到两个定点距离积为定值的轨迹卡西尼卵形线的几何画板作法常州

2023普通高等学校招生全国统一考试·北京卷数学一、选择题(本大题共10个小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)1.设集合A ={x ∈N }2，集合B ={y |y =x 2+2}，则A ∩B =（ ）A.[1，4]B.[2，4]C.{1，2，3，4}D.{2，3，4}2.复数z 满足z i=2－i ，则下列结论正确的是 A.z 2+2z －5=0B.z =1+2iC.z 在复平面内对应的点位于第四象限D.|z3.若(1－2x )2023=a 0+xa 1x +a 2x 2+...+a 0x 2023，则号20231222023...222a a a +++的值为（ ） A.－1B.0C.12D.1 4.“α＞6π”是“α－sin α＞36π-”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件5.在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C ：(x －1)2+y 2=4，若直线l ：x +y +m =0上有且只有一个点P 满足；过点P 作圆C 的两条切线PM ，PN ，切点分别为M ，N ，且使得四边形PMCN 为正方形，则正实数m 的值为（ ）A.1C.3D.76.已知奇函数f (x )在R 上是减函数，g (x )=xf (x )，若a =g (－log 25.1)，b =g (3)，c =g (20.8)，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A.a <b <cB.c <b <aC.b <c <aD.b <a <c7.已知双曲线E ：22221x y a b-= (a >0，b >0)的焦点关于渐近线的对称点在双曲线E 上，则双曲线E 的离心率为（ ）B.2D.28.英国数学家生顿在17世纪给出一种求方程近似根的方法－NewtorRaphso －method 译为生顿－拉夫森法.做法如下：设r 是f (x )=0的根，选取x 0作为r 的初始近似值，对点(x 0，f (x 0))做曲线y =f (x )的切线l ：y －f (x 0)=f ’(x 0)(x －x 0)，则l 与x 轴交点的横坐标为01000()('()0)'()f x x x f x f x =-≠，称x 1是r 的一次近似值；重复以上过程，得r 的近似值序列，其中1()('()0)'()n n n n n f x x x f x f x +=-≠，称x n +1是r 的n +1次近似值.运用上述方法，并规定初始近似值不得超过零点大小，则函数f (x )=ln x +x －3的零点一次近似值为(精确到小数点后3位.参考数据：ln2=0.693)（ ）A.2.207B.2.208C.2.205D.2.204 9.如图，在棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别为棱A 1D 1、AA 1的中点，G 为线段B 1C 上一个动点，则下列错误的是（ ）A.存在点G ，使直线B 1C ⊥平面EFGB.存在点G ，使平面EFG /平面BDC 1C.三棱锥A 1－EFG 的体积为定值D.平面EFG 截正方形所得截面的最大面积为9810.平面内到两定点距离之积为常数的点的轨迹为卡西尼卵形线，它是1675年卡西尼在研究土星及其卫星的运行规律时发现的，已知在平面直角坐标系xOy 中，M (－2，0)，N (2，0)，动点P 满足|PM |▪|PN |=5，则下列结论正确的是（ ）A.点P 的横坐标的取值范围是[] B.|OP |的取值范围是[1，3] C.△PMN 面积的最大值为5D.|PM |+|PN |的取值范围是，5]二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分) 11.在等比数列{a n }中，a 2=2，且131154a a +=，则a 1+a 3的值为_________. 12.设向量a 与向量b 的夹角为θ，定义a 与b 的向量积：a ×b 是一个向量，它的模|a ×b |=|a ||b |sin θ，若m =(1，0)，n =(－1，则|m ×n |=_________. 13.已知函数f (x )=sin ωx +3cos ωx (ω>0)的零点依次构成一个公差为2π的等差数列，把函数f (x)的图象向右平移6π个单位长度，得到函数g (x )的图象，则函数g (x )是_________函数.(填奇、偶、非奇非偶)14.已知F 为抛物线C ：y 2=3的焦点，过F 的直线l 与抛物线C 交于A 、B 两点，若|AF |=λ|BF |=λ，则λ=_________.15.对于定义域为D 的函数y =f (x )，若存在区间[a ，b ]⊆D 使得f (x )同时满足：①f (x )在[a ，b ]上是单调函数；②当f (x )的定义域为[a ，b ]时，f (x )的值域也为[a ，b ]，则称区间[a ，b ]为该函数的一个“和谐区间”，M 则下列正确的序号是_________. ①函数f (x )=x 3+12x 有3个“和谐区间” ②函数f (x )=x 2+14，x ∈[0，+∞]存在“和谐区间”③若定义在(3，12)上的函数()2492tx t f x x =---有“和谐区间”，则t 的取值范围为(4，6)④若函数()f x m =在定义域内有“和谐区间”，则m 的取值范围为(94-，2-)三、解答题(共6小题共85分。

卡西尼卵形线
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卡西尼卵形线，焦点为(-1, 0)和(1, 0)
卡西尼卵形线，是平面内到两个定点的距离之积为常数的点的轨迹，是环面曲线的一种。

也就是说，如果我们定义dist(a,b)为从点a到点b的距离，则卡西尼卵形线上的所有点都满足以下的方程：
其中b是常数。

q
和q2称为卵形线的焦点。

1
假设q1是点(a,0)，q2是点(-a,0)，则曲线的方程为：
或
以及
极坐标系中的方程为：
卵形线的形状与比值b/a有关。

如果b/a大于1，则轨迹是一条闭曲线。

如果b/a小于1，则轨迹是两条不相连的闭曲线。

如果b/a等于1，则是伯努利双扭线。

山西省太原市2024高三冲刺（高考数学）人教版能力评测(提分卷)完整试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分 (共8题)第(1)题命题“，”的否定是（）A．，B．，C．，D．，第(2)题已知三棱锥的所有顶点都在球O的表面上，，，若球O的体积为，三棱锥的体积为2，G，H分别是，的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（）A．B．C．D．第(3)题在的展开式中的系数为（）A．160B．240C．360D．800第(4)题如图，在正方体中，分别为棱，，的中点，则与MN所成角的余弦值为（）A．B．C．D．第(5)题已知，，则（）A．B．C．D．第(6)题复数在复平面内对应的点为，则（）A．B．C．D．第(7)题已知集合，，则（）A．B．C．D．第(8)题已知在中，向量，，满足且，则为（）A．等腰直角三角形B．非等腰的直角三角形C．等腰非等边三角形D．等边三角形二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分 (共3题)第(1)题平面内到两定点距离之积为常数的点的轨迹称为卡西尼卵形线，它是1675年卡西尼在研究土星及其卫星的运行规律时发现的.已知在平面直角坐标系中，，，动点P满足，其轨迹为一条连续的封闭曲线C.则下列结论正确的是（）A ．曲线C 与y 轴的交点为，B ．曲线C 关于x 轴对称C ．面积的最大值为2D ．的取值范围是第(2)题已知函数，则（ ）A ．为周期函数B ．的图象关于轴对称C ．的值域为D ．在上单调递增第(3)题某商场前有一块边长为60米的正方形地皮，为了方便消费者停车，拟划出一块矩形区域用于停放电动车等，同时为了美观，建造扇形花坛，现设计两种方案如图所示，方案一：，在线段上且，方案二：在圆弧上且．若花坛区域工程造价0.2万元/平方米，停车区域工程造价为0.1万元/平方米，则下列说法正确的是（ ）A ．两个方案中矩形停车区域的最大面积为2400平方米B ．两个方案中矩形停车区域的最小面积为1200平方米C ．方案二中整个工程造价最低为万元D ．两个方案中整个工程造价最高为万元三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 (共3题)第(1)题已知双曲线C ：的一个焦点是抛物线的焦点，且双曲线 C 的离心率为，那么双曲线C 的方程为____；渐近线方程是____.第(2)题已知，则___________.第(3)题已知F 为双曲线的右焦点，A 为C 的左顶点，B 为C 上的点，且垂直于x 轴，若C 的离心率为5，则的斜率为______________．四、解答题：本题共5小题，每小题15分，最后一题17分，共77分 (共5题)第(1)题一个袋中有3个红球和2个白球，采用无放回的方式从袋中任取3个球，取到的白球数目用表示，求离散型随机变量的概率分布．第(2)题已知函数.(1)当时，求在处的切线方程；(2)证明：当时，.第(3)题在以视觉为主导的社交媒体时代，人们常借助具有美颜功能的产品对自我形象进行美化.移动端的美颜拍摄类APP 主要有两类：类是以自拍人像、美颜美妆为核心功能的APP ；类是图片编辑、精修等图片美化类APP.某机构为调查市民对上述，两类APP 的使用情况，随机调查了部分市民.已知被调查的市民中使用过类APP 的占60%，使用过B 类APP 的占50%，设个人对美颜拍摄类APP 类型的选择及各人的选择之间相互独立.(1)从样本人群中任选1人，求该人使用过美颜拍摄类APP 的概率；(2)从样本人群中任选5人，记为5人中使用过美颜拍摄类APP 的人数，设的数学期望为，求；(3)在单独使用过，两类APP 的样本人群中，按类型分甲、乙两组，并在各组中随机抽取8人，甲组对类APP ，乙组对类APP 分别评分如下：甲组评分9486929687939082乙组评分8583859175908380记甲、乙两组评分的平均数分别为，，标准差分别为，，试判断哪组评价更合理.（设（），越小，则认为对应组评价更合理.）参考数据：，.第(4)题定义：一个正整数称为“漂亮数”，当且仅当存在一个正整数数列，满足①②：①；②．(1)写出最小的“漂亮数”；(2)若是“漂亮数”，证明：是“漂亮数”；(3)在全体满足的“漂亮数”中，任取一个“漂亮数”，求是质数的概率．第(5)题三棱锥中，平面，，，并且是直角．(1)求二面角所成角的余弦值；(2)若，，上各取一点，，设()，当为何值时，平面平面．。

卡西尼卵形线
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卡西尼卵形线
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卡西尼卵形线，焦点为(-1, 0)和(1, 0)
卡西尼卵形线，是平面内到两个定点的距离之积为常数的点的，是的一种。

