0。

合并同类项得：3x + 3y - z - 18 = 0。

所以，平面α的方程为：3x + 3y - z - 18 = 0。

练习题3：已知向量a = 2i + 3j + k，向量b = i + 2j - 2k，向量c = -3i + j + 4k。

高三数学解析几何试题答案及解析1.如图，四边形ABCD内接于⊙，是⊙的直径，于点，平分.（Ⅰ）证明：是⊙的切线（Ⅱ）如果，求.【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）【解析】（Ⅰ）连结，证得∥，即可证得.（Ⅱ）证得∽根据相似比可求得.因为是⊙的直径，所以，从而可求得，根据切割线定理得，从而可得.试题解析：解：（Ⅰ）连结，则，所以，又，所以，所以∥．因为，所以．所以是⊙的切线．（Ⅱ）由（Ⅰ）可得∽，所以，即，则，所以，从而，所以．由切割线定理，得，所以，所以．【考点】1圆的切线; 2切割线定理.2.（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲如图，为⊙的直径，直线与⊙相切于，垂直于，垂直于，垂直于，连接，.证明：（Ⅰ）；（Ⅱ）.【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）均见解析.【解析】（Ⅰ）由同弧上的圆周角等于弦切角可得，在直角三角形可证，从而可证结论成立.（Ⅱ）先证Rt△BCE≌Rt△BFE，得BC＝BF.，再证Rt△ADE≌Rt△AFE，得AD＝AF.由射影定理得EF2＝AF·BF，可证结论成立.试题解析：（Ⅰ）由直线与⊙相切，得.由AB为⊙O的直径，得AE⊥EB，从而∠EAB＋∠EBF＝；又EF⊥AB，得∠FEB＋∠EBF＝，从而∠FEB＝∠EAB. 故∠FEB＝∠CEB.（Ⅱ）由BC⊥CE，EF⊥AB，∠FEB＝∠CEB，BE是公共边，得Rt△BCE≌Rt△BFE，所以BC＝BF.类似可证，Rt△ADE≌Rt△AFE，得AD＝AF.又在Rt△AEB中，EF⊥AB，故EF2＝AF·BF，所以EF2＝AD·BC.【考点】1.圆的相关知识；2.三角形全等的判定与性质.3.已知是双曲线的左右焦点，若双曲线右支上存在一点与点关于直线对称，则该双曲线的离心率为（）A．B．C．2D．【答案】A【解析】由题意过且垂直于的直线方程为，它与的交点坐标为，所以点的坐标为，因为点在双曲线上，，可得，所以选A．【考点】双曲线的性质的应用．4.（本小题满分10分）选修4—4：极坐标与参数方程在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数）．再以原点为极点，以正半轴为极轴建立极坐标系，并使得它与直角坐标系有相同的长度单位．在该极坐标系中圆的方程为．（1）求圆的直角坐标方程；（2）设圆与直线交于点、，若点的坐标为，求的值．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）利用公式可化圆的极坐标方程为直角坐标方程；（2）把直线参数方程化为普通方程，代入圆的方程可求出两点坐标，然后求得，这种方法计算量较大，也可利用参数方程中参数的几何意义，由于点就在直线上，可把直线化为以点为基点的标准参数方程，这样直线上点的参数的几何意义为．把此参数方程代入圆方程得，，于是有，易得．试题解析：（1）由极坐标与直角坐标互化公式得圆的直角坐标方程式为．（2）直线的普通方程为，点在直线上．的标准参数方程为代入圆方程得：设、对应的参数分别为、，则，于是=．【考点】极坐标方程与直角坐标方程的互化，直线参数方程的应用．5.在直角坐标系中，曲线的参数方程为，（为参数），以原点为极点，轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．