第十章??? 弯曲梁的设计第一节??????????? ??梁平面弯曲的概念和弯曲内力一、弯曲的概念实际中，存在大量的受弯曲杆件，如火车轮轴，桥式起重机大梁。
如图10.1.1?????????????? 图10.1.1 火车轮轴?????????????图起重机大梁程中常见的梁，其横截面通常都有一个纵向对称轴，该对称轴与梁的轴线组成梁纵向对称面。
如图10.1.3所示。
????????????????????? 图10.1.3 梁的纵向对称果梁上所有的外力都作用于梁的纵向对称平面内，则变形后的轴线将在纵向对称平面内变成一条平面曲线。
这种弯曲。
平面弯曲是弯曲问题中最基本、最常见的，所以，这里只讨论平面弯曲问题。
、梁的计算简图及基本形式上的荷载和支承情况比较复杂，为便与分析和计算，在保证足够精度的前提下，需要对梁进行力学简化。
一)、梁的简化了绘图的方便，首先对梁本身进行简化，通常用梁的轴线来代替实际的梁。
二）、荷载分类用在梁上的载荷通常可以简化为以下三种类型：、集中荷载 ??当载荷的作用范围和梁的长度相比较是很小时，可以简化为作用于一点的力，称为集中荷载或集中力受的切削力便可视为集中力P，如图10.1.4（a）所示，其单位为牛（N）或千牛（kN）。
中力偶 ??当梁的某一小段内（其长度远远小于梁的长度）受到力偶的作用，可简化为作用在某一截面上的力偶，称为集中力偶。
如图10.的单位为牛·米N·m）或千牛·米（kN·m）。
、均布载荷 ??沿梁的长度均匀分布的载荷，称为均布载荷。
分布载荷的大小用载荷集度 q 表示，均布集度 q 为常1.4（c ）所示。
其单位为牛／米（ N ／ m ）或千牛／米（ k ／ m ）。
三）、梁的基本形式按照支座对梁的约束情况，通常将支座简化为以下三种形式：固定铰链支座、活动铰链支座和固定端支座。
这三种况和支反力已在静力学中讨论过，这里不再重复。
根据梁的支承情况，一般可把梁简化为以下三种基本形式。
、简支梁 ?梁的一端为固定铰链支座，另一端为活动饺链支座的梁称为简支梁。
如图10.1.5（a ）。
、外伸梁 ?外伸梁的支座与简支梁一样，不同点是梁的一端或两端伸出支座以外，所以称为外伸梁。
如图10.1.5（悬臂梁 ?一端固定，另一端自由的梁称为悬臂梁。
如图10.1.5（c ）???????????????????? 图10.1.4 载荷类?????????????????? 图 梁的类上三种梁的未知约束反力最多只有三个，应用静力平衡条件就可以确定这三种形式梁的内力。
、 梁弯曲时的内力——剪力和弯矩计算用于梁上的外力以及支承对梁的约束力都是梁的外载荷。
支承对梁所产生的约束反力一般都由静力平衡条件求得。
用下，梁要产生弯曲变形，梁的各横截面内就必定存在相应的内力。
求解梁横截面上内力的方法是截面法。
图10.1.6 截面法求梁的内.1.6所示的简支梁，受集中力1P 和2P 作用。
为了求出距A 端支座为x 处横截面m-m 上的内力，首先按静力学中的平衡方程求出支座反力外力及截面处内力的共同作用下也应保持平衡。
截面m-m 上必有一个与截面相切的内力Q 来代替右边部分对左边部分向移动趋势所起的约束作用；又因为R A 与P 1对截面形心的力矩一般不能相互抵消，为保持这部分不发生转动，在横有一个位于载荷平面的内力偶，其力矩为M ，来代替右边部分对左边部分转动趋势所起的约束作用。
由此可见，梁弯上一般存在两个内力因素，其中Q 称为剪力，M 称为弯矩。
力和弯矩的大小可由左段梁的平衡方程确定。
