人教新课标版数学高二-2-2导学案 变化率问题 导数的概念

1.1变化率与导数1.1.1变化率问题1.1.2导数的概念1．通过对大量实例的分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，了解导数概念的实际背景．2．会求函数在某一点附近的平均变化率．(重点)3．会利用导数的定义求函数在某点处的导数．(重点、难点)4．理解函数的平均变化率，瞬时变化率及导数的概念．(易混点)[基础·初探]教材整理1函数的平均变化率阅读教材P2～P4“思考”以上部分，完成下列问题．1．函数的平均变化率(1)对于函数y＝f(x)，给定自变量的两个值x1，x2，当自变量x从x1变为x2时，函数值从f(x1)变为f(x2)，我们把式子____________称为函数y＝f(x)从x1到x2的平均变化率．(2)习惯上用Δx表示x2－x1，即Δx＝________，可把Δx看作是相对于x1的一个“增量”，可用x1＋Δx代替x2；类似地，Δy＝________.于是，平均变化率可表示为________．2．平均变化率的几何意义设A (x 1，f (x 1))，B (x 2，f (x 2))是曲线y ＝f (x )上任意不同的两点，函数y ＝f (x )的平均变化率Δy Δx ＝f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1＝f (x 1＋Δx )－f (x 1)Δx 为割线AB 的______，如图1-1-1所示．图1-1-1【答案】 1.(1)f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1(2)x 2－x 1 f (x 2)－f (x 1) ΔyΔx 2.斜率判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)由Δx ＝x 2－x 1，知Δx 可以为0.( )(2)Δy ＝f (x 2)－f (x 1)是Δx ＝x 2－x 1相应的改变量，Δy 的值可正，可负，也可为零，因此平均变化率可正，可负，可为零．( )(3)对山坡的上、下两点A ，B 中，Δy Δx ＝y 2－y 1x 2－x 1可以近似刻画山坡的陡峭程度．( )【答案】 (1)× (2)√ (3)√ 教材整理2 瞬时速度、导数的概念阅读教材P 4～P 6“例1”以上部分，完成下列问题． 1．瞬时速度(1)物体在__________的速度称为瞬时速度．(2)一般地，设物体的运动规律是s ＝s (t )，则物体在t 0到t 0＋Δt 这段时间内的平均速度为Δs Δt ＝s (t 0＋Δt )－s (t 0)Δt .如果Δt 无限趋近于0时，ΔsΔt 无限趋近于某个常数v ，我们就说当Δt 趋向于0时，ΔsΔt 的________是v ，这时v 就是物体在时刻t ＝t 0时的瞬时速度，即瞬时速度v ＝lim Δt →0 ΔsΔt ＝lim Δt →0s (t 0＋Δt )－s (t 0)Δt .2．导数的定义函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率是lim Δx→0ΔyΔx＝limΔx→0f(x0＋Δx)－f(x0)Δx，我们称它为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作____________________，即f′(x0)＝limΔx→0ΔyΔx＝limΔx→0_________.【答案】 1.(1)某一时刻(2)极限2．f′(x0)或y′|x＝x0f(x0＋Δx)－f(x0)Δx1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数值与Δx值的正、负无关．()(2)瞬时变化率是刻画某函数值在区间[x1，x2]上变化快慢的物理量．()(3)在导数的定义中，Δx，Δy都不可能为零．()【解析】(1)由导数的定义知，函数在x＝x0处的导数只与x0有关，故正确．(2)瞬时变化率是刻画某一时刻变化快慢的物理量，故错误．(3)在导数的定义中，Δy可以为零，故错误．【答案】(1)√(2)×(3)×2．函数f(x)＝x2在x＝1处的瞬时变化率是________．【解析】∵f(x)＝x2.∴在x＝1处的瞬时变化率是lim Δx→0ΔyΔx＝limΔx→0f(1＋Δx)－f(1)Δx＝limΔx→0(1＋Δx)2－12Δx＝limΔx→0(2＋Δx)＝2. 【答案】 2[小组合作型]求函数的平均变化率(1)已知函数y ＝f (x )＝x 2＋1，则在x ＝2，Δx ＝0.1时，Δy 的值为( )【导学号：62952001】A ．0.40B ．0.41C ．0.43D ．0.44(2)已知函数f (x )＝x ＋1x ，分别计算f (x )在自变量x 从1变到2和从3变到5时的平均变化率，并判断在哪个区间上函数值变化得较快．【精彩点拨】 (1)由Δy ＝f (x ＋Δx )－f (x )＝f (2＋0.1)－f (2)可得． (2)求Δx ＝x 2－x 1→求Δy ＝f (x 2)－f (x 1)→计算ΔyΔx【自主解答】 (1)Δy ＝f (2＋Δx )－f (2)＝f (2.1)－f (2)＝2.12－22＝0.41. 【答案】 B(2)自变量x 从1变到2时，函数f (x )的平均变化率为f (2)－f (1)2－1＝2＋12－(1＋1)1＝12；自变量x 从3变到5时，函数f (x )的平均变化率为 f (5)－f (3)5－3＝5＋15－⎝ ⎛⎭⎪⎫3＋132＝1415.因为12<1415，所以函数f (x )＝x ＋1x 在自变量x 从3变到5时函数值变化得较快．1．求函数平均变化率的三个步骤第一步，求自变量的增量Δx ＝x 2－x 1. 第二步，求函数值的增量Δy ＝f (x 2)－f (x 1)． 第三步，求平均变化率Δy Δx ＝f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1.2．求平均变化率的一个关注点求点x 0附近的平均变化率，可用f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx的形式．[再练一题]1．函数y ＝x 2＋1在[1,1＋Δx ]上的平均变化率是( ) A ．2 B ．2x C ．2＋ΔxD ．2＋(Δx )2【解析】 ∵Δy ＝(1＋Δx )2＋1－(12＋1)＝2Δx ＋Δx 2， ∴Δy Δx ＝2Δx ＋Δx2Δx ＝2＋Δx ，故选C. 【答案】 C求瞬时速度(1)以初速度v 0(v 0>0)垂直上抛的物体，t 秒时的高度为s (t )＝v 0t －12gt 2，则物体在t 0时刻的瞬时速度为__________．(2)某物体的运动方程为s ＝2t 3，则物体在第t ＝1时的瞬时速度是_____． 【精彩点拨】 先求出Δs Δt ，再求lim Δt →0Δs Δt .【自主解答】 (1)∵Δs ＝v 0(t 0＋Δt )－12g (t 0＋Δt )2－⎝ ⎛⎭⎪⎫v 0t 0－12gt 20＝v 0Δt －gt 0Δt －12g Δt 2，∴Δs Δt ＝v 0－gt 0－12g Δt ，∴limΔt→0ΔsΔt＝v0－gt0，即t0时刻的瞬时速度为v0－gt0.(2)∵当t＝1时，Δs＝2(1＋Δt)3－2×13＝2[1＋(Δt)3＋3Δt＋3(Δt)2]－2＝2＋2(Δt)3＋6Δt＋6(Δt)2－2＝2(Δt)3＋6(Δt)2＋6Δt，∴ΔsΔt＝2(Δt)3＋6(Δt)2＋6ΔtΔt＝2(Δt)2＋6Δt＋6，∴limΔt→0ΔsΔt＝6，则物体在第t＝1时的瞬时速度是6.【答案】(1)v0－gt0(2)61．求运动物体瞬时速度的三个步骤(1)求时间改变量Δt和位移改变量Δs＝s(t0＋Δt)－s(t0)．(2)求平均速度v＝Δs Δt.(3)求瞬时速度，当Δt无限趋近于0时，ΔsΔt无限趋近于常数v，即为瞬时速度．2．求ΔyΔx(当Δx无限趋近于0时)的极限的方法(1)在极限表达式中，可把Δx作为一个数来参与运算．(2)求出ΔyΔx的表达式后，Δx无限趋近于0就是令Δx＝0，求出结果即可．[再练一题]2．一做直线运动的物体，其位移s与时间t的关系是s＝3t－t2(位移单位：m，时间单位：s).【导学号：62952002】(1)求此物体的初速度；(2)求此物体在t＝2时的瞬时速度；(3)求t＝0到t＝2时的平均速度．【解】(1)初速度v0＝limΔt→0s(Δt)－s(0)Δt＝lim Δt→03Δt－(Δt)2Δt＝limΔt→0(3－Δt)＝3，即物体的初速度为3 m/s.(2)v瞬＝limΔt→0s(2＋Δt)－s(2)Δt＝limΔt→03(2＋Δt)－(2＋Δt)2－(3×2－4)Δt＝limΔt→0－(Δt)2－ΔtΔt＝limΔt→0(－Δt－1)＝－1，即物体在t＝2时的瞬时速度为1 m/s，方向与初速度相反．(3)v＝s(2)－s(0)2－0＝6－4－02＝1，即t＝0到t＝2时的平均速度为1 m/s.[探究共研型]求函数在某点处的导数探究1试求质点在[1,1＋Δt]这段时间内的平均速度．【提示】ΔsΔt＝8－3(1＋Δt)2－(8－3×12)Δt＝－6－3Δt.探究2当Δt趋近于0时探究1中的平均速度趋近于何值？如何理解这一速度？【提示】当Δt趋近于0时，ΔsΔt趋近于－6.这时的平均速度即为t＝1时的瞬时速度．(1)求函数f(x)＝－x2＋x在x＝－1附近的平均变化率，并求出在该点处的导数；(2)求函数y＝3x2在x＝1处的导数．【精彩点拨】求函数f(x)在任意点处的导数都应先求平均变化率，再求f′(x0)．【自主解答】(1)∵Δy＝f(－1＋Δx)－f(－1)＝－(－1＋Δx)2＋(－1＋Δx)＋2＝3Δx－(Δx)2，∴ΔyΔx＝3Δx－(Δx)2Δx＝3－Δx，∴f′(－1)＝limΔx→0ΔyΔx＝limΔx→0(3－Δx)＝3.(2)∵Δy＝f(1＋Δx)－f(1)＝3(1＋Δx)2－3＝6Δx＋3(Δx)2，∴ΔyΔx＝6＋3Δx，∴f′(1)＝limΔx→0ΔyΔx＝limΔx→0(6＋3Δx)＝6.1．通过本例(1)进一步感受平均变化率与瞬时变化率的关系，对于Δy与Δx 的比值，感受和认识在Δx逐渐变小的过程中趋近于一个固定的常数A这一现象．2．用定义求函数在x＝x0处的导数的步骤(1)求函数的增量Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)；(2)求平均变化率Δy Δx；(3)求极限，得导数为f′(x0)＝limΔx→0Δy Δx.简记为：一差、二比、三趋近．[再练一题]3．求函数f(x)＝x－1x在x＝1处的导数．【解】∵Δy＝(1＋Δx)－11＋Δx－⎝⎛⎭⎪⎫1－11＝Δx＋1－11＋Δx ＝Δx＋Δx1＋Δx，∴ΔyΔx＝Δx＋Δx1＋ΔxΔx＝1＋11＋Δx，∴f′(1)＝limΔx→0ΔyΔx＝limΔx→0⎝⎛⎭⎪⎫1＋11＋Δx＝2.1．函数f(x)＝x3在区间(－1,3)上的平均变化率为() A．6.5 B．7C．14 D．13【解析】ΔyΔx＝f(3)－f(－1)3－(－1)＝27－(－1)4＝7.【答案】 B2．一个物体的运动方程为s＝1－t＋t2，其中s的单位是：m，t的单位是：s，那么物体在3 s末的瞬时速度是()A．7 m/s B．6 m/sC．5 m/s D．8 m/s【解析】∵ΔsΔt＝1－(3＋Δt)＋(3＋Δt)2－(1－3＋32)Δt＝5＋Δt，∴limΔt→0ΔsΔt＝limΔt→0(5＋Δt)＝5(m/s)．【答案】 C3．质点运动规律s＝12gt2，则在时间区间(3,3＋Δt)内的平均速度等于____．(g＝10 m/s2)【解析】Δs＝12g×(3＋Δt)2－12g×32＝12×10×[6Δt＋(Δt)2]＝30Δt＋5(Δt)2，v＝ΔsΔt＝30＋5Δt.【答案】30＋5Δt4．一质点M按运动方程s(t)＝at2＋1做直线运动(位移单位：m，时间单位：s)．若质点M在t＝2 s时的瞬时速度为8 m/s，则常数a＝________.【解析】因为Δs＝s(2＋Δt)－s(2)＝a(2＋Δt)2＋1－a·22－1＝4aΔt＋a(Δt)2，所以ΔsΔt ＝4a＋aΔt，故当t＝2时，瞬时速度为limΔt→0ΔsΔt＝4a，所以4a＝8，所以a＝2.【答案】 25．在曲线y＝f(x)＝x2＋3上取一点P(1,4)及附近一点(1＋Δx,4＋Δy)，求：(1)ΔyΔx；(2)f′(1)．【解】(1)ΔyΔx＝f(1＋Δx)－f(1)Δx＝(1＋Δx)2＋3－(12＋3)Δx＝2＋Δx.(2)f′(1)＝limΔx→0f(1＋Δx)－f(1)Δx＝limΔx→0(2＋Δx)＝2.。