（1）求曲线的普通方程与曲线的直角坐标方程；（2）设为曲线上的动点，求点到上点的距离的最小值．【答案】（1）曲线的普通方程为：，曲线的直角坐标方程为:；（2）．【解析】（1）利用，即可将极坐标方程化为平面直角坐标系方程；消去参数即可将曲线的的参数方程化为普通方程；（2）设点P的坐标为，然后由点到直线的距离公式得到，最后运用三角函数求最值即可．试题解析：（1）由曲线：得即：曲线的普通方程为：由曲线：得：即：曲线的直角坐标方程为:（2）由（1）知椭圆与直线无公共点，椭圆上的点到直线的距离为所以当时，的最小值为．【考点】参数方程与普通方程的互化，极坐标方程与直角坐标方程的转化，点到直线的距离．6.一条光线从点射出，经轴反射后与圆相切，则反射光线所在直线的斜率为（）A．或B．或C．或D．或【答案】D【解析】点关于轴的对称点为，则设反射光线所在直线的方程为，因为反射光线与圆相切，∴圆心到直线的距离，解得或，故选D．【考点】1、直线与圆的位置关系；2、点到直线的距离；3、直线的方程．7.在平面直角坐标系xOy中，已知点，点B是圆上的点，点M为AB中点，若直线上存在点P，使得，则实数的取值范围为________．【答案】【解析】因为点M为AB中点，所以,即点M轨迹为以原点为圆心的单位圆，当PM为单位圆切线时，取最大值，即，从而，因此原点到直线距离不大于2，即【考点】直线与圆位置关系【名师】直线与圆位置关系解题策略1．与弦长有关的问题常用几何法，即利用弦心距、半径和弦长的一半构成直角三角形进行求解．2．利用圆心到直线的距离可判断直线与圆的位置关系，也可利用直线的方程与圆的方程联立后得到的一元二次方程的判别式来判断直线与圆的位置关系．3．与圆有关的范围问题，要注意充分利用圆的几何性质答题．8.设点在直线上运动，过点作圆的切线，切点为，则切线长的最小值是．【答案】2【解析】圆心到直线的距离，所以．【考点】1、圆的标准方程；2、点到直线的距离．9.已知椭圆的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形，直线与以椭圆的右焦点为圆心，以椭圆的长半轴长为半径的圆相切．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设为椭圆上一点，若过点的直线与椭圆相交于不同的两点和，满足（为坐标原点），求实数的取值范围．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）．【解析】（Ⅰ）根据椭圆的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形可得，，再根据直线与圆相切可得的一个关系式，解方程组可得的值．（Ⅱ）由题意知直线的斜率存在，设直线方程为，与椭圆方程联立消去整理为关于的一元二次方程，由题意可知其判别式大于0，从而可得的范围．再由韦达定理可得两根之和，两根之积．设，根据可得间的关系式．可解得．将其代入椭圆方程可得的关系式，根据的范围可得的范围．试题解析：解：（Ⅰ）由题意，以椭圆的右焦点为圆心，以椭圆的长半轴长为半径的圆的方程为，∴圆心到直线的距离（*）∵椭圆的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形，∴，，代入（*）式得，∴，故所求椭圆方程为（2）由题意知直线的斜率存在，设直线方程为，设，将直线方程代入椭圆方程得：，∴，∴．设，，则，由，当，直线为轴，点在椭圆上适合题意；当，得∴将上式代入椭圆方程得：，整理得：，由知，，所以，综上可得．【考点】1椭圆的方程；2直线与椭圆的位置关系问题．10.在平面直角坐标系中，设点为圆：上的任意一点，点，其中，则线段长度的最小值为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】显然点是直线上的点，圆心，半径为，圆心到直线的距离为，所以长度的最小值为．