初中数学最新版《利用一元二次方程解决营销问题及平均变化率问题2》精品导学案(2022年版)

第2课时 利用一元二次方程解决营销问题及平均变化率问题教学目标：知识技能目标通过探索，学会解决有关营销的问题和平均比变化率的问题.过程性目标经历探索过程，培养合作学习的意识，体会数学与实际生活的联系.情感态度目标 通过合作交流进一步感知方程的应用价值，培养学生的创新意识和实践能力，通过交流互动，逐步培养合作的意识及严谨的治学精神.重点和难点：重点：列一元二次方程解决实际问.难点：寻找实际问题中的相等关系.教学过程：一、创设情境 我们经常从电视新闻中听到或看到有关增长率的问，例如今年我市人均收入Q 元，比去年同期增长x %；环境污染比去年降低y %；某厂预计两年后使生产总值翻一番……由此我们可以看出，增长率问题无处不在，无时不有，这节课我们就一起来探索增长率问．二、探究归纳例1 阳江市市政府考虑在两年后实现市财政净收入翻一番，那么这两年中财政净收入的平均年增长率应为多少？分析 翻一番，即为原净收入的2倍.若设原值为1，那么两年后的值就是2．解 设原值为1，平均年增长率为x ,则根据题意得2)1(12=+⨯x解这个方程得 12,1221--=-=x x ． 因为122--=x 不合意舍去，所以%4.4112≈-=x ．答 这两年的平均增长率约为41.4%．探索 若调整计划，两年后的财政净收入值为原值的1.5倍、1.2倍、…，那么两年中的平均年增长率相应地调整为多少？又若第二年的增长率为第一年的2倍，那么第一年的增长率为多少时可以实现市财政净收入翻一番？归纳：平均增长率（或平均减少率）问题：原数（1 ＋ 平均增长率）n= 。

（n 为相距时间）原数（1 － 平均减少率）n = 。

例２、某商店经销一种销售成本为每千克40元的水产品，椐市场分析，若按每千克50元销售，一个月能售出500千克；销售单价每涨1元，月销售量就减少10千克。

针对这种水产品的销售情况，要使月销售利润达到8000元，销售单价应定为多少？（月销售利润＝月销售量×销售单价－月销售成本．）课堂练习1.某工厂准备在两年内使产值翻一番，求平均每年增长的百分率．（精确到0.1%）2、某种服装，平均每天可销售20件，若每件降价1元，则每天可多售5件。

第2课时营销问题及平均变化率问题与一元二次方程1.会用列一元二次方程的方法解决营销问题及平均变化率问题；（重点、难点）2.进一步培养学生化实际问题为数学问题的能力和分析问题解决问题的能力，培养学生应用数学的意识.一、情景导入某商场礼品柜台春节期间购进大量贺年卡，一种贺年卡平均每天可售出500张，每张盈利0.3元，为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，调查发现，如果这种贺年卡的售价每降低0.1元，那么商场平均每天可多售出100张，商场要想平均每天盈利120元，每张贺年卡应降价多少元？二、合作探究探究点一：利用一元二次方程解决营销问题某超市将进价为40元的商品按定价50元出售时，能卖500件.已知该商品每涨价1元，销售量就会减少10件，为获得8000元的利润，且尽量减少库存，售价应为多少？解析：销售利润＝（每件售价－每件进价）×销售件数，若设每件涨价x元，则售价为（50＋x）元，销售量为（500－10x）件，根据等量关系列方程即可.解：设每件商品涨价x元，根据题意，得（50＋x－40）（500－10x）＝8000，即x2－40xx1＝10，x2＝30.经检验，x1＝10，x2＝30都是原方程的解.当x＝10时，售价为10＋50＝60（元），销售量为500－10×10＝400（件）.当x＝30时，售价为30＋50＝80（元），销售量为500－10×30＝200（件）.∵要尽量减少库存，∴售价应为60元.方法总结：理解商品销售量与商品价格的关系是解答本题的关键，另外，“尽量减少库存”不能忽视，它是取舍答案的一个重要依据.探究点二：利用一元二次方程解决平均变化率问题某商场今年1月份的销售额为60万元，2月份的销售额下降10%，改进经营管理后月销售额大幅度上升，到4月份销售额已达到121.5万元，求3，4月份销售额的月平均增长率.解析：设3，4月份销售额的月平均增长率为x ，那么2月份的销售额为60（1－10%）万元，3月份的销售额为60（1－10%）（1＋x ）万元，4月份的销售额为60（1－10%）（1＋x ）2万元.解：设3，4月份销售额的月平均增长率为x .