八年级数学上册难点突破20一次函数中的函数图象分段实际应用问题试题北师大版

第四章一次函数之一次函数的应用专题练习北师大版2024—2025学年八年级上册一、利用一次函数模型解决实际问题例1.实验表明，在某地，温度在15℃至25℃的范围内，一种蟋蟀1min的平均鸣叫次数y可近似看成该地当时温度x（℃）的一次函数．已知这种蟋蟀在温度为16℃时，1min平均鸣叫92次；在温度为23℃时，1min平均鸣叫155次．（1）求y与x之间的函数表达式；（2）当这种蟋蟀1min平均鸣叫128次时，该地当时的温度约是多少？变式1.如图是1个碗和4个整齐叠放成一摞的碗的示意图，碗的规格都是相同的．小亮尝试结合学习函数的经验，探究整齐叠放成一摞的这种规格的碗的总高度y（单位：cm）随着碗的数量x（单位：个）的变化规律．下表是小亮经过测量得到的y与x之间的对应数据：x/个1234y/cm68.410.813.2（1）依据小亮测量的数据，写出y与x之间的函数表达式，并说明理由；（2）若整齐叠放成一摞的这种规格的碗的总高度不超过28.8cm，求此时碗的数量最多为多少个？变式2.某地区山峰的高度每增加1百米，气温大约降低0.6℃，气温T（℃）和高度h（百米）的函数关系如图所示．请根据图象解决下列问题：（1）求高度为5百米时的气温；（2）求T关于h的函数表达式；（3）测得山顶的气温为6℃，求该山峰的高度．二、利用一次函数解决行程问题例2.小军到某景区游玩，他从景区入口处步行到达小憩屋，休息片刻后继续前行，此时观光车从景区入口处出发的沿相同路线先后到达观景点，如图，l1，l2分别表示小军与观光车所行的路程y（m）与时间x（min）之间的关系．根据图象解决下列问题：（1）观光车出发分钟追上小军；（2）求l2所在直线对应的函数表达式；（3）观光车比小军早几分钟到达观景点？请说明理由．变式1.在一条笔直的道路上依次有A，B，C三地，男男从A地跑步到C地，同时乐乐从B地跑步到A地，休息1分钟后接到通知，要求乐乐比男男早1分钟到达C地，两人均匀速运动，如图是男男跑步时间t（分钟）与两人距A 地路程s（米）之间的函数图象．（1）a＝，乐乐去A地的速度为；（2）结合图象，求出乐乐从A地到C地的函数解析式（写出自变量的取值范围）；（3）请直接写出两人距B地的距离相等的时间．变式2.一辆快车从甲地驶往乙地，一辆慢车从乙地驶往甲地，两车同时出发，匀速行驶，两车在途中相遇时，快车恰巧出现故障，慢车继续驶往甲地，快车维修好后按原速继续行驶乙地，两车到达各地终点后停止，两车之间的距离s （km）与慢车行驶的时间t（h）之间的关系如图：（1）快车的速度为km/h，C点的坐标为．（2）慢车出发多少小时后，两车相距200km．变式3.某物流公司的一辆货车A从乙地出发运送货物至甲地，1小时后，这家公司的一辆货车B从甲地出发送货至乙地．货车A、货车B距甲地的距离y（km）与时间x（h）之间的关系如图所示．（1）求货车B距甲地的距离y与时间x的关系式；（2）求货车B到乙地后，货车A还需多长时间到达甲地．三、利用一次函数解决最低费用和最高利润问题例3.某校开设棋类社团，购买了五子棋和象棋．五子棋比象棋的单价少8元，用1000元购买的五子棋数量和用1200元购买的象棋数量相等．（1）两种棋的单价分别是多少？（2）学校准备再次购买五子棋和象棋共30副，根据学生报名情况，购买五子棋数量不超过象棋数量的3倍．问购买两种棋各多少副时费用最低？最低费用是多少？变式1.眉山是“三苏”故里，文化底蕴深厚．近年来眉山市旅游产业蓬勃发展，促进了文创产品的销售，某商店用960元购进的A款文创产品和用780元购进的B款文创产品数量相同．每件A款文创产品进价比B款文创产品进价多15元．（1）求A，B两款文创产品每件的进价各是多少元？（2）已知A款文创产品每件售价为100元，B款文创产品每件售价为80元，根据市场需求，商店计划再用不超过7400元的总费用购进这两款文创产品共100件进行销售，问：怎样进货才能使销售完后获得的利润最大，最大利润是多少元？变式 2.近年来，中国传统服饰备受大家的青睐，走上国际时装周舞台，大放异彩．某服装店直接从工厂购进长、短两款传统服饰进行销售，进货价和销售价如表：价格/类别短款长款进货价（元/件）8090销售价（元/件）100120（1）该服装店第一次用4300元购进长、短两款服装共50件，求两款服装分别购进的件数；（2）第一次购进的两款服装售完后，该服装店计划再次购进长、短两款服装共200件（进货价和销售价都不变），且第二次进货总价不高于16800元．服装店这次应如何设计进货方案，才能获得最大销售利润，最大销售利润是多少？变式3.某小区物管中心计划采购A，B两种花卉用于美化环境．已知购买2株A 种花卉和3株B种花卉共需要21元；购买4株A种花卉和5株B种花卉共需要37元．（1）求A，B两种花卉的单价．（2）该物管中心计划采购A，B两种花卉共计10000株，其中采购A种花卉的株数不超过B种花卉株数的4倍，当A，B两种花卉分别采购多少株时，总费用最少？并求出最少总费用．变式4.A、B两种型号的吉祥物具有吉祥如意、平安幸福的美好寓意，深受大家喜欢．某超市销售A、B两种型号的吉祥物，有关信息见如表：成本（单位：元/个）销售价格（单位：元/个）A型号35aB型号42b若顾客在该超市购买8个A种型号吉祥物和7个B种型号吉祥物，则一共需要670元；购买4个A种型号吉祥物和5个B种型号吉祥物，则一共需要410元．（1）求a、b的值；（2）若某公司计划从该超市购买A、B两种型号的吉祥物共90个，且购买A 种型号吉祥物的数量x（单位：个）不少于B种型号吉祥物数量的，又不超过B种型号吉祥物数量的2倍．设该超市销售这90个吉祥物获得的总利润为y元，求y的最大值．变式5.成都某知名小吃店计划购买A，B两种食材制作小吃．已知购买1千克A 种食材和1千克B种食材共需68元，购买5千克A种食材和3千克B种食材共需280元．（1）求A，B两种食材的单价；（2）该小吃店计划购买两种食材共36千克，其中购买A种食材千克数不少于B种食材千克数的2倍，当A，B两种食材分别购买多少千克时，总费用最少？并求出最少总费用．变式6.某县著名传统土特产品“豆笋”、“豆干”以“浓郁豆香，绿色健康”享誉全国，深受广大消费者喜爱．已知2件豆笋和3件豆干进货价为240元，3件豆笋和4件豆干进货价为340元．（1）分别求出每件豆笋、豆干的进价；（2）某特产店计划用不超过10440元购进豆笋、豆干共200件，且豆笋的数量不低于豆干数量的，该特产店有哪几种进货方案？（3）若该特产店每件豆笋售价为80元，每件豆干售价为55元，在（2）的条件下，怎样进货可使该特产店获得利润最大，最大利润为多少元？变式7.近年来，市民交通安全意识逐步增强，头盔需求量增大．某商店购进甲、乙两种头盔，已知购买甲种头盔20只，乙种头盔30只，共花费2920元，甲种头盔的单价比乙种头盔的单价高11元．（1）甲、乙两种头盔的单价各是多少元？（2）商店决定再次购进甲、乙两种头盔共40只，正好赶上厂家进行促销活动，促销方式如下：甲种头盔按单价的八折出售，乙种头盔每只降价6元出售．如果此次购买甲种头盔的数量不低于乙种头盔数量的一半，那么应购买多少只甲种头盔，使此次购买头盔的总费用最小？最小费用是多少元？四、利用一次函数解决含参数的最高利润问题例4.在襄阳市创建“经济品牌特色品牌”政策的影响下．每到傍晚，市内某网红烧烤店就食客如云，这家烧烤店的海鲜串和肉串非常畅销，店主从食品加工厂批发以上两种产品进行加工销售，其中海鲜串的成本为m元/支，肉串的成本为n元/支；两次购进并加工海鲜串和肉串的数量与成本如下表所示（成本包括进价和其他费用）：次数数量（支）总成本（元）海鲜串肉串第一次3000400017000第二次4000300018000针对团以消费，店主决定每次消费海鲜串不超过200支时，每支售价5元；超过200支时、不超过200支的部分按原价，超过200支的部分打八折．每支肉串的售价为3.5元．（1）求m、n的值；（2）五一当天，一个旅游团去此店吃烧烤，一次性消费海鲜串和肉串共1000支，且海鲜串不超过400支．在本次消费中，设该旅游团消费海鲜串x支，店主获得海鲜串的总利润为y元，求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（3）在（2）的条件下，该旅游团消费的海鲜串超过了200支，店主决定给该旅游团更多优惠，对每支肉串降价a（0＜a＜1）元，但要确保本次消费获得肉串的总利润始终不低于海鲜串的总利润，求a的最大值．变式1.为了迎接“十•一”小长假的购物高峰．某运动品牌专卖店准备购进甲、乙两种运动鞋．其中甲、乙两种运动鞋的进价和售价如下表：甲乙运动鞋价格进价（元/双）m m﹣20售价（元/双）240160已知：用3000元购进甲种运动鞋的数量与用2400元购进乙种运动鞋的数量相同．（1）求m的值；（2）要使购进的甲、乙两种运动鞋共200双的总利润（利润＝售价﹣进价）不少于21700元，且不超过22300元，问该专卖店有几种进货方案？（3）在（2）的条件下，专卖店准备对甲种运动鞋进行优惠促销活动，决定对甲种运动鞋每双优惠a（50＜a＜70）元出售，乙种运动鞋价格不变．那么该专卖店要获得最大利润应如何进货？变式2.为了振兴乡村经济，我市某镇鼓励广大农户种植山药，并精加工成甲、乙两种产品、某经销商购进甲、乙两种产品，甲种产品进价为8元/kg；乙种产品的进货总金额y（单位：元）与乙种产品进货量x（单位：kg）之间的关系如图所示．已知甲、乙两种产品的售价分别为12元/kg和18元/kg．（1）求出0≤x≤2000和x＞2000时，y与x之间的函数关系式；（2）若该经销商购进甲、乙两种产品共6000kg，并能全部售出．其中乙种产品的进货量不低于1600kg，且不高于4000kg，设销售完甲、乙两种产品所获总利润为w元（利润＝销售额﹣成本），请求出w（单位：元）与乙种产品进货量x（单位：kg）之间的函数关系式，并为该经销商设计出获得最大利润的进货方案；（3）为回馈广大客户，该经销商决定对两种产品进行让利销售．在（2）中获得最大利润的进货方案下，甲、乙两种产品售价分别降低a元/kg和2a元/kg，全部售出后所获总利润不低于15000元，求a的最大值．变式3.为迎接“五一”小长假购物高潮，某品牌专卖店准备购进甲、乙两种衬衫，其中甲、乙两种衬衫的进价和售价如下表：衬衫价格甲乙m m﹣10进价（元/件）260180售价（元/件）若用3000元购进甲种衬衫的数量与用2700元购进乙种衬衫的数量相同．（1）求甲、乙两种衬衫每件的进价；（2）要使购进的甲、乙两种衬衫共300件的总利润不少于34000元，且不超过34700元，问该专卖店有几种进货方案；（3）在（2）的条件下，专卖店准备对甲种衬衫进行优惠促销活动，决定对甲种衬衫每件优惠a元（60＜a＜80）出售，乙种衬衫售价不变，那么该专卖店要获得最大利润应如何进货？五、利用一次函数解决方案问题例5.暑期将至，某健身俱乐部面向学生推出暑期优惠活动，活动方案如下．方案一：购买一张学生暑期专享卡，每次健身费用按六折优惠；方案二：不购买学生暑期专享卡，每次健身费用按八折优惠．设某学生暑期健身x（次），按照方案一所需费用为y1（元），且y1＝k1x+b；按照方案二所需费用为y2（元），且y2＝k2x．其函数图象如图所示．（1）求k1和b的值，并说明它们的实际意义；（2）求打折前的每次健身费用和k2的值；（3）八年级学生小华计划暑期前往该俱乐部健身8次，应选择哪种方案所需费用更少？说明理由．变式1.某水果店购进甲、乙两种苹果的进价分别为8元/kg、12元/kg，这两种苹果的销售额y（单位：元）与销售量x（单位：kg）之间的关系如图所示．（1）写出图中点B表示的实际意义；（2）分别求甲、乙两种苹果销售额y（单位：元）与销售量x（单位：kg）之间的函数解析式，并写出x的取值范围；（3）若不计损耗等因素，当甲、乙两种苹果的销售量均为a kg时，它们的利润和为1500元，求a的值．。

八年级数学上册《第四章一次函数的应用》练习题-带答案(北师大版)一、选择题1.某洗衣机在洗涤衣服时经历了注水、清洗、排水三个连续过程(工作前洗衣机内无水)，在这三个过程中洗衣机内水量y(升)与时间x(分)之间的函数关系对应的图象大致为( )2.父亲节，某学校“文苑”专栏登出了某同学回忆父亲的小诗：“同辞家门赴车站，别时叮咛语千万，学子满载信心去，老父怀抱希望还。

”如果用纵轴y表示父亲和学子在行进中离家的距离，横轴t表示离家的时间，那么下面的图象与上述诗意大致相吻合的是( )3.王芳同学为参加学校组织的科技知识竞赛，她周末到新华书店购买资料.如图是王芳离家的距离与时间的函数图象.若黑点表示王芳家的位置，则王芳走的路线可能是( ).4.小明家所在学校离家距离为2千米，某天他放学后骑自行车回家，行使了5分钟后，因故停留10分钟，继续骑了5分钟到家、下面哪一个图象能大致描述他回家过程中离学校的距离S （千米）与所用时间t（分）之间的关系（）A. B.C. D.5.小华同学接到通知，她的作文通过了《我的中国梦》征文选拔，需尽快上交该作文的电子文稿，接到通知后，小华立即在电脑上打字录入这篇文稿，录入一段时间后因事暂停，过了一小会儿，小华继续录入并加快了录入速度，直至录入完成，设从录入文稿开始所经过的时间为x，录入字数为y，下面能反映y与x之间的关系的大致图象是（）A. B. C. D.6.一列快车从甲地驶往乙地，一列特快车从乙地驶往甲地，快车的速度为100千米/小时，特快车的速度为150千米/小时，甲、乙两地之间的距离为1000千米，两车同时出发，则图中折线大致表示两车之间的距离y（千米）与快车行驶时间（小时）之间的函数图象是（）7.如左图是某蓄水池的横断面示意图，分为深水池和浅水池，•如果这个蓄水池以固定的流量注水，右图中能大致表示水的最大深度h与时间t之间的关系的图象是（）8.小红从劳动基地出发，步行返回学校，小军骑车从学校出发去劳动基地，在基地停留10分钟后，沿原路以原速返回，结果比小红早7分钟回到学校，若两人都是沿着同一路线行进，且两人与学校的距离s(米)和小红从劳动基地出发所用时间t(分)之间的函数关系如图所示，则下列说法中正确的结论有( )个.①学校到劳动基地距离是2400米；②小军出发53分钟后回到学校；③小红的速度是40米/分；④两人第一次相遇时距离学校1610米.A.1B.2C.3D.4二、填空题9.某型号汽油的数量与相应金额的关系如图，那么这种汽油的单价为每升元.10.园林队在公园进行绿化，中间休息了一段时间.已知绿化面积S与时间t的函数关系的图象如图所示，则休息后园林队绿化面积为平方米.11.小明的父母出去散步，从家走了20分钟到一个离家900米的报亭，母亲随即按原速度返回家，父亲在报亭看了10分钟报纸后，用15分钟返回家，则表示父亲、母亲离家距离与时间之间的关系是______(只需填序号).12.物体沿一个斜坡下滑，它的速度v(m/s)与其下滑时间t(s)的关系如图所示.(1)下滑2 s时物体的速度为 m/s.(2)v(m/s)与t(s)之间的函数表达式为 .(3)下滑3 s时物体的速度为 m/s.13.设甲、乙两车在同一直线公路上匀速行驶，开始甲车在乙车的前面，当乙车追上甲车后，两车停下来，把乙车的货物转给甲车，然后甲车继续前行，乙车向原地返回.设x秒后两车间的距离为y米，关于y与x的函数关系如图所示，则甲车的速度是米/秒.14.甲、乙二人从学校出发去科技馆，甲步行一段时间后，乙骑自行车沿相同路线行进，两人均匀速前行，他们的路程差s(米)与甲出发时间t(分)之间的函数关系如图所示.下列说法：①乙先到达青少年宫；②乙的速度是甲速度的2.5倍；③b=480；④a=24.其中正确的是 (填序号).三、解答题15.小李师傅驾车到某地办事，汽车出发前油箱中有油50升，行驶若干小时后，途中在加油站加油若干升，油箱中剩余油量y(升)与行驶时间t(小时)之间的关系如图．(1)请问汽车行驶多少小时后加油，中途加油多少升？(2)求加油前油箱剩余油量y与行驶时间t的函数关系式；(3)已知加油前后汽车都以70千米/小时的速度匀速行驶，如果加油站距目的地210千米，要到达目的地，问油箱中的油是否够用？请说明理由．16.已知如图，一天上午6点钟，言老师从学校出发，乘车上市里开会，8点准时到会场，中午12点钟回到学校，他这一段时间内的行程s(km)(即离开学校的距离)与时间(时)的关系可用图中的折线表示，根据图中提供的有关信息，解答下列问题：(1)开会地点离学校多远？(2)请你用一段简短的话，对言老师从上午6点到中午12点的活动情况进行描述.17.某工厂每天生产A、B两种款式的布制环保购物袋共4500个.已知A种购物袋成本2元/个，售价2.3元/个；B种购物袋成本3元/个，售价3.5元/个.设该厂每天生产A种购物袋x个，购物袋全部售出后共可获利y元.(1)求出y与x的函数表达式；(2)如果该厂每天最多投入成本10000元，那么该厂每天生产的购物袋全部售出后最多能获利多少元？18.某蔬菜基地要把一批新鲜蔬菜运往外地，现有汽车和火车两种运输方式可供选择.方式一：使用汽车运输，装卸收费400元，另外每千米再加收4元；方式二：使用火车运输，装卸收费720元，另外每千米再加收2元.(1)请分别写出用汽车、火车运输的总费用y1、y2(元)与运输路程x(千米)之间的函数表达式；(2)你认为选用哪种运输方式较好，为什么？19.为倡导绿色出行，某共享单车近期登陆徐州，根据连续骑行时长分段计费：骑行时长在2h 以内(含2h)的部分，每0.5h计费1元(不足0.5h按0.5h计算)；骑行时长超出2h的部分，每小时计费4元(不足1h按1h计算).根据此收费标准，解决下列问题：(1)连续骑行5h，应付费多少元？(2)若连续骑行xh(x＞2且x为整数) 需付费y元，则y与x的函数表达式为；(3)若某人连续骑行后付费24元，求其连续骑行时长的范围.20.某公司有A产品40件，B产品60件，分配给下属甲、乙两个商店销售，其中70件给甲店，30件给乙店，且都能卖完.两商店销售这两种产品每件的利润 (元) 如下表所示：A产品的利润/元B产品的利润/元甲店200 170乙店160 150件产品的总利润为W (元)，求W关于x的函数关系式，并求出x的取值范围.(2)若要求总利润不低于17560元；有多少种不同的分配方案? 并将各种方案设计出来.(3)为了促销，公司决定仅对甲店A产品让利销售，每件让利a元，但让利后A产品的每件利润仍高于甲店B产品的每件利润.甲店的B产品以及乙店的A，B产品的每件利润不变，问该公司又如何设计分配方案，使总利润达到最大?参考答案1.D2.C3.B4.C5.C6.C7.C8.B9.答案为：7.09.10.答案为：100.11.答案为：④②12.答案为：(1) 5 .(2)v=52t.(3) 7.5(m/s).13.答案为：20；14.答案为：①②③.15.解：(1)3小时，31升；(2)因为汽车出发前油箱有油50升，汽车每小时用油12升，所以y=－12t＋50(0≤t≤3)；(3)汽车要准备油210÷70×12=36(升)，因为45升＞36升，所以油箱中的油够用。

