第五讲 微分变换

第六章 微分方程

一、判断题

1.（ ）函数12cossinxCktCkt是微分方程2220(0)dxkxkdt的通解.

2.（ ）)()(xfxgy是微分方程)()()()(2xfxgyxgxfy的解.

二、填空题

1. 微分方程2()20dydyxyxdxdx的阶数是 .

2. 微分方程2222cosdydyyxxyxdxdx阶数是 .

3. 微分方程20yxyy的直线积分曲线为 .

4. 方程2dxxdyy的通解为 .

三、选择题

1.一阶非齐线性方程)()(xQyxPdxdy …（1）和相应的齐线性方程yxPdxdy)( …（2），下列结论不正确的是 ( ).

(A) 方程（1）的任意两解之差必为方程（2）的解；

(B) 若)(xyy是（2）的非零解，而)(~xyy是（1）的解，则（1）的通解可以表示为)(~)(xyxcyy，其中c为任意常数；

(C) 方程（2）任一解的常数倍或任两解之和（或差）仍是（2）的解；

(D) 以上结论都不正确.

2.方程xydxdy2满足初始条件：1,000yx的特解是（ ）.

(A) 3xey (B) xey (C) 2xey (D) 221xey

3.曲线1xy满足微分方程（ ）.

(A)0xy (B) 0yyx (C) 1yyx (D)12yx

四、求解题

1.解方程230yxdyedxy. 2. 解方程yxedxdy.

3. 解方程xdyyedx.

4. 解方程22(6)0ydxyxdy.

5. 解方程220dyydx.

6. 解方程2220dydyydxdx.

第五讲：微分

一. 函数的微分,记作yd或xdf,即:xdxfyd

二、可微与可导的关系

定理 函数)(xfy在点0x处可微的充分必要条件是函数)(xfy在点0x处可导(即:可微可导),且xxfdyxx00(即0xfA

三、基本初等函数的微分公式

导数的基本公式 微分的基本公式

0)(C (C为常数) 0dC (C为常数)

1)(xx dxxxd1

1,0ln)(aaaaaxx 1,0lnaadxaaadxx

xxee)( dxeedxx

1,0ln1)(logaaaxxa 1,0ln1logaadxaxxda

xx1)(ln dxxxd1ln

xxcos)(sin dxxxdcossin

xxsin)(cos dxxxdsincos

xx2sec)(tan dxxxd2sectan

xx2csc)(cot dxxxd2csccot

xxxtansec)(sec dxxxxdtansecsec

xxxcotcsc)(csc dxxxxdcotcsccsc

211)(arcsinxx dxxxd211arcsin

211)(arccosxx dxxxd211arccos

211)(arctanxx dxxxd211arctan

211)cot(xxarc dxxxarcd211cot 四. 函数和、差、积、商的微分法则

函数和、差、积、商的求导法则 函数和、差、积、商的微分法则

(和、差) vuvu

(数乘) uCuC

(乘积) vuvuuv

(商)

1 第五章 微分流形

§5.1 流形的引入

以下对黎曼几何作以简介：

微分流形是一类重要的拓扑空间，它除了具有通常的拓扑结构外，还添上了微分结构，因而可以应用微积分学，从而就能建立一些微分几何的性质。例如前面介绍的三维欧氏空间的曲面就是一类二维微分流形。但是微分流形M的概念远比它广泛得多，M的维数不限于二维，而且也不必作为欧氏空间的曲面。在微分流形上引进距离的概念，那么我们就得到黎曼流形，它是一类最重要的微分流形。例如1nE中的n维球面}1...|),...,{(212111nnnxxxxS是1nE中的n维微分流形。

微分流形M虽然不是欧几里德空间，但是它可以“局部欧几里德空间化”，即对于M上的开覆盖}{U中的每一个开集U，存在一个同胚映射

VU:欧几里德空间， 2 即U与V同胚，从拓扑学的观点看U与V相同。

另外虽然M上的点没有局部坐标，但可以“安装”局部坐标。由于U与V同胚，它们的点与点之间一一对应。设UP，通过同胚映射，点P映射为

V中的点x，设nnRxxx),...,(1，就把),...,(1nxx看成点P的局部坐标，并用),...,(1nxx表示点P。流形上有了坐标，我们就可以在流形上进行求导等运算。在流形上加上微分结构就成了微分流形。

在微分流形M的每一点P处有一个切空间pT，我们在切空间上定义向量的内积，以便给出黎曼度量。

设PTYX,，

RYXgTTYXgPPPP),(),(:(.,.)，

满足

（1）),(YXgP关于X和Y是双线性的，

（2）),(),(XYgYXgPP

（3）),(YXgP是正定的。

我们称),(YXgP为向量X和Y的内积。 3 设}{ix为PT的自然基，),(jiPijxxgg，则)(ijg称为M的黎曼度量。有了这个黎曼度量我们就可以定义切空间中的向量的长度以及夹角等概念。我们就是把一些非线性目标看成流形，在流形的切空间上进行“加工处理”。

多元微分与二重积分

一. 二元微分学概念

1. 极限, 连续, 单变量连续, 偏导, 全微分, 偏导连续(必要条件与充分条件),

(1)000000(,),(,),(,)xyffxxyyffxxyffxyy

(2)lim,lim,limyxxyfffffxy

(3)22,lim()()xyfdffxfydfxy (判别可微性)

注: 点处的偏导数与全微分的极限定义:

00(,0)(0,0)(0,)(0,0)(0,0)lim,(0,0)limxyxyfxffyfffxy

2. 特例:

(1)22(0,0)(,)0,(0,0)xyxyfxy: 点处可导不连续;

(2)22(0,0)(,)0,(0,0)xyfxyxy: 点处连续可导不可微;

二. 偏导数与全微分的计算:

1. 显函数一,二阶偏导: (,)zfxy

注: (1)yx型; (2)00(,)xxyz; (3)含变限积分

2. 复合函数的一,二阶偏导(重点): [(,),(,)]zfuxyvxy

熟练掌握记号''"""12111222,,,,fffff的准确使用

3. 隐函数(由方程或方程组确定):

(1)形式: *(,,)0Fxyz; *(,,)0(,,)0FxyzGxyz (存在定理) (2)微分法(熟练掌握一阶微分的形式不变性): 0xyzFdxFdyFdz (要求: 二阶导)

(3)注: 00(,)xy与z的及时代入

(4)会变换方程.

三. 二元极值(定义?);

1. 二元极值(显式或隐式):

(1)必要条件(驻点);

(2)充分条件(判别)