高考数学圆锥曲线深度拓展 蒙日圆及其证明

大招9 蒙日圆及其证明 大招总结定理1曲线2222:1x y a bΓ+=的两条互相垂直的切线的交点P 的轨迹是圆2222x y a b +=+.定理1的结论中的圆就是蒙日圆.证明当题设中的两条互相垂直的切线中有斜率不存在或斜率为0时,可得点P 的坐标是(,)a b ±,或(,)a b ±-.当题设中的两条互相垂直的切线中的斜率均存在且均不为0时,可设点P 的坐标是()(000,x y x ≠±a ,且)0y b ≠±,所以可设曲线Γ的过点P 的切线方程是()00(0)y y k x x k -=-≠. 由()2222001x y a b y y k x x ⎧+=⎪⎨⎪-=-⎩,得 ()()()222222222000020a kb x ka kx y x a kx y a b +--+--=由其判别式的值为0,得()()222222200000200xa k x y k yb x a --++=-≠因为,PA PB k k 是这个关于k 的一元二次方程的两个根,所以220220PA PBy b k k x a-⋅=- 由此,得2222001PA PB k k x y a b ⋅=-⇔+=+进而可得欲证成立.定理2（1）双曲线22221(0)x y a b a b -=>>的两条互相垂直的切线的交点的轨迹是圆2222x y a b +=-; （2）抛物线22y px =的两条互相垂直的切线的交点是该抛物线的准线.定理3过圆2222x y a b +=+上的动点P 作椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的两条切线PA,PB,则.PA PB ⊥证明:设P 点坐标()00x y由()2222001x y a b y y k x x ⎧+=⎪⎨⎪-=-⎩得()()()222222222000020a k b x ka kx y x a kx y a b +--+--= 由其判别式的值为0, 得()()222222200000200x akx y k y b x a --+-=-≠因为,PA PB k k 是这个关于k 的一元二次方程的两个根,所以220220PA PBy b k k x a-⋅=- 22222200220,1,PA PBy b x y a b k k PA PB x a -+=+⋅==-⊥- 定理4设P 为蒙日圆2222:O x y a b +=+上任一点,过点P 作椭圆22221x y a b+=的两条切线,交椭圆于点A,B,O 为原点,则OP,AB 的斜率乘积为定值22OP AB b k k a⋅=-定理5设P 为蒙日圆2222:O x y a b +=+上任一点,过点P 作椭圆22221x y a b+=的两条切线,切点分别为A,B,O 为原点,则OA,PA 的斜率乘积为定值22OA PA b k k a ⋅=-,且OB,PB 的斜率乘积为定值OB k ⋅22(PB b k a=-垂径定理)定理6过圆2222x y a b +=+上的动点P 作椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的两条切线,O 为原点,则PO 平分椭圆的切点弦AB.证明:P 点坐标()00,x y ,直线OP 斜率00OP y k x =由切点弦公式得到AB 方程200022201,AB x x y y b x k a b a y +==-22OP ABb k k a⋅=-,由点差法可知,OP 平分AB,如图M 是中点定理7设P 为蒙日圆2222:O x y a b +=+上任一点,过点P 作椭圆22221x y a b+=的两条切线,切点分别为A,B,延长PA,PB 交伴圆O 于两点C,D,则//CD AB . 证明:由性质2可知,M 为AB 中点.由蒙日圆性质可知,90APB ︒∠=,所以MA MB MP ==. 同理OP OC OD ==.因此有PAM APM CPO PCO ∠=∠=∠=∠, 所以//AB CD .典型例题(例1.)(2020春-安徽月考)已知点P 为直线40ax y +-=上一点,PA,PB 是椭圆222:1(1)x C y a a+=>的两条切线,若恰好存在一点P 使得PA PB ⊥,则椭圆C 的离心率为 解方法1:设(,)P m n ,过点P 的切线方程为()y n k x m -=-,联立222()1y n k x m x y a-=-⎧⎪⎨+=⎪⎩,得()22222212()()10k a x ka n km x a n km ⎡⎤++-+--=⎣⎦, 直线与椭圆相切,()24222224()41()10k a n km a k a n km ⎡⎤∆=--+--=⎣⎦,整理得()2222210am k mnk n -++-=,若切线PA,PB 的斜率均存在,分别设为12,k k ,212221,1n PA PB k k a m-⊥∴⋅==--,即2221m n a +=+, ∴点P 在以(0,0)为圆心,即(0,0)到直线40ax y +-=d ∴==,解得a =1,a a >∴=若切线PA,PB 分别与两坐标轴垂直,则(,1)P a 或(,1)a -或(,1)a -或(,1)a --, 存在点(,1)P a ,将其代入直线40ax y +-=中,解得a =综上所述,a =又1,b c =∴==∴离心率3c e a ===. 故答案为. 方法2:在方法1中,实际上证明了一遍蒙日圆,如果知道结论,可得P 的轨迹2221x y a +=+,且此圆与40ax y +-=相忉.其中(0,0)到直线40ax y +-=的距离d =d ∴==,解得a =1,a a >∴=又1,b c =∴==∴离心率3c e a ===.故答案为. (例2.)(2020春-安徽月考)已知两动点A,B 在椭圆222:1(1)x C y a a+=>上,动点P 在直线3410x y +-0=上,若APB ∠恒为锐角,则椭圆C 的离心率的取值范围为解由结论可知:椭圆2221x y a+=的两条互相垂直的切线的交点的轨迹是冡日圆2221x y a +=+,若APB ∠恒为锐角,则直线34100x y +-=与圆2221x y a +=+相离,>,又1,1a a >∴<<,.c e a ⎛∴=== ⎝⎭故答案为:⎛ ⎝⎭.例3.已知22:1O x y +=.若直线2y kx =+上总存在点P ,使得过点P 的O 的两条切线互相垂直,则实数k 的取值范围是解(,1][1,-∞-⋃+∞).在下图中,若小圆(其圆心为点O ,半径为r )的过点A 的两条切线AB,AD 互相垂直（切点分别为E,F ）,得正方形AEOF,所以|||OA OE ==,即点A 的轨迹是以点O 为圆心为半径的圆.由此结论可得:在本题中,点P 在圆222x y +=上.所认本题的题意即直线2y kx =+与圆222x y +=有公共点,进而可得答案.例4.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的一个焦点为0),（1）求椭圆C 的标准方程;（2）若动点()00,P x y 为椭圆C 外一点,且点P 到椭圆C 的两条切线相互垂直,求点P 的轨迹方程.解（1）依题意有3,2c a b ===故所求椭圆C 的标准方程为22194x y +=. （2）当两条切线的斜率存在时,设过()00,P x y 点的切线为()00y y k x x -=-. 联立()0022194y y k x x x y ⎧-=-⎪⎨+=⎪⎩消去y 得()()222004918360k xk y kx ++--=判别式()()()222222000018364940x k y kx k y kx ⎡⎤∆=+--+--=⎣⎦,化简得()2200940y kx k ---=,即()2220000924x k x y k y --+-.依题意得201220419y k k x -⋅==--,即220013x y +=(可由222200x y a b +=+直接可得答案) (例5.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的一个焦点为0),点P 为圆22:13M x y +=上任意一点,O 为坐标原点. （I ）求椭圆C 的标准方程;（II ）记线段OP 与椭圆交点为Q ,求|PQ|的取值范围;（III ）设直线l 经过点P 且与椭圆C 相切,l 与圆M 相交于另一点A ,点A 关于原点O 的对称点为B ,试判断直线PB 与椭圆C 的位置关系,并证明你的结论.解（I）由题意可知:c c e a ===,则2223,4a b a c ==-=,∴椭圆的标准方程:22194x y +=; （III ）由题意可知:||||||||PQ OP OQ OQ =-=,设()221111,,194x y Q x y +=, ||OQ ∴===由1[3,3]x ∈-,当10x =时,min ||2OQ =,当13x =±时,max ||3OQ =,||PQ ∴的取值范围2]; （III ）证明:由题意,点B 在圆M 上,且线段AB 为圆M 的直径,所以PA PB ⊥.分3种情况讨论,（1）当直线PA x ⊥轴时,易得直线PA 的方程为3x =±,由题意,得直线PB 的方程为2y =±, 显然直线PB 与椭圆C 相切.（2）同理当直线//PA x 轴时,直线PB 也与椭圆C 相切. （3）当直线PA 与x 轴既不平行也不垂直时,设点()00,P x y ,直线PA 的斜率为k ,则0k ≠,直线PB 的斜率1k-, 所以直线()00:PA y y k x x -=-,直线()001:PB y y x x k-=--, 由()0022194y y k x x x y ⎧-=-⎪⎨+=⎪⎩,消去y ,得()()()220000941892360.k x y kx kx y kx ++-+--=因为直线PA 与椭圆C 相切,所以()()()22210000184949360y kx k k y kx ⎡⎤⎡⎤∆=--+--=⎣⎦⎣⎦, 整理,得()222100001449240x k x y k y ⎡⎤∆=---+-=⎣⎦ 同理,由直线PB 与椭圆C 的方程联立,得()2220000211144924x x y y k k ⎡⎤∆=--++-⎢⎥⎣⎦.（2）因为点P 为圆22:13M x y +=上任意一点,所以220013x y +=,即220013y x =-.代入（1）式,得()()22200009290x k x y k x --+-=, 代入（2）式,得()()()2222200000002214414492492(9x x y k y k x x y k k k⎡⎤⎡∆=--++-=--++-⎣⎦⎣)220x k ⎤⎦, ()()222000021449290x k x y k x k⎡⎤=--+-=⎣⎦. 所以此时直线PB 与椭圆C 相切. 综上,直线PB 与椭圆C 相切. 例6.(2021-安徽模拟)已知圆22:5O x y +=,椭圆2222:1(0)x y a b aΓ+=>>的左,右焦点为12,F F ,过1F 且垂直于x 轴的直线被椭圆和圆所截得弦长分别为1和.（I ）求椭圆的标准方程;（II ）如图P 为圆上任意一点,过P 分别作椭圆两条切线切椭圆于A,B 两点. （i ）若直线PA 的斜率为2,求直线PB 的斜率；（ii ）作PQ AB ⊥于点Q ,求证:12QF QF +是定值.解（I）由题意可得2,21b a ⎧=⎪⎨=⎪⎩解得2,1,a b c ===所以椭圆的方程为2214x y +=.（II ）（I ）设()00,P x y ,切线()00y y k x x -=-,则22005x y +=, 由()220014x y y y k x x ⎧+=⎪⎨⎪-=-⎩,化简得()()()2220000148440,k x k y kx x y kx ++-+--=,由0∆=得()2220004210x kx y k y -++-=,设切线PA,PB 的斜率分别为12,k k ,则()2200122200111445y y k k x y --===----, 又直线PA 的斜率为2,则直线PB 的斜率为12-. （II ）当切线PA,PB 的斜率都存在时,设()()1122,,,A x y B x y ,切线PA,PB 的方程为(),1,2i i i y y k x x i -=-=, 由（1）得()2224210,1,2,(*)i i i i i x k x y k y i -++-==又A,B 点在椭圆上得,221,1,2,(*)4i i x y i +== 得2202i i i x y k ⎛⎫+= ⎪⎝⎭,即,1,24i i i x k i y =-=,氻线PA,PB 的方程为1,1,24i i x xy y i +==,又过,点P ,则001,1,24i i x xy y i +==,所直线AB 的方程为0014x xy y +=,(可直接代㔹点弦方程)由PQ AB ⊥的直线PQ 的方程为()00004y y y x x x -=-,联立直线AB 方程为0014x xy y +=,解得()()22000000222200004131341,165165Q Q x y y y x x y y x y x y ++====++, 由22005x y +=得,点Q 轨迹方程为2255116x y +=,且焦,点恰为12,F F ,故122QF QF +==,当切线PA,PB 的斜率有一个不存在时,易得12QF QF +=.综上,125QF QF +=. 自我检测1.(2021-全国二模)已知双曲线2221(1)4x y a a -=>上存在一点M ,过点M 向圆221x y +=做两条切线MA,MB,若0MA MB ⋅=,则实数a 的取值范围是(）A.B.C.)+∞D.)+∞ 答案：方法1:双曲线2221(1)4x y a a -=>上存在一点M ,过点M 向圆221x y +=做两条切线MA 、MB,若MA0MB =,可知MAOB 是正方形,MO =,所以a ∈.故选B.方法2:过点M 向圆221x y +=做两条切线MA 、MB,若0,MA MB M ⋅=点轨迹即为蒙日圆222x y +=,且此圆与双曲线2221(1)4x y a a -=>有公共点M ,所以a ∈.故选B2.给定椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>,称圆心在原点O ,C 的“准圆”.已知椭圆C 的一个焦点为F ,其短轴的一个端点到点F （I ）求椭圆C 及其“准圆”的方程（II ）若点A 是椭圆C 的“准圆”与x 轴正半轴的交点,B,D 是椭圆C 上的相异两点,且BD x ⊥轴,求AB AD ⋅的取值范围;（III)在椭圆C 的“准圆”上任取一点(,)P s t ,过点P 作两条直线12,l l ,使得12,l l 与椭圆C 都只有一个公共点,且12,l l 分别与椭圆的“准圆”交于M,N 两点.证明:直线MN 过原点O .答案：（I ）解:由题意知c a ==,解得1b =,∴椭圆C 的方程为2213x y +=,其“准圆”为224x y +=.（II ）解:由题意,设((,),(,),B m n D m n m -<<则有2213m n +=, 又A 点坐标为(2,0),故(2,),(2,)AB m n AD m n =-=--,2222(2)4413m AB AD m n m m ⎛⎫∴⋅=--=-+-- ⎪⎝⎭2244343332m m m ⎛⎫=-+=- ⎪⎝⎭,又243[0,732m m ⎛⎫<<∴-∈+ ⎪⎝⎭.AB AD ∴⋅的取值范围是[0,7+. （III ）设(,)P s t ,则224s t +=,当s =,1t =±,则12,l l 其中之一斜率不存在,另一条斜率为0,12l l ∴⊥.当t ≠,设过(,)P s t 且与有一个公共点的直线l 的斜率为k , 则l 的方程为()y t k x s -=-,代人椭圆C 的方程,得:223[()]3x k x s t +-+=,即()222316()3()30k x k t ks x t kt +--+--=,由()222236()4313()30k t ks k t kt ⎡⎤∆=--+--=⎣⎦,得()2223230tkstk t -++-=,其中230t -≠,设12,l l 的斜率分别为12,k k ,则12,k k 分别是上述方程的两个根,12121,k k l l ∴=-∴⊥.综上所述,12l l ⊥,MN ∴是准圆的直径,∴直线MN 过原点O .3.已知A 是圆224x y +=上的一个动点,过点A 作两条直线12,l l ,它们与椭圆2213x y +=都只有一个公共点,且分别交圆于点M,N（1）若(2,0)A -,求直线12,l l 的方程;（2）（1）求证:对于圆上的任意点A ,都有12l l ⊥成立; （2）求AMN 面积的取值范围.答案：(1)解:设直线的方程为(2)y k x =+,代人椭圆2213x y +=,消去y ,可得()222213121230k x k x k +++-=由0∆=,可得210k -=设12,l l 的斜率分别为1212,,1,1k k k k ∴=-= ∴直线12,l l 的方程分别为2,2y x y x =--=+;(2)(1)证明:当直线12,l l 的斜率有一条不存在时,不妨设1l 无斜率1l 与椭圆只有一个公共点,所以其方程为x =当1l的方程为x =,此时1l与圆的交点坐标为1±),所以2l 的方程为1y =(或)121,y l l =-⊥成立,同理可证,当1l的方程为x =,结论成立;当直线12,l l 的斜率都存在时,设点(,)A m n ,且224m n += 设方程为()y k x m n =-+,代人椭圆方程,可得()22136()3()230k xk n km x n km ++-+--=由0∆=化简整理得()2223210mkmnk n -++-=224m n +=()2223230m k mnk m ∴-++-=设12,l l 的斜率分别为121212,,1,k k k k l l ∴=-∴⊥成立 综上,对于圆上的任意点A ,都有12l l ⊥成立; (2)记原点到直线12,l l 的距离分别为12,d d ,22124,d d AMN +=∴面积()()2222222121114444216S d d d d d ==-=--+221[1,3],[12,16]d S ∈∴∈4]S ∴∈.4.过P 点作椭圆两条切线,若椭圆的两条切线互相垂直,设圆心到切点弦的距离为1,d P 到切点弦的距离为2d 证明12d d 之积为常数.答案：证明:如图所示,设椭圆方程为22221(0)x y a b a b+=>>,那么在椭圆上A,B 两处切线的交点P 在圆2222(\neq )a x y a b x +=+,现设)Pθθ,那么AB 的直线方程为220xb ya a b θθ+-=.原点到切点弦AB 的距离221d =切线交点P 到切点弦AB 的距离是42422d==所以221222a b d d a b=+(常数).5.(2021贵州模拟)已知椭圆22:1,2x C y M +=是圆223x y +=上的任意一点,MA,MB 分别与椭圆切于A,B.求AOB 面积的取值范围.答案：设()()()001122,,,,,M x y A x y B x y ,得1212:1,:122x x x x MA y y MB y y +=+=,且2203x y += 由()()()001122,,,,,M x y A x y B x y ,得010201021,122x x x x y y y y +=+=,从而00:12x xAB y y +=将直线AB 的方程与椭圆C 的方程联立,得 ()22200034440y x x x y +--+=. 所以,20012122200444,33x y x x x x y y -+==++, 因此,)202013y AB y +=+.又原点O 到直线AB的距离d ==所以01||22OABS AB d =⋅=令[1,2]t =,得到21222,2332OABt St t t⎡==⋅∈⎢+⎣⎦+6.(2021河北模拟)设椭圆22154x y +=的两条互相垂直的切线的交点轨迹为C ,曲线C 的两条切线PA,PB 交于点P ,且与C 分别切于A,B 两点,求PA PB ⋅的最小值.答案：设两切线为12,l l(1)当1l x ⊥轴或1//l x 轴时,对应2//l x 轴或2l x ⊥轴,可知(2)P ±; (2)当1l 与x 轴不垂直且不平行时,x ≠设1l 的斜率为k ,则20,k l ≠的斜率为11,l k-的方程为y -()00y k x x =-,联立22154x y +=, 得()()()222000054105200k x y kx kx y k ++-+--=,因为直线与椭圆相切,所以0∆=,得()()()2222000055440y kx k k y kx ⎡⎤--+--=⎣⎦,()220020440k y kx ⎡⎤∴-+--=⎣⎦,()22200005240x k x y k y ∴--+-=,所以k 是方程()22200005240x k x y k y --+-=的一个根, 同理1k-是方程()22200005240x k x y k y --+-=的另一个根, 2020415y k k x -⎛⎫∴⋅-= ⎪-⎝⎭得22009x y +=,其中x ≠所以点P的轨迹方程为229(x y x +=≠, 因为(3,2)P ±±满足上式,综上知:点P 的轨迹方程为229x y +=.设,PM PB x APB θ==∠=,则在AOB 与APB 中应用余弦定理知,2222cos AB OA OB OA OB AOB =+-⋅⋅∠ 222cos PA PB PA PB APB =+-⋅⋅∠,即()3322\38cdo 3233cos 102c s t o x x x x θθ︒+-⋅⋅-=+-⋅,即 29(1cos )1cos x θθ+=-||||cos cos PA PB PA PB APB x x θ⋅=⋅∠=⋅9(1cos )cos 1cos θθθ+=-令1cos (0,2]t θ=-∈,则cos 1t θ=-. ()29329(2)(1)293t t t t PA PB t t t t -+--⎛⎫⋅===⋅+ ⎪-⎝⎭9233)t ⎛⎫⋅⋅=⎪ ⎪⎝⎭且仅当2t t=,即t =时,PA PB ⋅取得最小3).7.(衡水中学模拟)如图,在平面直角坐标系xOy,设点()00,M x y 是椭圆22:12412x y C +=上一点,从原点O 向圆()()22008M x x y y -+-=作两条切线分别与椭圆C 交于点P,Q .（1）若M 点在第一象限,且直线OP,OQ 互相垂直,求圆M 的方程; （2）若直线OP,OQ 的斜率存在,分别记为12,k k .求12k k ⋅的值;（3）试问22||||OP OQ +是否为定值?若是求出该定值;若不是,说明理由.答案：(1)由圆M的方程知圆M的半径r=因为直线OP,OQ互相垂直,且和圆M相切,所以||4OM==,即220016x y+=又点R在椭圆C上,所以2212412x y+=联立(1)(2),解得0xy⎧=⎪⎨=⎪⎩,所以,所求圆M的方程为22((8x y-+-=.(2)因为直线1:OP y k x=和2:OQ y k x=都与圆R相切,(3)==化简得212288yk kx-⋅=-,因为点()00,R x y在椭圆C上,所以2212412x y+=,即22001122y x=-,所以2122141282xk kx-⋅==--(3)(1)当直线OP,OQ不落在坐标轴上时,设()()1122,,,P x y Q x y,由(2)知12210k k+=,所以121221y yx x=,故2222121214y y x x=,因为()()1122,,,P x y Q x y,在椭圆C上,所以222211221,124122412x y x y+=+=即222211221112,1222y x y x=-=-,所以222212121111212224x x x x⎛⎫⎛⎫--=⎪⎪⎝⎭⎝⎭;整理得221224x x+=,所以222212121112121222y y x x⎛⎫⎛⎫+=-+-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,所以2222221122241236OP OQ x y x y+=+++=+=.(2)当直线OP,OQ 落在坐标轴上时,显然有2236OP OQ +=.综上:2236OP OQ +=结论：设点()00,M x y 是椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>上任意一点,从原点O 向圆()20:(M x x y -+-)222022a b y a b=+作两条切线分别与椭圆C 交于点P 、Q,直线OP,OQ 的斜率分别记为12,k k .8.(2021年甘肃省张掖市肃南一中高考数学模拟)已知椭圆22122:1(0)y x C a b a b+=>>的离心率e =且经过点⎛ ⎝⎭,抛物线22:2(0)C x py p =>的焦点F 与椭圆1C 的一个焦点重合. （I ）过F 的直线与抛物线2C 交于M,N 两点,过M,N 分别作抛物线2C 的切线12,l l ,求直线12,l l 的交点Q 的轨迹方程;（II)从圆22:5O x y +=上任意一点P 作椭圆1C 的两条切线,切点为A,B,证明:AOB ∠为定值,并求出这个定值.答案：（I ）设椭圆的半焦距为c ,则c a =,即a =,则b =,椭圆方程为2222132y x c c +=,将点⎛ ⎝⎭的坐标代人得21c =,故所求的椭圆方程为22132y x +=焦点坐标(0,1)± 故抛物线方程为24x y =.设直线()()1122:1,,,MN y kx M x y N x y =+, 代人抛物线方程得2440x kx --=, 则12124,4x x k x x +==-,由于214y x =,所以12y x '=, 故直线1l 的斜率为111,2x l 的方程为 ()22111111111, ?´ 2224y x x x x y x x x -=-=-同理2l 的方程为2221124y x x x =-,令22112211112424x x x x x x -=-,即 ()()()12121212x x x x x x x -=-+,显然12x x ≠,()1212x x x =+,即点Q 的横坐标是()1212x x +,点Q 的纵坐标是()221111*********124244y x x x x x x x x x =-=+-==-即点(2,1)Q k -,故点Q 的轨迹方程是1y =-.(阿基米德三角形)（II ）证明：(1)当两切线的之一的斜率不存在时,根据对称性,设点P 在第一象限,则此时P ,代人圆的方程得P此时两条切线方程分别为x y ==此时2APB π∠=若APB ∠的大小为定值,则这个定值只能是2π. (2)当两条切线的斜率都存在时,即x ≠, 设()00,P x y ,切线的斜率为k , 则切线方程为()00y y k x x -=-, 与椭圆方程联立消元得()()()2220000324260k xk y kx kx y ++-+--=.由于直线()00y y k x x -=-是椭圆的切线,故()()()222200016432260ky kx k kx y ⎡⎤∆=--+--=⎣⎦,整理得()22200002230x k x y k y -++-=.切线PA,PB 的斜率12,k k 是上述方程的两个实根,故2012232y k k x -=--, 点P 在圆225x y +=上,故220032y x -=-,所以121k k =-,所以2APB π∠=综上可知:APB ∠的大小为定值2π,得证.。