根据题意，得60（1－10%）（1＋x ）2＝121.5，则（1＋x ）2＝2.25，解得x 1＝0.5，x 2＝－2.5（不合题意，舍去）.所以，3，4月份销售额的月平均增长率为50%.方法总结：a ，变化后的量为b ，平均每年的增长率（或降低率）为x ，则两年后的值为a （1±x ）2.由此列出方程a （1±x ）2＝b ，求出所需要的量.三、板书设计营销问题及平均变化率⎩⎪⎨⎪⎧营销问题平均变化率问题经历将实际问题抽象为代数问题的过程，探索问题中的数量关系，并能运用一元二次方程对之进行描述.通过用一元二次方程解决身边的问题，体会数学知识应用的价值，提高学生学习数学的兴趣.第2课时 代数式的求值知识技能目标1．了解代数式的值的概念；2．会求代数式的值．过程性目标1．经历求代数式的值的过程，初步体会到数学中抽象概括的思维方法和事物的特殊性与一般性可以相互转化的辩证关系；2．探索代数式求值的一般方法．教学过程一．创设情境现在，我们请四位同学来做一个传数游戏．游戏规则：第一位同学任意报一个数给第二位同学，第二位同学把这个数加上1传给第三位同学，第三位同学再把听到的数平方后传给第四位同学，第四位同学把听到的数减去1报出答案．活动过程：四位同学站到台前，面向全体学生，再请一位同学担任裁判，面向这四位同学．教师站到黑板前，当听到第一位同学报出数字时马上在黑板上写出答案，然后判断和第四位同学报出的数是否一致（可试3～4个数）．师：为什么老师会很快地写出答案呢（根据学生的回答，教师启发学生归纳出计算的代数式：(x＋1)2－1）？二．探究归纳１．引导学生得出游戏过程实际是一个计算程序（如下图）：当第一个同学报出一个数时，老师就是在用这个具体的数代替了代数式(x ＋1)2－1中的字母x，把答案很快地算了出来．掌握了这个规律，我们每位同学只要知道第一位同学报出的数都可以很快的得出游戏的结果．2．代数式的值的概念像这样，用数值代替代数式里的字母，按照代数式中的运算关系计算得出的结果称为代数式的值（value of algebraic expression）．通过上面的游戏，我们知道，同一个代数式，由于字母的取值不同，代数式的值会有变化．三．实践应用例1当a＝2，b＝－1，c ＝－3时，求下列各代数式的值：（1）b2－4ac;（2）a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ac;（3）(a＋b＋c)2．解（1）当a＝2，b ＝－1，c＝－3时，b2－4ac＝(－1)2－4×2×(－3)＝1＋24＝25．（2）当a＝2，b＝－1，c＝－3时，a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ac＝22＋(－1)2＋(－3)2＋2×2×(－1)＋2×(－1)×(－3)＋2×2×(－3)＝4＋1＋9－4＋6－12＝4．（3）当a ＝2，b＝－1，c＝－3时，(a＋b＋c)2＝(2－1－3)2＝4．注：1．比较（2）、( 3 ) 两题的运算结果，你有什么想法？2．换a ＝3 , b＝－2 , c＝4 再试一试，检验你的猜想是否正确．3．对于这一猜想，我们通过学习，将来有能力证实它的正确性．例2某企业去年的年产值为a亿元，今年比去年增长了10% ．如果明年还能按这个速度增长，请你预测一下该企业明年的年产值将达到多少亿元？如果去年的年产值是2亿元，那么预计明年的年产值是多少亿元？解由题意可得，今年的年产值为a·(1＋10%) 亿元，于是明年的年产值为a·(1＋10%)·(1＋10%)＝1．21a（亿元）．若去年的年产值为2亿元，则明年的年产值为1．21a＝1．21×2 ＝2．42（亿元）．答：该企业明年的年产值将能达到1．21a亿元．由去年的年产值是2亿元，可以预计明年的年产值是2．42亿元．例3当x＝－3时，多项式mx3＋nx－81的值是10，当x＝3时，求该代数式的值．解当x＝－3时，多项式mx3＋nx－81＝－27m－3n－81,此时－27m－3n－81＝10, 所以27m＋3n＝－91．则当x＝3，mx3＋nx－81＝( 27m＋3n )－81＝－91－81＝－172．注：本题采用了一种重要的数学思想——“整体思想”．即是考虑问题时不是着眼于他的局部特征，而是把注意力和着眼点放在问题的整体结构上，把一些彼此独立，但实质上又相互紧密联系着的量作为整体来处理的思想方法．练习1．按下图所示的程序计算，若开始输入的n值为2，则最后输入的结果是____________．2．根据下列各组x、y的值，分别求出代数式x2＋2xy+2y2 与x2－2xy+y2 的。

