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05第五讲_多元微积分

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第五讲 多元微积分（上）

考纲要求

1.理解多元函数的概念，理解二元函数的几何意义.

2.了解二元函数的极限与连续的概念以及有界闭区域上连续函数的性质.

3.理解多元函数偏导数和全微分的概念，会求全微分，了解全微分存在的必要条件和充分条件，了解全微分形式的不变性.

4..掌握多元复合函数一阶、二阶偏导数的求法.

5.了解隐函数存在定理，会求多元隐函数的偏导数.

6.理解多元函数极值和条件极值的概念，掌握多元函数极值存在的必要条件，了解二元函数极值存在的充分条件，会求二元函数的极值，会用拉格朗日乘数法求条件极值，会求简单多元函数的最大值和最小值，并会解决一些简单的应用问题.

7.理解二重积分、三重积分的概念，了解重积分的性质，了解二重积分的中值定理.

8.掌握二重积分的计算方法（直角坐标、极坐标）.

一、多元微分学概念及其关系

问题1 二元函数(,)fxy在点00(,)xy处有极限、连续、可偏导、可微、偏导数连续之间有何关系？

答 首先要正确理解各概念.

二元函数(,)fxy在点00(,)xy处的极限00lim(,)xxyyfxyA表示(,)Pxy以任何方式趋近于000(,)Pxy，函数(,)zfxy趋近于常数A.

注：若找到两种不同趋近方式，使),(lim00yxfyyxx存在，但两者不相等，或者找到一种趋近方式，使),(lim00yxfyyxx不存在，则可断言),(yxf在点),(000yxP处极限不存在．

如果0000lim(,)(,)xxyyfxyfxy，则称函数(,)fxy在点00(,)xy处连续.

二元函数),(yxfz在点),(00yx处对x的偏导数

0000000(,)(,)(,)limxxfxxyfxyfxyx；

函数),(yxfz在点),(00yx处对y的偏导数为

0000000(,)(,)(,)limyyfxyyfxyfxyy.

注： ),(00yxfx实质上是一元函数0(,)zfxy在点0x处的导数0xxdzdx；00(,)yfxy实质上是一元函数0(,)zfxy在点0y处的导数0yydzdy.

如果函数),(yxfz在点),(yx的全增量),(),(yxfyyxxfz可以表示为)(oyBxAz，其中BA,不依赖于yx,而仅与yx,有关，22)()(yx，则称函数),(yxfz在点),(yx可微分，yBxA称为函数),(yxfz在点),(yx的全微分，记为dz，即dz=yBxA.

若函数),(yxfz在点),(yx可微，则全微分zzdzdxdyxy.

二元函数(,)fxy在点00(,)xy处有极限、连续、可偏导、可微、偏导数连续之间的关系如图所示：

函数(,)zfxy在点00(,)xy

极限存在←连续←可微←偏导数连续

↙

可偏导

例

1.证明函数222222,0,(,)0,0xyxyxyfxyxy在点)0,0(处极限不存在、不连续，但偏

导数存在且0)0,0()0,0(yxff.

2.证明函数222222,0,(,)0,0xyxyxyfxyxy在点)0,0(处连续、可偏导且0)0,0()0,0(yxff，但不可微.

3.证明函数222222221()sin,0,(,)0,0.xyxyxyfxyxy 在点)0,0(处连续、偏导数存在且0)0,0()0,0(yxff、可微，但偏导数不连续.

4. 设函数(,)fxy在点00(,)xy的两个偏导数都存在，则（ ）.【C】 (A)(,)fxy在点00(,)xy连续 (B)(,)fxy在点00(,)xy可微

(C)00lim(,)xxfxy与00lim(,)yyfxy都存在 (D)00lim(,)xxyyfxy存在

5. 二元函数(,)fxy在点(0,0)处可微的一个充分条件是（ ）.【C】

（A）(,)(0,0)lim[(,)(0,0)]0xyfxyf

（B）0(,0)(0,0)lim0xfxfx，且0(0,)(0,0)lim0yfyfy

（C）22(,)(0,0)(,)(0,0)lim0xyfxyfxy

（D）0lim[(,0)(0,0)]0xxxfxf，且0lim[(0,)(0,0)]0yyyfyf

问题2 如何求二元函数的极限（二重极限）？

答 求二元函数的极限是一件困难的事情，读者只要会求一些简单的极限就可以了，求这些简单极限的主要依据是：

⑴一元函数极限的四则运算和幂指运算法则对二元函数成立；

⑵一元函数极限的某些结论（无穷小乘有界函数、两个重要极限）对二元函数成立；

⑶二元初等函数在其定义区域（包含在定义域内的区域或闭区域）内是连续的．

例 求下列极限：

⑴2222001lim()sinxyxyxy；⑵22200sin()limxyxyxy；

⑶0011limxyxyxy；⑷22()lim()exyxyxy；

⑸100lim(1sin)xyxyxy.

