1.3.2排列与组合(二)

组合与排列的计算方法组合与排列是数学中常见的计算方法，用于解决不同的问题。

在实际生活中，我们经常需要计算某些元素的组合方式或排列方式。

本文将详细介绍组合与排列的计算方法，包括定义、公式及应用范围等。

一、组合的计算方法1.1 定义组合是从给定的元素集合中，选取若干个元素按照一定的规则组成子集的方式。

在组合中，元素的顺序不重要，即组合只关注元素的选择，而不关注元素的排列顺序。

1.2 组合的计算公式对于含有n个元素的集合，从中选取m个元素进行组合，计算方法如下：C(n, m) = n! / (m! * (n-m)!)其中，C(n, m)表示从n个元素中选取m个元素的组合数量，n!表示n的阶乘，即n! = n * (n-1) * (n-2) * ... * 2 * 1。

1.3 组合的应用范围组合的计算方法在概率统计、排列组合等领域有广泛的应用。

例如，在抽奖活动中，求解中奖组合、在竞赛中求解选手比赛成绩排名等都需要用到组合的计算方法。

二、排列的计算方法2.1 定义排列是从给定的元素集合中，选取若干个元素按照一定的规则排列的方式。

与组合不同，排列中元素的顺序是重要的，即排列依赖元素的排列顺序。

2.2 排列的计算公式对于含有n个元素的集合，从中选取m个元素进行排列，计算方法如下：P(n, m) = n! / (n-m)!其中，P(n, m)表示从n个元素中选取m个元素的排列数量。