专题14一次函数在实际应用中的最值问题【专题说明】1、通过图象获取信息通过观察一次函数的图象获取有用的信息是我们在日常生活中经常遇到的问题，要掌握这个重点在于对函数图象的观察和分析，观察函数图象时，首先要看横轴、纵轴分别代表的是什么，也就是观察图象反映的是哪两个变量之间的关系．【注】函数图象中的特殊点观察图象获取信息时，一定要注意图象上的特殊点，这些特殊点对我们解决问题有很大的帮助．2、一次函数图象的应用一次函数和正比例函数是我们接触到的最简单的函数，它们的图象和性质在现实生活中有着广泛的应用．利用一次函数和正比例函数的图象解决问题是本节的一个重点，这部分内容在中考中占有重要的地位．【注】函数y＝kx＋b图象的变化形式在实际问题中，当自变量的取值范围受到一定的限制时，函数y＝kx＋b(k≠0)的图象就不再是一条直线．要根据实际情况进行分析，其图象可能是射线、线段或折线等等．1、甲、乙两个工程队分别同时开挖两段河渠，所挖河渠的长度y(m)与挖掘时间x(h)之间的关系如图所示，请根据图象所提供的信息解答下列问题：(1)乙队开挖到30m 时，用了________ h．开挖6 h时甲队比乙队多挖了_______ m.(2)请你求出：①甲队在 0≤x≤6 的时段内，y与x之间的函数关系式；②乙队在 2≤x≤6 的时段内，y与x之间的函数关系式．(3)当x为何值时，甲、乙两队在施工过程中所挖河渠的长度相等？分析：(1)由图象可以直接看出乙队开挖到30 m 时，用了2 h．开挖6 h时甲队比乙队多挖了10 m；(2)设甲队在 0≤x≤6 的时段内y与x之间的函数关系式为y＝k x(k ≠0)，由图可知，函数图象过点(6,60)，∴6k＝60，1 1 1解得k＝10，∴y＝10x.设乙队在 2≤x≤6 的时段内y与x之间的函数关系式为y＝k x＋b(k ≠0)，由图可知，函1 2 2数图象过点(2,30)，(6,50)，代入y＝k x＋b，求出k＝5，b＝20，∴y＝5x＋20.(3)由题意，得10x＝5x＋20，2 2解得x＝4(h)．解：(1)210(2)①y＝10x.②y＝5x＋20.(3)由题意，得10x＝5x＋20，解得x＝4(h)．故当x为4 h时，甲、乙两队所挖的河渠长度相等．2、某单位急需用车，但又不准备买车，他们准备和一个体车主或一国有出租车公司签订月租车合同．设汽车每月行驶x k m，应付给个体车主的月费用为y元，应付给国有出租车公司的月费用是y元，y，y分别1 2 1 2与x之间的函数关系图象(两条射线)如图，观察图象回答下列问题：(1)每月行驶的路程在什么范围内时，租国有出租车公司的车合算？(2)每月行驶的路程等于多少时，租两家车的费用相同？(3)如果这个单位估计每月行驶的路程为2 600 km，那么这个单位租哪家车合算？分析：本题从给出的两个函数图象中可获取以下信息：都是一次函数，一个是正比例函数；两条直线交点的横坐标为1 500；表明当x＝1 500时，两个函数值相等；根据图象可知：x＞1 500时，y＞y；0＜x＜1 5002 1时，y＜y.解：观察图象，得：2 1(1)每月行驶的路程小于1 500 km 时，租国有出租车公司的车合算；(2)每月行驶的路程为1 500 km 时，租两家车的费用相同；(3)如果每月行驶的路程为2 600 km，那么这个单位租个体车主的车合算．析规律函数图象交点规律两函数图象在同一坐标系中，当取相同的自变量时，下方图象对应的函数的函数值小；交点处的函数值相等．3、某汽车生产厂对其生产的A 型汽车进行耗油量实验，实验中汽车视为匀速行驶．已知油箱中的余油量y(L) 与行驶时间t(h)的关系如下表，与行驶路程x(km)的关系如下图．请你根据这些信息求A 型车在实验中的速度.行驶时间t(h)0 1 2 3油箱余油量y(L) 100 84 68 52分析：考查综合利用一次函数的相关知识解决问题的能力．解法一：∵余油量y与行驶路程x的关系图象是一条直线，∴可设关系式为y＝kx＋b(k≠0)．由图象可知y＝kx＋b经过两点(0,100)和(500,20)，则有b＝100,20＝500k＋b.425把b＝100代入20＝500k＋b，得20＝500k＋100，解得k＝－.4∴直线的解析式为y＝－x＋100.25当y＝100时，x＝0；当y＝84时，x＝100.由图表可知，油箱中的余油量从100 L到84 L，行驶时间是1 h，行驶路程是100 km.∴A 型汽车的速度为100 km/h.解法二：由图表可知：A 型汽车每行驶1 h的路程耗油16L.由图象可知：A 型汽车耗油80 L所行驶的路程为500 km.可设汽车耗油16L 所行驶的路程为x k m，则500∶80＝x∶16，解得x＝100.∴A 型汽车1 h行驶的路程为100 km.∴它的速度为100 km/h.点评：有时，我们利用一次函数的图象求一元一次方程的近似解．A、B A A两个发电厂，每焚烧一吨垃圾，发电厂比B发电厂多发 40 度电，焚烧 20 吨垃圾比B焚烧3、有30 吨垃圾少 1800 度电.A（1）求焚烧 1 吨垃圾，和B各发多少度电？A、B A A两个发电厂共焚烧 90 吨垃圾，焚烧的垃圾不多于B焚烧的垃圾的两倍，求厂和B厂总发电（2）量的最大值.【答案】（1）焚烧 1 吨垃圾，发电厂发电 300 度，B发电厂发电 260 度；（2）当yA x60时，取最大值25800 度.【详解】（1）设焚烧 1 吨垃圾， 发电厂发电a 度， 发电厂发电 度，则A B b a b 40 a 300 ，解得： 30b 20a 1800b 260 答：焚烧 1 吨垃圾， A 发电厂发电 300 度， 发电厂发电 260 度.B90 x y 吨，总发电量为 度，则（2）设 A 发电厂焚烧 x 吨垃圾，则 发电厂焚烧 B y 300x 260(90 x) 40x 23400x 2(90 x)∵ 60∵ x y ∵ 随 x 的增大而增大60 y ∵当 x 时， 取最大值 25800 度.4、学校计划为“我和我的祖国”演 讲比赛购买奖品．已知购买3 个 A 奖品和 2 个 B 奖品共需 120 元；购买5 个 A 奖品和 4 个 B 奖品共需 210 元．（1）求 A ，B 两种奖品的单价；1 （2）学校准备购买 A ，B 两种奖品共 30 个，且 A 奖品的数量不少于 B 奖品数量的 ．请设计出最省钱的 3购买方案，并说明理由．【答案】（1）A 的单价 30 元，B 的单价 15 元（2）购买 A 奖品 8 个，购买 B 奖品 22 个，花费最少【详解】解：（1）设 A 的单价为 x 元，B 的单价为 y 元，根据题意，得3x 2y 120 5x 4y 210 ， x 30 ， y 15 A 的单价 30 元，B 的单价 15 元；（2）设购买 A 奖品 z 个，则购买 B 奖品为(30 z )个，购买奖品的花费为 W 元，1(30z)由题意可知，z，315z ，2W30z15(30z)45015z ，=8当z时，W 有最小值为 570 元，即购买 A 奖品 8 个，购买 B 奖品 22 个，花费最少；5、某网店销售甲、乙两种防雾霾口罩，已知甲种口罩每袋的售价比乙种口罩多5 元，小丽从该网店网购 2袋甲种口罩和 3 袋乙种口罩共花费 110 元．（1）改网店甲、乙两种口罩每袋的售价各多少元？（2）根据消费者需求，网店决定用不超过10000 元购进价、乙两种口罩共 500 袋，且甲种口罩的数量大于4乙种口罩的，已知甲种口罩每袋的进价为 22.4 元，乙种口罩每袋的进价为 18 元，请你帮助网店计算有几5种进货方案？若使网店获利最大，应该购进甲、乙两种口罩各多少袋，最大获利多少元？【答案】（1）该网店甲种口罩每袋的售价为 25 元，乙种口罩每袋的售价为 20 元；（2）该网店购进甲种口罩 227 袋，购进乙种口罩 273 袋时，获利最大，最大利润为 1136.2 元．【详解】x y 5解：（1）设该网店甲种口罩每袋的售价为x元，乙种口罩每袋的售价为y元，根据题意得：2x3y110，25x解这个方程组得：，故该网店甲种口罩每袋的售价为 25 元，乙种口罩每袋的售价为 20 元；20y4m(500m)5（2）设该网店购进甲种口罩m袋，购进乙种口罩（500﹣m）袋，根据题意得，22.4m18(500m)10000解这个不等式组得：222.2＜m≤227.3，因m为整数，故有 5 种进货方案，分别是：购进甲种口罩 223 袋，乙种口罩 277 袋；购进甲种口罩 224 袋，乙种口罩 276 袋；购进甲种口罩 225 袋，乙种口罩 275 袋；购进甲种口罩 226 袋，乙种口罩 274 袋；购进甲种口罩 227 袋，乙种口罩 273 袋；设网店获利w元，则有w=（25﹣22.4）m+（20﹣18）（500﹣m）=0.6m+1000，故当m=227 时，w最大，w=0.6×227+1000=1136.2（元），故该网店购进甲种口罩227袋，购进乙种口罩273袋时，获利最大，最大最大利润为1136.2元．6、某班级45名同学自发筹集到1700元资金，用于初中毕业时各项活动的经费．通过商议，决定拿出不少于544元但不超过560元的资金用于请专业人士拍照，其余资金用于给每名同学购买一件文化衫或一本制作精美的相册作为纪念品．已知每件文化衫28元，每本相册20元．（1）适用于购买文化衫和相册的总费用为W元，求总费用W（元）与购买的文化衫件数t（件）的函数关系式．（2）购买文化衫和相册有哪几种方案？为了使拍照的资金更充足，应选择哪种方案，并说明理由．【答案】（1）W=8t+900；（2）有三种购买方案．为了使拍照的资金更充足，应选择方案：购买30件文化衫、15本相册．【详解】1）设购买的文化衫t件，则购买相册（45﹣t）件，根据题意得：W=28t+20×（45﹣t）=8t+900．（2）根据题意得：，解得：30≤t≤32，∵有三种购买方案：方案一：购买30件文化衫、15本相册；方案二：购买31件文化衫、14本相册；方案三：购买32件文化衫、13本相册．∵W=8t+900中W随x的增大而增大，∵当t=30时，W取最小值，此时用于拍照的费用最多，∵为了使拍照的资金更充足，应选择方案一：购买30件文化衫、15本相册．7、江南农场收割小麦，已知1台大型收割机和3台小型收割机1小时可以收割小麦1.4公顷，2台大型收割机和5台小型收割机1小时可以收割小麦2.5公顷．（1）每台大型收割机和每台小型收割机1小时收割小麦各多少公顷？（2）大型收割机每小时费用为300元，小型收割机每小时费用为200元，两种型号的收割机一共有10台，要求2小时完成8公顷小麦的收割任务，且总费用不超过5400元，有几种方案？请指出费用最低的一种方案，并求出相应的费用．【答案】（1）每台大型收割机1小时收割小麦0.5公顷，每台小型收割机1小时收割小麦0.3公顷；（2）有七种方案，当大型收割机用8台时，总费用最低，最低费用为4800元．【详解】（1）设每台大型收割机1小时收割小麦x公顷，每台小型收割机1小时收割小麦y公顷，根据题意得：，解得：．答：每台大型收割机1小时收割小麦0.5公顷，每台小型收割机1小时收割小麦0.3公顷．（2）设大型收割机有m台，总费用为w元，则小型收割机有（10﹣m）台，根据题意得：w=300×2m+200×2（10﹣m）=200m+4000．∵2小时完成8公顷小麦的收割任务，且总费用不超过5400元，∵，解得：5≤m≤7，∵有三种不同方案．∵w=200m+4000中，200＞0，∵w值随m值的增大而增大，∵当m=5时，总费用取最小值，最小值为5000元．答：有三种方案，当大型收割机和小型收割机各5台时，总费用最低，最低费用为5000元．8、为了推进我州校园篮球运动的发展，2017年四川省中小学生男子篮球赛于2月在西昌成功举办．在此期间，某体育文化用品商店计划一次性购进篮球和排球共60个，其进价与售价间的关系如下表：（1）商店用4200元购进这批篮球和排球，求购进篮球和排球各多少个？（2）设商店所获利润为y（单位：元），购进篮球的个数为 x（单位：个），请写出 y 与 x 之间的函数关系式（不要求写出 x 的取值范围）；（3）若要使商店的进货成本在4300元的限额内，且全部销售完后所获利润不低于1400元，请你列举出商店所有进货方案，并求出最大利润是多少？【答案】（1）购进篮球40个，排球20个；（2）y=5x+1200；（3）共有四种方案，方案1：购进篮球40个，排球20个；方案2：购进篮球41个，排球19个；方案3：购进篮球42个，排球18个；方案4：购进篮球43个，排球17个．最大利润为1415元．【详解】m n 60m 40解：（1）设购进篮球 m 个，排球 n 个，根据题意得： ，解得： ． 80m 50n 4200n 20 答：购进篮球 40 个，排球 20 个．（2）设商店所获利润为y 元，购进篮球x 个，则购进排球（60﹣x ）个，根据题意得：y =（105﹣80）x +（70 ﹣50）（60﹣x ）=5x +1200，∵y 与 x 之间的函数关系式为：y =5x +1200． 5x 1200 1400130 3（3）设购进篮球 x 个，则购进排球（60﹣x ）个，根据题意得： ，解 得：40≤x ≤ ． 80x 50(60 x) 4300 ∵x 取整数，∵x =40，41，42，43，共有四种方案，方案1：购进篮球 40 个，排球 20 个；方案 2：购进篮球 41 个，排球 19 个；方案 3：购进篮球 42 个，排球 18 个；方案 4：购进篮球 43 个，排球 17 个． ∵在 y =5x +1200 中，k =5＞0，∵y 随 x 的增大而增大，∵当 x =43 时，可获得最大利润，最大利润为 5×43+1200=1415 元．9、为解决消费者停车难的问题，某商场新建一小型轿车停车场，经测算，此停车场每天需固定支出的费用 （包括设施维修费、管理人员工资等）为600 元，为制定合理的收费标准，该商场对每天轿车停放辆次（每 辆轿车每停放一次简称为“辆次”）与每辆轿车的收费情况进行调查，发现每辆次轿车的停车费定价不超过 10 元时，每天来此停放的轿车都为300 辆次；若每辆次轿车的停车费定价超过10 元，则每超过1 元，每天 来此停放的轿车就减少 12 辆次，设每辆次轿车的停车费 x 元（为便于结算，停车费 x 只取整数），此停车场 的日净收入为 y 元（日净收入=每天共收停车费﹣每天固定的支出）回答下列问题：（1）∵当 x ≤10 时，y 与 x 的关系式为：∵当 x ＞10 时，y 与 x 的关系式为： ； ； （2）停车场能否实现 3000 元的日净收入？如能实现，求出每辆次轿车的停车费定价，如不能实现，请说 明理由；（3）该商场要求此停车场既要吸引顾客，使每天轿车停放的辆次较多，又要有最大的日净收入，按此要求， 每辆次轿车的停车费定价应定为多少元？此时最大日净收入是多少元？【答案】（1）∵y =300x ﹣600；∵y =﹣12x +420x ﹣600；（2）停车场能实现 3000 元的日净收入，每辆次轿车2 的停车费定价是 15 元或 20 元；（3）每辆次轿车的停车费定价应定为 17 元，此时最大日净收入是 3072 元．