二、偏导数和全微分的计算

问题3 如何求初等函数的偏导数（全微分）？

答 类似一元函数，对一个自变量求偏导数，其余的自变量看作常数.

例

1.设arctan22()eyxzxy，求dz与yxz2（98-3）

解 zzdzdxdyxy， 60 arctanarctanarctan2222212e()e[()](2)e1yyyxxxzyxxyxyyxxx，

arctanarctanarctan2222112e()e[](2)e1yyyxxxzyxyyxyyxx，

故arctane[(2)(2)]yxdzxydxyxdy，

222arctanarctanarctan222211e(2)e()e1yyyxxxzyxyxxyyxyxxyx.

2.设xyvyxuuzvarctan,ln,22，求dz.

【22lnlnvuxvyvdzyudxxudyxyuu】

问题4 如何求抽象复合函数的一、二阶偏导数？

答 首先要正确理解和运用复合函数求导法则：

设函数(,)uuxy及(,)vvxy都在点(,)xy具有对x和y的偏导数，且函数(,)zfuv在对应点(,)uv具有连续偏导数，则复合函数[(,),(,)]zfuxyvxy在点(,)xy的两个偏导数存在，且可用下列公式计算

xvvzxuuzxz,yvvzyuuzyz.

法则表明：复合函数对自变量求导必须通过所有中间变量.

然后要弄清函数、中间变量、自变量，正确使用导数记号.

例

1.设),(vuf有二阶连续偏导数，且)sin,2(xyyxfz，求yxz2.

解 【复合函数的二阶偏导数】122coszfyxfx，

21112221222[(1)sin]coscos[(1)sin]zffxxfyxffxxy

2111222cos2(2sincos)sincosxffxyxfyxxf. 注

⑴1f表示对第一个中间变量求导，12f表示先对第一个中间变量求导，再对第二个中间变量求导，其余记号有类似含义；

⑵对中间变量的偏导数1f，2f仍然是两个中间变量的函数；

⑶如果函数),(yxfz的两个二阶混合偏导数xyz2及yxz2在区域D内连续，则在该区域内这两个二阶混合偏导数必相等.本题中1221ff，应该合并.

2.设),(vuf有二阶连续偏导数，)(ug有二阶连续导数，且(,)()yzfxxygx，求yxz2.

解 【复合函数的二阶偏导数】122zyfyfgxx，

21112221222110(0)()zffxfyffxgygxyxx

12222231yxffxyfggxx.

问题5 如何求隐函数的偏导数？

答 求隐函数的偏导数的方法有：

⑴两边求导法；

⑵公式法，使用时务必正确理解和运用隐函数求导公式：

设函数()yfx由方程(,)0Fxy确定，则yxFFdxdy.

设函数(,)zfxy由方程(,,)0Fxyz确定，则zxFFxz，zyFFyz.

⑶全微分法，使用时务必正确理解和运用全微分形式的不变性：

无论是自变量还是中间变量，函数(,)zfuv的全微分uvdzfdufdv.

例

1. 设)(22yzyzx，可微，求yz. 【2zzyyyzy】

解 【隐函数的一阶偏导数，用公式或者用两边求导法】 方程为22(,,)()0zFxyzxzyy，

故2()122yzzyFzzyyyFyzyzyy.

2.),(vuf有连续偏导数，函数(,)zzxy由方程11(,)0fxzyyzx所确定，证明zzxyzxyxy.

证 【用公式法】方程为11(,,)(,)0Fxyzfxzyyzx

2121112()xzFffxzzxFfyfx，2121112()yzFfyzfzyFfyfx，

故 1112121112xffxzfyzyfzzxyzxyxyfyfx.

3.设(,)yfxt，而t是由方程(,,)0Fxyt所确定的x，y的函数，其中f，(1)FC，求dydx.

