第5章 1.曲线运动 小船过河问题

高中物理：运动学专题讲解——小船过河问题高一的同学应该都学倒或学过曲线运动了。

其中有一类比较经典的题目——小船过河，让不少学生焦头烂额。

会的学生觉得很简单，不会的学生觉得摸不着头脑。

今天就带来小船过河专题的讲解~希望有所帮助。

小船渡河是典型的运动的合成与分解问题，小船在有一定流速的水中过河时，实际上参与了两个方向的分运动，即随水流的运（水冲船的运动）和船相对水的运动（即在静水中的船的运动），船的实际运动是合运动常考题型分两类：1.最短过河时间最短过河时间很简单，一般而言都是船头冲着对岸就行了，但是这里需要注意的是——由于水流的原因，你是冲着对岸开的，但是一定会到达的是靠下游的地方。

2.最短过河路程分两种情况：如果船速大于水速，则可以开到正对岸如果船速小于水速，则需要成一个角度：例如，我们先看一个例题1、河宽 d＝60m，水流速度 v水＝6m／ s，小船在静水中的速度v船=3m／ s，问：(1)要使它渡河的时间最短，则小船应如何渡河 ?最短时间是多少 ?(2)要使它渡河的航程最短，则小船应如何渡河?最短的航程是多少 ?（物理君手写一份超级具体的答案给大家，怕大家看不懂，后续也跟着电子版……）解析：解:(1)当以静水中的速度垂直河岸过河的时候渡河时间最短,则知:(2)小船以最短距离过河时,则静水中的速度斜着向上游,合速度垂直河岸,设与河岸的夹角为,则由矢量合成的平行四边形法则解三角形得:,这时船头与河水速度夹角为;过河的时间是.答:(1)船垂直河岸过河时间最短,且过河的最短时间为,;(2)要小船以最短距离过河,开船方向与河水速度夹角为,过河时间为练习一只小船在静水中的速度为 5m/s，它要渡过一条宽为 60m 的河，河水流速为 4m/s，则：（1）过河最短时间；（2）如何过河位移最短并计算以最短位移过河的时间．答案解:(1)当以静水中的速度垂直河岸过河的时候渡河时间最短,则知: 小船以最短距离过河时,则静水中的速度斜着向上游,设船与河岸的夹角为,则有:,计算得出:合速度垂直河岸,则由速度的合成可得:所以小船要以最短距离过河时所用的时间为:答:(1)过河最短时间;(2)船与河岸的夹角为过河位移最短,且最短位移过河的时间为.O课后练习：如图所示，一小船正在渡河，在离对岸30m 处，发现其下游40m 处有一危险水域，若水流速度为 5m/s，为了使小船在进入危险水域之前到达对岸，那么小船从现在起相对于静水的最小速度应为多大？此时船头的航向如何？渡河要用多少时间？今天的内容就先分享到这里，希望能够帮助到各位考生。

曲线运动——小船渡河问题分析1．一人以垂直河岸不变的速度（相对水）向对岸游去，若河水流动速度恒定。

下列说法中正确的是A．河水流动速度对人渡河无任何影响B．游泳者渡河的路线与河岸垂直C．由于河水流动的影响，人到达对岸的位置将向下游方向偏移D．由于河水流动的影响，人到达对岸的时间与静水中不同答案：C正确的是A．小船过河所需的最短时间是40sB．要使小船过河的位移最短，船头应始终正对着对岸C．要使小船过河的位移最短，过河所需的时间是50sD．如果水流速度增大为6m/s，小船过河所需的最短时间将增大答案：AA、下落时间越短B、下落时间越长C、落地时速度越小D、落地时速度越大答案：D4．小船匀速横渡一条宽120m的河流，当船头垂直于河岸方向航行时，30s到达河对岸下游60m处，则船在静水中的速度为；若船头保持与河岸上游成α角航行，恰好到达正对岸，则α= 。

答案：5．一小船在静水的速度为3m/s，它在一条河宽150m，水流速度为4m/s的河流中渡河，则该小船（）A．能到达正对岸 B．渡河的时间可能少于50sC．以最短时间渡河时，它沿水流方向的位移大小为200mD．以最短位移渡河时，位移大小为150m答案：C6．小船在静水中的速度是v，今小船要渡过一河流，渡河时小船朝对岸垂直划行，若航行至河中心时，河水流速增大，则渡河时间将（）A. 不变B.减小C.增大D.不能确定答案：A7．若河水的流速大小与水到河岸的距离有关，河中心水的流速最大，河岸边缘处水的流速最小。