【详解】(1)∵由题意得：y=300x ﹣600；∵由题意得：y=[300﹣12（x ﹣10）]x ﹣600， 即 y=﹣12x +420x ﹣600；2 (2)依题意有：﹣12x +420x ﹣600=3000， 解得 x =15，x =20．2 1 2故停车场能实现 3000元的日净收入，每辆次轿车的停车费定价是 15 元或 20 元；(3)、当 x ≤10 时，停车 300 辆次，最大日净收入 y=300×10﹣600=2400（元）；当 x ＞10 时，y=﹣12x +420x ﹣600=﹣12（x ﹣35x ）﹣600=﹣12（x ﹣17.5） +3075，2 2 2 ∵当 x=17.5 时，y 有最大值．但 x 只能取整数， ∵x 取 17 或 18．显然 x 取 17 时，小车停放辆次较多，此时最大日净收入为y=﹣12×0.25+3075=3072（元）．由上可得，每辆次轿车的停车费定价应定为 17 元，此时最大日净收入是 3072 元．10、攀枝花芒果由于品质高、口感好而闻名全国，通过优质快捷的网络销售渠道，小明的妈妈先购买了2 箱 A 品种芒果和 3 箱 B 品种芒果，共花费 450 元；后又购买了 l 箱 A 品种芒果和 2 箱 B 品种芒果，共花费 275 元（每次两种芒果的售价都不变）．（1）问 A 品种芒果和 B 品种芒果的售价分别是每箱多少元？（2）现要购买两种芒果共 18 箱，要求 B 品种芒果的数量不少于 A 品种芒果数量的 2 倍，但不超过 A 品种 芒果数量的 4 倍，请你设计购买方案，并写出所需费用最低的购买方案．【答案】（1）A 品种芒果售价为每箱 75 元，B 品种芒果售价为每箱 100 元；（2）购买方案有：A 品种芒果 4 箱，B 品种芒果 14 箱；A 品种芒果 5 箱，B 品种芒果 13 箱；A 品种芒果 6 箱，B 品种芒果 12 箱；其中购 进 A 品种芒果 6 箱，B 品种芒果 12 箱总费用最少．【详解】2x 3y 450 x 2y 275 x 75 { { 解：（1）设 A 品种芒果箱 x 元 ，B 品种芒果为箱 y 元，根据题意得： 答：A 品种芒果售价为每箱 75 元，B 品种芒果售价为每箱 100 元．，解得： . y 10018 5（2）设 A 品种芒果 n 箱，总费用为 m 元 ，则 B 品种芒果 18﹣n 箱，∵18﹣n ≥2n 且 18﹣n ≤4n ，∵ ∵n 非负整数，∵n =4，5，6，相应的 18﹣n =14，13，12；≤n ≤6， ∵购买方案有：A 品种芒果 4 箱 ，B 品种芒果 14 箱 ；A 品种芒果 5 箱 ，B 品种芒果 13 箱 ；A 品种芒果 6 箱，B 品种芒果 12 箱；∵所需费用 m 分别为：4×75+14×100=1700 元；5×75+13×100=1675 元；6×75+12×100=1650 元，∵购进 A 品 种芒果 6 箱，B 品种芒果 12 箱总费用最少．m n 60m 40解：（1）设购进篮球 m 个，排球 n 个，根据题意得： ，解得： ． 80m 50n 4200n 20 答：购进篮球 40 个，排球 20 个．（2）设商店所获利润为y 元，购进篮球x 个，则购进排球（60﹣x ）个，根据题意得：y =（105﹣80）x +（70 ﹣50）（60﹣x ）=5x +1200，∵y 与 x 之间的函数关系式为：y =5x +1200． 5x 1200 1400130 3（3）设购进篮球 x 个，则购进排球（60﹣x ）个，根据题意得： ，解 得：40≤x ≤ ． 80x 50(60 x) 4300 ∵x 取整数，∵x =40，41，42，43，共有四种方案，方案1：购进篮球 40 个，排球 20 个；方案 2：购进篮球 41 个，排球 19 个；方案 3：购进篮球 42 个，排球 18 个；方案 4：购进篮球 43 个，排球 17 个． ∵在 y =5x +1200 中，k =5＞0，∵y 随 x 的增大而增大，∵当 x =43 时，可获得最大利润，最大利润为 5×43+1200=1415 元．9、为解决消费者停车难的问题，某商场新建一小型轿车停车场，经测算，此停车场每天需固定支出的费用 （包括设施维修费、管理人员工资等）为600 元，为制定合理的收费标准，该商场对每天轿车停放辆次（每 辆轿车每停放一次简称为“辆次”）与每辆轿车的收费情况进行调查，发现每辆次轿车的停车费定价不超过 10 元时，每天来此停放的轿车都为300 辆次；若每辆次轿车的停车费定价超过10 元，则每超过1 元，每天 来此停放的轿车就减少 12 辆次，设每辆次轿车的停车费 x 元（为便于结算，停车费 x 只取整数），此停车场 的日净收入为 y 元（日净收入=每天共收停车费﹣每天固定的支出）回答下列问题：（1）∵当 x ≤10 时，y 与 x 的关系式为：∵当 x ＞10 时，y 与 x 的关系式为： ； ； （2）停车场能否实现 3000 元的日净收入？如能实现，求出每辆次轿车的停车费定价，如不能实现，请说 明理由；（3）该商场要求此停车场既要吸引顾客，使每天轿车停放的辆次较多，又要有最大的日净收入，按此要求， 每辆次轿车的停车费定价应定为多少元？此时最大日净收入是多少元？【答案】（1）∵y =300x ﹣600；∵y =﹣12x +420x ﹣600；（2）停车场能实现 3000 元的日净收入，每辆次轿车2 的停车费定价是 15 元或 20 元；（3）每辆次轿车的停车费定价应定为 17 元，此时最大日净收入是 3072 元．【详解】(1)∵由题意得：y=300x ﹣600；∵由题意得：y=[300﹣12（x ﹣10）]x ﹣600， 即 y=﹣12x +420x ﹣600；2 (2)依题意有：﹣12x +420x ﹣600=3000， 解得 x =15，x =20．2 1 2故停车场能实现 3000元的日净收入，每辆次轿车的停车费定价是 15 元或 20 元；(3)、当 x ≤10 时，停车 300 辆次，最大日净收入 y=300×10﹣600=2400（元）；当 x ＞10 时，y=﹣12x +420x ﹣600=﹣12（x ﹣35x ）﹣600=﹣12（x ﹣17.5） +3075，2 2 2 ∵当 x=17.5 时，y 有最大值．但 x 只能取整数， ∵x 取 17 或 18．显然 x 取 17 时，小车停放辆次较多，此时最大日净收入为y=﹣12×0.25+3075=3072（元）．由上可得，每辆次轿车的停车费定价应定为 17 元，此时最大日净收入是 3072 元．10、攀枝花芒果由于品质高、口感好而闻名全国，通过优质快捷的网络销售渠道，小明的妈妈先购买了2 箱 A 品种芒果和 3 箱 B 品种芒果，共花费 450 元；后又购买了 l 箱 A 品种芒果和 2 箱 B 品种芒果，共花费 275 元（每次两种芒果的售价都不变）．（1）问 A 品种芒果和 B 品种芒果的售价分别是每箱多少元？（2）现要购买两种芒果共 18 箱，要求 B 品种芒果的数量不少于 A 品种芒果数量的 2 倍，但不超过 A 品种 芒果数量的 4 倍，请你设计购买方案，并写出所需费用最低的购买方案．【答案】（1）A 品种芒果售价为每箱 75 元，B 品种芒果售价为每箱 100 元；（2）购买方案有：A 品种芒果 4 箱，B 品种芒果 14 箱；A 品种芒果 5 箱，B 品种芒果 13 箱；A 品种芒果 6 箱，B 品种芒果 12 箱；其中购 进 A 品种芒果 6 箱，B 品种芒果 12 箱总费用最少．【详解】2x 3y 450 x 2y 275 x 75 { { 解：（1）设 A 品种芒果箱 x 元 ，B 品种芒果为箱 y 元，根据题意得： 答：A 品种芒果售价为每箱 75 元，B 品种芒果售价为每箱 100 元．，解得： . y 10018 5（2）设 A 品种芒果 n 箱，总费用为 m 元 ，则 B 品种芒果 18﹣n 箱，∵18﹣n ≥2n 且 18﹣n ≤4n ，∵ ∵n 非负整数，∵n =4，5，6，相应的 18﹣n =14，13，12；≤n ≤6， ∵购买方案有：A 品种芒果 4 箱 ，B 品种芒果 14 箱 ；A 品种芒果 5 箱 ，B 品种芒果 13 箱 ；A 品种芒果 6 箱，B 品种芒果 12 箱；∵所需费用 m 分别为：4×75+14×100=1700 元；5×75+13×100=1675 元；6×75+12×100=1650 元，∵购进 A 品 种芒果 6 箱，B 品种芒果 12 箱总费用最少．m n 60m 40解：（1）设购进篮球 m 个，排球 n 个，根据题意得： ，解得： ． 80m 50n 4200n 20 答：购进篮球 40 个，排球 20 个．（2）设商店所获利润为y 元，购进篮球x 个，则购进排球（60﹣x ）个，根据题意得：y =（105﹣80）x +（70 ﹣50）（60﹣x ）=5x +1200，∵y 与 x 之间的函数关系式为：y =5x +1200． 5x 1200 1400130 3（3）设购进篮球 x 个，则购进排球（60﹣x ）个，根据题意得： ，解 得：40≤x ≤ ． 80x 50(60 x) 4300 ∵x 取整数，∵x =40，41，42，43，共有四种方案，方案1：购进篮球 40 个，排球 20 个；方案 2：购进篮球 41 个，排球 19 个；方案 3：购进篮球 42 个，排球 18 个；方案 4：购进篮球 43 个，排球 17 个． ∵在 y =5x +1200 中，k =5＞0，∵y 随 x 的增大而增大，∵当 x =43 时，可获得最大利润，最大利润为 5×43+1200=1415 元．9、为解决消费者停车难的问题，某商场新建一小型轿车停车场，经测算，此停车场每天需固定支出的费用 （包括设施维修费、管理人员工资等）为600 元，为制定合理的收费标准，该商场对每天轿车停放辆次（每 辆轿车每停放一次简称为“辆次”）与每辆轿车的收费情况进行调查，发现每辆次轿车的停车费定价不超过 10 元时，每天来此停放的轿车都为300 辆次；若每辆次轿车的停车费定价超过10 元，则每超过1 元，每天 来此停放的轿车就减少 12 辆次，设每辆次轿车的停车费 x 元（为便于结算，停车费 x 只取整数），此停车场 的日净收入为 y 元（日净收入=每天共收停车费﹣每天固定的支出）回答下列问题：（1）∵当 x ≤10 时，y 与 x 的关系式为：∵当 x ＞10 时，y 与 x 的关系式为： ； ； （2）停车场能否实现 3000 元的日净收入？如能实现，求出每辆次轿车的停车费定价，如不能实现，请说 明理由；（3）该商场要求此停车场既要吸引顾客，使每天轿车停放的辆次较多，又要有最大的日净收入，按此要求， 每辆次轿车的停车费定价应定为多少元？此时最大日净收入是多少元？【答案】（1）∵y =300x ﹣600；∵y =﹣12x +420x ﹣600；（2）停车场能实现 3000 元的日净收入，每辆次轿车2 的停车费定价是 15 元或 20 元；（3）每辆次轿车的停车费定价应定为 17 元，此时最大日净收入是 3072 元．【详解】(1)∵由题意得：y=300x ﹣600；∵由题意得：y=[300﹣12（x ﹣10）]x ﹣600， 即 y=﹣12x +420x ﹣600；2 (2)依题意有：﹣12x +420x ﹣600=3000， 解得 x =15，x =20．2 1 2故停车场能实现 3000元的日净收入，每辆次轿车的停车费定价是 15 元或 20 元；(3)、当 x ≤10 时，停车 300 辆次，最大日净收入 y=300×10﹣600=2400（元）；当 x ＞10 时，y=﹣12x +420x ﹣600=﹣12（x ﹣35x ）﹣600=﹣12（x ﹣17.5） +3075，2 2 2 ∵当 x=17.5 时，y 有最大值．但 x 只能取整数， ∵x 取 17 或 18．显然 x 取 17 时，小车停放辆次较多，此时最大日净收入为y=﹣12×0.25+3075=3072（元）．由上可得，每辆次轿车的停车费定价应定为 17 元，此时最大日净收入是 3072 元．10、攀枝花芒果由于品质高、口感好而闻名全国，通过优质快捷的网络销售渠道，小明的妈妈先购买了2 箱 A 品种芒果和 3 箱 B 品种芒果，共花费 450 元；后又购买了 l 箱 A 品种芒果和 2 箱 B 品种芒果，共花费 275 元（每次两种芒果的售价都不变）．（1）问 A 品种芒果和 B 品种芒果的售价分别是每箱多少元？（2）现要购买两种芒果共 18 箱，要求 B 品种芒果的数量不少于 A 品种芒果数量的 2 倍，但不超过 A 品种 芒果数量的 4 倍，请你设计购买方案，并写出所需费用最低的购买方案．【答案】（1）A 品种芒果售价为每箱 75 元，B 品种芒果售价为每箱 100 元；（2）购买方案有：A 品种芒果 4 箱，B 品种芒果 14 箱；A 品种芒果 5 箱，B 品种芒果 13 箱；A 品种芒果 6 箱，B 品种芒果 12 箱；其中购 进 A 品种芒果 6 箱，B 品种芒果 12 箱总费用最少．【详解】2x 3y 450 x 2y 275 x 75 { { 解：（1）设 A 品种芒果箱 x 元 ，B 品种芒果为箱 y 元，根据题意得： 答：A 品种芒果售价为每箱 75 元，B 品种芒果售价为每箱 100 元．，解得： . y 10018 5（2）设 A 品种芒果 n 箱，总费用为 m 元 ，则 B 品种芒果 18﹣n 箱，∵18﹣n ≥2n 且 18﹣n ≤4n ，∵ ∵n 非负整数，∵n =4，5，6，相应的 18﹣n =14，13，12；≤n ≤6， ∵购买方案有：A 品种芒果 4 箱 ，B 品种芒果 14 箱 ；A 品种芒果 5 箱 ，B 品种芒果 13 箱 ；A 品种芒果 6 箱，B 品种芒果 12 箱；∵所需费用 m 分别为：4×75+14×100=1700 元；5×75+13×100=1675 元；6×75+12×100=1650 元，∵购进 A 品 种芒果 6 箱，B 品种芒果 12 箱总费用最少．。

一次函数中的分段函数一、分段计费问题例1.我国是世界上严重缺水的国家之一．为了增强居民节水意识，某市自来水公司对居民用水采用以户为单位分段计费办法收费．即一月用水10吨以内（包括10吨）的用户，每吨收水费元；一月用水超过10吨的用户，10吨水仍按每吨元收费，超过10吨的部分，按每吨元（b＞a）收费．设一户居民月用水吨，应收水费元，与之间的函数关系如图13所示．（1）求的值；某户居民上月用水8吨，应收水费多少元？（2）求的值，并写出当时，与之间的函数关系式；（3）已知居民甲上月比居民乙多用水4吨，两家共收水费46元，求他们上月分别用水多少吨？解析：（1）当时，有．将代入，得．∴y=1.5x当x=8时,y=8×1.5＝12（元）．（2）当时，有将，代入，得．∴．故当时，．（3）因，∴甲、乙两家上月用水均超过10吨．设甲、乙两家上月用水分别为吨，吨，则解之，得故居民甲上月用水16吨，居民乙上月用水12吨．二、行程中的分段函数例2。

一列快车从甲地驶往乙地，一列慢车从乙地驶往甲地，两车同时出发，设慢车行驶的时间为，两车之间的距离为，图中的折线表示与之间的函数关系．根据图象进行以下探究：信息读取（1）甲、乙两地之间的距离为 km；（2）请解释图中点的实际意义；图象理解（3）求慢车和快车的速度；（4）求线段所表示的与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；问题解决（5）若第二列快车也从甲地出发驶往乙地，速度与第一列快车相同．在第一列快车与慢车相遇30分钟后，第二列快车与慢车相遇．求第二列快车比第一列快车晚出发多少小时？解析：（1）900；（2）图中点的实际意义是：当慢车行驶4h时，慢车和快车相遇．（3）由图象可知，慢车12h行驶的路程为900km，所以慢车的速度为；当慢车行驶4h时，慢车和快车相遇，两车行驶的路程之和为900km，所以慢车和快车行驶的速度之和为，所以快车的速度为150km/h．（4）根据题意，快车行驶900km到达乙地，所以快车行驶到达乙地，此时两车之间的距离为，所以点的坐标为．设线段所表示的与之间的函数关系式为，把，代入得解得所以，线段所表示的与之间的函数关系式为．自变量的取值范围是．（5）慢车与第一列快车相遇30分钟后与第二列快车相遇，此时，慢车的行驶时间是4.5h．把代入，得．此时，慢车与第一列快车之间的距离等于两列快车之间的距离是112.5km，所以两列快车出发的间隔时间是，即第二列快车比第一列快车晚出发0.75h．三、与几何图形有关的分段函数例3。

