圆切线判定定理的证明

(完整)圆切线证明的方法

切线证明法

切线的性质定理： 圆的切线垂直于经过切点的半径

切线的性质定理的推论１: 经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点．

切线的性质定理的推论２: 经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心

切线的判定定理: 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．

切线长定理:

从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角。

一、要证明某直线是圆的切线，如果已知直线过圆上的某一个点，那么作出过这一点的半径，证明直线垂直于半径．

【例1】如图1，已知AB为⊙O的直径，点D在AB的延长线上，BD＝OB,点C在圆上，∠CAB＝30º．求证:DC是⊙O的切线．

思路:要想证明DC是⊙O的切线，只要我们连接OC，证明∠OCD＝90º即可．

证明：连接OC，BC．

∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90º．

∵∠CAB＝30º，∴BC＝21AB＝OB．

∵BD＝OB，∴BC＝21OD．∴∠OCD＝90º．

∴DC是⊙O的切线．

【评析】一定要分清圆的切线的判定定理的条件与结论，特别要注意“经过半径的外端”和“垂直于这条半径”这两个条件缺一不可，否则就不是圆的切线．

【例2】如图2，已知AB为⊙O的直径,过点B作⊙O的切线BC,连接OC,弦AD∥OC．求证：CD是⊙O的切线．

思路：本题中既有圆的切线是已知条件，又证明另一条直线是圆的切线．也就是既要注意运用圆的切线的性质定理，又要运用圆的切线的判定定理．欲证明CD是⊙O的切线，只要证明∠ODC＝90º即可． 图1 O A B C

D

O A B C

D

图2 2

3 4 1 (完整)圆切线证明的方法

证明：连接OD．

∵OC∥AD，∴∠1＝∠3，∠2＝∠4．

∵OA＝OD，∴∠1＝∠2．∴∠3＝∠4．

又∵OB＝OD，OC＝OC，

∴△OBC≌△ODC．∴∠OBC＝∠ODC．

∵BC是⊙O的切线，∴∠OBC＝90º．∴∠ODC＝90º．

1 / 7 圆的切线证明

一、连半径，证垂直

要证明某直线是圆的切线，如果已知直线过圆上的某一个点，那么作出过这一点的半径，证明直线垂直于半径．

1、如图，已知AB为⊙O的直径，点D在AB的延长线上，BD＝OB，点C在圆上，∠CAB＝30º．

求证：DC是⊙O的切线．

思路：要想证明DC是⊙O的切线，只要我们连接OC，证明∠OCD＝90º即可．

证明：连接OC，BC．

∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90º．

∵∠CAB＝30º，∴BC＝21AB＝OB．

∵BD＝OB，∴BC＝21OD．∴∠OCD＝90º．

∴DC是⊙O的切线．

【评析】一定要分清圆的切线的判定定理的条件与结论，特别要注意“经过半径的外端”和“垂直于这条半径”这两个条件缺一不可，否则就不是圆的切线．本题在证明∠OCD＝90º时，运用了“在一个三角形中，如果一条边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形”，当然也可以从角度计算的角度来求∠OCD＝90º．

2、如图，已知⊙Ｏ是△ABC的外接圆，AB是⊙Ｏ的直径，D是AB的延长线上的一点，AE⊥DC交DC的延长线于点E，且AC平分∠EAB．求证：DE是⊙O的切线．

证明：连接OC，则OA=OC，

所以∠CAO=∠ACO， 因为AC平分∠EAB，

所以∠EAC=∠CAO=∠ACＯ，

所以AE∥CO，

又AE⊥DE， 所以CO⊥DE，

所以DE是⊙O的切线．

3、已知⊙O中，AB是直径，过B点作⊙O的切线，连结CO，若AD∥OC交⊙O于D，求证：CD是⊙O的切线。

点悟：要证CD是⊙O的切线，须证CD垂直于过切点D的半径，由此想到连结OD。

证明：连结OD。 ∵AD∥OC，

∴∠COB＝∠A及∠COD＝∠ODA

∵OA＝OD，∴∠ODA＝∠OAD

∴∠COB＝∠COD

∵CO为公用边，OD＝OB

线面垂直的判定定理的证明过程

证明：已知直线L1 L22相交于O点且都与直线L垂直，L3是L1

L2所在平面内任意1条不与L1 L2重合或平行的直线（重合或平行直接可得它与L1平行）

不妨假设L3过O点（可以通过平移得到），在L3上取E、F令OE=OF， 分别过E、F作ED、FB交L2于D、B （令OD=OB）则⊿OED

≌⊿ OFB （SAS）

延长DE、BF分别交L1于A、C 则⊿OEA≌⊿OFC（ASA）（注意角AEO与角CFO的补角相等所以它们相等）。 所以OA=OC，所以⊿OAD≌⊿OBC（SAS）所以AD=CB

因为L3垂直于L1 L2所以MA=MC，MD=MB （M为L 上的任意点）

所以⊿MAD≌⊿MCD（SSS）所以 角MAE= 角MCF 所以⊿MAE≌⊿MCF（SAS）

所以ME=MF，所以⊿MOE≌⊿MOF（SSS），所以角MOE=角MOF

又因为 角MOE与 角MOF互补，所以角MOE=角MOF=90度，即L⊥L3

《等腰梯形的性质定理和判定定理及其证明》教案

教学目标：

知识目标：理解和掌握等腰梯形的性质定理的内容及简单的应用；

能力目标：通过动手操作，探索等腰梯形的性质及其证明方法，初步培养学生探索问题和研究问题的能力；

情感目标：营造一个相互协作的课堂气氛，引领学生自主探究、集体讨论，激发学生的学习热情；

教学重点与难点：

1、 等腰梯形性质的探究及证明；

2、 等腰梯形性质定理的简单应用。

教学过程：

1、复习旧知，引入新课

填空（1） 的四边形是平行四边形；

（2）

的四边形是平行四边形；

（3） 的四边形是平行四边形；

（4） 的四边形是平行四边形；

（5） 的四边形是平行四边形；

（6）一组对边平行，一组对边相等

的四边形是平行四边形；

用举反例的方法举出有一组对边平行，一组对边相等但并不是平行四边形的图形即等腰梯形，从而由这个错误的判定引出梯形、等腰梯形、直角梯形的定义；我们这节课就来研究等腰梯形的性质。

2、 自主探索、提出猜想

把学生分成以四个人一组的若干小组，提供给每个小组一个等腰梯形的模型，让同学们用各种数学工具通过各种数学方法，如翻折、旋转等来探索等腰梯形有哪些性质？

同学们可能会得出下面一些结论：

（1） 两腰相等；

（2） 两个底角相等；

（3） 等腰梯形是轴对称图形，不是中心对称图形；

（4） 两条对角线相等；

………… 3、 交流反馈、共同论证

结论（1）由等腰梯形的定义可以得到而不用证明；

结论（2）的证明探索：（学生讨论交流，提出各自的证明思路）