蒙日圆及其证明高考题 (2014年高考广东卷文科、理科第20题)已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的一个焦点为，离心率为3．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)若动点00(,)P x y 为椭圆C 外一点，且点P 到椭圆C 的两条切线相互垂直，求点P 的轨迹方程．答案：(1)22194x y +=；(2)2213x y +=．这道高考题的背景就是蒙日圆.普通高中课程标准实验教科书《数学2·必修·A 版》(人民教育出版社，2007年第3版，2014年第8次印刷)第22页对画法几何的创始人蒙日(G.Monge ，1745-1818)作了介绍.以上高考题第(2)问的一般情形是定理 1 曲线1:2222=+Γb y a x 的两条互相垂直的切线的交点P 的轨迹是圆2222b a y x +=+.定理1的结论中的圆就是蒙日圆.先给出定理1的两种解析几何证法：定理1的证法1 当题设中的两条互相垂直的切线中有斜率不存在或斜率为0时，可得点P 的坐标是),(b a ±，或),(b a -±.当题设中的两条互相垂直的切线中的斜率均存在且均不为0时，可设点P 的坐标是,)(,(000a x y x ±≠且)0b y ±≠，所以可设曲线Γ的过点P 的切线方程是)0)((00≠-=-k x x k y y .由⎪⎩⎪⎨⎧-=-=+)(1002222x x k y y b y a x ，得 0)()(2)(2220020022222=--+--+b a y kx a x y kx ka x b k a由其判别式的值为0，得)0(02)(22022*******≠-=++--a x b y k y x k a x因为PB PA k k ,是这个关于k 的一元二次方程的两个根，所以220220ax b y k k PBPA -+=⋅由此，得2220201b a y x k k PB PA +=+⇔-=⋅进而可得欲证成立.定理1的证法2 当题设中的两条互相垂直的切线中有斜率不存在或斜率为0时，可得点P 的坐标是),(b a ±，或),(b a -±.当题设中的两条互相垂直的切线中的斜率均存在且均不为0时，可设点P 的坐标是,)(,(000a x y x ±≠且)0b y ±≠，所以可设两个切点分别是)0)(,(),,(21212211≠y y x x y x B y x A .得直线1:2020=+b y y a x x AB ，切线1:,1:22222121=+=+byy a x x PB b y y a x x PA .所以：2121221121421422221212,x x y y x y x y k k y y a x x b y a x b y a x b k k OB OA PBPA =⋅==⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-= PBPA OBOA k k a b k k 44= 因为点)2,1)(,(=i y x i i 既在曲线1:2222=+Γb y a x 上又在直线1:2020=+by y a x x AB 上，所以220202222⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+b y y a x x b y a x i i 0)(2)(2204002222204=-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-a x b x y y x b a xy b y a iiii所以 PBPA OBOA k k a b b y a a x b x x y y k k 44220422042121)()(=--==220220ax b y k k PBPA --= 由此，可得222020b a y x PB PA +=+⇔⊥进而可得欲证成立.再给出该定理的两种平面几何证法，但须先给出四个引理.引理1 (椭圆的光学性质，见普通高中课程标准实验教科书《数学·选修2-1·A 版》(人民教育出版社，2007年第2版，2014年第1次印刷)第76页)从椭圆的一个焦点发出的光线，经过椭圆反射后，反射光线交于椭圆的另一个焦点上(如图1所示).图1证明 如图2所示，设P 为椭圆Γ(其左、右焦点分别是21,F F )上任意给定的点，过点P 作21PF F ∠的外角平分线所在的直线)43(∠=∠l .先证明l 和Γ相切于点P ，只要证明l上异于P 的点P '都在椭圆Γ的外部，即证2121PF PF F P F P +>'+'：图2在直线1PF 上选取点F '，使2PF F P ='，得F P P ''∆≌2PF P '∆，所以2F P F P '=''，还得2111121PF PF F P P F F F F P F P F P F P +='+='>''+'='+'再过点P 作21PF F ∠的平分线(12)PA ∠=∠，易得l PA ⊥，入射角等于反射角，这就证得了引理1成立.引理2 过椭圆Γ(其中心是点O ，长半轴长是a )的任一焦点F 作椭圆Γ的任意切线l 的垂线，设垂足是H ，则a OH =.证明 如图3所示，设点F F ,'分别是椭圆Γ的左、右焦点，A 是椭圆Γ的切线l 上的切点，又设直线A F FH ',交于点B .图3由引理1，得B A H F lA FAH ∠='∠=∠(即反射角与入射角的余角相等)，进而可得FAH ∆≌BAH ∆，所以点H 是FB 的中点，得OH 是F BF '∆的中位线.又AB AF =，所以a AF A F AB A F OH =+'=+'=)(21)(21.引理3 平行四边形各边的平方和等于其两条对角线的平方和. 证明 由余弦定理可证(这里略去过程).引理4 设点P 是矩形ABCD 所在平面上一点，则2222PD PB PC PA +=+.证明 如图4所示，设矩形ABCD 的中心是点O ．图4由引理3，可得22222222)(2)(2PD PB OP OB OP OA PC PA +=+=+=+即欲证成立．注 把引理4推广到空间，得到的结论就是：底面是矩形的四棱锥相对侧棱长的平方和相等．定理1的证法3 可不妨设0,0>>b a .当b a =时，易证成立.下面只证明b a >的情形.如图5所示.设椭圆的中心是点O ，左、右焦点分别是21,F F ，焦距是c 2，过动点P 的两条切线分别是PN PM ,.图5连结OP ，作PN OH PM OG ⊥⊥,，垂足分别是H G ,.过点1F 作PM D F ⊥1，垂足为D ，由引理2得a OD =.再作OG K F ⊥1于K .记θ=∠K OF 1，得θcos 1c K F DG ==. 由Rt ODG ∆，得θ222222cos c a DG OD OG -=-=.又作OH L F PN E F ⊥⊥22,，垂足分别为L E ,.在Rt OEH ∆中，同理可得θ222222sin c a HE OE OH -=-=.(1)若PN PM ⊥，得矩形OGPH ，所以22222222222)sin ()cos (b a c a c a OH OG OP +=-+-=+=θθ(2)若222b a OP +=，得222222222)sin ()cos (OH OG c a c a OP +=-+-=θθ由PM OG ⊥，得222GP OG OP +=，所以OH GP =.同理，有HP OG =，所以四边形OGPH 是平行四边形，进而得四边形OGPH 是矩形，所以PN PM ⊥.由(1),(2)得点P 的轨迹方程是2222b a y x +=+.定理1的证法4 可不妨设0,0>>b a .当b a =时，易证成立.下面只证明b a >的情形. 如图6所示.设椭圆的中心是点O ，左、右焦点分别是21,F F ，焦距是c 2，过动点P 的两条切线分别是PB PA ,，两切点分别为B A ,.分别作右焦点2F 关于切线PB PA ,的对称点N M ,，由椭圆的光学性质可得三点M A F ,,1共线(用反射角与入射角的余角相等).同理，可得三点N B F ,,1共线.图6由椭圆的定义，得a BF BF NF a AF AF MF 2,2211211=+==+=，所以11NF MF =.由O 是21F F 的中点，及平行四边形各边的平方和等于其两条对角线的平方和，可得)(2)(2222222221221OP c OP OF PF PF PM PF +=+=+=+ (1)若PB PA ⊥，得︒=∠+∠=∠+∠180)(22211BPF APF NPF MPF ，即三点N P M ,,共线.又PN PF PM ==2，所以MN PF ⊥1，进而得)(2422221212OP c PM PF MF a +=+==222b a OP +=(2)若222b a OP +=，得212222222214)(2)(2MF a b a c OP c PM PF ==++=+=+所以PM PF ⊥1.同理，可得PN PF ⊥1.所以三点N P M ,,共线. 得︒=∠+∠=∠+∠=∠90)(212222NPF MPF BPF APF APB ，即PB PA ⊥. 由(1),(2)得点P 的轨迹方程是2222b a y x +=+.定理1的证法5 (该证法只能证得纯粹性)可不妨设0,0>>b a .当b a =时，易证成立.下面只证明b a >的情形.如图7所示，设椭圆的中心是点O ，左、右焦点分别是21,F F ，焦距是c 2，过动点P 的两条切线分别是PB PA ,，切点分别是B A ,.设点1F 关于直线PB PA ,的对称点分别为''21,F F ，直线'11F F 与切线PA 交于点G ，直线'21F F 与切线PB 交于点H .图7得1211,BF BF AF AF ='='，再由椭圆的定义，得a F F F F 22221='='，所以a OH OG ==. 因为四边形H PGF 1为矩形，所以由引理4得2222212a OH OG OP OF =+=+，所以222b a OP +=，得点P 的轨迹方程是2222b a y x +=+.读者还可用解析几何的方法证得以下结论：定理 2 (1)双曲线)0(12222>>=-b a b y a x 的两条互相垂直的切线的交点的轨迹是圆2222b a y x -=+；(2)抛物线px y 22=的两条互相垂直的切线的交点是该抛物线的准线.定理 3 (1)椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的两条斜率之积是22a b -的切线交点的轨迹方程是22222=+by a x ；(2)双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的两条斜率之积是22a b 的切线交点的轨迹方程是22222=-b y a x . 定理4 过椭圆)0(22222>>=+b a b y a x 上任一点),(00y x P 作椭圆12222=+by a x 的两条切线，则(1)当a x ±=0时，所作的两条切线互相垂直；(2)当a x ±≠0时，所作的两条切线斜率之积是22ab -.定理5 (1)椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的两条斜率之积是)0(≠λλ的切线交点的轨迹Γ是：①当1-=λ时，Γ即圆2222b a y x +=+(但要去掉四个点),(),,(b a b a -±±)；②当0<λ且1-≠λ时，Γ即椭圆1222222=-+-ab y b a x λλ(但要去掉四个点),(),,(b a b a -±±)；③当22a b -=λ时，Γ即两条直线x aby ±=在椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 外的部分(但要去掉四个点),(),,(b a b a -±±)；④当220a b <<λ时，Γ即双曲线1222222=---a b x a b y λλ在椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 外的部分(但要去掉四个点),(),,(b a b a -±±)；⑤当22ab >λ时，Γ即双曲线1222222=---b a y b a x λλ在椭圆)0(12222>>=+b a by a x 外的部分(但要去掉四个点),(),,(b a b a -±±).(2)双曲线)0(12222>>=-b a by a x 的两条斜率之积是)0(≠λλ的切线交点的轨迹Γ是：①当1-=λ时，Γ即圆2222b a y x -=+； ②当0>λ时，Γ即双曲线1222222=+-+b a y b a x λλ； ③当1-<λ或221ab -<<-λ时，Γ即椭圆1222222=--++ba yb a x λλ； ④当022<<-λab 时，Γ不存在.(3)抛物线px y 22=的两条斜率之积是)0(≠λλ的切线交点的轨迹Γ是：①当0<λ时，Γ即直线λ2p x =； ②当0>λ时，Γ的方程为⎪⎭⎫⎝⎛>=λλp y p x 2. 例 (北京市海淀区2015届高三第一学期期末文科数学练习第14题)已知22:1O x y +=. 若直线2y kx =+上总存在点P ，使得过点P 的O 的两条切线互相垂直，则实数k 的取值范围是_________. 解 (,1][1,)-∞-+∞.在图8中，若小圆(其圆心为点O ，半径为r )的过点A 的两条切线AD AB ,互相垂直(切点分别为F E ,)，得正方形AEOF ，所以r OE OA 22==，即点A 的轨迹是以点O 为圆心，r 2为半径的圆.图8由此结论可得：在本题中，点P 在圆222x y +=上.所以本题的题意即直线2y kx =+与圆222x y +=有公共点，进而可得答案.注 本题的一般情形就是蒙日圆.。