2.3 排列的应用范围排列的计算方法在密码学、统计分析、问题求解等领域有广泛的应用。

例如，在密码学中，求解密码的破译方式、在统计学中分析数据的排列情况等都需要用到排列的计算方法。

三、组合与排列的比较3.1 区别组合与排列的最主要区别在于元素选择的顺序是否重要。

组合只关注元素的选择，顺序不重要；而排列则依赖于元素的排列顺序。

3.2 应用场景组合适用于计算元素的选择方式，常用于抽奖、竞赛成绩排名等场景；排列适用于计算元素的排列方式，常用于密码破译、统计分析等场景。

1.3 组合第二课时教学目标：知识与技能：理解组合的意义，能写出一些简单问题的所有组合。

明确组合与排列的联系与区别，能判断一个问题是排列问题还是组合问题。

过程与方法：了解组合数的意义，理解排列数mn A 与组合数之间的联系，掌握组合数公式，能运用组合数公式进行计算。

情感、态度与价值观：能运用组合要领分析简单的实际问题，提高分析问题的能力。

教学重点：组合的概念和组合数公式 教学难点：组合的概念和组合数公式授课类型：新授课教 具：多媒体、一、复习引入：1分类加法计数原理：做一件事情，完成它可以有n 类办法，在第一类办法中有1m 种不同的方法，在第二类办法中有2m 种不同的方法，……，在第n 类办法中有n m 种不同的方法那么完成这件事共有 12n N m m m =+++ 种不同的方法2.分步乘法计数原理：做一件事情，完成它需要分成n 个步骤，做第一步有1m 种不同的方法，做第二步有2m 种不同的方法，……，做第n 步有n m 种不同的方法，那么完成这件事有12n N m m m =⨯⨯⨯ 种不同的方法3．排列的概念：从n 个不同元素中，任取m （m n ≤）个元素（这里的被取元素各不相同）按照一定的顺序．．．．．排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列．．．．4．排列数的定义：从n 个不同元素中，任取m （m n ≤）个元素的所有排列的个数叫做从n 个元素中取出m 元素的排列数，用符号m n A 表示5．排列数公式：(1)(2)(1)m n A n n n n m =---+ （,,m n N m n *∈≤） 6阶乘：!n 表示正整数1到n 的连乘积，叫做n 的阶乘规定0!1=．7．排列数的另一个计算公式：m n A =!()!n n m - 8.提出问题：示例1：从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参加某天的一项活动，其中1名同学参加上午的活动，1名同学参加下午的活动，有多少种不同的选法？示例2：从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参加一项活动，有多少种不同的选法？ 引导观察：示例1中不但要求选出2名同学，而且还要按照一定的顺序“排列”，而示mn C例2只要求选出2名同学，是与顺序无关的引出课题：组合．．． 例1． 一位教练的足球队共有 17 名初级学员，他们中以前没有一人参加过比赛．按照足球比赛规则，比赛时一个足球队的上场队员是11人．问：(l)这位教练从这 17 名学员中可以形成多少种学员上场方案？(2)如果在选出11名上场队员时，还要确定其中的守门员，那么教练员有多少种方式做这件事情？分析：对于（1)，根据题意，17名学员没有角色差异，地位完全一样，因此这是一个从 17 个不同元素中选出11个元素的组合问题；对于（ 2 ) ，守门员的位置是特殊的，其余上场学员的地位没有差异，因此这是一个分步完成的组合问题．解： (1）由于上场学员没有角色差异，所以可以形成的学员上场方案有 C ｝手＝ 12 376 （种） .(2）教练员可以分两步完成这件事情：第1步，从17名学员中选出 n 人组成上场小组，共有1117C 种选法；第2步，从选出的 n 人中选出 1 名守门员，共有111C 种选法．所以教练员做这件事情的方法数有1111711C C ⨯=136136（种）. 例2．（1）平面内有10 个点，以其中每2 个点为端点的线段共有多少条？(2）平面内有 10 个点，以其中每 2 个点为端点的有向线段共有多少条？解：(1）以平面内 10 个点中每 2 个点为端点的线段的条数，就是从10个不同的元素中取出2个元素的组合数，即线段共有 2101094512C ⨯==⨯（条）. (2）由于有向线段的两个端点中一个是起点、另一个是终点，以平面内10个点中每 2 个点为端点的有向线段的条数，就是从10个不同元素中取出2个元素的排列数，即有向线段共有21010990A =⨯=（条）.组合数的性质1：m n nm n C C -=． 一般地，从n 个不同元素中取出m 个元素后，剩下n m -个元素．因为从n 个不同元素中取出m 个元素的每一个组合，与剩下的n - m 个元素的每一个组合一一对应．．．．，所以从n 个不同元素中取出m 个元素的组合数，等于从这n 个元素中取出n - m 个元素的组合数，即：m n nm n C C -=．在这里，主要体现：“取法”与“剩法”是“一一对应”的思想证明：∵)!(!!)]!([)!(!m n m n m n n m n n C m n n -=---=- 又 )!(!!m n m n C m n -=，∴n n m n C C -=说明：①规定：10=n C ；②等式特点：等式两边下标同，上标之和等于下标；③此性质作用：当2n m >时，计算m n C 可变为计算m n n C -，能够使运算简化. 例如20012002C ＝200120022002-C ＝12002C =2002；④y n x n C C =y x =⇒或n y x =+．2．组合数的性质2：m n C 1+＝m n C +1-m nC ． 一般地，从121,,,+n a a a 这n +1个不同元素中取出m 个元素的组合数是m n C 1+，这些组合可以分为两类：一类含有元素1a ，一类不含有1a ．含有1a 的组合是从132,,,+n a a a 这n 个元素中取出m -1个元素与1a 组成的，共有1-m nC 个；不含有1a 的组合是从132,,,+n a a a 这n 个元素中取出m 个元素组成的，共有m n C 个．根据分类计数原理，可以得到组合数的另一个性质．在这里，主要体现从特殊到一般的归纳思想，“含与不含其元素”的分类思想．证明：)]!1([)!1(!)!(!!1---+-=+-m n m n m n m n C C m n m n )!1(!!)1(!+-++-=m n m m n m n n )!1(!!)1(+-++-=m n m n m m n )!1(!)!1(+-+=m n m n m n C 1+= ∴m n C 1+＝m n C +1-m nC ． 说明：①公式特征：下标相同而上标差1的两个组合数之和，等于下标比原下标多1而上标与大的相同的一个组合数；②此性质的作用：恒等变形，简化运算例3．一个口袋内装有大小不同的7个白球和1个黑球，（1）从口袋内取出3个球，共有多少种取法？（2）从口袋内取出3个球，使其中含有1个黑球，有多少种取法？（3）从口袋内取出3个球，使其中不含黑球，有多少种取法？解：（1）5638=C ,或=38C +27C 37C ，；（2）2127=C ；（3）3537=C ．例4．（1）计算：69584737C C C C +++； （2）求证：n m C 2+＝n m C +12-n m C +2-n m C ．解：（1）原式4565664889991010210C C C C C C C =++=+===；证明：（2）右边1121112()()n n n n n n n m m m m m m m C C C C C C C ----+++=+++=+==左边课堂练习：1．判断下列问题哪个是排列问题，哪个是组合问题：（1）从4个风景点中选出2个安排游览，有多少种不同的方法？（2）从4个风景点中选出2个，并确定这2个风景点的游览顺序，有多少种不同的方法？2．7名同学进行乒乓球擂台赛，决出新的擂主，则共需进行的比赛场数为（ ）A ．42B ．21C ．7D ．63．如果把两条异面直线看作“一对”，则在五棱锥的棱所在的直线中，异面直线有（ ） A ．15对 B ．25对 C ．30对 D ．20对4．设全集{},,,U a b c d =，集合A 、B 是U 的子集，若A 有3个元素，B 有2个元素，且{}A B a = ，求集合A 、B ，则本题的解的个数为 （ ）A ．42B ．21C ．7D ．3小结 ：组合的意义与组合数公式；解决实际问题时首先要看是否与顺序有关，从而确定是排列问题还是组合问题，必要时要利用分类和分步计数原理作业：教学反思：排列组合问题联系实际生动有趣，题型多样新颖且贴近生活，解法灵活独到但不易掌握，许多学生面对较难问题时一筹莫展、无计可施，尤其当从正面入手情况复杂、不易解决时，可考虑换位思考将其等价转化，使问题变得简单、明朗。