也就是说，如果我们定义dist(a,b)为从点a到点b的距离，则卡西尼卵形线上的所有点都满足以下的方程：
其中b是。

q1和q2称为卵形线的。

假设q1是点(a,0)，q2是点(-a,0)，则曲线的方程为：
或
以及
中的方程为：
卵形线的形状与比值b/a有关。

如果b/a大于1，则轨迹是一条闭曲线。

如果b/a小于1，则轨迹是两条不相连的闭曲线。

如果b/a等于1，则是。

运城市2024-2025学年高三摸底调研测试数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的．1．已知复数112iz =+，则z 的虚部是（）A ．2B ．2iC ．2i 5-D ．25-2．命题2:3,2x p x x ∃>≥的否定为（）A ．23,2xx x ∃><B ．23,2x x x ∀><C ．23,2xx x ∃≤≥D ．23,2xx x ∀≤<3．已知向量()()1,3,2,a b m == ，若()a b a -∥，则m =（）A ．1B ．2C ．3D ．64．已知()1sin ,tan 5tan 2αβαβ+==，则()sin αβ-=（）A ．13B ．3C ．34D ．125，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的体积为（）A ．6π3B ．26π3C ．46π3D ．86π36．下列说法错误的是（）A ．某校高一年级共有男女学生500人，现按性别采用分层抽样的方法抽取容量为50人的样本，若样本中男生有30人，则该校高一年级女生人数是200B ．数据1，3，4，5，7，9，11，16的第75百分位数为10C ．在一元线性回归方程中，若线性相关系数r 越大，则两个变量的线性相关性越强D ．根据分类变量X 与Y 的成对样本数据，计算得到2 3.937χ=，根据小概率0.05α=值的独立性检验()0.05 3.841x =，可判断X 与Y 有关联，此推断犯错误的概率不大于0.057．曲线()()22e 2xf x x x x =--+在2x =处的切线方程是（）A ．()()2e 22y x =--B ．()2e 22y x =--C ．2e 4y x =-D ．2e 4y x =+8．已知π1cos 63α⎫⎛-= ⎪⎝⎭，则πsin 26α⎫⎛+= ⎪⎝⎭（）A ．429B ．79C ．79-D ．429-二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．已知()π23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则（）A ．()()πf x f x +=B ．()f x 的图象关于直线π6x =对称C ．()f x 的图象关于点π,06⎛⎫⎪⎝⎭对称D ．()f x 在5ππ,1212⎛⎫- ⎪⎝⎭单调递增10．设函数()321f x x x ax =-+-，则（）A ．当1a =-时，()f x 有三个零点B ．当13a ≥时，()f x 无极值点C ．a ∀∈R ，曲线()y f x =对称中心的横坐标为定值D ．a ∃∈R ，使()f x 在R 上是减函数11．到两个定点的距离之积为大于零的常数的点的轨迹称为卡西尼卵形线．设()1,0F c -和()2,0F c 且0c >，动点M 满足212(0)MF MF a a ⋅=>，动点M 的轨迹显然是卡西尼卵形线，记该卡西尼卵形线为曲线C ，则下列描述正确的是（）A ．曲线C 的方程是()()222222442x y c x y a c +--=-B ．曲线C 关于坐标轴对称C ．曲线C 与x 轴没有交点D ．12MF F △的面积不大于212a 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．已知正项等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，公比为q ，若4215,3S S ==，则q =____________．13．双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为12.F F P 、是双曲线右支上一点，且直线2PF 的斜率为2．12PF F △是面积为8的直角三角形，则双曲线的方程为____________．14．若曲线xx ay e +=有两条过坐标原点的切线，则a 的取值范围是____________．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本小题满分13分）记ABC △中的内角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ，已知2222sin sin c Cb c a B=+-，（1）求A ；（2）若a =ABC △的面积为332，求ABC △的周长．16．（本小题满分15分）已知函数()e 2xf x ax =--．（1）讨论函数()f x 的单调性；（2）若()2f x ≥-在10,2⎛⎫⎪⎝⎭恒成立，求实数a 的取值范围．17．（本小题满分15分）如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面,,ABCD AD BC AB BC ⊥∥，E 为PD 的中点．（1）若EA EC =，证明：CD ⊥平面ACP ；（2）已知2244AD PA BC AB ====，求平面ACE 和平面PCD 所成的二面角的正弦值．18．（本小题满分17分）学习小组设计了如下试验模型：有完全相同的甲、乙两个袋子，袋子里有形状和大小完全相同的小球，其中甲袋中有2个红球和8个白球，乙袋中有6个红球和4个白球．从这两个袋子中选择1个袋子，再从该袋子中随机摸出1个球，称为一次摸球．多次摸球直到摸出白球时试验结束．假设首次摸球选到甲袋或乙袋的概率均为12．（1）求首次摸球就试验结束的概率；（2）在首次摸球摸出红球的条件下，①求选到的袋子为乙袋的概率；②将首次摸球摸出的红球放回原来袋子，继续进行第二次摸球时有如下两种方案：方案一，从原来袋子中摸球：方案二，从另外一个袋子中摸球．请通过计算，说明选择哪个方案使得第二次摸球就试验结束的概率更大．19．（本小题满分17分）已知点()11,P t t +在抛物线2:4C x y =上，按照如下方法依次构造点()2,3,4n P n = ，过点1n P -作斜率为1-的直线与抛物线C 交于另一点1n Q -，令n P 为1n Q -关于y 轴的对称点，记n P 的坐标为(),n n x y ．（1）求t 的值；（2）求证：数列{}n x 是等差数列，并求,n n x y ；（3）求12n n n P P P ++△的面积．运城市2024-2025学年高三摸底调研测试数学试题答案一、1．D 2．B3．D4．A 5．B 6．C7．A 8．C二、9．AD 10．BC 11．ABD三、13．214．22128x y -=15．()(),04,-∞+∞ 四、答案：15．解：（1）在ABC △中，由正弦定理得，sin sin C cB b=，因为2222sin sin c C b c a B =+-，所以2222c cb c a b=+-，化简得，222b c a bc +-=，在ABC △中，由余弦定理得，2221cos 22b c a A bc +-==，又因为0πA <<，所以π3A =（2）由1333sin 242ABC S bc A ===△，得6bc =，由2222cos a b c bc A =+-，得2276b c =+-，所以2213b c +=所以222()225b c b c bc +=++=，所以5b c +=所以ABC △的周长5a b c ++=+16．解：（1）由题可得：()xf x e a '=-，当0a ≤时，()()0,f x f x >'∴在R 上单调递增．当0a >时，()0f x '=可得ln x a =，若(),ln x a ∈-∞时，()()0,f x f x '<单调递减，若()ln ,x a ∈+∞时，()()0,f x f x '>单调递增，综上可得：当0a ≤时()f x 在R 上单调递增．当0a >时()f x 在(),ln a -∞单调递减，()f x 在()ln ,a +∞单调递增．（2）由()2f x ≥-得xe ax ≥，而10,,2x e x a x ⎛⎫∈∴≤⎪⎝⎭令()()()()21,0,x x e x e g x g x g x x x =<'-=∴在10,2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，()12g x g ⎛⎫∴>= ⎪⎝⎭，a ∴≤17．（1）证明：因为PA ⊥平面,,ABCD AD AP ⊂平面ABCD ，可知,PA AD PA CD ⊥⊥，且E 为PD 的中点，则12EA PD =，若EA EC =，即12EC PD =，则PC CD ⊥，且,,PA PC P PA PC =⊂ 平面ACP ，所以CD ⊥平面ACP ．（2）由题意可知：PA ⊥平面,ABCD AB AD ⊥，以A 为坐标原点，,,AB AD AP 为,,x y z轴，建立空间直角坐标系，如图所示：因为2244AD PA BC AB ====则()()()()()0,0,0,1,2,0,0,4,0,0,0,2,0,2,1A C D P E ，可得()()()()0,2,1,1,2,0,0,4,2,1,2,0AE AC PD CD ===-=-，设平面ACE 的法向量为()111,,m x y z = ，则11112020m AE y z m AC x y ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩，令12x =，可得()2,1,2m =-；设平面PCD 的法向量为()222,,n x y z = ，则222242020n PD y z n CD x y ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩，令22x =，可得()2,1,2n =；由题意可得：cos ,m n m n m n⋅=⋅79==所以平面ACE 和平面PCD 所成二面角的正弦值为42918．解：设摸球一次，“取到甲袋”为事件1A ，“取到乙袋”为事件2A ，“摸出白球”为事件1B ，“摸出红球”为事件2B （1）()()()()()1111212P B P A P B A P A P B A =+181432102105=⨯+⨯=所以摸球一次就实验结束的概率为35（2）①因为12,B B 是对立事件，()()21215P B P B =-=，所以()()()22222163210245P A B P A B P B ⨯===所以选到的袋子为乙袋的概率为34②由①可知()()1222311144P A B P A B =-=-=所以方案一种取到白球的概率为()()()()112112212183414104102P P A B P B A P A B P B A =+=⨯+⨯=方案二种取到白球的概率为()()()()2221112123814741041010P P A B P B A P A B P B A =+=⨯+⨯因为71102>，所以方案二中取到白球的概率更大，即选择方案二使得第二次摸球就实验结束的概率更大。

广东省八校2024-2025学年高三上学期8月联合检测数学注意事项：1．本试卷满分150分，考试时间120分钟。

2．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡的相应位置。

3．全部答案在答题卡上完成，答在本试题卷上无效。

4．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

5．考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合，则（ ）A ．B ．C ．D ．2．若，则（ ）A ．B ．C ．D ．3．已知向量，若，则（ ）A ．1B ．2C ．3D ．64．已知，则（ ）A ．B ．C ．D ．15．已知一个圆柱的轴截面是正方形，一个圆锥与该圆柱的底面半径及侧面积均相等，则圆柱与圆锥的体积之比为（）A ．B ．C ．D ．6．已知函数在上单调递增，则的取值范围是（）A ．B ．C ．D．7．已知函数与，则下列说法错误的是（ ）{128,3,2,8x M xN ⎧⎫=<<=---⎨⎬⎩⎭M N =∩{}1,0,1-{}2,1,0,1--{2,--{2,--22i z z+=-z =1i +1i -1i-+1i--()()1,2,3,a b m == ()a b a -∥m =()1tan sin ,24tan x x y y-==()sin x y +=1412349:6:4:3:()2sin ,023,0ax x x f x x ax a x -≤⎧=⎨+-+>⎩R a [)1,3(]1,3[]1,3()1,3()πsin 3f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭()πsin 26g x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭A ．与存在相同的对称轴B ．与存在相同的对称中心C ．与的值域相同D ．与在上有相同的单调性8．已知函数满足，则下列结论中正确的是（ ）A ．B ．C ．D ．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。

到两个定点距离积为定值的轨迹----卡西尼卵形线的几何画板作法常州市第二中学 季传军1.问题的提出一次在《圆锥曲线》的高三复习课上，小结了与到两定点距离有关的点的轨迹问题：①动点P 到两定点12,F F 距离和．为定值2a ，即12122(2)PF PF a a F F +=>的轨迹是椭圆；②动点P 到两定点12,F F 距离差．的绝对值为定值2a ，即1212||2(2)PF PF a a F F -=<的轨迹是双曲线；③动点P 到两定点12,F F 距离商．为定值k ，即12(1)PF k k PF =≠的轨迹是圆。