第2课时利用一元二次方程解决营销问题及平均变化率问题学习目标1、使学生会用列一元二次方程的方法解决有关商品的销售问题和平均变化率问题．2、进一步培养学生化实际问题为数学问题的能力和分析问题解决问题的能力，培养学生应用数学的意识。

学习重点：学会用列方程的方法解决有关商品的销售问题和平均变化率问题．学习难点：如何找出等量关系。

学习过程：一、预习尝试：某商场从厂家以每件21元的价格购进一批商品，若每件的售价为a元，则可卖出（350—10a）件，商场计划要赚450元，则每件商品的售价为多少元？二、典型示例：例1、某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元。

为了扩大销售，增加盈利，商场决定采取适当的降价措施。

经调查发现，在一定范围内，衬衫的单价每降一元，商场平均每天可多售出2件。

如果商场通过销售这批衬衫每天要盈利1200元，衬衫的单价应降多少元？例2 为了绿化学校附近的荒山，某校初三年级学生连续三年春季上山植树，至今已成活了2000棵.已知这些学生在初一时种了400棵，若平均成活率95%，求这个年级每年植树数的平均增长率.（精确到0.1%）分析至今已成活2000棵，指的是连续三年春季上山植树的总和.解设这个年级每年植树数的平均增长率为x，则第二年种了400(1+x)棵；第三年种了400(1+x)2棵；三年一共种了400＋400(1+x)＋400(1+x)2棵；三年一共成活了[400＋400(1+x)＋400(1+x)2]×95％棵.根据题意列方程得[400＋400(1+x)＋400(1+x)2]×95％＝2000解这个方程得x1≈0.624=62.4%x2≈-3.624=-362.4%但x2=-362.4%不合意，舍去，所以x=62.4%．答这个年级每年植树数的平均增长率为62.4% .三、课堂小结：1．善于将实际问题转化为数学问题，严格审题，弄清各数据相互关系，正确布列方程．培养学生用数学的意识以及渗透转化和方程的思想方法．2．在解方程时，注意巧算；注意方程两根的取舍问题．分层训练：一、基础巩固1、某种商品原价是100元，经过两次提价后的价格是120元，求平均每次降价的百分率。

应用一元二次方程学习目标1、会通过分析问题中的等量关系，建立方程解决问题；2.能应用方程思想解决销售问题和平均变化率问题；（一）自主探究1.市政府为了解决市民看病难的问题，决定下调药品的价格。

某种药品经过连续两次降价后，由每盒200元下调至128元，这种药品平均每次降价的百分率是多少。

2.为落实国务院房地产调控政策，使“居者有其屋”，某市加快了廉租房的建设力度．2013年市政府共投资2亿元人民币建设了廉租房8万平方米，预计到2015年底三年共累计投资9.5亿元人民币建设廉租房，若在这两年内每年投资的增长率相同，求每年市政府投资的增长率。