蒙日圆及其证明高考题 (2014年高考广东卷文科、理科第20题)已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的一个焦点为，离心率为3． (1)求椭圆C 的标准方程；(2)若动点00(,)P x y 为椭圆C 外一点，且点P 到椭圆C 的两条切线相互垂直，求点P 的轨迹方程．答案：(1)22194x y +=；(2)2213x y +=．定理 1 曲线1:2222=+Γb y a x 的两条互相垂直的切线的交点P 的轨迹是圆2222b a y x +=+.定理1的结论中的圆就是蒙日圆. 先给出定理1的两种解析几何证法：定理1的证法1 当题设中的两条互相垂直的切线中有斜率不存在或斜率为0时，可得点P 的坐标是),(b a ±，或),(b a -±.当题设中的两条互相垂直的切线中的斜率均存在且均不为0时，可设点P 的坐标是,)(,(000a x y x ±≠且)0b y ±≠，所以可设曲线Γ的过点P 的切线方程是)0)((00≠-=-k x x k y y .由⎪⎩⎪⎨⎧-=-=+)(1002222x x k y y b y a x ，得 0)()(2)(2220020022222=--+--+b a y kx a x y kx ka x b k a由其判别式的值为0，得)0(02)(22022*******≠-=++--a x b y k y x k a x因为PB PA k k ,是这个关于k 的一元二次方程的两个根，所以220220a x b y k k PBPA -+=⋅ 由此，得2220201b a y x k k PB PA +=+⇔-=⋅进而可得欲证成立.定理1的证法2 当题设中的两条互相垂直的切线中有斜率不存在或斜率为0时，可得点P 的坐标是),(b a ±，或),(b a -±.当题设中的两条互相垂直的切线中的斜率均存在且均不为0时，可设点P 的坐标是,)(,(000a x y x ±≠且)0b y ±≠，所以可设两个切点分别是)0)(,(),,(21212211≠y y x x y x B y x A .得直线1:2020=+b y y a x x AB ，切线1:,1:22222121=+=+byy a x x PB b y y a x x PA .所以： 2121221121421422221212,x x y y x y x y k k y y a x x b y a x b y a x b k k OB OA PBPA =⋅==⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-= PBPA OBOA k k a b k k 44= 因为点)2,1)(,(=i y x i i 既在曲线1:2222=+Γb y a x 上又在直线1:2020=+by y a x x AB 上，所以220202222⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+b y y a x x b y a x i i 0)(2)(2204002222204=-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-a x b x y y x b a xy b y a iiii 所以 PBPA OBOA k k a b b y a a x b x x y y k k 44220422042121)()(=--==220220ax b y k k PBPA --= 由此，可得222020b a y x PB PA +=+⇔⊥进而可得欲证成立.再给出该定理的两种平面几何证法，但须先给出四个引理.引理1 (椭圆的光学性质，见普通高中课程标准实验教科书《数学·选修2-1·A 版》(人民教育出版社，2007年第2版，2014年第1次印刷)第76页)从椭圆的一个焦点发出的光线，经过椭圆反射后，反射光线交于椭圆的另一个焦点上(如图1所示).图1证明 如图2所示，设P 为椭圆Γ(其左、右焦点分别是21,F F )上任意给定的点，过点P 作21PF F ∠的外角平分线所在的直线)43(∠=∠l .先证明l 和Γ相切于点P ，只要证明l上异于P 的点P '都在椭圆Γ的外部，即证2121PF PF F P F P +>'+'：图2在直线1PF 上选取点F '，使2PF F P ='，得F P P ''∆≌2PF P '∆，所以2F P F P '=''，还得2111121PF PF F P P F F F F P F P F P F P +='+='>''+'='+'再过点P 作21PF F ∠的平分线(12)PA ∠=∠，易得l PA ⊥，入射角等于反射角，这就证得了引理1成立.引理2 过椭圆Γ(其中心是点O ，长半轴长是a )的任一焦点F 作椭圆Γ的任意切线l 的垂线，设垂足是H ，则a OH =.证明 如图3所示，设点F F ,'分别是椭圆Γ的左、右焦点，A 是椭圆Γ的切线l 上的切点，又设直线A F FH ',交于点B .图3由引理1，得BAH F lA FAH ∠='∠=∠(即反射角与入射角的余角相等)，进而可得FAH ∆≌BAH ∆，所以点H 是FB 的中点，得OH 是F BF '∆的中位线.又AB AF =，所以a AF A F AB A F OH =+'=+'=)(21)(21.引理3 平行四边形各边的平方和等于其两条对角线的平方和. 证明 由余弦定理可证(这里略去过程).引理4 设点P 是矩形ABCD 所在平面上一点，则2222PD PB PC PA +=+. 证明 如图4所示，设矩形ABCD 的中心是点O ．图4由引理3，可得22222222)(2)(2PD PB OP OB OP OA PC PA +=+=+=+即欲证成立．注 把引理4推广到空间，得到的结论就是：底面是矩形的四棱锥相对侧棱长的平方和相等．定理1的证法3 可不妨设0,0>>b a .当b a =时，易证成立.下面只证明b a >的情形. 如图5所示.设椭圆的中心是点O ，左、右焦点分别是21,F F ，焦距是c 2，过动点P 的两条切线分别是PN PM ,.图5连结OP ，作PN OH PM OG ⊥⊥,，垂足分别是H G ,.过点1F 作PM D F ⊥1，垂足为D ，由引理2得a OD =.再作OG K F ⊥1于K .记θ=∠K OF 1，得θcos 1c K F DG ==. 由Rt ODG ∆，得θ222222cos c a DG OD OG -=-=.又作OH L F PN E F ⊥⊥22,，垂足分别为L E ,.在Rt OEH ∆中，同理可得θ222222sin c a HE OE OH -=-=.(1)若PN PM ⊥，得矩形OGPH ，所以22222222222)sin ()cos (b a c a c a OH OG OP +=-+-=+=θθ(2)若222b a OP +=，得222222222)sin ()cos (OH OG c a c a OP +=-+-=θθ由PM OG ⊥，得222GP OG OP +=，所以OH GP =.同理，有HP OG =，所以四边形OGPH 是平行四边形，进而得四边形OGPH 是矩形，所以PN PM ⊥.由(1),(2)得点P 的轨迹方程是2222b a y x +=+.定理1的证法4 可不妨设0,0>>b a .当b a =时，易证成立.下面只证明b a >的情形. 如图6所示.设椭圆的中心是点O ，左、右焦点分别是21,F F ，焦距是c 2，过动点P 的两条切线分别是PB PA ,，两切点分别为B A ,.分别作右焦点2F 关于切线PB PA ,的对称点N M ,，由椭圆的光学性质可得三点M A F ,,1共线(用反射角与入射角的余角相等).同理，可得三点N B F ,,1共线.图6由椭圆的定义，得a BF BF NF a AF AF MF 2,2211211=+==+=，所以11NF MF =.由O 是21F F 的中点，及平行四边形各边的平方和等于其两条对角线的平方和，可得)(2)(2222222221221OP c OP OF PF PF PM PF +=+=+=+ (1)若PB PA ⊥，得︒=∠+∠=∠+∠180)(22211BPF APF NPF MPF ，即三点N P M ,,共线.又PN PF PM ==2，所以MN PF ⊥1，进而得)(2422221212OP c PM PF MF a +=+==222b a OP +=(2)若222b a OP +=，得212222222214)(2)(2MF a b a c OP c PM PF ==++=+=+所以PM PF ⊥1.同理，可得PN PF ⊥1.所以三点N P M ,,共线.得︒=∠+∠=∠+∠=∠90)(212222NPF MPF BPF APF APB ，即PB PA ⊥. 由(1),(2)得点P 的轨迹方程是2222b a y x +=+.定理1的证法5 (该证法只能证得纯粹性)可不妨设0,0>>b a .当b a =时，易证成立.下面只证明b a >的情形.如图7所示，设椭圆的中心是点O ，左、右焦点分别是21,F F ，焦距是c 2，过动点P 的两条切线分别是PB PA ,，切点分别是B A ,.设点1F 关于直线PB PA ,的对称点分别为''21,F F ，直线'11F F 与切线PA 交于点G ，直线'21F F 与切线PB 交于点H .图7得1211,BF BF AF AF ='='，再由椭圆的定义，得a F F F F 22221='='，所以a OH OG ==. 因为四边形H PGF 1为矩形，所以由引理4得2222212a OH OG OP OF =+=+，所以222b a OP +=，得点P 的轨迹方程是2222b a y x +=+.读者还可用解析几何的方法证得以下结论：定理 2 (1)双曲线)0(12222>>=-b a b y a x 的两条互相垂直的切线的交点的轨迹是圆2222b a y x -=+；(2)抛物线px y 22=的两条互相垂直的切线的交点是该抛物线的准线.定理 3 (1)椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的两条斜率之积是22a b -的切线交点的轨迹方程是22222=+by a x ；(2)双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的两条斜率之积是22a b 的切线交点的轨迹方程是22222=-b y a x . 定理4 过椭圆)0(22222>>=+b a b y a x 上任一点),(00y x P 作椭圆12222=+by a x 的两条切线，则(1)当a x ±=0时，所作的两条切线互相垂直；(2)当a x ±≠0时，所作的两条切线斜率之积是22ab -.定理5 (1)椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的两条斜率之积是)0(≠λλ的切线交点的轨迹Γ是：①当1-=λ时，Γ即圆2222b a y x +=+(但要去掉四个点),(),,(b a b a -±±)；②当0<λ且1-≠λ时，Γ即椭圆1222222=-+-a b y b a x λλ(但要去掉四个点),(),,(b a b a -±±)；③当22a b -=λ时，Γ即两条直线x aby ±=在椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 外的部分(但要去掉四个点),(),,(b a b a -±±)；④当220a b <<λ时，Γ即双曲线1222222=---a b x a b y λλ在椭圆)0(12222>>=+b a b y a x外的部分(但要去掉四个点),(),,(b a b a -±±)；⑤当22ab >λ时，Γ即双曲线1222222=---b a y b a x λλ在椭圆)0(12222>>=+b a by a x 外的部分(但要去掉四个点),(),,(b a b a -±±).(2)双曲线)0(12222>>=-b a by a x 的两条斜率之积是)0(≠λλ的切线交点的轨迹Γ是：①当1-=λ时，Γ即圆2222b a y x -=+； ②当0>λ时，Γ即双曲线1222222=+-+b a y b a x λλ； ③当1-<λ或221ab -<<-λ时，Γ即椭圆1222222=--++ba yb a x λλ； ④当022<<-λab 时，Γ不存在.(3)抛物线px y 22=的两条斜率之积是)0(≠λλ的切线交点的轨迹Γ是：①当0<λ时，Γ即直线λ2p x =； ②当0>λ时，Γ的方程为⎪⎭⎫ ⎝⎛>=λλp y p x 2. 例 (北京市海淀区2015届高三第一学期期末文科数学练习第14题)已知22:1O x y +=. 若直线2y kx =+上总存在点P ，使得过点P 的O 的两条切线互相垂直，则实数k 的取值范围是_________.解 (,1][1,)-∞-+∞.在图8中，若小圆(其圆心为点O ，半径为r )的过点A 的两条切线AD AB ,互相垂直(切点分别为F E ,)，得正方形AEOF ，所以r OE OA 22==，即点A 的轨迹是以点O 为圆心，r 2为半径的圆.图8由此结论可得：在本题中，点P 在圆222x y +=上.所以本题的题意即直线2y kx =+与圆222x y +=有公共点，进而可得答案.注 本题的一般情形就是蒙日圆.。

