三角形中考知识点

初中中考三角形知识点总结一、三角形的定义三角形是平面上的一个图形，它由三条边和三个顶点组成。

三角形是一种基本的几何图形，也是平面几何中研究最多的图形之一。

二、三角形的分类根据三条边的长度，三角形可以分为等腰三角形、等边三角形和普通三角形。

1. 等腰三角形：两条边的长度相等的三角形。

2. 等边三角形：三条边的长度都相等的三角形。

3. 普通三角形：三条边的长度都不相等的三角形。

根据角的大小，三角形可以分为直角三角形、锐角三角形和钝角三角形。

1. 直角三角形：其中一个角是90度的三角形。

2. 锐角三角形：三个角都是锐角的三角形。

3. 钝角三角形：其中一个角是钝角的三角形。

三、三角形的性质1. 三角形的内角和恒为180度。

这是三角形的最基本的性质，也是很多三角形问题的关键。

2. 等腰三角形的性质(1) 两底角相等。

(2) 两边边相等。

3. 等边三角形的性质(1) 三个角均相等，每个角为60度。

(2) 三条边均相等。

4. 直角三角形的性质(1) 两个锐角的和等于90度。

(2) 三个角的和等于180度。

(3) 符合勾股定理：a²+b²=c²。

5. 三角形的外角和等于没有被包含的两个内角的和。

这个性质非常重要，经常和外角性质一起来进行三角形的运算。

6. 三角形的两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。

这是三角形的一个重要性质，也是判断三角形是否存在的关键。

7. 经常包含的一些特殊的三角形关系(1) 在一个等腰三角形中，这个等腰三角形可以分成两个直角三角形。

(2) 30度和60度角的三角函数值，这种关系是初中数学中的重点内容。

四、初中中考三角形的运算1. 求三角形的周长和面积。

我们经常会遇到问周长或者面积的问题，对初中生来说，掌握好周长和面积的计算方法是非常重要的。

2. 利用三角形的性质进行求解。

在解三角形问题的时候，我们经常会利用三角形的性质，根据题目给出的条件进行运算。

3. 利用勾股定理求解。

专题16 全等三角形的核心知识点精讲1.熟悉全等三角形常考5种模型2.掌握全等三角形性质，并运用全等三角形性质解答。

考点1：全等三角形的概念及性质考点2：全等三角形的判定模型一：平移型模型分析：此模型特征是有一组边共线或部分重合，另两组边分别平行，常要在移动的方向上加（减）公共线段，构造线段相等，或利用平行线性质找到对应角相等.模型示例概念两个能完全重合的三角形叫做全等三角形．性质1.两全等三角形的对应边相等，对应角相等．2.全等三角形的对应边上的高相等，对应边上的中线相等，对应角的平分线相等．3.全等三角形的周长、面积相等．模型二：轴对称模型模型分析:所给图形可沿某一直线折叠，直线两旁的部分能完全重合，重合的顶点就是全等三角形的对应顶点，解题时要注意隐含条件，即公共边或公共角相等.模型三：旋转型模型解读：将三角形绕着公共顶点旋转一定角度后，两个三角形能够完全重合，则称这两个三角形为旋转型三角形．旋转后的图形与原图形存在两种情况：①无重叠：两个三角形有公共顶点，无重叠部分，一般有一对隐含的等角②有重叠：两个三角形含有一部分公共角，运用角的和差可得到等角.模型四：一线三垂直型模型解读：一线：经过直角顶点的直线；三垂直：直角两边互相垂直，过直角的两边向直线作垂直，利用“同角的余角相等”转化找等角【题型1：平移型】【典例1】（2023•广州）如图，B是AD的中点，BC∥DE，BC＝DE．求证：∠C＝∠E．1．（2022•淮安）已知：如图，点A、D、C、F在一条直线上，且AD＝CF，AB＝DE，∠BAC＝∠EDF．求证：∠B＝∠E．2．（2022•柳州）如图，点A，D，C，F在同一条直线上，AB＝DE，BC＝EF．有下列三个条件：①AC＝D F，②∠ABC＝∠DEF，③∠ACB＝∠DFE．（1）请在上述三个条件中选取一个条件，使得△ABC≌△DEF．你选取的条件为（填写序号）（只需选一个条件，多选不得分），你判定△ABC≌△DEF的依据是（填“SSS”或“SAS”或“ASA”或“AAS”）；（2）利用（1）的结论△ABC≌△DEF．求证：AB∥DE．【题型2：对称型】【典例2】（2023•福建）如图，OA＝OC，OB＝OD，∠AOD＝∠COB．求证：AB＝CD．1．（2023•长沙）如图，AB＝AC，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为D，E．（1）求证：△ABE≌△ACD；（2）若AE＝6，CD＝8，求BD的长．2．（2022•西藏）如图，已知AD平分∠BAC，AB＝AC．求证：△ABD≌△ACD．【题型3：旋转型】【典例3】（2023•大连）如图，AC＝AE，BC＝DE，BC的延长线与DE相交于点F，∠ACF+∠AED＝180°．求证：AB＝AD．1．（2023•乐山）如图，已知AB与CD相交于点O，AC∥BD，AO＝BO，求证：AC＝BD．2．（2023•泸州）如图，点B在线段AC上，BD∥CE，AB＝EC，DB＝BC．求证：AD＝EB．3．