下载文档原格式
2021年人教版暑假小升初数学衔接精编讲义专题02《有理数》知识互联网学习目标1.掌握有理数的分类方法，初步建立分类讨论的思想．2.理解有理数的意义3.熟练掌握数轴及相反数的相关概念，并能灵活运用；理解有理数与数轴上的点的关系，并会借助数轴比较两个数的大小；会求一个数的相反数，并能借助数轴理解相反数的概念及几何意义；4.掌握多重符号的化简；5.掌握一个数的绝对值的求法和性质；进一步学习使用数轴，借助数轴理解绝对值的几何意义；知识要点要点1：有理数的分类（1）按整数、分数的关系分类：（2（1）画一条直线（通常画成水平位置）；（2）在这条直线上取一点作为原点，这点表示0；（3）规定直线上向右为正方向，画上箭头；（4）再选取适当的长度，从原点向右每隔一个单位长度取一点，依次标上1，2，3，…从原点向左，每隔一个单位长度取一点，依次标上-1，-2，-3，…要点分析：（1）原点的位置、单位长度的大小可根据实际情况适当选取．（2）确定单位长度时根据实际情况，有时也可以每隔两个（或更多的）单位长度取一点．要点5：数轴与有理数的关系任何一个有理数都可以用数轴上的点来表示，但数轴上的点不都表示有理数，还可以表示其他数，比如p．要点分析：（1）一般地，数轴上原点右边的点表示正数，左边的点表示负数；反过来也对，即正数用数轴上原点右边的点表示，负数用原点左边的点表示，零用原点表示．（2）一般地，在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大．要点6、相反数1．定义：如果两个数只有符号不同，那么称其中一个数为另一个数的相反数．特别地，0的相反数是0．要点分析：（1）“只”字是说仅仅是符号不同，其它部分完全相同．（2）“0的相反数是0”是相反数定义的一部分，不能漏掉．（3）相反数是成对出现的，单独一个数不能说是相反数．（4）求一个数的相反数，只要在它的前面添上“-”号即可．2．性质：（1）互为相反数的两数的点分别位于原点的两旁，且与原点的距离相等（这两个点关于原点对称）．（2）互为相反数的两数和为0．要点7、多重符号的化简多重符号的化简，由数字前面“-”号的个数来确定，若有偶数个时，化简结果为正，如-{-[-(-4)]}=4 ；若有奇数个时，化简结果为负，如-{+[-(-4)]}=-4 ．要点分析： （1）在一个数的前面添上一个“＋”，仍然与原数相同，如＋5＝5，＋（－5）＝－5．题型1：有理数典例精讲【典型例题1】（2020秋•海淀区校级期末）在下列数数的有( )【变式训练1】（2020秋•徐汇区校级月考）这个两位数是 ．【典型例题1】（2020秋•宽城区期末）有理数a b a -<<，则b 的值不可能是( )变式训练典例精讲题型2：数轴【变式训练1】（2020秋•邗江区期末）数轴上数为 ．【典型例题1】（2011•拱墅区校级模拟）若A ．2a -和2b -B ．1a +和1b +变式训练典例精讲题型3：相反数3【变式训练1】（2016秋•南阳期末）12017-【变式训练2】（2017秋•霸州市校级月考）如图所示，已知【典型例题1】（2017秋•山东月考）已知a 【完整解答】a Q 与3-互为相反数，b 与-【变式训练1】（2020秋•南京期末）有理数( )变式训练典例精讲变式训练题型4：绝对值基础达标一．选择题1．（2021•雅安）2021-的绝对值是( )能力提升。
·有理数加减法法则·——口诀记法 先定符号，再计算， 同号相加不变号； 异号相加“大”减“小”，第6讲 有理数的减法一、【学习目标】1．掌握有理数减法法则并熟练地进行有理数减法运算； 2．培养观察、分析、归纳及运算能力．3.理解有理数的加减法可以互相转化，并了解代数和概念； 二、【知识要点】1、减法是加法的逆运算．2、有理数的加法法则：⑴同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加； ⑵异号两数相加，绝对值相等时和 0；绝对值不等时，取绝对值较大的数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；⑶一个数同0相加，仍得这个数；3. 有理数减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数．点拨：此法则时注意“两变”：一是减法变为加法；二是减数变为其相反数 4.口算：(1)2-7； (2)(-2)-7； (3)(-2)-(-7)； (4)2+(-7)；(5)(-2)+(-7)； (6)7-2； (7)(-2)+7； (8)2-(-7)．5.加减混合运算统一成加法——代数和(-11)-7+(-9)-(-6)按减法法则应为(-11)+(-7)+(-9)+(+6)，这样便把加减混合运算统一成加法．几个正数或负数的和称为代数和.16-(-2)+(-4)-(-6)-7写成代数和是16+2+(-4)+6+(-7)． 为书写简单，可以省略算式中的括号和加号。
