函数图象复习专题共29页

经典数学函数图像(大全)1. 一次函数图像一次函数图像是一条直线，其一般形式为 y = mx + b，其中 m是斜率，b 是 y 轴截距。

当 m > 0 时，直线向上倾斜；当 m < 0 时，直线向下倾斜。

2. 二次函数图像二次函数图像是一个抛物线，其一般形式为 y = ax^2 + bx + c，其中 a、b、c 是常数。

当 a > 0 时，抛物线开口向上；当 a < 0 时，抛物线开口向下。

3. 三角函数图像三角函数图像包括正弦函数、余弦函数和正切函数。

正弦函数图像是一条波动曲线，余弦函数图像与正弦函数图像相似，但相位差为π/2。

正切函数图像是一条周期性振荡的曲线。

4. 指数函数图像指数函数图像是一条上升或下降的曲线，其一般形式为 y = a^x，其中 a 是底数，x 是指数。

当 a > 1 时，曲线上升；当 0 < a < 1 时，曲线下降。

5. 对数函数图像对数函数图像是一条上升或下降的曲线，其一般形式为 y =log_a(x)，其中 a 是底数，x 是真数。

当 a > 1 时，曲线上升；当0 < a < 1 时，曲线下降。

6. 双曲函数图像双曲函数图像包括双曲正弦函数、双曲余弦函数和双曲正切函数。

双曲正弦函数和双曲余弦函数图像都是上升或下降的曲线，而双曲正切函数图像是一条周期性振荡的曲线。

7. 幂函数图像幂函数图像是一条上升或下降的曲线，其一般形式为 y = x^n，其中 n 是指数。

当 n > 0 时，曲线上升；当 n < 0 时，曲线下降。

8. 反比例函数图像反比例函数图像是一条双曲线，其一般形式为 y = k/x，其中 k是常数。

当 k > 0 时，曲线位于第一和第三象限；当 k < 0 时，曲线位于第二和第四象限。

经典数学函数图像(大全)3. 反三角函数图像反三角函数是三角函数的反函数，包括反正弦函数、反余弦函数和反正切函数。

函数及其图像复习资料函数及其图像考试要求1．理解平面直角坐标系的有关概念，能熟练掌握点在各象限内、坐标轴上其坐标的特征，及关于坐标轴对称、关于原点对称的点的坐标特征.会求坐标轴上两点间的距离.2．理解函数的意义，掌握求函数自变量取值范围的方法，会求函数值，掌握函数的三种表示方法.3．理解正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数的概念，掌握它们的性质，会画出它们的图象.4．会根据函数的图象指出函数值随自变量的变化的情况，说出函数的主要性质.5．会用待定系数法确定函数的解析式.6．会用配方法求抛物线的顶点坐标、对称轴的方程，会判断开口方向.7．理解一元二次方程、二次三项式与二次函数的关系.要点解析一、本章知识网络二、复习要点1．直角坐标系．（1）定义．平面内有公共原点且互相垂直的两条数轴，构成了平面直角坐标系．（2）点与坐标．坐标平面内的点与有序实数对（坐标）是—一对应的．由坐标能很快找出对应点；由给定点能熟练地求出坐标．（3）特殊点的坐标．①象限点象限点的关键是点的横、纵坐标的符号．②轴上点轴（横轴）上的点纵坐标恒为零；轴（纵轴）上的点横坐标恒为零．③对称点借助几何上对称（轴对称，中心对称）的含义．轴对称，翻折180°重合；中心对称，旋转180°重合．关于轴对称的点：横坐标不变，纵坐标互为相反数；关于轴对称的点；横坐标互为相反数，纵坐标不变；关于原点对称的点：横、纵坐标各互为相反数．（4）距离．点的坐标已知，它在坐标平面内的位置就确定，因而点到轴的距离及到点的距离都存在．点到轴的距离是，到轴的距离是．点到点的距离借助于勾股定理决定．2．函数及其图像函数的有关概念．（1）常量和变量．