解 【两个方程确定的隐函数，用全微分法】

取全微分法，得

xtdyfdxfdt，0xytFdxFdyFdt，

消去dt，得xttxtytfFfFdydxfFF.

三、极值与最值

问题6 如何求二元函数的极值？

答 求二元函数),(yxfz极值的步骤是：

⑴解驻点方程(,)0,(,)0,xyfxyfxy 得驻点00(,)xy；

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05第五讲 消声器

05第五讲 消声器

噪声治理课程 第五讲 消声器——清华大学建筑学院 燕翔

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噪声治理课程 第五讲 消声器

1 消声器概述

1.1 房间的通风量

在既需要通风换气又需要隔声的场合常常使用消声器。密闭等房间虽然具有良好的隔声性能，但不适于人长期在里面工作。衡量房间通风换气的指标常使用换气次数，即每小时房间与外界交换空气的体积与房间体积的比。如500 m3的房间使用2000m3/小时风机换气，换气次数为4次/小时。满足人呼吸需要的换气次数为2次/每小时，使人感觉空气质量舒适的换气次数为4次/小时。如果房间中人员较多，废气（如烟雾、工业废气等）较多时需要8-10次/小时的换气量。

存在换气的房间必然与外界相通，为了保证隔声和消除管道气流产生的噪声，需要在换气通路上使用消声器。对于需要通风的机器设备降噪也需要使用消声器。

1.2 消声器的分类

常用的消声器分为三类：阻性消声器，属吸收型，在管道内设置吸声材料，消耗和衰减通过管道气流的噪声，主要用于消高频气流噪声。抗性消声器，属共振型，利用几何形状，使声音在管道中反复反射、共振、干涉、叠加而消耗声能，主要用于消特定频率的声音。阻抗复合式消声器，利用上述两种原理复合制成的消声器，同时具有阻性和抗性两种消声器的优点，消声频带比较宽。

1.3 消声器的特性指标

插入损失IL，是在敏感点处，安装消声器前与安装消声器后声压机级的差，单位是dB。

传声损失TL，是入射到消声器的声功率级与消声器出口端声功率级的差，单位为是dB。

消声量NR，是消声器入口端和出口端的声压级差。单位是dB。

率减A，是消声器所系统中任意两点之间声功率级的降低，单位是dB/m。

消声器的消声特性受到消声器入口和出口的安装条件（声阻抗发生变化）的影响，不同的接连形式会引起不同的反射和能量损失。因此，消声性能与使用环境和条件有关。在噪声控制中，最常用的评价量是插入损失。传声损失最难测得，但对分析有用。衰减通常用来描述声学系统中声波延管道的传播。

微积分第三章习题3.2答案

微积分第三章习题3.2答案

习题3.2

1. 求以下函数的导数：

10sin2222323432233222(1)()3(1)(2)6(1)(2)2(3)(1)(4)(16)(23)3(5)(8)11(9)cosln(10)(secln)(t9(2)(13anln)(22)(6)cos111(7)sin(cos)sec(tan)1)sin(12)3sec(3xxxxxfxxxxxxxtttttxextxxxxxexexexe11222)11(13)cos(14)sec()22xxxx

2. 第2周末观众人数变化率为13，第12周末观众人数变化率为134(84)3

3. 解：

3232()2000(10.2)(0)2000(5)20002NttNN

4. 解：

122()(201.02)(10000400.02)(10)0.206187(100)0.288874(150)0.386023NxxxxNNN

5. 解：

（1）1825200920t310t22760200t910t23

27200920t310t22760200t910t235000

（2）1月初变化率为528

（3）6月初变化率为2039846561

6. 解： 25002004001t898100002004001t821t8

过十六个月，电脑月需求量的变化率为3500081533

7.解：

0.51()10200tste，0.511.021.532.041020010200(1),(2)1020010200(3),(4)sseessee

8.解：

0.00020.20.40.20.40.02100100(1000)150;(2000)1500.020.02(1000);(2000)xpeppeeppee

多元函数的微积分

多元函数的微积分

多元函数的微积分

多元函数的微积分

一、概念

多元函数是指具有多个自变量的函数。在多元函数中，自变量可以有两个、三个甚至更多。相应地，函数的取值也不再是一个数，而是一个有序组。多元函数的微积分研究的是多元函数的导数、偏导数、不定积分、定积分等性质。