变化率与导数（复习课）【学习目标】1.掌握平均变化率与瞬时变化率的关系；2.掌握导数的定义及其几何意义，并会求简单函数的导函数；3.会求经过简单曲线上的点的切线方程.【新知自学】知识回顾1.平均变化率：函数()f x 在12[,]x x 上的平均变化率为 ，若21x x x ∆=-，21()()yf x f x ∆=-,则平均变化率可表示为 .2.导数的概念：设函数()yf x =在区间(,)a b 上有定义，0(,)x a b ∈,当x ∆无限接近于0时，比值 无限趋近于一个常数A ，则称()f x 在点0xx =处可导，并称常数A 为函数()f x 在0xx =处的 ，记作 .3.导数的几何意义：函数()f x 在0x 处的导数0()f x '的几何意义就是曲线()yf x =在点处的 .4.导数的物理意义:一般地,设()s s t =是物体的位移函数,那么'()s t 的物理意义是 ________________________________________ ;设()v v t =是物体的速度函数,那么'()v t 的物理意义是 . 对点练习：1.函数2()f x x =在区间[1,3]的平均变化率为 . 2.在R 内可导函数()f x 满足'(2)3f =,kf k f k )2()2(lim-+→= .3.自由落体运动的物体位移S(m)与时间t(s)的关系为212S t =,则3t =s 时该物体的瞬时速度为 .4.已知f(x)=x 2,则=')2(f ______________.【合作探究】典例精析例1.若曲线y=x 2+6在点P 处的切线垂直于直线2x-y+5=0，求点P 的坐标及切线方程.例2．若0()2f x '=,则kx f k x f k )()2(lim000--→= .【当堂达标】1.函数()ln f x x =在2,e e ⎡⎤⎣⎦的平均变化率为 _____________.2.若物体位移2()32s t t t =-,(单位:米)则当3t =秒时,该物体的速度为 米/秒. 3.若0()2f x '=,则lim→k 00()()2f x k f x k--= .4.若函数f(x)=ax 2+c ，且2)1(f ='，求a 的值.【课时作业】1.汽车作加速直线运动,若t s 时的速度为2()3v t t =+,则汽车开出 s 后加速度为12. 2.已知函数y=f(x)的图象在点M(1,f(1))处的切线方程是y=x+5，则f(1)+(1)f '=__________. 3.直线y=x 2+ax+b 在点处的切线方程是x-y+1=0，则（ ） A.a=1,b=1 B.a=-1,b=1 C.a=1,b=-1 D.a=-1,b=-14设函数y=f(x)为可导函数，且满足条件2)1()1(lim-=∆∆--→xx f f k ，求曲线y=f(x)在点（1，f(1)）处的切线方程.5.求过点A(2,0)且与曲线x1y 相切的直线方程.。

§1.1.2 导数的概念教学目标：1.了解瞬时速度、瞬时变化率的概念;2.理解导数的概念,知道瞬时变化率就是导数,体会导数的思想及其内涵;3.会求函数在某点的导数.教学重点：瞬时速度、瞬时变化率的概念、导数的概念.教学难点：导数的概念.教学过程：一、创设情景(一)平均变化率(二)探究探究: 计算运动员在49650≤≤t 这段时间里的平均速度,(1)运动员在这段时间内使静止的吗？(2)你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？探究过程: 如图是函数105.69.4)(2++-=t t t h 的图像,结合图形可知,)0(4965(h h =, 所以)/(004965)0()4965(m s h h v =--= 虽然运动员在49650≤≤t 这段时间里的平均速度为)/(0m s , 但实际情况是运动员仍然运动,并非静止,可以说明用平均速度不能精确描述运动员的运动状态.二、新课讲授1.瞬时速度我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度.运动员的平均速度不能反映他在某一时刻的瞬时速度,那么,如何求运动员的瞬时速度呢？比如,2t =时的瞬时速度是多少？考察2t =附近的情况:思考: 当t ∆趋近于0时,平均速度v 有什么样的变化趋势？结论: 当t ∆趋近于0时,即无论t 从小于2的一边,还是从大于2的一边趋近于2时,平均速度v 都趋近于一个确定的值13.1-.从物理的角度看,时间t ∆间隔无限变小时,平均速度v 就无限趋近于史的瞬时速度.因此,运动员在2t =时的瞬时速度是13.1/m s -为了表述方便,我们用0(2)(2)lim13.1t h t h t∆→+∆-=-∆ 表示“当2t =,t ∆趋近于0时,平均速度v 趋近于定值13.1-” 小结: 局部以匀速代替变速,以平均速度代替瞬时速度,然后通过取极限,从瞬时速度的近似值过渡到瞬时速度的精确值.2.导数的概念从函数)(x f y =在0x x =处的瞬时变化率是:0000()()limlim x x f x x f x f xx ∆→∆→+∆-∆=∆∆ 我们称它为函数()y f x =在0x x =出的导数,记作'0()f x 或0'|x x y = 即0000()()()lim x f x x f x f x x∆→+∆-'=∆ 说明: (1)导数即为函数)(x f y =在0x x =处的瞬时变化率;(2)0x x x ∆=-,当0x ∆→时,0x x →,所以0000()()()limx f x f x f x x x ∆→-'=-. 三、典例分析例1 (1)求函数23x y =在1=x 处的导数. (2)求函数x x x f +-=2)(在1x =-附近的平均变化率,并求出该点处的导数.分析: 先求)()(00x f x x f y f -∆+=∆=∆,再求x y ∆∆,最后求xy x ∆∆→∆0lim . 解: (1)法一 定义法(略)法二 222211113313(1)|lim lim lim3(1)611x x x x x x y x x x =→→→-⋅-'===+=-- (2)x xx x x y ∆-=∆-∆+-+∆+--=∆∆32)1()1(2 200(1)(1)2(1)lim lim(3)3x x y x x f x x x∆→∆→∆--+∆+-+∆-'-===-∆=∆∆ 例2 将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品,需要对原油进行冷却和加热,如果第xh 时,原油的温度(单位:C )为2()715(08)f x x x x =-+≤≤,计算第2h 时和第6h 时,原油温度的瞬时变化率,并说明它们的意义.解: 在第2h 时和第6h 时,原油温度的瞬时变化率就是'(2)f 和'(6)f 根据导数定义0(2)()f x f x f x x+∆-∆=∆∆ 22(2)7(2)15(27215)3x x x x+∆-+∆+--⨯+==∆-∆ 所以00(2)lim lim (3)3x x f f x x ∆→∆→∆'==∆-=-∆ 同理可得:(6)5f '= 在第2h 时和第6h 时,原油温度的瞬时变化率分别为3-和5,说明在第2h 附近,原油温度大约以3/C h 的速率下降在第6h 附近,原油温度大约以5/C h 的速率上升.注: 一般地,'0()f x 反映了原油温度在时刻0x 附近的变化情况.四、课堂练习1.质点运动规律为32+=t s ,求质点在3t =的瞬时速度为.2.求曲线3)(x x f y ==在1x =时的导数.3.例2中,计算第3h 时和第5h 时,原油温度的瞬时变化率,并说明它们的意义.五、回顾总结1.瞬时速度、瞬时变化率的概念.2.导数的概念.六、布置作业 p10。

2019-2020学年高中数学 3.1.1变化率问题 3.1.2导数的概念教案新人教版选修2-2【学情分析】：本节的中心任务是形成导数的概念.概念形成划分为两个层次：1、借助气球膨胀率问题，了解变化率的含义；借助高台跳水问题，明确瞬时速度的含义.2、以速度模型为出发点，结合其他实例抽象出导数概念，使学生认识到导数就是瞬时变化率，了解导数内涵.学生对导数概念的理解会有些困难，所以要对课本上的两个问题进行深入的探讨，以便顺利地使学生形成导数的概念。

【教学目标】：知道了物体的运动规律，用极限来定义物体的瞬时速度，学会求物体的瞬时速度掌握导数的定义. 【教学重点】：理解掌握物体的瞬时速度的意义和导数的定义.【教学难点】：理解掌握物体的瞬时速度的意义和导数的定义.问题2 高台跳水在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度h (单位：m )与起跳后的时间t （单位：s ）存在函数关系h (t )= -4.9t 2+6.5t +10.如何用运动员在某些时间段内的平均速v 度粗略地描述其运动状态?思考计算：5.00≤≤t 和21≤≤t 的平均速度v在5.00≤≤t 这段时间里，)/(05.405.0)0()5.0(s m h h v =--=；在21≤≤t 这段时间里，)/(2.812)1()2(s m h h v -=--=探究：计算运动员在49650≤≤t 这段时间里的平均速度，并思考以下问题：（1）运动员在这段时间内使静止的吗？（2）你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？ 探究过程：如图是函数h (t )= -4.9t 2+6.5t +10的图像，结合图形可知，)0()4965(h h =，所以)/(004965)0()4965(m s h h v =--=， 虽然运动员在49650≤≤t 这段时间里的平均速度为)/(0m s ，但实际情况是运动员仍然运动，并非静止，可以说明用平均速度不能精确描述运动员的运动状态．（二）平均变化率概念:1．上述问题中的变化率可用式子 1212)()(x x x f x f --表示, 称为函数f (x )从x 1到x 2的平均变化率2．若设12x x x -=∆, )()(12x f x f f -=∆ (这里x ∆看作是对于x 1的一个“增量”可用x 1+x ∆代替x 2,同样)()(12x f x f y f -=∆=∆)3． 则平均变化率为=∆∆=∆∆x fx y x x f x x f x x x f x f ∆-∆+=--)()()()(111212 思考：观察函数f (x )的图象 平均变化率=∆∆xf1212)()(x x x f x f --表示什么?（1）一起讨论、分析，得出结果；（2）计算平均变化率的步骤：①求自变量的增量Δx=x 2-x 1； ②求函数的增量Δf=f(x 2)-f(x 1)；③求平均变化率2121()()f x f x f x x x -∆=∆-.注意：①Δx是一个整体符号，而不是Δ与x相乘；②x2= x1+Δx；③Δf=Δy=y2-y1；三．典例分析例1．已知函数f(x)=xx+-2的图象上的一点)2,1(--A及临近一点)2,1(yxB∆+-∆+-,则=∆∆xy．解：)1()1(22xxy∆+-+∆+--=∆+-，∴xxxxxy∆-=∆-∆+-+∆+--=∆∆32)1()1(2例2．求2xy=在xx=附近的平均变化率。

高中数学学习材料马鸣风萧萧*整理制作变化率问题及导数的概念导学案一、 学习目标：1. 会说出平均变化率的概念和几何意义、物理意义；2. 会求函数在某点处附近的平均变化率；3. 了解瞬时速度的定义，能够区分平均速度和瞬时速度，理解导数(瞬时变化率)的概念。

二、掌握以下概念和原理： 问题1 气球膨胀率问题：气球的体积V (单位:L )与半径r (单位:dm )之间的函数关系是__________.如果将半径r 表示为体积V 的函数,那么___________.（1）当V 从0增加到1时,气球半径增加了__________.气球的平均膨胀率为___________. （2）当V 从1增加到2时,气球半径增加了___________.气球的平均膨胀率为___________. 可以看出，随着气球体积逐渐增大，它的平均膨胀率逐渐变小了．思考：当空气容量从V 1增加到V 2时,气球的平均膨胀率是多少?___________. 问题2 高台跳水问题：在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度h (单位：m )与起跳后的时间t （单位：s ）存在函数关系___________.思考计算：5.00≤≤t 和21≤≤t 的平均速度 在5.00≤≤t 这段时间里，________.；在21≤≤t 这段时间里，_________. 探究：计算运动员在49650≤≤t 这段时间里的平均速度，并思考以下问题： ⑴运动员在这段时间内使静止的吗？⑵你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？结论是：①平均速度只能粗略地描述运动员的运动状态，它并不能反映某一刻的运动状态. ②需要寻找一个量，能更精细地刻画运动员的运动状态； 问题3 平均变化率已知函数()x f ，则变化率可用式子_____________,此式称之为函数()x f 从1x 到2x ______.习惯上用x ∆表示12x x -，即x ∆=__________,可把x ∆看做是相对于1x 的一个“增量”，可用+1x x ∆代替2x ，类似有=∆)(x f _________,于是，平均变化率可以表示为_____________思考：观察函数f (x )的图象说出平均变化率=∆∆xf1212)()(x x x f x f --表示什么? 总结计算平均变化率的步骤：①求自变量的增量Δx=x 2-x 1；②求函数的增量Δf=f(x 2)-f(x 1)；③求平均变化率2121()()f x f x fx x x -∆=∆-. 注意：①Δx 是一个整体符号，而不是Δ与x 相乘；②x 2= x 1+Δx ；③Δf=Δy=y 2-y 1； 问题4 瞬时速度我们把物体在某一时刻的速度称为________。