课堂上很快就有学生提出：到两定点距离积．为定值的点的轨迹是什么呢课前我对这个问题没有思考过，再加上高三复习课时间紧迫，就以“这个问题在中学阶段不作要求”敷衍过去，哪知课后两个学生追着我问：这个轨迹到底是什么这下我只有“被迫”去研究一下了。

2.问题学习研究过程我先在网上查阅了相关资料，了解到到两点距离积为定值的点的轨迹是卡西尼卵形线，如图，可以分成几类图形，其中一个特殊情形（图3）是伯努利双纽线（微分几何一个重要研究图形），就把这些告诉学生，同样会带来很多的“为什么”，那么怎样将这些图形动态直观的展示给学生呢我想到了几何画板。

（1） （2） （3） （4） 问题：动点P 到两定点12,F F 的距离积为定值k ，即12PF PF k ⋅=，122F F c =，试讨论点P 的轨迹。

r 2=kr 1=c = 2.20 2.30厘米k = 5.29r 1 = 2.30厘米r 2=r 1=3.48厘米r 1 = 2.78厘米r 2=kr 1=c = 1.40 2.25厘米k = 5.19r 1 = 2.30厘米1作图思路：①首先作可变线段用来控制两焦点12,F F 的距离（如图通过拖动C 来改变12,F F 的距离，下同）；②作可变线段用K 来控制k 的值③作可变线段1r 用，以1F 为圆心1r 为半径作圆1F ，计算1kr 并记为2r ，以2F 为圆心2r 为半径作圆2F ，设圆1F ，圆2F 的交点为P ，显然1212PF PF r r k ⋅=⋅=④选中点1,R P 构造轨迹曲线。

MathStudio for iPad使用方法入门（43）卡西尼卵形线2016年8月4日什么是卡西尼卵形线（Cassini ovals）？定点F1、F2相距2c, 至F1、F2两点距离之积为a2 的动点轨迹，称为卡西尼卵形线意大利人J.D.Cassini（1625～1712）于1680年作出。

极坐标方程：ρ2=c2cos(2θ)±sqrt(a4-c4 sin2(2θ))图形因a、c值不同而变化①a<c 2个分离的卵形线，与X轴有4个交点；4个极值点②a=c 打结成为双纽线，2个顶点，4个极值点③c<a<c √(2) 上下内凹，4个极值点。

④a=c √(2) 上下平的卵形线⑤a>c √(2) 椭圆形卵形线，a 越大，上下越凸①a<ca=1 c=1.207由2支曲线组成2个分离的卵形线，与X轴有4个交点；4个极值点a<ca=1 c=1.2071蓝色曲线与X轴交点(±√(a2+c2), 0)√(a2+c2)=√(1+1.4571)=±1.5675a<ca=1 c=1.2071红色曲线与X轴交点(±√(c2-a2), 0)√(c2-a2)=√(1.4571-1)=±0.6761极值点a=1 c=1.207(±√(4c4-a4)/2c,±a2/2.c) (±√(8.4896-1)/2.414, ±1/2.414) (±2.7367/2.414, ±1 /2.414)(±1.1337, ±0.4142)②a=ca=1 c=1 打结成为双纽线左右对称二环索交点在原点顶点2 (±a√(2),0)二切线y=±x极值点4个(±a√(3)/2,±a/2)顶点(±√(a2+c2),0) (±√(2),0)=(±1.4142,0)极值点(±a√(3)/2,±a/2)±0.866，±0.5θ=0.5236（弧度）=π/6=30°③c<a<c √(2)a=1.207 c=1上下内凹4个极值点(±√(4c4-a4)/2c,±a2/2c) a=2.035 c=2a/c越趋近于1，上下内凹越大a/c越趋近于√(2) ，上下趋平与X轴交点a=1.207 c=1(±√(a2+c2),0) (±√(2.4568),0)=(±1.5674,0)与Y轴交点a=1.207 c=1(0, ±√(a2-c2)) (0, ±√(0.4568))=(0,±0.676)极值点a=1.207 c=1(±√(4c4-a4)/2c,±a2/2c) (±√(4-2.1224)/2, ±1.4568/2) (±1.370/2, ±1.4568/2)(±0.6851, ±0.7284)目测手选的点不够准确④a=c √(2)a=1.414 c=1 上下平的卵形线a=1.414 c=1顶点(±√(a2+c2),0) (±√(3),0)=(±1.732,0)与Y轴交点a=1.414 c=1 (0, ±√(a2-c2)) (0, ±√(1)=(0, ±1)⑤a>c √(2)a=2 c=1 椭圆形卵形线，a 越大，上下越凸a=3 c=1a/c >√(2)a/c越大，图形越趋近于圆顶点(±√(a2+c2),0) (±√(5),0)=(±2.236,0)与Y轴交点a=2 c=1(0, ±√(a2-c2)) (0, ±√(3)=(0, ±1.732)参考文献数学手册数学手册》编写组高等教育出版社1979年数学的魅力（一、二）沈康身谢谢共享制作LNFSCSS背景音乐醉月广东音乐2016年8月7日。

