圆的切线的证明方法

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圆的切线的证明方法

天津四中 杨建成

平面内直线和圆存在着三种位置关系，即直线和圆相离、直线和圆相切、直线和圆相交，这三种位置关系中最重要的是直线和圆相切。那么怎样证明直线和圆相切呢？证明直线是圆的切线大体上有三种方法：

⑴和圆只有一个公共点的直线是圆的切线；

⑵到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线；

⑶经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。

其中⑴是切线的定义，它是从直线与圆的交点的角度来判断直线和圆的位置关系；⑵是从圆心到直线的距离d与圆的半径r的数量关系的角度来判断；⑶是根据切线的判定定理进行判断。⑵和⑶都是由⑴推演出来的。

在几何证明中，常用的是最后一种方法，具体的证法有两种：①当直线与圆有一个公共点时，把圆心和这个公共点连结起来，证明直线垂直于这条半径，简称为“连半径，证垂直”；②当直线和圆的公共点没有明确时，可过圆心作直线的垂线，再证圆心到直线的距离等于半径，简称为“作垂直，证半径”。

例1.如图，已知AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，切点为B，OC平行于弦AD，求证CD是⊙O的切线。

［分析］：因直线CD与⊙O有公共点D，故应采用“连半径，证垂直”的方法。

［证明］：连结OD

∵OC∥AD ∴∠COB=∠DAO， ∠COD=∠ADO

∵OA=OD ∴∠DAO=∠ADO

∴∠COB=∠COD

在△DOC和△BOC中

∵OD=OB，∠COD=∠COB

OC=OC

∴△DOC≌△BOC 页眉内容

∴∠CDO=∠CBO

∵AB是⊙O的直径，BC是切线

∴∠CBO=90°

∴∠CDO=90°

∵OD是⊙O的半径

∴CD是⊙O的切线

例2.如图，已知两个同心圆O中，大圆的弦AB、CD相等，且AB与小圆相切于点E，求证：CD是小圆的切线。

［分析］：因直线CD与⊙O无公共点，故应采用“作垂直，证半径”的方法。

［证明］：连结OE，过O点作OF⊥CD于F

∵AB与小圆相切于点E

∴OE⊥AB ∴AE=BE，CF=DF

∵AB=CD ∴AE=CF

在Rt△AEO和Rt△CFO中

∵OA=OC，AE=CF

∴Rt△AEO≌Rt△CFO

∴OE=OF

∴CD是小圆的切线

例3.如图，已知在△ABC中，CD是AB上的高，且CD=1/2AB，E、F分别是AC、BC的中点，求证：以EF为直径的⊙O 与AB 相切。

［分析］：因直线AB与⊙O无公共点，故应采用“作垂直，证半径”的方法。

［证明］：过O点作OH⊥AB于H

∵E、F分别为AC、BC的中点

∴EF∥AB，且EF=1/2AB

∴G点为CD的中点，OH=GD=1/2CD

∵CD=1/2AB ∴EF=CD

∴OH=1/2EF

∴AB为⊙O的切线

例4.如图，已知AB是⊙O 的直径，线段AF与⊙O相切于点A，D是AF的中点，BF交⊙O于E点，过B点的切线与DE的延长线交于C点，求证：CD与⊙O相切。

［分析］：因直线CD与⊙O有公共点E，故应采用“连半径，证垂直”的方法。

［证法一］：如图4-1，连结OE、AE

∵AB是⊙O的直径

∴AE⊥BF

∵D是AF的中点

∴DA=DF=DE

∴∠DEA=∠DAE

∵OA=OE ∴∠OAE=∠OEA

∵AB是⊙O的直径，AF是⊙O的切线

∴∠DAE+∠OAE=90°

∴∠DEA+∠OEA=90° 页眉内容

∵OE是⊙O的半径

∴CD与⊙O 相切于E

［证法二］：如图4-2，连结OE、AE、OD

∵AB是⊙O的直径

∴AE⊥BF

∵D是AF的中点

∴DA=DE=1/2AF

在△OED和△OAD中

∵DE=DA，OD=OD，OE=OA

∴在△OED≌△OAD

∴∠OED=∠OAD

∵AB是⊙O的直径，AF是⊙O的切线 ∴∠OAD=90°

∴∠OED=90°

∵OE是⊙O的半径

∴CD与⊙O相切于E

［点评］：证法一是利用了等式的性质证明∠OED=∠OAD=90°, 证法二是利用了全等三角形的对应角相等证明∠OED=∠OAD=90°

例5.如图，已知直角梯形ABCD中∠A=∠B=90°，AD∥BC，E为AB上一点，ED平分∠ADC，CE平分∠BCD，试问⑴以AB为直径的圆与边CD有怎样的位置关系？并证明。⑵以CD为直径的圆与AB又有怎样的位置关系？并证明。