3.请你仿照P54例2解决下列问题：某商场将进货价为30元的台灯以40元售出，平均每月能售出600个。

调查发现，售价在40元至60元范围内，这种台灯的售价每上涨1元，其销售量就将减少10个。

为了实现平均每月10000元的销售利润，这种台灯的售价应定为多少？这时应进台灯多少个？4.西瓜经营户以2元/千克的价格购进一批小型西瓜，以3元/千克的价格出售，每天可售出200千克．为了促销，该经营户决定降价销售．经调查发现，这种小型西瓜每降价0.1元/千克，每天可多售出40千克．另外，每天的房租等固定成本共24元．该经营户要想每天盈利200元，应将每千克小型西瓜的售价降低多少元?三、课堂小结：运用一元二次方程解决实际问题的一般步骤：1、审 2、设 3、列 4、解 5、验 6、答（二）合作探究某烘焙店生产的蛋糕礼盒分为六个档次,第一档次(即最低档次)的产品每天生产76件，每件利润10元。

调查表明：生产提高一个档次的蛋糕产品，该产品每件利润增加2元。

(1)若生产的某批次蛋糕每件利润为14元，此批次蛋糕属第几档次产品；(2)由于生产工序不同，蛋糕产品每提高一个档次，一天产量会减少4件。

若生产的某档次产品一天的总利润为1080元，该烘焙店生产的是第几档次的产品?（三）巩固训练1、某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经试销发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件，若商场平均每天要盈利1200元，每件衬衫应降价多少元？2.某公司投资新建了一商场,共有商铺30间,据预测,当每间的年租金定为10万元时,可全部租出.每间的年租金增加5000元,少租出商铺1间,该公司要为租出的商铺每间每年交各种费用1万元,未租出的商铺每间每年交5000元.（1）当每间商铺年租金定为13万元时,能租出多少间?（2）当每间商铺的年租金定为多少万元时,该公司的年收益（收益=租金—各种费用）为275万元?3.新新商场以16元/件的价格购进一批衬衫，根据市场调查，如果以20元/件的价格销售，每月可以售出200件；而这种衬衫的售价每上涨1元就少卖10件.现在商场经理希望销售该种衬衫月利润为1350元，而且，经理希望用于购进这批衬衫的资金不多于1500元，则该种衬衫该如何定价？此时该进货多少？4.某公司组织员工到附近的景点旅游,根据旅行社提供的收费方案,绘制了如图所示的图象,图中折线ABCD表示人均收费y(元)与参加旅游的人数x(人)之间的函数关系。

第2课时利用一元二次方程解决营销问题及平均变化率问题教学内容本节课主要学习建立一元二次方程的数学模型解决营销问题及平均变化率问题。

教学目标知识技能1.能根据具体问题中的数量关系，列出一元二次方程，体会方程是刻画现实世界的一个有效的数学模型．2.能根据具体问题的实际意义，检验结果是否合理．数学思考经历将实际问题抽象为代数问题的过程，探索问题中的数量关系，并能运用一元二次方程对之进行描述。

解决问题通过解决营销问题及平均变化率问题，学会将实际应用问题转化为数学问题，体验解决问题策略的多样性，发展实践应用意识．情感态度通过用一元二次方程解决身边的问题，体会数学知识应用的价值，提高学生学习数学的兴趣，了解数学对促进社会进步和发展人类理性精神的作用．重难点、关键重点：列一元二次方程解有关营销及平均变化率问题的应用题难点：发现问题中的等量关系关键：建立一元二次方程的数学模型教学准备教师准备：制作课件，精选习题学生准备：复习有关知识，预习本节课内容教学过程一、复习引入1．某农户的粮食产量，平均每年的增长率为x，第一年的产量为6万kg，•第二年的产量为_______kg，第三年的产量为_______，三年总产量为_______．2．某糖厂2002年食糖产量为at，如果在以后两年平均增长的百分率为x，•那么预计2004年的产量将是________．【活动方略】教师演示课件，给出题目．学生口答，老师点评。

【设计意图】复习基本的变化率问题，掌握其数量关系，为继续学习建立一元二次方程的数学模型解变化率问题作好铺垫．二、探索新知【问题情境】两年前生产1t甲种药品的成本是5000元，生产1t•乙种药品的成本是6000元，随着生产技术的进步，现在生产1t甲种药品的成本是3000元，生产1t•乙种药品的成本是3600元，哪种药品成本的年平均下降率较大?老师点评：绝对量：甲种药品成本的年平均下降额为（5000-3000）÷2=1000元，•乙种药品成本的年平均下降额为（6000-3000）÷2=1200元，显然，•乙种药品成本的年平均下降额较大．相对量：从上面的绝对量的大小能否说明相对量的大小呢?也就是能否说明乙种药品成本的年平均下降率大呢?下面我们通过计算来说明这个问题． 解：设甲种药品成本的年平均下降率为x ，则一年后甲种药品成本为5000（1-x ）元，两年后甲种药品成本为5000（1-x ）元． 依题意，得5000（1-x ）2=3000解得：x 1≈0.225，x 2≈1.775（不合题意，舍去） 设乙种药品成本的平均下降率为y ． 则：6000（1-y ）2=3600 整理，得：（1-y ）2 解得：y ≈答：两种药品成本的年平均下降率一样大．【思考】经过计算，你能得出什么结论？成本下降额较大的药品，它的下降率一定也较大吗？应怎样全面地比较几个对象的变化状态？ 【活动方略】学生分组、讨论解答。