故选A．【考点】点到直线的距离．【名师】本题表面上考查两点间距离，实质上由圆的几何性质知，与圆上的点有关的距离的最值问题都要与圆心联系起来，直线与圆相离时，圆心到直线的距离为，圆半径为，则圆上的点到直线的距离的最大值为，最小值为．另外动点问题，要注意的是动点必在某条曲线上，找到这条曲线后可借助曲线的性质分析、解决问题．11.（2015秋•上海月考）若直线l1的一个法向量=（1，1），若直线l2的一个方向向量=（1，﹣2），则l1与l2的夹角θ=．（用反三角函数表示）【答案】arccos【解析】利用向量的夹角公式，即可得出结论．解：由题意，cosθ=||=，∴θ=arccos．故答案为：arccos．【考点】两直线的夹角与到角问题；反三角函数的运用．12.（2015•宜昌校级一模）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的下顶点为P（0，﹣1），P到焦点的距离为．（Ⅰ）设Q是椭圆上的动点，求|PQ|的最大值；（Ⅱ）若直线l与圆O：x2+y2=1相切，并与椭圆C交于不同的两点A、B．当•=λ，且满足≤λ≤时，求△AOB面积S的取值范围．【答案】（Ⅰ）2；（Ⅱ）≤S△AOB≤．．【解析】解：（Ⅰ）∵椭圆C：+=1（a＞b＞0）的下顶点为P（0，﹣1），P到焦点的距离为∴b=1，a=2，∴椭圆的方程为设Q（x，y），|PQ|===（﹣1≤y≤1）．∴当y=1时，|PQ|的最大值为2．（2）依题结合图形知的斜率不可能为零，设直线l的方程为x=my+n（m∈R）．∵直线l即x﹣my﹣n=0与圆O：x2+y2=1相切，∴有：=1得n2=m2+1．又∵A（x1，y1），B（x2，y2），满足：消去整理得（m2+2）y2+2mny+n2﹣2=0，由韦达定理得y1+y2=﹣，y1y2=．其判别式△=8（m2﹣n2+2）=8，∵λ=•=x1x2+y1y2=（1+m2）y1y2+mn（y1+y2）+n2=．∴S△AOB=||||sin∠AOB=|x1y2﹣x2y1|=|n（y2﹣y1）|==•=•，∵≤λ≤，∴≤S△AOB≤．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．13.从圆外一点向这个圆作两条切线，则两切线夹角的余弦值为（）A．B．C．D．0【答案】B【解析】圆的圆心为，半径为，从外一点向这个圆作两条切线，则点到圆心的距离等于，每条切线与的夹角的正切值等于，所以两切线夹角的正切值为，该角的余弦值等于，故选B．【考点】直线与圆的位置关系14.在平面直角坐标系中，已知直线与椭圆的一条准线的交点位于轴上，求实数的值.【答案】【解析】利用加减消元得直线普通方程：，利用平方关系消参数得椭圆普通方程，得准线：，因此，即试题解析：解：直线：，椭圆：，准线：由得，【考点】参数方程化普通方程15.（选修4—1：几何证明选讲）如图，为⊙的直径，直线与⊙相切于点，，，、为垂足，连接．若，，求的长．【答案】【解析】由弦切角定理得，从而可得，即，因此可得，即，，再由三角形相似得，解出试题解析：因为与相切于，所以，又因为为的直径，所以．又，所以，所以，所以又，，所以．所以，所以，又，所以．【考点】三角形相似16.已知圆与抛物线的准线相切，则（）A．B．C．D．【答案】B【解析】抛物线的准线为，将圆化为标准方程，圆心到直线的距离为．【考点】1．圆的方程；2．抛物线的方程．17.已知两点分别在轴和轴上运动，且，若动点满足．（Ⅰ）求出动点的轨迹对应曲线的标准方程；（Ⅱ）一条纵截距为的直线与曲线交于，两点，若以直径的圆恰过原点，求出直线方程；（Ⅲ）直线与曲线交于、两点，，试问：当变化时，是否存在一直线，使的面积为？