act数学与高考知识点ACT（American College Testing）考试是美国大学招生中广泛使用的一种标准化考试，其中包括数学科目。

本文将详细介绍ACT数学考试的知识点，以帮助考生有效备考。

1. 代数 (Algebra)1.1 线性方程与不等式 (Linear Equations and Inequalities)1.1.1 一元一次方程 (One-variable linear equations)1.1.2 一元一次不等式 (One-variable linear inequalities)1.1.3 线性方程组 (Systems of linear equations)1.2 函数 (Functions)1.2.1 函数定义与图像 (Function definition and graphs)1.2.2 函数的运算 (Operations with functions)1.2.3 函数的反函数 (Inverse functions)1.3 多项式与因式分解 (Polynomials and Factoring)1.3.1 一元多项式 (One-variable polynomials)1.3.2 因式分解 (Factoring)1.3.3 二次方程与二次多项式 (Quadratic equations and polynomials)2. 几何 (Geometry)2.1 平面几何 (Plane Geometry)2.1.1 直线与角度 (Lines and angles)2.1.2 三角形与四边形 (Triangles and quadrilaterals)2.1.3 圆与圆环 (Circles and annuli)2.2 空间几何 (Spatial Geometry)2.2.1 空间中的点、直线、面 (Points, lines, and planes in space)2.2.2 空间几何体的体积与表面积 (Volumes and surface areas of spatial figures)2.2.3 空间几何体的旋转与投影 (Rotations and projections of spatial figures)3. 数据分析与概率 (Data Analysis and Probability)3.1 图表解读与数据分析 (Interpreting graphs and data analysis)3.1.1 条形图、折线图与饼状图 (Bar graphs, line graphs, and pie charts)3.1.2 平均数、中位数与众数 (Mean, median, and mode)3.2 概率 (Probability)3.2.1 随机事件与概率计算 (Random events and probability calculations)3.2.2 排列与组合 (Permutations and combinations)4. 比例、百分数与利率 (Ratios, Percentages, and Rates)4.1 比例与比率 (Ratios and rates)4.2 百分数 (Percentages)4.3 利率与利息 (Interest rates and interest)5. 数字、指数与对数 (Number, Exponents, and Logarithms)5.1 整数与有理数 (Integers and rational numbers)5.2 指数 (Exponents)5.3 对数 (Logarithms)6. 函数与三角 (Functions and Trigonometry)6.1 线性函数与二次函数 (Linear functions and quadratic functions)6.2 三角函数 (Trigonometric functions)6.3 三角方程与三角恒等式 (Trigonometric equations and identities)通过掌握以上知识点，考生能够在ACT数学考试中取得优异的成绩。