卡西尼卵形线的标准方程及简单几何性质我们知道，平面内到定点F 1、F 2的距离之和等于常数（大于|F 1F 2|）的动点的轨迹叫做椭圆；平面内到定点F 1、F 2的距离之差的绝对值等于常数（大于0且小于|F 1F 2|）的动点的轨迹叫做双曲线.一个自然的问题平面内到两个定点的距离之积为常数的点的轨迹又是什么呢？一、卡西尼卵形线及其标准方程一般地，我们把平面内与两个定点F 1,F 2的距离之积等于常数（大于0）的点的轨迹叫做卡西尼卵形线（它是1675年卡西尼在研究土星及其卫星的运行规律时发现的）.这两个定点叫做卡西尼卵形线的焦点，两焦点间的距离叫做卡西尼卵形线的焦距.43216543216543214321OxyF 1F 2取过两焦点F 1,F 2的直线为x 轴，线段F 1F 2的垂直平分线为y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系Oxy ,设M (x ,y )是卡西尼卵形线上任意一点，卡西尼卵形线的焦距为2c (c >0),那么，焦点F 1,F 2的坐标分别为(-c ,0),(c ,0),又设|MF 1|∙|MF 2|=a 2（a 为大于0的常数）.由卡西尼卵形线的定义，卡西尼卵形线就是下列点的集合：P ={M ||MF 1|∙|MF 2|=a 2,a >0},因为|MF 1|=(x +c )2+y 2,|MF 2|=(x -c )2+y 2,所以(x +c )2+y 2∙(x -c )2+y 2=a 2,两边平方，化简[(x +c )2+y 2]∙[(x -c )2+y 2]=a 4,(x +c )2(x -c )2+y 2[(x +c )2+(x -c )2]+y 4=a 4,(x 2-c 2)2+y 2(2x 2+2c 2)+y 4=a 4,x 4+y 4+2x 2y 2-2c 2x 2+2c 2y 2=a 4-c 4,(x 2+y 2)2-2c 2(x 2-y 2)=a 4-c 4,①我们称方程①为卡西尼卵形线的标准方程，它表示焦点在x 轴上，两个焦点分别是F 1(-c ,0),F 2(c ,0)的卡西尼卵形线.如果焦点F 1,F 2在y 轴上，且F 1,F 2的坐标分别为F 1(0,-c ),F 2(0,c ),那么卡西尼卵形线的方程为(x 2+y 2)2-2c 2(y 2-x 2)=a 4-c 4.这个方程也是卡西尼卵形线的标准方程.二、卡西尼卵形线的简单几何性质下面用卡西尼卵形线方程(x2+y2)2-2c2(x2-y2)=a4-c4来研究卡西尼卵形线的几何性质.1.范围将方程(x2+y2)2-2c2(x2-y2)=a4-c4化为关于y2的一元二次方程得y4+2(x2+c2)y2+(x2-c2)2-a4=0,舍去负根，解得y2=4c2x2+a4-x2-c2,若y有意义，则4c2x2+a4-x2-c2≥0,化简得(x2-c2)2≤a4,解得c2-a2≤x2≤c2+a2.或者，因为a4=[(x+c)2+y2]∙[(x-c)2+y2]≥(x+c)2(x-c)2=(x2-c2),（当且仅当y=0时等号成立），所以-a2≤x2-c2≤a2,即c2-a2≤x2≤c2+a2.（1）当a≥c时，有c2-a2≤0,故0≤x2≤c2+a2,即x∈[-c2+a2,c2+a2];当a<c时，有c2-a2>0,故c2-a2≤x2≤c2+a2,即x∈[-c2+a2,-c2-a2]∪[c2-a2, c2+a2].（2）由方程(x2+y2)2-2c2(x2-y2)=a4-c4得y2=4c2x2+a4-x2-c2,令t=4c2x2+a4,(t≥a2),则x2=t2-a4 4c2,所以y2=t-t2-a44c2-c2=-t2c-c2+a44c2≤a44c2,当且仅当t=2c2,即x2=4c4-a44c2时等号成立.由于x2≥0,须有4c4-a4≥0,即0<a≤2c,此时|y|max=a2 2c;当a>2c时，t>2c2,即t2c>c,不难看出此时若要使y2取得最大值，则要让t的值尽可能地小，又由t≥a2可知y2≤-a22c-c2+a44c2=a2-c2,当且仅当t=a2,即x=0时等号成立，此时|y|max=a2-c2.2.对称性在卡西尼卵形线方程(x2+y2)2-2c2(x2-y2)=a4-c4中，以-y代y,方程不变，这说明当点P(x, y)在卡西尼卵形线上时，它关于x轴的对称点P1(x,-y)也在卡西尼卵形线上，所以卡西尼卵形线关于x轴对称.同理，以-x代x,方程也不变，这说明如果点P(x,y)在卡西尼卵形线上，那么它关于y轴的对称点P2(-x,y)也在卡西尼卵形线上，所以卡西尼卵形线关于y轴对称.以-x代x,-y代y,方程也不变，这说明当点P(x,y)在卡西尼卵形线上时，它关于原点的对称点P3(-x,-y)也在卡西尼卵形线上，所以卡西尼卵形线关于原点对称.综上，卡西尼卵形线关于x轴，y轴是对称的，这时，坐标轴是卡西尼卵形线的对称轴，原点是卡西尼卵形线的对称中心，卡西尼卵形线的对称中心叫做卡西尼卵形线的中心.3.顶点在卡西尼卵形线方程(x2+y2)2-2c2(x2-y2)=a4-c4中，令x=0,得y2=a2-c2,当a>c>0时，卡西尼卵形线与y轴有两个交点(0,a2-c2),(0,-a2-c2),当a=c时，卡西尼卵形线与y轴有一个交点(0,0),当0<a<c时，卡西尼卵形线与y轴没有交点.令y=0,得x2=c2±a2,当a>c>0时，卡西尼卵形线与x轴有两个交点(c2+a2,0),(-c2+a2,0),当a=c时，卡西尼卵形线与y轴有三个交点(c2+a2,0),(-c2+a2,0),(0,0),当0<a<c时，卡西尼卵形线与y轴有四个交点(c2+a2,0),(-c2+a2,0),(c2-a2,0),(-c2-a2,0),这些交点叫做卡西尼卵形线的顶点.4.离心率类比圆锥曲线，我们将ca称为卡西尼卵形线的离心率，用e表示，即e=ca.随着e的变化，卡西尼卵形线共呈五种形态，参见下表e的值曲线形态(0,22)4321432154321321O xyF1F2a=4,c=22 221321432121O xya=22,c=2F1F2(22,1)13213211O xya=2,c=2.2F1F2113213211O xya=2,c=2F1F2(1,+∞)13213211Oxya =1.9,c =2当e ∈(0,22)时，曲线是中部凸出的封闭曲线.当e =22时，轨迹是中部扁平的封闭曲线；当e ∈(22,1)时，轨迹是中部凹进的封闭曲线（呈“花生”形状）；当e =1时，轨迹是伯努利双纽线（呈“∞”形状）；当e >1时，轨迹是两支封闭曲线，其形状像两个鸡卵，这也是卵形线名字的由来.观察五种形态的曲线可以发现：当c 一定时，令a 由一个趋于0的正数连续变化至趋于无穷大，对应卡西尼卵形线会从“两个极小的鸡卵”逐渐变大至有一个公共点的闭合曲线（伯努利双纽线），接着，随着a 持续变大使“两枚鸡卵”的“卵壳”逐渐相互融合（呈花生形状），再继续变大成为一个大型的“鸡卵”.例1（2024年8月广东八校高三联合检测11）到两个定点的距离为大于零的常数的点的轨迹称为卡西尼卵形线.设F 1(-c ,0)和F 2(c ,0)且c >0,动点M 满足|MF 1|∙|MF 2|=a 2(a >0),动点M 的轨迹显然是卡西尼卵形线，记该卡西尼卵形线为曲线C ,则下列描述正确的是A.曲线C 的方程是(x 2+y 2)2-2c 2(x 2-y 2)=a 4-c 4B.曲线C 关于坐标轴对称C.曲线C 与x 轴没有交点D.△MF 1F 2的面积不大于12a 2【答案】ABD【解析】设M (x ,y ),则由|MF 1|∙|MF 2|=a 2(a >0),得(x +c )2+y 2∙(x -c )2+y 2=a 2,化简得(x 2+y 2)2-2c 2(x 2-y 2)=a 4-c 4,A 正确；以-x 代x ,-y 代y ,方程均不变，说明曲线C 关于坐标轴对称，B 正确；令曲线C 的方程中的y =0得x 2=c 2±a 2,当c =a 时，x =0或x =2c ;当c <a 时，x =±c 2+a 2;当c >a 时，x =±c 2±a 2,C 不正确；S △MF 1F 2=12|MF 1|∙|MF 2|sin ∠F 1MF 2≤12|MF 1|∙|MF 2|=a 22,D 正确.故答案选ABD.例2（2011年北京卷理科14）曲线C 是平面内与两个定点F 1(-1,0),F 2(1,0)的距离的积等于常数a 2(a >1)的点的轨迹.给出下列三个结论：①曲线C 过坐标原点；②曲线C 关于坐标原点对称；③若点P 在曲线C 上，则△F 1PF 2的面积不大于12a 2.其中，所有正确结论的序号是.【答案】②③【解析】设P (x ,y )是曲线C 上的任意一点，则由题意得(x +1)2+y 2∙(x -1)2+y 2=a 2(a >1),将原点(0,0)代入得a 2=1,即a =±1,与a >1矛盾，故①不正确；以-x 代x ,-y 代y ,方程不变，这说明当点P (x ,y )在曲线C 上时，它关于原点的对称点P '(-x ,-y )也在曲线C 上，所以曲线C 关于坐标原点对称，②正确；S △F 1PF 2=12|PF 1|∙|PF 2|sin ∠F 1PF 2≤12|PF 1|∙|PF 2|=a 22,③正确.例3(2023年广州一模12)平面内到两定点距离之积为常数的点的轨迹称为卡西尼卵形线，它是1675年卡西尼在研究土星及其卫星的运行规律时发现的，已知在平面直角坐标系xOy 中，M (-2,0)，N (2,0)，动点P 满足|PM |⋅|PN |=5，则下列结论正确的是( )A.点P 的横坐标的取值范围是-5,5B.OP 的取值范围是1,3C.△PMN 面积的最大值为52D.PM +PN 的取值范围是25,5 【答案】BC【解析】设点P (x ,y )，则依题意得[(x +2)2+y 2][(x -2)2+y 2]=25，对于A ，25=[(x +2)2+y 2][(x -2)2+y 2]≥(x +2)2(x -2)2=(x 2-4)2，当且仅当y =0时取等号，解不等式(x 2-4)2≤25得-3≤x ≤3，即点P 的横坐标的取值范围是[-3,3]，A 错误；对于B ，[(x 2+y 2+4)+4x ][(x 2+y 2+4)-4x ]=25，则x 2+y 2+4=25+16x 2，显然0≤x 2≤9，因此|OP |=x 2+y 2=25+16x 2-4∈[1,3]，B 正确；对于C ，方法一，由[(x +2)2+y 2][(x -2)2+y 2]=25，得y 4+2(x 2+4)y 2+(x 2-4)2-25=0,解得y 2=16x 2+25-x 2-4,令t =16x 2+25(t ≥5),则x 2=t 2-2516,所以y 2=t -t 2-2516-4=-t 4-2)2+2516 ≤2516,当且仅当t =8,即x =±394时等号成立，此时|y |max =54,所以S △PMN =12|MN |∙y P ≤12×4×54=52,C 正确；方法二，S △PMN =12|PM ||PN |sin ∠MPN ≤12|PM ||PN |=52，当且仅当∠MPN =90°时取等号，当∠MPN =90°时，点P 在以线段MN 为直径的圆x 2+y 2=4上，由x 2+y 2=4x 2+y 2+4=25+16x 2 解得x =±394y =±54，所以△PMN 面积的最大值为52，C 正确；对于D ，因为点(3,0)在动点P 的轨迹上，当点P 为此点时，PM +PN =5+1=6，D 错误.故选BC .例4(2022年山东济南一模12)平面内到两定点距离之积为常数的点的轨迹称为卡西尼卵形线，它是1675年卡西尼在研究土星及其卫星的运行规律时发现的.已知在平面直角坐标系xOy 中，M -2,0 ，N 2,0 ，动点P 满足PM ⋅PN =5，其轨迹为一条连续的封闭曲线C .则下列结论正确的是( )A.曲线C 与y 轴的交点为0,-1 ，0,1B.曲线C 关于x 轴对称C.△PMN 面积的最大值为2D.OP 的取值范围是1,3【答案】ABD【详解】设点P(x,y)，依题意得[(x+2)2+y2][(x-2)2+y2]=25，整理得x2+y2=16x2+25-4，对于A，当x=0时，解得y=±1，即曲线C与y轴的交点为0,-1，0,1，A正确；对于B，因x2+(-y)2=x2+y2=16x2+25-4，由-y换y方程不变，曲线C关于x轴对称，B 正确；对于C，当x2=32时，y2=32，即点P62,62在曲线C上，S△PMN=12|MN|×62=6，C不正确；对于D，由y2=16x2+25-4-x2≥0得：x4-8x2-9≤0，解得0≤x2≤9，于是得|OP|2=x2+y2=16x2+25-4∈[1,9]，解得1≤OP≤3，D正确.故答案选ABD.例5（漯河市2023-2024学年高二下学期期末质量监测11）我们在解析几何学习过程中知道椭圆、双曲线定义分别是到两定点距离之和、距离之差的绝对值等于某个定值.天文学家卡西尼在研究土星及其卫星运行规律时发现了到两定点距离之积为常数的点的轨迹，我们称之为卡西尼卵形线.已知两定点F1(-2,0),F2(2,0),动点P(x0,y0)满足|PF1|∙|PF2|=4,设P的轨迹为曲线C,则下列命题正确的是A.曲线C过原点B.P的横坐标最大值是22C.P的纵坐标最大值是32D.y02≤2ln(x02+1)【答案】ABD【解析】因为动点P(x0,y0)满足|PF1|∙|PF2|=4,所以(x0+2)2+y02∙(x0-2)2+y02=4,即[(x02 +y02+4)+4x0]∙[(x02+y02+4)-4x0]=16,即x02+y02+4=4x02+1,即y02=-x02+4x02+1-4,对于A项，当x0=0时，y0=0,所以曲线C过原点，A正确；对于B项，由-x02+4x02+1-4≥0得x02+4≤4x02+1,两边平方，化简得x04≤8x02,解得-22≤x0≤22,所以P的横坐标最大值是22,B项正确；对于C项，因为y02=-(x02+1-4x02+1+4)+1=-x02+1-22+1≤1,当且仅当x0=±3时等号成立，所以P的横坐标最大值是1,C项不正确；对于D项，若y02≤2ln(x02+1),即-x02+4x02+1-4≤2ln(x02+1),令t=x02+1,t∈[1,3],则-t2+4t-3≤2lnt2,即t2-4t+4lnt+3≥0,设f(t)=t2-4t+4lnt+3,t∈[1,3],则f'(t)=2t-4+4t≥22t∙4t-4=42-4,（当且仅当t=2时等号成立），所以f'(t)>0在[1,3]上恒成立，所以f(t)在[1,3]上单调递增，所以f(t)≥f(1)=0,即t2-4t+4lnt+3≥0成立，D项成立.故答案选ABD.。

