11弯曲内力-1

“左上右下”为正
27
例：求指定截面剪力
F
A B
x l
直接法
Q = －F
28
例：求指定截面剪力
q
A B
x l
l-x
Q = q（ l－ x ）
29
二、弯矩M
y a F1
O
bending moment
1.大小
∑MO=0, M－FAx＋F1（x－a）=0
M
·
M = FAx－F1（x－a）
Q x FA
M F2 FB
M
M
表示方法
引起的变形
使梁上拉下压的弯矩为负。
32
弯矩M 1.大小 ∑MO=0, M–FAx＋F1(x－a)=0
y a F1
O
·
M
M = Fax –F1(x－a) 一个截面的弯矩，数值上等于 该截面任意一侧所有外力对此 截面形心力矩的代数和。
Q x FA
2.正负号
使得梁的上部发生凹，下部发生凸的变形者为正。
横向力
12
弯曲变形的特点
2. 变形特点 杆的轴线由直线变为曲线； 任意两横截面绕各自面内某一直线相对 转动一角度。
13
二、梁 beam 以弯曲变形为主的杆。 直梁—— 轴线为直线 曲梁—— 轴线为曲线 本课程以直梁为主。
14
三、静定梁模型
模型1：简支梁
simply supported beam
x l
直接法
M = －F x
36
例：求指定截面弯矩
q
A B
x l
l-x
l−x q( l − x ) =− M = − q( l − x ) 2 2
2
37
例 求指定截面的剪力和弯矩
5kN.m
2
10kN
1
A
2 1
B
1m 5kN.m
A
1m 10kN
1 1 Q1
M1
1m
1m
Σ Y= 0 , Σ M1 = 0 ,
Q1+10 = 0 M1+10×1 － 5 = 0 Q2 = 0
Q1 = －10 kN M1= － 5 kN.m
直接法
M2= 5 kN.m
38
例题 :
qa
求指定截面内力
qa2 1 2 2 A FA 2a FB q B
C a
1
解：1. 求支反力
FA=2qa（↑） FB = qa（↑）
2. 求指定截面剪力和弯矩 M1 = －qa2 Q1 = －qa Q2 = FA－qa= qa M2 =－qa2＋qa2= 0
FA
1.大小：一个截面的剪力， 数值等于该截面任意一侧 所有外力的代数和。 2. 正负号：对研究对象内任一点顺时针转向的 剪力为正，逆时针转向的剪力为负。
25
例：求指定截面剪力
F
A
设正的剪力 Q
B
x l
截面法
Σ Fy = 0 , Q = －F
－Q －F = 0
26
直接法计算剪力
一个截面的剪力，等于该截面任意 一侧所有横向外力的代数和； 对截面形心呈顺时针转向的外力取正号， 逆时针转向的外力取负号。
一个截面的弯矩，数值上 等于该截面任意一侧所有 外力对此截面形心力矩的 代数和。
Q
正负号？
30
弯矩的正负号
正的弯矩
M M M
上凹下凸
M
表示方法
引起的变形
凹侧纵向纤维缩短，受压； 凸侧纵向纤维伸长，受拉。 ---------使梁上压下拉的弯矩为正。 “左顺右逆”为正
31
弯矩的正负号
负的弯矩
M M
上凸下凹
M
四、讨论
方程分段， 坐标不同。 在集中力偶作用截面 剪力图不变 弯矩图有突变
A FA a
C b l x1
M l
B FB x2
Q
Ma l
M
Mb l
52
作业
5 -1 (b)(c) , 5-2（b）
x l
FQ F M Fl
（0≤x＜l）
2. 作剪力图和弯矩图
45
例5-3
q A x l B
作图示梁的Q ,M 图。 解： 建立坐标系 1. 2. 支反力计算
ql F A = FB = 2
FA
ql 2
FB
3. 列 Q , M 方程
ql 8
2
ql 2 2
Q
ql 2
1 Q = ql − qx 2
1 1 2 M = qlx − qx 2 2
43
2. Q , M 图的要求 ⑴ 与梁对齐画； ⑵ 注明内力性质； ⑶正明内力的正负号； ⑹ 注明内力单位。
44
例5-2 作剪力图和弯矩图
F
A B
1. 剪力方程和弯矩方程 剪力方程 Q = －F （0 ＜ x＜l） 弯矩方程 M = －F x
练习
q
A B
x
作图示梁的Q , M 图。 解： 1. 建立坐标系 2. 列 Q , M 方程 Q = q (l－x) ( 0＜ x ≤ l )
1 2 M = − q (l − x ) (0＜x≤l ) 2
l
ql
Q M
ql 2 2
3. 画 Q , M 图
49
小结与讨论
一、梁的内力：Q , M 二、Q , M 的正负号规定
剪力Q 弯矩M
FA
x
22
截面法计算梁的内力
一、剪力Q
F1 FA F2
shear force
x
FB F1 Q MM Q F2
y
FA
x
∑Fy=0, FA－F1－Q = 0 Q = F A － F1 1.大小：一个截面的剪力， 数值等于该截面一侧 所有外力的代数和。 FB
内力总是成对的，大小相等，方向相反， 正负号如何规定？
(0＜x ＜ a ) ( 0 ≤ x≤ a ) (a ＜ x ＜ l ) (a ≤ x≤ l )
47
Q
Fa Fab l
l
Q = − FB
CB段
Fb M = x l
M
Fa = − l
Fa M = (l − x ) l
3. 画 Q ,M 图
例5-5
M A
FA
作图示梁的Q ,M 图。 解： 支反力计算 1.