常量和变量不是绝对的，而是相对的，在判断常量和变量时，切不可忽略在何变化过程中．（2）函数．设在一个变化过程中有两个变量与，如果对于的每一个值，都有唯一的值与它对应，那么就说是自变量，是的函数．a．初中研究的函数实质上是研究变量间—一对应的关系．b．任何含有一个字母（变量）的代数式都可以看作是这个字母的函数．c．函数的定义存在，离不开自变量的取值范围．当对应关系由代数式的具体表达式确定时，自变量的取值要使代数式存在对应值；当变化过程是实际过程时，自变量的取值范围除考虑代数式外，还要使实际问题有意义．（3）函数及其图像．函数的图像是所有适合函数解析式的点的集合，含义是坐标适合函数解析式的点一定在此函数的图像上；函数图像上的点的坐标一定适合函数的解析式．描点法作函数图像的三步是：列表、描点、连线．函数的表示法：图像法、列表法、解析法．3．一次函数的图象和性质4．正比例函数的图象和性质5．二次函数的图象和性质6．反比例函数的图象和性质典型例题平面直角坐标系典型例题例1已知点在第二象限，则的取值范围是（）A．B．C．D．解：依题意，得解得，故应选D.例2 在平面直角坐标系内，已知点在第三象限，且为整数，求的值.解：∵点在第三象限，∴解不等式（1）得，解不等式（2）得∴不等式组的解集是.∴为整数，∴的值为1.说明：在直角坐标系中，点与点的坐标是一一对应的，又整数作加、减、乘法运算结果仍是整数，因此要使点P的横坐标、纵坐标为整数，即要使为整数.例3（1）若点A（a，b）在第三象限，则点Q （-a+1，3b-5）在第象限；（2）若点B（m+4，m-1）在x轴上，则m= .（3）若点C（x，y）满足x+y＜0，xy＞0，则点C在第象限.（4）若点D（6-5m，m2-2）在第二、四象限夹角平分线上，则m= .（5）已知点和点关于y轴对称，则a= ，b= .解：（1）点A（a，b）在第三象限点Q（-a+1，3b-5）在第四象限（2）点B（m+4，m-1）在x轴上（3）xy＞0 同号x+y＜0，均为负.点C在第三象限.（4）点D（6-5m，m2-2）在第二、四象限夹角平分线上，（5）点和点关于y轴对称，说明：这组填空题是点的坐标特征的应用，要记住点在四个象限内的符号特征，点在坐标轴上，一，三与二，四象限夹角平分线上的特征；点关于x轴，y轴，原点对称点的特征.例4已知点在第一象限内两坐标轴夹角的平分线上，则的值是______；已知点在第二象限内两坐标轴夹角的平分线上，则的值是_______；若点在第一、三象限的角的平分线上，则与的关系是______；若点在第二、四象限的角的平分线上，则，的关系是______.解：分别填3；－3；；（或）.说明：在第一、三象限角的平分线上的点的坐标是横、纵坐标相等，即；在第二、四象限角平分线上的点的坐标是横、纵坐标互为相反数，即.例5已知点与点在同一条平行于x 轴的直线上，且到y轴的距离等于4，那么点的坐标是（）A．（4，2）或（－4，2）B．（4，－2）或（－4，－2）C．（4，－2）或（－5，－2）D．（4，－2）或（－1，－2）分析：因为点与点在同一条平行于x 轴的直线上，所以.又因为到y轴的距离等于4，所以或－4.应选B.例6如图所示，已知边长为1的正方形OABC 在直角坐标系中，B，C两点在第二角限内，OA 与x轴的夹角为60°，那么B点的坐标为______.分析：过B作轴于D.易知.设AB与y轴的交点为E，且设，则.在Rt 中，由勾股定理得.得.所以，，，.因为B在第二象限，所以B点的坐标应为.说明：平面直角坐标系作为考题内容时，多是选择题、填空题等题型，今后平面直角坐标系作为中考内容仍然是上述两种题型.函数及其图像典型例题例1判断下列关系是不是函数关系？