（2023•西藏）如图，已知AB＝DE，AC＝DC，CE＝CB．求证：∠1＝∠2．【题型4：一线三等角】【典例4】（2023•陕西）如图，在△ABC中，∠B＝90°，作CD⊥AC，且使CD＝AC，作DE⊥BC，交BC 的延长线于点E．求证：CE＝AB．1．（2021•南充）如图，∠BAC＝90°，AD是∠BAC内部一条射线，若AB＝AC，BE⊥AD于点E，CF⊥A D于点F．求证：AF＝BE．一．选择题（共8小题）1．下列各组图案中，不是全等形的是（）A．B．C．D．2．已知图中的两个三角形全等，则∠1等于（）A．50°B．58°C．60°D．72°3．如图，△ABC≌△DEC，点E在AB边上，∠B＝70°，则∠ACD的度数为（）A．30°B．40°C．45°D．50°4．如图，△ABD≌△ACE，若AB＝6，AE＝4，则CD的长度为（）A．10B．6C．4D．25．如图，点B、F、C、E在一条直线上，∠A＝∠D＝90°，AB＝DE，添加下列选项中的条件，能用HL 判定△ABC≌△DEF的是（）A．AC＝DF B．∠B＝∠E C．∠ACB＝∠DFE D．BC＝EF6．如图，点D，E分别在线段AB，AC上，CD与BE相交于O点，已知AB＝AC，现添加以下的哪个条件仍不能判定△ABE≌△ACD（）A．∠B＝∠C B．BE＝CD C．BD＝CE D．AD＝AE7．如图，BE⊥AC于点E，CF⊥AB于点F，若BE＝CF，则Rt△BCF≌Rt△CBE的理由是（）A．AAS B．HL C．SAS D．ASA8．如图所示，已知在△ABC中，∠C＝90°，AD＝AC，DE⊥AB交BC于点E，若∠B＝28°，则∠AEC ＝（）A．28°B．59°C．60°D．62°二．填空题（共4小题）9．如图是两个全等三角形，图中的字母表示三角形的边长，那么∠1的度数为．10．已知：如图，△ABC和△BAD中，∠C＝∠D＝90°，再添加一个条件就可以判断△ABC ≌△BAD．11．请仔细观察用直尺和圆规作一个角∠A'O'B'等于已知角∠AOB的示意图．请你根据所学的三角形全等的有关知识，说明画出∠A'O'B'＝∠AOB的依据是．12．如图，若AC平分∠BCD，∠B+∠D＝180°，AE⊥BC于点E，BC＝13cm，CD＝7cm，则BE＝．三．解答题（共4小题）13．如图，点B、E、C、F在一条直线上，AB＝DE，AC＝DF，BE＝CF．（1）求证：△ABC≌△DEF；（2）若∠D＝45°，求∠EGC的大小．14．如图，∠ACB＝90°，∠BAC＝45°，AD⊥CE，BE⊥CE，垂足分别是D，E，BE＝0.8，DE＝1.7，求AD的长．15．如图，点A，B，C在一条直线上，△ABD、△BCE均为等边三角形，连接AE和CD，AE分别交CD，BD于点M，P，CD交BE于点Q．（1）求证：△ABE≌△DBC；（2）求∠DMA的度数．16．如图，AC＝DC，E为AB上一点，EC＝BC，并且∠1＝∠2．（1）求证：△ABC≌△DEC；（2）若∠B＝75°，求∠3的度数．一．选择题（共7小题）1．如图，任意画一个∠A＝60°的△ABC，再分别作△ABC的两条角平分线BE和CD，BE和CD相交于点P，连接AP，有以下结论：①∠BPC＝120°；②AP平分∠BAC；③AP＝PC；④BD+CE＝BC；⑤S△PBA：S△PCA＝AB：AC，其中正确的个数是（）个．A．5B．4C．3D．22．如图，在△ABC中，∠BAC＝60°，BE、CD为△ABC的角平分线．BE与CD相交于点F，FG平分∠BFC，有下列四个结论：①∠BFC＝120°；②BD＝CE；③BC＝BD+CE；④若BE⊥AC，△BDF≌△CE F．其中正确的是（）A．①③B．②③④C．①③④D．①②③④3．如图，已知△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠BAC＝∠EAD＝90°，BD，CE交于点F，连接A F，下列结论：①BD＝CE②∠AEF＝∠ADF③BD⊥CE④AF平分∠CAD⑤∠AFE＝45°其中结论正确的序号是（）A．①②③④B．①②④⑤C．①③④⑤D．①②③⑤4．如图，在Rt△AEB和Rt△AFC中，∠E＝∠F＝90°，BE＝CF，BE与AC相交于点M，与CF相交于点D，AB与CF相交于点N，∠EAC＝∠F AB．有下列结论：①∠B＝∠C；②ED＝FD；③AC＝BE；④△ACN≌△ABM．其中正确结论的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个5．在直线l上依次摆放着七个正方形，已知斜放置的三个正方形的面积分别为1，2，3，正放置的四个正方形的面积依次是S1，S2，S3，S4，则S1+2S2+2S3+S4＝（）A．6B．8C．10D．126．如图，△ABC和△CDE都是等边三角形，B，C，D三点在一条直线上，AD与BE相交于点P，AC、B E相交于点M，AD、CE相交于点N，则下列四个结论：①AD＝BE；②∠BMC＝∠ANC；③∠APM＝60°；④CP平分∠MCN．其中，一定正确的结论的个数是（）A．1B．2C．3D．47．