由 ΣFy = 0?? 得 01=--Q PR A 由 ΣMC = 0?? 得? 0)(1=-+-a x Px R M A ，C 为横截面的形心。
若取右段梁研究，根据作用力与反作用力定律，在m-m 截面上也必然有剪力Q '?和弯矩M '，并且它们分别与 Q 和方向相反。
和弯矩的正负按梁的变形来确定。
凡使所取梁段具有作顺时针转动趋势的剪力为正，反之为负。
如图10.1.7? 图10.1.7 剪力的符???????????????????? 图 弯矩的上所述，可得求剪力、弯矩大小和方向的规则：于剪力：梁内任一横截面上的剪力等于该截面一侧梁上所有横向外力的代数和；正负号由“外力左上右下，产生的确定。
于弯矩：梁内任一横截面上的弯矩等于该截面一侧梁上所有外力对截面形心力矩的代数和。
正负号由“外力矩左顺弯矩为正”确定。
用上述规则，可以直接根据截面左侧或右侧梁上的外力求出指定截面的剪力和弯矩。
10.1.1? 简支梁受集中力kN p 1=，力偶m kN m ⋅=1，均布载荷m kN q /4=Ⅰ-Ⅰ和Ⅱ-Ⅱ截面上的剪力和弯矩。
图10.1.9简支梁：（1）求支座反力。
,0)(=∑F M B ???即 02505.01000750=⨯⨯+-⨯-⨯q m R P A得????? N R A 250=,0=∑yF? 即05.0=+⨯--B A R q P R得?????? N R B 2750=2）计算剪力和弯矩（应取简单的一侧为研究对象）。
Ⅰ-Ⅰ????? N R Q A 2501==Ⅱ-Ⅱ????? kN R q Q B 5.175.24.044.02-=-⨯=-⨯=m N q R M B ⋅=⨯⨯⨯-⨯⨯=⨯⨯-⨯=-7802.04.01041040027502004.0400332例10.1.2kN 410,并假定均匀分布在轧辊的CD 的范围内。
试求轧辊中央截面上的弯矩及截面C 的剪力。
?????????????????????图 剪板机电轧辊可简化为如图（c ）所示形式。
轧制力均匀分布于长度为的范围内，故轧制力的载荷集度为于梁上的载荷与约束反力对跨度中点是对称的，所以容易求出两段的约束反力为截面C 左侧为研究对象，求得该截面上的剪力为的外力为A F 和一部分均布载荷。
以中点截面左侧为研跨度中点截面左侧弯矩为??????????????、剪力图和弯矩图一般情况下，剪力和弯矩是随着截面的位置不同而变化的。
如果取梁的轴线为x 轴，以坐标x 表示横截面的位置，可表示为x 的函数，即述两函数表达了剪力和弯矩沿梁轴线的变化规律，故分别称为梁的剪力方程和弯矩方程。
了能一目了然地看出梁各截面上的剪力和弯矩沿梁轴线的变化情况，在设计计算中常把各截面上的剪力和弯矩用图一平行于梁轴线的横坐标x 来表示横截面的位置，以纵坐标表示各对应横截面上的剪力和弯矩，画出剪力和弯矩与x 这样得出的图形叫做梁的剪力图和弯矩图。
用剪力图和弯矩图，很容易确定梁的最大剪力和最大弯矩，以及梁的危险截面的位置。
所以画剪力图和弯矩图往往刚度计算中的重要步骤。
力图和弯矩图的画法是首先求出梁的支座反力，然后以力和力偶的作用点为分界点，将梁分为几段，分段列出剪力取横坐标x 表示截面的位置；纵坐标表示各截面的剪力和弯矩，按方程绘图。
面通过分析例题说明剪力图和弯矩图的绘制方法及步骤例10.1.3l ，起吊重量为P 。
不计梁的自重，试绘制图示位置横梁的剪力图和弯矩图，并指出最大剪力和最大弯矩所。
图 简支梁受集中力（1）绘制横梁的计算简图?? 根据横梁两端A 、B 轮的实际支承情况，将其简化为简支梁（图（a ）。
起吊重量为P 可沿横梁行走的小车两轮中点所对应的梁的梁截面C 处的集中力。