（1）长方形的宽一定时，其长与面积；（2）等腰三角形的底边长与面积；（3）某人的年龄与身高；（4）关系式| y |=x中的y与x.分析：判断一个关系是不是函数关系，第一要看是不是一个变化过程；第二要看在这个变化过程中，是不是有两个变量；第三要看自变量每取一个确定值，函数是不是都有唯一确定的值与它对应.解：（1）长方形的宽一定时，其长所取的每一个确定的值，面积都有唯一确定的值与它对应，所以长与面积是函数关系.（2）因为三角形的面积受底和高两个因素的影响，当等腰三角形的底取一个定值时，它的面积又受高的影响，不能有唯一确定的值和底相对应，所以底边长与面积不是函数关系.（3）人的任意一个确定的年龄，都有唯一确定的身高与之相对应，所以某人的年龄与身高是函数关系.（4）x每取一个正值，y都有两个值与它对应，所以| y | = x不是函数关系.说明：年龄与身高的变化不按某种规律，但某人每一个确定的年龄，必有唯一确定的身高和它相对应，因此函数关系是一定的，所以不要以为存在一定比例关系或一定规律，能用解析式表示的才是函数关系.例2汽车由北京驶往相距850千米的沈阳，它的平均速度为80千米/小时，求汽车距沈阳的路程S（千米）与行驶时间t（小时）的函数关系式，写出自变量的取值范围.分析：北京距沈阳850千米，汽车距沈阳的路程等于全程减去已行驶的路程，已行驶的路程等于速度乘以时间.解：得于是汽车距沈阳的路程S与时间t的函数关系式为，自变量t的取值范围是例3求下列函数中自变量x的取值范围：（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）分析：求自变量的取值范围，应考虑自变量的取值使函数解析式有意义.（1）、（2）小题函数解析式是整式，故自变量可取任意实数；（3）、（4）小题解析式是分式，自变量可取使分母不为0的任意实数；（5）、（7）、（8）小题的解析式是二次根式，自变量取值应使被开方数非负；（6）小题既有分母又有二次根式，自变量取值应使分母不为0，又要使二次根式的被开方数非负.解：（1）函数的自变量x的取值范围是躯体实数（2）函数的自变量x的取值范围是躯体实数（3）当时，分母，函数的自变量的取值范围是；（4）由解得当或时，分母，函数的自变量x 的取值范围是且（5）由解得，函数的自变量x的取值范围是；（6）由得，由得，当时，分母，函数的自变量x的取值范围是且；（7）即对于任意实数x，都是非负的，函数的自变量x的取值范围是全体实数；（8）由得因此，函数的自变量x的取值范围是.例4一函数的图象如下图，根据图象：（1）确定自变量x的取值范围；（2）求当时，y的值；（3）求当时，对应的x的值；（4）当x为何值时，函数值y最大？（5）当x为何值时，函数值y最小？（6）当y随x的增大而增大时，求相应的x值在什么范围内？（7）当y随x的增大而减小时，求相应的x值在什么范围内？分析：函数图象上每一点的横坐标都是自变量x 的一个值，自变量的取值范围就是图象上各点的横坐标的最小值到最大值，即图象上最左端点的横坐标到右端点的横坐标.函数y的最大值就是函数图象上最高点的纵坐标，函数的最小值就是函数图象上最低点的纵坐标.函数图象从左到右，自变量x的值不大增大，此时，如果图象自下而上，那么函数值y在减小.解：（1）自变量x的取值范围是（2）当时，y = 3.3, 当时，y = 2的值；（3）当时，与之对应的x的值是和4，当时，与之对应的x的值是；（4）当时，y的值最大，此时；（5）当时，y的值最小，此时，；（6）当y随x的增大而增大时，相应的x 值在＜内；（7）当y随x的增大而减小时，求相应的x值在内？说明：（1）用图象法表示函数形象、直观，但不精细，因此，从图象上观察的数值往往是近似值，只有通过具体函数解析式的计算，才能得到精确值.