若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）不存在，理由见解析．【解析】（Ⅰ）由向量的坐标去算及可得到椭圆的标准方程；（Ⅱ）由题意知，直线斜率必存在，设直线为，联立椭圆方程，结合为直径求出的值，从而求得直线方程；（Ⅲ）联立直线与椭圆方程，以及三角形的面积公式得到，从而结合条件求出的值，进而作出判断．试题解析：（Ⅰ）因为，即所以，所以又因为，所以，即，即所以椭圆的标准方程为（Ⅱ）直线斜率必存在，且纵截距为，设直线为联立直线和椭圆方程，得:由，得设，则（1）以直径的圆恰过原点，所以，，即，也即，即将（1）式代入，得，即解得，满足（*）式，所以所以直线的方程为（Ⅲ）由方程组，得设，则所以因为直线过点，所以的面积，则不成立不存在直线满足题意【考点】1、平面向量的坐标运算；2、直线与椭圆的位置关系；3、轨迹方程；4、直线方程．【方法点睛】直接法是求轨迹方程最重要的方法之一，本题用的就是直接法．要注意“求轨迹方程”和“求轨迹”是两个不同概念，“求轨迹”除了首先要求求出方程，还要说明方程轨迹的形状，这就需要对各种基本曲线方程和它的形态的对应关系了如指掌．18.选修4-1：几何证明选讲如图所示，为的直径，为的中点，为的中点．（1）求证：；（2）求证：．【答案】（1）；（2）详见解析【解析】（1）欲证，连接，因为为的中点及为的中点，可得，因为为圆的直径，所以，最后根据垂直于同一条直线的两直线平行即可证得结论；（2）欲证，转化为，再转化成比例式．最后只须证明即可．试题解析：证明：（1）连接，因为为的中点，所以．因为为的中点，所以．因为为圆的直径，所以，所以．（2）因为为的中点，所以，又，则．又因为，所以．所以，因此．【考点】与圆有关的比例线段．19.（2015秋•陕西校级期末）已知直线x﹣y+a=0与圆心为C的圆x2+y2+2x﹣4y﹣4=0相交于A，B两点，且AC⊥BC，求实数a的值．【答案】a=0或a=6．【解析】根据圆的标准方程，求出圆心和半径，根据点到直线的距离公式即可得到结论．解：圆的标准方程为（x+1）2+（y﹣2）2=9，圆心C（﹣1，2），半径r=3，∵AC⊥BC，∴圆心C到直线AB的距离d=，即d==，即|a﹣3|=3，解得a=0或a=6．【考点】直线与圆的位置关系．20.（2011•江苏模拟）已知⊙O：x2+y2=1和定点A（2，1），由⊙O外一点P（a，b）向⊙O引切线PQ，切点为Q，且满足|PQ|=|PA|．（1）求实数a，b间满足的等量关系；（2）求线段PQ长的最小值；（3）若以P为圆心所作的⊙P与⊙O有公共点，试求半径最小值时⊙P的方程．【答案】（1）2a+b﹣3=0．（2）．（3）+=．【解析】（1）由勾股定理可得 PQ2=OP2﹣OQ2=PA2，即（a2+b2）﹣1=（a﹣2）2+（b﹣1）2，化简可得a，b间满足的等量关系．（2）由于 PQ==，利用二次函数的性质求出它的最小值．（3）设⊙P 的半径为R，可得|R﹣1|≤PO≤R+1．利用二次函数的性质求得OP=的最小值为，此时，求得b=﹣2a+3=，R取得最小值为﹣1，从而得到圆的标准方程．解：（1）连接OQ，∵切点为Q，PQ⊥OQ，由勾股定理可得 PQ2=OP2﹣OQ2．由已知PQ=PA，可得 PQ2=PA2，即（a2+b2）﹣1=（a﹣2）2+（b﹣1）2．化简可得 2a+b﹣3=0．（2）∵PQ====，故当a=时，线段PQ取得最小值为．（3）若以P为圆心所作的⊙P 的半径为R，由于⊙O的半径为1，∴|R﹣1|≤PO≤R+1．而OP===，故当a=时，PO取得最小值为，此时，b=﹣2a+3=，R取得最小值为﹣1．故半径最小时⊙P 的方程为+=．【考点】圆的标准方程；圆的切线方程．21.已知双曲线的一条渐近线过点,则，其离心率为．【答案】【解析】由题知：双曲线的渐近线为因为过点，所以所以【考点】双曲线22.