现假设河的宽度为120m，河中心水的流速大小为5m/s，船在静水中的速度大小为3m/s，则下列说法中正确的是（）A．船渡河的最短时间是40sB．船在河水中航行的轨迹是一条直线C．要使船渡河时间最短，船头应始终与河岸垂直D．要使船渡河行程最短，船头应与上游河岸成53°行驶答案：AC8．一条河宽100m，水流速度为3m/s，一条小船在静水中的速度为5m/s，关于船过河的过程，下列说法不正确的是：A．船过河的最短时间是20s B．船要垂直河岸过河需用25s的时间C．船的实际速度可能为5m/s D．船的实际速度可能为10m/s答案：D9．某船在静水中的速率为4m/s, 要横渡宽为40m的河, 河水的流速为5m/s、下列说法中不正确的是A、该船不可能沿垂直于河岸的航线抵达对岸B、该船渡河的速度最小速度是3m/sC、该船渡河所用时间至少是10sD、该船渡河所经位移的大小至少是50m答案：B10．一只船在200m宽的河中横渡，水流速度是2m/s，船在静水中的航速是4m/s，欲使小船以最短时间渡过河去，则应使船头方向_________河岸（填“垂直”或“不垂直”）行驶，最短的时间是_________ s.答案：垂直5011．一艘船以相对于静水恒定的速率渡河，水流速度也恒定（且小于船速），若河的宽度一定，要使船到达对岸航程最短，则（）A．船头指向应垂直河岸航行B．船头指向应偏向下游一侧C．船头指向应偏向上游一侧D．船不可能沿直线到达对岸答案：C12．一只小船在静水中的速度为3m/s，它要渡过一条宽度为30m的河，河水的流速为4m/s，则下列说法正确的是( )A．船不能渡过河 B．船过河的速度一定为5m/sC．船运动的轨迹不可能垂直河岸D．船过河的最短时间为10s答案：CD13．王聪同学，为了测量某河流的水速，找来一条小船，他首先保持小船对水以恒定的速度行驶．第一次，保持船头始终垂直河岸划行，经10min到达正对岸下游120m处；第二次，船头始终保持指向与上游河岸成θ角划行，经12.5min到达正对岸。

高一物理人教新课标必修二第五章导学案 编撰人： 王高武 审定人：夏文征 姓名： 学号： 组名： 9 10曲线运动描述实例-小船渡河（预习案）【预习目标】1. 通过预习材料明确所给问题考察的知识2. 尝试利用所学知识分析该问题运动【预习内容】受热带风暴“风神”的影响，2008年6月26日白天至27日早上广东省河源市多个县市持续强降雨，江河暴涨，道路受毁，村庄受浸，山塘水库溢流．灾情就是命令，危急时刻，武警广东总队河源市支队官兵闻灾而动，支队先后派出抢险突击队2批70多名官兵及时赶到现场用冲锋舟、橡皮艇或是简陋的轮胎、木板等工具，一天内转移被洪水围困的群众8500多人请你思考：在抗洪抢险中，时间就是生命．假如你是一名战士，在救人的地点、船速和水速大小一定的情况下，你应如何驾驶冲锋舟才能在最短的时间内将人送上岸？延伸阅读加强对运动合成与分解的理解1．运动的合成和分解：由已知的分运动来求合运动，叫做运动的合成；已知合运动求跟它等效的分运动，叫运动的分解．两者互为逆运算．2．合运动分解的原则：与力的分解类似．若没有限制条件，一个实际运动可分解为无数对分运动，但在实际问题中往往分解成两个便于分析求解的简单运动．3．合成和分解的方法：运动的合成和分解常包括位移、速度和加速度的合成和分解，由于它们都是矢量，所以遵循平行四边形定则．4．对于在平面内运动的物体，常将其运动在某直角坐标系中进行正交分解，则有： v x ＝v ·cos _θ，v y ＝v ·sin _θ(θ为速度方向与x 轴的夹角)x ＝s ·cos _α，y ＝s ·sin _α(α为位移方向与x 轴的夹角)．【我的疑惑】探究案【学习目标】1．理解合成与分解可以解决较复杂的运动 2．学会化繁为简研究小船渡河问题【学习重点】 分析归纳小船渡河的规律 【学习难点】 应用数学知识分析渡河【方法指导】 自主学习、交流讨论、自主归纳、练习探究一、同一直线上的运动的合成例1 某人站在自动扶梯上不动，扶梯正常运行，人经时间t 1由一楼升到二楼；如果自动扶梯不动，人从一楼沿扶梯走到二楼所用的时间为t 2．现在扶梯正常运行，人也保持原来的速率沿扶梯向上走，则人从一楼到二楼所用的时间是多少？探究二、互成角度的两运动的合成小船的实际运动(站在岸上的人看到的运动)为合运动，同时参与的两个分运动，一个是船相对于静止水的运动，它的方向与船身指向相同；另一个是船随水漂流的运动，它的方向与河岸平行．船在水中的合运动(实际看到的运动)是上述两个分运动的合成．分情况讨论小船的渡河问题第一种情况：船速大于水速，即v 1＞v 2．(设船在静水中的速度为v 1，水流速度为v 2，河宽为d ) 1．怎样才能使渡河的时间最短2．怎样才能使渡河的位移最短齐贤 集成 求索 创新 最简单的回答就是行动。