专题4.4一次函数与正比例函数（知识梳理与考点分类讲解）【知识点1】一次函数与正比例函数的定义1.定义若两个变量x,y的对应关系可以表示成y=kx+b(k,b为常数,k≠0)的形式,则称y是x的一次函数.特别地,当b=0时,称y是x的正比例函数.2.一次函数与正比例函数的关系(1)正比例函数y=kx(k≠0)是一次函数y=kx+b(k,b为常数,k≠0)中b=0的特例,即正比例函数都是一次函数,但一次函数不一定是正比例函数,(2)若已知y与x成正比例,则可设函数关系式为y=kx(k≠0);若已知y是x的一次函数,则可设函数关系式为y=kx+b(k,b为常数,k≠0)【知识点2】一次函数的关系式列一次函数的步骤(1)认真分析，理解题意；(2)同列方程解应用题的思路，找出等量关系；(3)写出一次函数的关系式；(4)注意自变量x的取值范围，对于实际问题,还要考自变量的取值要使实际问题有意义.特别提醒（1）确定一次函数关系式的方法：（2）按相等关系写出含有两个变量的等式；（3）将等式变形为用含有自变量的式子表示一次函数关系式的形式.【考点一】一次函数与正比例函数的定义【例1】（2023春·全国·八年级专题练习）下列函数中，哪些是一次函数？哪些是正比例函数？系数k和常数项b的值各是多少？2πC r =，22003y x =+，200t v =，2(3)y x =-，(50)s x x =-．【分析】根据一次函数与正比例函数逐个分析判断即可求解．一般地，两个变量x 、y 之间的关系式可以表示成形如y kx =的函数（k 为常数，x 的次数为1，且0k ≠），那么y kx =就叫做正比例函数．一次函数的定义：一次函数y kx b =+中k b 、为常数，0k ≠，自变量次数为1．解：2πC r =，是正比例函数，2πk =；22003y x =+是一次函数，23k =，200b =；200t v=不是一次函数，也不是正比例函数；2(3)y x =-26x =-+，是一次函数，2k =-，6b =；(50)s x x =-250x x =-+，不是正比例函数也不是一次函数．【点拨】本题考查了正比例函数与一次函数的定义，掌握正比例函数与一次函数的定义是解题的关键．【举一反三】【变式1】（2022秋·安徽芜湖·八年级统考阶段练习）若y 关于x 的函数(4)y a x b =-+是正比例函数，则a ，b 应满足的条件是（）A ．4a ≠且0b ≠B ．4a ≠-且0b =C ．4a =且0b =D ．4a ≠且0b =【答案】D【分析】正比例函数的解析式为y kx =，其中0k ≠，据此求解．解： (4)y a x b =-+是正比例函数，∴40a -≠且0b =，∴4a ≠且0b =．故选D ．【点拨】本题考查根据正比例函数的定义求参数，解题的关键是掌握正比例函数中一次项系数不能为0，无常数项．【变式2】（2019秋·广东梅州·八年级广东梅县东山中学校考期中）下列关系式：①6x y =；②321y x =+；③25y x =-+；④221y x =+；⑤5y x =-．其中y 是x 的一次函数的有个．【答案】3【分析】形如y kx b =+（0k ≠，k 、b 是常数）的函数，叫做一次函数，进而判断得出答案．解：函数①6xy =，③25y x =-+，⑤5y x =-是一次函数，共有3个，②321y x =+，④221y x =+，不是一次函数，故答案为：3．【点拨】本题主要考查了一次函数的定义，正确把握一次函数的定义是解题关键．【考点二】一次函数与正比例函数的参数【例2】（2022秋·安徽安庆·八年级校考阶段练习）已知函数1012y m x m =-+-（）．（1）m 为何值时，这个函数是一次函数；（2）m 为何值时，这个函数是正比例函数．【答案】（1）10m ≠；（2）12m =【分析】（1）根据一次函数的定义求解；（2）根据正比例函数的定义求解．解：（1）根据一次函数的定义可得：100m -≠，∴当10m ≠时，这个函数是一次函数；（2）根据正比例函数的定义，可得：100m -≠且120m -=，∴12m =时，这个函数是正比例函数．【点拨】本题考查了一次函数和正比例函数的定义，形如()0y kx b k =+≠的函数叫做一次函数，特别的，当0b =时，()0y kx k =≠叫做正比例函数，熟知概念是关键．【举一反三】【变式1】（2023秋·安徽蚌埠·八年级统考阶段练习）已知一次函数y kx b =+的图象经过()11,A x y ，()22,B x y 两点，且当213x x =+时，211y y =-，则k 的值为（）A ．3-B ．3C ．13-D ．13【答案】C【分析】分别把点()11,A x y ，()22,B x y 代入一次函数y kx b =+，根据213x x =+，211y y =-时，即可得出结论．解： 一次函数y kx b =+的图象经过()11,A x y ，()22,B x y 两点，∴1122y kx b y kx b =+=+，，∴1212y y kx kx -=-，213x x =+ ，211y y =-，∴121213x x y y -=-=-，，31k ∴-=，即13k =-．故选：C ．【点拨】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，掌握一次函数图象上点的坐标满足其解析式是解题关键．【变式2】（2023春·黑龙江大庆·七年级校考期中）已知()2835my m x m -=++-是关于x 的一次函数，则m =.【答案】3【分析】根据一次函数的定义得到281m -=且30m +≠，据此求出m 的值即可．解：()2835my m x m -=++- 是关于x 的一次函数，281m ∴-=且30m +≠，解得：3m =，故答案为：3．【点拨】本题考查了一次函数的定义，一般地，形如()0y kx b k =+≠的函数，叫做一次函数，会利用x 的指数构造方程，会利用k 限定字母的值是解题关键．【考点三】求一次函数的自变理或函数值【例3】（2023秋·全国·八年级专题练习）已知函数()()2324m y m x m -=++-，（1）当m 是何值时函数是一次函数．（2）当函数是一次函数时，写出此函数解析式．并计算当1x =时的函数值．（3）点(),2A n 在此一次函数图象上，则n 的值为多少．【答案】（1）2m =；（2）42y x =-，当1x =时，2y =；（3）1n =【分析】（1）根据一次函数的定义进行求解即可；（2）根据（1）所求代入m 得值求出对应的函数关系式，再把1x =代入对应的函数关系式求出此时y 的值即可；（3）代入2y =，求出此时x 的值即可得到答案．（1）解：∵函数()()2324my m x m -=++-是一次函数，∴22031m m +≠⎧⎨-=⎩，∴2m =，∴当2m =时，函数()()2324my m x m -=++-是一次函数；（2）解：由（1）得()()232442my m x m x -=++-=-，∴当1x =时，4122y =⨯-=；（3）解：在42y x =-中，当422y x =-=时，1x =，∴()1,2A ，∴1n =．【点拨】本题主要考查了一次函数的定义，求一次函数的函数值和自变量的值，一般地，形如y kx b =+（其中k 、b 都是常数，且0k ≠）的函数叫做一次函数．【举一反三】【变式1】（2023春·天津滨海新·八年级校考期末）不论实数k 取何值，一次函数3y kx =-的图象必经过的点是（）A ．()0,3-B ．()0,3C ．3,02⎛⎫⎪⎝⎭D ．3,02⎛⎫- ⎪⎝⎭【答案】A【分析】令0x =，求出y 值即可得解．解： 一次函数3y kx =-，当0x =时，=3y -，∴不论k 取何值，函数图象必过点(0,3)-．故选：A ．【点拨】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，熟知一次函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．【变式2】（2022秋·安徽芜湖·八年级统考阶段练习）在平面直角坐标系中，直线34y x =+过点(,)P a b ，则32023a b -+的值为．【答案】2019【分析】把(,)P a b 代入34y x =+即可得到34a b +=，代入32023a b -+即可求解．解： 直线34y x =+过点(,)P a b ，34b a ∴=+，34a b ∴-=-，32023420232019a b ∴-+=-+=，故答案为：2019．【点拨】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，牢记直线上任意一点的坐标都满足函数关系y kx b =+是解题的关键．【考点四】列函数解析式及求函数值【例4】（2022秋·辽宁锦州·八年级统考期中）某公交公司的16路公交车每月的支出费用为4000元，每月的乘车人数x （人)与这趟公交车每月的利润（利润=收入费用-支出费用）y （元)的变化关系如表所示（每位乘客乘一次公交的票价是固定不变的）x （人)50010001500200025003000⋯y （元)3000-2000-1000-010002000⋯请回答下列问题：（1）自变量为，因变量为；（2）y 与x 之间的关系式是；（3）当每月乘车人数为4000人时，每月利润为多少元？【答案】（1）每月的乘车人数，公交车每月的利润；（2）24000y x =-；（3）当每月乘车人数为4000人时，每月利润为4000元【分析】（1）根据表格中的数量变化可得答案；（2）根据乘坐人数与每月的利润的变化关系可求出每位乘客坐一次车需要的钱数，进而得出函数关系式；（3）把x =4000代入函数关系式求出y 的值即可．（1）解：由题意可知：自变量是：每月的乘车人数，因变量是：公交车每月的利润．故答案为：每月的乘车人数，公交车每月的利润．（2）解： 从表格中数据变化可知，每月乘车人数每增加500人，其每月的利润就增加1000元，∴每位乘客坐一次车需要10005002÷=（元)，即函数关系式为：2(500)300024000y x x =--=-．（3）解：当4000x =时，2400040004000y =⨯-=（元)．答：当每月乘车人数为4000人时，每月利润为4000元．【点拨】本题考查常量与变量，函数关系式，理解表格中两个变量的变化关系是正确解答的关键．【举一反三】【变式1】（2023春·八年级课时练习）汽车由北京驶往相距120千米的天津，它的平均速度是30千米/时，则汽车距天津的路程S （千米）与行驶时间t （时）的函数关系及自变量的取值范围是（）A ．()1203004S t t =-≤≤B ．()3004S t t =≤≤C ．()120300S t t =->D ．()304S t t ==【答案】A【分析】根据汽车距天津的距离＝总路程−已行驶路程列函数关系式，再根据总路程判断出t 的取值范围即可．解：∵汽车行驶的路程为：30t ，∴汽车距天津的路程S （千米）与行驶时间t （时）的函数关系为：12030S t =-，∵120304÷=，∴自变量t 的取值范围是04t ≤≤，故选：A ．【点拨】本题考查了列一次函数关系式，解决本题的关键是理解剩余路程的等量关系．【变式2】（2021·全国·九年级专题练习）一根长为24cm 的蜡烛被点燃后，每分钟缩短1.2cm ，则其剩余长度y （cm ）与燃烧时间x （min ）的函数关系式为，自变量的取值范围是．【答案】y =24-1.2x0≤x ≤20【分析】根据题意，剩下的蜡烛长度=总长度-已经燃烧的长度，已经燃烧的长度=每分钟缩短长度×燃烧时间，即可写出解析式；列出关系式，根据蜡烛最长的燃烧时间可得自变量的取值范围；解：由题意可得：函数关系式为：y=24-1.2x ，∵x 0≥，y 0≥∴24-1.2x 0≥∴x 20≤．∴自变量x 的取值范围是0≤x≤20．故答案为：y=24-1.2x ，0≤x≤20．【点拨】本题目考查一次函数的实际应用，正确理解题意，找到实际问题中的等量关系是解题的关键．。

专题4.20一次函数的应用（分层练习）（提升练）考点类型【考点1】一次函数在方案分配问题中的应用；【考点2】一次函数在利润问题中的应用【考点3】一次函数在行程问题中的应用；【考点4】一次函数在几何问题中的应用【考点5】一次函数在其他问题中的应用一、单选题【考点1】一次函数在方案分配问题中的应用1．（2023春·八年级课时练习）小李同学长大后当上了个体老板，一次他准备租用甲、乙两种货车将200吨货物运回眉山卖给厂家，两种货车的载货量和租金如下表所示：甲种货车乙种货车载货量（吨/辆）2520租金（元/辆）20001800请问：李老板最少要花掉租金（）．A．15000元B．16000元C．18000元D．20000元2．（2023春·上海·八年级专题练习）超市有A，B两种型号的瓶子，其容量和价格如表，小张买瓶子用来分装15升油（瓶子都装满，且无剩油）；当日促销活动：购买A型瓶3个或以上，一次性返还现金5元，设购买A型瓶x（个），所需总费用为y（元），则下列说法不一定成立的是（）型号A B单个盒子容量（升）23单价（元）56A．购买B型瓶的个数是253x⎛⎫-⎪⎝⎭为正整数时的值B．购买A型瓶最多为6个C．y与x之间的函数关系式为30y x=+D．小张买瓶子的最少费用是28元【考点2】一次函数在利润问题中的应用3．（2022秋·浙江·八年级专题练习）如图是某种产品30天的销售图象，图1是产品日销售量y（件）与时间t（天）的函数关系，图2是一件产品的利润z（元）与时间t（天）的函数关系．则下列结论中错误的是（）A．第24天销售量为300件B．第10天销售一件产品的利润是15元C．第27天的日销售利润是1250元D．第15天与第30天的日销售量相等4．（2015·江苏连云港·统考中考真题）如图是本地区一种产品30天的销售图象，产品日销售量y（单位：件）与时间t（单位：天）的大致函数关系如图①，图②是一件产品的销售利润z（单位：元）与时间t（单位：天）的函数关系，已知日销售利润=日销售量×一件产品的销售利润，下列结论错误．．的是（）A．日销售量为150件的是第12天与第30天B．第10天销售一件产品的利润是15元C．从第1天到第20天这段时间内日销售利润将先增加再减少D．第18天的日销售利润是1225元【考点3】一次函数在行程问题中的应用5．（2023春·辽宁铁岭·八年级统考期末）星期天小明步行从家去图书馆，中间要经过超市小明以a米/分的速度匀速到达超市，再以b米/分的速度匀速到达图书馆，图中的折线OAB反映了小明从家步行到图书馆所走的路程S（米）与行驶时间t（分）的关系，根据图中提供的信息，则:a b的值为（）A ．12:7B ．12:5C ．2:1D ．无法判定6．（2022春·黑龙江哈尔滨·八年级哈尔滨市萧红中学校考阶段练习）如图1所示，在A ，B 两地之间有汽车站C 站，客车由A 地驶往C 站，货车由B 地驶往A 地.两车同时出发，匀速行驶，图2是客车、货车离C 站路程1y ，2y （千米）与行驶时间x （小时）之间的函数关系图象，下列说法：①A ，B 两地相距420千米；②2小时后货车离C 站的路程y 与行驶时间x 的函数关系式为：3060y x =-；③客车与货车相遇时距离B 地80千米；④两车出发409小时和449小时相距20千米；其中正确的个数为（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【考点4】一次函数在几何问题中的应用7．（2022春·安徽阜阳·八年级校考阶段练习）如图，直线443y x =-+与x 轴交于点B ，与y 轴交于点C ，点()2,0E ，点D 为线段BC 的中点，点P 为y 轴上的一个动点，连接PD ，PE ，DE ，当PED V 的周长最小时，点P 的坐标为（）A ．80,7⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．40,7⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．120,7⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．30,2⎛⎫ ⎪⎝⎭8．（2023秋·江苏南通·九年级校考开学考试）如图，直线:l y x m =-+交x 轴于点A ，交y 轴于点(0,4)B ，点(,5)P n 在直线l 上，已知M 是x 轴上的动点，当以A ，P ，M 为顶点的三角形是直角三角形时，点M 的坐标为（）A ．(1,0)-B ．(5,0)-C ．(1,0)-或(6,0)-D ．(1,0)-或(5,0)-【考点5】一次函数在其他问题中的应用9．（2023·江苏·模拟预测）如图1，在四边形ABCD 中，AB CD ∥，点P 从点D 开始沿折线DA AB -运动，直线l 过点P ，直线l AD ⊥．当点P 运动时，直线l 与四边形ABCD 的边另一交点为点Q ．设点P 的运动路程为x ，线段PQ 的长为y ，且y 与x 的函数关系如图2所示．当5x =时，DPQ V 的面积为（）A ．103B ．10C ．93D ．910．（2022秋·河北保定·八年级校联考期中）问题情境：“一粒米千滴汗，粒粒粮食汗珠换．”“为积极响应习近平总书记提出的坚决抵制餐饮浪费行为的重要指示，某送餐公司推出了“半份餐”服务，餐量是整份餐的一半，价格也是整份餐的一半，整份餐单价为10元，希望中学每天中午从该送餐公司订200份午餐，其中半份餐订x 份（0<x ≤200），其余均为整份餐，该中学每天午餐订单总费用为y 元．