原创不容易，【关注】店铺，不迷路！切瓦定理与三线公共点用塞瓦定理证明几个重要三线共点问题我们知道，三角形的三条中线在同一点，三条垂线在同一点，三个内角的平分线在同一点。

有些容易看到，有些则不然。

所以，在这里，我想从Seva定理证明这三个常见的问题。

先说Seva定理和Seva定理的逆定理。

塞瓦定理:有一个三角形ABC，点x，y和z分别是BC，CA和AB上的点。

如果它的三条滑移线AX、BY、CZ共享同一点，则以下公式成立：证明:以同样的方式；以类似的方式将以上三个公式相乘得到塞瓦定理的逆定理:有一个三角形ABC，点x，y和z分别是BC，CA和AB上的点。

如果下列公式成立那么它的三条滑移线AX、BY、CZ共用一个点。

(省略证明)(1)三角三条中线交于一点可以很容易地用塞瓦定理的逆定理证明。

x，y，z 是BC，CA，AB的中点，所以BX=XC，CY=YA，AZ=ZB。

所以所以三条中线有一个共同点，这个点就是重心或者中心。

(2)利用塞瓦定理的逆定理证明了三角形三条垂线交于一点。

如下图所示，AX、BY、CZ分别是BC、CA、AB边上的垂线。

因为将以上三个公式相乘得到所以三条垂线在一点相交，这个点是垂直的。

(3)利用塞瓦定理的逆定理证明了三角形三条内角平分线交于一点。

如下图所示，根据正弦定理，有将两个公式相除，得到同样的理由也是存在的将以上三个公式相乘得到所以，三条线共用一个点。

其实这个点就是三角形ABC的内切圆的中心，也就是心脏。

下一期会讲塞瓦定理和墨涅拉俄斯定理的关系，但是这个月15号才推，因为要出门近四五天，不能天天推。

这一期我们还是用微信的定期发送功能，但是这个功能只能今天设置，明天发送，后天不行。

可以重读之前的内容，也可以让大脑休息一下，等我回来再交流。

上海市教育委员会信息中心（上海市教育信息应用研究开发中心）【素材积累】宋庆龄自1913年开始追随孙中山，致力于中国革命事业，谋求中华民族独立解放。

在近70年的漫长岁月里，经过护法运动(1917年)、国民大革命(1924—1927年)、国共对立十年(1927—1937年)、抗日战争(1937—1945年)、解放战争(1945—1949年)，她始终忠贞不渝地坚持孙中山的革命主张，坚定地和中国人民站在一起，为国的繁荣富强和人民生活的美满幸福而殚精竭虑，英勇奋斗，在中国现代历史上，谱写了光辉的篇章。

蒙日圆及其证明甘志国（已发表于河北理科教学研究，2015（5） : 11-13）2 2高考题（2014年高考广东卷文科、理科第20题）已知椭圆C :笃•打=1（a ■ b ■ 0）的a b一个焦点为（-5,0），离心率为〈.3（1）求椭圆C的标准方程；⑵若动点P（x0,y°）为椭圆C外一点，且点P到椭圆C的两条切线相互垂直，求点P 的轨迹方程.2 2答案：⑴、.丄1 ；⑵x2 y2=13 •9 4这道高考题的背景就是蒙日圆•普通高中课程标准实验教科书《数学 2 •必修• A版》（人民教育出版社，2007年第3 版，2014年第8次印刷）第22页对画法几何的创始人蒙日（G.Monge, 1745-1818）作了介绍• 以上高考题第（2）问的一般情形是2 2定理1 曲线］:电•电=1的两条互相垂直的切线的交点P的轨迹是圆 a bx2 y2 =a2 b2.定理1的结论中的圆就是蒙日圆.先给出定理1的两种解析几何证法：定理1的证法1当题设中的两条互相垂直的切线中有斜率不存在或斜率为0时，可得点P的坐标是（_a, b），或（_a,-b）.当题设中的两条互相垂直的切线中的斜率均存在且均不为0时，可设点 P的坐标是（人，齐）（召址二a,且y。

= _b）,所以可设曲线】的过点 P的切线方程是y -y° =k(x -x°)(k =0).“ 2 2由＜a2 b2，得y —y。

=k(x —x。

)(a2k2 b2)x2—2ka2(kx0—y0)x a2(k\ —y0)2-a2b2 = 0由其判别式的值为0，得%2-a2)k2 -2x0y°k y^ b2 = 0(x°2 - = 0)因为k PA,k PB是这个关于k的一元二次方程的两个根，所以k PA k PBy °2b 2~2 2x 0 —a由此，得k PA k PB = -1x 02 y 02二 a 2 b 2进而可得欲证成立•定理1的证法2点P 的坐标是（_a, b ）,当题设中的两条互相垂直的切线中有斜率不存在或斜率为或（二a,_b ）. 0时，可得当题设中的两条互相垂直的切线中的斜率均存在且均不为 0时，可设点 P 的坐标是（X o ,y °）（x 。

