圆的切线判定定理

(完整)圆切线证明的方法

切线证明法

切线的性质定理： 圆的切线垂直于经过切点的半径

切线的性质定理的推论１: 经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点．

切线的性质定理的推论２: 经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心

切线的判定定理: 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．

切线长定理:

从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角。

一、要证明某直线是圆的切线，如果已知直线过圆上的某一个点，那么作出过这一点的半径，证明直线垂直于半径．

【例1】如图1，已知AB为⊙O的直径，点D在AB的延长线上，BD＝OB,点C在圆上，∠CAB＝30º．求证:DC是⊙O的切线．

思路:要想证明DC是⊙O的切线，只要我们连接OC，证明∠OCD＝90º即可．

证明：连接OC，BC．

∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90º．

∵∠CAB＝30º，∴BC＝21AB＝OB．

∵BD＝OB，∴BC＝21OD．∴∠OCD＝90º．

∴DC是⊙O的切线．

【评析】一定要分清圆的切线的判定定理的条件与结论，特别要注意“经过半径的外端”和“垂直于这条半径”这两个条件缺一不可，否则就不是圆的切线．

【例2】如图2，已知AB为⊙O的直径,过点B作⊙O的切线BC,连接OC,弦AD∥OC．求证：CD是⊙O的切线．

思路：本题中既有圆的切线是已知条件，又证明另一条直线是圆的切线．也就是既要注意运用圆的切线的性质定理，又要运用圆的切线的判定定理．欲证明CD是⊙O的切线，只要证明∠ODC＝90º即可． 图1 O A B C

D

O A B C

D

图2 2

3 4 1 (完整)圆切线证明的方法

证明：连接OD．

∵OC∥AD，∴∠1＝∠3，∠2＝∠4．

∵OA＝OD，∴∠1＝∠2．∴∠3＝∠4．

又∵OB＝OD，OC＝OC，

∴△OBC≌△ODC．∴∠OBC＝∠ODC．

∵BC是⊙O的切线，∴∠OBC＝90º．∴∠ODC＝90º．

1 圆的切线的判定与性质

【知识点精析】

1. 直线与圆有三种位置关系，其中直线与圆只有唯一的公共点，叫直线与圆相切，这个公共点叫切点。这条直线叫圆的切线。

2. 圆的切线的判定与性质：

（1）判定：经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。

判定一条直线是圆的切线需要满足以下两个条件：①经过半径外端②垂直于半径

（2）圆的切线的性质：圆的切线垂直于过切点的半径。

注意：应用圆的切线性质时，需指出切线和切点，才可推出垂直的结论。

例如：已知如图，PO是∠APB的平分线，以O为圆心的圆与PA相切于点C。

3. 切线长定理：

（1）切线长定义：从圆外一点向圆作切线，这点与切点的线段长叫切线长。

圆外一点向圆只能做两条切线，因此有两条切线长。

（2）切线长性质

从圆外一点向圆所引的两条切线长相等，并且这点与圆心的连线平分两条切线所夹的角。

例如：从圆外一点引圆的两条切线，若两切线的夹角为60°，两切点的距离为12求圆半径

（3）三角形的内切圆：对比三角形的外接圆来学习三角形的内切圆

三角形的外接圆：经过三角形三个顶点的圆叫三角形的外接圆

三角形外接圆的圆心叫三角形的外心

三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等

三角形的外心是三角形三边中垂线的交点

三角形的内切圆：与三角形三边都相切的圆叫三角形的内切圆

三角形内切圆的圆心叫三角形的内心

三角形的内心到三角形三边的距离相等

三角形的内心是三角形三角平分线的交点

【解题方法指导】

一 切线长定理的计算

例1. 已知如图：在Rt△ABC中，∠C=90°，点C在AC上，CD为⊙O直径，⊙O切AB于E，若BC=5，AC=12，求⊙O的半径

B

E

A C

1 与切线有关的定理

一、切线的性质及判定

1． 切线的性质：

定理：圆的切线垂直于过切点的半径．

推论1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点．

推论2：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．

2． 切线的判定：

定义法：和圆只有一个公共点的直线是圆的切线；

距离法：到圆心距离等于半径的直线是圆的切线；

定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．

3． 切线长和切线长定理：

⑴ 切线长：在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长．

⑵ 切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角．

①切线的判定定理

设OA为⊙O的半径，过半径外端A作l⊥OA，则O到l的距离d=r，∴l与⊙O相切．因此，我们得到：切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．

注：定理的题设①“经过半径外端”，②“垂直于半径”，两个条件缺一不可．结论是“直线是圆的切线”．举例说明：只满足题设的一个条件不是⊙O的切线．

lAO OAl AOl

证明一直线是圆的切线有两个思路：（1）连接半径，证直线与此半径垂直；（2）作垂线，证垂足在圆上

②切线的性质定理及其推论

切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径．

二、内切圆

1． 定义：和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形． OBAP

2 2． 多边形内切圆：和多边形的各边都相切的圆叫做多边形的内切圆，这个多边形叫做圆的外切多边形．

3．直角三角形的内切圆半径与三边关系

OFEDCBACBACBAcbacba

（1） （2）

图（1）中，设abc，，分别为ABC中ABC，，的对边，面积为S

（苏科版）九年级上册数学《第2章 对称图形---圆》

专题 证明圆的切线的常用的方法

★★★方法指引：

证明一条直线是圆的切线的方法及辅助线作法：1、有交点：连半径、证垂直：当直线和圆有一个公共点时，把圆心和这个公共点连接

起来，然后证明直线垂直于这条半径，简称：“有交点，连半径，证垂直”.

2、无交点：作垂直、证半径：当直线和圆的公共点没有明确时，可以过圆心作直线的

垂线，再证圆心到直线的距离等于半径，简称：“无交点，作垂直，证半径”. 类型一：有公共点：连半径，证垂直

●●【典例一】（2022•雁塔区校级模拟）如图，AB是⊙O的直径，点D在直径AB上（D与A，B不重合），CD⊥AB，且CD＝AB，连接CB，与⊙O交于点F，在CD上取一点E，使得EF＝EC．

求证：EF是⊙O的切线；

【分析】连接OF，根据垂直定义可得∠CDB＝90°，从而可得∠B+∠C＝90°，然后利用等腰三角形的性

质可得∠B＝∠OFB，∠C＝∠EFC，从而可得∠OFB+∠EFC＝90°，最后利用平角定义可得∠OFE＝90°，即可解答；

【解答】证明：连接OF，

∵CD⊥AB，

∴∠CDB＝90°，

∴∠B+∠C＝90°，

∵OB＝OF，EF＝EC，

∴∠B＝∠OFB，∠C＝∠EFC

，题型一 利用等角代换法证明垂直∴∠OFB+∠EFC＝90°，

∴∠OFE＝180°﹣（∠OFB+∠EFC）＝90°，

∵OF是⊙O的半径，

∴EF是⊙O的切线：

【点评】本题考查了切线的判定与性质，勾股定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是

解题的关键．

【变式1-1】 （2022•澄城县三模）如图，AB是△ABC外接圆⊙O的直径，过⊙O外一点D作BC的平行

线分别交AC，AB于点G，E，交⊙O于点F，连接DB，CF，∠BAC＝∠D．

求证：BD是⊙O的切线；

【分析】证明∠ABD＝90°，根据切线的判定可得BD与⊙O相切；

【解答】证明：∵AB是⊙O的直径，

∴∠ACB＝90°，