（2）当函数图象从左下到右上呈“撇”状时，函数y随x的增大而增大；当函数图象从左上到右下呈“捺”状时，函数y随x的增大而减小.反之也对.（3）从函数图象求函数的某些值、研究函数y 随自变量x的变化规律是数形结合思想的具体体现.例5已知函数的图象经过A(1,4)、B(2,2)两点，请你写出满足上述条件的两个不同的函数解析式，并简要说明解答过程.（2002年山东省青岛市中考题）分析：由于题中所经过A(1,4)、B(2,2)两点的函数解析式的类型未告知，因此所确定函数解析式的形式可能是直线型，也可能是双曲线、抛物线型，还可能是其他形状的，故可采用下列几种途径来确定满足题设条件的解析式：（1）若经过A、B两点的函数的图象是直线，设其解析式为，则有解之，得此时，函数解析式为（2）由于A、B两点的横、纵坐标的积相等，都等于4，所以，经过A、B两点的函数的图象还可以是双曲线，其解析式为：.（3）如果经过A、B两点的函数的图象是抛物线，设其解析式为（），则有解之，得因此，只要、、同时满足关系式和，即可保证二次函数（）的图象经过A(1,4)、B(2,2)两点；显然，这样的二次函数有无数个.如取=1，则有=-5，=8，相应图象所对应的二次函数的解析式为：.（4）其他略.一函数及其图像典型例题例1选择题（1）下面图像中，不可能是关于x的一次函数的图像的是（）(2）已知：，那么的图像一定不经过（ )A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限（3）已知直线与x轴的交点在x轴的正半轴，下列结论：①；②；③；④，其中正确结论的个数是（ )A．1 B．2 C．3 D．4(4）正比例函数的图像如图所示，则这个函数的解析式是（）A． B． C． D．解：（1）由A可得故，∴A可能；由B可得故，∴B可能;由C可得此不等式组无解.故C不可能，答案应选C.（2）由已知得三式相加得：，∴，故直线即为.此直线不经过第四象限，故应选D.（3）直线与x轴的交点坐标为：即异号，∴②、③正确，故应选B.（4）∵正比例函数经过点（1，－1），∴，故应选B.说明：一次函数中的的符号决定着直线的大致位置，题（3）还可以通过的符号画草图，来判断各个结论的正确性，这类题型历来都是各地中考中的热点题型，同学们一定要熟练掌握.例2求下列一次函数的解析式：（1）图像过点（1，－1）且与直线平行；（2）图像和直线在y轴上相交于同一点，且过（2，－3）点.解：（1）把变形为.∵所求直线与平行，且过点（1，－1）.∴设所求的直线为，将代入，解得.∴所求一次函数的解析式为.（2）∵所求的一次函数的图像与直线在y轴上的交点相同.∴可设所求的直线为.把代入，求得.∴所求一次函数的解析式为.说明：如果两直线平行，则；如果两直线在y轴上的交点相同，则.掌握以上两点，在求一次函数解析式时，有时很方便.例3：已知一次函数.求：（1）m 为何值时，y随x的增大而减小；（2）m，n满足什么条件时，函数图像与y轴的交点在x轴下方；（3）m，n分别取何值时，函数图像经过原点；（4）m，n满足什么条件时，函数图像不经过第二象限.解：（1）∵y随x的增大而减小.∴，即.∴当时，y随x的增大而减小.（2）令即∴当时，函数图像与y轴交点在x轴下方.（3）令即∴当时，函数图像经过原点.（4）令即∴当时，函数图像不经过第二象限.说明：对于一次函数的问题，重要的是掌握它的概念和性质，并能灵活地运用这些性质.例如，在表达式中，特别要注意这一条件.例4已知一次函数的图象经过点及点（1，6），求此函数图象与坐标轴围成的三角形的面积.（2001年呼和浩特市中考题）简解：由一次函数的图象经过点及点（1，6），得=2，=4.