《第2课时平均变化率与一元二次方程》教案【教学目标】1．掌握用“倍数关系”建立数学模型，并利用它解决一些具体问题．2．会解有关“增长率”及“销售”方面的实际问题．【教学过程】一、情境导入月季花每盆的盈利与每盆的株数有一定的关系．每盆植3株时，平均每株盈利4元；若每盆增加1株，平均每株盈利减少0.5元．要使每盆的盈利达到15元，每盆应多植多少株？二、合作探究探究点：用一元二次方程解决增长率问题【类型一】增长率问题某工厂一种产品2017年的产量是100万件，计划2019年产量达到121万件．假设2017年到2019年这种产品产量的年增长率相同．(1)求2017年到2019年这种产品产量的年增长率；(2)2018年这种产品的产量应达到多少万件？解析：(1)通过增长率公式列出一元二次方程即可求出增长率；(2)依据求得的增长率，代入2018年产量的表达式即可解决．解：(1)设这种产品产量的年增长率为x，根据题意列方程得100(1＋x)2＝121，解得x1＝0.1，x2＝－2.1(舍去)．答：这种产品产量的年增长率为10%.(2)100×(1＋10%)＝110(万件)．答：2018年这种产品的产量应达到110万件．方法总结：增长率问题中可以设基数为a，平均增长率为x，增长的次数为n，则增长后的结果为a(1＋x)n；而增长率为负数时，则降低后的结果为a(1－x)n.某工厂使用旧设备生产，每月生产收入是90万元，每月另需支付设备维护费5万元；从今年1月份起使用新设备，生产收入提高且无设备维护费，使用当月生产收入达100万元，1至3月份生产收入以相同的百分率逐月增长，累计达364万元，3月份后，每月生产收入稳定在3月份的水平．(1)求使用新设备后，2月、3月生产收入的月增长率；(2)购进新设备需一次性支付640万元，使用新设备几个月后，该厂所得累计利润不低于使用旧设备的累计利润？(累计利润是指累计生产收入减去旧设备维护费或新设备购进费)解析：(1)设2月，3月生产收入的月增长率为x，根据题意建立等量关系，即3个月之和为364万元，解方程时要对结果进行合理取舍；(2)根据题意，建立不等关系：前三个月的生产收入＋以后几个月的收入减去一次性支付640万元大于或等于旧设备几个月的生产收入－每个月的维护费，然后解不等式．解：(1)设2月，3月生产收入的月增长率为x，根据题意有100＋100(1＋x)＋100(1＋x)2＝364，即25x2＋75x－16＝0，解得，x＝－3.2(舍)，x2＝0.2，1所以2月，3月生产收入的月增长率为20%.(2)设m个月后，使用新设备所得累计利润不低于使用旧设备的累计利润，根据题意有364＋100(1＋20%)2(m－3)－640≥90m－5m，解得，m≥12.所以，使用新设备12个月后所得累计利润不低于使用旧设备的累计利润．方法总结：根据实际问题中的数量关系或是题目中给出的数量关系得到方程，通过解方程解决实际问题，当方程的解不只一个时，要根据题意及实际问题确定出符合题意的解．【类型二】利润问题一学校为了绿化校园环境，向某园林公司购买了一批树苗，园林公司规定：如果购买树苗不超过60棵，每棵售价为120元；如果购买树苗超过60棵，每增加1棵，所出售的这批树苗每棵售价均降低0.5元，但每棵树苗最低售价不得少于100元．该校最终向园林公司支付树苗款8800元．请问该校共购买了多少棵树苗？解析：根据条件设该校共购买了x棵树苗，根据“售价＝数量×单价”就可求解．解：∵60棵树苗售价为120元×60＝7200元<8800元，∴该校购买树苗超过60棵．设该校共购买了x棵树苗，由题意得x[120－0.5(x－60)]＝8800，解得x1＝220，x2＝80.当x1＝220时，120－0.5(220－60)＝40＜100，∴x1＝220不合题意，舍去；当x2＝80时，120－0.5(80－60)＝110＞100，∴x2＝80，∴x ＝80.答：该校共购买了80棵树苗．方法总结：根据实际问题中的数量关系或题目中给出的数量关系得到方程，当求出的方程的解不只一个时，要根据题意及实际问题确定出符合题意的解．【类型三】方案设计问题菜农李伟种植的某蔬菜计划以每千克5元的价格对外批发销售．由于部分菜农盲目扩大种植，造成该蔬菜滞销，李伟为了加快销售，减少损失，对价格经过两次下调后，以每千克3.2元的价格对外批发销售．(1)求平均每次下调的百分率；(2)小华准备到李伟处购买5吨该蔬菜，因数量多，李伟决定再给予两种优惠方案以供选择：方案一，打九折销售；方案二，不打折，每吨优惠现金200元．试问小华选择哪种方案更优惠？请说明理由．分析：第(1)小题设平均每次下调的百分率为x，列一元二次方程求出x，舍去不合题意的解；第(2)小题通过计算进行比较即可求解．解：(1)设平均每次下调的百分率为x，由题意，得5(1－x)2＝3.2，解得x1＝0.2＝20%，x2＝1.8(舍去)．∴平均每次下调的百分率为20%；(2)小华选择方案一购买更优惠，理由如下：方案一所需费用为：3.2×0.9×5000＝14400(元)；方案二所需费用为：3.2×5000－200×5＝15000(元)，∵14400＜15000，∴小华选择方案一购买更优惠．三、板书设计【教学反思】教学过程中，强调解决有关增长率及利润问题时，应考虑实际，对方程的根进行取舍.《第2课时平均变化率与一元二次方程》教案【教学内容】建立一元二次方程的数学模型，解决如何全面地比较几个对象的变化状况．【教学目标】掌握建立数学模型以解决如何全面地比较几个对象的变化状况的问题．复习一种对象变化状况的解题过程，引入两种或两种以上对象的变化状况的解题方法．【重难点关键】1．重点：如何全面地比较几个对象的变化状况．2．难点与关键：某些量的变化状况，不能衡量另外一些量的变化状况．教具、学具准备小黑板【教学过程】一、复习引入（学生活动）请同学们独立完成下面的题目．问题：某商场礼品柜台春节期间购进大量贺年卡，一种贺年卡平均每天可售出500张，每张盈利0.3元，为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，调查发现，如果这种贺年卡的售价每降低0.1元，那么商场平均每天可多售出100张，•商场要想平均每天盈利120元，每张贺年卡应降价多少元?老师点评：总利润=每件平均利润×总件数．设每张贺年卡应降价x 元，•则每件平均利润应是（0.3-x ）元，总件数应是（500+0.1x ×100） 解：设每张贺年卡应降价x 元则（0.3-x ）（500+1000.1x ）=120 解得：x=0.1答：每张贺年卡应降价0.1元．二、探索新知刚才，我们分析了一种贺年卡原来平均每天可售出500张，每张盈利0.3元，为了减少库存降价销售，并知每降价0.1元，便可多售出100元，为了达到某个目的，每张贺年卡应降价多少元?如果本题中有两种贺年卡或者两种其它东西，量与量之间又有怎样的关系呢?即绝对量与相对量之间的关系．例1．某商场礼品柜台春节期间购进甲、乙两种贺年卡，甲种贺年卡平均每天可售出500张，每张盈利0.3元，乙种贺年卡平均每天可售出200张，每张盈利0.75元，为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，调查发现，如果甲种贺年卡的售价每降价0.1元，那么商场平均每天可多售出100张；如果乙种贺年卡的售价每降价0.25元，•那么商场平均每天可多售出34•张．