一道 蒙日圆 背景下的题目分析与探究谷红亮(银川市第六中学ꎬ宁夏回族自治区银川７５００１１)摘㊀要:对试题所涵盖知识点进行分析讨论ꎬ有助于学生掌握所学知识的本质ꎬ而且通过抽象出一般的解题思路ꎬ还可以有效地提升学生的逻辑推理㊁数学运算等数学核心素养.而 蒙日圆 搭建起了圆与圆锥曲线间的桥梁ꎬ很好地体现了这一过程.关键词:蒙日圆ꎻ切线方程ꎻ面积范围中图分类号:Ｇ６３２㊀㊀㊀文献标识码:Ａ㊀㊀㊀文章编号:１００８－０３３３(２０２３)３１－００６２－０３收稿日期:２０２３－０８－０５作者简介:谷红亮(１９９１.１０－)ꎬ男ꎬ河南省驻马店人ꎬ本科ꎬ从事高中数学教学研究.㊀㊀ 蒙日圆 曾出现于２０１４年广东卷ꎬ随后在各省份的模考题中以此为背景被反复创新.本文以 蒙日圆 为背景的一道试题为例进行探究ꎬ呈现出了问题的分析路径ꎬ进而探索找到了涉及该问题的试题特点ꎬ如定点问题㊁三点共线问题及面积范围问题等ꎬ希望起到抛砖引玉的作用.１题目呈现题目㊀(郑州市２０２２年高三一模理科数学)在圆(ｘ－３)２＋(ｙ－４)２＝ｒ２(ｒ>０)上总存在点Ｐꎬ使得过点Ｐ能作椭圆ｘ２３＋ｙ２＝１的两条相互垂直的切线ꎬ则ｒ的取值范围是.表面平平无奇的题目ꎬ仔细思考可以发现其中丰富的内涵.初看题目是一个存在性问题ꎬ涉及了圆的知识㊁椭圆的切线等ꎬ但是该题的题眼是 两条切线相互垂直 ꎬ所以需要进一步思考如何利用这一条件才能顺利解决该题目[１].下面从椭圆的切线方程谈起.２椭圆切线方程问题２.１椭圆上某点处的切线方程定理１㊀已知椭圆Ｃ:ｘ２ａ２＋ｙ２ｂ２＝１(ａ>ｂ>０)ꎬ设点Ｐ(ｘ０ꎬｙ０)为Ｃ上任意一点ꎬ则过点Ｐ的切线方程为ｘ０ｘａ２＋ｙ０ｙｂ２＝１.证明㊀当点Ｐ(ｘ０ꎬｙ０)位于ｘ轴上方时ꎬｙ＝ｂ１－ｘ２ａ２ꎬ则ｙᶄ＝－ｂｘａ２ １１－ｘ２/ａ２.此时点Ｐ(ｘ０ꎬｙ０)处的切线斜率为ｋ＝ｙᶄｘ＝ｘ０＝－ｂｘ０ａ２ １１－ｘ２０/ａ２.而１－ｘ２０ａ２＝ｙ０ｂꎬ所以ｋ＝ｙᶄｘ＝ｘ０＝－ｂ２ｘ０ａ２ｙ０.故切线方程为ｙ－ｙ０＝－ｂ２ｘ０ａ２ｙ０(ｘ－ｘ０).整理ꎬ得ｘ０ｘａ２＋ｙ０ｙｂ２＝１.２６同理ꎬ当点Ｐ(ｘ０ꎬｙ０)位于ｘ轴下方时ꎬ切线方程为ｘ０ｘａ２＋ｙ０ｙｂ２＝１.当点Ｐ(ｘ０ꎬｙ０)位于ｘ轴上时ꎬ此时切线方程为ｘ＝ʃａꎬ仍满足ｘ０ｘａ２＋ｙ０ｙｂ２＝１.综上所述ꎬ椭圆Ｃ:ｘ２ａ２＋ｙ２ｂ２＝１(ａ>ｂ>０)上任意一点Ｐ(ｘ０ꎬｙ０)处的切线方程为ｘ０ｘａ２＋ｙ０ｙｂ２＝１.２.２切点弦方程定理２㊀已知椭圆Ｃ:ｘ２ａ２＋ｙ２ｂ２＝１(ａ>ｂ>０)ꎬ设点Ｐ(ｘ０ꎬｙ０)为Ｃ外一点ꎬ过点Ｐ作椭圆Ｃ的两条切线ＰＡꎬＰＢꎬ则切点弦ＡＢ所在的直线方程为ｘ０ｘａ２＋ｙ０ｙｂ２＝１.证明㊀设Ａ(ｘ１ꎬｙ１)ꎬＢ(ｘ２ꎬｙ２)ꎬ由定理１可知ꎬ切线ＰＡ的方程为ｘ１ｘａ２＋ｙ１ｙｂ２＝１ꎬ切线ＰＢ的方程为ｘ２ｘａ２＋ｙ２ｙｂ２＝１.又直线ＰＡꎬＰＢ均过点Ｐ(ｘ０ꎬｙ０)ꎬ代入得ｘ１ｘ０ａ２＋ｙ１ｙ０ｂ２＝１ꎬｘ２ｘ０ａ２＋ｙ２ｙ０ｂ２＝１.ìîíïïïï也即点Ａ(ｘ１ꎬｙ１)ꎬＢ(ｘ２ꎬｙ２)均在直线ｘ０ｘａ２＋ｙ０ｙｂ２＝１上ꎬ又两点确定一条直线ꎬ所以切点弦ＡＢ所在的直线方程为ｘ０ｘａ２＋ｙ０ｙｂ２＝１.运用椭圆的切点弦方程ꎬ可以扩展出两种题型 定点问题和三点共线问题.例１㊀已知椭圆Ｃ:ｘ２４＋ｙ２３＝１ꎬ在直线ｌ:ｘ－ｙ＋１＝０上任取一点Ｐ(ｍꎬｎ)ꎬ且点Ｐ满足ｍ２４＋ｎ２３>１ꎬ过点Ｐ作椭圆Ｃ的两条切线ꎬ切点分别为ＡꎬＢꎬ证明:直线ＡＢ过定点.证明㊀由定理２可知ꎬ切点弦ＡＢ所在的直线方程为ｍｘ４＋ｎｙ３＝１ꎬ也即３ｍｘ＋４ｎｙ－１２＝０.又点Ｐ(ｍꎬｎ)在直线ｌ:ｘ－ｙ＋１＝０上ꎬ所以ｎ＝ｍ＋１.则ｌＡＢ:３ｍｘ＋４(ｍ＋１)ｙ－１２＝０.整理ꎬ得ｍ(３ｘ＋４ｙ)＋４ｙ－１２＝０.所以直线ＡＢ过定点(－４ꎬ３).例２㊀已知椭圆Ｃ:ｘ２ａ２＋ｙ２ｂ２＝１(ａ>ｂ>０)ꎬ过椭圆外一点Ｐ(ｘ０ꎬｙ０)作椭圆Ｃ的两条切线ꎬ切点分别为ＡꎬＢꎬ证明:ＯＰ平分弦ＡＢ.证明㊀设Ａ(ｘ１ꎬｙ１)ꎬＢ(ｘ２ꎬｙ２)ꎬ弦ＡＢ的中点为Ｍꎬ由定理２可知ꎬ切点弦ＡＢ所在的直线方程为ｘ０ｘａ２＋ｙ０ｙｂ２＝１ꎬ与椭圆方程ｘ２ａ２＋ｙ２ｂ２＝１联立ꎬ消ｙ得ꎬｂ２(ａ２ｙ２０＋ｂ２ｘ２０)ｘ２－２ａ２ｂ４ｘ０ｘ＋ａ４ｂ２(ｂ２－ｙ２０)＝０.所以ｘ１＋ｘ２＝２ａ２ｂ２ｘ０ａ２ｙ２０＋ｂ２ｘ２０.同理可知ｙ１＋ｙ２＝２ａ２ｂ２ｙ０ａ２ｙ２０＋ｂ２ｘ２０.则Ｍａ２ｂ２ｘ０ａ２ｙ２０＋ｂ２ｘ２０ꎬａ２ｂ２ｙ０ａ２ｙ２０＋ｂ２ｘ２０æèçöø÷.所以ｋＯＭ＝ｙ０ｘ０ꎬ而ｋＯＰ＝ｙ０ｘ０ꎬ即ｋＯＰ＝ｋＯＭ.所以ＯꎬＭꎬＰ三点共线ꎬ也即ＯＰ平分弦ＡＢ.３蒙日圆定理３㊀椭圆Ｃ:ｘ２ａ２＋ｙ２ｂ２＝１(ａ>ｂ>０)的两条相互垂直的切线ＰＡꎬＰＢ的交点Ｐ的轨迹为圆ｘ２＋ｙ２＝ａ２＋ｂ２.证明㊀设Ｐ(ｘ０ꎬｙ０)ꎬＡ(ｘ１ꎬｙ１)ꎬＢ(ｘ２ꎬｙ２)ꎬ由定理２可知ꎬ切点弦ＡＢ所在的直线方程为ｘ０ｘａ２＋ｙ０ｙｂ２＝１ꎬ与椭圆方程ｘ２ａ２＋ｙ２ｂ２＝１联立ꎬ消ｙ得ꎬｂ２(ａ２ｙ２０＋ｂ２ｘ２０)ｘ２－２ａ２ｂ４ｘ０ｘ＋ａ４ｂ２(ｂ２－ｙ２０)＝０.３６所以ｘ１ｘ２＝ａ４ｂ２－ａ４ｙ２０ａ２ｙ２０＋ｂ２ｘ２０.同理可知ｙ１ｙ２＝ａ２ｂ４－ｂ４ｘ２０ａ２ｙ２０＋ｂ２ｘ２０.又ＰＡʅＰＢꎬ所以ｋＰＡ ｋＰＢ＝－１.由定理１可知ꎬｌＰＡ:ｘ１ｘａ２＋ｙ１ｙｂ２＝１ꎬｌＰＢ:ｘ２ｘａ２＋ｙ２ｙｂ２＝１ꎬ所以ｋＰＡ ｋＰＢ＝－ｂ２ｘ１ａ２ｙ１æèçöø÷ －ｂ２ｘ２ａ２ｙ２æèçöø÷＝ｂ４ａ４ ｘ１ｘ２ｙ１ｙ２ꎬ把ｘ１ｘ２ꎬｙ１ｙ２代入得ｋＰＡ ｋＰＢ＝ｂ４ａ４ ａ４ｂ２－ａ４ｙ２０ａ２ｂ４－ｂ４ｘ２０＝ｂ２－ｙ２０ａ２－ｘ２０＝－１ꎬ也即ｘ２０＋ｙ２０＝ａ２＋ｂ２.综上所述ꎬ点Ｐ的轨迹为圆ｘ２＋ｙ２＝ａ２＋ｂ２.结合以上归纳的定理ꎬ解决最初的 郑州市２０２２年高三一模理科数学第１０题 就会感觉轻而易举ꎬ也即题目中所给的圆(ｘ－３)２＋(ｙ－４)２＝ｒ２(ｒ>０)需与椭圆ｘ２３＋ｙ２＝１所对应的 蒙日圆 ｘ２＋ｙ２＝４相交.当以上两圆相交时ꎬ３ɤｒɤ７.４以 蒙日圆 为背景的面积问题定理４㊀已知椭圆Ｃ:ｘ２ａ２＋ｙ２ｂ２＝１(ａ>ｂ>０)ꎬ设点Ｐ(ｘ０ꎬｙ０)为Ｃ外一点ꎬ过点Ｐ作椭圆Ｃ的两条切线ＰＡꎬＰＢꎬ且ＰＡʅＰＢꎬ则ＳәＰＡＢɪｂ４ａ２＋ｂ２ꎬａ４ａ２＋ｂ２[].证明㊀由题意易得ꎬ点Ｐ在椭圆Ｃ:ｘ２ａ２＋ｙ２ｂ２＝１所对应的 蒙日圆 ｘ２＋ｙ２＝ａ２＋ｂ２上ꎬ也即ｘ２０＋ｙ２０＝ａ２＋ｂ２.设Ａ(ｘ１ꎬｙ１)ꎬＢ(ｘ２ꎬｙ２)ꎬ联立ｌＡＢ:ｘ０ｘａ２＋ｙ０ｙｂ２＝１ꎬ与椭圆方程ｘ２ａ２＋ｙ２ｂ２＝１ꎬ消ｙ得ꎬｂ２(ａ２ｙ２０＋ｂ２ｘ２０)ｘ２－２ａ２ｂ４ｘ０ｘ＋ａ４ｂ２(ｂ２－ｙ２０)＝０.所以ｘ１＋ｘ２＝２ａ２ｂ２ｘ０ａ２ｙ２０＋ｂ２ｘ２０ꎬｘ１ｘ２＝ａ４ｂ２－ａ４ｙ２０ａ２ｙ２０＋ｂ２ｘ２０.代入弦长公式ＡＢ＝１＋ｋ２ｘ１－ｘ２ꎬ整理得ＡＢ＝２(ａ４ｙ２０＋ｂ４ｘ２０)(ａ２ｙ２０＋ｂ２ｘ２０－ａ２ｂ２)ａ２ｙ２０＋ｂ２ｘ２０.又点Ｐ(ｘ０ꎬｙ０)到直线ＡＢ距离为ｄ＝ａ２ｙ２０＋ｂ２ｘ２０－ａ２ｂ２ａ４ｙ２０＋ｂ４ｘ２０.所以ＳәＰＡＢ＝１２ˑＡＢˑｄ＝ａ２ｙ２０＋ｂ２ｘ２０－ａ２ｂ２ａ２ｙ２０＋ｂ２ｘ２０ˑａ２ｙ２０＋ｂ２ｘ２０－ａ２ｂ２.令ｔ＝ａ２ｙ２０＋ｂ２ｘ２０ꎬ则ｔａ２ｂ２＝ｙ２０ｂ２＋ｘ２０ａ２>１.也即ｔ>ａ２ｂ２ꎬ所以ＳәＰＡＢ＝(ｔ－ａ２ｂ２)３２ｔ.又因为ｘ２０＋ｙ２０＝ａ２＋ｂ２ꎬ则ｔ＝ａ４＋ａ２ｂ２＋(ｂ２－ａ２)ｘ２０.又０ɤｘ２０ɤａ２＋ｂ２ꎬ所以ｔɪ[ｂ４＋ａ２ｂ２ꎬａ４＋ａ２ｂ２].而Ｓᶄ＝(ｔ－ａ２ｂ２)１２ １２ｔ＋ａ２ｂ２æèçöø÷ｔ２>０ꎬ所以ＳәＰＡＢ为单调递增函数ꎬ故当ｔ＝ｂ４＋ａ２ｂ２时ꎬ此时点Ｐ位于ｘ轴上ꎬＳｍｉｎ＝ｂ４ａ２＋ｂ２ꎻ当ｔ＝ａ４＋ａ２ｂ２时ꎬ此时点Ｐ位于ｙ轴上ꎬＳｍａｘ＝ａ４ａ２＋ｂ２.综上所述ꎬＳәＰＡＢɪｂ４ａ２＋ｂ２ꎬａ４ａ２＋ｂ２[].本文对以 蒙日圆 为背景的模考题进行了解题分析和思考探究ꎬ希望学生能够学会分析题目ꎬ教师能够在已知的题目下ꎬ引导学生多加思考ꎬ真正做到举一反三.此过程可以很好地锻炼学生的逻辑思维能力和运算求解能力ꎬ从而跳出 题海战术 的怪圈ꎬ适应新高考对考生的要求.参考文献:[１]陶煜瑾.例谈椭圆的蒙日圆命题角度[Ｊ].数理天地(高中版)ꎬ２０２２(１４):１２－１３.[责任编辑:李㊀璟]４６。

第38讲蒙日圆知识与方法1．蒙日圆：如下图所示，过点P作椭圆2222:1x yCa b+=()0a b>>的两条切线，若这两条切线互相垂直，则点P的轨迹是圆2222x y a b+=+，该圆即为蒙日圆.2．蒙日圆的性质：如下图所示，延长PA、PB与蒙日圆分别交于点M、N，OP与AB 交于点Q，则：（1）M、O、N三点共线；（2）MN AB∥；（3）22OP MN OP AB OA PA OB PBbk k k k k k k ka ⋅=⋅=⋅=⋅=−；（4）44 OA OBb k ka⋅−.提醒：双曲线22221x ya b−=()0a b>>的蒙日圆为2222x y a b+=−，而当a b≤时，双曲线没有蒙日圆；抛物线的蒙日圆是抛物线的准线，这里把直线看成了半径无限大的圆.典型例题【例1】已知椭圆22:13xC y+=，若直线:420l mx y m−−+=()m∈R上存在点P，使得过P作椭圆C的两条切线，且这两条切线互相垂直，则m的取值范围是______.【解析】要使过点P作的椭圆C的两条切线互相垂直，则点P在椭圆C的蒙日圆224x y+=上，所以问题等价于直线l与圆224x y+=有公共点，从而圆心O到直线l的距离2d=≤，解得：34m≤≤，所以m的取值范围是30,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦.【答案】30,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦变式1 已知椭圆22:13x C y +=，若直线:420l mx y m −−+=()m ∈R 上存在点P ，使得过P 作椭圆C 的两条切线PA 、PB ，其中A 、B 为切点，且APB ∠是钝角，则m 的取值范围是______.【解析】要使APB ∠为钝角，则点P 应落在如图所示的蒙日圆224x y +=内椭圆C 外的部分，所以只需直线l 与蒙日圆相交即可，从而圆心O 到直线l 的距离2d =<，解得：304m <<，所以m 的取值范围是30,4⎛⎫ ⎪⎝⎭.【答案】30,4⎛⎫⎪⎝⎭变式2 已知椭圆22:13x C y +=和点12Q ⎛ ⎝⎭，若P 为一动点，且过P 作椭圆C 的两条切线PA 、PB ，其中A 、B 为切点，满足APB ∠为锐角，若PQ d ≥恒成立，则d 的最大值是______.【解析】要使APB ∠为锐角，则点P 应落在如图所示的蒙日圆224x y +=外，延长OQ 交蒙日圆于点0P ，显然蒙日圆上的动点到点Q 的距离的最小值为00211P Q OP OQ =−=−=，从而当点P 在蒙日圆外运动时，PQ 的取值范围是()1,+∞， 要使PQ d ≥恒成立，则1d ≤，所以max 1d =.【答案】1【例2】（2014·广东）已知椭圆2222:1x y C a b+=()0a b >>的一个焦点为)，离心率为3. （1）求椭圆C 的标准方程；（2）若动点()00,P x y 为椭圆外一点，且点P 到椭圆C 的两条切线相互垂直，求点P 的轨迹方程.【解析】（1）由题意，225a b −=解得：3a =，2b =，故椭圆C 的方程为22194x y +=. （2）若两条切线分别与x 轴、y 轴垂直，这样的点P 有四个， 分别为()3,2，()3,2−，()3,2−，()3,2−−，若切线都不与坐标轴垂直，设切线方程为()00y y k x x −=−，代入椭圆方程整理得：()()()222000049189360k x k y kx x y kx ++−+−−=，判别式()()()2220000184499360k y kx k y kx ⎡⎤⎡⎤∆=−−+−−=⎣⎦⎣⎦， 化简得：()222000036481640x k x y k y −++−=，所以过P 的两条切线的斜率为上述关于k 的一元二次方程的两根1k ，2k ，因为两切线垂直，所以201221641364y k k x −==−−，整理得：220013x y +=， 显然()3,2，()3,2−，()3,2−，()3,2−−也满足上述方程， 故点P 的轨迹方程为2213x y +=.强化训练1.（★★★）从圆()222:0C x y r r +=>上一定点P 作椭圆221124x y +=的两条切线，若这两条切线互相垂直，则直线:220l mx y m +−被圆C 截得的线段长的最小值是________. 【解析】要使两切线互相垂直，则点P 在椭圆C 的蒙日圆上，从而4r =，()(2202120mx y m m x y +−=⇒−+−=⇒直线l 过定点122Q ⎛ ⎝⎭，且易求得1OQ =，如图，当直线l PQ ⊥时，直线l 被圆C 截得的线段长最小，且最小值为=.【答案】2.（★★★）已知椭圆22:142x y C +=，点P 在直线:30l x y −+=上，若过P 作椭圆C 的两条切线PA 、PB ，且PA PB ⊥，则满足条件的点P 有____个.【解析】要使PA PB ⊥，则点P 应在椭圆C 的蒙日圆226x y +=上，该圆的圆心到直线l 的距离2d ==<l 与蒙日圆相交，从而满足条件的点P 有2个. 【答案】23.（★★★）已知椭圆22:154x y C +=和直线:0l x −=，若P 为l 上的一动点，过P 作椭圆C 的两条切线PA 、PB ，其中A 、B 为切点，满足APB ∠为钝角，则点P 的横坐标的取值范围是________.【解析】要使APB ∠为钝角，则点P 应落在椭圆C 的蒙日圆229x y +=内，如图，设直线l与蒙日圆相交于M 、N 两点，则P 应落在线段M 、N 上，且不含端点，联立229x x y ⎧+−=⎪⎨+=⎪⎩解得：0x =，从而点P 的横坐标的取值范围是(【答案】(4.（★★★）设A 、B 两点在椭圆()222:11x C y a a+=>上，动点P 在直线:34100l x y +−=上，若90APB ∠<︒恒成立，则椭圆C 的离心率的取值范围是_______.【解析】要使90APB ∠<︒恒成立，只需点P 始终在椭圆C 的蒙日圆222:1O x y a +=+外，所以直线l 与圆O 相离，从而d =1a >可得1a <<故椭圆C 的离心率e ⎛== ⎝⎭. 5．（★★★★★）给定椭圆2222:1x y C a b+=()0a b >>，称圆2222x y a b +=+为椭圆C 的“蒙日圆”．已知椭圆C 的焦距为 2.（1）求椭圆C 及其“蒙日圆”的方程；（2）设P 是椭圆C 的“蒙日圆”上的动点，过P 作椭圆C 的两条切线分别交椭圆C 的“蒙日圆”于A 、B 两点，证明：PA PB ⊥，且AB 为定值.【解析】（1）由题意，椭圆C 的短轴长22b =，所以1b =，椭圆C 的焦距=，故a =C 的方程为2213x y +=，其蒙日圆的方程为224x y +=..（2）当点P 的坐标为)时，不难发现过P 的椭圆C 的两条切线分别为1y =和x =显然它们互相垂直，同理，当点P 的坐标为)1−，()，()1−时，过P 的两切线也互相垂直，当点P 不为上述四个点时，显然PA 和PB 的斜率均存在，设为1k ，2k ，设()00,P x y ，则22004x y +=，直线P A 的方程为()010y y k x x −=−，即1010y k x y k x =+−，代入2213x y +=消去y 整理得：()()()22211010010136330k x k y k x x y k x ++−+−−=因为直线PA 与椭圆C 相切，所以()()()22221010101036413330k y k x k y k x ⎡⎤∆=−−+−−=⎣⎦，整理得：()2220100103210x k x y k y −++−=，同理可得()2220200203210x k x y k y −++−=，所以1k 和2k 是方程()22200003210x k x y k y −++−=的两根，从而212213y k k x −=−， 因为22004x y +=，所以2204y x =−， 故()220012220143133x x k k x x −−−===−−−，从而PA PB ⊥， 综上所述，当点P 在蒙日圆上运动时，总有PA PB ⊥， 从而AB 为蒙日圆的直径，所以AB 为定值4.6.（★★★★★）已知椭圆22:13x C y +=，P 是圆22:4O x y +=上的一个动点，PA 、PB 分别与椭圆C 相切于点()11,A x y 和()22,B x y （1）证明：点P 在直线1113x xy y +=上； （2）求PAB 的面积的取值范围.【解析】（1）因为点A 在椭圆C 上，所以221113x y +=，从而221133x y =−，联立11221313x xy y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩消去y 整理得：()2222111136990x y x x x y +−+−=，判别式()()()()()22222222111111113643993633433399x x y y y y y y ∆=−+−=−−−+−()()2211108110810y y =−−−=，从而椭圆C 在点A 处的切线为1113x x y y +=，故点P 在直线1113x xy y +=上. （2）由（1）知切线PA 的方程是1113x xy y +=，同理，切线PB 的方程是2213x x y y +=，设()00,P x y ，因为点P 在圆O 上，所以22004x y +=，故2204x y =−， 因为点P 同时在PA 和PA P B 上，所以101020201313x x y y x x y y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，故A 、B 两点的坐标均满足0013x x y y +=①，从而直线AB 的方程为0013x xy y +=，代入椭圆C 的方程消去y 整理得：()2222000036990xy x x x y +−+−=，判别式()()()()()()22222222421000000000036439936444399362x x y y y y y y y y ∆=−+−=−−−+−=+当00y =时，02x =±，代入①直线AB 的方程为32x =±，代入2213x y +=可求得12y =±，所以1AB =，显然点P 到直线AB 的距离12d =，所以1111224PABS =⨯⨯=， 当00y ≠时，000000AB ===，点P 到直线AB的距离d ==，所以00001122PABSAB d =⋅==00==，设t =，则2221y t =−，所以3322413PABt t St t ==+−+，因为2004y <≤，所以13t <≤， 设()()32133t f t t t =<≤+，则()()()()()2232222223329033t t t t t t f t t t +−⋅+'==>++ 所以()f t 在(]1,3上单调递增，又()114f =，()934f =，所以()f t 的值域为19,44⎛⎤ ⎥⎝⎦， 从而PABS的取值范围是19,44⎛⎤ ⎥⎝⎦综上所述，PAB 的面积的取值范围是19,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦.。