则y 与x 之间的函数关系式为（）A ．52000y x =-+B ．51000y x =+C ．51000y x =-+D ．52000y x =+二、填空题【考点1】一次函数在方案分配问题中的应用11．（2022·全国·八年级假期作业）某通讯公司推出了①②两种收费方式，收费y 1，y 2（元）与通讯时间x （分钟）之间的函数关系如图所示，若使用资费①更加划算，通讯时间x （分钟）的取值范围是．12．（2021·全国·九年级专题练习）我国很多城市水资源缺乏，为了加强居民的节水意识，某自来水公司采取分段收费标准，某市居民月交水费y （元）与用水量x （吨）之间的关系如图所示，若某户居民4月份用水20吨，则应交水费元．【考点2】一次函数在利润问题中的应用13．（2023秋·安徽蚌埠·八年级统考阶段练习）某公司新产品上市30天全部售完，图①表示产品的市场日销售量与上市时间之间的关系，图②表示单件产品的销售利润与上市时间之间的关系，则最大日销售利润是元；已知当2530t ≤≤时，单件产品的销售利润w 与t 之间的函数关系式为4w t b =+，则第26天的日销售利润为元．14．（2023秋·山东青岛·八年级统考期末）马家沟芹菜是青岛的名优农产品，某公司零售一箱该产品的利润是10元，批发一箱该产品的利润是6元．经营性质规定，该公司零售的数量不能多于300箱．现该公司出售800箱这种产品，最大利润是元．【考点3】一次函数在行程问题中的应用15．（2023春·辽宁葫芦岛·八年级统考期末）小明每天骑自行车上学，学校离家3000米．某天，小明上学途中因自行车发生故障，修车耽误了一段时间后继续骑行，还是按时赶到了学校，如图描述的是他离家的距离s 和离家的时间t 之间的函数图象，则自行车故障排除后他的平均速度是米/分．16．（2023春·山东青岛·七年级统考期末）如图①，B 地在A 地的正东方向，某一时刻，乙车从B 地开往A 地，1小时后，甲车从A 地开往B 地，当甲车到达B 地的同时乙车也到达A 地.如图②，横轴x （小时）表示行驶时间（从乙车出发的时刻开始计时），纵轴y （千米）表示两车与A 地的距离．根据图象信息，下列问题正确的是：（填写正确结论的序号）A ①、B 两地相距400千米；②乙车速度是80千米/时；③甲车出发209小时与乙车相遇；④甲乙两车相遇时距离A 地20009千米．【考点4】一次函数在几何问题中的应用17．（2023春·吉林长春·八年级校考期中）如图，点P 是直线334y x =-+上一动点，当线段OP 最短时，OP 的长为．18．（2021春·上海浦东新·八年级校考期中）如图，已知直线33y x =-+与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，以线段AB 为边在直线AB 的右侧作以AB 为直角边的等腰Rt ABC △，则直线BC 的表达式为.【考点5】一次函数在其他问题中的应用19．（2023秋·上海虹口·九年级上外附中校考阶段练习）在平面直角坐标系中，横、纵坐标都是整数的点称为整点，已知k 为整数，若函数21y x =+与y kx k =+的图像的交点是整数点，则k 的值为．20．（2023春·辽宁铁岭·八年级统考期末）小李从丹东通过快递公司给在铁岭的外婆寄草莓，寄快递时，该公司除每次收取6元的包装费外，不超过1千克，收费20元，每超过1千克时，则超出部分按每千克10元加收费，若小李给外婆快寄了()1x x >千克草莓，则快寄的费用y （元）与x （千克）之间的函数关系式为．三、解答题【考点1】一次函数在方案分配问题中的应用21．（2023秋·安徽阜阳·八年级校考阶段练习）合肥某校有3名教师准备带领部分学生（不少于3人）参观野生动物园．经洽谈，野生动物园的门票价格为教师票每张36元，学生票半价，且有两种购票优惠方案．方案一：购买一张教师票赠送一张学生票；方案二，按全部师生门票总价的80%付款，只能选用其中一种方案购买．假如学生人数为x （人），师生门票总金额为y （元）．（1）分别写出两种优惠方案中y 与x 的函数表达式；（2）请通过计算回答，选择哪种购票方案师生门票总费用较少；（3）若选择最优惠的方案后，共付款288元，则学生有多少人？22．（2023春·吉林白城·八年级校联考期末）如图，1l 表示振华商场一天的某型电脑销售额与销售量的关系，2l 表示该商场一天的销售成本与电脑销售量的关系．观察图象，解决以下问题：（1）当销售量2x =时，销售额＝______万元，销售成本＝______万元；（2）一天销售______台时，销售额等于销售成本；（3）分别求出1l 和2l 对应的函数表达式；（4）直接写出利润w 与销售量x 之间的函数表达式，并求出当销售量x 是多少时，每天的利润达到5万元？【考点3】一次函数在行程问题中的应用23．（2022春·河北石家庄·八年级校考阶段练习）如图1，某物流公司恰好位于连接A B ，两地的一条公路旁的C 处．某一天，该公司同时派出甲、乙两辆货车以各自的速度匀速行驶．其中，甲车从公司出发直达B 地；乙车从公司出发开往A 地，并在A 地用1h 配货，然后掉头按原速度开往B 地．图2是甲、乙两车之间的距离()km S 与他们出发后的时间()h x 之间函数关系的部分图像．（1）由图像可知，甲车速度为______km/h ；乙车速度为______km/h ；（2）已知最终甲、乙两车同时到达B 地．①从乙车掉头到乙车到达B 地的过程中，求S 与x 的函数表达式以及关于x 的取值范围；②从两车同时从C 地出发到两车同时到达B 地的整个过程中，两车之间的距离何时为80km ？24．（2022春·河北邯郸·八年级校考期末）如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线2y x a =-+与y 轴交于点A ，与直线1y x =+交于点()3P b ，，B 为直线1y x =+上一点．（1）求a ，b 的值；（2）当线段AB 最短时，求点B 的坐标；（3）在x 轴上找一点C ，使AC PC -的值最大，请直接写出点C 的坐标，并直接写出最大值．25．（2022春·辽宁抚顺·八年级统考期末）某人因需要经常去复印资料，甲复印社直接按每次印的张数计费，乙复印社可以加入会员，但需按月付一定的会员费．两复印社每月收费情况如图所示，根据图中提供的信息解答下列问题：（1）乙复印社要求客户每月支付的会员费是元；甲复印社每张收费是元；（2）求出乙复印社收费情况y关于复印页数x的函数解析式；（3）当每月复印多少页时，两复印社实际收费相同；（4）如果每月复印200页时，应选择哪家复印社？参考答案1．B【分析】设需要租用甲种货车x 辆，则租用乙种货车2002520x -辆，需要的费用为y 元，用x 将y 表示出来，进行判断即可．解：设需要租用甲种货车x 辆，则租用乙种货车2002520x -辆，需要的费用为y 元，根据题意得：20025200018002501800020x y x x -=+⨯=-+，∵200250x -≥，∴8x ≤，∴当8x =时，y 最小，最小值为：25081800016000-⨯+=（元），即李老板最少要花掉租金16000元，故B 正确．故选：B ．【点拨】本题主要考查了一次函数的应用，列出一次函数的解析式是解题的关键．2．C【分析】设购买A 型瓶x 个,B （253x -）个,由题意列出算式解出个选项即可判断.解：设购买A 型瓶x 个，∵买瓶子用来分装15升油，瓶子都装满，且无剩油，∴购买B 型瓶的个数是1522533x x -=-,∵瓶子的个数为自然数,∴x=0时,253x -=5;x=3时,253x -=3;x=6时,253x -=1;∴购买B 型瓶的个数是（253x -）为正整数时的值，故A 成立;由上可知，购买A 型瓶的个数为0个或3个或6个，所以购买A 型瓶的个数最多为6，故B 成立;设购买A 型瓶x 个，所需总费用为y 元，则购买B 型瓶的个数是（253x -）个，④当0≤x<3时，y=5x+6×（253x -）=x+30，∴k=1>0，∴y 随x 的增大而增大，∴当x=0时，y有最小值，最小值为30元;②当x≥3时，y=5x+6×（253x-）-5=x+25，∵.k=1>0随x的增大而增大，∴当x=3时，y有最小值，最小值为28元;综合①②可得，购买盒子所需要最少费用为28元.故C不成立，D成立故选:C.【点拨】本题考查一次函数的应用,关键在于读懂题意找出关系式.3．D【分析】根据函数图象分别求出设当0≤t≤20，一件产品的销售利润z（单位：元）与时间t（单位：天）的函数关系为z=-x+25，当0≤t≤24时，设产品日销售量y（单位：件）与时间t（单位；天）的函数关系为y=503t+100，根据日销售利润=日销售量×一件产品的销售利润，即可进行判断．解：A、根据图①可得第24天的销售量为300件，故A正确；B、设当0≤t≤20，一件产品的销售利润z（单位：元）与时间t（单位：天）的函数关系为z=kx+b，把（0，25），（20，5）代入得：25205bk b+⎧⎨⎩＝＝，解得：125kb⎩-⎧⎨＝＝，∴z=-x+25，当x=10时，z=-10+25=15，故B正确；C、当24≤t≤30时，设产品日销售量y（单位：件）与时间t（单位；天）的函数关系为y=k1t+b1，把（30，200），（24，300）代入得：11113020024300k bk b++⎧⎨⎩＝＝，解得：1170503kb⎪⎩-⎧⎪⎨＝＝∴y=-503+700，当t=27时，y=250，∴第27天的日销售利润为；250×5=1250（元），故C 正确；D 、当0＜t ＜24时，可得y=253t+100，t=15时，y≠200，故D 错误，故选D ．【点拨】本题考查了一次函数的应用，解决本题的关键是利用待定系数法求函数解析式．4．C解：由图①中y 关于t 的图象知第30天，销售量为150件．当0≤t ≤24时，y =kx +b ，知（0，100），（24，200）在图象上，可得24200100k b b ì+=ïí=ïî得：256100k b ì=ïíï=î．所以y 与t 的关系式为y =256x +100（0＜t ≤24），当150y =时，则25100150,6x +=解得：12,x =故A 正确；设0＜t ＜20时，z =kt +b ，由图②知（0，25）和（20，5）在其图象上，可得：25205b k b ì=ïí+=ïî，得125k b ì=-ïí=ïî，故z =-t +25．t =10时，z =15．故B 对．C 、由图②知，第1天到第20天销售利润逐渐减少．故C 错．D 、由图①知，t =18时，y =175件．图②知，t =18时，z =7．所以日销售利润175×7=1225元．故D 对.故选C【点拨】本题考查了一次函数的应用，解决本题的关键是利用待定系数法求函数解析式．5．A【分析】根据题意和函数图象中的数据，分别解得,a b 的值，即可解题．解：由图象可知OA 段中，小明8分钟步行了960米，可得0960812a ==（米/分），在AB 段中，小明在(208)-分钟内步行了(1800960)-米，可得18009608407020812b -===-12012707a b ∴==，故答案为：12:7．【点拨】本题考查一次函数函数的应用，利用数形结合的思想解等是解题关键．6．C【分析】根据0x =时对应的y 轴数轴判断①；利用待定系数法求2小时后货车离C 站的路程y 与行驶时间x 的函数关系式，判断②；将客车与货车y 与行驶时间x 的函数关系式联立，求出相遇时间，进而判断③；分相遇前相遇后距20千米两种情况，求出对应时间，判断④．解：由函数图象可得A ，B 两地相距：36060420+=（千米），故①正确；设2小时后货车离C 站的路程y 与行驶时间x 的函数关系式为：1y kx b =+，由图可知，货车的速度为：60230÷=（千米/小时），客车的速度为：360660÷=（千米/小时），∴货车到达A 站的时间为：4203014÷=（小时），∴点P 的坐标为()14,360，将()14,360和()2,0代入1y kx b =+，得2014360k b k b +=⎧⎨+=⎩，解得3060k b =⎧⎨=-⎩，∴13060y x =-，故②正确；设客车离C 站的路程y 与行驶时间x 的函数关系式为：2y mx n =+，将()0,360和()6,0代入2y mx n =+，得36060b m b =⎧⎨+=⎩，解得60360m b =-⎧⎨=⎩，∴260360y x =-+，将260360y x =-+与13060y x =-联立，得603603060y x y x =-+⎧⎨=-⎩，解得14380x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩，∴客车与货车相遇时距离B 地：()1442036061403-⨯÷=（千米），故③错误；设两车出发t 小时后相距20千米，当客车与货车相遇前相距20千米时，()()404202030609t =-÷+=（小时），当客车与货车相遇后相距20千米时，()()444202030609t =+÷+=（小时），故④正确；综上可知，正确的有①②④，故选C ．【点拨】本题考查一次函数的实际应用，解题的关键是看懂函数图象，能够用待定系数法求一次函数解析式．7．A【分析】利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点B ，C 的坐标，结合点D 为线段BC 的中点可求出点D 的坐标，作点D 关于y 轴的对称点D ¢，连接D E '，交y 轴于点P ，此时PDE △的周长最小，由点D ，D ¢关于y 轴对称可得出点D ¢的坐标，由点D ¢，E 的坐标，利用待定系数法可求出直线D E '的解析式，再利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点P 的坐标．解：直线443y x =-+，当0x =时，4y =，∴点C 的坐标为()0,4；当0y =时，4403x -+=，解得：3x =，∴点B 的坐标为()3,0．又∵点D 为线段BC 的中点，∴点D 的坐标为3,22⎛⎫ ⎪⎝⎭．作点D 关于y 轴的对称点D ¢，连接D E '，交y 轴于点P ，而()2,0E ，∴DE 为定值，∴此时PED V 的周长最小，如图所示．∵点D ，D ¢关于y 轴对称，∴点D ¢的坐标为3,22⎛⎫- ⎪⎝⎭．设直线D E '的解析式为y kx b =+，∴20322k b k b +=⎧⎪⎨-+=⎪⎩，解得：4787k b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴直线D E '的解析式为4877y x =-+．当0x =时，87y =，∴当PED V 的周长最小时，点P 的坐标为80,7⎛⎫ ⎪⎝⎭．故选：A ．【点拨】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求一次函数解析式以及轴对称-最短路线问题，利用两点之间线段最短，找出点P 的位置是解题的关键．8．C【分析】利用待定系数法求出直线l 的解析式，然后求出点A 、P 的坐标，再分90AMP ∠=︒和90APM ∠=︒两种情况，分别画出图形进行求解即可．解：将()0,4B 代入直线:l y x m =-+得：4m =，∴直线:4l y x =-+，令0y =，即40x -+=，解得：4x =，则A 点坐标为()4,0，将(),5P n 代入4y x =-+，得：54n =-+，解得：1n =-，∴P 点坐标为()1,5-，①如图，当90AMP ∠=︒时，则PM x ⊥轴，∴()1,0M -；②如图，当90APM ∠=︒时，过点P 作PN x ⊥轴于N ，则()1,0N -，∵()4,0A ，()0,4B ，∴AOB 为等腰直角三角形，∴45BAO ∠=︒，∴ AMP 为等腰直角三角形，∵()415AN =--=，∴5MN AN ==，∴()6,0M -，综上，当以A ，P ，M 为顶点的三角形是直角三角形时，点M 的坐标为()1,0-或()6,0-，故选：C ．【点拨】本题考查了一次函数与几何综合，熟练掌握待定系数法，正确分类讨论是解题的关键．9．C【分析】根据函数图象得出4=AD ，43AE =，2CE AF ==，5BF =，利用勾股定理求出8DE =，利用面积法求出23AG =，最后利用三角形面积公式求解即可．解：如图，分别过点A ，C 作直线l 的平行线AE ，CF ，分别交CE 、AB 与点E ，F ，根据函数图象可知，4=AD ，AE =，2CE AF ==，5BF =，∵l AD ⊥，AE l∥∴AE AD ⊥．∴8DE ==，当5x =时，541EQ AP ==-=，∴819DQ DE EQ =+=+=，过点A 作AG CD ⊥与点G ，∴1122ADE S DE AG AD AE =⋅=⋅△，即84AG =⨯∴AG =，∴11922DPQ S DQ AG =⋅=⨯⨯△．