a
C
l b
P
B
RB
3
1. 靜力方面 2. 几何方面 3. 物理方面
RA
A
∑Y = 0,
RA + RB − P = 0
① ②
Δ l = Δ l1 + Δ l 2 = 0
N 1a R Aa Δ l1 = = EA EI N 2b RB b Δl2 = =− EA EA
③
a
N1=RA
C
l b
F N2= –RB
作业问题
• 解题步骤（超静定问题） 一定要画受力图 • 正负号的判定 外力（坐标轴）和内力（变形） 平衡方程（投影） 变形与应力（内力一致） • 解题过程： 正确的思路+完整步骤的书写+正确的结果
2
举例 已知： P , EA, l , a , b
求：各段轴力 解：判断 未知力数目： 2 RA 平衡方程数目：1 一次超静定 A
B
補充方程 R A a RB b − =0 EA EA 联解，得 Pb RA = l
RA b = RB a
④
RB
Pa RB = l
4
材料力学的四种基本变形 轴向拉压 剪切 扭转 平面弯曲
5
构件基本变形形式
拉压 ( tension & compression )
上节回顾
弯曲 ( bending )
Q FQ FQ
Q— 顺时针为正
逆时针为负
Q
“ 左上右下”为正 M—上凹下凸为正
三、Q , M 图
选坐标 —— 列方程 ——作图
50
四、讨论
方程分段， 坐标不同。 在集中力作用截面 剪力图突变 弯矩图有折角
l
F A
Fb FA
C a l x1
Fb l
B b x2
Fa FB l
Q
Fab l
Fa l
M
51
23
剪力的正负号
正的剪力
Q Q
负的剪力
Q Q
Q
Q
Q
Q
左上右下为正 顺时针为正
左下右上为负 逆时针为负
注意:剪力的正负号是依据它引起的变形来决定的， 24 而不是看其指向。
梁的内力——剪力 Q 和 弯矩 M
y F1 M Q x
一、剪力Q
Q = FA－F1
shear force
∑Fy=0, FA－F1－Q = 0
F
F 2
F 2
15
模型2：悬臂梁
cantilever beam
F F
F
16
模型3：外伸梁
overhang beam
F1
F2
17
静定梁
1. 简支梁 2. 悬臂梁 3. 外伸梁
四、平面弯曲变形
1. 平面弯曲
弯曲变形后梁的轴线变为平面曲线。
2. 对称弯曲
平面弯曲的一种特殊情形。 条件：⑴ 横截面有对称轴； ⑵ 载荷作用在纵对称面内； ⑶ 轴线为纵对称面内平面曲线。
41
用方程表达内力沿轴线变化规律， 其缺点是： ⑴ 方程依赖于坐标系，即同一段梁 用不同坐标系写出的方程不同——不唯一。 ⑵ 内力变化规律不直观——不方便。
42
二、剪力图和弯矩图
将剪力方程和弯矩方程画成图像， 观察内力变化规律既唯一又直观。 1. 作 Q, M 图步骤 建立坐标系； 求支反力； 列 Q，M 方程； 作 Q , M 图。