第一章导数及其应用1.1 变化率与导数(第2课时)教学目标1.核心素养通过导数的几何意义学习，体验数形结合中的“以直代曲”，感受数与形的联系，提高抽象概括能力．2.学习目标（1）1.1.3.1通过函数图像的割线，经历割线过渡到切线的过程，了解切线的形成过程..（2）1.1.3.2通过导数的几何意义，会写出切线方程．3.学习重点导数的几何意义；体会导数思想及内涵．4.学习难点（1）从割线到切线的逼近方法的理解，将导数多方面的意义联系起来．（2）能够理解“在某一点处的切线”与“过某一点的切线”的区别.一、教学设计（一）课前设计1．预习任务任务1阅读教材P7，思考任意曲线的切线与抛物线的切线的定义的不同.任务2阅读教材P8，了解导数与切线斜率的关系.2．预习自测1. 过曲线y＝2x上两点(0,1)，(1,2)的割线的斜率为（）A．－4 B．—1 C．4 D．1 解：D2. 若曲线y＝h(x)在点P(a，h(a))处切线方程为2x＋y＋1＝0，则（）A．h′(a)<0 B．h′(a)>0C ．h ′(a )＝0D ．h ′(a )的符号不定解：A3. 曲线y ＝－2x 2＋1在点(0,1)处的切线的斜率是 ( ) A ．－4 B ．0 C ．4D ．不存在解：A（二） 课堂设计 1.知识回顾（1） 函数()f x 从1x 到2x 的平均变化率是2121()()y f x f x x x x ∆-=∆-.（2） 函数()f x 在0x x =处的瞬时变化率是0000()()limlim x x y f x x f x x x∆→∆→∆+∆-=∆∆.（3） 函数()f x 在0x x =处的导数的步骤分为“一差、二比、三趋近”. 2．问题探究问题探究一●活动一 观察图象移动割线函数的平均变化率的几何意义是什么？因为2121()()y f x f x x x x ∆--=∆称为函数()y f x =从1x 到2x 的平均变化率.习惯上用x ∆表示21x x -是横坐标之差， 类似地，21()()y f x f x ∆=-是纵坐标之差，所以平均变化率可以表示为过两点()()1122,(),,()x f x x f x 的直线的斜率. ●活动二 动态生成逼近思想导数的几何意义是什么？如图，当(,())(1,2,3,4)n n n P x f x n =沿着曲线()f x 趋近于点00(,())P x f x 时，割线n PP 的变化趋势是什么？我们发现,当点n P 沿着曲线无限接近点P 即Δx →0时,割线n PP 趋近于确定的位置，这个确定位置的直线PT 称为曲线在点P 处的切线.根据活动一容易知道，割线n PP 的斜率是00()()n n n f x f x k x x -=-,当点n P 沿着曲线无限接近点P 时，n k 无限趋近于切线PT 的斜率k ，即0000()()lim()x f x x f x k f x x∆→+∆-'==∆.函数()y f x =在0x x =处的导数0()f x '就是曲线()y f x =在点00(,())x f x 处切线的斜率k . 即0000()()()limx f x x f x k f x x∆→+∆-'==∆.●活动三 自主探究切线方程由直线的点斜式方程可知，曲线()y f x =在点00(,())x f x 处的切线方程为000()()y y f x x x '-=-. 例1 已知曲线x x y 1+=上一点)25,2(A ，求：（1）点A 的切线的斜率； （2）点A 处的切线方程. 【知识点：导数的几何意义】 解：（1）)2()2(f x f y -∆+=∆x x xx x ∆+∆+∆-=+-∆++∆+=)2(2)212(212 00limlim 2(2)x x y x x x x x x ∆→∆→⎡⎤∆-∆∆=+=⎢⎥∆∆+∆∆⎣⎦431)2(21lim 0=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+∆+→∆x x所以点A 处的切线的斜率是34. （2）切线方程为)2(4325-=-x y 即0443=+-y x . 点拨：求切线的斜率就是求该点处的导数.例2 利用导数的定义求函数f (x )＝x 3在x ＝x 0处的导数，并求曲线f (x )＝x 3在x ＝x 0处切线与曲线f (x )＝x 3的交点． 【知识点：导数的几何意义】解：0003322200000000()()()lim lim lim()3x x x x x x f x f x x x f x x xx x x x x x x →→→--===++=--曲线f (x )＝x 3在x ＝x 0处的切线方程为320003()y x x x x -=⋅-，即230032y x x x =-，由3230032y x y x x x ⎧=⎨=-⎩得(x －x 0)2(x ＋2x 0)＝0，解得x ＝x 0，x ＝－2x 0. 若x 0≠0，则交点坐标为330000(,),(2,8)x x x x --； 若x 0＝0，则交点坐标为(0,0)． 点拨：求切线方程分两类：1.求曲线()f x 在某点(切点)00(,)x y 处的切线步骤：（1）求0()k f x '=；（2）点斜式求方程000()()y y f x x x '-=- 2.求过某点(不一定是切点)12(,)x y 的切线 步骤：（1）设切点00(,)x y ，则00()y f x =（2）0()k f x '=，10101010()y y y f x k x x x x --==-- （3）联立方程组0010010()()()y f x y f x f x x x=⎧⎪-⎨'=⎪-⎩解出0,x 10010()()y f x f x x x -'=-（4）点斜式求方程000()()()y f x f x x x '-=- 3．课堂总结 【知识梳理】(1)函数()y f x =在0x x =处的导数0()f x '就是曲线()y f x =在点00(,())x f x 处的斜率k .即0000()()()limx f x x f x k f x x∆→+∆-'==∆(2)由直线的点斜式方程可知，曲线()y f x =在点00(,())x f x 处的切线方程为_______________. 【重难点突破】（1）函数()y f x =从1x 到2x 的平均变化率的几何意义是：经过两点11(,())x f x 、22(,())x f x 两点的割线的斜率.（2）导数的丰富内涵：①导数就是瞬时变化率；②曲线()y f x =上0x x =处的切线斜率为函数在0x 处的导数0()f x '；③物体某时刻的瞬时速度为其位移时间函数()s f t =在该时刻处的导数.（3）以直代曲思想：由于大多数函数曲线就一小范围来看，大致可看作直线，所以我们用曲线上某点处的切线近似代替这一点附近的曲线，即以直代曲.以直代曲思想是微积分的基本思想之一.这个思想在本节有以下两个应用：①利用导数的正负说明曲线的升降；②依据切线倾斜程度的大小判断曲线升降的快慢. 4．随堂检测1．已知P ，Q 为抛物线x 2＝2y 上两点，点P ，Q 的横坐标分别为4，－2，过P ，Q 分别作抛物线的切线，两切线交于点A ，则点A 的纵坐标为（ ） A ．1 B ．3 C ．－4 D ．－8【知识点：导数的几何意义】 解：C提示：由题意得P (4,8)，Q (－2,2)．∵y ＝x 22，∴y ′＝x ，∴在P 处的切线方程：y －8＝4(x －4)，即y ＝4x －8.在Q 处的切线方程：y －2＝－2(x ＋2)，即y ＝－2x －2.∴A (1，－4)．2．若曲线y ＝x 2＋ax ＋b 在点(0，b )处的切线方程是x －y ＋1＝0，则( ) A ．a ＝1，b ＝1 B ．a ＝－1，b ＝1 C ．a ＝1，b ＝－1 D ．a ＝－1，b ＝－1 【知识点：导数的几何意义】解：A 提示：y ′＝2x ＋a ，因为切线x －y ＋1＝0的斜率为1，所以2×0＋a ＝1，即a ＝1.又(0，b )在直线x －y ＋1＝0上，因此0－b ＋1＝0，即b ＝1. 3．已知函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x，则函数图象在x ＝0处的切线方程为（ ）A ．x ln 2－y －1＝0B ．x ln 2＋y －1＝0C ．x ＋y ln 2－1＝0D ．x －y ln 2－1＝0【知识点：导数的运算；导数的几何意义】 解： B4．已知f ′(x )是函数f (x )的导函数，如果f ′(x )是二次函数，f ′(x )的图象开口向上，顶点坐标为(1，3)，那么曲线y ＝f (x )上任意一点处的切线的倾斜角α的取值范围是（ ）A.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，π3B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫π3，π2C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，2π3D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫π3，π 【知识点：导数的几何意义；数学思想：数形结合】解：B 提示：由题意知f ′(x )＝a (x －1)2＋3(a >0)，所以f ′(x )＝a (x －1)2＋3≥ 3，即tan α≥ 3，所以α∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫π3，π2.5．若曲线31y x x =+-在点P 处的切线与直线47y x =-平行，则点P 的坐标为（ ）A ．(1,1)B ．(1,1)或(1,3)--C ．(1,3)或(1,1)--D ．(1,1)--【知识点：导数的运算】 解：B6．已知函数y ＝f (x )及其导函数y ＝f ′(x )的图象如图所示，则曲线y ＝f (x )在点P 处的切线方程是________．【知识点：导数的几何意义；数学思想：数形结合】解：x －y －2＝0 提示：根据导数的几何意义及图象可知，曲线y ＝f (x )在点P 处的切线的斜率k ＝f ′(2)＝1，又过点P (2,0)，所以切线方程为x －y －2＝0. （三）课后作业 基础型 自主突破1．曲线22y x =在点(2,8)A 处的切线斜率为（ ） A. 4B. 16C. 8D. 2【知识点：导数的几何意义；数学思想：数形结合】 解：C2．已知函数2()24f x x =-的图像上有两点(1,2)M -及(1,(1))N x f x +∆+∆，则割线MN 的斜率为（ ）A ．4B ．4xC ．42x +∆D ．242()x +∆【知识点：导数的几何意义；数学思想：数形结合】 解：C3．已知点11(,)A x y ，22(,)B x y 在函数()y f x =的图像上，若函数()y f x =从1x 到2x ，则曲线()y f x =的割线AB 的倾斜角为_______________. 【知识点：导数的几何意义；数学思想：数形结合】 解：3π提示：从1x 到2x 的平均变化率即为割线AB 的斜率. 4．曲线()y f x =在点5x =处的切线方程是y ＝－x ＋8，则(5)(5)f f '+=________.【知识点：导数的几何意义；数学思想：数形结合】 解：2 提示：(5)(5)(58)(1)2f f '+=-++-=.5．已知P 是曲线y ＝x 2－3x 上一点，且曲线在点P 处的切线平行于x 轴，则点P 的坐标为_________．【知识点：导数的几何意义；数学思想：数形结合】 解：39(,)24- 提示：设00(,)P x y ，00x x y ='=.6．已知函数()()f x x Q αα=∈.（1）当2α=时，求()f x 在1x =处的导数；（2）当1α=-时，求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程. 【知识点：导数的几何意义；数学思想：数形结合】 解：（1）当2α=时，2()f x x =.由于22(1)(1)(1)12()y f x f x x x ∆=+∆-=+∆-=∆+∆，则2yx x∆=+∆∆，于是0(1)lim(2)2x f x ∆→'=+∆=.（2）当1α=-时，1()f x x=.00011(1)(1)11(1)lim lim lim 11x x x f x f x f x xx ∆→∆→∆→-+∆--+∆'====-∆∆+∆. 于是曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线斜率1k =-，又(1)1f =从而曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为1(1)y x -=--，即20x y +-=. 能力型 师生共研7.已知函数f (x )的图象如图所示，下列数值的排序正确的是A ．0(1)(2)(2)(1)f f f f ''<<<-B ．0(2)(2)(1)(1)f f f f ''<<-<C ．0(2)(1)(2)(1)f f f f ''<<<-来:D ．0(1)(2)(1)(2)f f f f ''<<-<【知识点：导数的几何意义；数学思想：数形结合】解：D 提示：(1)f '，(2)f '分别表示曲线在点(1,(1))f ，(2,(2))f 处的切线斜率，而(2)(1)f f -表示过点(1,(1))f ，(2,(2))f 的直线的斜率.8．过点P (－1,2)且与曲线y ＝3x 2－4x ＋2在点M (1,1)处的切线垂直的直线方程为__________．【知识点：导数的几何意义；数学思想：数形结合】解：230x y +-= 提示：曲线y ＝3x 2－4x ＋2在点M (1,1)处的切线的斜率2k =，所以过P 与切线垂直的直线方程为12(1)2y x -=-+，即230x y +-=. 9．已知曲线31433y x =+.（1）求曲线在点(2,4)P 处的切线方程； （2）求曲线过点(2,4)P 的切线方程.【知识点：导数的几何意义；数学思想：数形结合】 解：先求31433y x =+的导数y '.333322141411()()[()][33()]333333y x x x x x x x x x x x ∆=+∆+-+=+∆-=∆⋅+∆+∆则222220001[33()]13lim lim lim [33()]3x x x x x x x x y y x x x x x x x∆→∆→∆→∆⋅+∆+∆∆'===+∆+∆=∆∆（1）曲线在(2,4)P 的切线斜率24x k y ='==， 从而切线方程为44(2)y x -=-，即440x y --=.（2）设切点为00(,)x y ，则020x x k y x ='==，所以切线方程为2000()y y x x x -=-，又3001433y x =+，切线过点(2,4)，所以3200144()(2)33x x x -+=-，解得：01x =-或02x =，所以切点为(1,1)-或(2,4)，故切线方程为11y x -=+或44(2)y x -=-，即切线方程为：20x y -+=或440x y --=.10．如图，它表示跳水运动中高度随时间变化的函数2() 4.9 6.510h t t t =-++的图象.根据图象,请描述、比较曲线()h t 在012,,t t t 附近的变化情况. 【知识点：导数的几何意义；数学思想：数形结合】解：（1）当0t t =时，曲线()h t 在0t 处的切线0l 平行于t 轴.所以，在0t t =附近曲线比较平坦，几乎没有升降.（2）当1t t =时，曲线()h t 在1t 处的切线1l 的斜率1()0h t '<.所以，在1t t =附近曲线下降，即函数()h t 在1t t =附近单调递减.（3）当2t t =时，曲线()h t 在2t 处的切线2l 的斜率2()0h t '<.所以，在2t t =附近曲线下降，即函数()h t 在2t t =附近单调递减.由图可知，直线1l 的倾斜程度小于2l 的倾斜程度，这说明曲线()h t 在1t 附近比2t 附近下降得缓慢. 探究型 多维突破11.已知f (x )＝ln x ，g (x )＝12x 2＋mx ＋72(m ＜0)，直线l 与函数f (x )，g (x )的图象都相切，且与f (x )图象的切点为(1，f (1))，则m 的值为( )A ．－1B ．－3C ．－4D ．－2 【知识点：导数的几何意义；数学思想：数形结合】解：选D ∵f ′(x )＝1x ，∴直线l 的斜率为k ＝f ′(1)＝1，又f (1)＝0，∴切线l 的方程为y ＝x －1.g ′(x )＝x ＋m ，设直线l 与g (x )的图象的切点为(x 0，y 0)，则有x 0＋m ＝1，y 0＝x 0－1，y 0＝12x 20＋mx 0＋72，m <0，于是解得m ＝－2，故选D.12.已知函数f (x )＝13x 3－2x 2＋3x (x ∈R )的图象为曲线C .(1)求过曲线C 上任意一点切线斜率的取值范围；(2)若在曲线C 上存在两条相互垂直的切线，求其中一条切线与曲线C 的切点的横坐标的取值范围．【知识点：导数的几何意义；数学思想：数形结合】解：(1)由题意得f ′(x )＝x 2－4x ＋3，则f ′(x )＝(x －2)2－1≥－1，即过曲线C 上任意一点切线斜率的取值范围是[－1，＋∞)．(2)设曲线C 的其中一条切线的斜率为k ，则由(2)中条件并结合(1)中结论可知，⎩⎪⎨⎪⎧ k ≥－1，－1k ≥－1，解得－1≤k ＜0或k ≥1，故由－1≤x 2－4x ＋3＜0或x 2－4x ＋3≥1，得x ∈(－∞，2－2]∪(1,3)∪[2＋2，＋∞)．四、自助餐1．曲线212y x =在点1(1,)2P 处的切线方程为（ ） A ．102x y --=B ．302x y +-=C ．102x y -+= D ．302x y +-= 【知识点：导数的几何意义；数学思想：数形结合】解：A 提示：利用导数定义求出斜率，在用点斜式写切线方程.2．设0()0f x '=，则曲线()y f x =在点00(,())x f x 处的切线（ ）A ．不存在B ．与x 轴平行或重合C ．与x 轴垂直D ．与x 轴斜交【知识点：导数的几何意义；数学思想：数形结合】解：B3．设y ＝f (x )存在导函数，且满足0(1)(12)lim 12x f f x x∆→--∆=-∆，则曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线斜率为（ ）A ．2B ．－1C ．1D ．－2【知识点：导数的几何意义；数学思想：数形结合】解：B 提示：0(1)(12)lim (1)12x f f x f x∆→--∆'==-∆. 4．已知某物体的运动规律是221s t =+，则该物体在1t =到1t t =+∆这段时间内的平均速度为A ．4B ．4xC ．42t +∆D ．242()t +∆【知识点：导数的几何意义；数学思想：数形结合】解：C5．已知曲线y ＝2x 3上一点A (1,2)，则A 处的切线斜率等于A ．2B ．4C ．6＋6Δx ＋2(Δx )2D ．6【知识点：导数的几何意义；数学思想：数形结合】解：D6．若f (x )＝ax 4＋bx 2＋c 满足f ′(1)＝2，则f ′(－1)＝( )A ．－4B ．－2C ．2D ．4【知识点：导数的几何意义；数学思想：数形结合】解：B 提示：∵f (x )＝ax 4＋bx 2＋c ，∴f ′(x )＝4ax 3＋2bx ，又f ′(1)＝2，∴4a ＋2b ＝2，∴f ′(－1)＝－4a －2b ＝－2.7．曲线221y x =+在点(1,3)P -处的切线方程为（ ）A ．41y x =--B ．47y x =--C ．41y x =-D ．47y x =+【知识点：导数的几何意义；数学思想：数形结合】解：A8．已知函数1y ax x=+图像上各点处的切线斜率均小于1，则实数a 的取值范围是________.【知识点：导数的几何意义；数学思想：数形结合】解：1a ≤ 提示：由导数的定义可知：21y a x '=-，各点处切线斜率均小于1，于是211y a x '=-<，即211a x <+对于非零实数x 恒成立. 因为对于非零实数x ，2111x+>，所以1a ≤. 9．曲线y ＝ax 2－ax ＋1(a ≠0)在点(0,1)处的切线与直线2x ＋y ＋1＝0垂直，则a ＝( )A.12 B ．－12 C.13 D ．－13【知识点：导数的几何意义；数学思想：数形结合】解：B 提示：∵y ＝ax 2－ax ＋1，∴y ′＝2ax －a ，∴y ′|x ＝0＝－a .又∵曲线y ＝ax 2－ax ＋1(a ≠0)在点(0,1)处的切线与直线2x ＋y ＋1＝0垂直，∴(－a )·(－2)＝－1，即a ＝－12.10．等比数列{a n }中，a 1＝2，a 8＝4，函数f (x )＝x (x －a 1)·(x －a 2)·…·(x －a 8)，则f ′(0)＝( )A ．26B ．29C ．212D ．215【知识点：导数的几何意义；数学思想：数形结合】解：因为f ′(x )＝x ′·[](x －a 1)(x －a 2)…(x －a 8)＋[](x －a 1)(x －a 2)…(x －a 8)′·x ＝(x －a 1)(x －a 2)…(x －a 8)＋[](x －a 1)(x －a 2)…(x －a 8)′·x ，所以f ′(0)＝(0－a 1)(0－a 2)…(0－a 8)＋0＝a 1a 2…a 8.因为数列{a n }为等比数列，所以a 2a 7＝a 3a 6＝a 4a 5＝a 1a 8＝8，所以f ′(0)＝84＝212.11．若曲线f (x )＝ax 5＋ln x 存在垂直于y 轴的切线，则实数a 的取值范围是________．【知识点：导数的几何意义；数学思想：数形结合】解：曲线f (x )＝ax 5＋ln x 存在垂直于y 轴的切线，即f ′(x )＝0有正实数解．又∵f ′(x )＝5ax 4＋1x ，∴方程5ax 4＋1x ＝0有正实数解．∴5ax 5＝－1有正实数解．∴a <0.故实数a 的取值范围是(－∞，0)．12．已知函数3()7f x x x =-+.（1）求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程；（2）设点P 是曲线()y f x =上的任意一点.求曲线在点P 处的切线的倾斜角的取值范围.【知识点：导数的几何意义；数学思想：数形结合】 解：3300()()()()7(7)()lim lim x x f x x f x x x x x x x f x x x∆→∆→+∆-+∆-+∆+--+'==∆∆ 3322200()lim lim (331)31x x x x x x x x x x x x∆→∆→+∆--∆==+⋅∆+∆-=-∆. （1）()f x 在点(1,(1))f 处的切线斜率(1)2k f '==，又(1)7f =，所以切线方程为72(1)y x -=-，即250x y -+=.（2）设00(,)P x y ，则曲线在点P 处的切线斜率为20311k x =-≥-，设在点P 处的切线的倾斜角为α，则tan 1α≥-，则02πα≤<或34παπ≤<. 13．曲线2:4C y x x =-+上两点(4,0)A ，(2,4)B .（1）求AB 所在直线的方程； （2）在曲线上是否存在一点C ，使曲线在点C 处的切线与直线AB 平行？若存在，求出点C 的坐标并求出曲线在点C 处的切线方程；若不存在，请说明理由.【知识点：导数的几何意义；数学思想：数形结合】解：（1）4224AB k ==--，直线AB 的方程为2(4)y x =--，即280x y +-=. （2）假设存在这样的点C ，并设C 点坐标为00(,)x y ，则在C 点的切线斜率为0()f x '， 又220000000()()()4()(4)(42)f x x f x x x x x x x x x x x+∆--+∆++∆--+==-∆+-∆∆， 所以0000()lim (42)42x f x x x x ∆→'=-∆+-=-，又由于曲线在C 处的切线与AB 平行， 故曲线在点C 处的切线斜率00()422k f x x '==-=-，解得03x =，此时03y =，即存在点(3,3)C ，使曲线在点C 处的切线与直线AB 平行，所以曲线在点C 处的切线方程为32(3)y x -=--，即290x y +-=. 数学视野微积分是研究函数的微分、积分以及有关概念和应用的数学分支科学.微积分的基本概念是函数、极限、导数、积分等，其中极限是微积分的基石.微积分是一种数学思想，‘无限细分’就是微分，‘无限求和’就是积分.微分是由联系到对曲线作切线的问题和函数的极大值、极小值问题而产生的.积分概念是由求某些面积、体积和弧长引起的.微积分的产生具有悠久的历史渊源.在中国，公元前4世纪，桓团、公孙龙等提出的“一尺之锤，日取其半，万世不竭”；公元3世纪刘微的“割圆术”和公元5~6世纪祖冲之、祖暅对圆周率、面积和体积的研究（祖冲之在刘微割圆术的基础上首先计算出了精确到小数点后7位的圆周率的近似值，他还相当精确的计算了球的体积），都包含着微积分概念的萌芽.在欧洲，公元前3世纪欧几里得在几何《原本》中对不可约量及面积与体积的研究，公元前3世纪阿基米德对面积及体积的进一步研究（穷竭法），也都包含上述萌芽.十七世纪下半叶，在前人工作的基础上，英国科学家牛顿和德国数学家莱布尼茨分别在自己的国度里独自研究和完成了微积分的创立工作.此后柯西与魏尔斯特拉斯等人又对微积分进行了完善.。