蒙日圆证明及计算过点P 作直线12,l l 与椭圆C: 22221x y a b+=相切于点A,B ，若12l l ⊥，求证：OP 为定值，并求出该定值。

解：设(,)P m n 过点P 椭圆的切线方程为()y k x m n =-+ ，则2222()1y k x m nx y a b =-+⎧⎪⎨+=⎪⎩消元并整理得：222222()b x a kx km n a b +-+=（点评：①小步走策略；②消元，整式化，大必作于细）222222222()2()()0a k b x a k n mk x a n km a b ++-+--= （点评：①增强主元意识；②按照主元降幂排列；③按层次分别找准主元的二次项、一次项的系数及常数项；④若与主元无关，则视为常数项，不必展开；⑤按照先正后负顺序排列）所以222222220[2()]4()[()]0a k n mk a a k b n mk b ∆=⇒--+--= （点评：公因式化简（公因式24a ），能相约，则必相约（先约去24a ）22222222()()[()]0a k n mk a k b n mk b ⇒--+--=（点评：暂时不展开2()n mk -，因为可以相消）222422()0a b k b b n mk ⇒+--=（点评： 2()n mk -为整体，则为两个含有两项的多项式乘法展开，可相消）2222()0a k b n mk ⇒+--=（点评：先约去2b ）所以22222()20a m k mnk b n -++-=（点评：主元为斜率k ，按照斜率k 降幂排列）设12,l l 的斜率分别为12,k k ，则2212221b n k k a m-==-- ，所以2222m n a b +=+ 又当m a =时点P 满足方程：2222m n a b +=+，所以点P 的轨迹方程为：2222x y a b +=+，所以|OP |=高考圆锥曲线中的“蒙日圆问题”训练突破1．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的一个焦点为)，离心率为3.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若动点()00,P x y 为椭圆外一点，且点P 到椭圆C 的两条切线相互垂直，求点P 的轨迹方程.2．给定椭圆C ：22221x y a b+=(a >b >0)，称圆心在原点O C 的“准圆”．若椭圆C 的一个焦点为F ，0)，其短轴上的一个端点到F （1）求椭圆C 的方程和其“准圆”方程；（2）若点P 是椭圆C 的“准圆”上的动点，过点P 作椭圆的切线l 1，l 2交“准圆”于点M ，N .证明：l 1⊥l 2，且线段MN 的长为定值．3．给定椭圆C :22221x y a b+=(0)a b >>的圆是椭圆C 的“伴随圆”.若椭圆C 的一个焦点为F ,0)，其短轴上的一个端点到F 1（1）求椭圆C 的方程及其“伴随圆”方程；（2）若倾斜角45°的直线l 与椭圆C 只有一个公共点，且与椭圆C 的伴随圆相交于M .N 两点，求弦MN 的的长；（3）点P 是椭圆C 的伴随圆上一个动点，过点P 作直线l 1、l 2，使得l 1、l 2与椭圆C 都只有一个公共点，判断l 1、l 2的位置关系，并说明理由.4．已知抛物线1C ：22y px =（0p >），圆2C ：222(1)x y r -+=（0r >），抛物线1C 上的点到其准线的距离的最小值为14.（1）求抛物线1C 的方程及其准线方程；（2）如图，点0(2,)P y 是抛物线1C 在第一象限内一点，过点P 作圆2C 的两条切线分别交抛物线1C 于点A ，B （A ，B 异于点P ），问是否存在圆2C 使AB 恰为其切线？若存在，求出r 的值；若不存在，说明理由.5．已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>，点()1,e （e 为椭圆C 的离心率）在椭圆C 上.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）如图，P 为直线2x =上任一点，过点P 椭圆C 上点处的切线为PA ，PB ，切点分别A ，B ，直线x a =与直线PA ，PB 分别交于M ，N 两点，点M ，N 的纵坐标分别为m ，n ，求mn 的值.6．已知中心在原点的椭圆C 1和抛物线C 2有相同的焦点(1，0)，椭圆C 1过点31,2G ⎛⎫⎪⎝⎭，抛物线2C 的顶点为原点．(1)求椭圆C 1和抛物线C 2的方程；(2)设点P 为抛物线C 2准线上的任意一点，过点P 作抛物线C 2的两条切线PA ，PB ，其中A 、B 为切点．设直线PA ，PB 的斜率分别为k 1，k 2，求证：k 1k 2为定值；②若直线AB 交椭圆C 1于C ，D 两点，S △P AB ，S △PCD 分别是△PAB ，△PCD 的面积，试问：PABPCDS S 是否有最小值?若有，求出最小值；若没有，请说明理由.7．已知椭圆C 的方程为2212x y +=.（1）设(,)M M M x y 是椭圆C 上的点，证明：直线12M M x xy y +=与椭圆C 有且只有一个公共点；（2）过点N 作两条与椭圆只有一个公共点的直线，公共点分别记为A ､B ，点N 在直线AB 上的射影为点Q ，求点Q 的坐标；（3）互相垂直的两条直线1l 与2l 相交于点P ，且1l ､2l 都与椭圆C 只有一个公共点，求点P 的轨迹方程.8．已知椭圆()2222:10x y O a b a b+=>>的左、右顶点分别为A ，B ，点P 在椭圆O 上运动，若PAB △面积的最大值为O 的离心率为12.（1）求椭圆O 的标准方程；（2）过B 点作圆E ：()2222x y r +-=，()02r <<的两条切线，分别与椭圆O 交于两点C ，D (异于点B )，当r 变化时，直线CD 是否恒过某定点？若是，求出该定点坐标，若不是，请说明理由.9．如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C 1：24x ＋y 2＝1，椭圆C 2：22x a ＋22y b＝1(a >b >0)，C 2与C 1的长轴长之比为∶1，离心率相同．(1)求椭圆C 2的标准方程；(2)设点P 为椭圆C 2上的一点．①射线PO 与椭圆C 1依次交于点A ，B ，求证：PAPB为定值；②过点P 作两条斜率分别为k 1，k 2的直线l 1，l 2，且直线l 1，l 2与椭圆C 1均有且只有一个公共点，求证k 1·k 2为定值．10．已知抛物线()2:20C y px p =>上一点()0,2P x 到焦点F 的距离02PF x =.（1）求抛物线C 的方程；（2）过点P 引圆()(222:30M x y rr -+=<≤的两条切线PA PB 、，切线PA PB 、与抛物线C 的另一交点分别为A B 、，线段AB 中点的横坐标记为t ，求t 的取值范围.11．如图，已知00(,)M x y 是椭圆C :13622=+y x 上的任一点，从原点O 向圆M ：()()22002x x y y -+-=作两条切线，分别交椭圆于点P 、Q ．（1）若直线OP ，OQ 的斜率存在，并记为1k ，2k ，求证：12k k 为定值；（2）试问22OP OQ +是否为定值？若是，求出该值；若不是，说明理由．12．已知抛物线E ：22x py =过点()1,1，过抛物线E 上一点()00,P x y 作两直线PM ，PN 与圆C ：()2221x y +-=相切，且分别交抛物线E 于M 、N 两点．（1）求抛物线E 的方程，并求其焦点坐标和准线方程；（2）若直线MN 的斜率为P 的坐标．高考圆锥曲线中的“蒙日圆问题”突破答案一、解答题1．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的一个焦点为)，离心率为3.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若动点()00,P x y 为椭圆外一点，且点P 到椭圆C 的两条切线相互垂直，求点P 的轨迹方程.【答案】（1）22194x y +=；（2）220013x y +=.【详解】试题分析：（1）利用题中条件求出c 的值，然后根据离心率求出a 的值，最后根据a 、b 、c 三者的关系求出b 的值，从而确定椭圆C 的标准方程；（2）分两种情况进行计算：第一种是在从点P 所引的两条切线的斜率都存在的前提下，设两条切线的斜率分别为1k 、2k ，并由两条切线的垂直关系得到121k k =-，并设从点()00,P x y 所引的直线方程为()00y k x x y =-+，将此直线的方程与椭圆的方程联立得到关于x 的一元二次方程，利用0∆=得到有关k 的一元二次方程，最后利用121k k =-以及韦达定理得到点P 的轨迹方程；第二种情况是两条切线与坐标轴垂直的情况下求出点P 的坐标，并验证点P 是否在第一种情况下所得到的轨迹上，从而得到点P 的轨迹方程.（1）由题意知33a a =⇒=，且有=，解得2b =，因此椭圆C 的标准方程为22194x y +=；（2）①设从点P 所引的直线的方程为()00y y k x x -=-，即()00y kx y kx =+-，当从点P 所引的椭圆C 的两条切线的斜率都存在时，分别设为1k 、2k ，则121k k =-，将直线()00y kx y kx =+-的方程代入椭圆C 的方程并化简得()()()222000094189360k x k y kx x y kx ++-+--=，()()()2220000184949360k y kx k y kx ⎡⎤⎡⎤∆=--⨯+--=⎣⎦⎣⎦，化简得()2200940y kx k ---=，即()()22200009240x k kx y y --+-=，则1k 、2k 是关于k 的一元二次方程()()22200009240x k kx y y --+-=的两根，则201220419y k k x -==--，化简得220013x y +=；②当从点P 所引的两条切线均与坐标轴垂直，则P 的坐标为()3,2±±，此时点P 也在圆2213x y +=上.综上所述，点P 的轨迹方程为2213x y +=.考点：本题以椭圆为载体，考查直线与圆锥曲线的位置关系以及动点的轨迹方程，将直线与二次曲线的公共点的个数利用∆的符号来进行转化，计算量较大，从中也涉及了方程思想的灵活应用.2．给定椭圆C ：22221x y a b+=(a >b >0)，称圆心在原点O的圆为椭圆C 的“准圆”．若椭圆C 的一个焦点为F，0)，其短轴上的一个端点到F（1）求椭圆C 的方程和其“准圆”方程；（2）若点P 是椭圆C 的“准圆”上的动点，过点P 作椭圆的切线l 1，l 2交“准圆”于点M ，N .证明：l 1⊥l 2，且线段MN 的长为定值．【答案】（1）椭圆方程为2213x y +=，“准圆”方程为x 2＋y 2＝4；（2）证明见解析.【分析】（1）由已知c a ==C 的方程和其“准圆”方程；（2）①当直线l 1，l 2中有一条斜率不存在时，分别求出l 1和l 2，验证命题成立；②当l 1，l 2斜率存在时，设点P (x 0，y 0)，其中22004x y +=，联立过点P (x 0，y 0)与椭圆相切的直线方程与椭圆方程，由Δ＝0化简整理，可证得l 1⊥l 2；进而得出线段MN 为“准圆”x 2＋y 2＝4的直径，即线段MN 的长为定值．【详解】（1）∵椭圆C的一个焦点为)F其短轴上的一个端点到F.∴c a ==∴1b ==，∴椭圆方程为2213x y +=，∴“准圆”方程为x 2＋y 2＝4.（2）证明：①当直线l 1，l 2中有一条斜率不存在时，不妨设直线l 1斜率不存在，则l 1：x ＝当l 1：xl 1与“准圆”交于点1)，，－1)，此时l 2为y ＝1(或y ＝－1)，显然直线l 1，l 2垂直；同理可证当l 1：x＝－l 1，l 2垂直．②当l 1，l 2斜率存在时，设点P (x 0，y 0)，其中22004x y +=.设经过点P (x 0，y 0)与椭圆相切的直线为y ＝t (x －x 0)＋y 0，∴由()002213y t x x y x y ⎧=-+⎪⎨+=⎪⎩得(1＋3t 2)x 2＋6t (y 0－tx 0)x ＋3(y 0－tx 0)2－3＝0.由Δ＝0化简整理，得(3－20x )t 2＋2x 0y 0t ＋1－20y ＝0，∵22004x y +=，∴有(3－20x )t 2＋2x 0y 0t ＋(20x －3)＝0.设l 1，l 2的斜率分别为t 1，t 2，∵l 1，l 2与椭圆相切，∴t 1，t 2满足上述方程(3－20x )t 2＋2x 0y 0t ＋(20x －3)＝0，∴t 1·t 2＝－1，即l 1，l 2垂直．综合①②知，l 1⊥l 2.∵l 1，l 2经过点P (x 0，y 0)，又分别交其“准圆”于点M ，N ，且l 1，l 2垂直．∴线段MN 为“准圆”x 2＋y 2＝4的直径，|MN |＝4，∴线段MN 的长为定值．【点睛】思路点睛：本题考查椭圆的标准方程，考查新定义，考查椭圆的切线方程，考查直线与椭圆的位置关系，有关平面解析问题一些基本解题思想总结如下：1.常规求值问题：需要找等式，范围问题需要找不等式；2.是否存在问题：当作存在去求，不存在时会无解；3.证明定值问题：把变动的元素用参数表示出来，然后证明结果与参数无关，也可先猜再证；4.处理定点问题：把方程中参数的同次项集在一起，并令各项系数为0，也可先猜再证；5.最值问题：将对象表示为变量的函数求解．3．给定椭圆C :22221x y a b+=(0)a b >>的圆是椭圆C 的“伴随圆”.若椭圆C 的一个焦点为F ,0)，其短轴上的一个端点到F 1（1）求椭圆C 的方程及其“伴随圆”方程；（2）若倾斜角45°的直线l 与椭圆C 只有一个公共点，且与椭圆C 的伴随圆相交于M .N 两点，求弦MN 的的长；（3）点P 是椭圆C 的伴随圆上一个动点，过点P 作直线l 1、l 2，使得l 1、l 2与椭圆C 都只有一个公共点，判断l 1、l 2的位置关系，并说明理由.【答案】（1）椭圆方程：2213x y +=；伴随圆方程：x 2+y 2=1；（2）；（3）垂直，（斜率乘积为-1，分斜率存在与否）【分析】（1）直接由椭圆C 的一个焦点为)1F ，其短轴上的一个端点到F 1，求出，即可求椭圆C 的方程及其“伴随圆”方程；（2）先把直线方程与椭圆方程联立，利用对应的判别式为0求出，进而求出直线方程以及圆心到直线的距离；即可求弦MN 的长；（3）先对直线l 1，l 2的斜率是否存在分两种情况讨论，然后对每一种情况中的直线l 1，l 2与椭圆C 都只有一个公共点进行求解即可证：l 1⊥l 2．（在斜率存在时，是先设直线方程，把直线与椭圆方程联立，利用斜率为对应方程的根来判断结论）．【详解】解：（1）因为c a ==，所以b ＝1所以椭圆的方程为2213x y +=，伴随圆的方程为x 2+y 2＝4．（2）设直线l 的方程y ＝x +b ，由2213y x b x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得4x 2+6bx +3b 2﹣3＝0由△＝（6b ）2﹣16（3b 2﹣3）＝0得b 2＝4圆心到直线l的距离为d ==所以MN ==（3）①当l 1，l 2中有一条无斜率时，不妨设l 1无斜率，因为l 1与椭圆只有一个公共点，则其方程为x =x =，当l 1方程为x =l 1与伴随圆交于点))1-，此时经过点)（或1)-且与椭圆只有一个公共点的直线是y ＝1（或y ＝﹣1），即l 2为y ＝1（或y ＝﹣1），显然直线l 1，l 2垂直；同理可证l 1方程为x =时，直线l 1，l 2垂直．②当l 1，l 2都有斜率时，设点P （x 0，y 0），其中x 02+y 02＝4，设经过点P （x 0，y 0），与椭圆只有一个公共点的直线为y ＝k （x ﹣x 0）+y 0，由()002213y kx y kx x y ⎧=+-⎪⎨+=⎪⎩，消去y 得到x 2+3（kx +（y 0﹣kx 0））2﹣3＝0，即（1+3k 2）x 2+6k （y 0﹣kx 0）x +3（y 0﹣kx 0）2﹣3＝0，△＝[6k （y 0﹣kx 0）]2﹣4•（1+3k 2）[3（y 0﹣kx 0）2﹣3]＝0，经过化简得到：（3﹣x 02）k 2+2x 0y 0k +1﹣y 02＝0，因为x 02+y 02＝4，所以有（3﹣x 02）k 2+2x 0y 0k +（x 02﹣3）＝0，设l 1，l 2的斜率分别为k 1，k 2，因为l 1，l 2与椭圆都只有一个公共点，所以k 1，k 2满足方程（3﹣x 02）k 2+2x 0y 0k +（x 02﹣3）＝0，因而k 1•k 2＝﹣1，即l 1，l 2垂直．【点睛】本题主要考查椭圆的方程和几何性质，直线的方程，两点间的距离公式以及点到直线的距离公式等基础知识，考查用代数方法研究圆锥曲线的性质和数形结合的数学思想，考查解决问题的能力和运算能力．4．已知抛物线1C ：22y px =（0p >），圆2C ：222(1)x y r -+=（0r >），抛物线1C 上的点到其准线的距离的最小值为14.（1）求抛物线1C 的方程及其准线方程；（2）如图，点0(2,)P y 是抛物线1C 在第一象限内一点，过点P 作圆2C 的两条切线分别交抛物线1C 于点A ，B （A ，B 异于点P ），问是否存在圆2C 使AB 恰为其切线？若存在，求出r 的值；若不存在，说明理由.【答案】（1）1C 的方程为2y x =，准线方程为14x =-.（2）存在，12r =【分析】（1）由124p =得到p 即可；（2）设()211,A y y ，利用点斜式得到PA的的方程为(110x y y -++=，由2(1,0)C 到PA 的距离为半径可得())22221121130ryr y r -+-+-=，同理())22222221130r y r y r -+-+-=，同理写出直线AB 的方程，利用点2(1,0)C 到直线AB 的距离为半径建立方程即可.解：（1）由题意得124p =，解得12p =，所以抛物线1C 的方程为2y x =，准线方程为14x =-.（2）由（1）知，P .假设存在圆2C 使得AB 恰为其切线，设()211,A y y ，()222,B y y ，则直线PA的的方程为1212(2)2y y x y -=⋅--，即(110x y y -+=.由点2(1,0)C 到PA 的距离为rr =，化简，得())22221121130r yr y r -+-+-=，同理，得())22222221130ry r y r -+-+-=.所以1y ，2y 是方程的())222221130r yr y r -+-+-=两个不等实根，故)212212r y y r -+=--，2122132r y yr-=-.易得直线AB 的方程为()12120x y y y y y -++=，由点2(1,0)C 到直线AB 的距离为rr =，所以)22222222113122r r r r r r ⎡⎤-⎛⎫-⎢⎥+=+- ⎪--⎢⎥⎝⎭⎣⎦，于是，()()()2222222234281rr rr r-=-+-，化简，得6424410r r r -+-=，即()()2421310r r r --+=.经分析知，01r <<，因此12r -=.【点睛】本题主要考查抛物线的定义和几何性质，直线与圆、抛物线的位置关系等，考查运算求解能力、数形结合思想.5．已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的长半轴长为，点()1,e （e 为椭圆C 的离心率）在椭圆C 上.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）如图，P 为直线2x =上任一点，过点P 椭圆C 上点处的切线为PA ，PB ，切点分别A ，B ，直线x a =与直线PA ，PB 分别交于M ，N 两点，点M ，N 的纵坐标分别为m ，n ，求mn 的值.【答案】（1）2212x y +=；（2）23.【分析】（1）因为点()1,e 在椭圆C 上，所以22211e a b +=，然后，利用222c a b =-，c e a =，得出2222211a b a a b-+=，进而求解即可（2）设点P 的坐标为()2,t ，直线AP 的方程为()12y k x t =-+，直线BP 的方程为()22y k x t =-+，分别联立方程：()221122x y y k x t ⎧+=⎪⎨⎪=-+⎩和12212212k k t t k k +=⎧⎪⎨-=⎪⎩，利用韦达定理，再利用)122m k t =+，)222n k t =-+，即可求出mn 的值【详解】（1）由椭圆C 2，得2a =.因为点()1,e 在椭圆C 上，所以22211e a b+=.又因为222c a b =-，c e a =，所以2222211a b a a b-+=，所以1b =-（舍）或1b =.故椭圆C 的标准方程为2212x y +=.（2）设点P 的坐标为()2,t ，直线AP 的方程为()12y k x t =-+，直线BP 的方程为()22y k x t =-+.据()221122x y y k x t ⎧+=⎪⎨⎪=-+⎩得()()()222111121422220k x k t k x t k ++-+--=.据题意，得()()()222211111624212220k t k k t k ⎡⎤--+--=⎣⎦，得22112410k tk t -+-=，同理，得22222410k tk t -+-=，所以12212212k k t t k k +=⎧⎪⎨-=⎪⎩.又可求，得)12m k t =+，)22n k t =-+，所以))1222mn k t k t ⎡⎤⎡⎤=++⎣⎦⎣⎦()()2121262k k k k t t =-+-++(())2223122t t t=--+-+3=-.【点睛】本题考查椭圆标准方程的求解以及联立方程求定值的问题，联立方程求定值的关键在于利用韦达定理进行消参，属于中档题6．已知中心在原点的椭圆C 1和抛物线C 2有相同的焦点(1，0)，椭圆C 1过点31,2G ⎛⎫⎪⎝⎭，抛物线2C 的顶点为原点．(1)求椭圆C 1和抛物线C 2的方程；(2)设点P 为抛物线C 2准线上的任意一点，过点P 作抛物线C 2的两条切线PA ，PB ，其中A 、B 为切点．