如图，△ABC中，∠BAC＝60°，∠BAC的平分线AD与边BC的垂直平分线MD相交于D，DE⊥AB 交AB的延长线于点E，DF⊥AC于点F，现有下列结论：①DE＝DF；②DE+DF＝AD；③MD平分∠E DF；④若AE＝3，则AB+AC＝6．其中正确的个数为（）A．1个B．2个C．3个D．4个二．填空题（共5小题）8．如图，以△ABC的每一条边为边，在边AB的同侧作三个正三角形△ABD、△BCE和△ACF．已知这三个正三角形构成的图形中，甲、乙阴影部分的面积和等于丙、丁阴影部分的面积和．则∠FCE＝°．9．如图，在△ACB中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点C的坐标为（﹣2，0），点A的坐标为（﹣8，3），点B的坐标是．10．如图，点E是BC的中点，AB⊥BC，DC⊥BC，AE平分∠BAD，则下列结论中，正确的是（填序号）．①∠AED＝90°；②∠ADE＝∠CDE；③DE＝BE；④AD＝AB+CD．11．如图，已知等腰△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，AD⊥BC于点D，点P是BA延长线上一点，点O是线段AD上一点，OP＝OC，下面的结论：①∠APO+∠DCO＝30°；②△OPC是等边三角形；③A C＝AO+AP；④S△ABC＝S四边形AOCP，其中正确的是．（填序号）12．如图，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4，点D是AB的中点，E、F在射线AC 与射线CB上运动，且满足AE＝CF，则在运动过程中△DEF面积的最小值为．三．解答题（共4小题）13．如图，△ACB和△DCE均为等腰三角形，点A，D，E在同一直线上，连接BE．（1）如图1，若∠CAB＝∠CBA＝∠CDE＝∠CED＝50°，求证：AD＝BE；（2）如图2，若∠ACB＝∠DCE＝90°，CF为△DCE中DE边上的高，试猜想AE，CF，BE之间的关系，并证明你的结论．14．如图所示，等边△ABC中，点P在△ABC内，点Q在△ABC外，且∠ABP＝∠ACQ，BP＝CQ．（1）求证：AP＝AQ；（2）试判断△APQ是什么形状的三角形？并说明你的理由．15．（1）【模型启迪】如图1，在△ABC中，D为BC边的中点，连接AD并延长至点H，使DH＝AD，连接BH，则AC与BH的数量关系为，位置关系为．（2）【模型探索】如图2，在△ABC中，D为BC边的中点，连接AD，E为AC边上一点，连接BE交A D于点F，且BF＝AC．求证：AE＝EF．16．如图1，AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝α，AD、BE相交于点M，连接CM．（1）求证：BE＝AD；（2）用含α的式子表示∠AMB的度数（直接写出结果）；（3）当α＝90°时，取AD，BE的中点分别为点P、Q，连接CP，CQ，PQ，如图2，判断△CPQ的形状，并加以证明．1．（2023•甘孜州）如图，AB与CD相交于点O，AC∥BD，只添加一个条件，能判定△AOC≌△BOD的是（）A．∠A＝∠D B．AO＝BO C．AC＝BO D．AB＝CD2．（2023•北京）如图，点A，B，C在同一条直线上，点B在点A，C之间，点D，E在直线AC同侧，AB ＜BC，∠A＝∠C＝90°，△EAB≌△BCD，连接DE．设AB＝a，BC＝b，DE＝c，给出下面三个结论：①a+b＜c；②a+b＞；③（a+b）＞c．上述结论中，所有正确结论的序号是（）A．①②B．①③C．②③D．①②③3．（2022•黑龙江）如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，OA＝OC，请你添加一个条件，使△AOB≌△COD．4．（2023•成都）如图，已知△ABC≌△DEF，点B，E，C，F依次在同一条直线上．若BC＝8，CE＝5，则CF的长为．5．（2023•重庆）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D为BC上一点，连接AD．过点B 作BE⊥AD于点E，过点C作CF⊥AD交AD的延长线于点F．若BE＝4，CF＝1，则EF的长度为3．6．（2023•南通）如图，四边形ABCD的两条对角线AC，BD互相垂直，AC＝4，BD＝6，则AD+BC的最小值是．7．（2023•淮安）已知：如图，点D为线段BC上一点，BD＝AC，∠E＝∠ABC，DE∥AC．求证：DE＝B C．8．（2023•吉林）如图，点C在线段BD上，△ABC和△DEC中，∠A＝∠D，AB＝DE，∠B＝∠E．求证：AC＝DC．9．（2022•兰州）如图1是小军制作的燕子风筝，燕子风筝的骨架图如图2所示，AB＝AE，AC＝AD，∠B AD＝∠EAC，∠C＝50°，求∠D的大小．10．（2022•安顺）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝1，D是BC边上的一点，以AD为直角边作等腰Rt△ADE，其中∠DAE＝90°，连接CE．（1）求证：△ABD≌△ACE；（2）若∠BAD＝22.5°时，求BD的长．。