(-11)-7+(-9)-(-6)=，读作（ ），运算上可读作（ ） 三、【典例精析】例1.计算：(1)(-3)-(-5)； (2)0-7．例2.计算：(1)18-(-3)； (2)(-3)-18； (3)(-18)-(-3)； (4)(-3)-(-18)．点拨：在小学里学习的减法，差总是小于被减数，在有理数减法中，差不一定小于被减数了，只要减去一个负数，其差就大于被减数．例3计算：(1)(-3)-[6-(-2)]； （2)15-(6-9)．例4.15℃比5℃高多少？ 15℃比-5℃高多少？例5.把(-20)+(+3)-(+5)-(-7)写成省略括号的和的形式，并把它读出来．例6.把下面加减法混合运算的式子改成只含加法的式子：(1)-30-15+13-(-7)； (2)-7-4+(-9)-(-5)．例7.填空：(1)如果a-b=c，那么a=______； (2)如果a+b=c，那么a=______；(3)如果a+(-b)=c，那么a=______； (4)如果a-(-b)=c，那么a=______．例8.用“＞”或“＜”号填空：(1)如果a＞0，b＜0，那么a-b______0；(2)如果a＜0，b＞0，那么a-b______0；(3)如果a＜0，b＜0，|a|＞|b|，那么a-b______0；(4)如果a＜0，b＜0，那么a-(-b)______0．例9.在数轴上，点A，B分别表示数a,b.利用有理数的减法，分别计算下列情况下点A，B 之间的距离：a=2,b=6 ; a=0,b=6; a=2,b=-6; a=-2,b=-6你能发现点A，B之间的距离与数a,b之间的关系吗？点拨：总结：（1）由于把减数变为它的相反数，从而减法转化为加法．有理数的加法和减法，都可以统一用加法来解决．（2）不论减数是正数、负数或是零，都符合有理数减法法则．在使用法则时，注意被减数是永不变的．（3）因为有理数加减法可统一成加法，所以在加减运算时，适当运用加法运算律，把正数与负数分别相加，可使运算简便．但要注意交换加数的位置时，要连同前面的符号一起交换．四、【过关精练】1．下面说法中正确的是（）A．在有理数的减法中，被减数一定要大于减数 B．两个负数的差一定是负数C．正数减去负数差是正数 D．两个正数的差一定是正数2．下面说法中错误的是（）A ．减去一个数等于加上这个数的相反数B ．减去一个数等于减去这个数的相反数C ．零减去一个数就等于这个数的相反数D ．一个数减去零仍得这个数 3．甲数减乙数差大于零，则（ ）A ．甲数大于乙数B ．甲数大于零，乙数也大于零C ．甲数小于零，乙数也小于零D ．以上都不 4.比－3多2的数是____ ______，比－3少2的数是___ _____； 5.⑴.()a b a --=+ ；. ⑵a b a +=- .6.口答：(1)-8-8= ； (2)(-8)-(-8)= ； (3)8-(-8)= ； (4)8-8= ；(5)0-6= ； (6)6-0= ； （7)0-(-6)= ； (8)(-6)-0= ；(9)16-47= ； (10)28-(-74)= ； (11)(-37)-(-85)= ； （12)(-54)-14=(13)1.6-(-2.5)= ；(14)0.4-1= ；(15)(-3.8)-7= ； (16)(-5.9)-(-6.1)=7.判断：⑴.若00a b ><，，则0a b ->；（ ）⑵.若0a b ->成立，则a b >；（ ） ⑶.若0a >，0b >，则0a b ->（ ）8.请举例说明两个数的差不一定小于被减数．9.如图，根据图中a 与b 的位置确定下面计算结果的正负．（1）a b -；（2）a b --；（3）()b a --；（4）()a b ---10.计算：（1）2.7－（－3.1）； （2）0.15－0.26； （3）（－5）－（－3.5）（4）2435⎛⎫--⎪⎝⎭；（5）517766⎛⎫--⎪⎝⎭；（6）132324-11.2012年4月2日，长春等5个城市的最高气温与最低气温记录如下表，哪个城市的温差最大？哪个城市的温差最小？12.求数轴上表示两个数的两点间的距离．（1）表示122的点与表示143的点．（2）当0a>时，表示数a的点与表示a-的点．13．世界最高峰是珠穆朗玛峰，海拔高度是8848m，陆上最低处是位于亚洲西部的死海湖，湖面海拔高度是-392m．两处高度相差多少？14..一次全国高考数学试题共15个选择题，规定答对一个得4分，答错一个扣1分，不答得0分，某人选对12个，错2个，未选一个，请问该生选择题得多少分？。