选修4—1：几何证明选讲在中，,以为直径作圆交于点．（1）求线段的长度；（2）点为线段上一点,当点在什么位置时,直线ED与圆相切,并说明理由．【答案】（1）；（2）是的中点，理由见解析．【解析】（1）由勾股定理易求得的长，可连结，由圆周角定理知，易知相似，可得的比例关系，即可求出的长；（2）当与相切时，由切线长定理知，则，那么和就是等角的余角，由此可证得，即是的中点，在证明时，可连结，证即可．试题解析：（1）解:连结,在直角三角形中,易知,所以,又因为,所以相似,所以, ．（2）当点是的中点时, 直线与圆相切．证明如下：连接,因为是直角三角形斜边的中线,所以,所以,因为,所以,所以,所以直线与圆相切．【考点】相似三角形的判定；圆的切线定理的应用．23.已知椭圆（）的离心率为，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线相切．（1）求椭圆的方程；（2）设，过点作与轴不重合的直线交椭圆于，两点，连接，分别交直线于，两点，若直线、的斜率分别为、，试问：是否为定值？若是，求出该定值，若不是，请说明理由．【答案】(1) ;(2)为定值.【解析】(1)由离心率、直线与圆相切列出关于的等量关系即可求出的值，即得到椭圆的标准方程；(2)设出直线的方程为，以及，，由直线方程与椭圆方程联立，得到关于的一元二次方程，由韦达定理得到，，又，，三点共线可知，，由此求出；，用点的坐标表示，并用韦达定理代入，即可求出.试题解析： （1）由题意得，解得，故椭圆的方程为． （2）设，，直线的方程为，由，得．所以，，由，，三点共线可知，，所以；同理可得．所以．因为，所以．【考点】1.椭圆的定义与几何性质；2.直线与椭圆的位置关系.【名师】本题主要考查椭圆的定义及几何性质、直线与椭圆的位置关系，属难题；圆锥曲线中的定点问题或定值问题通常用的解法有：1.引进参数法：即引进动点的坐标或动直线中的系数表示变化量，再研究变化量何时与参数没有关系，找到定点或定值；2.特殊到一般：即根据动点或动直线的特殊情况探索出定点或定值，再证明该定点或定值与变量无关.24. 已知F 1、F 2分别是双曲线C ：﹣=1的左、右焦点，若F 2关于渐近线的对称点恰落在以F 1为圆心，|OF 1|为半径的圆上，则双曲线C 的离心率为（ ） A ． B ．3 C ．D ．2【答案】D【解析】求出F 2到渐近线的距离，利用F 2关于渐近线的对称点恰落在以F 1为圆心，|OF 1|为半径的圆上，可得直角三角形，即可求出双曲线的离心率． 解：由题意，F 1（﹣c ，0），F 2（c ，0），一条渐近线方程为，则F 2到渐近线的距离为=b ．设F 2关于渐近线的对称点为M ，F 2M 与渐近线交于A ，∴|MF 2|=2b ，A 为F 2M 的中点 又0是F 1F 2的中点，∴OA ∥F 1M ，∴∠F 1MF 2为直角， ∴△MF 1F 2为直角三角形，∴由勾股定理得4c 2=c2+4b2∴3c2=4（c2﹣a2），∴c2=4a2，∴c=2a，∴e=2．故选D．【考点】双曲线的简单性质．25.已知AB为半圆O的直径，AB=4，C为半圆上一点，过点C作半圆的切线CD，过A点作AD⊥CD于D，交半圆于点E，DE=1（1）证明：AC平分∠BAD；（2）求BC的长．【答案】（1）证明见解析（2）2【解析】（1）推导出∠OAC=∠OCA，OC⊥CD，从而AD∥OC，由此能证明AC平分∠BAD．（2）由已知推导出BC=CE，连结CE，推导出△CDE∽△ACD，△ACD∽△ABC，由此能求出BC的长．证明：（1）∵OA=OC，∴∠OAC=∠OCA，∵CD是圆的切线，∴OC⊥CD，∵AD⊥CD，∴AD∥OC，∴∠DAC=∠OCA故∠DAC=∠OAC，即AC平分∠BAD．