巧用焦半径公式解题

椭圆焦半径公式的证明及巧用

2008年08月31日 星期日21:56

命题：

证明：

I PFi |= a + 叫| 卩耳 |=a-叫

说明:

图1

巧用焦半径公式能妙解许多问题，下面举例说明。

、用于求离心率

分析:

所以：一 "〔°

、用于求椭圆离心率 的取值范围

分析: | FF] U a + e -acos

| |= a - e ・技cosot= a — ccosot

由：匚丄二得：_

=(a + c* cosa)'2 4- (a - c - cos a)3 =2a2 + 2c2 cos2 Ot

>2a<

故， -，即卩 ，又

所以• 。

三、 用于求焦半径的取值范围

例

分析：

所以-mx

四、 用于求两焦半径之积

例

分析：

二(a + ex0)(a-ex0)

由-…知 ■ ■ ' I L ■」，所以I I --的最小值为一，最大值 为厂。 五、 用于求三角形的面积

例

分析：

|PFL |= 5 + ex0JPF3 1= 5 - ex0。

由余弦定理得 _ _ 二亠 ■「「’ ■■-." 。

解得

B = 60-

所以 :

= --(5a-eaxg)sin 60°

2

1仆叫书饰

——+ (2□ - —) * — ------------------- .

2 3 2 3

六、 用于求点的坐标

例

分析：

“ 4

|FF] |= 5- -J£o pp I 阿

5及PF1丄陀得

- 4 4 *

82=(5+-X0)2+(5--X0)2

解得= ±2 丽

所以 - 七、用于证明定值问题

例

分析：

化简得 所以二―为定值。

八、用于求角的大小

例

@3

分析：

所以-「一匚匚二

IPFJ+IP% 卩一|F】®f 沖“並|

(的+ 5工『+J>1 :心『

2(&! +%)仙-吋

耳 bf

fc? - h2

ZF^Fj - arccos — -------- 2 2 空 2

生+生=1玉+耳=1

焦 半 径 的 一 组 公 式

公式1：设AB是过焦点F的弦，则|AB|＝|cos1|222ep．其中：e是离心率，2p是通径，θ是直线AB与主轴的夹角（其证明要用下面的公式）．

公式2：设F1、F2是曲线的左、右焦点，点P(x0，y0)在曲线上，记r1＝|PF1|、r2＝|PF2|为左、右焦半径．椭圆：r1＝a＋e x0，r2＝a－e x0． 双曲线：r1＝e x0＋e，r2＝e x0－a．抛物线：r＝x0＋p/2．

公式3：设点P(x0，y0)在椭圆：12222byax(a＞b＞0)上，F2是椭圆的右焦点，直线PF2与x轴正向夹角为θ，①若点P(x0，y0)在x轴的上方，则上r＝|PF2|＝cos1ep；②若点P(x0，y0)在x轴的下方，则下r＝|PF2|＝)cos(1ep．其中：p＝ab2 ．（半通径）

证明 ①在Rt△QPF2中，r2＝cos||2QF＝cos0cx．又r2＝a－e x0，∴cos0cx＝a－e x0．

整理有：x0－c＝acosθ－x0ecosθ

x0＝cos1coseac．

代入有：r2＝a－e x0＝a－e·cos1coseac＝cos1eeca＝cos2cab＝cos1ep．

公式4：设点P(x0，y0)在抛物线y²＝2px (p＞0)上，F是的抛物线焦点，直线PF2与x轴正向夹角为θ，①若点P(x0，y0)在x轴的上方，则上r＝|PF|＝cos1p；②若点P(x0，y0)在x轴的下方，则下r＝|PF|＝)cos(1p．

证明 ①在Rt△PEF中，r＝cos||FQ＝cos20px，又r＝x0＋2p

cos20px＝x0＋2px0＝2p·cos1cos1．

代入r＝x0＋2p有：r＝2p·cos1cos1＋2p＝cos1p． 公式5：设点P(x0，y0)在双曲线：12222byax上，F2是双曲线的右焦点，直线PF2与主轴正向夹角为θ，①若点P(x0，y0)在x轴的上方，则上r＝|PF2|＝cos1ep；