专题16 直角三角形聚焦考点☆温习理解一、直角三角形1.定义有一个角是直角的三角形叫作直角三角形2.性质（1）直角三角形两锐角互余.（2）在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半；（3）在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半.3.判定（1）两个内角互余的三角形是直角三角形.（2）三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形.二、勾股定理及逆定理1. 勾股定理：直角三角形的两条直角边a、b的平方和等于斜边c的平方，即：a2+b2=c2;2. 勾股定理的逆定理如果三角形的三条边a、b、c有关系：a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形.三、直角三角形全等的判定：对于特殊的直角三角形，判定它们全等时，除了有一般三角形全等的判定方法，还有HL定理（斜边、直角边定理）：有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可简写成“斜边、直角边”或“HL”）四、互逆命题、互逆定理1.互逆命题如果一个命题的题设和结论是另一个命题的结论和题设，我们把风这两个命题叫做互逆命题.把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题.2.互逆定理若一个定理的逆命题是正确的，那么它就是这个定理的逆定理，称这两个定理为互逆定理.名师点睛☆典例分类考点典例一、直角三角形的判定【例1】（2016湖北鄂州第15题）如图，AB＝6，O是AB的中点，直线l经过点O，∠1＝120°，P是直线l上一点。

当△APB为直角三角形时，AP＝ .【答案】3或33或37.【解析】考点：分类讨论思想.【举一反三】下列四组线段中，可以构成直角三角形的是( )A．4,5,6 B．1.5,2，2.5 C．2,3,4 D．1，3【答案】B．【解析】考点：勾股定理的逆定理．考点典例二、直角三角形的性质【例2】（2016湖北随州第13题）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，M、N分别是AB、AC的中点，延长BC至点D，使CD=BD，连接DM、DN、MN．若AB=6，则DN= ．【答案】3．【解析】考点：三角形中位线定理；直角三角形斜边上的中线；平行四边形的判定与性质．【举一反三】1.（2016贵州铜仁第9题）如图，已知∠AOB=30°，P是∠AOB平分线上一点，CP∥OB，交OA于点C，PD ⊥OB，垂足为点D，且PC=4，则PD等于（）A． 1 B． 2 C． 4 D． 8【答案】B．【解析】试题分析：过点P作PE⊥OA于点E，∵OP是∠AOB的平分线，∴PE=PD．∵PC∥OB，∴∠POD=∠OPC，∴∠PCE=∠POC+∠OPC=∠POC+∠POD=∠AOB=30°，∴PE=12PC=2，∴PD=2．故选B．考点：角平分线的性质；含30度角的直角三角形．考点典例三、直角三角形斜边上的中线【例3】（2016辽宁葫芦岛第9题）如图，在△ABC中，点D，E分别是边AB，AC的中点，AF⊥BC，垂足为点F，∠ADE=30°，DF=4，则BF的长为（）D．A．4 B．8 C．【答案】D．【解析】考点：三角形中位线定理；直角三角形斜边上的中线．【点睛】本题主要考查了三角形的中位线定理及直角三角形斜边上的中线的性质，解题的关键是据图找出规律．【举一反三】（2016四川达州第9题）如图，在△ABC中，BF平分∠ABC，AF⊥BF于点F，D为AB的中点，连接DF延长交AC于点E．若AB=10，BC=16，则线段EF的长为（）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B.【解析】考点：直角三角形斜边上的中线；平行线的判定；相似三角形的判定与性质．考点典例四、命题【例4】（2016年福建龙岩第4题）下列命题是假命题的是（）A．若|a|=|b|，则a=bB．两直线平行，同位角相等C．对顶角相等D．若b2﹣4ac＞0，则方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个不等的实数根【答案】A.【解析】试题分析：选项A：若a=1，b=-1，则|a|=|b|，但a≠b，此命题为假命题；选项B：两直线平行，同位角相等是真命题；选项C：对顶角相等是真命题；选项D：若b2﹣4ac＞0，则方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个不等的实数根是真命题.故选A.考点：命题与定理.【点睛】本题考查了命题与定理的有关问题，对于假命题举出反例证明即可.．【举一反三】（2016内蒙古包头第10题）已知下列命题：①若a＞b，则a2＞b2；②若a＞1，则（a﹣1）0=1；③两个全等的三角形的面积相等；④四条边相等的四边形是菱形．其中原命题与逆命题均为真命题的个数是（）A．4个 B．3个 C．2个 D．1个【答案】D．【解析】试题分析：①当a=0，b=﹣1时，a2＜b2，所以命题“若a＞b，则a2＞b2”为假命题，其逆命题为若a2＞b2；，则a＞b“，此逆命题也是假命题，如a=﹣2，b=﹣1；②若a＞1，则（a﹣1）0=1，此命题为真命题，它的逆命题为：若（a﹣1）0=1，则a＞1，此逆命题为假命题，因为（a﹣1）0=1，则a≠1；③两个全等的三角形的④面积相等，此命题为真命题，它的逆命题为面积相等的三角形全等，此逆命题为假命题；四条边相等的四边形是菱形，这个命题为真命题，它的逆命题为菱形的四条边相等，此逆命题为真命题．故答案选D．考点：命题与定理．课时作业☆能力提升一、选择题1.（2016贵州铜仁第6题）下列命题为真命题的是（）A．有公共顶点的两个角是对顶角B ．多项式34x x -因式分解的结果是2(4)x x - C ．2a a a +=D ．一元二次方程220x x -+=无实数根【答案】D ．