2）计算A 、B 两端的支座的约束反力?? 根据静力平衡方程得m kN q F M A .315024.04.083.0=⨯⨯-⨯=既曲线顶点为（8,22ql l ），开口向下，可按下列对应值确定几点。
x 0M剪力图与弯矩图分别如图（c ）、(d)所示。
由图可知，剪力最大值 在两支座A 、B 内侧的横截面上，2max qlF S =。
弯梁的中点，82max ql M =。
1.5：1）求支反力。
得：??? ?????l M F eAy =图 简支梁受集中力偶）列出剪力方程和弯矩方程。
C 点处有集中力偶，故弯矩需分段考虑。
段 段??）画剪力图。
剪力方程知，剪力为常数，故是一水平直线，如图（b ）所示。
）画弯矩图。
弯矩方程知，C 截面左右段均为斜直线。
段BC 段。
图解：（1）绘剪力图。
剪力图从零开始,一般自左向右,逐段画出。
根据规律可知，因A 点有集中力,A R 故在A 点剪力向上突变，从A 点右侧到C 点左侧，两点之间无力作用，故剪力图平行与x 轴的直线。
因C 点有集中力1P ,故在C 点剪变3kN ，C 点左侧的剪力值为，C 点右侧的剪力值为kN 5.0-。
同样的道理，依次，可完成其剪力图（图（b ））。
需要最后应回到零。
图中虚线箭头只表示画图走向和突变方向。
? （2）绘弯矩图。
弯矩图也是从零开始，自左向右边，逐段画出。
A 点因无力偶作用，故无突变。
因AC 段剪力图为线，故其弯矩图为一条从零开始的上斜线，其斜率为（图（c ）中斜率仅为绘图方便而标注），C 点的弯矩值为)(5.2m kN ⋅=。
CD 段的弯矩图为一条从m kN ⋅5.2开始的下斜线，斜率为，故D 点的弯矩值为)(5.125.05.2m kN ⋅=⨯-，同样的道理矩图，最后回到零（图（c ））。
例10.1.7m kN M ⋅=4，kN P 10=，kN R A 6-=，kN R B 16=。
其它尺寸如图所示。
试绘出梁的剪力图和弯矩图图：1）绘剪力图。
根据规律画剪力图时可不考虑力偶的影响。
因此，绘其剪力图时，从A 点零开始，向下突变6，从6行线至B 点，向上突变16，在画X 轴平行线，最后连D 点向下突变10而回到零（图（b ））.（2）绘弯矩图从A 点零开始，画斜率为6的下斜线至C 点，因C 点有力偶作用，故弯矩图有突变，根据“顺上逆下”，在画斜率为6的下斜线至B 点，在B 点转折，作斜率为10的上斜线至D 点而回到零（图（c ））。
10.1.8m KN M ⋅=16，m kN q /2=，KN p 2=，约束反力KN R A 2.7=，KN R B 8.14=，试绘出梁的剪力图和弯矩图m 处截面的剪力和弯矩。
：（1）绘制剪力图。
零开始，向上突变，AC 段为x 轴的平行线。
CB 段，剪力图从下斜至B 点，斜率为2，故B 点左侧的剪力值为，从向上突变，即到B 点右侧斜率2的下斜线至D 点左侧，因D 点有集中力P ，故向下突变回到零（图（b ））。
剪力图Q=0的点可由几何关系求得，如：6.322.7=(m)。
2）绘弯矩图。
AC 段弯矩图为一条从零开始的斜率为的上斜线。
因C 点有力偶，故弯矩图在C 点????????????????????????? 图下突变。
CB 段剪力图为一条下斜线，故对应的弯矩图为一条从开始的上弯抛物线，最大值点应对应于Q=0的点，其三角形面积求得点的值也可由对应的三角形面积求得也可暂不求此值，继续绘图，因B，D点无力偶，故弯矩图直接转折上弯至零，最后利用对应的剪力图梯形面积计算需要注意，图3）求距A点4m处截面的剪力和弯矩。