∴一次函数的解析式为.∵=0时，=4，=0时，=-2，∴一次函数的图象与轴的交点、与轴的交点的坐标分别为（0，4）、（-2，0），∴∴.例5如图，A、B分别是轴上位于原点左、右两侧的点，点P(2,p)在第一象限，直线PA交轴于点C(0,2)，直线PB交轴于点D，.(1) 的面积是多少？（2）求点A的坐标及p的值.（3）若，求直线BD的函数解析式.（1999年西宁市中考题）解：过点作轴于点，轴于点.（1）由点、点C的坐标分别为(2,p)、(0,2)及点P在第一象限内，得，=2，=2.∴（2）注意到∴，=4.∴点A的坐标为（-4，0）.又=3.（3）由题设，可知.∴.∴.∴点D的坐标为（0，6）.∵直线BD（设其解析式为）过点P(2,3)、点D（0，6），∴，.∴直线BD的解析式为.例6 我省某水果种植场今年喜获丰收，据估计，可收获荔枝和芒果共200吨．按合同，每吨荔枝售价为人民币0.3万元，每吨芒果售价为人民币0.5万元．现设销售这两种水果的总收入为人民币y万元，荔枝的产量为x吨（0＜x＜200）．（1）请写出y关于x的函数关系式；（2）若估计芒果产量不小于荔枝和芒果总产量的20％，但不大于60％，请求出y值的范围．解:（1）因为荔枝为x吨，所以芒果为吨.依题意，得即所求函数关系式为：.（2）芒果产量最小值为：（吨）此时，（吨）；最大值为：（吨）.此时，（吨）.由函数关系式知，y随x的增大而减少，所以，y的最大值为：（万元）最小值为：（万元）.∴值的范围为68万元84万元.反比例函数及其性质典型例题例1 （1）若函数是反比例函数，则m 的值等于（）A．±1 B．1 C．D．－1（2）如图所示正比例函数）与反比例函数的图像相交于A、C两点，过A作x轴的垂线交x轴于B，连结BC.若的面积为S，则A．B．C．D．S的值不确定（3）反比例函数的图像上有一点，其坐标是关于t的一元二次方程的两根，且P到原点的距离为，则该反比例函数的解析式为______.解：（1）依题意，得解得.故应选D.（2）由双曲线关于O点的中心对称性，可知：.∴.故应选A.（3）在的图像上，故.又，∴.故，∴.∴反比例函数的解析式为.故应填.例2已知力F所作用的功是15焦，则力F与物体在力的方向通过的距离S的图象大致是（）.评析本题涉及力学中作功问题，主要考查在力的作用下物体作功情况，由此，识别正、反比例函数，一次函数的图象位置关系.解据，得15=，即，所以F与S 之间是反比例函数关系，故选（B）.例3如图，A、C是函数的图象上的任意两点，过A作轴的垂线，垂足为B；过C作轴的垂线，垂足为D.记的面积为，的面积为，则与的关系是（）.（A）>(B)<（C）=（D）与的大小关系不能确定.（2000年武汉市中考题）简解：设点A的坐标为（a,b），点C的坐标为（c,d）.∵点A在第一象限，点C在第三象限，∴.∴=，=.∵,∴∴=,应选C.例4根据下列表格x与y的对应数值.x……1234 5 6 …y… 6 321.5 1.2 1…（1）在直角坐标系中，描点画出图像；（2）试求所得图像的函数解析式，并写出自变量x的取值范围.解：（1）图像如图所示.（2）根据图像，设，取代入，得. ∴.∴函数解析式为.说明：本例考查了函数的三种表示法之间的变换能力，即先由列表法通过描点画图转化为图像法，再由图像法通过待定系数法转化为解析法，题目新颖别致，有较强的趣味性.例5 （1）一次函数与反比例函数在同一坐标系中的图像大致是如图中的（）（2）一次函数与反比例函数在同一直角坐标系内的图像的大致位置是图中的（）解：的图像经过第一、二、四象限，故排除B、C；又的图像两支在第一、三象限，故排除D.∴答案应选A.