【解析】考点：命题与定理．2. （2016湖南岳阳第7题）下列说法错误的是（ ）A ．角平分线上的点到角的两边的距离相等B ．直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半C ．菱形的对角线相等D ．平行四边形是中心对称图形【答案】C.【解析】考点：中心对称图形；角平分线的性质；直角三角形斜边上的中线；菱形的性质．3. （2016黑龙江绥化第6题）如图，小雅家（图中点O 处）门前有一条东西走向的公路，经测得有一水塔（图中点A 处）在距她家北偏东60°方向的500米处，那么水塔所在的位置到公路的距离AB 是（ ）A．250米B．C米D．米【答案】A．【解析】试题分析：由题意∠AOB=90°﹣60°=30°，OA=500，∵AB⊥OB，∴∠ABO=90°，∴AB=12AO=250米．故选A．考点：解直角三角形的应用-方向角问题．4.（2016四川南充第7题）如图，在Rt△ABC中，∠A=30°，BC=1，点D，E分别是直角边BC，AC的中点，则DE的长为（）A．1 B．2 C D．【答案】A．【解析】试题分析：如图，∵在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，∴AB=2BC=2．又∵点D、E分别是A C．BC的中点，∴DE是△ACB的中位线，∴DE=12AB=1．故选A．考点：三角形中位线定理；含30度角的直角三角形．5.（2016广东广州第7题）如图2，已知三角形ABC,AB=10,AC=8,BC=6,DE是AC的垂直平分线，DE交AB 于D，连接CD，CD＝( )A、3B、4C、4.8D、5图2A【答案】D.【解析】考点：勾股定理及逆定理;中位线定理;中垂线的性质.二、填空题6. （2016黑龙江哈尔滨第17题）在等腰直角三角形ABC 中，∠ACB=90°，AC=3，点P 为边BC 的三等分点，连接AP ，则AP 的长为 ． 【答案】13或10.【解析】试题分析：①如图1，∵∠ACB=90°，AC=BC=3，∵PB=31BC=1，∴CP=2，∴1322=+=PC AC AP ， ②如图2，∵∠ACB=90°，AC=BC=3，∵PC=31BC=1，∴1022=+=PC AC AP ，AP 的长为13或10.考点：1分类思想；2等腰直角三角形.7. （2016湖北武汉第16题）如图，在四边形ABCD 中，∠ABC ＝90°，AB ＝3，BC ＝4，CD ＝10，DA＝55，则BD的长为_______．【答案】【解析】考点：相似三角形判定及性质；勾股定理.8.在△ABC中，∠B=30°，AB=12，AC=6，则BC= ．【答案】【解析】试题分析：∵∠B=30°，AB=12，AC=6，∴△ABC是直角三角形，∴BC=故答案为：考点：1．含30度角的直角三角形；2．勾股定理．9.如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=3，AC=5，点E在BC上，将△ABC沿AE折叠，使点B落在AC边上的点B′处，则BE的长为．【答案】32．【解析】考点：1. 折叠的性质；2.勾股定理；3.方程思想的应用.10. （2016福建莆田第16题）魏朝时期，刘徽利用下图通过“以盈补虚，出入相补”的方法，即“勾自乘为朱方，股自乘为青方，令出入相补，各从其类”，证明了勾股定理．若图中BF＝1，CF＝2，则AE的长为__________．【答案】【解析】考点：勾股定理；相似三角形的判定与性质．11.（2016福建泉州第14题）如图，在Rt△ABC中，E是斜边AB的中点，若AB=10，则CE= ．【答案】5．【解析】1AB=5.试题分析：根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可得CE=2考点：直角三角形斜边上的中线．三、解答题12.（2016贵州贵阳第18题）（10分）如图，点E正方形ABCD外一点，点F是线段AE上一点，△EBF是等腰直角三角形，其中∠EBF=90°，连接CE、CF．（1）求证：△ABF≌△CBE；（2）判断△CEF的形状，并说明理由．【答案】（1）证明见解析；（2）△CEF是直角三角形．【解析】考点：正方形的性质；全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形．13. (2016湖北襄阳第19题)(本小题满分6分)如图，在△ABC 中．AD 平分∠BAC ，且BD =CD ，DE ⊥AB 于点E ，DF ⊥AC 于点F ．(1)求证：AB =AC ；(2)若AD =23，∠DAC =30°，求AC 的长．【答案】（1）详见解析；（2）4.【解析】试题分析：(1)根据角平分线的性质可得DE=DF ，再根据HL 证明CDF Rt BDE Rt ∆≅∆；根据全等三角形的性质可得C B ∠=∠，即可证得AB=AC ；（2）根据等腰三角形三线合一的性质可得BC AD ⊥，在Rt ∆ADC 中，AD=23，∠DAC=30°，即可求得AC 的长．试题解析：(1)证明：∵AD 平分∠BAC ，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，∴DE=DF.,CDF Rt BDE Rt CD BD ∆≅∆∴=..AC AB C B =∴∠=∠∴.,,)2(BC AD CD BD AC AB ⊥∴==在Rt ∆ADC 中，.430cos ,32,30==∴==∠ AD AC AD DAC 考点：角平分线的性质；全等三角形的判定及性质；直角三角形的性质.14.如图，在等边三角形ABC 中，点D ，E 分别在边BC ，AC 上，且DE∥AB，过点E 作EF⊥DE，交BC 的延长线于点F.（1）求∠F 的度数；（2）若CD=2，求DF 的长.【答案】（1）30°；（2）4.【解析】（2）∵∠ACB=60°，∠EDC=60°，∴△EDC 是等边三角形．∴ED=DC=2.∵∠DEF=90°，∠F=30°，∴DF=2DE=4．考点：1.等边三角形的判定与性质；2.平行的性质；3.含30度角的直角三角形的性质．。