•如果商场要想每种贺年卡平均每天盈利120元，那么哪种贺年卡每张降价的绝对量大．分析：原来，两种贺年卡平均每天的盈利一样多，都是150元；0.30.751000.10.2534=≈，从这些数目看，•好象两种贺年卡每张降价的绝对量一样大，下面我们就通过解题来说明这个问题．解：（1）从“复习引入”中，我们可知，商场要想平均每天盈利120元，甲种贺年卡应降价0.1元．（2）乙种贺年卡：设每张乙种贺年卡应降价y 元，则：（0.75-y ）（200+0.25y ×34）=120 即（34-y ）（200+136y ）=120 整理：得68y 2+49y-15=0y=49268-±⨯ ∴y ≈-0.98（不符题意，应舍去）y ≈0.23元答：乙种贺年卡每张降价的绝对量大．因此，我们从以上一些绝对量的比较，不能说明其它绝对量或者相对量也有同样的变化规律．（学生活动）例2．两年前生产1t 甲种药品的成本是5000元，生产1t•乙种药品的成本是6000元，随着生产技术的进步，现在生产1t 甲种药品的成本是3000元，生产1t•乙种药品的成本是3600元，哪种药品成本的年平均下降率较大?老师点评：绝对量：甲种药品成本的年平均下降额为（5000-3000）÷2=1000元，•乙种药品成本的年平均下降额为（6000-3000）÷2=1200元，显然，•乙种药品成本的年平均下降额较大．相对量：从上面的绝对量的大小能否说明相对量的大小呢?也就是能否说明乙种药品成本的年平均下降率大呢?下面我们通过计算来说明这个问题．解：设甲种药品成本的年平均下降率为x ，则一年后甲种药品成本为5000（1-x ）元，两年后甲种药品成本为5000（1-x ）元．依题意，得5000（1-x ）2=3000解得：x 1≈0.225，x 2≈1.775（不合题意，舍去）设乙种药品成本的平均下降率为y ．则：6000（1-y ）2=3600整理，得：（1-y ）2=0.6解得：y ≈0.225答：两种药品成本的年平均下降率一样大．因此，虽然绝对量相差很多，但其相对量也可能相等．三、巩固练习新华商场销售甲、乙两种冰箱，甲种冰箱每台进货价为2500元，市场调研表明：当销售价为2900元时，平均每天能售出8台；而当销售价每降低50元时，平均每天就能多售出4台．乙种冰箱每台进货价为2000元，市场调研表明：当销售价为2500元时，•平均每天能售出8台；而当销售价每降低45元时，平均每天就能多售出4台，•商场要想使这两种冰箱的销售利润平均每天达到5000元，那么两种冰箱的定价应各是多少?四、应用拓展例3．某商店经销一种销售成本为每千克40元的水产品，•据市场分析，•若每千克50元销售，一个月能售出500kg，销售单价每涨1元，月销售量就减少10kg，针对这种水产品情况，请解答以下问题：（1）当销售单价定为每千克55元时，计算销售量和月销售利润．（2）设销售单价为每千克x元，月销售利润为y元，求y与x的关系式．（3）商品想在月销售成本不超过10000元的情况下，使得月销售利润达到8000元，销售单价应为多少?分析：（1）销售单价定为55元，比原来的销售价50元提高5元，因此，销售量就减少5×10kg．（2）销售利润y=（销售单价x-销售成本40）×销售量[500-10（x-50）]（3）月销售成本不超过10000元，那么销售量就不超过1000040=250kg，在这个提前下，•求月销售利润达到8000元，销售单价应为多少．解：（1）销售量：500-5×10=450（kg）；销售利润：450×（55-40）=450×15=6750元（2）y=（x-40）[500-10（x-50）]=-10x2+1400x-40000（3）由于水产品不超过10000÷40=250kg，定价为x元，则（x-400）[500-10（x-50）]=8000解得：x1=80，x2=60当x1=80时，进货500-10（80-50）=200kg<250kg，满足题意．当x2=60时，进货500-10（60-50）=400kg>250kg，（舍去）．五、归纳小结本节课应掌握：建立多种一元二次方程的数学建模以解决如何全面地比较几个对象的变化状况的问题．六、布置作业复习巩固2 综合运用7、9．1．教材P532．选用作业设计：一、选择题1．一个小组若干人，新年互送贺卡，若全组共送贺卡72张，则这个小组共（）．A．12人 B．18人 C．9人 D．10人2．某一商人进货价便宜8%，而售价不变，那么他的利润（按进货价而定）可由目前x增加到（x+10%），则x是（）．A．12% B．15% C．30% D．50%3．育才中学从2016年到2019年四年内师生共植树1997棵，已知该校2016年植树342棵，2017年植树500棵，如果2018年和2019年植树的年增长率相同，那么该校2019年植树的棵数为（）．A．600 B．604 C．595 D．605二、填空题1．一个产品原价为a元，受市场经济影响，先提价20%后又降价15%，现价比原价多_______%．2．甲用1000元人民币购买了一手股票，随即他将这手股票转卖给乙，获利10%，乙而后又将这手股票返卖给甲，但乙损失了10%，•最后甲按乙卖给甲的价格的九折将这手股票卖出，在上述股票交易中，甲盈了_________元．3．一个容器盛满纯药液63L，第一次倒出一部分纯药液后用水加满，•第二次又倒出同样多的药液，再加水补满，这时容器内剩下的纯药液是28L，设每次倒出液体xL，•则列出的方程是________．三、综合提高题1．上海甲商场七月份利润为100万元，九月份的利率为121万元，乙商场七月份利率为200万元，九月份的利润为288万元，那么哪个商场利润的年平均上升率较大?2．某果园有100棵桃树，一棵桃树平均结1000个桃子，•现准备多种一些桃树以提高产量，试验发现，每多种一棵桃树，每棵桃树的产量就会减少2个，•如果要使产量增加15.2%，那么应多种多少棵桃树?3．某玩具厂有4个车间，某周是质量检查周，现每个车间都原有a （a>0）个成品，且每个车间每天都生产b （b>0）个成品，质量科派出若干名检验员周一、•周二检验其中两个车间原有的和这两天生产的所有成品，然后，周三到周五检验另外两个车间原有的和本周生产的所有成品，假定每名检验员每天检验的成品数相同．（1）这若干名检验员1天共检验多少个成品?（用含a 、b 的代数式表示）（2）若一名检验员1天能检验45b 个成品，则质量科至少要派出多少名检验员?答案：一、1．C 2．B 3．D二、1．2 2．1 3．（1-63x ）2=2863 三、1．甲：设上升率为x ，则100（1+x ）2=121，x=10%乙：设上升率为y ，则200（1+y ）2=288，y=20%，那么乙商场年均利润的上升率大．2．设多种x 棵树，则（100+x ）（1000-2x ）=100×1000×（1+15.2%）•，• 整理，•得：•x 2-400x+7600=0，（x-20）（x-380）=0，解得x 1=20，x 2=3803．（1）2222a b +⨯=a+2b 或2253a b +⨯（2）因为假定每名检验员每天检验的成品数相同．所以a+2b=2103a b，解得：a=4b所以（a+2b）÷45b=6b÷45b=304=7.5（人）所以至少要派8名检验员．《第2课时平均变化率与一元二次方程》导学案教学目标掌握建立数学模型以解决增长率与降低率问题。