故选：C ．【点拨】本题主要考查的是动点问题的函数图象，涉及勾股定理，解题的关键是理解题意，读懂函数图象，明确图象中关键点所代表的实际意义，理解动点的完整过程．10．A【分析】先分别用x 表示出半份餐的总费用和整份餐的总费用，然后求和即可解答．解：∵半份餐订x 份（0<x ≤200）∴订半份餐的总费用为5x ，订整份餐的份数为200-x∴订整份餐的总分用为10（200-x ）∴y 与x 之间的函数关系式为y =5x +10（200-x ），整理得：52000y x =-+．故选A ．【点拨】本题主要考查了列函数关系式，认真审题、弄清量与量之间的关系是解答本题的关键．11．x ＞300【分析】根据题意首先将已知点的坐标代入一次函数的解析式求得k 值，然后确定两函数图象的交点坐标，从而确定x 的取值范围.解：由题设可得不等式kx ＋30＜15x .∵y 1＝kx ＋30经过点（500，80），∴k ＝110，∴y 1＝110x ＋30，y 2＝15x ，解得：x ＝300，y ＝60.∴两直线的交点坐标为（300，60），∴当x ＞300时不等式kx ＋30＜15x 中x 成立，故答案为：x ＞300.【点拨】本题考查的是用一次函数解决实际问题．注意利用一次函数求最值时，关键是应用一次函数的性质；即由函数y 随x 的变化，结合自变量的取值范围确定最值．12．44【分析】根据函数图象中的数据，可以求得超出10吨水时，每吨水的价格，从而可以计算出某户居民4月份用水20吨，则应交水费多少元．解：由图象可知，超出10吨的部分，每吨水的价格是（31-18）÷（15-10）=2.6（元），当用水20吨时，应交水费：18+（20-10）×2.6=44（元），故答案为：44．【点拨】本题考查了一次函数的应用，解题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．13．24001248【分析】设日销售量y 与上市时间t 之间的函数关系式为()0y kt k =≠，把()3060，代入得6030k =，解得2k =，则()2030y t t =<≤，再求出4w t b =+的b 值，然后把26t =代入算得48024w t =-=，根据日销售利润＝单件产品的利润×销售量进行计算即可．解：由题图①知，当天数30t =天时，市场日销售量达到最大60件，由题图②知，当天数30t =天时，每件产品销售利润达到最大40元，所以当天数30t =天时，市场的日销售利润最大，最大利润为2400元；设日销售量y 与上市时间t 之间的函数关系式为()0y kt k =≠，把()3060，代入得6030k =，解得2k =，∴日销售量y 与上市时间t 之间的函数关系式为()2030y t t =<≤，将点()3040，代人4w t b =+，解得80b =-，所以当2530t ≤≤时，单件产品的销售利润w 与t 之间的函数关系式为()4802530w t t =-≤≤，当26t =时，48024w t =-=，将26t =时252y t ==，∴此时日销售利润为52241248⨯=（元）．故答案为：2400，1248．【点拨】本题考查一次函数的应用，关键是读懂图中信息，利用函数的性质进行解答．14．6000【分析】设该公司当月零售这种农产品m 箱，则批发这种农产品()800m -箱，该公司获得利润为y 元，进而得到y 关于m 的函数关系式，利用一次函数的性质，即可求解．解：设该公司当月零售这种农产品m 箱，则批发这种农产品()800m -箱，依题意得：0300m <≤，设该公司获得利润为y 元，依题意得：()106800y m m =+-，即44800y m =+，∵40>，y 随着m 的增大而增大，∴当300m =时，y 取最大值，此时430048006000y =⨯+=（元），答：该公司要经营800箱这种农产品，最大利润是6000元．故答案为：6000．【点拨】本题主要考查了一次函数的应用，根据题意列出函数表达式，熟练掌握函数性质根据自变量取值范围确定函数值是解决问题的关键．15．300【分析】根据线段BC 表示修车后行驶情况，5分钟行驶了1500米，即可求出行驶速度．解：根据线段BC 表示修车后行驶情况，5分钟行驶了1500米，故速度为：15005300÷=（米/秒），故答案为：300．【点拨】此题考查一次函数及其图象的应用，同学们要注意分析其中的“关键点”，还要善于分析各图象的变化趋势，能够从图象中获取相关信息是关键.16．①②/②①【分析】①由图象可知A ，B 两地的距离；②由图象可以得到甲乙两车行驶的时间和路程，从而可以求得它们各自的速度；③④根据图象可以分别设出甲乙两车对应的函数解析式并求出它们各自的函数解析式，联立方程组即可解答本题．解：由图象可知，A ，B 两地的距离是400千米，故①正确；由图象可知，甲车行驶4小时，行驶的路程是400千米，故甲车的速度是：4004100÷=千米/时，乙车行驶5个小时，行驶的路程是400千米，故乙车的速度是：400580÷=千米/时，故②正确；设乙车行驶的路程在坐标系中的对应的函数解析式是：y kx b =+，点()0,400，()5,0在y kx b =+上，40050b k b =⎧∴⎨+=⎩，解得80k =-，400b =．即80400y x =-+，设甲车行驶的路程在坐标系中的对应的函数解析式是：y mx n =+，点()1,0，()5,400在y mx n =+上，05400m n m n +=⎧∴⎨+=⎩，解得100m =，100n =-，即100100y x =-，解方程组80400100100y x y x =-+⎧⎨=-⎩，得25916009x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，2516199∴-=，即甲车出发169小时与乙车相遇，甲乙两车相遇时距离A 地16009千米，故③④错误．故答案为：①②．【点拨】本题考查函数的图象和一次函数的应用，解题的关键是明确题意，由数形结合的思想入手，找出所求问题需要的条件．17．125【分析】根据直线解析式求出点A 、B 的坐标，再根据勾股定理求出AB 的长度，根据点到直线的所有线段中，垂线段最短，利用三角形的面积列式即可求解．解：当0x =时，3y =，当0y =时，3304y x =-+=，解得4x =，∴点A 、B 的坐标是()03A ，，()40B ，，∴AB =5=，根据垂线段最短的性质，OP AB ⊥时，OP 最短，如点P '所示此时，1122AOB S OA OB AB OP '=⨯⨯=⨯⨯ ，即1134522OP '⨯⨯=⨯⨯，解得125OP '=，即min 125OP =．故答案为：125．【点拨】本题综合考查了一次函数的问题，主要利用勾股定理，垂线段最短的性质，根据直线解析式求出点A 、B 的坐标是解题的关键．18．132y x =-+【分析】首先求出点A 、B 的坐标，可得1OA =，3OB =，然后作CE x ⊥轴于E ，证明()AAS BOA AEC ≌ ，可得3AE BO ==，1CE OA ==，求出点C 坐标，利用待定系数法可得答案．解：在一次函数33y x =-+中，当0x =时，3y =；当0y =，即330x -+=时，解得：1x =，∴()1,0A ，()0,3B ，∴1OA =，3OB =，如图，作CE x ⊥轴于E，由等腰Rt ABC △可得BA AC =，90BAC ∠=︒，∴90BAO EAC ∠+∠=︒，∵90EAC ACE ∠+∠=︒，∴BAO ACE ∠=∠，又∵90BOA AEC ∠=∠=︒，∴()AAS BOA AEC ≌ ，∴3AE BO ==，1CE OA ==，∴4OE OA AE =+=，∴()4,1C ，设直线BC 的表达式为()0y kx b k =+≠，代入()0,3B ，()4,1C 得：341b k b =⎧⎨+=⎩，解得：123k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，∴直线BC 的表达式为132y x =-+，故答案为：132y x =-+．【点拨】本题考查了一次函数的图象和性质，全等三角形的判定和性质，待定系数法的应用，作出合适的辅助线，证明三角形全等，求出点C 坐标是解题的关键．19．1或3【分析】联立两个函数，用含k 的代数式表示出x 、y ，再根据x 、y 均为整数，找出符合条件的k 值即可．解：联立21y x y kx k =+⎧⎨=+⎩，解得：111222122k x k k k y k k -⎧==-+⎪⎪--⎨⎪==-+⎪--⎩， 函数21y x =+与y kx k =+的图像的交点是整数点，x ∴、y 均为整数，∴当1k =、3时，x 、y 均为整数，符合题意，故答案为：1或3．【点拨】本题考查了一次函数的交点问题，正确表示出x 、y ，并找出符合条件的k 值是解题关键．20．1016y x =+【分析】根据题意，可以分别写出01x ≤＜和1x ＞时，y 与x 之间的函数关系式．解：当01x ≤＜时，20626y =+=，当1x ＞时，()261011016y x x =+-=+，∴y 与x 之间的函数关系式为：1016y x =+．故答案为：1016y x =+．【点拨】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质解答．21．（1）方案一：1854y x =+；方案二：14.486.4y x =+；（2）当9x =时，两种方案一样多；当39≤<x 时，方案一更优惠；当9x >时，方案二更优惠；（3）学生人数为14人【分析】（1）根据题意可直接进行求解；（2）由（1）中函数关系式及一次函数的性质可进行求解；（3）由（2）可进行求解．（1）解：方案一：()133636318542y x x =⨯+⨯-=+；方案二：13363680%14.486.42y x x ⎛⎫=⨯+⨯⨯=+ ⎪⎝⎭；（2）解：由（1）可知：当两种方案的费用一样多时，则有：185414.486.4x x +=+，解得：9x =，∴当9x =时，两种方案一样多；当39≤<x 时，方案一更优惠；当9x >时，方案二更优惠；（3）解：由（2）可知：当学生人数为9人时，方案一和方案二的费用一样多，费用即为18954216⨯+=（元），∵288216>，∴应选择方案二更优惠，∴14.486.4288x +=，解得：14x =；答：学生人数为14人．【点拨】本题主要考查一次函数的应用，熟练掌握一次函数的性质是解题的关键．22．（1）2；3；（2）4；（3）1y x =，2122y x =+；（4）122w x =-，当销售量x 是14台时，每天的利润达到5万元【分析】（1）根据函数图象中的数据，可以解答本题；（2）根据函数图象中的数据，可以写出一天销售多少台时，销售额等于销售成本；（3）根据函数图象中的数据，可以求出1l 和2l 对应的函数表达式；（4）根据题意和（3）中的结果，可以写出利润w 与销售量x 之间的函数表达式，并求出当销售量x 是多少时，每天的利润达到5万元．（1）解：由图象可以得出：当销售量2x =时，销售额=2万元，销售成本=3万元；故答案为：2，3；（2）解：由图象可以得出：一天销售4台时，销售额等于销售成本；故答案为：4；（3）解：设1l 的对应表达式为11y k x =将(4,4)代入，得，144k =解得11k =，即1l 对应的表达式为1y x =，设1l 对应的表达式为11y k x b =+，将(0,2)，(4,4)分别代入21y b k x =+，2b =，解得212k =．即1l 对应的表达式为122y x =+．（4）解：由题意可得，利润w 与销售量x 之间的函数，。

北师大版八年级上册期末点对点攻关：一次函数应用（图像类）（二）1．弹簧的长度与所挂物体的质量的关系为一次函数，如图所示，由此图可知不挂物体时弹簧的长度为（）A．7cm B．8cm C．9cm D．10cm2．如图，图象l甲，l乙分别表示甲，乙两名运动员在校运动会800米比赛中所跑的路程s （米）与时间t（分）之间的关系，则他们跑的速度关系是（）A．甲跑的速度比乙跑的速度快B．乙跑的速度比甲跑的速度快C．甲，乙两人跑的速度一样快D．图中提供的信息不足，无法判断3．为了鼓励节约用水，按以下规定收取水费：（1）每户每月用水量不超过20立方米，则每立方米水费1.8元；（2）若每户每月用水量超过20立方米，则超过部分每立方米水费3元，设某户一个月所交水费为y（元），用水量为x（立方米），则y与x的函数关系用图象表示为（）A．B．C．D．4．一根蜡烛长20cm，点燃后每小时燃烧5cm，燃烧时剩下的长度为y（cm）与燃烧时间x（小时）的函数关系用图象表示为下图中的（）A．B．C．D．5．一件工作，甲、乙两人合做5小时后，甲被调走，剩余的部分由乙继续完成，设这件工作的全部工作量为1，工作量与工作时间之间的函数关系如图所示，那么甲、乙两人单独完成这件工作，下列说法正确的是（）A．甲的效率高B．乙的效率高C．两人的效率相等D．两人的效率不能确定6．如图，是甲、乙两家商店销售同一种产品的销售价y（元）与销售量x（件）之间的函数图象．下列说法：①售2件时甲、乙两家售价一样；②买1件时买乙家的合算；③买3件时买甲家的合算；④买乙家的1件售价约为3元，其中正确的说法是（）A．①②B．②③④C．②③D．①②③7．在西部大开发中，为了改善生态环境，鄂西政府决定绿化荒地，计划第1年先植树1.5万亩，以后每年比上一年增加1万亩，结果植树总数是时间（年）的一次函数，则这个一次函数的图象是（）A．B．C．D．8．甲、乙两个工程队分别同时开挖两段河渠，所挖河渠的长度y（米）与挖掘时间x（小时）之间的关系如图所示，请根据图象判断下列信息正确的有（）①乙队开挖到30米，用了2小时．②开挖6小时甲队比乙队多挖了10米．③甲队在0≤x≤6的时段内，y与x的函数关系式为y＝x．④当x＝4时，甲乙两队在施工过程中所挖河渠的长度相等．A．1个B．2个C．3个D．4个9．一辆汽车和一辆摩托车分别从A，B两地去C地，它们离A地的路程随时间变化的图象如图所示．则当汽车到达C地时，摩托车距离C地的路程为（）A．140km B．40km C．60km D．45km10．一辆客车从甲地开往乙地，一辆出租车从乙地开往甲地，两车同时出发，两车距甲地的距离y千米与行驶时间x小时之间的函数图象如图所示，则下列说法中错误的是（）A．客车比出租车晚4小时到达目的地B．客车速度为60千米/时，出租车速度为100千米/时C．两车出发后3.75小时相遇D．两车相遇时客车距乙地还有225千米11．李老师开车从甲地到相距240千米的乙地，如果油箱剩余油量y（升）与行驶里程x（千米）之间是一次函数关系，其图象如图，那么到达乙地时油箱剩余油量是（）升．A．10 B．15 C．20 D．2512．甲、乙两车同时从A地出发，以各自的速度匀速向B地行驶，甲车先到达B地后，立即按原路以相同速度匀速返回（停留时间不作考虑），直到两车相遇，若甲、乙两车之间的距离y（千米）与两车行驶的时间x（小时）之间的函数图象如图，则A、B两地之间的距离为（）千米．A．150 B．300 C．350 D．45013．一条笔直的公路上有A、B、C三地，B、C两地相距150千米，甲、乙两辆汽车分别以B、C两地同时出发，沿公路匀速相向而行，分别驶往C、B两地．甲、乙两车到A 地的距离y1、y2（千米）与行驶时间x（时）的关系如图．下列结论：①甲、乙速度相差15km/h；②甲、乙到达目的地的时间刚好间隔半小时；③当行驶时间t＝2或小时时，两车距A地距离相等，其中正确的结论有（）A．①B．②C．③D．①②③14．如图是一对变量x与y满足的函数图象，有下列3个不同的问题情境：①小明骑车以400米/分种的速度匀速骑了5分钟．在原地休息了5分钟．然后以500米/分钟的速度匀速骑回出发地．设时间为x分钟．离出发地的距离为y千米：②有一个容积为6升的开口空桶．小亮以1.2升/分种的速度匀越向这个空桶注水．注5分钟后停止．等4分钟后，再以2升/分钟的速度匀速倒空桶中的水．设时间为x分钟，桶内的水量为y升；③矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，动点P从点A出发，依次沿对角线AC、边CD、边DA运动至点A停止，设点P的运动路程为x，当点P与点A不重合时，y＝S△ABP；当点P与点A重合时，y＝0．其中，符合图中所示函数的关系的问题情境的个数为（）A．0 B．1 C．2 D．315．甲、乙两车分别从相距480km的A、B两地相向而行，乙车比甲车先出发1小时，并以各自的速度匀速行驶，途径C地，甲车到达C地停留1小时，因有事按原速返回A 地，乙车从B地直达A地，两车同时到达A地．甲、乙两车距各自出发地的路程y（千米）与甲车出发所用的时间x（小时）的关系如图，则下列说法中正确的个数为（）①乙车的速度是60千米/时；②t的值为3③当乙车出发160分钟时，两车第一次相距120千米；④当乙车出发360分钟时，两车相距120千米．A．1个B．