1．1.1 变化率问题 1．1.2 导数的概念[目标] 1.理解函数平均变化率、瞬时变化率的概念.2.掌握函数平均变化率的求法.3.掌握导数的概念，会用导数的定义求简单函数在某点处的导数．[重点] 理解导数的概念．[难点] 理解导数与瞬时变化率的关系．知识点一 平均变化率[填一填]1．平均变化率的定义对于函数f (x )，当自变量x 从x 1变到x 2时，函数值从f (x 1)变到f (x 2)，则称式子f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1为函数f (x )从x 1到x 2的平均变化率．2．符号表示习惯上，自变量的改变量用Δx 表示，即Δx ＝x 2－x 1，函数值的改变量用Δy 表示，即Δy ＝f (x 2)－f (x 1)，于是平均变化率可以表示为ΔyΔx .3．平均变化率的几何意义如图所示，函数f (x )的平均变化率的几何意义是：直线AB 的斜率．事实上，k AB ＝y A －y B x A －x B ＝f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1＝ΔyΔx .根据平均变化率的几何意义，可求解有关曲线割线的斜率．[答一答]1．若函数在某区间上的平均变化率为零，能否说明此函数在此区间上的函数值都相等？提示：不能．比如，f(x)＝x2在[－2,2]上的平均变化率为0，但其图象在[－2,2]上先下降后上升，值域是[0,4]．2．一次函数f(x)＝ax＋b从x1到x2的平均变化率有什么特点？提示：一次函数的图象为直线，图象上任意两点间连线的斜率固定不变，故一次函数定义域内的任意两个自变量之间的平均变化率等于常数a.知识点二导数的概念[填一填]1．导数的定义一般地，函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率是limΔx→0ΔyΔx＝limΔx→0f(x0＋Δx)－f(x0)Δx，称它为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数．2．导数的符号表示用f′(x0)或y′|x＝x表示函数f(x)在x＝x0处的导数，即f′(x0)＝limΔx→0ΔyΔx＝limΔx→0f(x0＋Δx)－f(x0)Δx.[答一答]3．根据平均速度与瞬时速度的定义探究以下问题： (1)物体的平均速度能反映它在某一时刻的瞬时速度吗？ (2)如何计算物体的平均速度和瞬时速度？提示：(1)不能，物体的瞬时速度是指某一时刻的速度，而平均速度是指某一段时间或一段路程的速度．(2)平均速度：一物体的运动方程为s ＝s (t )，则它在[t 1，t 2]这个时间段内的平均速度为s (t 2)－s (t 1)t 2－t 1.瞬时速度：一物体的运动方程为s ＝s (t )，则它在t 0时刻的瞬时速度为lim Δt →0s (t 0＋Δt )－s (t 0)Δt. 4．根据函数的瞬时变化率与在某点处导数的定义，回答下列问题： (1)瞬时变化率与平均变化率的关系是什么？它们的物理意义分别是什么？(2)瞬时变化率与函数在某点处导数的关系是什么？(3)设函数f (x )在x ＝x 0处可导，则导数值与x 0，Δx 都有关吗？ 提示：(1)瞬时变化率是平均变化率在Δx 无限趋近于0时，ΔyΔx 无限趋近的值，瞬时变化率的物理意义是指物体运动的瞬时速度，平均变化率的物理意义是指物体运动的平均速度．(2)函数在某点处的瞬时变化率就是函数在此点处的导数． (3)导数是一个局部性的概念，它与函数y ＝f (x )在x 0及附近的函数值有关，与Δx 无关．1．对Δx ，Δy 的理解(1)Δx ，Δy 是一个整体符号，而不是Δ与x ，y 相乘．(2)x 1，x 2是定义域内不同的两点，因此Δx ≠0，但Δx 可正也可负；Δy ＝f (x 2)－f (x 1)是Δx ＝x 2－x 1相应的改变量，Δy 的值可正可负，也可为零，因此平均变化率可正、可负、也可为零．2．导数概念的解读(1)导数是一个局部概念，它只与函数y ＝f (x )在x ＝x 0处及其附近的函数值有关，与Δx 无关．(2)f ′(x 0)是一个常数，即当Δx →0时，存在一个常数与f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx无限接近．如果当Δx →0时，lim Δx →0ΔyΔx 不存在，则称函数f (x )在x ＝x 0处不可导．类型一 求函数的平均变化率【例1】 已知函数f (x )＝2x 2＋1. (1)求函数f (x )在[2,2.01]上的平均变化率； (2)求函数f (x )在[x 0，x 0＋Δx ]上的平均变化率．【思路分析】 先求Δx ，Δy ，再利用平均变化率的定义求解． 【解】 (1)由f (x )＝2x 2＋1， 得Δy ＝f (2.01)－f (2)＝0.080 2，Δx ＝2.01－2＝0.01，∴Δy Δx ＝0.080 20.01＝8.02. (2)∵Δy ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)＝2(x 0＋Δx )2＋1－2x 20－1＝2Δx (2x 0＋Δx )，∴Δy Δx ＝2Δx (2x 0＋Δx )Δx＝4x 0＋2Δx .求函数平均变化率的步骤(1)求自变量的改变量Δx ＝x 2－x 1；(2)求函数值的改变量Δy ＝f (x 2)－f (x 1)；(3)求平均变化率Δy Δx ＝f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1.分别计算下列三个图象表示的函数h (t )在区间[0,3]上的平均变化率．解：对于(1)，Δh ＝h (3)－h (0)＝10－0＝10，∴Δh Δt ＝103－0＝103，即平均变化率为103.同理可以算得(2)(3)中函数h (t )在区间[0,3]上的平均变化率均为103.类型二 求瞬时速度【例2】 已知s (t )＝5t 2(s 单位：m)． (1)求t 从3 s 到3.1 s 的平均速度； (2)求t 从3 s 到3.01 s 的平均速度； (3)求t ＝3 s 时的瞬时速度．【解】 (1)当3≤t ≤3.1时，Δt ＝0.1， Δs ＝s (3.1)－s (3)＝5×(3.1)2－5×32 ＝5×(3.1－3)×(3.1＋3)，∴Δs Δt ＝5×0.1×6.10.1＝30.5(m/s)． (2)当3≤t ≤3.01时，Δt ＝0.01， Δs ＝s (3.01)－s (3)＝5×(3.01)2－5×32 ＝5×(3.01－3)×(3.01＋3)， ∴Δs Δt ＝5×0.01×6.010.01＝30.05(m/s)． (3)在t ＝3附近取一个时间段Δt ， 即3≤t ≤3＋Δt (Δt >0)，∴Δs ＝s (3＋Δt )－s (3)＝5×(3＋Δt )2－5×32 ＝5·Δt ·(6＋Δt )，∴Δs Δt ＝5Δt (6＋Δt )Δt ＝30＋5Δt . 当Δt 趋于0时，ΔsΔt 趋于30. ∴在t ＝3时的瞬时速度为30 m/s.瞬时速度即是平均速度\x\to(v )在Δt →0时的极限值，为此，要求瞬时速度，应先求出平均速度，再求\x\to(v )在Δt →0时的极限值.甲、乙两工厂经过排污治理，污水的排放流量(W )与时间(t )的关系如图所示，则治污效率较高的是甲．解析：在t 0处，虽然W 1(t 0)＝W 2(t 0)，然而W 2(t 0－Δt )<W 1(t 0－Δt )(Δt >0)，所以|W 1(t 0)－W 1(t 0－Δt )Δt |>|W 2(t 0)－W 2(t 0－Δt )Δt|， 所以在相同时间内甲比乙的平均治污效率高． 类型三 求函数在某点处的导数【例3】 (1)设函数f (x )在点x 0附近有定义，且有f (x 0＋Δx )－f (x 0)＝a Δx ＋b (Δx )2(a ，b 为常数)，则( )A ．f ′(x )＝aB ．f ′(x )＝bC ．f ′(x 0)＝aD ．f ′(x 0)＝b(2)求函数f (x )＝x 在x ＝1处的导数．【思路分析】 按导数的定义：①求Δy 与Δx ；②求ΔyΔx ；③求lim Δx →0Δy Δx .【解析】 (1)f ′(x 0)＝lim Δx →0f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx＝lim Δx →0(a ＋b ·Δx )＝a . (2)解：由导数的定义知，函数在x ＝1处的导数f ′(1)＝lim Δx →0f (1＋Δx )－f (1)Δx ，而 f (1＋Δx )－f (1)Δx ＝1＋Δx －1Δx ＝11＋Δx ＋1， 又lim Δx →011＋Δx ＋1＝12，所以f ′(1)＝12.【答案】 (1)C (2)见解析由导数的定义知，求一个函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数的步骤如下：,(1)求函数值的改变量Δy ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)；(2)求平均变化率Δy Δx ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx；(3)取极限，得导数f ′(x 0)＝lim Δx →0ΔyΔx .简认为：一差，二比，三趋近.求函数y ＝3x 2在x ＝1处的导数．解：∵Δy ＝3(1＋Δx )2－3×12＝6Δx ＋3(Δx )2， ∴ΔyΔx ＝6＋3Δx ，∴y ′|x ＝1＝lim Δx →0ΔyΔx ＝lim Δx →0(6＋3Δx )＝6.理解导数概念不到位导致出错【例4】 设函数f (x )在点x 0处可导，且f ′(x 0)已知，求下列各式的极限值．(1)lim Δx →0f (x 0－Δx )－f (x 0)Δx； (2)lim h →0f (x 0＋h )－f (x 0－h )2h. 【错解】 (1)lim Δx →0f (x 0－Δx )－f (x 0)Δx＝f ′(x 0)． (2)lim h →0f (x 0＋h )－f (x 0－h )2h＝12lim h →0f (x 0＋h )－f (x 0－h )h＝12f ′(x 0)． 【错因分析】 在导数的定义中，增量Δx 的形式是多种多样的，但不论Δx是哪种形式，Δy必须选择相对应的形式．如(1)中Δx的改变量为Δx＝x0－(x0－Δx)，(2)中Δx的改变量为2h＝(x0＋h)－(x0－h)．【正解】(1)limΔx→0f(x0－Δx)－f(x0)Δx＝－limΔx→0f(x0)－f(x0－Δx)Δx＝－f′(x0)．(2)limh→0f(x0＋h)－f(x0－h)2h＝f′(x0)．若函数f(x)在x＝a的导数为m，那么lim Δx→0f(a＋2Δx)－f(a－2Δx)Δx的值为4m.解析：limΔx→0f(a＋2Δx)－f(a－2Δx)Δx＝limΔx→0f(a＋2Δx)－f(a)＋f(a)－f(a－2Δx)Δx＝limΔx→0f(a＋2Δx)－f(a)Δx＋limΔx→0f(a)－f(a－2Δx)Δx＝2limΔx→0f(a＋2Δx)－f(a)2Δx＋2limΔx→0f(a－2Δx)－f(a)－2Δx＝2m＋2m＝4m.1．一质点的运动方程是s ＝4－2t 2，则在时间段[1,1＋Δt ]内相应的平均速度为( D )A ．2Δt ＋4B ．－2Δt ＋4C ．2Δt －4D ．－2Δt －4解析：v ＝Δs Δt ＝4－2(1＋Δt )2－4＋2×12Δt ＝－4Δt －2(Δt )2Δt＝－2Δt －4. 2．物体自由落体运动的方程为s ＝s (t )＝12gt 2(g ＝9.8 m/s 2)．若v ＝lim Δt →0s (1＋Δt )－s (1)Δt＝9.8 m/s ，那么说法正确的是( C ) A ．9.8 m/s 是在0～1 s 这段时间内的速率 B ．9.8 m/s 是从1 s 到(1＋Δt )s 这段时间内的速率 C ．9.8 m/s 是物体在t ＝1 s 这一时刻的速率D ．9.8 m/s 是物体在1 s 到(1＋Δt ) s 这段时间内的平均速率 解析：v ＝lim Δt →0s (1＋Δt )－s (1)Δt＝s ′(1)，即s (t )在t ＝1 s 时的导数值．由导数的物理意义，得9.8 m/s 是物体在t ＝1 s 这一时刻的速率．故选C.3．一物体的运动方程是s (t )＝3＋t 2，则在一小段时间[2,2.1]内相应的平均速度为4.1.解析：v ＝s (2.1)－s (2)2.1－2＝(3＋2.12)－(3＋22)0.1＝4.1. 4．如果质点按规律s ＝3t 2运动，则在t ＝3时的瞬时速度为18. 解析：v ＝lim Δt →0ΔsΔt ＝lim Δt →03(3＋Δt )2－3×32Δt＝lim Δt →0(3Δt ＋18)＝18. 5．利用导数的定义求函数f (x )＝－x 2＋3x 在x ＝2处的导数．解：由导数的定义知，函数在x＝2处的导数f′(2)＝limΔx→0 f(2＋Δx)－f(2)Δx，而f(2＋Δx)－f(2)＝－(2＋Δx)2＋3(2＋Δx)－2＝－(Δx)2－Δx，于是f′(2)＝limΔx→0－(Δx)2－ΔxΔx＝limΔx→0(－Δx－1)＝－1.莘莘学子，最重要的就是不要去看远方模糊的，而要做手边清楚的事。