（2）若，则直线经过第一、三、四象限，双曲线的图像两支在第一、三象限，而选择支A、B、C、D中没有一个相符；若，则直线经过第二、三、四象限，而双曲线的两支在第二、四象限，故只有C正确.应选C.例6如图，双曲线与直线相交于A，过A作轴的垂线AB，垂足为B.如果：（1）求两个函数的解析式；（2）若直线交轴于C，求.（1998年甘肃省中考题）简解：（1）设点A的坐标为(m,n)，那么.∵，∴又，∴.∴双曲线：，直线：.（2）解由，组成的方程组，得，；∵点A在第二象限，∴点A的坐标为（）.∴，.在中，y=0时,x=4,∴点C的坐标为(4,0)，OC=4.∴BC=OB+OC=.∴.例7已知：如图，一次函数的图象经过第一、二、三象限，且与反比例函数的图象交于A、B两点，与y轴交于点C，与x轴交于点D.. （1）求反比例函数的解析式：（2）设点A的横坐标为m，△ABO的面积为S，求S与m的函数关系式，并写出自变量m的取值范围；（3）当△OCD的面积等于时，试判断过A、B两点的抛物线在x轴上截得的线段长能否等于3.如果能，求此时抛物线的解析式；如果不能，请说明理由.解：（1）过点B作轴于点H.在中，由勾股定理，得.又，∴点B（－3，－1）.设反比例函数的解析式为.∵点B在反比例函数的图象上，∴.∴反比例函数的解析式为.（2）设直线AB的解析式为.由点A在第一象限，得.又由点A在函数的图象上，可求得点A的纵坐标为.∵点B（－3，－1），点，∴解关于、b的方程组，得∴直线AB的解析式为.令.求得点D的横坐标为.过点A作AG⊥x轴于点G.由已知，直线经过第一、二、三象限，∴，即.由此得∴即（3）过A、B两点的抛物线在x轴上截得的线段长不能等于3.证明如下：由，得.解得经检验，都是这个方程的根.∵，∴不合题意，舍去.∴点A（1，3）.设过A（1，3）、B（－3，－1）两点的抛物线的解析式为.∴由此得即设抛物线与x轴两交点的横坐标为.则.令则整理，得.∵∴方程无实数根.因此过A、B两点的抛物线在x轴上截得的线段长不能等于3.二次函数图像和性质典型例题例1函数与在同一坐标系中的图像可能是如图中的（）解法一：直接法，∴a的取值只有两种可能：或. 当时，有的图像在第一、三象限；的图像开口向上，顶点在x轴的上方，四个选择支无一适合.所以，没有符合条件的图像. 当时，有的图像在第二、四象限；的图像开口向下，顶点在x轴的下方，符合条件的图像有D.故应选D.解法二：排除法，函数的图像顶点在y轴上，故排除A；对于B，由反比例函数的图像可知：，但由的图像得，产生矛盾，故B排除；对于C，由反比例函数的图像可知：，但由的图像与y轴交于负半轴得，产生矛盾，故C排除.故答案应选D.例2 已知函数.（1）求函数图像的顶点坐标和对称轴；（2）求函数图像与坐标轴的交点坐标；（3）作出函数的图像.解：（1）.∴函数图像的顶点坐标是（1，2），对称轴为.（2）令，得；令，由，得.即函数图像与y轴交于点，与x轴交于（－1，0），（3，0）.（3），抛物线开口向下，再依顶点坐标，对称轴及两坐标的交点坐标作函数图像如图所示.说明：（1）对的顶点坐标也可直接用教材中例题所给出的顶点坐标公式，这里是直接配方而得.（2）作二次函数的图像主要抓住抛物线开口方向、顶点坐标、对称轴及两轴的交点等主要环节.例3已知二次函数的图像如图所示.（1）试确定的符号；（2）求的值；（3）求的面积；（4）若，求之间的关系.解：（1）∵抛物线开口向下，∴.又∵抛物线的顶点在y轴的右侧，∴，而，∴.又抛物线与y轴的交点在x轴上方，∴.∵抛物线与x轴有两个不同的交点，∴.又，∴.，∴.当时，，∴.当时，，∴.（2）设A、B两点的坐标分别为.∴，、是方程的两个不同的实数根，∴. ∴.