2个C．3个D．4个16．一辆客车从甲地开往乙地，一辆出租车从乙地开往甲地，两车同时出发，设客车离甲地的距离为y1，出租车离甲地的距离为y2，客车行驶时间为x，若y1，y2与x的函数关系图象如图所示，下列四种说法：（1）y2关于x的函数关系式为y2＝60x（x≥0）．（2）行驶3.75小时，两车相遇．（3）出租车到达甲地时，两车相距最远．（4）出租车的速度是客车速度的1.5倍．其中一定正确的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个17．小明和小亮晨练跑步，小明比小亮早1分钟离开家门，3分钟后迎面遇到从家跑来的小亮，两人并行跑了2分钟后，决定进行长跑比赛，比赛时小明的速度始终是180米/分，小亮以大于小明的速度匀速跑．如图是两人间的距离y（米）与小明离开家的时间x（分钟）之间的函数图象，则下列说法中正确的个数是（）①小明比赛前的速度为100米/分；②小亮比赛前的速度是120米/分；③比赛时小亮的速度一定是220米/分；④小明出发或分钟时，两人相距110米．A．1个B．2个C．3个D．4个18．有两段长度相等的路面铺设任务，分别交给甲、乙两个施工队同时进行施工，甲、乙两个施工队铺设路面的长度y（米）与施工时间x（时）之间的函数关系的部分图象如图所示，下列四种说法：①施工6小时，甲队比乙队多施工了10米；②施工4小时，甲、乙两队施工的长度相同；③施工5小时，甲乙两队共完成路面铺设任务95米；④如果甲队在施工6小时后继续保持原来施工速度，且又经过5个小时完成铺设任务，乙队在施工50米后，恢复其前30米时的施工速度，结果两队同时完成了铺设任务，其中正确的是（）A．1个B．2个C．3个D．4个19．甲、乙两组工人同时加工某种零件，乙组在工作中有一次停产更换设备，之后乙组的工作效率是原来的1.2倍，甲、乙两组加工出的零件合在一起装箱，每200件装一箱，零件装箱的时间忽略不计，两组各自加工零件的数量y（件）与时间x（时）的函数图象如图，以下说法错误的是（）A．甲组加工零件数量y与时间x的关系式为y甲＝40xB．乙组加工零件总量m＝280C．经过2小时恰好装满第1箱D．经过4小时恰好装满第2箱20．李大爷以每千克2.1元的价格批发了一批南瓜到镇上出售，为了方便，他带了一些零钱备用，他先按市场价售出一些后，由于滞销，然后他每千克降低1.6元将剩余部分全部售出．他手中持有的钱数y元（含备用零钱）与售出南瓜千克数x的关系如图所示，下列说法中正确的有（）①李大爷自带的零钱是50元②降价前他每千克南瓜出售的价格是4.1元③这批南瓜一共有160千克④李大爷销售这批南瓜一共赚了194元A．1个B．2个C．3个D．4个参考答案1．解：由题意可得，解得，．故选：D．2．解：任取一时刻，路程越大，表明速度越快，或者根据图象的倾斜程度判断，倾斜程度越大表示速度变化越快，故A甲跑的速度比乙跑的速度快．故选：A．3．解：依题意得用水20立方米内是一次函数，20立方米外也是一次函数，但是20立方米外变化越来越明显，所以D正确．故选：D．4．解：蜡烛剩下的长度随时间增长而缩短，根据实际意义不可能是D，更不可能是A、C．故选：B．5．解：由后段易求乙的工作效率是，再根据前段合做5小时完成，可求甲的工作效率是，大于乙的工作效率．故选A．6．解：如图，甲乙在x＝2时相交，故售2件时两家售价一样．①对．买1件时乙的价格比甲的价格低．②对．买3件时甲的销售价比乙低，③对．买乙家的1件售价约为1元，④错．故选：D．7．解：根据题意：计划第1年先植树1.5万亩，即函数图象左端点为（1，1.5）．以后每年比上一年增加1万亩，即第二年的植树量为2.5万亩，即x＝2时，y＝2.5．故选：B．8．解：①由函数图象可以得出乙队开挖到30米，用了2小时，故正确；②由函数图象可以得出开挖6小时甲队比乙队多挖了10米，故正确；③当0≤x≤6时，设甲队所挖河渠的长度y（米）与挖掘时间x（小时）之间的关系为y ＝kx，由题意，得60＝6k，∴k＝10，∴y＝10x．故错误；④当2≤x≤6时，设乙队所挖河渠的长度y（米）与挖掘时间x（小时）之间的关系为y1＝k1x+b，由题意，得，解得：，∴y1＝5x+20．当x＝4时，y1＝40，y＝40，∴y1＝y，∴当x＝4时，甲乙两队在施工过程中所挖河渠的长度相等，故正确．综上所述：正确的有①②④共3个．故选：C．9．解：设摩托车走的路程y与时间x之间的函数关系式为y＝kx+b，由题意，得，解得：，则y＝40x+20．当x＝3时，y＝40×3+20＝140．摩托车距离C地的路程为：180﹣140＝40km．故选：B．10．解：（1）∵客车行驶了10小时，出租车行驶了6小时，∴客车比出租车晚4小时到达目的地，故A正确；（2）∵客车行驶了10小时，出租车行驶了6小时，∴客车速度为60千米/时，出租车速度为100千米/时，故B正确；（3）∵设出租车行驶时间为x，距离目的地距离为y，则y＝﹣100x+600，设客车行驶时间为x，距离目的地距离为y，则y＝60x；当两车相遇时即60x＝﹣100x+600时，x＝3.75h，故C正确；∵3.75小时客车行驶了60×3.75＝225千米，∴距离乙地600﹣225＝375千米，故D错误；故选：D．11．解：设y与x之间的函数关系式为y＝kx+b，由函数图象，得，解得：，则y＝﹣x+35．当x＝240时，y＝﹣×240+35＝20升．故选：C．12．解：设甲乙两车的速度分别为x千米/时、y千米/时，由题意得，，解方程组得，所以，A、B两地之间的距离＝90×5＝450千米．故选：D．13．解：①由函数图象，得甲的速度为：60÷1＝60km/h，乙的速度为：150÷2＝75km/h，甲、乙速度相差为：75﹣60＝15km/h，故①正确；②甲到达目的地的时间为：150÷60＝2.5，乙到达目的地的时间为：2小时，甲、乙到达目的地的时间刚好间隔0.5小时．故②正确；③由题意，得2小时是甲离A地的距离为：60×2﹣60＝60km，乙离A地的距离为：150﹣90＝60km，∵60＝60，∴行驶时间t＝2小时时，两车距A地距离相等；小时时甲离A地的距离为：60×﹣60＝6km，乙离A地的距离为：90﹣75×＝6km．∵6＝6，∴行驶时间t＝小时时，两车距A地距离相等；∴当行驶时间t＝2或小时时，两车距A地距离不相等，故③正确．故选：D．14．解：①小明骑车以400米/分的速度匀速骑了5分，所走路程为2000米，故①与图象不符合；②小亮以1.2升/分的速度匀速向这个空桶注水，注5分后停止，注水量为：1.2×5＝6升，等4分钟，这段时间水量不变；再以2升/分的速度匀速倒空桶中的水，则3分钟后水量为0，故②符合函数图象；③如图所示：当点P在AC上运动时，S△ABP的面积一直增加，当点P运动到点C时，S△ABP＝6，这段时间为5；当点P在CD上运动时，S△ABP不变，这段时间为4；当点P在DA上运动时，S△ABP减小，这段时间为3，故③符合函数图象；综上可得符合图中所示函数关系的问题情境的个数为2．故选：C．15．解：由图可知，乙车的速度为：60÷1＝60千米/时，故①正确；由题意可得，t＝，故②正确；由题意可得，乙车出发160分钟时，甲车出发160﹣60＝100分钟，故此时两车相距的距离为：480﹣﹣＝120千米，故③正确；当乙车出发360分钟时，甲车出发360﹣60＝300分钟，故此时两车的距离为：（7﹣）×﹣（480﹣）＝120千米，故④正确；故选：D．16．解：（1）当x＝0时，y2＝60×0＝0，与图象不符，（1）不正确；（2）出租车的速度为：600÷6＝100（km/h）；客车的速度为：600÷10＝60（km/h）．两车相遇的时间为：600÷（100+60）＝＝3.75（h），∴（2）正确；（3）由函数图象可知：当x＝0时，两车距离最远，∴（3）不正确；（4）由（2）可知：出租车的速度是客车速度的100÷60＝，∵≠1.5，∴（4）不正确．综上可知正确的结论只有一个．故选：A．17．解：①小明比赛前的速度：（540﹣440）÷1＝100（米/分），①正确；②小亮比赛前的速度：440÷（3﹣1）﹣100＝120（米/分），②正确；③比赛时小亮的速度：80÷（7﹣5）+180＝220（米/分），③正确；④设两人间的距离y（米）与小明离开家的时间x（分钟）之间的函数关系式为y＝kx+b，当1≤x≤3时，有，解得：，∴此时y＝﹣220x+660；当x≥5时，有，解得：，∴此时y＝40x﹣200．令y＝110，即﹣220x+660＝110或40x﹣200＝110，解得：x＝或x＝，④正确．综上可知正确的说法有4个．故选：D．18．解：①施工6小时，甲队比乙队多施工了60﹣50＝10米，正确；设甲队在0≤x≤6的时段内y与x之间的函数关系式y＝k1x，由图可知，函数图象过点（6，60），∴6k1＝60，解得k1＝10，∴y＝10x，设乙队在2≤x≤6的时段内y与x之间的函数关系式为y＝k2x+b，由图可知，函数图象过点（2，30）、（6，50），∴，解得，∴y＝5x+20，②由题意，得10x＝5x+20，解得x＝4．∴当x为4h时，甲、乙两队所挖的河渠长度相等，正确；③把x＝5代入解析式y＝10x＝50，把x＝5代入解析式y＝5x+20＝45，45+50＝95，施工5小时，甲乙两队共完成路面铺设任务95米，正确；④由题意可得：甲一共施工11小时，则路面总长度为：110m，∵乙队在施工50米，需要6小时，还剩余60m，则还需要：60÷（30÷2）＝4（小时），故乙队施工10小时，则结果两队不能同时完成铺设任务，故此选项错误．故选：C．19．解：∵图象经过原点及（6，240），设解析式为y＝kx，则6k＝240，解得k＝40，∴甲组加工零件数量y与时间x的关系式为y甲＝40x（0＜x≤6），故（A）正确；∵乙2小时加工100件，∴乙的加工速度是每小时50件，∵乙组更换设备后，乙组的工作效率是原来的1.2倍，∴乙组的工作效率是每小时加工：50×1.2＝60件，∴m＝100+60×（6﹣3）＝280，故（B）正确；乙组更换设备后，乙组加工的零件的个数y与时间x的函数关系式为：y＝100+60（x﹣3）＝60x﹣80，当0≤x≤2时，40x+50x＝200，解得：x＝（不合题意）；当2＜x≤3时，100+40x＝200，解得：x＝（符合题意）；∴经过2小时恰好装满第1箱，故（C）正确；∵当3＜x≤6时，40x+（60x﹣80）＝200×2，解得x＝4.8（符合题意）；∴经过4.8小时恰好装满第2箱，故（D）错误．故选：D．20．解：由图象可得，李大爷自带的零钱是50元，故①正确，降价前他每干克南瓜出售的价格是（410﹣50）÷100＝3.6元，故②错误，这批南瓜一共有：100+（530﹣410）÷（3.6﹣1.6）＝160千克，故③正确，李大爷销售这批南瓜一共赚了：530﹣160×2.1﹣50＝144（元），故④错误，故选：B．21/ 21。

专题4.11一次函数的图象（知识梳理与考点分类讲解）【知识点1】一次函数的图象一次函数的图象：一次函数(0)y kx b k =+≠的图象是一条恒经过点(0,)b 和(,0)b k-的直线.【知识点2】一次函数图象和性质y =kx +b 图像经过象限升降趋势增减性k ＞0，b ＞0一、二、三从左向右上升y 随着x 的增大而增大k ＞0，b ＜0一、三、四k ＜0，b ＞0一、二、四从左向右下降y 随着x 的增大而减小k ＜0，b ＜0二、三、四【知识点3】一次函数的图象与k、b 之间的联系①b 决定直线与y 轴的交点位置0b >时，直线交y 轴于正半轴；0b <时，直线交y 轴于负半轴；0b =时，直线经过原点.②0k >⇔直线上坡，y 随x 的增大而增大；0k <⇔直线下坡，y 随x 的增大而减小.③k 越大，直线越陡.【知识点4】确定一次函数表达式（1）待定系数法步骤：设：设函数表达式为(0)y kx b k =+≠；代：将已知点的坐标代入函数表达式，解方程或方程组；解：求出k 与b 的值，得到函数表达式．（2）常见类型①已知两点确定表达式；②已知两对函数对应值确定表达式；③平移转化型：如已知函数是由y=2x 平移所得到的，且经过点（0,1），则可设要求函数的解析式为y =2x +b ，再把点（0,1）的坐标代入即可.【知识点5】图象的平移一次函数y kx b =+向左平移m 个单位后的解析式为()y k x m b =++；一次函数y kx b =+向右平移m 个单位后的解析式为()y k x m b =-+；一次函数y kx b =+向上平移m 个单位后的解析式为y kx b m =++；一次函数y kx b =+向上平移m 个单位后的解析式为y kx b m =+-.平移规律：左加右减，上加下减.【知识点6】两条直线间的位置关系设直线111:l y k x b =+，222:l y k x b =+.(1)12k k ≠⇔相交；（2）1212k k b b =⎧⇔⎨≠⎩平行；（3）121k k =-⇔ 垂直.补充：若直线y kx b =+经过11(,)A x y ，22(,)B x y 12()x x ≠两点，则1212y y k x x -=-.【考点一】一次函数的图象及其位置【例1】（2022秋·陕西西安·八年级校考期中）已知一次函数(21)2y a x a =-+-（a 为常数）．（1）若这个函数的图象经过原点，求a 的值；（2）若1a =，直接写出这个函数图象经过的象限．【答案】（1）2a =；（2）当1a =时，函数图象经过一、三、四象限【分析】（1）y kx b =+经过原点则0b =，据此求解；（2）把1a =代入(21)2y a x a =-+-，得1y x =-，根据10k =>，10b =-<即可得出结论．（1）解：因为(21)2y a x a =-+-经过原点，所以20a -=，解得2a =．（2）解：当1a =时，则(21)21y a x a x =-+-=-∵10k =>，10b =-<，∴函数图象经过一、三、四象限．【点拨】本题考查了一次函数的图象性质，掌握一次函数的图象性质是解答本题的关键，难度不大．【举一反三】【变式1】（2023春·四川德阳·八年级统考阶段练习）在同一平面直角坐标系中，函数y kx b =-与y bx k =+的图像不可能是（）A ．B ．C ．D ．【答案】C【分析】分四种情况，根据k 、b 的符号，确定一次函数经过的象限，结合函数图象与选项进行判断即可．解：当0k >，0b >时，对于y kx b =-，图像经过第一，三，四象限，则y bx k =+经过一，二，三象限，则选项D 符合题意；当0k >，0b <时，对于y kx b =-，图像经过第一，二，三象限，则y bx k =+经过一，二，四象限，题目中没有符合的；当0k <，0b >时，对于y kx b =-，图像经过第二，三，四象限，则y bx k =+经过一，三，四象限，则选项B 符合题意；；当0k <，0b <时，对于y kx b =-，图像经过第一，二，四象限，则y bx k =+经过二，三，四象限，则选项A 符合题意；．故选：C ．【点拨】此题主要考查了一次函数的性质与图像，正确记忆一次函数图像经过象限与系数关系是解题关键．【变式2】（2023春·山东菏泽·八年级统考期末）已知一次函数2y x b =+的图象经过第一、三、四象限，则函数y bx b =-的图象经过的象限是．【答案】一、二、四【分析】先根据一次函数2y x b =+的图象经过第一、三、四象限判断b 的取值范围，再判断函数y bx b =-的图象经过的象限．解：∵一次函数2y x b =+的图象经过第一、三、四象限，∴0b <，0b ->，∴函数y bx b =-的图象经过一、二、四象限．故答案为：一、二、四．【点拨】本题考查了一次函数的图象与性质，对于一次函数y kx b =+（k 为常数，0k ≠），当0k >时，y 随x 的增大而增大；当0k <时，y 随x 的增大而减小．当0b >，图象与y 轴的正半轴相交，当0b <，图象与y 轴的负半轴相交，当0b =，图象经过原点．【考点二】一次函数与坐标轴交点【例2】（2023春·陕西商洛·八年级校考期末）如图，直线22y x =-+与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ．（1）求点A ，B 的坐标．（2）若点C 在x 轴上，且2ABC AOB S S = ，求点C 的坐标．【答案】（1）(0,2)B ，(1,0)A ；（2）(3,0)或(1,0)-【分析】（1）当0x =时求解y 的值及当0y =时求解x 的值即可求解．（2）由（1）得2OB =，1OA =，根据2ABC AOB S S = 可得22AC OA ==，进而可求解．（1）解：当0x =时，2y =，∴点B 的坐标为：(0,2)，当0y =时，1x =，∴点A 的坐标为：(1,0)．（2）由（1）得：2OB =，1OA =，则：11222OA OB AC OB ⨯⋅=⋅，即：22AC OA ==，∴点C 的坐标为：(3,0)或(1,0)-．【点拨】本题考查了一次函数的图象，熟练掌握一次函数的图象是解题的关键．