三角形中考知识点关键信息项：1、三角形的定义与分类定义：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。

分类：按角分类（锐角三角形、直角三角形、钝角三角形）；按边分类（等边三角形、等腰三角形、不等边三角形）2、三角形的三边关系三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。

3、三角形的内角和定理三角形三个内角的和等于 180°。

4、三角形的外角性质三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和。

三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角。

5、三角形的中线、高线、角平分线中线：连接三角形一个顶点和它对边中点的线段叫做三角形的中线。

高线：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线。

角平分线：三角形一个内角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线。

6、全等三角形的性质与判定性质：全等三角形的对应边相等、对应角相等。

判定：SSS（边边边）、SAS（边角边）、ASA（角边角）、AAS （角角边）、HL（斜边、直角边）7、相似三角形的性质与判定性质：相似三角形的对应边成比例，对应角相等；相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方。

判定：两角对应相等的两个三角形相似；两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似；三边对应成比例的两个三角形相似。

11 三角形的定义与分类三角形是由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的封闭图形。

三角形具有稳定性，这一特性在生活中有广泛的应用，如建筑结构、桥梁设计等。

三角形按角分类可分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形。

锐角三角形的三个内角都小于 90°；直角三角形有一个内角等于 90°；钝角三角形有一个内角大于 90°小于 180°。

按边分类可分为等边三角形、等腰三角形和不等边三角形。

等边三角形的三条边都相等；等腰三角形有两条边相等；不等边三角形的三条边都不相等。

第15讲一般三角形及其性质镇海中学陈志海一、知识清单梳理中位线 平行于第三边，且等于第三边的一半5. 三角形中内、外角与角平分线的规律总结如图①，AD 平分∠BAC ，AE ⊥BC ，则∠α=12∠BAC-∠CAE=12(180°-∠B-∠C ）-（90°-∠C ）=12(∠C-∠B ）； 如图②，BO 、CO 分别是∠ABC 、∠ACB 的平分线，则有∠O=12∠A+90°；如图③，BO 、CO 分别为∠ABC 、∠ACD 、∠OCD 的平分线，则∠O=12∠A ，∠O ’=12∠O ；如图④，BO 、CO 分别为∠CBD 、∠BCE 的平分线，则∠O=90°-12∠A.对于解答选择、填空题，可以直接通过结论解题，会起到事半功倍的效果.知识点二 ：三角形全等的性质与判定6.全等三角形的性质(1)全等三角形的对应边、对应角相等．(2)全等三形的对应角平分线、对应中线、对应高相等． (3)全等三角形的周长等、面积等．失分点警示：运用全等三角形的性质时，要注意找准对应边与对应角.7.三角形全等的判定一般三角形全等SSS （三边对应相等）SAS （两边和它们的夹角对应相等）ASA （两和它们的夹角对应相等AAS （两角和其中一个角的对边对应相等）失分点警示 如图，SSA 和AAA 不能判定两个三角形全等.直角三角形全等(1)斜边和一条直角边对应相等（HL ） (2)证明两个直角三角形全等同样可以用 SAS,ASA 和AAS. 8.全等三（1）利用全等证明角、边相等或求线段长、求角度：将特征的或例：角形的运用角放到两个全等的三角形中，通过证明全等得到结论.在寻求全等的条件时，注意公共角、公共边、对顶角等银行条件.（2）全等三角形中的辅助线的作法：①直接连接法：如图①，连接公共边，构造全等.②倍长中线法：用于证明线段的不等关系，如图②，由SAS可得△ACD≌△EBD，则AC=BE.在△ABE中，AB+BE＞AE，即AB+AC＞2AD.③截长补短法：适合证明线段的和差关系，如图③、④.如图，在△ABC中，已知∠1=∠2，BE=CD，AB=5，AE=2，则CE=3.【素材积累】1、走近一看，我立刻被这美丽的荷花吸引住了，一片片绿油油的荷叶层层叠叠地挤摘水面上，是我不由得想起杨万里接天莲叶无穷碧这一句诗。