第2课时平均变化率与销售问题教师备课素材示例●情景导入我们经常从电视新闻中听到或看到有关增长率的问题，例如国内生产总值预期增长5%左右；空气污染指数比去年降低3.2%；能源汽车交易量比去年产量翻一番……由此我们可以看出，增长率问题无处不在，无时不有，这节课我们就一起来探索增长率问题．【教学与建议】教学：以实际问题为背景导入，培养学生利用数学知识解决实际问题的能力，突出体现了数学的应用价值．建议：创设问题情境，激发学生学习的兴趣和欲望．●置疑导入月季花每盆的盈利与每盆的株数有一定的关系．每盆植3株时，平均每株盈利4元；若每盆增加1株，平均每株盈利减少0.5元．要使每盆的盈利达到15元，每盆应多植多少株？解：设每盆多植x株，株数是__(3＋x)__株，每株的盈利是__(4－0.5x)__元，可列方程为__(3＋x)(4－0.5x)＝15__．【教学与建议】教学：通过上面两种问题的呈现，引导学生思考对降价促销的理解，讲解利润的计算方法：利润＝株数×每株的盈利．建议：采用提问学生的方式进行．增长率问题常见等量关系：①原产量＋增产量＝现在的产量；②单位时间增产量＝原产量×增长率；③现在产量＝原产量×(1＋增长率)；④现在的产量＝原产量×(1±x)n.【例1】(1)共享单车为市民出行带来了方便，某单车公司第一个月投放1000辆单车，计划第三个月投放单车数量比第一个月多440辆．设该公司第二、三个月投放单车数量的月平均增长率为x，则所列方程正确的为(A)A．1000(1＋x)2＝1000＋440B．1000(1＋x)2＝440C．440(1＋x)2＝1000D．1000(1＋2x)＝1000＋440(2)某家用电器经过两次降价，每台零售价由350元下降到252元．若第二次降价的百分率是第一次降价百分率的2倍．设第一次降价的百分率为x，则可列出关于x的方程为__350(1－x)(1－2x)＝252__．销售问题中常见的等量关系：①利润＝售价－进价(成本)；②总利润＝每件商品的利润×总件数；③利润率＝利润进价×100%；④售价＝标价×打折数10＝进价×(1＋利润率)．【例2】(1)某商品的进价为每件20元，当售价为每件30元时，每天可卖出100件，现需要降价处理，且经市场调查：每降价1元，每天可多卖出10件．现在要使每天的销售利润为750元，每件商品应降价(D)A ．2元B ．2.5元C ．3元D ．5元(2)百货大楼服装柜在销售中发现：某品牌童装每件成本60元，现以每件100元销售，平均每天可售出20件．为了迎接“五一”劳动节，商场决定采取适当的降价措施，以扩大销售量，增加盈利，尽量减少库存．经市场调查发现，如果每件童装降价1元，那么平均每天就可多销售2件，要想平均每天销售这种童装盈利1200元，请你帮商场算一算，每件童装应定价多少元？解：设每件童装应降价x 元．根据题意，得(100－60－x)(20＋2x)＝1200.解得x 1＝10，x 2＝20.∵商场决定采取适当的降价措施，以扩大销售量，增加盈利，尽量减少库存，∴x ＝20，∴每件童装应定价为100－20＝80(元).答：每件童装应定价80元．欧拉帮忙算鸡蛋一天，欧拉去买鸡蛋，卖鸡蛋的农妇看到了欧拉，便想要试试这个其貌不扬的学者的能力，当欧拉问到她们的鸡蛋数量的时候，她们说：“我们带着100枚鸡蛋来到集市，我们两人所带的鸡蛋数虽不同，但是卖得的钱数一样．”第一个农妇对第二个农妇说：“如果你的鸡蛋换给我，我可以卖得15个铜板．”第二个农妇回答：“但是如果你的鸡蛋换给我，我就只能卖得623个铜板．”欧拉想了想说：“你(指着第一个农妇)有40枚鸡蛋，你(指着第二个农妇)有60枚鸡蛋．”欧拉是这样想的：设第一个农妇带了x 个鸡蛋，则第二个农妇带了(100－x)个鸡蛋，她们二人卖鸡蛋的单价分别为15100－x 与203x，由于二人卖得的钱数相同，故有方程15x 100－x ＝20（100－x ）3x，整理，得x 2＋160x －8000＝0，解得x ＝40或x ＝－200(舍去).故第一个农妇带了40个鸡蛋，第二个农妇带了60个鸡蛋．实际上，欧拉是利用方程的思想解决了这个实际问题，如果换成是你，是否会被这两个卖鸡蛋的妇人难住？高效课堂 教学设计1．使学生会用列一元二次方程的方法解决有关增长率的问题．2．能根据具体问题中的数量关系，列出一元二次方程，并能根据具体问题的实际意义，检验结果是否合理．▲重点列一元二次方程解决平均增长率问题．▲难点探究增长率问题中的等量关系．◆活动1 新课导入1．小明学习非常认真，学习成绩直线上升，第一次月考数学成绩是a 分，第二次月考增长了10%，第三次月考又增长了10%，他第二次数学成绩是________分，第三次数学成绩是________分．2．国庆节期间，商场为了促销搞了两次降价活动，某品牌上衣原价是a 元，第一次价格降低了15%，第二次价格又降低了15%，第一次促销活动中该上衣的价格是________元，第二次促销活动中该上衣的价格是________元．◆活动2 探究新知1．教材P 19 探究2.提出问题：(1)甲种药品成本的年平均下降额与乙种药品的年平均下降额分别是多少？它与年平均下降率是否是一回事？(2)若设甲种药品的年平均下降率为x ，则一年后甲种药品的成本为多少元？两年后甲种药品的成本为多少元？你能列出相应的方程并求出问题的解吗？(3)解这个方程是有讲究的，很多同学用公式法解，发现数字比较大，解起来比较麻烦，实际上我们可以用直接开平方法来解．怎么用直接开平方法来解？2．教材P 20 思考．3．某经济开发区去年总产值100亿元，计划两年后总产值达到121亿元，求年平均增长率．提出问题：它与探究2有什么不同？学生完成并交流展示．◆活动3 知识归纳解决增长率与下降率问题的公式：a(1±x)n ＝b ，其中a 是__变化前的量__，x 为__平均增长率或平均下降率__，n 为增长(或下降)的次数，b 为增长(或下降)后的量．◆活动4 例题与练习例1 ，东营市某楼盘以每平方米6500元的均价对外销售．因为楼盘滞销，房地产开发商为了加快资金周转，决定进行降价促销，经过连续两年下调后，的均价为每平方米5265元．(1)求平均每年下调的百分率；(2)假设的均价仍然下调相同的百分率，张强准备购买一套100m 2的住房，他持有现金20万元，可以在银行贷款30万元，张强的愿望能否实现？(房价每平方米按照均价计算)解：(1)设平均每年下调的百分率为x ，根据题意，得6500(1－x)2＝5265，解得x 1＝0.1＝10%，x 2＝1.9(不合题意，舍去).∴平均每年下调的百分率为10%；(2)如果下调的百分率相同，的房价为5265×(1－10%)＝4738.5(元/m 2)，则100m 2的住房的总房款为100×4738.5＝473850(元)＝47.385(万元).∵20＋30＞47.385，∴张强的愿望可以实现．例2 某商场将某种商品的售价从原来的每件40元经两次调价后调至每件32.4元．若该商品两次调价的降价率相同，则这个降价率为多少？经调查，该商品每降价0.2元，即可多销售10件．若该商品原来每月销售500件，那么两次调价后，每月可销售商品多少件？解：设降价率为x.由题意，得40(1－x)2＝32.4，解得x 1＝1.9(舍去)，x 2＝0.1＝10%.即降价率为10%.两次调价后每月可销售商品的数量为500＋10×40－32.40.2＝880(件). 练习1．教材P 22 习题21.3第7题．2．某商品的售价为100元，连续两次降价x%后售价降低了36元，则x 为( B )A ．8B ．20C ．36D ．183．随着某市养老机构(养老机构指社会福利院、养老院、社会养老中心等)建设稳步推进，拥有的养老床位数不断增加．该市的养老床位数从底的2万个增长到底的2.88万个．求该市这两年(从底到底)拥有的养老床位数的平均年增长率．解：设该市这两年(从底到底)拥有的养老床位数的平均年增长率为x，由题意可列出方程2(1＋x)2＝2.88，解得x1＝0.2＝20%，x2＝－2.2(不合题意，舍去).答：该市这两年拥有的养老床位数的平均增长率为20%.◆活动5 课堂小结1．一元二次方程在增长率、握手等问题中的运用．2．根据公式b＝a(1＋x)n找各量之间的等量关系，解方程常采用直接开平方法，所得结果要符合题意．1．作业布置(1)教材P26复习题21第9，10题；(2)对应课时练习．2．教学反思。