设直线PA ，PB 的斜率分别为k 1，k 2，求证：k 1k 2为定值；②若直线AB 交椭圆C 1于C ，D 两点，S △P AB ，S △PCD 分别是△PAB ，△PCD 的面积，试问：PABPCDS S 是否有最小值?若有，求出最小值；若没有，请说明理由.【答案】(1)抛物线2C 的标准方程为24y x =,椭圆1C 的方程为:22143x y +=,(2)①证明见解析,②有,最小值为43【分析】(1)利用12p=可得抛物线的标准方程,根据1c =和点P 在椭圆上列方程组可求得2a 和2b ,从而可得标准方程;(2)①利用△=0以及韦达定理可得结论;②先求出直线过定点(1,0),将问题转化为PAB PCD S S 1||||21||||2d AB AB CD d CD ⋅==⋅,即求||||AB CD 得最小值,当直线AB 的斜率存在时,联立直线与抛物线,利用弦长公式求出||AB 和||CD ,然后求比值,此时大于43,当直线AB 的斜率不存在时,直接求出||AB 和||CD 可得比值为43.从而可得结论.【详解】(1)因为抛物线C 2有相同的焦点(1，0),且顶点为原点,所以12p=,所以2p =,所以抛物线2C 的标准方程为24y x =,设椭圆方程为22221x ya b +=,则1c =且222211914a b ab ⎧-=⎪⎨+=⎪⎩,解得224,3a b ==,所以椭圆1C 的方程为:22143x y+=.(2)①证明:设(1,)P t -,过点P 与抛物线24y x =相切的直线为(1)y t k x -=+,由2(1)4y t k x y x -=+⎧⎨=⎩,消去x 得24440t y y k k -++=,由△=244()4(4)0tkk--+=,得210k tk +-=,则121k k =-.②设1122(,),(,)A x y B x y 由①得112,y k =222y k =,则12221211,x x k k ==,所以直线AB 的方程为211121()y y y y x x x x --=--,所以211222122(1)11k k y y x k k --=--,即122(1)y x k k =--+,即直线AB 恒过定点(1,0),设点P 到直线AB 的距离为d ,所以PABPCDS S 1||||21||||2d AB AB CD d CD ⋅==⋅,当直线AB 的斜率存在时,设直线AB 的方程为(1)y k x =-,设3344(,),(,)C x y D x y ,由24(1)y x y k x ⎧=⎨=-⎩,消去y 得2222(24)0k x k x k -++=,0k ≠时,△0>恒成立,||AB =224(1)k k+=,由22143(1)x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩消去y 得2222(34)84120k x k x k +-+-=,△0>恒成立,则||CD =2212(1)34k k+=+.所以22224(1)12(1)34PAB PCDk S k k S k +=++ 22234144333k k k +==+>,当直线AB 的斜率不存在时,直线AB 的方程为1x =,此时||4AB =,||3CD =,PAB PCD S S 43=,所以PAB PCD S S 的最小值为43.【点睛】本题考查了求抛物线和椭圆的标准方程,考查了直线与抛物线相切,考查了直线与椭圆相交的问题,考查了三角形的面积公式,考查了分类讨论思想,考查了弦长公式,属于难题.7．已知椭圆C 的方程为2212x y +=.（1）设(,)M M M x y 是椭圆C 上的点，证明：直线12M M x xy y +=与椭圆C 有且只有一个公共点；（2）过点N 作两条与椭圆只有一个公共点的直线，公共点分别记为A ､B ，点N 在直线AB 上的射影为点Q ，求点Q 的坐标；（3）互相垂直的两条直线1l 与2l 相交于点P ，且1l ､2l 都与椭圆C 只有一个公共点，求点P 的轨迹方程.【答案】（1）证明见解析；（2）2(,)33Q ；（3）223x y +=.【分析】（1）当0M y =时，符合题意；当0M y ≠时，联立直线与椭圆的方程，得判别式为0，从而方程组只有一组解，进而可得答案；（2）设11(,)A x y ，22(,)B x y ，得出A ，B的坐标满足直线方程 21x =，推出直线AB的方程为21x+=，联立NQ 的方程解得Q 点坐标；（3）设()00,P x y ，分两种情况：当直线1l 与2l 有一条斜率不存在时，当直线1l 与2l 有一条斜率存在时，讨论点P 的轨迹，即可得出答案.【详解】（1）当0M y =时，M x =12M M x xy y +=，即直线x =，与椭圆C 只有一个公共点.当0M y ≠时，由221212M M x xy y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩得2222211)1024M M M M Mx x x x y y y +-+-=（，2222422222114(1)24M M M M M M M M x x y x y y y y -++∆=-+-=，又2212M M x y +=，∴有0∆=，从而方程组只有一组解，直线12M M x xy y +=与椭圆C 的有且只有一个公共点.（2）设11(,)A x y ，22(,)B x y .由（1）知两条直线为1112x x y y +=，2212x xy y +=，又N 是它们的交点，∴1112x +=，2212x+=，从而有11(,)A x y ，22(,)B x y的坐标满足直线方程12x+=，所以直线AB：12x+=.直线NQ的方程为1)y x -=-，由121)x y x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩解得233x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即2(,33Q ，（3）设00(,)P x y .当直线1l 与2l有一条斜率不存在时，(1)P ±，22003x y +=.当直线1l 与2l 的斜率都存在时，设为1k 和2k ，由0022()12y y k x x x y -=-⎧⎪⎨+=⎪⎩得22222000000(12)4()2(21)0k x k y kx x k x y kx y ++-++--=，由22222000000[4()]4(12)2(21)0k y kx k k x y kx y ∆=--⋅+⋅⋅+--=，整理得2220000(2)210x k x y k y -++-=，202x ≠，1k 和2k 是这个方程的两个根，∴有20122112y k k x -==--，得22003x y +=，所以点P 的轨迹方程是223x y +=.【点睛】关键点点睛：解决第一问主要是通过联立直线与椭圆所构成的方程组有一个解；解决第二问主要是通过第一问中的结论得出AB 的方程；解决第三问主要是依据两直线的关系得到2122112y k k x -==--.8．已知椭圆()2222:10x y O a b a b+=>>的左、右顶点分别为A ，B ，点P 在椭圆O 上运动，若PAB △面积的最大值为O 的离心率为12.（1）求椭圆O 的标准方程；（2）过B 点作圆E ：()2222x y r +-=，()02r <<的两条切线，分别与椭圆O 交于两点C ，D (异于点B )，当r 变化时，直线CD 是否恒过某定点？若是，求出该定点坐标，若不是，请说明理由.【答案】（1）22143x y +=；（2）直线CD 恒过定点()14,0.【分析】（1）首先列出关于,,a b c 的等式，再求椭圆的标准方程；（2）首先设出过点()2,0B 的切线方程，利用d r =，得到关于斜率k 的一元二次方程，得到根与系数的关系121k k =，再与椭圆方程联立求得点,C D 的坐标，写出直线CD 的斜率，并写出直线CD 的方程，说明直线过定点.【详解】（1）由题可知当点P 在椭圆O 的上顶点时，PAB S 最大，此时122PABS ab ab =⨯==△222122ab c a a a b c ⎧=⎪⎪=⇒=⎨⎪-=⎪⎩，b =，1c =，∴椭圆O 的标准方程为22143x y +=.（2）设过点()2,0B 与圆E 相切的直线方程为()2y k x =-，即20kx y k --=，∵直线与圆E ：()2222x y r +-=相切，∴d r ==，即得()2224840r k k r -++-=.设两切线的斜率分别为1k ，()212k k k ≠，则121k k =，设()11,C x y ，()22,D x y ，由()()12222221112341616120143y k x k x k x k x y ⎧=-⎪⇒+-+-=⎨+=⎪⎩，∴211211612234k x k -=+，即211218634k x k -=+，∴11211234k y k -=+；同理：22212222186863443k k x k k --==++，212222112123443k k y k k --==++；∴()112221111222112112211121243348686414334CDk k y y k k k k k k x x k k k ----++===---+-++，∴直线CD 的方程为()21112221111286343441k k k y x k k k ⎛⎫-+=- ⎪ ⎪+++⎝⎭.整理得()()()()111222111714412141k k k y x x k k k =-=-+++，∴直线CD 恒过定点()14,0.【点睛】本题考查椭圆方程，直线与圆，直线与椭圆的位置关系，重点考查转化思想，计算能力，逻辑推理能力，属于难题.9．如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C 1：24x ＋y 2＝1，椭圆C 2：22x a ＋22y b＝1(a >b >0)，C 2与C 1的长轴长之比为∶1，离心率相同．(1)求椭圆C 2的标准方程；(2)设点P 为椭圆C 2上的一点．①射线PO 与椭圆C 1依次交于点A ，B ，求证：PAPB为定值；②过点P 作两条斜率分别为k 1，k 2的直线l 1，l 2，且直线l 1，l 2与椭圆C 1均有且只有一个公共点，求证k 1·k 2为定值．【答案】(1)28x ＋22y ＝1；(2)①证明见解析，②证明见解析【分析】(1)根据已知条件，求出a ，b 的值，得到椭圆C 2的标准方程．(2)①对直线OP 斜率分不存在和存在两种情况讨论，当OP 斜率存在时，设直线OP 的方程为y ＝kx ，并与椭圆C 1的方程联立，解得点A 横坐标，同理求得点P 横坐标，再通过弦长公式，求出PAPB的表达式，化简整理得到定值．②设P (x 0，y 0)，写出直线l 1的方程，并与椭圆C 1联立，得到关于x 的一元二次方程，根据直线l 1与椭圆C 1有且只有一个公共点，得到方程只有一解，即Δ＝0，整理得2201(4)x k -－2x 0y 0k 1＋20y －1＝0，同理得到2202(4)x k -－2x 0y 0k 2＋20y －1＝0，从而说明k 1，k 2是关于k 的一元二次方程的两个根，运用根与系数的关系，证得定值．【详解】(1)设椭圆C 2的焦距为2c ，由题意，a ＝，1b=b，因此椭圆C 2的标准方程为28x ＋22y ＝1.(2)①1°当直线OP 斜率不存在时，PA－1，PB＋1，则PA PB＝3－.2°当直线OP 斜率存在时，设直线OP 的方程为y ＝kx ，代入椭圆C 1的方程，消去y ，得(4k 2＋1)x 2＝4，所以22441A x k =+，同理22841P x k =+．所以222P A x x =，由题意，x P 与x A 同号，所以x Px A ，从而PA PB ＝p A p B x x x x --＝p A p A x x x x -+3－.所以PAPB＝3－为定值．②设P (x 0，y 0)，所以直线l 1的方程为y －y 0＝k 1(x －x 0)，即y ＝k 1x －k 1x 0＋y 0，记t ＝－k 1x 0＋y 0，则l 1的方程为y ＝k 1x ＋t ，代入椭圆C 1的方程，消去y ，得(421k ＋1)x 2＋8k 1tx ＋4t 2－4＝0，因为直线l 1与椭圆C 1有且只有一个公共点，所以Δ＝(8k 1t )2－4(421k ＋1)(4t 2－4)＝0，即421k －t 2＋1＝0，将t ＝－k 1x 0＋y 0代入上式，整理得，2201(4)x k -－2x 0y 0k 1＋20y －1＝0，同理可得，2202(4)x k -－2x 0y 0k 2＋20y －1＝0，所以k 1，k 2为关于k 的方程(20x－4)k 2－2x 0y 0k ＋y 2－1＝0的两根，从而k 1·k 2＝202014y x --.又点在P (x 0，y 0)椭圆C 2：28x ＋22y ＝1上，所以2200124y x =-，所以k 1·k 2＝20201211444x x --=--为定值．【点睛】本题考查求椭圆标准方程，考查椭圆中的定值问题，椭圆中的定值问题，一种方法是直接计算，即由直线与椭圆相交求出交点坐标，求出直线斜率等，然后计算题中要证定值的量即可得，一种不直接计算，像本题（2）②中通过直线与椭圆相切，得出两直线斜率满足的关系式，从而确定这两个斜率是某个二次方程的根，由韦达定理直接得证，即建立参数之间的联系，然后推导出定值．10．已知抛物线()2:20C y px p =>上一点()0,2P x 到焦点F 的距离02PF x =.（1）求抛物线C 的方程；（2）过点P 引圆()(222:30M x y rr -+=<≤的两条切线PA PB 、，切线PA PB 、与抛物线C 的另一交点分别为A B 、，线段AB 中点的横坐标记为t ，求t 的取值范围.【答案】（1）24y x =（2）见解析【分析】（1）由题意确定p 的值即可确定抛物线方程；（2）很明显切线斜率存在，由圆心到直线的距离等于半径可得12,k k 是方程()2224840r k k r --+-=的两根，联立直线方程与抛物线方程可得点D 的横坐标()()201212223x k k k k =+-+-.结合韦达定理将原问题转化为求解函数的值域的问题即可.【详解】（1）由抛物线定义,得02pPF x =+，由题意得：0022240p x x px p ⎧=+⎪⎪=⎨⎪>⎪⎩解得021p x =⎧⎨=⎩所以，抛物线的方程为24y x =.（2）由题意知，过P 引圆()2223(0x y r r -+=<≤的切线斜率存在，设切线PA 的方程为()112y k x =-+，则圆心M 到切线PA的距离d r ==，整理得，()222114840r k k r --+-=.设切线PB 的方程为()212y k x =-+,同理可得()222224840r k k r --+-=.所以，12,k k 是方程()2224840r k k r --+-=的两根，121228,14k k k k r +==-.设()11,A x y ，()22,B x y 由()12124y k x y x ⎧=-+⎨=⎩得，2114480k y y k --+=，由韦达定理知，111842k y k -=，所以11211424242k y k k k -==-=-，同理可得2142y k =-.设点D 的横坐标为0x ，则()()22222112124242288k k x x y y x -+-++===()()()()22212121212221223k k k k k k k k =+-++=+-+-.设12t k k =+，则[)284,24t r =∈---，所以，20223x t t =--，对称轴122t =>-，所以0937x <≤【点睛】本题主要考查抛物线方程的求解，直线与抛物线的位置关系等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.11．如图，已知00(,)M x y 是椭圆C :13622=+y x 上的任一点，从原点O 向圆M ：()()22002x x y y -+-=作两条切线，分别交椭圆于点P 、Q ．（1）若直线OP ，OQ 的斜率存在，并记为1k ，2k ，求证：12k k 为定值；（2）试问22OP OQ +是否为定值？若是，求出该值；若不是，说明理由．【答案】（1）见解析；（2）22OP OQ +为定值9．【解析】试题分析：（1）设直线OQ OP ,的直线方程分别为1y k x =、2y k x =，由圆心到直线的距离等于半径可以得到022)2(201002120=-+--y k y x k x 、022)2(202002220=-+--y k y x k x ，由此可得21k k 、是方程022)2(2000220=-+--y k y x k x 的两个不相等的实数根,由违达定理可知22202021--=x y k k ，由点M 在椭圆上可得201220111222x k k x -==--；（2）分直线OP 与直线OQ 与椭圆方程联立，可得222111216(1)12k x y k ++=+，222222226(1)12k x y k ++=+，直接计算22OP OQ +，并将1212k k =-代入表达式即可得到22OP OQ +的和为定值．试题解析：（1）因为直线OP ：1y k x =以及OQ ：2y k x =与圆M 相切，所以21||21001=+-ky x k ,化简得：022)2(201002120=-+--y k y x k x 同理：022)2(202002220=-+--y k y x k x ，所以，20122022y k k x -∴⋅=-因为点00(,)M x y 在椭圆C 上，所以2200163x y +=，即2200132y x =-，所以21220111222x k k x -==--．（2）22OP OQ +是定值，定值为9．理由如下：法一：（i ）当直线OP 、OQ 不落在坐标轴上时,设),(,),(2211y x Q y x P ,联立122,1,63y k x x y =⎧⎪⎨+=⎪⎩解得21212211216,126.12x k k y k ⎧=⎪+⎪⎨⎪=⎪+⎩所以222111216(1)12k x y k ++=+，同理，得222222226(1)12k x y k ++=+，由1212k k =-，所以2222221122OP OQ x y x y +=+++221222126(1)6(1)1212k k k k ++=+++2211221116(1())6(1)211212()2k k k k +-+=+++-212191812k k +=+9=（ii ）当直线OP 、OQ 落在坐标轴上时,显然有22OP OQ +9=，综上：22OP OQ +9=法二：（i ）当直线OP 、OQ 不落在坐标轴上时,设),(,),(2211y x Q y x P ,因为1212k k =-，所以2222121214y y x x =，因为),(,),(2211y x Q y x P 在椭圆C 上，所以22112222163163x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，即22112222132132y x y x ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，所以22221212111(3)(3)224x x x x --=，整理得22126x x +=，所以222212121133322y y x x ⎛⎫⎛⎫+=-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以22OP OQ +9=．（ii ）当直线OP 、OQ 落在坐标轴上时,显然有22OP OQ +9=，综上：22OP OQ +9=．考点：1．椭圆的定义与几何性质；2．直线与圆的位置关系；3．直线与椭圆的位置关系．12．已知抛物线E ：22x py =过点()1,1，过抛物线E 上一点()00,P x y 作两直线PM ，PN 与圆C ：()2221x y +-=相切，且分别交抛物线E 于M 、N 两点．（1）求抛物线E 的方程，并求其焦点坐标和准线方程；（2）若直线MN的斜率为，求点P 的坐标．【答案】（1）抛物线E 的方程为2x y =，焦点坐标为10,4⎛⎫⎪⎝⎭，准线方程为14y =-；（2）)或1,33⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭【分析】（1）将点()1,1代入抛物线方程，可求出抛物线E 的方程，进而可求出焦点坐标及准线方程；（2）设()211,M x x ，()222,N x x ，可表示出直线PM 及PN 的斜率的表达式，进而可表示出两直线的方程，再结合直线和圆相切，利用点到直线的距离等于半径，可得1x ，2x 满足方程()2220001230x x x x x -++-=，从而得到0122021x x x x -+=-，又直线MN的斜率为12x x +=，可求出0x 的值，即可求出点P 的坐标.【详解】（1）将点()1,1代入抛物线方程得，12p =，所以抛物线E 的方程为2x y =，焦点坐标为：10,4⎛⎫⎪⎝⎭，准线方程为：14y =-．（2）由题意知，200y x =，设()211,M x x ，()222,N x x ，则直线PM 的斜率为22010101PMx x k x x x x -==+-，同理，直线PN 的斜率为02x x +，直线MN 的斜率为22121212x x x x x x -=-+，故12x x +=，于是直线PM 的方程为()()20010y x x x x x -=+-，即()01100x x y x x x +--=，1=，即()222010101230x x x x x -++-=，同理，直线PN 的方程为()02200x x x y x x +--=，可得()222020201230x x x x x -++-=，故1x ，2x 是方程()2220001230x x x x x -++-=的两根．故0122021x x x x -+=-，即02021x x -=-20020x=-，解得0=x 或3-．当0=x 时，03y =；当033x =-时，13y=．故点P的坐标为)或1,33⎛⎫-⎪ ⎪⎝⎭．【点睛】本题考查抛物线方程的求法，考查直线与圆位置关系的应用，考查直线的方程，考查学生的计算求解能力，属于中档题.。