小船渡河模型打卡：让优秀成为习惯 整理：陈庆威【知识方法——重点突出】1. 模型构建匀速运动的船在匀速流动的水中航行，该运动情景可看作“小船渡河”模型。

2．模型特点(1)一般情况下，船速和水速恒定，河岸平直且平行。

(2)船的实际运动是随水流的运动和船相对静水的运动的合运动。

(3)三种速度：船在静水中的速度v 2、水的流速v 1、船的实际速度v 。

如图1图1 图2 图33．三种情景（1）最短时间：船头正对河岸行驶时，渡河时间最短，2m in v d t =（d 为河宽），如图2。

（2）最短航程 ①若v 2>v 1：合速度垂直于河岸时，航程最短为d 。

船头指向上游与河岸夹角为θ，21cos v v =θ；如图3。

②若v 2＜ v 1：则无论船头指向哪个方向行驶船总要被水冲向下游。

怎样才能使过河路径最短呢？ 如图4，设船头（v 2）与河岸成θ角，合速度v 与河岸成α角，可以看出，α越大，过河路径越短。

那什么条件下α角最大呢？图4 图5 如图5，以v 1的矢尖为圆心， v 2的大小为半径画圆弧，当合速度v 与圆弧相切时，可以看出，α最大。

此时 12cos sin v v ==θα , 过河的最短路径：21cos v dv d s ==θ。

【例题精选——最新最全】题型一：过河的最短时间【例题1】（2021·全国高一期末）如图所示，某人由A 点划船渡河，船头指向始终与河岸垂直，河宽120m ，水流速度为3m/s ，船在静水中的速度为4m/s ，则以下说法中正确的是（ ）A ．小船渡河时间为40sB ．小船渡河时间为30sC ．小船渡河时间为24sD ．小船渡河时间无法确定【变式1】（2020·扬州市江都区大桥高级中学高三月考）某人划船渡河，河宽为d ，船在静水中划行速度大小为1v ，船头方向与河岸间夹角为θ（90θ<︒），水流动速度大小为2v ，如图所示，下列说法正确的是（ ）A ．若水流的速度增大，渡河时间变长B ．若水流的速度增大，渡河时间变短C ．改变θ，可使渡河的最短时间为1d v D ．无论船速v 1多大，通过改变θ，可使小船到达正对岸O 点题型二：船速大于水速的情况【例题2】（2020·安徽高三月考）如图所示，一小船从河岸上的P 点过河，已知河水流速3m/s v =，第一次过河时，小船在静水中的速度为4m /s v '=，且小船以最短时间过河，刚好到达对岸的Q 点；第二次过河时，小船在静水中的速度为5m /s v ''=，且小船仍从P 点出发，第二次小船过河所用时间与第一次相同，下列说法正确的是（ ）A ．第二次小船过河到达对岸时一定在Q 点的左侧B ．第二次小船过河到达对岸时一定在Q 点的右侧C ．第二次小船过河时有可能到达P 点的正对岸D ．第二次小船过河时有可能到达P 点正对岸的左侧【变式2】（2020·自贡市第十四中学校）一只小船在静水中的速度为5 m/s ，它要渡过一条宽为50 m 的河，河水流速为4 m/s ，则( )A ．这这这这这这这这这这50 mC．这这这这这这这这这这这这这这这这这这这这D．这这这这这这这这这这这这这这这这这这这这题型三：船速小于水速的情况【例题3】（2020·安徽高三月考）有一条两岸平直、河水流速均匀的大河，某人驾驶一艘小船渡河，已知小船在静水中的速度为v1，河水的流速为v2，且v1<v2，小船若以最短时间渡河，所用时间为T，若以最小位移渡河，则渡河的最小位移为（）A．v2T BC．221vvT D．212vvT【变式3】（2020·安徽池州市·高一期末）如图所示，在某次抗洪救援演练中，一条可视为质点的救灾冲锋舟位于与对岸的最近距离为的O点处，从O点向下游30m处有一危险区，当时水流速度为，水流速度恒定，为了使冲锋舟避开危险区沿直线到达对岸，冲锋舟在静水中的速度大小至少是（）A．B．C．5m/s D．9m/s题型四：水速变化的情况【例题4】（2020·安徽黄山市·屯溪一中高一期中）河水的流速随离河岸的距离的变化关系如图甲所示，船在静水中的速度与时间的关系如图乙所示，若要使船以最短时间渡河，则（）B．船在行驶过程中，船头始终与河岸垂直C．船在河水中航行的轨迹是一条直线D．船在河水中的最大速度是7m/s【变式4】（2020·全国高三专题练习）河水由西向东流，河宽为800m，河中各点的水流速度大小为v水，各点到较近河岸的距离为x这v水与x的关系为v水=3400x 这m/s），让小船船头垂直河岸由南向北渡河，小船在静水中的速度大小恒为v船=4m/s，下列说法正确的是（）A．小船渡河的轨迹为直线B．小船在河水中的最大速度是C．小船渡河的时间是200sD．小船在距南岸200m处的速度小于距北岸200m处的速度题型五：学科素养与能力提升【例题5】（2020·全国高三月考）解放军特种兵在某次泅水训练中要求战士渡过一条如图所示的水渠。