（3），而.，∴.∴.（4），∴即.又是方程的一个根，由知是它的另一个根，由方程根的定义，知.例4抛物线与轴交于A、B两点，Q （2，k）是该抛物线上一点，且，则的值等于（）.（A）（B）（C）2 （D）3.分析要解决本题，可运用化归的数学思想，将题中的抛物线向左平移2个单位，新的抛物线与轴交于（0，k）点.可设新抛物线的解析式为.这样就把问题转化为：“抛物线与轴交于A、B两点,与轴交于Q 点，若，则= ，”从而把问题“化繁为简”.根据射影定理与韦达定理可得=. 例5如图所示，直线AB是一次函数的图像，直线AC是一次函数的图像（）.（1）用表示A点坐标；（2）若的面积为12，且A点在抛物线上，求直线AB 与AC的函数解析式.分析：（1）要求A点的坐标，可求方程组的解；（2）要求直线AB与AC的解析式，就是要确定的值.因A点在抛物线上，把A点的坐标代入抛物线解析式得到一个关于的方程，再由的面积为12，又得到一个关于的方程，解由这两个方程组成的方程组即可.解：（1）解方程组得∴A点的坐标为.（2）∵A点在抛物线上，∴.∴.令，则由得，由得. ∴B、C两点的坐标分别是，且参照图像可知.作轴于D.，∴，即.即.解方程组得∴直线AB和直线AC的解析式分别是：和.例6已知抛物线.（1）确定此抛物线的对称轴方程和顶点坐标；（2）如图，若直线分别与抛物线交于两个不同点A、B，与直线相交于点P，试证；（3）在（2）中，是否存在值，使A、B两点的纵坐标之和等于4？如果存在，求出值；如果不存在，请说明理由.答案：（1）略；（2）由得.设、.则+=2（+1），.由得，即点的横坐标.作轴于，轴于，轴于. 于是==.（3）不存在因为、在直线上，由题意，得所以解得，（与k>0矛盾，舍去）当时，方程化为.此方程没有实数根.故适合条件的值不存在.二次函数解析式例1有一个二次函数的图象，三位学生分别说出了它的一些特点：甲：对称轴是直线；乙：与x轴两个交点的横坐标都是整数；丙：与y轴交点的纵坐标也是整数，且以这三个交点为顶点的三角形面积为3.请你写出满足上述全部特点的一个二次函数解析式：.答案：或或或例2已知二次函数的图像与x轴相交于点，顶点B的纵坐标是－3.（1）求此二次函数的解析式；（2）若一次函数的图像与x的轴相交于，且经过此二次函数的图像的顶点B，当时，（ⅰ）求的取值范围；（ⅱ）求（O为坐标原点）面积的最小值与最大值.解：（1）∵二次函数的图像经过原点O （0，0）与点A（6，0），∴它的对称轴是. ∴它的顶点B的坐标是（3，－3）.设此二次函数为，把（0，0）代入解析式得，∴，故所求二次函数的解析式为.（2）（ⅰ）令得直线的解析式为，把（3，－3）代入得，故直线的解析式为.令，得.令得直线的解析式为，把（3，－3）代入得，故直线的解析式为，令，则得.故的取值范围是.（ⅱ）∵的OD边上的高（即B点的纵坐标的绝对值）为定值3，故OD最小，则面积最小，OD最大，则面积最大.∵OD最小为1，最大为2，故的面积最小是，最大为3.例3如图所示，已知抛物线与x轴从左至右交于A、B两点，与y轴交于点C，且.（1）求点C的坐标；（2）求抛物线的解析式；（3）若抛物线的顶点为P，求四边形ABPC的面积.解：（1）根据题意设点，点，且.是方程的两根，∴.在中，，∴.（2）在和中，∴抛物线解析式为：.（3）∵，∴顶点P的坐标为（1，2）.当时，，∴.延长PC交x轴于点D，过C、P的直线为，∴点D的坐标为（－1，0）.例4已知抛物线与x轴两交点的横坐标是－1，3，与y轴交点的纵坐标是，确定抛物线的解析式.解法一由题意，得解之，得因此，所求的抛物线的解析式为.解法二：由题意，设二次函数的解析式为.∵图像过点.因此，所求抛物线的解析式是，即.。