第一章 导数及其应用 1.1 变化率与导数第1课时教学目标 1. 核心素养通过变化率与导数的学习，体验数学发现和创造的过程，提高抽象概括能力． 2. 学习目标（1）1.1.1通过实例，经历平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，（2）1.1.2了解导数概念的实际背景，知道瞬时变化率就是导数，体会导数的思想及其内涵. 3. 学习重点平均变化率与导数的概念；体会导数思想及内涵． 4. 学习难点理解导数的概念，掌握导数的记号. （一） 课前设计 1．预习任务 任务1阅读教材P 2－P 6，思考：平均变化率和瞬时变化率是什么？平均变化率和瞬时变化率的区别是什么？你能否举出一个实例，求平均变化率和瞬时变化率. 任务2导数是什么？导数的记号是什么？2．预习自测1.一球沿一斜面自由滚下，其运动方程是2()s s t t == (位移单位：m ，时间单位：s )，则小球在2到3秒间的平均速度为_____________. 答案：5/m s2.一做直线运动的物体，从1t =到1t t =+∆这段时间里，物体的位移为s ∆，那么0lim t st∆→∆∆为（ ）A ．从1到1t +∆这段时间内物体的平均速度B ．从0到1这段时间内物体的平均速度C ．物体在1t =这一时刻的瞬时速度D ．物体在1t +∆这个时刻的瞬时速度 答案：C3.下列各式正确的是（ ） A ．f ′(x 0)＝lim Δx →0f (x 0－Δx )－f (x 0)x B ．f ′(x 0)＝lim Δx →0f (x 0－Δx )＋f (x 0)Δx C ．f ′(x 0)＝lim Δx →0f (x 0+Δx )－f (x 0)x D ．f ′(x 0)＝lim Δx →0f (x 0+Δx )+f (x 0)x答案：C （二） 课堂设计 1.知识回顾（1）物理中平均速度xv t=，其中x 是位移，t 是时间. （2）物理中平均速率sv t=，其中s 是路程，t 是时间.（3）指数函数(1)x y a a =>的增长速度如何变化？指数增长越来越快. （4）对数函数log (1)a y x a =>的增长速度又如何变化？对数增长越来越慢. 2．问题探究问题探究一●活动一 阅读思考，体验平均变化率请大家阅读教材问题1：气球的膨胀率，然后思考：若气球的体积由1V 增长到2V 时，气球的平均膨胀率是多少？设气球的半径为r ，所以气球的平均膨胀率为()()1212r V r V r V V -=-. ●活动二 类比巧思，解决同类问题对比气球的膨胀率与平均速度如何证明指数函数(1)x y a a =>的增长速度越来越快？当x 从1增加到2时，函数值的平均增长率为2(1)a a a a -=-； 当x 从2增加到3时，函数值的平均增长率为322(1)a a a a -=-； 当x 从3增加到4时，函数值的平均增长率为433(1)a a a a -=-； 当a >1时，所以指数函数(1)x y a a =>的增长速度越来越快. ●活动三 归纳总结，收获新的认识请大家结合气球膨胀率、平均速度、函数增长速度等实例归纳什么是平均变化率？设函数()y f x =，12,x x 是其定义域内的两点，称式子2121()()f x f x x x --称为函数()y f x =从1x 到2x 的平均变化率.习惯上用x ∆表示21x x -，即21x x x ∆=-，可把x ∆看作是相对于1x 的一个“增量”.可用1x x +∆代替2x ；类似地，21()()y f x f x ∆=-.于是平均变化率也可表示为yx∆∆.且易知11()()f x x f x y x x +∆-∆=∆∆. 注意：x ∆是一个整体符号，不是∆与x 相乘，它可正、可负、不可为零.例 1 已知函数f (x )=x x +-2的图象上的一点)2,1(--A 及临近一点)2,1(y x B ∆+-∆+-,则=∆∆xy． 【知识点：平均变化率】解：)1()1(22x x y ∆+-+∆+--=∆+-，∴x xx x x y ∆-=∆-∆+-+∆+--=∆∆32)1()1(2点拨：理解函数的平均变化率.例2 求2x y =在0x x =附近的平均变化率。