二、多元函数的导数

1. 偏导数

在多元函数中，偏导数指的是只以其中一个自变量为变化量，其余自变量视为常数时求取的导数。偏导数有两种表示形式，一种是用∂表示，被当作普通的符号；另一种是用d表示，表示它是一个变差量。对于二元函数y=f(x,

z)，其偏导数可以通过以下公式计算：

∂f/∂x = ∂y/∂x = dy/dx

∂f/∂z = ∂y/∂z = dy/dz

2. 方向导数

方向导数告诉我们，一个函数在给定点上沿着某个特定方向变化的速率。对于函数f(x, y, z)而言，其在点(a,

b, c)处沿着向量v=(v1, v2, v3)的方向导数可以通过以下公式计算： Dv(f) = ∂f/∂x * v1 + ∂f/∂y * v2 + ∂f/∂z * v3

三、多元函数的积分

1. 不定积分

多元函数的不定积分与一元函数的不定积分类似，是求解原函数的过程。对于多元函数f(x, y)，其不定积分可以写为：

∫f(x, y) dx = F(x, y) + C1

其中，C1是常数，F(x, y)是f(x, y)的一个原函数。

2. 定积分

对于多元函数f(x, y)在区域D上的定积分，其结果为对D内每个小区域的积分之和。具体计算过程中，常用的方法是先将区域D切割成许多小的面积，然后对每个小面积进行积分累加。定积分的计算方法包括直接计算和变量替换两种方式。

四、应用领域

多元函数的微积分在实际问题中有广泛的应用。具体领域包括但不限于：

1. 经济学：研究供给与需求函数、利润函数、效用函数等方面的微积分问题。

2. 物理学：研究质点的质量、速度、加速度等与时间和空间的关系。 3. 工程学：研究材料特性、电力电子等领域的微积分问题。

多元微积分

多元微积分

多元微积分

多元微积分是数学的一个分支，旨在研究多元空间内的微积分。在多元微积分中，我们将会学习多元函数的概念及其性质、偏导数和导数矩阵的定义、多元微分学中的极值问题及拉格朗日乘数法、多元积分学及其应用等。

首先，我们来了解一下多元函数的概念。在单变量微积分中，我们研究的是只有一个自变量的函数，而在多元微积分中，函数可能有多个自变量。例如，$z=f(x,y)$ 就是一个双变量函数，$f(x,y,z)$ 就是一个三元函数。在多元函数中，我们可以用等高线图来表示函数在平面上的变化情况。等高线上的任意一点表示函数在该点的取值相同，等高线间的高度差就代表着函数值的变化。

接下来，我们可以学习偏导数和导数矩阵的概念。在单变量函数中，导数表示函数在某个点上的瞬时变化率。在多元函数中，每个自变量都可以影响函数的取值，所以我们需要从每个自变量方向上来研究函数的变化，而这就是偏导数的概念。偏导数描述了函数在某个点沿某一方向的变化速率。导数矩阵是由多个偏导数组成的矩阵，表示函数在所有方向上的变化情况。导数矩阵在多元函数的极值问题中起着重要的作用。

接下来，我们将学习多元微分学中的极值问题以及拉格朗日乘数法。在单变量函数中，我们用导数来判断函数的极值，而在多元函数中，我们将使用导数矩阵和二次型矩阵来判断函数的极值。二次型矩阵描述了函数取得极值的形状。如果二次型矩阵为正定或负定，那么函数的极值就是极小值或极大值；如果二次型矩阵是一个不定矩阵，那么我们无法得出该函数的极值。当我们需要研究函数的极值时，常常需要引入拉格朗日乘数法。拉格朗日乘数法通过引入一个限制条件来确定函数的极值，这个限制条件可以是在某个区域内的限制性条件，例如体积、表面积等。

最后，我们将学习多元积分学和它的应用。多元积分学是研究多元空间内面积、体积、质心等问题的数学学科。在多元积分学中，我们将学习三种类型的积分：二重积分、三重积分和曲线积分。二重积分用于计算一个平面区域内的面积；三重积分用于计算三维空间内的体积；曲线积分则用于计算空间内曲线的长度、质心等。在应用方面，多元积分学可以用于计算重心、质心、矩、转动惯量、质量等物理量，也可以用于概率统计、金融分析等领域。