相似三角形一. 知识梳理1.平行线分线段成比例定理定理：两条直线被三条平行线所截，所得的对应线段成比例。

推论：平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)，所得的对应线段成比例。

2.相似三角形定义：三角对应相等、三边对应成比例的两个三角形叫做相似三角形。

相似比：相似三角形对应边的比叫做相似比。

3.相似三角形的判定平行法：平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所得的三角形与原三角形相似。

两角法：两角分别相等的两个三角形相似。

边角法：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似。

三边法：三边对应成比例的两个三角形相似。

4.相似三角形的性质①相似三角形的对应角相等，对应边成比例；②相似三角形对应边上高的比，对应边上中线的比与对应角平分线的比都等于相似比；③相似三角形周长的比等于相似比；④相似三角形面积的比等于相似比的平方。

5.位似图形定义：如果两个图形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心。

这时的相似比又叫位似比6. 黄金分割：点C 把线段AB 分成两条线段AC 和BC,如果ACBC AB AC =,那么称线段AB 被点C 黄金分割,点C 叫做线段AB 的黄金分割点,AC 与AB 的比叫做黄金比. 1:618.0215:≈-=AB AC 二.课后作业1.下列图形中不一定属于相似形的是( )A.两个圆B.两个等边三角形C.两个正方形D.两个矩形2.如果两个相似三角形的面积比是1∶4，那么它们的周长比是( )A. 1∶16B. 1∶4C. 1∶6D. 1∶23.已知△ABC ∽△DEF ，且AB:DE=1:2，则△ABC 的周长与△DEF 的周长之比( )A.1:2B.1:4C.2:1D.4:14.如图，给出下列条件：其中，不能单独判定△ABC∽△ACD 的条件为( )A.∠B＝∠ACDB.∠ADC＝∠ACBC.AC CD ＝AB BCD.AC AD ＝AB AC5.如图，DE ∥BC ，且AD=2，BD=5，则△ADE 与△ABC 的相似比为( )A.2:5B.5:2C.2:7D.7:26.如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，AD=2，AE=3，BD=4，则AC=( ) A.7 B.8 C.9 D.10 E A D CB A BC DE7.已知△ABC ∽△DEF ，且它们的周长之比为1:2，那么它们的相似比为 。

中考三角形知识点总结一、三角形的概念与分类。

1. 概念。

- 由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。

- 三角形有三个顶点、三条边和三个内角。

2. 分类。

- 按角分类。

- 锐角三角形：三个角都是锐角的三角形。

- 直角三角形：有一个角是直角的三角形。

直角三角形可以用“Rt△”表示，直角所对的边称为斜边，其余两条边称为直角边。

- 钝角三角形：有一个角是钝角的三角形。

- 按边分类。

- 不等边三角形：三边都不相等的三角形。

- 等腰三角形：有两边相等的三角形。

相等的两边叫做腰，另一边叫做底边；两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角。

- 等边三角形：三边都相等的三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形，它的三个角都相等，且每个角都是60°。

二、三角形的性质。

1. 三角形内角和定理。

- 三角形的内角和为180°。

- 直角三角形的两个锐角互余。

2. 三角形的外角性质。

- 三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和。

- 三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角。

3. 三角形的三边关系。

- 三角形任意两边之和大于第三边。

- 三角形任意两边之差小于第三边。

4. 等腰三角形的性质。

- 等腰三角形的两腰相等。

- 等腰三角形的两底角相等（简称为“等边对等角”）。

- 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合（简称为“三线合一”）。

5. 等边三角形的性质。

- 等边三角形的三条边相等。

- 等边三角形的三个角都相等，并且每个角都是60°。

三、三角形中的重要线段。

1. 中线。

- 连接三角形一个顶点和它对边中点的线段叫做三角形的中线。

- 三角形的三条中线相交于一点，这点叫做三角形的重心。

重心到顶点的距离是它到对边中点距离的2倍。

2. 角平分线。

- 三角形一个内角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线。

- 三角形的三条角平分线相交于一点，这点到三角形三边的距离相等。

中考数学三角形知识点总结归纳提高学习效率并非一朝一夕之事,需要长期的探索和积累，前人的经验是可以借鉴的,但必须充分结合自己的特点。

下面是小编为大家整理的关于中考数学三角形知识点总结，希望对您有所帮助!初中数学三角形知识点总结一、三角形的有关概念1.三角形：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接组成的图形叫三角形。

三角形的特征：①不在同一直线上;②三条线段;③首尾顺次相接;④三角形具有稳定性。

2.三角形中的三条重要线段：角平分线、中线、高(1)角平分线：三角形的一个内角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线。

(2)中线：在三角形中，连接一个顶点和它的对边中点的线段叫做三角形的中线。

(3)高：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角形的高。

说明：①三角形的角平分线、中线、高都是线段;②三角形的角平分线、中线都在三角形内部且都交于一点;三角形的高可能在三角形的内部(锐角三角形)、外部(钝角三角形)，也可能在边上(直角三角形)，它们(或延长线)相交于一点。