第1课时 变化率与导数【知识梳理】 1.导数的概念（1）()f x 在0x x =处的导数就是()f x 在0x x =处的，记作：0'|x x y =或()0'f x ，即()()()0000'limx f x x f x f x x∆→+∆-=∆.（2）当把上式中的0x 看做变量x 时，()'f x 即为()f x 的，简称导数，即()()()''lim x f x x f x y f x x∆→+∆-==∆.2.导数的几何意义函数()f x 在0x x =处的导数就是曲线()y f x =在点处的切线的斜率，即曲线()y f x =在点()()00,P x f x 处的切线的斜率()0'k f x =，切线方程为.3.基本初等函数的导数公式 （1）'C =（C 为常数）；（2）()'n x = ()*n ∈Q ；（3）()sin 'x = ； （4）()cos 'x = ；（5）()'x a =； （6）()'x e = ； （7）()log 'a x =； （8）()ln 'x =.4.两个函数的四则运算的导数 若()u x ，()v x 的导数都存在，则 （1）()'u v ±= ； （2）()'u v ⋅=；（3）'u v ⎛⎫=⎪⎝⎭；（4）()'cu =（c 为常数）.5.复合函数的导数设()u g x =在点x 处可导，则复合函数()y f g x =⎡⎤⎣⎦在点x 处可导，且()'f x =.【典型例题】例1.利用导数定义求函数()f x x =在1x =处的导数.变式训练1.设()38f x x x =-，则()()22limx f x f x ∆→+∆-=∆.()()22limx f x f x ∆→-∆-=∆.()()22lim2x f x f x →-=-.例2.求下列函数的导数： （1）()()33421y x xx =-+；（2）2sin y x x =； （3）32xxxy e e =-+；（4）2ln 1xy x =+.例3.求下列函数的导数：（1）2cos3xy ex =；（2）y =.变式训练2.求下列函数的导数： （1）()()2ln 1f x x =-；（2）()cos 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭； （3）()()2sin 2xf x e x -=.例4.已知曲线31433y x =+. （1）求曲线在点()2,4P 处的切线方程； （2）求曲线过点()2,4P 的切线方程； （3）求满足斜率为1的曲线的切线方程.变式训练4.（1）已知曲线ln y x x =+在点()1,1处的切线与曲线()221y ax a x =+++相切，则a =.（2）过点()1,1-的曲线32y x x =-的切线方程为 .。

1.1变化率与导数1.1.1变化率问题1.1.2导数的概念学习目标核心素养1.通过对大量实例的分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，了解导数概念的实际背景.2.会求函数在某一点附近的平均变化率．(重点)3.会利用导数的定义求函数在某点处的导数．(重点、难点)4.理解函数的平均变化率，瞬时变化率及导数的概念．(易混点)1.通过对函数的平均变化率、瞬时变化率、导数的概念的学习，培养学生的数学抽象核心素养.2.通过求平均变化率、瞬时变化率及导数的学习，培养逻辑推理及数学运算的核心素养.1．函数的平均变化率(1)函数y＝f (x)从x1到x2的平均变化率为ΔyΔx＝f (x2)－f (x1)x2－x1，其中Δx＝x2－x1是相对于x1的一个“增量”，Δy＝f (x2)－f (x1)＝f (x1＋Δx)－f (x1)是相对于f (x1)的一个“增量”．(2)平均变化率的几何意义设A(x1，f (x1))，B(x2，f (x2))是曲线y＝f (x)上任意不同的两点，函数y＝f (x)的平均变化率Δy Δx ＝f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1＝f (x 1＋Δx )－f (x 1)Δx 为割线AB 的斜率，如图所示．思考：Δx ，Δy 的值一定是正值吗？平均变化率是否一定为正值？[提示] Δx ，Δy 可正可负，Δy 也可以为零，但Δx 不能为零．平均变化率ΔyΔx 可正、可负、可为零．2．瞬时速度与瞬时变化率(1)物体在某一时刻的速度称为瞬时速度．(2)函数f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率是函数f (x )从x 0到x 0＋Δx 的平均变化率在Δx →0时的极限，即lim Δx →0ΔyΔx ＝lim Δx →0f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx.3．导数的概念函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数就是函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率，记作f ′(x 0)或y ′|x ＝x 0，即f ′(x 0)＝lim Δx →0f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx.1．函数y ＝f (x )，自变量x 由x 0改变到x 0＋Δx 时，函数的改变量Δy 为( ) A ．f (x 0＋Δx ) B ．f (x 0)＋Δx C ．f (x 0)·ΔxD ．f (x 0＋Δx )－f (x 0)D [Δy ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)，故选D.]2．若一质点按规律s ＝8＋t 2运动，则在一小段时间[2,2.1]内的平均速度是( )A ．4B ．4.1C ．0.41D ．－1.1B [v ＝Δs Δt ＝s (2.1)－s (2)2.1－2＝2.12－220.1＝4.1，故选B.]3．函数f (x )＝x 2在x ＝1处的瞬时变化率是________． 2 [∵f (x )＝x 2.∴在x ＝1处的瞬时变化率是limΔx →0 ΔyΔx ＝lim Δx →0 f (1＋Δx )－f (1)Δx ＝limΔx →0 (1＋Δx )2－12Δx＝limΔx→0(2＋Δx)＝2.]4．函数f (x)＝2在x＝6处的导数等于________．0[f ′(6)＝limΔx→0f (6＋Δx)－f (6)Δx＝limΔx→02－2Δx＝0.]求函数的平均变化率【例1】已知函数f (x)＝3x2＋5，求f (x)：(1)从0.1到0.2的平均变化率；(2)在区间[x0，x0＋Δx]上的平均变化率．[解](1)因为f (x)＝3x2＋5，所以从0.1到0.2的平均变化率为3×0.22＋5－3×0.12－50.2－0.1＝0.9.(2)f (x0＋Δx)－f (x0)＝3(x0＋Δx)2＋5－(3x20＋5)＝3x20＋6x0Δx＋3(Δx)2＋5－3x20－5＝6x0Δx＋3(Δx)2.函数f (x)在区间[x0，x0＋Δx]上的平均变化率为6x0Δx＋3(Δx)2Δx＝6x0＋3Δx.1．求函数平均变化率的三个步骤第一步，求自变量的增量Δx＝x2－x1；第二步，求函数值的增量Δy＝f (x2)－f (x1)；第三步，求平均变化率ΔyΔx＝f (x2)－f (x1)x2－x1.2．求平均变化率的一个关注点求点x0附近的平均变化率，可用f (x0＋Δx)－f (x0)Δx的形式．[跟进训练]1．如图所示，函数y＝f (x)在A，B两点间的平均变化率等于()A ．1B ．－1C ．2D ．－2 B [平均变化率为1－33－1＝－1.故选B.]2．已知函数y ＝f (x )＝2x 2的图象上点P (1,2)及邻近点Q (1＋Δx,2＋Δy )，则ΔyΔx 的值为( )A ．4B ．4xC ．4＋2Δx 2D ．4＋2ΔxD [Δy Δx ＝2(1＋Δx )2－2×12Δx＝4＋2Δx .故选D.]求瞬时速度1．物体的路程s 与时间t 的关系是s (t )＝5t 2，如何计算物体在[1,1＋Δt ]这段时间内的平均速度？[提示] Δs ＝5(1＋Δt )2－5＝10Δt ＋5(Δt )2，v ＝ΔsΔt ＝10＋5Δt .2．当Δt 趋近于0时，探究1中的平均速度趋近于多少？怎样理解这一速度？ [提示] 当Δt 趋近于0时，ΔsΔt 趋近于10，这时的平均速度即为当t ＝1时的瞬时速度．【例2】 某物体的运动路程s (单位：m)与时间t (单位：s)的关系可用函数s (t )＝t 2＋t ＋1表示，求物体在t ＝1 s 时的瞬时速度．思路探究：计算物体在[1，1＋Δt ]内的平均速度ΔsΔt ―――→令Δt →0计算lim Δt →0Δs Δt ―→得t ＝1 s 时的瞬时速度[解] ∵Δs Δt ＝s (1＋Δt )－s (1)Δt＝(1＋Δt )2＋(1＋Δt )＋1－(12＋1＋1)Δt ＝3＋Δt ，∴lim Δt →0ΔsΔt ＝lim Δt →0(3＋Δt )＝3.∴物体在t ＝1处的瞬时变化率为3. 即物体在t ＝1 s 时的瞬时速度为3 m/s.1．(变结论)在本例条件不变的前提下，试求物体的初速度． [解] 求物体的初速度，即求物体在t ＝0时的瞬时速度． ∵Δs Δt ＝s (0＋Δt )－s (0)Δt＝(0＋Δt )2＋(0＋Δt )＋1－1Δt ＝1＋Δt ，∴lim Δt →0(1＋Δt )＝1.∴物体在t ＝0时的瞬时变化率为1，即物体的初速度为1 m/s.2．(变结论)在本例条件不变的前提下，试问物体在哪一时刻的瞬时速度为9 m/s.[解] 设物体在t 0时刻的瞬时速度为9 m/s. 又Δs Δt ＝s (t 0＋Δt )－s (t 0)Δt＝(2t 0＋1)＋Δt .lim Δt →0ΔsΔt ＝lim Δt →0(2t 0＋1＋Δt )＝2t 0＋1.则2t 0＋1＝9， ∴t 0＝4.则物体在4 s 时的瞬时速度为9 m/s.求运动物体瞬时速度的三个步骤(1)求时间改变量Δt 和位移改变量Δs ＝s (t 0＋Δt )－s (t 0)． (2)求平均速度v ＝ΔsΔt .(3)求瞬时速度，当Δt 无限趋近于0时，ΔsΔt 无限趋近于常数v ，即为瞬时速度．求函数在某一点处的导数【例3】 (1)设函数y ＝f (x )在x ＝x 0处可导，且lim Δx →0f (x 0－3Δx )－f (x 0)Δx＝1，则f ′(x 0)等于( )A ．1B ．－1C ．－13D ．13 (2)求函数f (x )＝x －1x 在x ＝1处的导数． 思路探究：(1)类比f ′(x 0)＝lim Δx →0f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx求解．(2)先求Δy ―→再求Δy Δx ―→计算lim Δx →0 ΔyΔx(1)C [∵lim Δx →0f (x 0－3Δx )－f (x 0)Δx＝lim Δx →0 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤f (x 0－3Δx )－f (x 0)－3Δx ·(－3)＝－3f ′(x 0)＝1， ∴f ′(x 0)＝－13，故选C.](2)[解] ∵Δy ＝(1＋Δx )－11＋Δx －⎝⎛⎭⎪⎫1－11＝Δx ＋1－11＋Δx ＝Δx ＋Δx1＋Δx ， ∴ΔyΔx ＝Δx ＋Δx 1＋Δx Δx ＝1＋11＋Δx， ∴f ′(1)＝lim Δx →0 Δy Δx ＝lim Δx →0 ⎝⎛⎭⎪⎫1＋11＋Δx ＝2.求函数y ＝f (x )在点x 0处的导数的三个步骤简称：一差、二比、三极限．[跟进训练]3．已知f ′(1)＝－2，则limΔx→0f (1－2Δx)－f (1)Δx＝________.4[∵f ′(1)＝－2，∴limΔx→0f (1－2Δx)－f (1)Δx＝limΔx→0f (1－2Δx)－f (1)⎝⎛⎭⎪⎫－12×(－2Δx)＝－2limΔx→0f (1－2Δx)－f (1)－2Δx＝－2f ′(1)＝－2×(－2)＝4.]4．求函数y＝3x2在x＝1处的导数．[解]∵Δy＝f (1＋Δx)－f (1)＝3(1＋Δx)2－3＝6Δx＋3(Δx)2，∴ΔyΔx＝6＋3Δx，∴f ′(1)＝limΔx→0ΔyΔx＝limΔx→0(6＋3Δx)＝6.1．极限思想是逼近的思想，瞬时变化率就是平均变化率的极限．2．函数y＝f (x)在x＝x0处的导数f ′(x0)反映了函数在该点处的瞬时变化率，它揭示了事物在某时刻的变化情况．即：f ′(x0)＝limΔx→0ΔyΔx＝limΔx→0f (x0＋Δx)－f (x0)Δx＝lim x→x0f (x)－f (x0)x－x0，且y＝f (x)在x0处的导数是一个局部概念．特别提醒：①取极限前，要注意化简ΔyΔx，保证使Δx→0时分母不为0.②函数在x0处的导数f ′(x0)只与x0有关，与Δx无关．③导数可以描述任何事物的瞬时变化率，应用非常广泛．1．一物体的运动方程是s＝3＋2t，则在[2,2.1]这段时间内的平均速度是() A．0.4 B．2 C．0.3 D．0.2B[v＝s(2.1)－s(2)2.1－2＝4.2－40.1＝2.]2．物体自由落体的运动方程为s(t)＝12gt2，g＝9.8 m/s2，若v＝limΔt→0s(1＋Δt)－s(1)Δt＝9.8 m/s，那么下列说法中正确的是()A．9.8 m/s是物体从0 s到1 s这段时间内的速率B．9.8 m/s是1 s到(1＋Δt)s这段时间内的速率C．9.8 m/s是物体在t＝1 s这一时刻的速率D．9.8 m/s是物体从1 s到(1＋Δt)s这段时间内的平均速率C[结合平均变化率与瞬时变化率可知选项C正确．]3．设函数f (x)＝ax＋3，若f ′(1)＝3，则a等于()A．2 B．－2 C．－3 D．3D[因为f ′(1)＝limΔx→0f (1＋Δx)－f (1)Δx＝limΔx→0a(1＋Δx)＋3－(a＋3)Δx＝a.因为f ′(1)＝3，所以a＝3.]4．设f (x)在x0处可导，若limΔx→0f (x0＋3Δx)－f (x0)Δx＝A，则f ′(x0)＝________.A3[limΔx→0f (x0＋3Δx)－f (x0)Δx＝3lim3Δx→0f (x0＋3Δx)－f (x0)3Δx＝3f ′(x0)＝A.故f ′(x0)＝13A.]5．在曲线y＝f (x)＝x2＋3上取一点P(1,4)及附近一点(1＋Δx,4＋Δy)，求：(1)Δy Δx；(2)f ′(1)．[解] (1)Δy Δx ＝f (1＋Δx )－f (1)Δx＝(1＋Δx )2＋3－(12＋3)Δx＝2＋Δx .(2)f ′(1)＝lim Δx →0 f (1＋Δx )－f (1)Δx＝lim Δx →0(2＋Δx )＝2.。