1．设计一条美丽的丝带,其造型可以看作图中的曲线C 的一部分.已知C 过坐标原点O .且C 上的点满足:横坐标大于2-，到点(2,0)F 的距离与到定直线(0)x a a =<的距离之积为4，则（ ）A ．2a =-B．点在C 上C ．C 在第一象限的点的纵坐标的最大值为1D ．当点()00,x y 在C 上时，0042y x £+2．已知曲线C 是平面内到两个定点F 1（－1，0）和F 2（1，0）的距离的积等于常数a 2（a ＞1）的点的轨迹．下列结论正确的是（ ）A ．曲线C 过坐标原点B ．曲线C 关于坐标原点对称C ．曲线C 关于坐标轴对称D ．若点P 在曲线C 上，则△F 1PF 2的面积不大于12a 23．平面内到两定点距离之积为常数的点的轨迹称为卡西尼卵形线，它是1675年卡西尼在研究土星及其卫星的运行规律时发现的.已知在平面直角坐标系xOy 中，()2,0M -，()2,0N ，动点P 满足5PM PN ×=，其轨迹为一条连续的封闭曲线C ，则下列结论正确的是（ ）A ．曲线C 与y 轴的交点为()0,1和()0,1-B ．曲线C 关于y 轴对称，不关于x 轴对称C ．坐标原点O 是曲线C的对称中心D ．OP 的取值范围为[]1,34．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C ：到定点(),0A a -，(),0B a 的距离之积等于()20a a >的点的轨迹．若()00,P x y 是曲线C 上一点，则下列说法中正确的有（ ）A ．曲线C 关于原点O 成中心对称B ．0x 的取值范围是[],a a -C ．曲线C 上有且仅有一点P 满足PA PB=D ．曲线C 上所有的点P 都在圆2222x y a +=的内部或圆上5．设双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左右焦点分别为12F F 、，过2F 作平行于y 轴的直线交C于A ，B 两点，若1||13,||10F A AB ==，则C 的离心率为．6．设直线l 过双曲线C 的一个焦点，且与C 的一条对称轴垂直，l 与C 交于,A B 两点，AB 等于C 的半实轴长，则C 的离心率为．722221(0,0)x y a b a b -=>>的左焦点F 1与双曲线的右支交于点P ，且PF 2与x 轴垂直（F 2为右焦点），则此双曲线的离心率为 .8．已知12,F F 分别为双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左，右焦点，P 为双曲线上第一象限内一点，且12121π,3F PF F F F Ð==关于12F PF Ð的平分线的对称点Q 恰好在C 上，则C 的离心率为 .9．若曲线e x y x =+在点()0,1处的切线也是曲线ln(1)y x a =++的切线，则=a.10．若曲线2y ax =与ln y x =有一条斜率为2的公切线，则=a.11．已知曲线32()f x ax bx cx d =+++在点(0,0)处的切线与曲线()y xf x =在点(1,2)处的切线重合，则()f x =．12．已知曲线1C ：()e xf x a =+和曲线2C ：()()()2ln ,g x x b a a b =++ÎR ，若存在斜率为1的直线与1C ，2C 同时相切，则b 的取值范围是.13．甲、乙两人各有四张卡片，每张卡片上标有一个数字，甲的卡片上分别标有数字1，3，5，7，乙的卡片上分别标有数字2，4，6，8，两人进行四轮比赛，在每轮比赛中，两人各自从自己持有的卡片中随机选一张，并比较所选卡片上数字的大小，数字大的人得1分，数字小的人得0分，然后各自弃置此轮所选的卡片（弃置的卡片在此后的轮次中不能使用）.则四轮比赛后，甲的总得分不小于2的概率为.14．袋中有4个红球，m 个黄球，n 个绿球．现从中任取两个球，记取出的红球数为x ，若取出的两个球都是红球的概率为16，则()E x = ．15．现有7张卡片，分别写上数字1,2,2,3,4,5,6．从这7张卡片中随机抽取3张，记所抽取卡片上数字的最小值为x ，则()E x = .16．编号为1、2、3、4的四名学生随机入座编号为1、2、3、4的座位，每个座位坐1人，座位编号和学生编号一致时称为一个“配对”，用X 表示“配对”数，则X 的期望()E X =．17．记ABC V 的内角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin C B ，222a b c +-(1)求B ；(2)若ABC V 的面积为3c ．18．已知,,a b c 分别为ABC V 内角,,A B C 的对边，且()2cos cos b a C c A -=×(1)求角C ；(2)若22,c ab ABC =V a b +的值.19．已知ABC V 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且222212sin 20cos b c a b A ab C+-++=．（1）求sin cos A C ；（2）若1sin 3A =，ABC V a 的值．20．ABC V 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知cos cos 2cos a C c A b B +=.（1）求B ；（2）若b =ABC V 的面积为ABC V 的周长.参考答案：1．ABD【分析】根据题设将原点代入曲线方程后可求a ，故可判断A 的正误，结合曲线方程可判断B 的正误，利用特例法可判断C 的正误，将曲线方程化简后结合不等式的性质可判断D 的正误.【详解】对于A ：设曲线上的动点(),P x y ，则2x >-4a -=，4a -=，解得2a =-，故A 正确.对于B 24+=，而2x >-，()24x+=.当0x y ==()2844=-=，故()在曲线上，故B 正确.对于C ：由曲线的方程可得()()2221622y x x =--+，取32x =，则2641494y =-，而64164525624510494494494---=-=>´，故此时21y >，故C 在第一象限内点的纵坐标的最大值大于1，故C 错误.对于D ：当点()00,x y 在曲线上时，由C 的分析可得()()()220022001616222y x x x =--£++，故0004422y x x -££++，故D 正确.故选：ABD.【点睛】思路点睛：根据曲线方程讨论曲线的性质，一般需要将曲线方程变形化简后结合不等式的性质等来处理.2．BCD 【详解】设动点坐标为(x ，y )，由题意，得·＝a 2，即[(x ＋1)2＋y 2]·[(x －1)2＋y 2]＝a 4，若曲线C 过坐标原点(0，0)，将点(0，0)代入曲线C 的方程中可得a 2＝1，与已知a ＞1矛盾，故曲线C 不过坐标原点，故A 不正确．把方程中的x 被－x 代换，y 被－y 代换，方程不变，故曲线C 关于坐标原点对称，故B 正确．因为把方程中的x 被－x 代换，方程不变，故此曲线关于y 轴对称，把方程中的y 被－y 代换，方程不变，故此曲线关于x 轴对称，所以曲线C 关于坐标轴对称，故C 正确．若点P 在曲线C 上，则PF 1·PF 2＝a 2，则△F 1PF 2的面积为·PF 1·PF 2·sin ∠F 1PF 2≤a 2，当且仅当∠F 1PF 2＝90°时，等号成立，故△F 1PF 2的面积不大于a 2，故D 正确．3．ACD【分析】根据给定条件，求出曲线C 的方程，由0x =判断A ；由曲线方程对称性判断B ，C ；求出2x 的范围计算判断D 作答.【详解】设点(,)P x y ，依题意，2222[(2)][(2)]25x y x y ++-+=，整理得：224x y +=-，对于A ，当0x =时，解得 1y =±，即曲线C 与y 轴的交点为()0,1-，()0,1，A 正确；对于B 、C ，因2222()4x y x y +-=+-，由y -换y 方程不变，曲线C 关于x 轴对称，因为()222244x y x y -+=+==，由x -换x 方程不变，曲线C 关于y 轴对称，所以坐标原点O 是曲线C 的对称中心，B 不正确，C 正确；对于D ，由2240y x =-³得：42890x x --£，解得209x ££，于是得222||4[1,9]OP x y =+=Î，解得13OP ££，D 正确.故选：ACD 4．ACD【分析】利用直接法可得曲线C 的轨迹方程，设()00,M x y --，代入轨迹方程可判断A 选项，利用不等性质可得2220a x a ³-，解不等式可判断B 选项，由PA PB =，可得P 在y 轴上，令00x =，可判断C 选项，由曲线方程可得()2222422400049x y a a a x a ++=+£，可得222002x y a +£，可判断D 选项.【详解】曲线C 2a =，A 选项：由()00,P x y 是曲线C 2a =点P 关于原点的对称点()00,M x y --，2a ==，即()00,M x y --也在曲线C 上，故A 选项正确；B 选项：由2220a x a =³=-，得22002x a ££，0x \££，故B 选项错误；C 选项：若PA PB =，则点P 在AB 的垂直平分线上，00x \=，将()00,P y 代入方程，得22a =，解得00y =，即仅P 是原点时满足PA PB =，故C 选项正确；D 选项：2a =，得()22224220004x y a a a x ++=+，又2202x a £得()22224009x y a a ++£，222002x y a +£\，故D 选项正确；故选：ACD ．5．32【分析】由题意画出双曲线大致图象，求出2AF ，结合双曲线第一定义求出1AF ，即可得到,,a b c 的值，从而求出离心率.【详解】由题可知2,,A B F 三点横坐标相等，设A 在第一象限，将x c =代入22221x ya b-=得2b y a =±，即22,,,b b A c B c a a æöæö-ç÷ç÷èøèø，故2210b AB a ==，225b AF a ==，又122AF AF a -=，得1222513AF AF a a =+=+=，解得4a =，代入25b a=得220b =，故22236,c a b =+=，即6c =，所以6342c e a ===.故答案为：326【解析】由题意不妨设双曲线2222:1x y C a b -=，所以22221c y a b -=，求出2b y a =±，从而可得222a b =，再由222c a b =+即可求解.【详解】不妨设双曲线2222:1x y C a b -=，焦点(),0F c -，对称轴0y =由题设知22221c y a b-=2b y a \=±，由22b aa=得222a b =222223c b b b \=+=2223322b e b \==e \=7【解析】可设直线方程为)y x c +，求出直线与右支的交点纵坐标，利用PF 2与x 轴垂直,结合双曲线的性质列出方程转化求解双曲线的离心率即可.()222210,0x y a b a b -=>>的左焦点1,F可得直线方程为)y x c +，可得P 又因为2PF 与x 轴垂直（2F 为右焦点），22c a a -，可得210,1e e -=>，解得e =【点睛】离心率的求解在圆锥曲线的考查中是一个重点也是难点，一般求离心率有以下几种情况：①直接求出,a c ，从而求出e ;②构造,a c 的齐次式，求出e ;③采用离心率的定义以及圆锥曲线的定义来求解．8【分析】利用题给条件结合双曲线定义求得a 的值，进而求得C 的离心率.【详解】在双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>中，1F 关于12F PF Ð的平分线的对称点Q 恰好在C 上，2,,P F Q \三点共线，且1PF PQ =，1211π,3F PF PF F Q PQ Ð=\==Q .设112,PF FQ PQ m PF n ====，根据双曲线定义可得122PF PF m n a -=-=，()122QF QF m m n a -=--=，解得4,2m a n a ==，即22122,PF QF a PQ F F ==\^.则在12F PF △中，2221212PF PF F F =+即2216412a a =+，解得1a =，又c C =\9．ln 2【分析】先求出曲线e x y x =+在()0,1的切线方程，再设曲线()ln 1y x a =++的切点为()()0,ln 1x xa ++，求出y ¢，利用公切线斜率相等求出0x ，表示出切线方程，结合两切线方程相同即可求解.【详解】由e x y x =+得e 1x y ¢=+，00|e 12x y =¢=+=，故曲线e x y x =+在()0,1处的切线方程为21y x =+；由()ln 1y x a =++得11y x ¢=+，设切线与曲线()ln 1y x a =++相切的切点为()()00,ln 1x x a ++，由两曲线有公切线得0121y x ¢==+，解得012x =-，则切点为11,ln 22a æö-+ç÷èø，切线方程为112ln 21ln 222y x a x a æö=+++=++-ç÷èø，根据两切线重合,所以ln 20a -=，解得ln 2a =.故答案为：ln 210．1ln 2e【分析】根据导数的几何意义以及切线方程的求解方法求解.【详解】设公切线在曲线2y ax =与ln y x =上的切点分别为1122(,),(,)A x y B x y ，由ln y x =可得1y x ¢=，所以212x =，解得212x =，所以22ln ln 2y x ==-,则1(,ln 2)2B -，所以切线方程为1ln 22()2y x +=-，又由2y ax =，可得2y ax ¢=，所以122ax =，即11ax =，所以2111y ax x ==，又因为切点11(,)A x y ，也即11(,)A x x 在切线1ln 22()2y x +=-上，所以111ln 22(2x x +=-，解得1ln 21x =+，所以1111ln 21ln 2ea x ===+.故答案为:1ln 2e.11．32222x x x-++【分析】求出函数的导函数，即可得到切线方程，从而得到方程组，解得即可；【详解】解：因为32()f x ax bx cx d =+++，所以2()32f x ax bx c ¢=++，所以()0f c ¢=，又()00f d ==，所以()f x 在点(0,0)处的切线为y cx =，又432()y xf x ax bx cx dx ==+++，则32432y ax bx cx d ¢=+++，所以1|432x y a b c d =¢=+++，又当1x =时2y a b c d =+++=，所以曲线()y xf x =在点(1,2)的切线方程为()()12243a b y x c d +-+=-+，所以432022a b c d c d a b c d c +++=ìï=ïí+++=ïï=î，解得2022a d b c =-ìï=ïí=ïï=î，即32()222f x x x x =-++；故答案为：32222x x x-++12．9,4æù-¥çúèû【分析】分别求出两函数的导函数，再分别设直线与两曲线的切点的横坐标，由于斜率为1即导数值为1分别求出切点横坐标，可得切线方程，再根据切线方程系数相等得与的关系式，再根据二次函数性质可求出b 的取值范围．【详解】由题意得()e xf x ¢=，()1g x x b¢=+，设斜率为1的切线在1C ，2C 上的切点横坐标分别为1x ，2x ，所以121e 1x x b==+，则10x =，21x b =-，两点处的切线方程分别为()1y a x -+=，()21y a x b -=--，所以211a a b +=-+，即221992244b a a a æö=+-=--+£ç÷èø，所以b 的取值范围为9,4æù-¥çúèû.故答案为：9,4æù-¥çúèû.13．12##0.5【分析】将每局的得分分别作为随机变量，然后分析其和随机变量即可.【详解】设甲在四轮游戏中的得分分别为1234,,,X X X X ，四轮的总得分为X .对于任意一轮，甲乙两人在该轮出示每张牌的概率都均等，其中使得甲获胜的出牌组合有六种，从而甲在该轮获胜的概率()631448k P X ===´，所以()()31,2,3,48k E X k ==.从而()()()441234113382k k k E X E X X X X E X ===+++===åå.记()()0,1,2,3k p P X k k ===.如果甲得0分，则组合方式是唯一的：必定是甲出1，3，5，7分别对应乙出2，4，6，8，所以04411A 24p ==；如果甲得3分，则组合方式也是唯一的：必定是甲出1，3，5，7分别对应乙出8，2，4，6，所以34411A 24p ==.而X 的所有可能取值是0，1，2，3，故01231p p p p +++=，()1233232p p p E X ++==.所以121112p p ++=，1213282p p ++=，两式相减即得211242p +=，故2312p p +=.所以甲的总得分不小于2的概率为2312p p +=.故答案为：12.【点睛】关键点点睛：本题的关键在于将问题转化为随机变量问题，利用期望的可加性得到等量关系，从而避免繁琐的列举.14．89【分析】记取出的两个球都是红球为事件A ，则()2424C 1C 6m n P A ++==，即可求出m n +，从而得到x 的可能取值为0、1、2，求出所对应的概率，即可求出数学期望.【详解】依题意m 、n 为非负整数，记取出的两个球都是红球为事件A ，则()2424C 1C 6m n P A ++==，所以()()431436m n m n ´=++++，解得5m n +=或12+=-m n （舍去），所以x 的可能取值为0、1、2，则()2529C 50C 18P x ===，()114529C C 51C 9P x ===，()2429C 12C 6P x ===，所以()551801218969E x =´+´+´=.故答案为：8915．127【分析】由条件求x 分布列，再由期望公式求其期望.【详解】由已知可得x 的取值有1，2，3，4，2637C 15(1)C 35P x ===，11242437C C C 16(2)C 35P x +===，()()233377C 31134C 35C 35P P x x ======，所以15163112()1234353535357E x =´+´+´+´=.故答案为：127.16．1【分析】根据X 的可能取值，运用计数原理和古典概型逐项分析计算即可.【详解】X 的可能取值为0,1,2,4，全排列为44A 24= ，当X =0时，先安排的第一人由3种选择，比如说先安排“1”号人，可以选择2,3,4座位，如果安排在2号位，则“2”号人也可以由3种选择，比如是安排在1号位，则“3”号人只能在4号位，“4”号人只能在3号位；如果是安排在3号位，则“3 ”号人只能在4号位，“4”号人只能在1号位，如果安排在4号位也是类似，所以有339´= 种排法，()930248P X \=== ；当X =1时，先从4人中选一人安排在对应的位置上，由14C 4= 种选法，比如选“1”号人安排在1号位，则“2”号人有2种选法，如果选3，则“3”号人只能选4，“4”号人只能2,；如果选4，则“4”号人只能只能选3，“3”号人只能选2；所以有428´= 种排法，()811243P X \=== ；当X =2时，先从4人中选2人安排在对应的位置，有24C 6= 种选法，比如先安排“1”号人和“2”号人，分别安排在1号和2号位置，则“3”号人和“4”号人只能由1种排法，所以总共有6种排法，()612244P X \=== ；当X =4时，只有1种排法，()1424P X \==；其数学期望为()31110124183424E X =´+´+´+´= ；故答案为：1.17．(1)π3B =(2)【分析】（1）由余弦定理、平方关系依次求出cos ,sin C C，最后结合已知sin C B =得cos B 的值即可；（2）首先求出,,A B C ，然后由正弦定理可将,a b 均用含有c 的式子表示，结合三角形面积公式即可列方程求解.【详解】（1）由余弦定理有2222cosab C =，对比已知222a b c +-=，可得222cos 2a b cC ab +-==因为()0,πC Î，所以sin 0C >从而sin C ===又因为sin C B =，即1cos 2B =，注意到()0,πB Î，所以π3B =.（2）由（1）可得π3B =，cos C =，()0,πCÎ，从而π4C=，ππ5ππ3412A=--=，而5πππ1sin sin sin 12462A æöæö==+==ç÷ç÷èøèø，从而a ==，由三角形面积公式可知，ABC V的面积可表示为211sin 22ABC S ab C ==V ，由已知ABC V 的面积为3所以c =18．(1)π3(2)【分析】（1）结合正弦定理，边化角即可求解角C ；（2）结合三角形面积公式与余弦定理求解()2a b +，即可得a b +的值.【详解】（1）解：()2cos cos b a C c A -=×Q ，\由正弦定理得()2sin sin cos sin cos B A C C A -=，所以2sin cos sin cos cos sin B C A C A C =+()sin sin ,A C B =+=由于()0,πB Î，所以sin 0B ¹，则1cos 2C =，又()0,πC Î，所以π3C =；（2）解：由（1）得11sin sin 22C S ab C ab ====4ab \=由余弦定理得22222cos ()32c a b ab C a b ab ab =+-=+-=，22()3520a b c ab ab \+=+==，a b \+=19．（1）1sin cos 6A C =-；（2）a =【分析】（1）根据已知条件，结合余弦定理即可得答案;（2）结合（1）及1sin 3A =得1cos 2C =-，进而得cos A =sin C =换得sin B =ac =.【详解】解：（1）由条件及余弦定理得，222222212sin 0cos cos a b c b c a b A C C+-+-++=，所以22212sin 0cos b b A C +=，所以1sin cos 6A C =-．（2）由1sin 3A =得，1cos 2C =-，又0C π<<，所以C =则cos A =sin Csin sin()sin cos cos sin B A C A C A C =+=+=由ABC V 1sin 2ac B =所以ac =由正弦定理得，sin sin a C c A ==，所以22a =，故a =【点睛】本题考查利用正余弦定理解三角形，三角形的面积等，考查运算求解能力，是中档题.本题第二问解题的关键在于利用第一问的结论得23C π=，进而结合三角恒等变换求得sin B =,最后利用正余弦定理求解.20．（1）3B π=；（2）6+【解析】（1）根据正弦定理以及两角和的正弦公式即可求出1cos 2B =，进而求出B ；（2）根据余弦定理可得到()2312a b ab +-=，再根据三角形面积公式得到 8ab =，即可求出 6a b +=，进而求出ABC V 的周长.【详解】解：（1）cos cos 2cos a C c A b B +=Q ，由正弦定理得：sin cos sin cos 2sin cos A C C A B B +=，整理得：()sin 2sin cos sin A C B B B +==，∵在ABC V 中，0B π<<，∴sin 0B ¹，即2cos 1B =，∴1cos 2B =，即3B π=；（2）由余弦定理得：(222122a c ac =+-×，∴()2312a c ac +-=，∵1sin 2S ac B ===∴8ac =，∴()22412a c +-=，∴6a c +=，∴ABC V 的周长为6+。