小升初数学衔接讲义本讲义在小学数学和中学数学的联系中起着承上启下的作用。
编写本讲义的目的在于：1.帮助学生梳理小学的数学知识和数学方法。
2.为学生学习中学数学作必要的准备。
3.让学生熟悉新生分班考试。
初中预科部分:本讲义较充分地体现了课程标准的基本理论，学习本讲义将为初中数学的学习提供一个示范。
本讲义体现的数学思想方法、数学人文精神、数学应用意识、数学价值观等都应该在中学数学的学习中得到贯彻。
小学部分:按模块梳理小学知识点并加以提升，形成知识系统。
辅以小升初分班考试模拟试卷及前几年真题，提前适应并熟悉分班考试。
本讲义按照如下线索展开内容：学习目标——知识梳理——典例精析——过关精练.其内容标准是：1.使学生初步认识到数学与现实世界的密切联系，懂得数学的价值（人类离不开数学），形成用数学的意识。
2.使学生初步体验到数学是一个充满着观察、实验、归纳、类比和猜测的探索过程。
3.使学生对数学产生一定的兴趣，获得学好数学的自信心（人人都能学会数学）。
4.使学生学会与他人合作，养成独立思考与合作交流的习惯。
注：本讲义可供初一新生在课程起始阶段使用，也可供学生在初一上期的学习过程中使用，更可作为暑假期间小学毕业生的辅导用书以及初一教师的衔接辅导教材。
目录第一部分：初中预科第一章有理数第二章整式的加减第三章一元一次方程第四章图形的初步认识第二部分：小学模块复习模块一计算模块二分数和比例问题模块三浓度和利润问题模块四工程问题模块五行程问题(一)模块六行程问题(二)模块七图形问题(一)模块八图形问题(二)模块九统计第三部分：分班考试模拟及真题1.历届长沙市及名校初一新生分班考试数学试卷2.东方沸点初一新生分班考试模拟试卷3.常考知识点梳理第一章 有理数 1.1正数和负数一、基础知识1. 像3、2、0.8这样大于0的数叫做正数。
（根据需要，有时也在正数前面加正号“+”。
）2. 像-1、-4、-0.6这样在正数前面加负号“-”的数叫做负数。
第六讲有理数的乘方【课程解读】————小学初中课程解读————、、初中数学中，理解乘方的意义，掌握有理数的加、减、乘、除、乘方及简单的混合运算（以三步以内为主）。
【知识衔接】————小学知识回顾————一、面积计量单位及进率：平方千米、公顷、平方米、平方分米、平方厘米1平方千米=100公顷1平方千米=1000000平方米1公顷=10000平方米1平方米=100平方分米1平方分米=100平方厘米二、体积容积计量单位及进率：立方米、立方分米、立方厘米、升、毫升1立方米=1000立方分米1立方分米=1000立方厘米1立方分米=1升1立方厘米=1毫升————初中知识链接————一、乘方的定义⋅⋅⋅⋅⋅记作n a.这种求几个相同因数的机的运算，叫做乘方，乘方一般地，n个相同的因数a相乘，即a a a a的结果叫做幂.在n a中，a叫做底数，n叫做指数，n a读作“a的n次方”；当n a看作a的n次方的结果时，也可以读作a的n次幂.一个数可以看做这个数的1次方.二、乘方的性质正数的任何次幂是正数，负数的偶数次幂是正数，负数的奇数次幂是负数；0的任何正整数次幂都等于0.三、有理数的混合运算的运算顺序：（1）先算乘方，再算乘除，最后算加减；（2）同级运算，从左到右进行；（3）如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行。
【经典题型】小学经典题型1．一根圆柱形铁棒有多少立方厘米是求（），做一个圆柱形通风管要用多少铁皮是求（）。
A．容积；表面积B．表面积；侧面积C．体积；侧面积D．侧面积；表面积2．南京到徐州的铁路长346（）。
A．千米B．米C．分米3．学校9：25上第二节课，一节课40分钟，（________）下第二节课。
4．2时＝（________）分24个月＝（________）年3平方米＝（________）平方分米5000平方厘米＝（________）平方分米5．在括号里填上合适的小数。
8角＝（________）元5分米＝（________）米4厘米＝（________）米6．等量划算。