第一章 导数及其应用§1.1.1变化率问题教学目标：1． 理解平均变化率的概念；2．2．了解平均变化率的几何意义；3．会求函数在某点处附近的平均变化率教学重点：平均变化率的概念、函数在某点处附近的平均变化率； 教学难点：平均变化率的概念． 教学过程： 一．创设情景为了描述现实世界中运动、过程等变化着的现象，在数学中引入了函数，随着对函数的研究，产生了微积分，微积分的创立以自然科学中四类问题的处理直接相关：一、已知物体运动的路程作为时间的函数,求物体在任意时刻的速度与加速度等; 二、求曲线的切线;三、求已知函数的最大值与最小值; 四、求长度、面积、体积和重心等。

导数是微积分的核心概念之一它是研究函数增减、变化快慢、最大（小）值等问题最一般、最有效的工具。

导数研究的问题即变化率问题：研究某个变量相对于另一个变量变化的快慢程度． 二．新课讲授 （一）问题提出 问题1 气球膨胀率我们都吹过气球回忆一下吹气球的过程,可以发现,随着气球内空气容量的增加,气球的半径增加越来越慢.从数学角度,如何描述这种现象呢?⏹ 气球的体积V (单位:L )与半径r (单位:dm )之间的函数关系是334)(r r V π=⏹ 如果将半径r 表示为体积V 的函数,那么343)(πV V r = 分析: 343)(πV V r =， ⑴ 当V 从0增加到1时,气球半径增加了)(62.0)0()1(dm r r ≈- 气球的平均膨胀率为)/(62.001)0()1(L dm r r ≈--⑵ 当V 从1增加到2时,气球半径增加了)(16.0)1()2(dm r r ≈- 气球的平均膨胀率为)/(16.012)1()2(L dm r r ≈--可以看出，随着气球体积逐渐增大，它的平均膨胀率逐渐变小了．思考：当空气容量从V 1增加到V 2时,气球的平均膨胀率是多少?1212)()(V V V r V r --问题2 高台跳水在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度h (单位：m )与起跳后的时间t （单位：s ）存在函数关系h (t )= -4.9t 2+6.5t +10.如何用运动员在某些时间段内的平均速v 度粗略地描述其运动状态?思考计算：5.00≤≤t 和21≤≤t 的平均速度v在5.00≤≤t 这段时间里，)/(05.405.0)0()5.0(s m h h v =--=；在21≤≤t 这段时间里，)/(2.812)1()2(s m h h v -=--=探究：计算运动员在49650≤≤t 这段时间里的平均速度，并思考以下问题：⑴运动员在这段时间内使静止的吗？⑵你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？探究过程：如图是函数h (t )= -4.9t 2+6.5t +10的图像，结合图形可知，)0()4965(h h =， 所以)/(004965)0()4965(m s h h v =--=， 虽然运动员在49650≤≤t 这段时间里的平均速度为)/(0m s ，但实际情况是运动员仍然运动，并非静止，可以说明用平均速度不能精确描述运动员的运动状态． （二）平均变化率概念:1．上述问题中的变化率可用式子 1212)()(x x x f x f --表示,称为函数f (x )从x 1到x 2的平均变化率2．若设12x x x -=∆, )()(12x f x f f -=∆ (这里x ∆看作是对于x 1的一个“增量”可用x 1+x ∆代替x 2,同样)()(12x f x f y f -=∆=∆) 3． 则平均变化率为=∆∆=∆∆x fx y xx f x x f x x x f x f ∆-∆+=--)()()()(111212 思考：观察函数f (x )的图象 平均变化率=∆∆x f 1212)()(x x x f x f --表示什么?yy =f (x )f (x 2)直线AB三．典例分析例1．已知函数f (x )=x x +-2的图象上的一点)2,1(--A 及临近一点)2,1(y x B ∆+-∆+-,则=∆∆xy． 解：)1()1(22x x y ∆+-+∆+--=∆+-，∴x xx x x y ∆-=∆-∆+-+∆+--=∆∆32)1()1(2 例2． 求2x y =在0x x =附近的平均变化率。