到两个定点距离积为定值的轨迹----卡西尼卵形线的几何画板作法常州市第二中学 季传军1.问题的提出一次在《圆锥曲线》的高三复习课上，小结了与到两定点距离有关的点的轨迹问题：①动点P 到两定点12,F F 距离和．为定值2a ，即12122(2)PF PF a a F F +=>的轨迹是椭圆；②动点P 到两定点12,F F 距离差．的绝对值为定值2a ，即1212||2(2)P F P F a a F F -=<的轨迹是双曲线；③动点P 到两定点12,F F 距离商．为定值k ，即12(1)PF k k PF =≠的轨迹是圆。

课堂上很快就有学生提出：到两定点距离积．为定值的点的轨迹是什么呢？课前我对这个问题没有思考过，再加上高三复习课时间紧迫，就以“这个问题在中学阶段不作要求”敷衍过去，哪知课后两个学生追着我问：这个轨迹到底是什么？这下我只有“被迫”去研究一下了。

2.问题学习研究过程我先在网上查阅了相关资料，了解到到两点距离积为定值的点的轨迹是卡西尼卵形线，如图，可以分成几类图形，其中一个特殊情形（图3）是伯努利双纽线（微分几何一个重要研究图形），就把这些告诉学生，同样会带来很多的“为什么”，那么怎样将这些图形动态直观的展示给学生呢？我想到了几何画板。