解：（2）由（1）得：，∴BC=CE，连结CE，则∠DCE=∠DAC=∠OAC，∴△CDE∽△ACD，△ACD∽△ABC∴，故．【考点】相似三角形的性质．26.如图，椭圆左、右焦点分别为，上顶点轴负半轴上有点，满足，且，若过三点的圆与直线相切.(Ⅰ)求椭圆的方程；(Ⅱ)若为椭圆上的点，且直线垂直于轴，直线与轴交于点，直线与交于点，求的面积的最大值.【答案】(Ⅰ) (Ⅱ)【解析】（Ⅰ）由题得，即的外接圆圆心为，半径，则由过三点的圆与直线相切可求得，进而得到，则椭圆的方程可求；（Ⅱ）首先证明点恒在椭圆上通过设、直线，利用三角形面积公式化简可知，通过联立直线与椭圆方程后由韦达定理、换元化简可知，，令求出的最大值进而即得结论．试题解析：(Ⅰ)由题得，即，的外接圆圆心为，半径，∵过三点的圆与直线相切，∴，解得：，∴所求椭圆方程为：.(Ⅱ)设，则，∴，与的方程分别为：.则，∵，∴点恒在椭圆上.设直线，则，记，，，令,则，∵函数在为增函数，∴当即时，函数有最小值4，即时，，又∵.故【考点】【名师】本题考查了椭圆离心率，方程的求法，以及直线与椭圆位置关系，属中档题.解题时注意设而不求思想的应用．以及基本不等式的综合应用，难点在于证明点恒在椭圆上27.抛物线y2=4x上任一点到定直线l:x=-1的距离与它到定点F的距离相等，则该定点F的坐标为．【答案】（1,0）【解析】因为，所以，可得，故焦点坐标为，即定点的坐标为（1,0）.【考点】抛物线的的定义与运算.28.在平面直角坐标系中，已知抛物线上一点到准线的距离与到原点的距离相等，抛物线的焦点为.（1）求抛物线的方程；（2）若为抛物线上一点（异于原点），点处的切线交轴于点，过作准线的垂线，垂足为点.试判断四边形的形状，并证明你的结论.【答案】（1）（2）菱形.【解析】（1）利用抛物线定义化简条件“点到准线的距离为”得，即（2）先确定点处切线的斜率为，写出切线方程，求出点坐标，又，所以，再由抛物线的定义，得，所以四边形为菱形.试题解析：解：（1）由题意点到准线的距离为由抛物线的定义，点到准线的距离为所以，即点在线段的中垂线上，所以，所以抛物线的方程为由抛物线的对称性，设点在轴的上方，所以点处切线的斜率为所以点处切线的方程为令上式中，得所以点的坐标为，又，所以，所以，所以，又故四边形为平行四边形再由抛物线的定义，得，所以四边形为菱形.【考点】抛物线定义，直线与抛物线位置关系29.【选修4-1：几何证明选讲】如图，是圆的直径，弦的延长线相交于点，过作的延长线的垂线，垂足为，求证：.【答案】详见解析【解析】涉及线段乘积，一般利用三角形相似寻找条件：由△∽△，得，又四点共圆，由相交弦定理得．两式相减得结论试题解析：解：连接，因为为圆的直径，所以，又，则四点共圆，所以．又△∽△，所以，即，所以．【考点】三角形相似，四点共圆，相交弦定理30.已知双曲线（，）与直线有交点，则双曲线的离心率的范围是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】如图所示，双曲线的渐近线方程为，若双曲线（，）与直线有交点，应有，所以解得故选C.【考点】双曲线的简单几何性质.31.已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，如果直线与椭圆的交点在轴上的射影恰为椭圆的焦点，则椭圆的离心率等于 .【答案】【解析】设椭圆标准方程为，半焦距为，直线与椭圆在第一象限的交点的横坐标为，把代入椭圆标准方程解得，即交点坐标，∵交点在直线上，∴，即，解得.【考点】椭圆的标准方程及有关概念．【方法点晴】解答本题的关键是探求和构建椭圆中关于基本量的等量关系,即建构含的方程,然后通过解方程求出椭圆的离心率,从而使问题巧妙获解.解答本题的难点是如何理解交点在轴上的射影恰为椭圆的焦点,这是解答本题的重要突破口,也就是怎样确定出交点的坐标,其实本题中的这句话就是说交点的横坐标为,再将其代入直线求出其纵坐标,借助交点在椭圆上建立了方程,通过解方程从而使本题获解.32.