圆锥曲线的焦半径巧用

圆锥曲线的焦半径概念，是圆锥曲线中的一个重要的概念．许多圆锥曲线的求解问题，往往都牵涉到它，且运用圆锥曲线的焦半径分析问题可给解题带来生机．因此，掌握它是非常重要的．

椭圆焦半径： R左 = a + x e, R右 = a- x e,

右支双曲线焦半径：R左 = x e + a，R右 = x e- a ( x > 0) ，

左支双曲线焦半径：R左 = - (x e + a)，R右 = - (x e- a) ( x < 0) ,

抛物线焦半径：R抛 = x +2P．

对于这些结论我们无须花气力去记，只要掌握相应的准线方程及标准方程的两种定义，可直接推得．如对双曲线而言：当P(x0 , y0)是双曲线b2x2 - a2y2 = a2b2 (a > 0, b > 0) 右支上的一点，F1, F2是其左右焦点．

则有 左准线方程为 cax2．

由双曲线的第二定义得，左焦半径为 aexcaxePF0201)(||;

由 |PF1|- |PF2| =2a，得 |PF2| = |PF2| - 2a = ex0 - a．( |PF2|亦可由第二定义求得)．

例1 已知F1，F2是椭圆E的左、右焦点，抛物线C以F1为顶点，F2为焦点，设P为椭圆与抛物线的一个交点，如果椭圆E的离心率e满足 |PF1| = e | PF2 |，则e的值为 (

)

22)( 33)( 32)( 22)(DCBA

解法1 设F1(- c, 0 )，F2(c , 0)，P(x0 , y0)，

于是，抛物线的方程为 y2 = 2 (4 c)(x + c) , 抛物线的准线 l：x =- 3 c，椭圆的准线 m：cax2，

设点P到两条准线的距离分别为d1 , d2．于是，由抛物线定义，得 d1 = | PF2 | , ……………………①

三张动图，学渣轻松解出让学霸抓狂的高考数学焦半径圆相切问题

周末上课时，一个学生问了我这样一个圆锥曲线问题。

他说这道题做了很久，并没有什么明确的思路，也尝试了几种方法，但是不是很奏效，甚至现在对解析几何很有抵触情绪。当我读完这道题，几秒钟之后，便问他这道题的答案是不是4？学生很惊讶的看着我，并且问我：“老师，这道题你是不是做过？”我说没有做过，但是这道题有相应的结论，我不仅能秒做这道题，同时如果把此题改成双曲线也有类似的结论，今天就借着这道题为开始，简单聊一聊圆锥曲线中的某些特定的结论。

很多人认为，解析几何中的运算量大，不仅耗费时间，而且难以保证正确率。这是一个非常错误的观点。

解析几何，首先是几何问题，一味强调解析几何中的代数运算，有时会导致繁琐的运算过程，必要时要综合考虑几何因素，即在用代数方法研究曲线间关系的同时，充分好利用图形本身所具有的平面几何性质长可得到简洁而优美的解法。

由于解析几何题，综合性强，运算繁杂，很多学生极易产生畏惧心理，考试时甚至采取放弃的策略，从而平时也不重视解析几何的复习，导致放弃了一些在能力范围内的题，实在可惜。 老师根据一类解析几何中的几何性质，总结了一些小定理，希望起到抛砖引玉的作用。定理：

1.椭圆以焦半径为直径的的圆必与长轴为直径的圆（此圆与椭圆内切）相切

2.双曲线以焦半径为直径的的圆必与实轴为直径的圆（此圆与椭圆内切）相切

3.抛物线以焦半径为直径的的圆必与顶点处的切线相切（此切线可以看做半径无穷大的圆）

下面是证明：以椭圆为例证明，其他的证明希望同学们自行完成。有助于对该结论的理解和应用。 例题：椭圆以焦半径为直径的的圆必与长轴为直径的圆（此圆与椭圆内切）相切。

这里不妨先建一个坐标系，同样的，不妨设椭圆的焦点在x轴上，左右顶点为CD两点。且它的左右焦点为F1和F2，椭圆上一个动点A，以AF2为直径做圆Q，以CD为直径的圆为圆O，求证：圆Q与圆O相切。