第2课时 利用一元二次方程解决营销问题及平均变化率问题教学目标：知识技能目标通过探索, 学会解决有关营销的问题和平均比变化率的问题.过程性目标经历探索过程, 培养合作学习的意识, 体会数学与实际生活的联系.情感态度目标通过合作交流进一步感知方程的应用价值, 培养学生的创新意识和实践能力, 通过交流互动, 逐步培养合作的意识及严谨的治学精神.重点和难点：重点：列一元二次方程解决实际问题.难点：寻找实际问题中的相等关系.教学过程：一、创设情境 我们经常从电视新闻中听到或看到有关增长率的问题, 例如今年我市人均收入Q 元, 比去年同期增长x %；环境污染比去年降低y %；某厂预计两年后使生产总值翻一番……由此我们可以看出, 增长率问题无处不在, 无时不有, 这节课我们就一起来探索增长率问题．二、探究归纳例1 阳江市市政府考虑在两年后实现市财政净收入翻一番, 那么这两年中财政净收入的平均年增长率应为多少？分析 翻一番, 即为原净收入的2倍.假设设原值为1, 那么两年后的值就是2．解 设原值为1, 平均年增长率为x ,那么根据题意得解这个方程得 12,1221--=-=x x ．因为122--=x 不合题意舍去, 所以%4.4112≈-=x ．答 这两年的平均增长率约为41.4%．探索 假设调整方案, 两年后的财政净收入值为原值的倍、倍、…, 那么两年中的平均年增长率相应地调整为多少？又假设第二年的增长率为第一年的2倍, 那么第一年的增长率为多少时可以实现市财政净收入翻一番？归纳：平均增长率〔或平均减少率〕问题：原数〔1 ＋ 平均增长率〕n= . 〔n 为相距时间〕原数〔1 － 平均减少率〕n = .例２、某商店经销一种销售本钱为每千克40元的水产品, 椐市场分析, 假设按每千克50元销售, 一个月能售出500千克；销售单价每涨1元, 月销售量就减少10千克. 针对这种水产品的销售情况, 要使月销售利润到达8000元, 销售单价应定为多少？〔月销售利润＝月销售量×销售单价－月销售本钱．〕课堂练习番, 求平均每年增长的百分率．〔精确到0.1%〕2、某种服装, 平均每天可销售20件, 假设每件降价1元, 那么每天可多售5件. 如果每天要盈利1600元, 每件应降价多少元？三、交流反思四、检测反应1．某地一月份发生禽流感的养鸡场100家, 后来二、•三月份新发生禽流感的养鸡场共250家, 设二、三月份平均每月禽流感的感染率为x, 依题意列出的方程是〔〕．A．100〔1+x〕2=250 B．100〔1+x〕+100〔1+x〕2=250C．100〔1-x〕2=250 D．100〔1+x〕22. 某商店将进价为8元的商品按每件10元售出, 每天可售出200件, 现在采取提高商品售价减少销售量的方法增加利润, 如果这种商品每件的销售价每提高0.5元其销售量就减少10件, 假设设每件售价定为x 元, 销售量可表示为〔〕A.5.010-x×10 B. 200-5.010-x×10C. 200-5.010-x×10 D. 200-0.5〔x-10〕×103. 西瓜经营户以2元/千克的价格购进一批小型西瓜, 以3元/千克的价格出售, 每天可售出200千克．为了促销, 该经营户决定降价销售．经调查发现, 这种小型西瓜每降价0.1元/千克, 每天可多售出40千克．另外, 每天的房租等固定本钱共24元, 为了减少库存, 该经营户要想每天盈利20元, 应将每千克小型西瓜的售价降低〔〕元．4. 新华商场销售某种水箱, 每台进货价为2500元, 市场调研说明：当销售价为2900元时, 平均每天能售出8台；而当销售价每降低50元时, 平均每天就能多售出4台．商场要想使这种冰箱的销售利润平均每天到达5000元, 如果设每台冰箱降价x元, 那么每台冰箱的定价就是____________元, 每台冰箱的销售利润为_____________________元, 平均每天销售冰箱的数量为_______________台, 据此可列方程 .5.一件上衣原价每件500元, 第一次降价后, 销售甚慢, 第二次大幅度降价的百分率是第一次的2倍, 结果以每件240元的价格迅速出售, 求每次降价的百分率是多少？6.水果店花1500元进了一批水果, 按50%的利润定价, 无人购置.决定打折出售, 但仍无人购置, 结果又一次打折后才售完．经结算, 这批水果共盈利500元.假设两次打折相同, 每次打了几折？〔精确到折〕7.某服装厂为学校艺术团生产一批演出服, 总本钱3000元, 售价每套30元．有24名家庭贫困学生免费供给.经核算, 这24套演出服的本钱正好是原定生产这批演出服的利润．这批演出服共生产了多少套？8、某商店经营T恤衫, 成批购进时单价是2.5元. 根据市场调查, 销售量与销售单价满足如下关系：在一段时间内, 单价是13.5元时, 销售量是500件, 而单价每降低1元, 就可以多售200件. 请你帮助分析, 销售单价是多少时, 可以获利9100元？五、布置作业3．1多项式的因式分解1．理解因式分解的概念；(重点)2．会判断一个变形是否是因式分解．(难点)一、情境导入学校有一个长方形植物园, 面积为a2－b2, 如果长为a＋b, 那么宽是多少？二、合作探究探究点一：因式分解定义的理解以下从左到右的变形中是因式分解的有()①x 2－y 2－1＝(x ＋y )(x －y )－1；②x 3＋x ＝x (x 2＋1)；③(x －y )2＝x 2－2xy ＋y 2；④x 2－9y 2＝(x ＋3y )(x －3y )．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个解析：①没把一个多项式转化成几个整式积的形式, 故①不是因式分解；③是整式的乘法, 故③不是因式分解；②④是因式分解；应选B.方法总结：因式分解与整式的乘法是相反方向的变形, 即互逆运算, 二者是一个式子的不同表现形式．因式分解是两个或几个因式积的表现形式, 整式乘法是多项式的表现形式．探究点二：因式分解与整式乘法的关系 【类型一】 检验因式分解是否正确检验以下因式分解是否正确．(1)x 3＋x 2＝x 2(x ＋1)；(2)a 2－2a －3＝(a －1)(a －3)；(3)9a 2－12ab ＋4b 2＝(3a －2b )2.解析：分别计算等式右边的几个多项式的乘积, 再与左边的多项式相比拟看是否相等．解：(1)因为x 2(x ＋1)＝x 3＋x 2, 所以因式分解x 3＋x 2＝x 2(x ＋1)正确；(2)因为(a －1)(a －3)＝a 2－4a ＋3≠a 2－2a －3, 所以因式分解不正确；(3)因为(3a －2b )2＝9a 2－12ab ＋4b 2, 所以因式分解9a 2－12ab ＋4b 2＝(3a －2b )2正确．方法总结：检验因式分解是否正确, 只要看等式右边的几个多项式的乘积与等式左边的多项式是否相等．变式【类型二】 求字母的值三次四项式2x 3－5x 2－6x ＋k 分解因式后有一个因式是x －3, 试求k 的值及另一个因式．解析：此题可设此三次四项式的另一个因式为(2x 2－mx －k 3), 将两因式的乘积展开与原三次四项式比拟就可求出k 的值．解：设另一个因式为2x 2－mx －k 3, ∴(x －3)(2x 2－mx －k 3)＝2x 3－5x 2－6x ＋k , 2x 3－mx 2－k 3x －6x 2＋3mx ＋k ＝2x 3－5x 2－6x ＋k , 2x 3－(m ＋6)x 2－(k 3－3m )x ＋k ＝2x 3－5x 2－6x ＋k , ∴m ＋6＝5, k 3－3m ＝6, 解得m ＝－1, k ＝9, ∴另一个因式为2x 2＋x －3.方法总结：因为整式的乘法和分解因式互为逆运算, 所以分解因式后的两个因式的乘积一定等于原来的多项式．三、板书设计多项式的因式分解⎩⎪⎨⎪⎧因式的概念因式分解的概念因式分解与整式乘法的关系本节课从生活中的实例出发, 引导出因式分解这一课题, 让学生认识到因式分解与整式乘法是互逆的变形, 因此可以利用整式乘法来检验因式分解是否正确．本节课重在通过因式分解概念的学习, 激发学生的学习兴趣, 为本章后继学习奠定坚实的根底。