（1） （2） （3） （4） 问题：动点P 到两定点12,F F 的距离积为定值k ，即12PF PF k ⋅=，122F F c =，试讨论点P 的轨迹。

r 2=kr 1=c = 1.40 2.25厘米k = 5.19r 1 = 2.30厘米1r k cr 2=k r 1=c = 2.20 2.30厘米k = 5.29r 1 = 2.30厘米r 2=r 1=3.48厘米r 1 = 2.78厘米作图思路：①首先作可变线段用来控制两焦点12,F F 的距离（如图通过拖动C 来改变12,F F 的距离，下同）；②作可变线段用K 来控制k 的值③作可变线段1r 用，以1F 为圆心1r 为半径作圆1F ，计算1kr 并记为2r ，以2F 为圆心2r 为半径作圆2F ，设圆1F ，圆2F 的交点为P ，显然1212PF PF r r k ⋅=⋅=④选中点1,R P 构造轨迹曲线。

第二章1、一动点到两定点的距离的乘积等于定值2m ,求此动点的轨迹(卡西尼卵形线).解:设两定点间距离为a 2,两定点为)0,(a A -和)0,(a B ,设动点),(y x M 依题意2m =即:22222)()(m y a x y a x =+-++平方整理即得: 0)(2)(44222222=-+--+m a y x a y x2、求旋轮线⎩⎨⎧-=-=ty t t x cos 1,sin )20(π≤≤t 的弧与直线23=y 的交点。

解：将旋轮线方程代入直线23=y 得,cos 123t -=即21cos -=t ，由)20(π≤≤t ，得321π=t ，342π=t ，将21,t t 代入旋轮线方程便得交点为： )23,2332(-π与)23,2334(+π3、把下面的平面曲线的普通方程化为参数方程（1）;32x y =（2）)0(212121>=+a a y x（3）)0(0333>=-+a axy y x解：（1）令2t x =，则62t y =，故3t y =。

所以参数方程为⎪⎩⎪⎨⎧==32ty t x )(∞<<-∞t（2）令θ4cos a x =，则θ4sin a y =。

所以参数方程为⎪⎩⎪⎨⎧==θθ44sin cos a y a x )20(πθ≤≤ （3）设tx y =，代入方程得0]3)1([32=-+at t x x .则0=x 或)1(133-≠+=t t atx 故313tat x +=（它包含0=x 的情形，因可取0=t ），1-≠t 313t at y +=4、一动点移动时，与)0,0,4(A 及xoy 平面等距离，求该动点的轨迹方程。

解：设在给定的坐标系下，动点),,(z y x M ，所求的轨迹为C ，则z C z y x M =⇔∈),,( 亦即z z y x =++-222)4(0)4(22=+-∴y x由于上述变形为同解变形，从而所求的轨迹方程为0)4(22=+-y x5、在空间，选取适当的坐标系，求下列点的轨迹方程：（1）到两定点距离之比为常数的点的轨迹；（2）到两定点的距离之和为常数的点的轨迹；（3）到两定点的距离之差为常数的点的轨迹；（4）到一定点和一定平面距离之比等于常数的点的轨迹。

安徽省淮北市（新版）2024高考数学统编版（五四制）能力评测(自测卷)完整试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分 (共8题)第(1)题已知复数，且，则的最小值为（）A．B．C．D．第(2)题已知直线过双曲线的右焦点，且与双曲线右支交于，两点．若，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．第(3)题长方体的一个顶点上三条棱长为3、4、5，且它的八个顶点都在一个球面上，这个球的表面积是（）A．B．C．D．第(4)题以下三组数据的标准差分别为，，．5，5，5，5，5，5，5，5，53，3，4，4，5，6，6，7，72，2，2，2，5，8，8，8，8则有（）A．B．C．D．第(5)题已知双曲线的左、右焦点分别为、，过的直线交双曲线的右支于、两点．点满足，且，若，则双曲线的离心率是（）A．B．C．D．第(6)题在数学史上，平面内到两个定点的距离之积为常数的点的轨迹称为卡西尼卵形线．在平面直角坐标系中，动点到两个定点，的距离之积等于3，化简得曲线C：，下列结论不正确的是（）A．曲线C关于y轴对称B．的最小值为C．面积的最大值为D．的取值范围为第(7)题已知，则“”是“”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件第(8)题已知直线与曲线在原点处相切，则的倾斜角为（）A．B．C．D．二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分 (共3题)第(1)题如图所示，边长为的等边从起始位置（与轴重合）绕着点顺时针旋转至与轴重合得到，在旋转的过程中，下列说法正确的是（）A．边所在直线的斜率的取值范围是B．边所在直线在轴上截距的取值范围是C．边与边所在直线的交点为D．当的中垂线为时，第(2)题如图，在棱长为2的正方体中，E为边AD的中点，点P为线段上的动点，设，则（）A ．当时，EP//平面B．当时，取得最小值，其值为C．的最小值为D．当平面CEP时，第(3)题某班级到一工厂参加社会实践劳动，加工出如图所示的圆台，轴截面ABCD为等腰梯形，且满足.下列说法正确的是（）A．该圆台轴截面ABCD的面积为B．该圆台的表面积为C．该圆台的体积为D．该圆台有内切球，且半径为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 (共3题)第(1)题已知函数图象的一条对称轴为，则___________，函数在区间上的值域为___________．第(2)题数列为单调递增数列，且，则的取值范围是__________．第(3)题新时期党史学习教育，是党中央立足党的百年历史新起点、统筹中华民族复兴战略全局和世界百年末有之大变局，为动员全党全国满怀信心投身全面建设社会主义现代化国家而做出重大决策．某企业成立的党史学习教育督查组为调研本单位的党史学习情况，到某部门对10名成员进行了问卷测试，成绩如下：90，92，92，93，93，94，95，96，99，100，则这组数据的第75百分位数是______．四、解答题：本题共5小题，每小题15分，最后一题17分，共77分 (共5题)第(1)题如图，在平行六面体中，、、分别是、、的中点，侧面平面，，，，．(1)求证：平面；(2)试求二面角的余弦值．第(2)题已知数列为数列的前n项和，且．(1)求数列的通项公式；(2)求证：；(3)证明：．第(3)题在中，角的对边分别为.已知.（1）求角；（2）若，求的值.第(4)题已知等差数列的前n项和为，且.(1)求；(2)求数列的前n项和.第(5)题已知为数列的前n项和，，且．(1)求数列的通项公式；(2)若，求数列的前n项和．。

内蒙古乌海市2024高三冲刺（高考数学）部编版能力评测(强化卷)完整试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分 (共8题)第(1)题如图是一个列联表，则表中、处的值分别为（）总计总计A．，B．，C．，D．，第(2)题已知，则（）A．B．C．D．2第(3)题函数零点个数为（）A．B．C．D．第(4)题如图，是边长为2的正三角形，记位于直线≤左侧的图形的面积为，则的大致图像为（）A．B．C．D．第(5)题设α、β是互不重合的平面，l、m、n是互不重合的直线，下列命题正确的是（）A．若mÌα，nÌα，l⊥m，l⊥n，则l⊥αB．若l⊥n，m⊥n，则l∥mC．若m∥α，n∥β，α⊥β，则m⊥n D．若l⊥α，l∥β，则α⊥β第(6)题已知，分别是定义在上的偶函数和奇函数，且满足．若恒成立，则实数的取值范围为（）A．B．C．D．第(7)题在数学史上，平面内到两个定点的距离之积为常数的点的轨迹称为卡西尼卵形线．在平面直角坐标系中，动点到两个定点，的距离之积等于3，化简得曲线C：，下列结论不正确的是（）A．曲线C关于y轴对称B．的最小值为C．面积的最大值为D．的取值范围为第(8)题设为坐标原点，在区域内随机取一点，则的概率为（）A．B．C．D．二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分 (共3题)第(1)题已知实数，则（）A．B．C．D．第(2)题已知正方体，则下列说法中正确的是（）A．直线与所成的角为B．直线与所成的角为C．直线与平面所成角为D．直线与平面所成角为第(3)题已知递增的正整数列的前n项和为．以下条件能得出为等差数列的有（）A．B．C．D．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 (共3题)第(1)题设向量，，若，则______．第(2)题已知向量满足，设向量与的夹角为，则______．第(3)题已知的二项展开式中，各项的系数和比各项的二项式系数和大992，则______．四、解答题：本题共5小题，每小题15分，最后一题17分，共77分 (共5题)第(1)题在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知的面积．(1)求；(2)若,，求．第(2)题对于给定的奇数，设是由个数组成的行列的数表，数表中第行，第列的数，记为的第行所有数之和，为的第列所有数之和，其中.对于，若且同时成立，则称数对为数表的一个“好位置”111001010(Ⅰ)直接写出右面所给的数表的所有的“好位置”；(Ⅱ)当时，若对任意的都有成立，求数表中的“好位置”个数的最小值.(Ⅲ)求证：数表中的“好位置”个数的最小值为．第(3)题在中，设角、、所对边的边长分别为、、，已知.(1)求角的大小；(2)当，时，求边长和的面积.第(4)题某运动队为评估短跑运动员在接力赛中的作用，对运动员进行数据分析．运动员甲在接力赛中跑第一棒、第二棒、第三棒、第四棒四个位置，统计以往多场比赛，其出场率与出场时比赛获胜率如下表所示．比赛位置第一棒第二棒第三棒第四棒出场率0.30.20.20.3比赛胜率0.60.80.70.7(1)当甲出场比赛时，求该运动队获胜的概率．(2)当甲出场比赛时，在该运动队获胜的条件下，求甲跑第一棒的概率．(3)如果某场比赛该运动队获胜，求在该场比赛中甲最可能是第几棒．．第(5)题学校对甲、乙两个班级的同学进行了体能测验，成绩统计如下（每班50人）：(1)成绩不低于80分记为“优秀”.请填写下面的列联表，并判断是否有的把握认为“成绩优秀”与所在教学班级有关？成绩优秀成绩不优秀总计甲班乙班总计(2)从两个班级的成绩在的所有学生中任选2人，其中，甲班被选出的学生数记为，求的分布列与数学期望.附：.0.250.150.100.050.0251.3232.072 2.7063.841 5.024。