第5讲有理数的乘除法【教材精讲】教学目标：1、经历探索有理数乘法法则的过程,能运用法则进行有理数乘法运算；2、探索多个有理数相乘时，积的符号的确定方法，会运用乘法运算律简化运算.3、理解除法是乘法的逆运算，掌握除法法则，会进行有理数的除法运算；4、能够熟练应用有理数的乘除法法则和乘法运算律进行有理数的乘除法混合运算.教学重点：运用有理数乘法则和乘法运算律进行有理数乘法运算，掌握除法法则，会进行有理数的除法运算；熟练进行有理数的乘除法混合运算.教学难点：有理数的乘除法法则的应用；有理数的乘除法混合运算.•教学过程一创设问题情境，引入新课(1)登山队攀登一座高峰，每登高1km,气温下降6°C,登高3km后，气温下降多少？(2)登山队攀登一座高峰，每登高lkm,气温上升-6°C,登高3km后，气温上升多少？(3)登山队攀登一座高峰，每登高lkm,气温上升-6°C,登高-3kn)后，气温有什么变化？(1)6°CX3=18°C, (2) -6°CX3=-18°C, (3) -6°CX (-3)二18°C.二探求新知(一)探索有理数的乘法法则结合上面的问题计算：(1)___________ 2X3二—; (2) —2X3=匚6 ; (3)2X (-3)= -6 ; (4) (-2) X (_3)二6 ______ ;⑸ 3 X 0二__ 0_—; (6) -3 X 0二_____________ .归纳法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘.任何数同0相乘，都得 _・例1：计算：⑴ 5 X (-3) (2) (-4) X 6.(3) (-7) X (-9) (4) 0.5X0.7解：(1) 5X (-3)=- 5X3=-15, (2) (-4) X 6二-4X 6二-24,(3) (-7) X (-9) =7) X9=63, (4) 0.5X0. 7二0.35(二)合作探究：多个有理数相乘时，积的符号法则：观察：下列各式的积是正的还是负的？(1)2X3X4X (-5),(2)2X3X (-4) X (-5),(3)2X (-3) X (-4)X (一5),(4)( —2) X ( — 3) X (―4) X ( —5).思•考：儿个不是0的数相乘，积的符号与负因数的个数之间有什么关系？(1)(3)题负因数的个数是奇数个，积为负数；(2)(4)题负因数的个数是偶数个，积为正数；再看两题：(1)(一2) X (-3) XOX (-4)；(2)2X0 .X (一3) X (一4).结论：多个有理数相乘，如果有一个为零，积为零。
第一讲 数系扩张--有理数（一）一、【问题引入与归纳】1、正负数，数轴，相反数，有理数等概念。
2、有理数的两种分类：3、有理数的本质定义，能表成mn（0,,n m n ≠互质）。
4、性质：① 顺序性（可比较大小）；② 四则运算的封闭性（0不作除数）；③ 稠密性：任意两个有理数间都存在无数个有理数。
5、绝对值的意义与性质：① (0)||(0)a a a a a ≥⎧=⎨-≤⎩ ② 非负性 2(||0,0)a a ≥≥③ 非负数的性质： i ）非负数的和仍为非负数。
ii ）几个非负数的和为0，则他们都为0。
二、【典型例题解析】：若||||||0,a b ab ab a b ab+-则的值等于多少？如果m 是大于1的有理数，那么m 一定小于它的（ D ） A.相反数 B.倒数 C.绝对值 D.平方已知两数a 、b 互为相反数，c 、d 互为倒数，x 的绝对值是2，求220062007()()()x a b cd x a b cd -+++++-的值。
如果在数轴上表示a 、b 两上实数点的位置，如下图所示，那么||||a b a b -++化简的结果等于（ ）A.2aB.2a -C.0D.2b已知2(3)|2|0a b -+-=，求b a 的值是（ ）例1例2 例3 例4例51、绝对值的几何意义①|||0|a a=-表示数a对应的点到原点的距离。
②||a b-表示数a、b对应的两点间的距离。
2、利用绝对值的代数、几何意义化简绝对值。
二、【典型例题解析】：（1）若20 a-≤≤，化简|2||2|a a ++-（2）若0x，化简|||2||3|||x xx x---解答：设0a，且||axa≤，试化简|1||2|x x+--解答：a、b是有理数，下列各式对吗？若不对，应附加什么条件？（1）||||||;a b a b+=+（2）||||||;ab a b=（3）||||;a b b a-=-（4）若||a b=则a b=（5）若||||a b，则a b（6）若a b，则||||a b解答：若|5||2|7x x++-=，求x的取值范围。
小升初衔接数学讲义(共13讲)小升初衔接专题讲义第一讲数系扩张--有理数（一）一、问题引入与归纳1.正负数、数轴、相反数、有理数等概念。
2.有理数的两种分类。
3.有理数的本质定义，能写成 m/n （n≠0，m、n 互质）。
4.性质：①顺序性（可比较大小）；②四则运算的封闭性（除数不能为零）；③稠密性：任意两个有理数间都存在无数个有理数。
5.绝对值的意义与性质：① |a| = a（a≥0）或 |a| = -a（a<0）。
