圆锥曲线抛物线焦点弦焦半径高三数学

圆锥曲线有关焦点弦（焦点半径）的五个统一性质的统一证明

中图分类号：g632 文献标识码： c 文章编号：1672-1578（2013）03-0109-02

下面分别从四个方面，给出了圆锥曲线有关焦点弦（焦点半径）的4个统一性质，都是采用对圆锥曲线进行分类讨论，用方程的思想，通过比较复杂的运算得到了证明。本文将用圆锥曲线焦半径的倾角表达式，（本质上圆锥曲线的极坐标方程的直角坐标化）统一证明上述性质1、性质2、性质3和性质4本文给出的性质5，并用这样的思想方法证明巧妙地解答圆锥曲线中的热点问题。

1 圆锥曲线的统一性质

1.1圆锥曲线的统一性质1

ab是通过圆锥曲线的一个焦点f的一条弦（不与焦点所在的直线重合），a、b在焦点相应的准线l上的射影分别为a1b1，设a1f、b1f的中点分别为m、n，则直线am与bm的交点一定在准线上。（如图1）

1.2给出圆锥曲线的统一性质2

过圆锥曲线的一个焦点f的任意一条弦（不与焦点所在的直线重合）ab，和此焦点对应的顶点的c的连线交f对应的准线l于两点m、n，则以mn为直径的圆必过焦点f。（如图2）

如圆锥曲线是有心的圆锥曲线，那么和另外一个焦点对应的顶点c的的连线交f对应的准线l于m、n两点，则以为mn直径的圆必过焦点f。（如图3） 1.3圆锥曲线的统一性质3

若圆锥曲线的准线与对称轴的交点为a，过点a作圆锥曲线的一条割线交圆锥曲线于b、c两点，过焦点f作与割线的倾斜角互补的直线交圆锥曲线于m、n两点，则有：

1.4圆锥曲线的统一性质4

直线l是圆锥曲线？祝的焦点f所对应的准线，过l上一点p作曲线？祝的两条切线pa、pb。a，b为切点，过pf中点d且平行于直线l的直线l′交直线pa，pb于点m，n。（如图4）

则有：（ⅰ）fm∥pb； fn∥pa；

（ⅱ）记△afm，△pmn，△bfn的面积分别为s△afm，s△pmn，

s△bgn

现给出有心二次曲线的统一性质5：（2012江苏高考19题的推广）

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数学高考中椭圆、双曲线的焦半径、焦点弦的考法

众所周知，抛物线上任意一点与焦点之间的所连线段的长度，叫做焦半径；过抛物线焦点的直线被抛物线截得的线段叫做焦点弦，焦半径、焦点弦是抛物线中的重要几何性质，因其能与直线的倾斜角、向量（定比分点）、三角形面积等知识交汇，故倍受命题人青睐，而成为近年来高考试题、自主招生试题中的一个热点问题，作为客观题中的压轴题，甚至解答题进行考查，以测试考生数学知识和思想方法的掌握和运用。

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圆锥曲线焦半径公式的进一步推导及应用

◉浙江省诸暨市草塔中学　金铁强

椭圆、双曲线的焦点弦或焦半径的问题是解析几

何中的常规考点,很多老师在讲解的时候喜欢用“设

而不求”来解决问题．但用此法来处理焦点弦问题也有

其弊端,一是步骤过多,二是有些问题不能直接用此

法求解,必须再要用到“设而求之”才能解决．对于现在

的多变题型,已经达不到通解通法的要求,因此有必

要对圆锥曲线焦半径公式进行进一步的挖掘和整理,

才能适应当前高考题型的发展趋势,让学生能够更直

观地解题．

图１１焦点在x轴上的椭圆焦半径公式的推导及

应用

如图１,设椭圆E为x２a２＋

y２b２＝１(a＞b＞０),F１,F２为椭

圆E的焦点,PQ为椭圆E过

点F１的焦点弦．

当PQ垂直于x轴时,弦PQ为过F１的所有弦中

最短的一条,即通径,满足|PQ|＝２b２a;当PQ垂直于

y轴时,弦PQ为过F１的所有弦中最长的一条,即长

轴,满足|PQ|＝２a．除了这两条特殊的焦点弦,我们任

意作一条焦点弦,连接PF２,构成焦点三角形PF１F２,

令∠PF１F２为α,为焦点弦PQ的倾斜角．

设|PF１|＝x,则|PF２|＝２a－x．在△PF１F２中

由余弦定理得cosα＝x２＋(２c)２－(２a－x)２４xc．整理得

到x＝a２－c２a－c􀅰cosα＝b２a－c􀅰cosα,即|PF１|＝

b２a－c􀅰cosα．当α＝π２,０时,就是最短弦与最长弦．

同样地,在图１中,若我们连结QF２,构成焦点三

角形QF１F２,可得|QF１|＝b２a－c􀅰cos(π－α),即

|QF１|＝b２a＋c􀅰cosα,得到焦点弦|PQ|＝

b２a－c􀅰cosα＋b２a＋c􀅰cosα＝２ab２a２－c２􀅰cos２α．

这个公式把焦点弦分成上下两部分,每部分的焦

半径都有自己的表达式,这样对于条件运用可以更直接明了．

例１　设F１,F２分别为椭圆x２３＋y２＝１的左右焦

点,点A,B在椭圆上,若F１A→＝５F２B→,则点A的坐标是．

1 八、圆锥曲线

1.圆锥曲线的两个定义：

（1）第一定义中要重视“括号”内的限制条件：椭圆中，与两个定点F1，F2的距离的和等于常数2a，且此常数2a一定要大于21FF，当常数等于21FF时，轨迹是线段F1F2，当常数小于21FF时，无轨迹；双曲线中，与两定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数2a，且此常数2a一定要小于|F1F2|，定义中的“绝对值”与2a＜|F1F2|不可忽视。若2a＝|F1F2|，则轨迹是以F1，F2为端点的两条射线，若2a﹥|F1F2|，则轨迹不存在。若去掉定义中的绝对值则轨迹仅表示双曲线的一支。如（1）已知定点)0,3(),0,3(21FF，在满足下列条件的平面上动点P的轨迹中是椭圆的是

A．421PFPF B．621PFPF C．1021PFPF D．122221PFPF（答：C）；（2）方程2222(6)(6)8xyxy表示的曲线是_____（答：双曲线的左支）

（2）第二定义中要注意定点和定直线是相应的焦点和准线，且“点点距为分子、点线距为分母”，其商即是离心率e。圆锥曲线的第二定义，给出了圆锥曲线上的点到焦点距离与此点到相应准线距离间的关系，要善于运用第二定义对它们进行相互转化。如已知点)0,22(Q及抛物线42xy上一动点P（x,y）,则y+|PQ|的最小值是_____（答：2）

2.圆锥曲线的标准方程（标准方程是指中心（顶点）在原点，坐标轴为对称轴时的标准位置的方程）：

（1）椭圆：焦点在x轴上时12222byax（0ab）cossinxayb（参数方程，其中为参数），焦点在y轴上时2222bxay＝1（0ab）。方程22AxByC表示椭圆的充要条件是什么？（ABC≠0，且A，B，C同号，A≠B）。如（1）已知方程12322kykx表示椭圆，则k的取值范围为____（答：11(3,)(,2)22）；（2）若Ryx,，且62322yx，则yx的最大值是____，22yx的最小值是___（答：5,2）