小船过河问题轮船渡河问题：（1）处理方法：轮船渡河是典型的运动的合成与分解问题，小船在有一定流速的水中过河时，实际上参与了两个方向的分运动，即随水流的运动（水冲船的运动）和船相对水的运动（即在静水中的船的运动），船的实际运动是合运动。

1．渡河时间最少：在河宽、船速一定时，在一般情况下，渡河时间sin1船d dt，显然，当90时，即船头的指向与河岸垂直，渡河时间最小为vd ，合运动沿v 的方向进行。

2．位移最小若水船结论船头偏向上游，使得合速度垂直于河岸，位移为河宽，偏离上游的角度为船水cos若水船v v ，则不论船的航向如何，总是被水冲向下游，怎样才能使漂下的距离最短呢？如图所示，设船头v 船与河岸成θ角。

合速度v 与河岸成α角。

可以看出：α角越大，船漂下的距离x 越短，那么，在什么条件下α角最大呢？以v 水的矢尖为圆心，v 船为半径画圆，当v与圆相切时，α角最大，根据水船v v cos船头与河岸的夹角应为v水θv αABEv船v 水v船θvV水v 船θv 2v 1水船v v arccos，船沿河漂下的最短距离为：sin)cos (min 船船水v dv v x 此时渡河的最短位移：船水v dv d scos【例题】河宽d ＝60m ，水流速度v 1＝6m ／s ，小船在静水中的速度v 2=3m ／s ，问：(1)要使它渡河的时间最短，则小船应如何渡河?最短时间是多少? (2)要使它渡河的航程最短，则小船应如何渡河?最短的航程是多少?★解析： (1)要使小船渡河时间最短，则小船船头应垂直河岸渡河，渡河的最短时间ss dt2030602(2)渡河航程最短有两种情况：①船速v 2大于水流速度v 1时，即v 2>v 1时，合速度v 与河岸垂直时，最短航程就是河宽；②船速v 2小于水流速度v l 时，即v 2<v 1时，合速度v 不可能与河岸垂直，只有当合速度v方向越接近垂直河岸方向，航程越短。