【选修4-4，坐标系与参数方程】在直角坐标系中，直线的参数方程为（t为参数），在以O为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C的极坐标方程为（Ⅰ）求直线的普通方程与曲线C的直角坐标方程；（Ⅱ）若直线与轴的交点为P，直线与曲线C的交点为A,B,求的值.【答案】（1）；；（2）3.【解析】本题主要考查参数方程、极坐标方程与直角坐标方程的转化、直线与圆的位置关系等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力. 第一问，利用，，转化方程；第二问，将直线方程与曲线方程联立，消参，得到关于的方程，利用两根之积得到结论.试题解析：（Ⅰ）直线的普通方程为，，曲线的直角坐标方程为.（Ⅱ）将直线的参数方程（为参数）代入曲线：，得到：，，.【考点】本题主要考查：1.极坐标方程，参数方程与直角方程的相互转化；2.直线与圆的位置关系.33.如图“月亮图”是由曲线与构成，曲线是以原点O为中心，为焦点的椭圆的一部分，曲线是以O为顶点，为焦点的抛物线的一部分，是两条曲线的一个交点．（Ⅰ）求曲线和的方程；（Ⅱ）过作一条与轴不垂直的直线，分别与曲线，依次交于B,C,D,E四点，若G为CD 的中点、H为BE的中点，问：是否为定值？若是求出该定值；若不是说明理由．【答案】（Ⅰ），；（Ⅱ）是，.【解析】（Ⅰ）设曲线所在抛物线的方程为，将代入可得的值，利用椭圆的定义，可得曲线所在的椭圆方程；（Ⅱ）先设出四点坐标，过作的与轴不垂直的直线方程，在分别与椭圆方程，抛物线方程联立，利用根与系数的关系，求的值，看结果是否为定值.试题解析：（Ⅰ）由题意得抛物线，设椭圆方程为，则，得，故椭圆方程为（Ⅱ）设，，，，把直线代入得，则，．同理将代入得：，，；为定值．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程；抛物线的标准方程.34.选修4-4：坐标系与参数方程平面直角坐标系中, 圆,曲线的参数方程为为参数）, 在以原点, 为极点,轴正半轴为极轴的极坐标系中, 直线的极坐标方程为.（1）求圆的极坐标方程及曲线的普通方程；（2）设与圆相切于点,且在第三象限内交于点,求的面积.【答案】（1），；（2）.【解析】（1）运用极坐标、参数方程与直角坐标的互化求解；（2）借助题设条件建立方程求三角形的底边和高，再用面积公式求解.试题解析:（1）把,代入,得,所以圆的极坐标方程为,由曲线的参数方程为为参数）,消去,得曲线的普通方程为.（2）联立,得点的极坐标为,曲线的极坐标方程为,联立,可得,可得,点的极坐标为,所以,而点到直线的距离为的面积为.【考点】极坐标、参数方程与直角坐标方程的互化及有关知识的综合运用．35.已知为正实数，直线与圆相切，则的最小值是（）A．2B．4C．6D．8【答案】B【解析】，∴当且仅当时取等号，选B．【考点】直线与圆相切，基本不等式求最值【易错点睛】在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”（即条件要求中字母为正数）、“定”（不等式的另一边必须为定值）、“等”（等号取得的条件）的条件才能应用，否则会出现错误.36.已知椭圆上的左、右顶点分别为，为左焦点，且，又椭圆过点.（1）求椭圆的方程；（2）点和分别在椭圆和圆上（点除外），设直线的斜率分别为，若，证明：三点共线.【答案】（1）；（2）见解析【解析】（1）,由椭圆过点可得，由椭圆中关系求出的值即可；（2）由（1）知，，设，由此可得，又因为，，由此可得，同理可得，所以，即可证三点共线.试题解析：（1）由已知可得，又，解得，故所求椭圆的方程为.（2）由（1）知，，设，。