［分析］：

⑴取AB的中点E，过E点作EF⊥CD于F，如果EF=AE，那么以AB为直径的圆与边CD相切，这就是“作垂直，证半径”。

⑵的证明方法是在⑴得到AE=BE的基础上,作梯形的中位线EG，即要证明EG为圆的半径又要证明EG⊥AB。

［证明］：⑴以AB为直径的圆与边CD相切。

如图5-1，过E点作EF⊥CD于F

∵DE平分∠ADC，DA⊥AE，EF⊥CD ∴EA=EF

同理可证,EF=EB 页眉内容

∴EA=EB=EF=1/2AB

∵EF⊥CD，且FE=1/2AB

∴以AB为直径的圆与边CD相切

⑵以CD为直径的圆与边AB相切

如图5-2，过E点作EF⊥CD于F，过E点作EG∥BC交CD于G点。

在△EAD与△EFD中

∵∠A=∠EFD=90°

∠ADE=∠FDE，DE=DE

（下转6版）

如何证明圆的切线垂直于圆的半径

用反证法。

设圆O的一条半径是OA，直线l与圆切于A。

假设直线l不垂直于OA，

过O作OM垂直l于M

因为直线l不垂直于OA，所以三角形OMA是直角三角形，

所以OA>OM（直角三角形斜边大于直角边）

即圆心到直线l的距离小于圆半径，即直线l于圆相交，与假设矛盾，所以OA垂直于l

即

圆的切线垂直于圆的半径

圆的切线性质定理是“圆的切线垂直于过切点的半径”及其推论“经过圆心(或切点)且垂直于切线的直线必经过切点(或圆心)”．

于是，切线具有如下性质：

(1)切线与圆只有一个公共点；

(2)切线与圆心的距离等于圆的半径；

(3)切线垂直于过切点的半径；

(4)经过圆心垂直于切线的直线必过切点；

(5)经过切点垂直于切线的直线必过圆心．

从上述5条性质知道：性质(1)是切线的定义；性质(2)是切线判定方法的逆定理；性质(3)、(4)、(5)是切线性质定理及其推论，其中性质(2)、(3)应用较多．

在应用切线性质定理时，如果只有切线，没有半径，要添加辅助线——就是连接过切点的半径，则此半径必垂直于切线．

应用切线的性质能解决几何计算与证明中的有关问题． 页眉内容

(1)利用切线性质计算线段的长度

两个圆相交于A,B两点，半径分别为3和4，若两个圆在A点的切线互相垂直，求两个圆圆心的距离。

两个圆在A点的切线互相垂直,也就是过A点的两个半径互相垂直，所以两个半径，圆心距组成的是直角三角形

所以圆心距是根号下（3^2+4^2)=5

回答人的补充 2009-10-17 10:47因为过直线上一点与已知直线垂直的直线只有一条，切线垂直与半径，而两切线垂直，所以切线就是另一圆的半径

回答人的补充

2009-10-17 10:42半径和切线在切点处垂直，而两条切线也在切点处垂直，过一点有且只有一条直线和已知直线垂直，所以两条半径是互相垂直的，根据勾股定理得5

（两个圆在A点的切线互相垂直, 即过A点的两个半径互相垂直）

圆O1和圆O2相交于A,B两点,过点A作圆O1的切线交圆O2于点E,连接EB并延长交圆O1于点

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[ 标签：o2,切线 ]

圆O1和圆O2相交于A,B两点,过点A作圆O1的切线交圆O2于点E,连接EB并延长交圆O1于点C,直线CA交圆O2于点D

1，当D与A不重合时，EA=ED是否成立？

2，当D与A重合时，

，

（唯一的.）回答:1人气:12解决时间:2010-02-22 09:52

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解：

连结AB，过B做AB⊥FG交⊙O1于F，交⊙O2于G

连结AG

连结AF并延长交⊙O2于H 页眉内容

连结EH

∵AB⊥FG，∴∠ABF=90为直角∴AF为直径，同理AG为直径

AE为⊙O1切线

∴O1A⊥AE

∴AH⊥AE

∴∠HAE=90

∴HE为直径

又∠HAD=∠CAF

∠CAF=∠CBA=∠EBG

∠EBG=∠EAG

又O2A＝O2E

∴∠HAD=∠HEA

∴E平分弧AD

∴EH垂直平分AD

∴AE=DE

有A B两个圆，A圆半径为4厘米，B圆半径为6厘米，如果B圆不动，A沿着B圆圆周滚动，当A到原点时，A的自身转动多少圈

分析：A走过的总长度应该是B的周长

B的周长=2×6π=12πcm

A的周长=2×4π=8πcm

所以A要滚动12π/8π=1.5圈

已知圆o1与圆o2相交于A,B两点,圆o1的切线AC交圆o2于点c，直线EF过点B交圆o于点E，交圆o2于F

1.若直线EF交弦AC于点D时(如图10)求证AE平行于CF2若直线EF交弦AC于点D时(如图2），求证DA*DF=DC*DE

2.3若直线EF交弦AC的反向延长线于点D（图3自作），判断（1），（2）的结论是否成立？并证明你的结论

1、 连接AB