第五章曲线运动经典分类例题§5.1 曲线运动基础一、知识讲解二、【典型例题】知识点1、力和运动的关系1、曲线运动的定义：2、合外力决定运动的速度：3、合外力和速度是否共线决定运动的轨迹：4、物体做曲线运动的条件：习题1、关于曲线运动的速度，下列说法正确的是：（）A、速度的大小与方向都在时刻变化B、速度的大小不断发生变化，速度的方向不一定发生变化C、速度的方向不断发生变化，速度的大小不一定发生变化D、质点在某一点的速度方向是在曲线的这一点的切线方向2、下列叙述正确的是：（）A、物体在恒力作用下不可能作曲线运动B、物体在变力作用下不可能作直线运动C、物体在变力或恒力作用下都有可能作曲线运动D、物体在变力或恒力作用下都可能作直线运动3、下列关于力和运动关系的说法中，正确的上：（）A．物体做曲线运动，一定受到了力的作用B．物体做匀速运动，一定没有力作用在物体上C．物体运动状态变化，一定受到了力的作用D．物体受到摩擦力作用，运动状态一定会发生改变4、下列曲线运动的说法中正确的是：（）A、速率不变的曲线运动是没有加速度的B、曲线运动一定是变速运动C、变速运动一定是曲线运动D、曲线运动一定有加速度，且一定是匀加速曲线运动5、物体受到的合外力方向与运动方向关系，正确说法是：（）A、相同时物体做加速直线运动B、成锐角时物体做加速曲线运动C、成钝角时物体做加速曲线运动D、如果一垂直，物体则做速率不变的曲线运动6．某质点作曲线运动时:（）A．在某一点的速度方向是该点曲线的切线方向B．在任意时间内位移的大小总是大于路程C．在任意时刻质点受到的合外力不可能为零D、速度的方向与合外力的方向必不在一直线上V 0F M N MVN 知识点2、曲线运动的特点例题1、已知物体运动的初速度v 的方向及受恒力的方向如图所示，则图6-1-1中可能正确的运动轨迹是：例题2、.某质点在恒力 F 作用下从A 点沿图B 点后，质点受到的力大小仍为F ，但方向相反，则它从B 点开始的运动轨迹可能是图中的：（ ） A.曲线a B.曲线bC.曲线CD.以上三条曲线都不可能例题3、一个质点受到两个互成锐角的F1和F2的作用，有静止开始运动，若运动中保持力的方向不变，但F1突然增大到F1+F ，则此质点以后做_______________________习题：质量为m 的物体受到两个互成角度的恒力F 1和F 2的作用，若物体由静止开始，则它将做 运动，若物体运动一段时间后撤去一个外力F 1，物体做的运动是 运动。

高中物理-曲线运动小船渡河问题分析【模型概述】在运动的合成与分解中，如何判断物体的合运动和分运动是首要问题，判断合运动的有效方法是看见的运动就是合运动。

合运动的分解从理论上说可以是任意的，但一般按运动的实际效果进行分解。

小船渡河和斜拉船等问题是常见的运动的合成与分解的典型问题【模型讲解】一、速度的分解要从实际情况出发例1. 如图1所示，人用绳子通过定滑轮以不变的速度0v 拉水平面上的物体A ，当绳与水平方向成θ角时，求物体A 的速度。

图1解法一（分解法）：本题的关键是正确地确定物体A 的两个分运动。

物体A 的运动（即绳的末端的运动）可看作两个分运动的合成：一是沿绳的方向被牵引，绳长缩短。

绳长缩短的速度即等于01v v =；二是随着绳以定滑轮为圆心的摆动，它不改变绳长，只改变角度θ的值。

这样就可以将A v 按图示方向进行分解。

所以1v 及2v 实际上就是A v 的两个分速度，如图1所示，由此可得θθcos cos 01v v v A ==。

解法二（微元法）：要求船在该位置的速率即为瞬时速率，需从该时刻起取一小段时间来求它的平均速率，当这一小段时间趋于零时，该平均速率就为所求速率。

设船在θ角位置经△t 时间向左行驶△x 距离，滑轮右侧的绳长缩短△L ，如图2所示，当绳与水平方向的角度变化很小时，△ABC 可近似看做是一直角三角形，因而有θcos x L ∆=∆，两边同除以△t 得：θcos txt L ∆∆=∆∆ 即收绳速率θcos 0A v v =，因此船的速率为：θcos 0v v A =图2总结：“微元法”。

可设想物体发生一个微小位移，分析由此而引起的牵连物体运动的位移是怎样的，得出位移分解的图示，再从中找到对应的速度分解的图示，进而求出牵连物体间速度大小的关系。

解法三（能量转化法）：由题意可知：人对绳子做功等于绳子对物体所做的功。

人对绳子的拉力为F ，则对绳子做功的功率为01Fv P =；绳子对物体的拉力，由定滑轮的特点可知，拉力大小也为F ，则绳子对物体做功的功率为θcos 2A Fv P =，因为21P P =所以θcos 0v v A =。