江苏省泰州市2024高三冲刺（高考数学）人教版测试(预测卷)完整试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分 (共8题)第(1)题已知，，，则（）．A．B．C．D．第(2)题在三棱柱中，点在棱上，且，点在棱上，且为的中点，点在直线上，若平面，则（）A．2B．3C．4D．5第(3)题已知，分别是双曲线的左、右焦点，焦距为4，若过点且倾斜角为的直线与双曲线的左、右支分别交于，两点，，则该双曲线的离心率为（）A．B．C．D．第(4)题已知实数a，b满足，则的最小值是（）A．1B．2C．4D．16第(5)题函数.若对任意，都有，则实数的取值范围为（）A．B．C．D．第(6)题设，为双曲线同一条渐近线上的两个不同的点，若向量，且，则双曲线的离心率为A．2或B．3或C．D．3第(7)题设集合，，则A∩B＝（）A．B．C．D．第(8)题在数学史上，平面内到两个定点的距离之积为常数的点的轨迹称为卡西尼卵形线．在平面直角坐标系中，动点到两个定点，的距离之积等于3，化简得曲线C：，下列结论不正确的是（）A．曲线C关于y轴对称B．的最小值为C．面积的最大值为D．的取值范围为二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分 (共3题)第(1)题将边长为2的正方形ABCD沿对角线AC折起，使点D不在平面ABC内，则在翻折过程中，下列结论正确的有（）A．存在某个位置，使直线BD与平面ABC所成的角为45°B ．当二面角为时，三棱锥的体积为C．当平面ACD⊥平面ABC时，异面直线AB与CD的夹角为60°D ．O为AC的中点，当二面角为时，三棱锥外接球的表面积为第(2)题已知数列是首项为，公比为的等比数列，则（）A．是等差数列B．是等差数列C．是等比数列D．是等比数列第(3)题给出下列命题，其中正确的命题有（）A．“”是“”的必要不充分条件B．已知命题：“，”，则：“，”C．若随机变量，则D．已知随机变量，且，则三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 (共3题)第(1)题将长、宽分别为2，4的矩形卷起作为一个圆柱的侧面（不计损耗），则该圆柱外接球的表面积为______．第(2)题已知函数为奇函数，若，则__．第(3)题顾客请一位工艺师把、两件玉石原料各制成一件工艺品，工艺师带一位徒弟完成这项任务，每件原料先由徒弟完成粗加工，再由工艺师进行精加工完成制作，两件工艺品都完成后交付顾客，两件原料每道工序所需时间（单位：工作日）如下：工序粗加工精加工时间原料原料原料则最短交货期为工作日.四、解答题：本题共5小题，每小题15分，最后一题17分，共77分 (共5题)第(1)题已知函数（）．（Ⅰ）若在上不单调，求实数的取值范围；（Ⅱ）当时，证明：．第(2)题在数列中，；（1）求；（2）令，求数列的前项和.第(3)题已知函数，．(1)证明：存在唯一零点；(2)设，若存在，使得，证明：．第(4)题下表为年至年某百货零售企业的线下销售额（单位：万元），其中年份代码年份．年份代码线下销售额（1）已知与具有线性相关关系，求关于的线性回归方程，并预测年该百货零售企业的线下销售额；（2）随着网络购物的飞速发展，有不少顾客对该百货零售企业的线下销售额持续增长表示怀疑，某调查平台为了解顾客对该百货零售企业的线下销售额持续增长的看法，随机调查了位男顾客、位女顾客（每位顾客从“持乐观态度”和“持不乐观态度”中任选一种），其中对该百货零售企业的线下销售额持续增长持乐观态度的男顾客有人、女顾客有人，能否在犯错误的概率不超过的前提下认为对该百货零售企业的线下销售额持续增长所持的态度与性别有关？参考公式及数据：．第(5)题已知函数（1）当时，求函数的单调区间；（2）若，设的最大值为，求的取值范围.。

山西省临汾市2024高三冲刺（高考数学）苏教版质量检测(备考卷)完整试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分 (共8题)第(1)题集合的子集个数为（）A．2B．4C．8D．16第(2)题某同学在劳动课上做了一个木制陀螺，该陀螺是由两个底面重合的圆锥组成．已知该陀螺上、下两圆锥的体积之比为，上圆锥的高与底面半径相等，则上、下两圆锥的母线长之比为（）A．B．C．D．第(3)题某车间从生产的一批零件中随机抽取了1000个进行一项质量指标的检测，整理检测结果得到此项质量指标的频率分布直方图如图所示.若用分层抽样的方法从质量指标在区间的零件中抽取170个进行再次检测，则质量指标在区间内的零件应抽取（）A．30个B．40个C．60个D．70个第(4)题平面内到两定点距离之积为常数的点的轨迹称为卡西尼卵形线，它是1675年卡西尼研究土星及其卫星的运行规律时发现的，已知直角坐标系xoy中，M（－2，0），N（2，0），动点P满足，则下列结论正确的是（）A．的取值范围是B．的取值范围是C．P点横坐标的取值范围是D．面积的最大值为第(5)题在递增等比数列中，其前项和为，且是和的等差中项，则（）A．28B．20C．18D．12第(6)题已知奇函数在上是减函数，，若，，，则a，b，c的大小关系为（）A．B．C．D．第(7)题大于的充分条件是（）A．B．C．D．第(8)题已知集合，集合，则（）A．B．C．D．二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分 (共3题)第(1)题已知，是正数，且，下列叙述正确的是（）A．最大值为B．的最小值为C ．最小值为D．最小值为第(2)题如图：在三棱柱中，底面为正三角形，且，则下列说法正确的是（）A．直线与底面所成角的余弦值为B．设中点为，则线段的长度的最小值为C．平面与平面夹角的余弦值为D．直线与平面所成角的余弦值的最大值为第(3)题已知向量，则下列结论正确的是（）A．当时，B．当时，向量与向量的夹角为锐角C．存在，使得D．若，则三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 (共3题)第(1)题已知实数x，y满足约束条件，则的最大值为________．第(2)题若是定义在上的奇函数，且是偶函数，当时，，则__________.第(3)题如图是函数的部分图象，A是图象的一个最高点，D是图象与y轴的交点，B，C是图象与x轴的交点，且，的面积等于．若时，关于x的方程恰有3个不同的实数根，则m的取值范围是_____________．四、解答题：本题共5小题，每小题15分，最后一题17分，共77分 (共5题)第(1)题为了调查“双11”消费活动情况，某校统计小组分别走访了、两个小区各20户家庭，他们当日的消费额按，，，，，，分组，分别用频率分布直方图与茎叶图统计如下（单位：元）：（1）分别计算两个小区这20户家庭当日消费额在的频率，并补全频率分布直方图；（2）分别从两个小区随机选取1户家庭，求这两户家庭当日消费额在的户数为1时的概率（频率当作概率使用）；（3）运用所学统计知识分析比较两个小区的当日网购消费水平.第(2)题已知抛物线的焦点为F，O为坐标原点，抛物线C上不同两点A，B同时满足下列三个条件中的两个：①；②；③直线AB的方程为．(1)请分析说明A，B满足的是哪两个条件？并求抛物线C的标准方程；(2)若直线经过点，且与（1）的抛物线C交于A，B两点，，若，求的值；(3)点A，B，E为（1）中抛物线C上的不同三点，分别过点A，B，E作抛物线C的三条切线，且三条切线两两相交于M，N，P，求证：的外接圆过焦点F．第(3)题已知函数.(1)当时，求曲线在点处的切线方程；(2)若，不等式恒成立，求实数的取值范围.第(4)题在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为(为参数).以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为.（Ⅰ）求直线的直角坐标方程与曲线的普通方程；（Ⅱ）已知点设直线与曲线相交于两点，求的值.第(5)题已知是递增的等比数列，，且、、成等差数列.（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）设，，求数列的前项和.。

重庆市县（新版）2024高考数学统编版真题(冲刺卷)完整试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分 (共8题)第(1)题已知集合,集合，则=（）A．{}B．{,,0}C．{2}D．{0,1}第(2)题在三棱柱中，点在棱上，且，点在棱上，且为的中点，点在直线上，若平面，则（）A．2B．3C．4D．5第(3)题对于函数，给出下列五个命题：（1）该函数的值域是；（2）当且仅当或时，该函数取最大值1；（3）该函数的最小正周期为2π；（4）当且仅当时，；（5）当且仅当时，函数单调递增；其中所有正确命题的个数有（）A．1B．2C．3D．4第(4)题函数的图像大致为（）A．B．C．D．第(5)题设三点在棱长为2的正方体的表面上，则的最小值为（）A．B．C．D．第(6)题集合，则下列选项正确的是（）A．B．C．D．第(7)题在数学史上，平面内到两个定点的距离之积为常数的点的轨迹称为卡西尼卵形线．在平面直角坐标系中，动点到两个定点，的距离之积等于3，化简得曲线C：，下列结论不正确的是（）A．曲线C关于y轴对称B．的最小值为C．面积的最大值为D．的取值范围为第(8)题已知非空集合、、满足：，．则（）．A．B．C．D．二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分 (共3题)第(1)题“奔跑吧少年”青少年阳光体育系列赛事活动于近日开赛，本次比赛的总冠军奖杯由一个铜球和一个托盘组成，如图①，已知球的体积，托盘由边长为4的正三角形钢片沿各边中点的连线垂直向上折叠而成，如图②则下列结论正确的是（）A．直线与平面所成的角为B．直线平面C．异面直线与所成的角的余弦值为D．球上的点离球托底面的最大距离为第(2)题如图，，是直三棱柱棱上的两个不同的动点，，，则（）A．平面B．若为定长，则三棱锥的体积为定值C．直线与平面所成角等于D．平面平面．第(3)题设随机变量的分布列如下：123 (20222023)…则下列说法正确的是（）A．当为等差数列时，B．数列的通项公式可能为C ．当数列满足时，D．当数列满足时，三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 (共3题)第(1)题现有四棱锥（如图），底面ABCD是矩形，平面ABCD.，，点E，F分别在棱AB，BC上.当空间四边形PEFD的周长最小时，异面直线PE与DF所成角的余弦值为___________.第(2)题2022年12月8日，国务院联防联控机制召开新闻发布会，介绍进一步优化落实疫情防控有关情况，传达我们要做好自己健康的第一责任人的精神，小华准备了一些药物，现有三种退烧药､五种止咳药可供选择，小华从中随机选取两种，事件表示选取的两种药中至少有一种是退烧药，事件表示选取的两种药中恰有一种是止咳药，则___________，___________.第(3)题定义表示不超过的最大整数，如：，；定义．（1） ______ ；（2）当为奇数时， ______ ．四、解答题：本题共5小题，每小题15分，最后一题17分，共77分 (共5题)第(1)题如图，在四棱锥中，底面为梯形，，为等边三角形，E在棱上，．(1)证明：．(2)设Q为线段的中点，求平面与平面的夹角的余弦值．第(2)题已知等比数列的公比为2，且.（1）求的通项公式；（2）若，求数列的前项和.第(3)题已知函数．（1）当时，求的极值；（2）当时，，求整数的最大值．第(4)题已知函数．(1)讨论的单调性；(2)若有两个零点，求a的取值范围．第(5)题如图，为正三角形，.(1)求的长；(2)求的面积.。