②非负性。
③非负数的性质：i）非负数的和仍为非负数。
ii）几个非负数的和为零，则它们都为零。
二、典型例题解析：例1：若ab ≠ 0，则 (a+b)/|ab| 的值等于多少？例2：如果 m 是大于 1 的有理数，那么 m 一定小于它的（D）。
A。
相反数 B。
倒数 C。
绝对值 D。
平方例3：已知两数 a、b 互为相反数，c、d 互为倒数，x 的绝对值是 2，求 x^2-(a+b+cd)x+(a+b)2006+(-cd)2007 的值。
例4：如果在数轴上表示 a、b 两个实数点的位置，如下图所示，那么 |a-b|+|a+b| 化简的结果等于（）A。
2a B。
-2a C。
0 D。
2b例5：已知 (a-3)^2+|b-2|=9，求 ab 的值是（）A。
2 B。
3 C。
9 D。
6例6：有 3 个有理数 a、b、c，两两不等，那么 a-b/b-c，c-a/a-b 中有几个负数？例7：设三个互不相等的有理数，既可表示为 1，a+b，a 的形式式，又可表示为 b/a，b 的形式，求 a^2006+b^2007.例8：三个有理数 a、b、c 的积为负数，和为正数，且 X = (abc/|ab|+|bc|+|ac|)+ab+bc+ac，则 ax^3+bx^2+cx+1 的值是多少？例9：若 a、b、c 为整数，且 |a-b|^2007+|c-a|^2007=1，试求 |c-a|+|a-b|+|b-c| 的值。
第六讲有理数的加减法提升【课程解读】————初中课程解读————初中课程1.理解有理数的加法法则、减法法则、运算律；2.熟练掌握有理数加减法的混合运算，总结计算技巧；3.复习绝对值的几何意义，绝对值与有理数的混合运算的综合运用；4.理解有理数的混合运算的实际应用；5.有理数混合运算与数轴的综合运用；【知识衔接】————初中知识与典例链接————1、有理数加法法则：①同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；②异号两数相加，绝对值相等时,和为0；绝对值不等时,取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；③一个数与零相加，仍得这个数．注：一个有理数由符号和绝对值两部分组成，所以进行加法运算时，必须分别确定和的符号和绝对值．计算技巧：“先算符号”，“再算绝对值”2、有理数加法运算律（1）加法交换律：两个数相加，交换加数的位置，和不变。
符号语言：a ＋b ＝b ＋a ；（2）加法结合律：三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变。
符号语言：（a ＋b ）＋c ＝a ＋（b ＋c ）．3、有理数减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数．由此可见，有理数的减法运算可以转化为加法运算．4、()()()()46108+--+---这是一道有理数的加减混合运算题，你会做吗？探究归纳：（1）上题可以按照运算顺序，从左到右逐一加以计算；（2）上题通常也可以用有理数减法法则，把它改写：()()()()46108-+-+++-统一为只有加法运算的和式．把加减法统一写成加法的式子，有时也叫做代数和．（3）在一个和式里，通常把各个加数的括号和它前面的加号，省略不写．如上式可写成省略加号的和的形式：﹣8＋10－6－4.象这样的式子仍看作和式，读作“负8、正10、负6、负4的和”，按运算意义也可读作“负8加10减6减4”，在这里把除第一个数外的数字前面的符号都可看作为运算符号，又可看作性质符号，这样，性质符号与运算符号既有区别，又有联系，有时可以互相转化。
第六讲 有理数的应用知识1.掌握有理数的乘除乘方运算；2.掌握有理数的混合运算.方法1.能够正确计算有理数的乘除运算；2.能够正确计算有理数的混合运算.已知a ，b 互为相反数，c ，d 互为倒数，x 的绝对值等于2，求223ba cdx x +-+的值． 【答案】见试题解答内容【分析】根据a ，b 互为相反数，c ，d 互为倒数，x 的绝对值等于2，可以求得a+b ，cd ，x 的值，然后即可求得所求式子的值．【解答】解：∵a ，b 互为相反数，c ，d 互为倒数，x 的绝对值等于2， ∴a+b=0，cd=1，x=±2， 当x=2时，原式=23+1×22-0 =8+1×4-0 =8+4-0 =12；当x=-2时，原式=（-2）3+1×（-2）2-0 =-8+1×4-0 =-8+4-0 =-4，由上可得，原式的值为12或-4． 