【举一反三】【变式1】（2022秋·陕西西安·八年级校考期中）如图，在同一平面直角坐标系中，一次函数()11110y k x b k =+≠与()22220y k x b k =+≠的图象分别为直线1l 和直线2l ，下列结论正确的是（）A ．120k k > B ．120k k ->C ．120b b +<D ．12·0b b >【答案】B 【分析】根据图示，可得110,0k b >>，220,0k b <<，根据不等式的性质即可求解．解：根据图示，可知一次函数()11110y k x b k =+≠中，110,0k b >>；一次函数()22220y k x b k =+≠中，220,0k b <<，∴A 、12·0k k <，故原选项错误，不符合题意；B 、∵120,0k k ><，∴120k k ->，故原选项正确，符合题意；C 、∵120,0b b ><，且12b b >，∴120b b +>，故原选项错误，不符合题意；D 、∵120,0b b ><，∴120b b < ，故原选项错误，不符合题意；故选：B ．【点拨】本题主要考查一次函数图象的性质，掌握一次函数图象的性质，不等式的性质是解题的关键．【变式2】（2023秋·四川成都·八年级校考阶段练习）如图，直线24y x =+与x 轴、y 轴交于点A 、B ，M 、N 分别是AB 、OA 的中点，点P 是y 轴上一个动点，当PM PN +的值最小时，点P 的坐标为．【答案】()0,1【分析】先求出,A B 的坐标，根据中点，得到,M N 的坐标，求出点N 关于y 轴的对称点N '的坐标，连接MN '，根据两点之间线段最短，得到MN '与y 轴的交点即为点P ，求出MN '的解析式，即可．解：∵24y x =+，当0x =时，4y =，当0y =时，2x =-，∴()()2,0,0,4A B -，∵M 、N 分别是AB 、OA 的中点，∴()()1,2,1,0M N --，∴点N 关于y 轴的对称点N '为()1,0，连接,MN PN ''，∵点P 是y 轴上一个动点，∴PM PN PM PN MN ''+=+≥，∴当,,P M N '三点共线时，PM PN +的值最小，设直线MN '的解析式为y kx b =+，则：20k b k b -+=⎧⎨+=⎩，∴11k b =-⎧⎨=⎩，∴1y x =-+，当0x =时，1y =，∴()0,1P ；故答案为：()0,1．【点拨】本题考查一次函数，坐标与轴对称．解题的关键是掌握将军饮马模型，确定点P 的位置．【考点三】一次函数图象的平移【例3】（2023春·福建福州·八年级校考期末）已知一次函数2y x =-．（1）在平面直角坐标系中，画出该函数图象；（2）把该函数图象向上平移3个单位，判断点()3,2--是否在平移后的函数图象上．【答案】（1）见分析；（2）在【分析】（1）根据函数图象与x ，y 轴的坐标交点坐标，画出图象即可；（2）根据平移的特点得出解析式，进而解答．（1）解：列表：x 20y02-过点()2,0和点()0,2-画出直线2y x =-，；（2）解：把函数2y x =-图象向上平移3个单位，得函数的解析式为1y x =+，当3x =-时，312y =-+=-，∴点()3,2--在平移后的直线上．【点拨】本题考查一次函数与几何变换，关键是根据函数图象与x ，y 轴的坐标交点画出图象．【举一反三】【变式1】（2022·陕西西安·校考模拟预测）将正比例函数y x =向上平移1个单位长度，则平移后的函数图象与一次函数3y x m =-+的图象的交点不可能在（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】D【分析】首先求得平移后的一次函数的解析式为1y x =+，根据函数1y x =+不经过第四象限，即可得出结论．解：将正比例函数y x =向上平移1个单位长度得到1y x =+，一次函数1y x =+经过第一、二、三象限，不经过第四象限，∴平移后的函数图象与一次函数3y x m =-+的图象的交点不可能在第四象限，故选：D ．【点拨】本题考查的是一次函数的性质及一次函数的图象与几何变换，熟知一次函数的性质及函数图象平移的法则是解答此题的关键．【变式2】（2023春·八年级课时练习）如图，在平面直角坐标系中，直线12125y x =-+，与y x 、轴分别相交于A B 、两点，将AOB 沿过点B 的直线折叠，使点A 落在x 轴负半轴上的点A '处，，折痕所在直线交y 轴正半轴于点C ．把直线AB 向左平移，使之经过点C ，则平移后直线的函数关系式是．【答案】121053y x =-+【分析】先求得A B 、的坐标，然后由勾股定理求出AB ，再由折叠的性质得出13A B AB '==，求得()8,0A '-，在Rt A OC '△中，根据勾股定理222A C OC A O ''=+，列出方程，解方程即可求得点C 的坐标，即可求得平移后的解析式．解：∵直线12125y x =-+，与y x 、轴分别相交于A B 、两点，令0x =，解得12y =，令0y =，解得5x =，∴()0,12A ，()5,0B ，∴125OA OB ==，，∵90AOB A OC '∠=∠=︒，∴13AB =，∴13A B AB '==，∴()8,0A '-，设OC x =，∴12A C AC x '==-，在Rt A OC '△中，222A C OC A O ''=+，即()222128x x -=+，解得103x =，∴100,3C ⎛⎫ ⎪⎝⎭，∴平移后的直线的解析式为121053y x =-+．故答案为：121053y x =-+【点拨】本题考查了勾股定理与折叠的性质，一次函数的平移，一次函数与坐标轴的交点，求得点C 的坐标是解题的关键．【考点四】一次函数图象的增减性➼➻求参数★★判断位置【例4】（2019春·广西贵港·八年级统考期末）已知一次函数(21)2y a x a =-+-.（1）若这个函数的图象经过原点，求a 的值.（2）若这个函数的图象经过一、三、四象限，求a 的取值范围.【答案】（1）2a =；（2）122a <<【分析】（1）y=kx+b 经过原点则b=0，据此求解；（2）y=kx+b 的图象经过一、三、四象限，k ＞0，b ＜0，据此列出不等式组求解即可．解：（1）由题意得，20a -=，∴2a =．（2）由题意得21020a a ->⎧⎨-<⎩，，解得122a <<，∴a 的取值范围是122a <<．【点拨】考查了一次函数的性质，了解一次函数的性质是解答本题的关键．【举一反三】【变式1】（2022·四川眉山·中考真题）一次函数(21)2y m x =-+的值随x 的增大而增大，则点(,)P m m -所在象限为（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】B【分析】根据一次函数的性质求出m 的范围，再根据每个象限点的坐标特征判断P 点所处的象限即可．解：∵一次函数(21)2y m x =-+的值随x 的增大而增大，∴210m ->解得：12m >∴(,)P m m -在第二象限故选：B【点拨】本题考查了一次函数的性质和各个象限坐标特点，能熟记一次函数的性质是解此题的关键．【变式2】（2023春·安徽池州·八年级统考开学考试）如图，平面直角坐标系中，△ABC 的顶点坐标分别是A （1，1），B （3，1），C （2，2），当直线y ＝12x ＋b 与△ABC 有交点时，b 的取值范围是．【答案】112b -≤≤【分析】将A （1，1），B （3，1），C （2，2）的坐标分别代入直线y ＝12x ＋b 中求得b 的值，再根据一次函数的增减性即可得到b 的取值范围．解：直线y ＝12x ＋b 经过点B ，将B （3，1）代入直线y ＝12x ＋b 中，可得3+=12b ，解得12b =-；直线y ＝12x ＋b 经过点A ，将A （1，1）代入直线y ＝12x ＋b 中，可得1+=12b ，解得12b =；直线y ＝12x ＋b 经过点C ，C （2，2）代入直线y ＝12x ＋b 中，可得1+=2b ，解得1b =；故b 的取值范围是112b -≤≤．故答案为：112b -≤≤【点拨】本题考查一次函数图象上的点的特征，待定系数法等知识，解题的关键是应用数形结合思想，属于中考常考题型．【考点五】一次函数图象的增减性➼➻求最值【例5】（2023春·江苏淮安·八年级统考期末）学习“一次函数”时，我们从“数”和“形”两方面研究一次函数的性质，并积累了一些经验和方法．小聪同学尝试运用积累的经验和方法对函数|1|2y x =--的图像与性质进行探究，下面是小聪同学的探究过程，请你补充完整．（1）列表：x (2)-1-01234…y…10a2-1-b1…则=a _________，b =_________．（2）描点并画出该函数的图像；（3）①请写出一条关于函数|1|2y x =--的性质：__________________；②观察函数图像，当24y <<时，x 的取值范围是_________；③观察图像，直接写出函数|1|2y x =--的最小值_________．【答案】（1）1-，0；（2）见分析；（3）①当1x >时，y 随x 的增大而增大（答案不唯一）；②53x -<<-或57x <<；③2-【分析】（1）直接将0x =、3x =分别代入函数|1|2y x =--中求解即可；（2）根据描点法画函数出图像即可；（3）①可根据图像的对称性、增减性等方面得出函数的性质即可；②根据图像的增减性可求解；③根据图像的最低点可求得该函数的最小值．（1）解：由表格知，当0x =时，0121a =--=-，当3x =时，3120b =--=，故答案为：1-，0；（2）解：根据所给表格数据，在平面直角坐标系中描点、连线，则函数|1|2y x =--图像如图所示：（3）解：①根据图像，当1x >时，y 随x 的增大而增大，或函数|1|2y x =--关于直线1x =对称，等，故答案为：当1x >时，y 随x 的增大而增大（答案不唯一）；②根据图像，当1x >时，y 随x 的增大而增大，当1x <时，y 随x 的增大而减小，当2y =时，由|1|22x --=得3x =-或5x =，当4y =时，由|1|24x --=得5x =-或7x =，∴当24y <<时，x 的取值范围是53x -<<-或57x <<，故答案为：53x -<<-或57x <<；③由图像知，当1x =时，函数|1|2y x =--取得最小值，最小值为2-，故答案为：2-．【点拨】本题考查一次函数的图像与性质，理解题意，能从函数图像得出所需信息是解答的关键．【举一反三】【变式1】（2021春·全国·八年级专题练习）设0＜k ＜2，关于x 的一次函数y=（k-2）x+2，当1≤x≤2时，y 的最小值是（）A ．2k-2B ．k-1C ．kD ．k+1【答案】A【分析】先根据0＜k ＜2判断出k-2的符号，进而判断出函数的增减性，根据1≤x≤2即可得出结论．解：∵0＜k ＜2，∴k-2＜0，∴此函数是减函数，∵1≤x≤2，∴当x=2时，y 最小=2（k-2）+2=2k-2．故选A ．【点拨】本题考查的是一次函数的性质，熟知一次函数y=kx+b （k≠0）中，当k ＜0，b ＞0时函数图象经过一、二、四象限是解答此题的关键．【变式2】（2023春·天津滨海新·八年级校考期末）已知一次函数23y x =-+，当05x ≤≤时，函数y 的最大值是．【答案】3【分析】根据20-<知道一次函数23y x =-+是单调递减函数，即y 随x 的增大而减小，代入计算即可得到答案．解：∵20-<，∴一次函数23y x =-+是单调递减函数，即y 随x 的增大而减小，∴当05x ≤≤时，在0x =时y 取得最大值，即：当05x ≤≤时，y 的最大值为：max 0(2)33y =⨯-+=，故答案为：3．【点拨】本题主要考查了一次函数的性质，一次函数y kx b =+，当0k <时y 随x 的增大而减小，0k >时，y 随x 的增大而增大；掌握一次函数的性质是解题的关键．【考点六】一次函数图象的增减性➼➻比较大小【例6】（2023春·全国·八年级专题练习）已知一次函数24y x =-+．（1）在平面直角坐标系中画出该函数的图象；（2）若3n >，点()13C n y +，，()221D n y +，都在一次函数24y x =-+的图象上，试比较1y 与2y 的大小，并说明理由．【答案】（1）见分析；（2）12y y >，理由见分析【分析】（1）求出一次函数24y x =-+图象与坐标轴的交点坐标，过这两点的直线即为该函数的图象；（2）由函数解析式可判断该函数y 随x 的增大而减小，又可判断213n n +>+，即可确定12y y >．解：（1）对于24y x =-+，当0y =时，即240x -+=，∴2x =；当0x =时，即4y =．∴函数24y x =-+的图象经过点（2，0）、（0，4）；∴函数24y x =-+的图象如图所示．（2）∵3n >，∴()()21320n n n +-+=->，∴213n n +>+．∵24y x =-+，20k =->，∴y 随x 的增大而减小．∵点()13C n y +，，()221D n y +，都在一次函数24y x =-+的图象上，∴12y y >．【点拨】本题考查画一次函数的图象，一次函数的增减性．熟练掌握一次函数的性质是解题关键．【举一反三】【变式1】（2022春·河北邯郸·八年级校考阶段练习）已知点（－2，1y ），（－1，2y ），（1，3y ）都在直线y ＝－x ＋7上，则1y ，2y ，3y 的大小关系是（）A ．1y ＞2y ＞3yB ．1y ＜2y ＜3y C ．3y ＞1y ＞2y D ．3y ＜1y ＜2y 【答案】A【分析】判断-2＜-1＜1，根据一次函数的性质，得到结论．解：∵直线y ＝－x ＋7中k =-1＜0，∴y 随x 的增大而减小，∵点（－2，1y ），（－1，2y ），（1，3y ）都在直线y ＝－x ＋7上，且-2＜-1＜1，∴1y ＞2y ＞3y ，故选A ．【点拨】本题考查了一次函数的增减性，熟练掌握性质是解题的关键．【变式2】（2023春·广东湛江·八年级校考期中）若()11,A x y ，()22,B x y 分别是一次函数45y x =-+图象上两个不相同的点，记()()1212W x x y y =--，则W0．（请用“＞”，“＝”或“＜”填写）【答案】＜【分析】根据一次函数的性质进行判断即可得到答案．解：∵一次函数45y x =-+，y 随x 增大而减小，∴当12x x <时，12y y >，∴12120,0x x y y --<>，∴()()12120W x x y y =--<，当12x x >时，12y y <，∴12120,0x x y y --><，∴()()12120W x x y y =--<，故答案为：＜．【点拨】本题考查一次函数的性质，解题的关键是熟知一次函数的图形性质．【考点七】一次函数的图象➼➻一次函数与一元一次方程【例7】（2019春·广东江门·八年级阶段练习）如图，已知直线l 1：y=2x+3，直线l 2：y=﹣x+5，直线l 1、l 2分别交x 轴于B 、C 两点，l 1、l 2相交于点A ．（1）求A 、B 、C 三点坐标；（2）求△ABC 的面积．【答案】（1）A （23，133），B （3,02-）,C （5,0）（2）16912解：（1）由题意得，令直线l 1、直线l 2中的y 为0，得：x 1=-，x 2=5，由函数图象可知，点B的坐标为（-，0），点C的坐标为（5，0），∵l1、l2相交于点A，∴解y=2x+3及y=-x+5得：x=，y=∴点A的坐标为（，）；（2）由（1）题知：|BC|=，又由函数图象可知S△ABC=×|BC|×|y A|=××=【举一反三】【变式1】（2022秋·辽宁丹东·八年级校考期中）如图所示，已知点A（﹣1，2）是一次函数y＝kx+b （k≠0）的图象上的一点，则下列判断中正确的是（）A．y随x的增大而减小B．k＞0，b＜0C．当x＜0时，y＜0D．方程kx+b＝2的解是x＝﹣1【答案】D【分析】根据一次函数的性质判断即可．解：由图象可得：A、y随x的增大而增大；B、k＞0，b＞0；C、当x＜0时，y＞0或y＜0；D、方程kx+b＝2的解是x＝﹣1，故选：D．【点拨】考查了一次函数与一元一次方程的关系，一次函数图象与系数的关系，正确的识别图象是解题的关键．【变式2】（2023秋·全国·八年级专题练习）如图，直线2y x =与=+y kx b 相交于点(,2)p m ，则关于x的方程2kx b +=的解是.【答案】=1x 【分析】首先利用函数解析式2y x =求出m 的值，然后再根据两函数图象的交点横坐标就是关于x 的方程2kx b +=的解可得答案．解： 直线2y x =与=+y kx b 相交于点(),2P m ，22m ∴=，1m ∴=，()1,2P ∴，∴当=1x 时，2y kx b =+=，∴关于x 的方程2kx b +=的解是=1x ，故答案为：=1x ．【点拨】此题主要考查了一次函数与一元一次方程，关键是求得两函数图象的交点坐标．。