二、等腰三角形的性质和判定(1)性质1.等腰三角形的两个底角相等(简写成"等边对等角")。

2.等腰三角形的顶角的平分线，底边上的中线，底边上的高重合(简写成"等腰三角形的三线合一")。

3.等腰三角形的两底角的平分线相等(两条腰上的中线相等，两条腰上的高相等)。

4.等腰三角形底边上的垂直平分线到两条腰的距离相等。

5.等腰三角形的一腰上的高与底边的夹角等于顶角的一半。

6.等腰三角形底边上任意一点到两腰距离之和等于一腰上的高(需用等面积法证明)。

7.等腰三角形是轴对称图形，只有一条对称轴，顶角平分线所在的直线是它的对称轴，等边三角形有三条对称轴。

(2)判定在同一三角形中，有两条边相等的三角形是等腰三角形(定义)。

在同一三角形中，有两个角相等的三角形是等腰三角形(简称：等角对等边)。

中考解直角三角形知识点整理复习解直角三角形知识点复习一、定义直角三角形是指其中一个角是直角的三角形。

直角指的是一个角度为90°的角。

二、性质1.直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方，即勾股定理。

设直角三角形的两条直角边分别为a和b，斜边为c，则有a^2+b^2=c^22.直角三角形的斜边是两个直角边中最长的边，而且直角三角形中的直角边是两个锐角的对边。

3.直角三角形中的两个锐角互余。

4.在直角三角形中，两个锐角的正弦、余弦和正切值互为倒数。

三、特殊直角三角形1.等腰直角三角形：定义：顶角为90°的等腰三角形。

性质：两个直角边相等，斜边为直角边的根号2倍。

2.30°-60°-90°直角三角形：定义：一个锐角为30°，一个锐角为60°的直角三角形。

性质：-斜边是短直角边的2倍；-长直角边是短直角边的根号3倍；-高（垂直于短直角边的线段）是短直角边的根号3倍的一半。

3.45°-45°-90°直角三角形：定义：两个锐角都为45°的直角三角形。

性质：-斜边是任意一个直角边的根号2倍；-高（垂直于底边的线段）是底边的一半。

四、解直角三角形问题的步骤1.已知两条边，求第三条边。

a)如果已知两条直角边a和b，可以直接使用勾股定理求解斜边c：c=√(a^2+b^2)。

b)如果已知一条直角边a和斜边c，可以使用勾股定理求解另一条直角边b：b=√(c^2-a^2)。

2.已知一条直角边和一个锐角，求另一条直角边和斜边。

a) 如果已知一条直角边a和一个锐角θ，可以求出另一条直角边b：b = a * tanθ。

b)如果已知一条直角边a和斜边c，可以求出另一条直角边b：b=√(c^2-a^2)。

c) 如果已知一条直角边a和一个锐角θ，可以求出斜边c：c = a / cosθ。

3.已知两条直角边之间的比例，求两个直角边和斜边的长度。

考点十、三角形1、三角形的概念由 所组成的图形叫做三角形。

组成三角形的线段叫做三角形的边；相邻两边的公共端点叫做三角形的顶点；相邻两边所组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角。

2、三角形中的主要线段（1）三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交， 的线段叫做三角形的角平分线。

（2）在三角形中， 的线段叫做三角形的中线。

（3）从三角形一个顶点向它的对边做垂线， 的线段叫做三角形的高线（简称三角形的高）。

3、三角形的稳定性三角形的形状是固定的，三角形的这个性质叫做三角形的稳定性。

三角形的这个性质在生产生活中应用很广，需要稳定的东西一般都制成三角形的形状。

4、三角形的特性与表示：三角形有下面三个特性：（1）三角形有三条线段（2）三条线段不在同一直线上 三角形是封闭图形 （3）首尾顺次相接三角形用符号“∆”表示，顶点是A 、B 、C 的三角形记作“∆ABC”，读作“三角形ABC”。

5、三角形的分类三角形按边的关系分类如下：三角形按角的关系分类如下：把边和角联系在一起，我们又有一种特殊的三角形：等腰直角三角形。

它是两条直角边相等的直角三角形。

6、三角形的三边关系定理及推论（1）三角形三边关系定理：三角形的两边之和 第三边。

推论：三角形的两边之差 第三边。

（2）三角形三边关系定理及推论的作用：①判断三条已知线段能否组成三角形②当已知两边时，可确定第三边的范围。

③证明线段不等关系。

7、三角形的内角和定理及推论三角形的内角和定理：三角形三个内角和等于 。

推论：①直角三角形的两个锐角 。

②三角形的一个外角 和它不相邻的来两个内角的和。

③三角形的一个外角 任何一个和它不相邻的内角。

不等边三角形三角形 底和腰不相等的等腰三角形等腰三角形等边三角形直角三角形（有一个角为直角的三角形）三角形 锐角三角形（三个角都是锐角的三角形）斜三角形钝角三角形（有一个角为钝角的三角形）注：在同一个三角形中：等角对等边；等边对等角；大角对大边；大边对大角。