若a 与b 互为相反数，c 与d 互为倒数，|m |=2，求代数式3223m cd ba +-+的值． 01课堂目标02例题精析利用有理数的性质求值题型一例1例2【答案】见试题解答内容【分析】直接利用相反数以及倒数和绝对值的性质分别分析得出答案． 【解答】解：∵a 与b 互为相反数，c 与d 互为倒数，|m|=2， ∴a+b=0，cd=1，m=±2， 当m=2时， ∴原式=0-2+2×23 =14； 当m=-2时，∴原式=0-2+2×（-2）3 =--18，综上所述：代数式的值为14或-18．若a 、b 互为相反数，b 、c 互为倒数，并且m 是绝对值等于它本身的数．求bc m ba +++222值． 【答案】见试题解答内容【分析】利用相反数，倒数，以及绝对值的意义求出a+b ，cd ，m 的值，代入原式计算即可得到结果.【解答】解：由题意得：a+b=0，bc=1，m 为非负数，则原式=1.已知a 、b 互为相反数且a ≠0，c 、d 互为倒数，|m |是最小的正整数，求cdb a m -++2020)(20192的值．【答案】1或-3．【分析】先根据相反数的性质、倒数的定义和绝对值的性质得出a+b=0，cd=1，|m|=1，再分别代入计算即可．【解答】解：根据题意知a+b=0，cd=1，|m|=1， 当m=1时，原式=2×1+0-1=1； 当m=-1时，原式=2×（-1）+0-1=-3； 综上，原式的值为1或-3．变式1 变式2 定义新运算题型二对于有理数a 、b ，定义一种新运算“⊗”如下：a b ab b a 2-=⊗，则=-⊗-)43()3(____ ． 定义一种新运算“☆”，规则为：m ☆n =mn +mn -n ，例如：2☆3=23+2×3-3=8+6-3=11，解答下列问题：（1）（-2）☆4；（2）（-1）☆[（-5）☆2]． 【【【【☆1☆4☆☆2☆-27☆【分析】（1）根据m ☆n=m n +mn-n ，可以求得所求式子的值； （2）根据m ☆n=m n +mn-n ，可以求得所求式子的值． 【解答】解：（1）∵m ☆n=m n +mn-n ， ∴（-2）☆4=（-2）4+（-2）×4-4 =16+（-8）+（-4） =4；（2）∵m ☆n=m n +mn-n ， ∴（-1）☆[（-5）☆2]=（-1）☆[（-5）2+（-5）×2-2] =（-1）☆（25-10-2） =（-1）☆13=（-1）13+（-1）×13-13 =（-1）+（-13）+（-13） =-27．已知a ，b 为有理数，如果规定一种新的运算“☆”，规定：a ☆b =2b -3a ，例如：1☆2=2×2-3×1=4-3=1，计算：（2☆3）☆5=__________． 【答案】10．【分析】根据a ※b=2b-3a ，可以计算出所求式子的值． 【解答】解：∵a ※b=2b-3a ， ∴（2※3）※5 =（2×3-3×2）※5 =（6-6）※5例1例2变式1=0※5 =2×5-3×0 =10-0 =10，故答案为：10．规定一种新运算a *b =a -b 2，则4*[5*（-2）]=__________．【答案】3．【分析】根据a*b=a-b 2，可以求得所求式子的值 【解答】解：∵a*b=a-b 2， ∴4*[5*（-2）] =4*[5-（-2）2] =4*（5-4） =4*1 =4-12 =4-1 =3，故答案为：3．某天早上，一辆交通巡逻车从A 地出发，在东西向的马路上巡视，中午到达B 地，如果规定向东行驶为正，向西行驶为负，行驶纪录如下．（单位：km ）第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 第六次 第七次 +15﹣8+6+12﹣4+5﹣10（1）巡逻车在巡逻过程中，第 次离A 地最远． （2）B 地在A 地哪个方向，与A 地相距多少千米？（3）若每千米耗油0.2升，每升汽油需7元，问这一天交通巡逻车所需汽油费多少元？变式2 有理数中的实际应用题型三例1【答案】见试题解答内容【分析】（1）根据有理数的加法运算，分别计算出每次距A地的距离，可得离A地最远距离；（2）根据有理数的加法运算，可得正数或负数，根据向东记为正，向西记为负，可得答案；（3）根据行车就耗油，可得耗油量，再根据总价=单价×数量即可求解．【解答】解：（1）第一次距A地：15千米，第二次距A地：15-8=7千米，第三次距A地：7+6=13千米，第四次距A地：13+12=25千米，第五次距A地：25-4=21千米，第六次距A地：21+5=26千米，第七次距A地：26-10=16千米，26＞25＞21＞16＞15＞13＞7，答：巡逻车在巡逻过程中，第6次离A地最远；（2）15-8+6+12-4+5-10=16（千米），答：B地在A地东方，与A地相距16千米；（3）|+15|+|-8|+|+6|+|+12|+|-4|+|+5|+|-10|=60（千米），60×0.2=12（升），12×7=84（元）．答：这一天交通巡逻车所需汽油费84元．故答案为：6．在抗洪抢险中，解放军战士的冲锋舟加满油沿东西方向的河流抢救灾民，早晨从A地出发，晚上变式1到达B地，约定向东为正方向，当天的航行路程记录如下（单位：千米）：+15，-8，+9，-6，+14，-5，+13，-4．（1）B地位于A地的什么方向？距离A地多少千米？（2）若冲锋舟每千米耗油0.6升，油箱容量为30升，求冲锋舟当天救灾过程中至少还需补充多少升油？（3）救灾过程中，冲锋舟离出发点A最远时，距A地多少千米？【答案】见试题解答内容【分析】（1）把题目中所给数值相加，若结果为正数则B地在A地的东方，若结果为负数，则B地在A地的西方；（2）先求出这一天航行的总路程，再计算出一共所需油量，减去油箱容量即可求出途中还需补充的油量；（3）分别计算出各点离出发点的距离，取数值较大的点即可．【解答】解：（1）∵15-8+9-6+14-5+13-4=28，∴B地在A地的东边28千米；（2）这一天走的总路程为：15+|-8|+9+|-6|+14+|-5|+13|+|-4|=74千米，应耗油74×0.6=44.4（升），故还需补充的油量为：44.4-30=14.4（升），答：冲锋舟当天救灾过程中至少还需补充14.4升油；（3）∵路程记录中各点离出发点的距离分别为：15千米；15-8=7千米；7+9=16千米；16-6=10千米；10+14=24千米；24-5=19千米；19+13=32千米；32-4=28千米．∴冲锋舟离出发点A最远时，距A地32千米．汽油价格的毎一次调整影响着有车一族的汽车用油的费用．王旭驾驶的汽车毎一次都加92号汽油，例2他时刻关注92号汽油的价格变化.2018年12月20日92号汽油的价格为6.74元/升，下表是92号汽油价格在6.74元/升基础上连续七次调整的变化情况，其中在上一次价格的基础上涨价记为正数，降价记为负数，如表中的﹣0.12表示第四次调整是在第三次调整后的92号汽油价格基础上毎升降0.12元．调整次数第一次第二次第三次第四次第五次第六次第七次价格变化-0.30+0.27+0.27-0.12+0.18-0.05-0.10（1）在这七次调整中，哪次调整后92号汽油的价格最高，每升多少元？哪次调整后92号汽油的价格最低，每升多少元？（2）王旭一家在五一期间自驾游玩，他驾驶的汽车毎行驶100km耗油8升，如果在这次游玩中他驾驶的汽车一共行驶600km，92号汽油价格按第六次调整的价格计算，那么在这次游玩中王旭驾驶汽车的用油费用是多少元？【答案】见试题解答内容【分析】（1）求得这七次调整后92号汽油的价格，比较即可得到结论； （2）根据单位油价乘以总用油量，可得答案．【解答】解：（1）第一次价格：6.74-0.30=6.44（元）， 第二次价格：6.44+0.27=6.71（元）， 第三次价格：6.71+0.27=6.98（元）， 第四次价格：6.98-0.12=6.86（元）， 第五次价格：6.86+0.18=7.04（元）， 第六次价格：7.04-0.05=6.99（元）， 第七次价格：6.99-0.10=6.89（元），∵6.44＜6.71＜6.86＜6.89＜6.98＜6.99＜7.04，∴第五次调整后92号汽油的价格最高，每升7.04元，第一次调整后92号汽油的价格最低，每升6.44元；（2）600÷100×8=48（升）， 6.99×48=335.52（元），答：在这次游玩中王旭驾驶汽车的用油费用是335.52元．2020年的“新冠肺炎”疫情的蔓延，市场上医用口罩销量大幅增加，某口罩加工厂为满足市场需求，计划每天生产6000个，由于各种原因与实际每天生产量相比有出入，下表是三月份某一周的生产情况（超产为正，减产为负，单位：个）．（2）与原计划产量比较，这周产量超产或减产多少个？（3）若口罩加工厂实行计件工资制，每生产一个口罩0.2元，则本周口罩加工厂应支付工人 的工资总额是多少元？【答案】（1）产量最多的一天比产量最少的一天多生产500个； （2）这周产量超产500个；（3）本周口罩加工厂应支付工人的工资总额是8500元．变式2【分析】（1）根据正负数的意义确定星期三产量最多，星期二产量最少，然后用记录相减计算即可得解；（2）求出一周记录的和即可求出这周产量超产或减产多少个；（3）求出一周记录的和，然后根据工资总额的计算方法列式计算即可得解． 【解答】解：（1）+300-（-200）=500（个）， （2）+150-200+300-100-50+250+150=500（个），（3）6000×7+（150-200+300-100-50+250+150）=42500（个）， 42500×0.2=8500（元），答：（1）产量最多的一天比产量最少的一天多生产500个； （2）这周产量超产500个；（3）本周口罩加工厂应支付工人的工资总额是8500元．第六讲 有理数的应用作业1.若a 与b 互为相反数，b 与c 互为倒数，并且m 的平方等于它本身，试求m bc m ba 3222-+++的值． 【答案】见试题解答内容【分析】直接利用有理数的混合运算法则计算得出答案【解答】解：∵a 与b 互为相反数b 与c 互为倒数，并且m 的平方等于它本身， ∴a+b=0，bc=1，m=1或0； 当m=1时，则原式=0+1-3=-2； 当m=0时，则原式=0+1-0=1．2.已知：a 与b 互为相反数，c 与d 互为倒数，m 的绝对值是2，求代数式222m mcdb a --+的值． 【答案】见试题解答内容【分析】根据题意可得，a+b=0，cd=1，m=±2，代入求解即可．作业一 利用有理数的性质求值【解答】解：由题意得，a+b=0，cd=1，m=±2， 分两种情况：（1）当m=2时，原式=29-；（2）当m=-2时，原式=27-1.对于有理数a ，b ，定义一种新运算“⊗”，规定a ⊗b =|a +b |-|a -b |．计算（-3）⊗2的值． 【答案】见试题解答内容【分析】根据a ⊗b=|a+b|-|a-b|，可以求得所求式子的值． 【解答】解：∵a ⊗b=|a+b|-|a-b|， ∴（-3）⊗2=|（-3）+2|-|（-3）-2| =1-5 =-4.2.定义一种新运算“⊗”，即m ⊗n =（m +2）×3-n ，例如2⊗3=（2+2）×3-3=9．根据规定解答下列问题： （1）求6⊗（-3）的值；（2）通过计算说明6⊗（-3）与（-3）⊗6的值相等吗？ 【答案】见试题解答内容【分析】（1）利用题中的新定义计算即可得到结果； （2）分别计算出两式的值，即可做出判断． 【解答】解：（1）6⊗（-3）=（6+2）×3-（-3） =24+3 =27；（2）（-3）⊗6=（-3+2）×3-6 =-3-6 =-9，所以6⊗（-3）与（-3）⊗6的值不相等．作业二 定义新运算作业三有理数中的实际应用1.有10袋小麦，每袋以90kg为标准，超过的千克数记作正数，不足的千克数记作负数，称后的记录如表：袋号12345678910重量（kg）+1+1+1.5-1+1.2+1.3-1.3-1.2+1.8+1.1（1）请通过计算说明这10袋小麦总计超过多少kg或不足多少kg？（2）若每千克小麦2.5元，求10袋小麦一共可以卖多少元？【答案】（1）超过5.4kg；（2）2263.5元．【分析】（1）“正”和“负”相对，超过的千克数记为正数，不足的千克数记为负数，把称重记录的数据相加，和为正说明超过了，和为负说明不足；（2）先求10袋小麦的总重量，即乘单价即可求解．【解答】解：（1）+1+1+1.5-1+1.2+1.3-1.3-1.2+1.8+1.1=5.4（kg）．故这10袋小麦总计超过5.4kg；（2）（90×10+5.4）×2.5=2263.5（元）．故10袋小麦一共可以卖2263.5元．2.在抗洪抢险中，解放军战士的冲锋舟加满油沿东西方向的河流抢救灾民，早晨从A地出发，晚上到达B地，约定向东为正方向，当天的航行路程记录如下（单位：千米）：+14，-9，+8，-7，+13，-6，+12，-5．（1）请你帮忙确定B地相对于A地的方位？（2）救灾过程中，冲锋舟离出发点A最远处有多远？（3）若冲锋舟每千米耗油0.5升，油箱容量为28升，求冲锋舟当天救灾过程中至少还需补充多少升油？【答案】见试题解答内容【分析】（1）把题目中所给数值相加，若结果为正数则B地在A地的东方，若结果为负数，则B地在A地的西方；（2）分别计算出各点离出发点的距离，取数值较大的点即可；（3）先求出这一天走的总路程，再计算出一共所需油量，减去油箱容量即可求出途中还需补充的油量．【解答】解：（1）∵14-9+8-7+13-6+12-5=20，∴B地在A地的东边20千米；（2）∵路程记录中各点离出发点的距离分别为：14千米；14-9=5千米；14-9+8=13千米；14-9+8-7=6千米；14-9+8-7+13=19千米；14-9+8-7+13-6=13千米；14-9+8-7+13-6+12=25千米；14-9+8-7+13-6+12-5=20千米．∴最远处离出发点25千米；（3）这一天走的总路程为：14+|-9|+8+|-7|+13+|-6|+12+|-5|=74千米，应耗油74×0.5=37（升），故还需补充的油量为：37-28=9（升）。