1．变化率问题导数的观点预习课本P2～ 6，思虑并达成以下问题(1)均匀变化率的定义是什么？均匀变化率的几何意义是什么？(2)刹时变化率的定义是如何的？如何求刹时变化率？(3)如何用定义求函数在某一点处的导数？[新知初探 ]1．函数 y＝ f(x)从 x1到 x2的均匀变化率(1) 定义式：y＝fx2－ f x1.x x2－ x1(2)本质：函数值的改变量与自变量的改变量之比．(3)意义：刻画函数值在区间 [x1， x2]上变化的快慢．(4)均匀变化率的几何意义：设 A(x1，f (x1))，B(x2，f(x2))是曲线 y＝ f(x)上随意不一样的两点，函数 y ＝ f(x) 的平均变化率y＝f x2－ f x1＝x x2－ x1f x1＋ x－ f x1为割线 AB 的斜率，如下图．x[点睛 ]x 是变量 x2在 x1处的改变量，且x2是 x1周边的随意一点，即x＝ x2－ x1≠0，但 x 能够为正，也能够为负．2．函数 y＝ f(x)在 x＝x0处的刹时变化率定义式x→0ylimf x0＋ x － f x0＝li mx xx→0本质刹时变化率是当自变量的改变量趋近于0 时，均匀变化率趋近的值作用刻画函数在某一点处变化的快慢[点睛 ]“Δx 无穷趋近于 0”的含义x 趋于 0 的距离要多近有多近，即 | x－ 0|能够小于给定的随意小的正数，且一直 x≠ 0. 3．导数的观点定义式x→0y f x0＋ x － f x0li m＝ limxx x→0记法f′(x0)或y′|x＝x0本质函数 y＝ f(x)在 x＝ x0处的导数就是y＝ f(x)在 x＝ x0处的刹时变化率[小试身手 ]1．判断 (正确的打“√”，错误的打“×”)(1) 函数 y＝ f(x)在 x＝ x0处的导数值与x 值的正、负没关． ()(2) 刹时变化率是刻画某函数值在区间[x1， x2]上变化快慢的物理量．()(3) 在导数的定义中，x， y 都不行能为零． ()答案：(1) √ (2) × (3) ×2．质点运动规律为s(t)＝ t2＋ 3，则从 3 到 3＋ t 的均匀速度为 ()9A． 6＋ t B． 6＋ t＋tC． 3＋ t D． 9＋ t答案： A3．已知函数 f (x)＝ 2x2－ 4 的图象上两点A，B，且 x A＝ 1，x B＝ 1.1，则函数 f(x)从 A 点到 B 点的均匀变化率为 ()A． 4B． 4xC． 4.2D． 4.02答案： Cf x0＋ x － f x0中， x不行能为 ()4．在 f′(x0)＝ limxx→0A．大于 0B．小于 0C．等于 0D．大于 0 或小于 0答案： C求函数的均匀变化率[典例 ]求函数 f(x)＝ x2在 x＝ 1,2,3周边的均匀变化率，取x 的值为1，哪一点周边的3均匀变化率最大？[解 ]在 x＝ 1 周边的均匀变化率为k1＝f＋ x － f＋ x2－ 1＝＝2＋ x；x x在 x＝ 2 周边的均匀变化率为k2＝f＋ x － f＋ x2－22＝＝ 4＋ x；x x在 x＝ 3 周边的均匀变化率为k3＝f＋ x － f＋ x2－32＝＝ 6＋ x；x x若 x ＝1，则 k 1＝ 2＋ 1＝7， k 2＝ 4＋ 1＝13，333331 19k 3＝ 6＋ 3＝ 3 ， 因为 k 1＜ k 2＜ k 3，故在 x ＝ 3 周边的均匀变化率最大．求均匀变化率的步骤(1) 先计算函数值的改变量y ＝ f(x 1)－ f(x 0)．(2) 再计算自变量的改变量x ＝ x 1－ x 0.(3) 求均匀变化率y f x 1 － f x 0＝ .xx 1－ x 0[活学活用 ]求函数 y ＝ x 3从 x 0 到 x 0＋ x 之间的均匀变化率，并计算当x 0＝ 1， x ＝ 1时均匀变化率2的值．解：当自变量从 x变化到 x ＋ x 时，函数的均匀变化率为y ＝ f x 0＋ x － f x 0＝xxx 0＋ x3－ x 03x＝ 3x 20＋ 3x 0 x ＋ ( x)2，1当 x 0＝ 1， x ＝ 2时均匀变化率的值为2 1 1 219 .3×1＋ 3×1× ＋2＝42求刹时速度[典例 ]一做直线运动的物体，其位移s 与时间 t 的关系是 s(t)＝ 3t － t 2.(1) 求此物体的初速度；(2) 求此物体在 t ＝ 2 时的刹时速度．[解 ] (1)当 t ＝ 0 时的速度为初速度．在0 时辰取一时间段 [0,0＋ t]，即 [0， t]，∴ s ＝ s( t)－ s(0)＝ [3 t － ( t)2]－ (3 ×0－ 02)＝ 3 t － ( t)2，s 3 t －t 2s＝ 3－ t → 0 t → 0 (3－ t)＝ 3. t ＝ tt ， li m t ＝ li m ∴物体的初速度为 3.(2) 取一时间段 [2,2＋ t]，∴ s ＝ s(2＋ t)－ s(2)＝ [3(2＋ t)－ (2＋ t)2]－ (3 ×2－ 22)＝－ t － ( t)2，s － t －t2＝－ 1－ t ，t ＝tt → 0s ＝lit → 0(－ －t) ＝－ ，lim11mt∴当 t ＝ 2 时，物体的刹时速度为－ 1.1．求运动物体刹时速度的三个步骤(1) 求时间改变量t 和位移改变量s ＝ s(t 0＋ t)－ s(t 0 )．s(2) 求均匀速度 v ＝t ；s(3) 求刹时速度，当t 无穷趋近于 0 时， t 无穷趋近于常数 v ，即为刹时速度．y2． 求 x (当x 无穷趋近于 0 时 )的极限的方法(1) 在极限表达式中，可把x 作为一个数来参加运算；y的表达式后，x 无穷趋近于 0 就是令x ＝ 0，求出结果即可．(2) 求出 x[活学活用 ]一木块沿某一斜面自由滑下， 测得下滑的水平距离s 与时间 t 之间的函数关系为1 2， s ＝ t2则 t ＝ 2 时，此木块在水平方向的刹时速度为( )A ． 2B ． 11 1C. 2D.41＋ t2－ 1×22分析：选As 221∵ t＝t＝2 t ＋ 2，∴ li t → 0 s ＝li t → 0 1 t ＋ 2 ＝ 2，应选 A.m t m2求函数在某点处的导数[典例 ] (1) 函数 y ＝(2) 假如一个质点由定点x 在 x ＝ 1 处的导数为 ________．A 开始运动，在时间t 的位移函数为y ＝ f(t)＝ t 3＋ 3，①当t 1＝ 4，t ＝ 0.01 时，求y 和比值y ；t②求 t 1＝ 4 时的导数．[分析 ] (1) y ＝ 1＋ x － 1，y1＋ x － 11x ＝ x ＝ 1＋ x ＋ 1 ，x → 01＝ 1，因此 y ′|＝＝ 1li m 1＋ x ＋ 12x 12.1答案： (1)(2) 解： ① y ＝ f(t 1＋ t)－ f(t 1)＝ 3t 21·Δt ＋ 3t 1· (t)2 ＋ ( t)3，故当t 1＝ 4，t ＝ 0.01 时，y ＝y0.481 201， t ＝ 48.120 1.② li t → 0 y ＝li t → 0 2＋ 3t 1·Δt ＋ 22＝，m t m [3t 1 ( t) ]＝ 3t 1 48故函数 y ＝ t 3＋ 3 在 t 1＝ 4 处的导数是 48，即 y ′|t 1＝ 4＝ 48.1．用导数定义求函数在某一点处的导数的步骤(1) 求函数的增量 y ＝ f(x 0＋ x)－ f (x 0)；(2) 求均匀变化率y fx 0＋ x － f x 0；＝xxy(3) 求极限 li xm →0x .2． 刹时变化率的变形形式x → 0 f x 0＋ x － f x 0li mx＝ li x →0 f x 0－ x － f x 0m － x＝ li x →0 f x 0＋n x － f x0 mn x ＝ li x →0 f x 0＋ x － f x 0－ xm2 x＝ f ′(x 0)．[活学活用 ]求函数 y ＝ x －1在 x ＝ 1 处的导数．xx解：因为＝ ＋x) －1 － 1－1 ＝＋x ，因此 y＝x ＋1＋ x1＋＋ x x＝ ＋＋ .y (11()x1x1 x1 x当 x → 0 时，y→ ，x21因此函数 y ＝ x － 在 x ＝ 1 处的导数为 2.层级一 学业水平达标1．假如一个函数的刹时变化率到处为 0，则这个函数的图象是 ()A ．圆B ．抛物线C ．椭圆D ．直线分析：选Dx → 0 y b － b当 f (x)＝ b 时，刹时变化率 li m＝ li m＝ 0，因此 f(x)的图象x △ x － 0 x为一条直线．2．设函数 y ＝ f(x)＝ x 2－ 1，当自变量 x 由 1 变成 1.1 时，函数的均匀变化率为 ()A ． 2.1B ． 1.1C ． 2D ． 0y f－ f0.21分析：选Ax ＝1.1－ 1＝ 0.1 ＝ 2.1.3．设函数 f(x)在点 x 0 周边有定义，且有f(x 0＋ x)－ f(x 0)＝ a x ＋ b( x)2(a ， b 为常数 )，则 ()A ． f ′(x)＝ aB ． f ′(x)＝ bC ． f ′(x 0)＝ aD ． f ′(x 0)＝ b分析：选Cf ′(xf x 0＋ x － f x 0)＝△li x m －0x＝ li m (a ＋ b ·Δx)＝ a.△ x －04．假如质点 A 依据规律 s ＝ 3t 2 运动，则在 t 0＝ 3 时的刹时速度为 ( )A ． 6B ． 18C ． 54D ． 81分析：选B∵ s(t)＝ 3t 2， t 0＝ 3，∴ s ＝ s(t ＋ t)－ s(t0)＝ 3(3 2－ 3·32＝ 18 t ＋ 3( t)2s＝ 18＋ 3 t.∴ li ms＝ li m＋ t).∴ t△x －0 t△x－(18＋ 3 t)＝ 18，故应选 B.5．已知 f(x)＝ x 2－ 3x ，则 f ′(0)＝ ( )A ． x － 3B ． ( x)2－ 3 xC ．－ 3D ． 0分析：选Cf ′(0)＝ li m＋ x2－＋ x－ 02＋ 3×0x△ x －x2－3 x＝ li mx＝ li m△ x －△ x －0 ( x － 3)＝－ 3.应选 C.6．设 f(x)＝ ax ＋ 4，若 f ′ (1)＝ 2，则 a ＝ ________.f ＋ x－f分析： ∵ f ′(1)＝ li mx△ x － 0a ＋ x ＋ 4－a ＋＝ a ，∴ a ＝2.＝ li mx△ x －答案： 27.汽车行驶的行程s 和时间 t 之间的函数图象如图，在时间段 [t 0，t 1]，[t 1， t 2]， [t 2， t 3]上的均匀速度分别为 v 1， v 2， v 3，则三者的大小关系为 ________．分析： v 1＝ k OA ， v 2＝ k AB ， v 3＝ k BC ，由图象知 k OA ＜ k AB ＜ k BC .答案： v 1＜ v 2＜ v 38．球的半径从 1 增添到 2 时，球的体积均匀膨胀率为______．分析： ∵y ＝3328 π 4π×2 －4π×1 ＝3，3 328 πy3 28π∴ x＝－ ＝ 3 .2 1答案： 28π39．质点按规律 s(t)＝ at 2＋ 1 做直线运动 (s 单位： m ， t 单位： s)．若质点在 t ＝ 2 时的刹时速度为 8 m/s ，求常数 a 的值．s ＝ s(2＋ t)－ s(2)＝ [ a(2＋ t) 2＋ 1]－ (a ×22＋ 1)＝ 4a t ＋ a( t)2，∴ s＝ 4a ＋ a t ， t∴在 t ＝ 2 时，刹时速度为 li ms＝ 4a,4a ＝ 8，∴ a ＝ 2.△ x －t－ 1， x>0，10．已知函数 f( x)＝x求 f ′(4)f ′(·－1)的值．1＋ x 2， x ≤0解： 当 x ＝ 4 时， y ＝－1＋ 1＋x44＝ 1－1 ＝ 4＋ x － 224＋ x 2 4＋ x＝x.2 4＋ x 4＋ x ＋∴ y ＝1.x 4＋ x4＋ x ＋2∴ li my1＝ li m4＋ x ＋x →0xx →02 4＋ x＝1 4＋＝12× 4×16.∴ f ′(4)＝ 116.当 x ＝－ 1 时， y ＝f－ 1＋ x － f －xx ＝ 1＋ －1＋ x2－1－ －2 ＝ x － 2，x由导数的定义，得f ′(－1)＝ li m ( x － 2)＝－ 2，x →0∴ f ′(4)f ′(·－1)＝1116×(－ 2)＝－ 8.层级二应试能力达标1．已知函数 f( x) ＝ 2x 2－ 4 的图象上一点 (1，－ 2)及周边一点 (1＋ x ，－ 2＋ y)，则 y 等x 于 ()A ． 4B ． 4xC ． 4＋ 2 xD ． 4＋ 2( x)2分析：选 Cy ＝ f ＋ x－ f＝＋ x2－4＋2＝x2＋ 4 xx ＋xx＝ 2xx4.2.甲、乙两人走过的行程 s 1(t)，s 2(t)与时间 t 的关系如图，则在 [0， t 0]这个时间段内，甲、乙两人的均匀速度v 甲 ， v 乙 的关系是 ()A ． v 甲 ＞ v 乙B ． v 甲 ＜ v 乙C ． v 甲 ＝ v 乙D ．大小关系不确立分析：选B设直线 AC ，BC 的斜率分别为k AC ，k BC ，由均匀变化率的几何意义知，s 1(t)在 [0，t 0]上的均匀变化率 v 甲 ＝ k AC ，s 2(t)在 [0，t 0]上的均匀变化率 v 乙＝ k BC .因为 k AC ＜ k BC ，因此 v 甲＜ v 乙．3．若可导函数 f(x)的图象过原点，且知足fx ＝－ 1，则 f ′(0)＝ ()li mxx → 0A ．－ 2B ．－ 1C ． 1D ． 2分析：选B ∵ f(x)图象过原点，∴ f(0)＝ 0，∴ f ′(0)＝ li m f＋ x －f＝ li m fx ＝－ 1，x → 0xx →0 x∴选 B.2，且 f ′(m)＝－ 1，则 m 的值等于 ()4．已知 f(x)＝ x 2A ．－ 4B ． 2C ．－ 2D ． ±2分析：选 Df ′(＝x) lix → 0 f x ＋ x －f x2212＝ 4，mx＝－ x 2，于是有－ m 2＝－ 2， m 解得 m ＝ ±2.5．已知函数 f (x)＝－ x 2＋x 在区间 [t,1]上的均匀变化率为 2，则 t ＝ ________.分析： ∵ y ＝ f(1)－ f(t)＝ (－ 12＋ 1)－ (－ t 2＋ t)＝ t 2－ t ，yt 2－ ty∴ x ＝ 1－ t ＝－ t. 又∵ x ＝ 2，∴ t ＝－ 2.答案： －26．一物体的运动方程为 s ＝ 7t 2＋ 8，则其在 t ＝ ________时的刹时速度为 1.分析： s t 0 ＋ t2＋ 8－t 02 ＋＝t＝ 7 t ＋ 14t 0，t当 li m(7 t ＋ 14t 0)＝ 1＝ 1x →0时， t ＝ t 0 14.答案：1147．枪弹在枪筒中运动能够看作匀加快运动，假如它的加快度是5.0 ×105 m/s 2，枪弹从枪口射出时所用时间为1.6 ×10－3 s ，求枪弹射出枪口时的刹时速度．解： 位移公式为12s ＝ at ，2∵ s ＝ 1 a(t 0＋21 21 22 t) － 2at 0＝ at t ＋ a( t) ，2ss1∴ ＝ at 0＋ 1a t ，∴ li m＝ li mat 0＋ a t ＝ at 0，t2x →0tx →02已知 a ＝ 5.0 ×105m/s 2， t 0 ＝1.6 ×10－3 s ，∴ at 0 ＝ 800 m/s.因此枪弹射出枪口时的刹时速度为800 m/s.8．设函数 f(x)在 x 0 处可导，求以下各式的值．f x 0－ m x － f x 0；(1) li mxx → 0f x 0＋ 4 x － f x 0＋ 5 x(2li mx.x →0f x 0 － m x－ f x 0解： (1) li mxx →0＝－ mli mfx 0－ m x － fx 0 ＝－ mf ′(x．x →0－m x0)(2) 原式f x 0 ＋ 4 x － f x 0－ [f x 0＋ 5 x － f x 0＝ li mxx →0f x 0 ＋ 4 x － f x 0f x 0＋ 5 x － f x 0＝ li mx－ li mxx →0 x →0f x 0＋ 4 x － f x 0－ f x 0＋ 5 x － f x 0＝ 4li m4 x5li m5 xx → 0x →0＝ 4f ′(x ′(x 0)＝－ f ′(x 0)．0)－ 5f。

课题： §1.1.2导数的概念教学目标： 1．了解瞬时速度、瞬时变化率的概念；2．理解导数的概念，知道瞬时变化率就是导数，体会导数的思想及其内涵；3．会求函数在某点的导数教学重点：瞬时速度、瞬时变化率的概念、导数的概念； 教学难点： 导数的概念．教学过程与设计：详细过程一．创设情景（一）平均变化率（二）探究：计算运动员在49650≤≤t 这段时间里的平均速度，并思考以下问题： ⑴运动员在这段时间内使静止的吗？⑵你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？探究过程：如图是函数h (t )= -4.9t 2+6.5t +10的图像，结合图形可知，)0()4965(h h =， 所以)/(004965)0()4965(m s h h v =--=， 虽然运动员在49650≤≤t 这段时间里的平均速度为)/(0m s ，但实际情况是运动员仍然运动，并非静止，可以说明用平均速度不能精确描述运动员的运动状态． 二．新课讲授1．瞬时速度我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度。

运动员的平均速度不能反映他在某一ht o时刻的瞬时速度，那么，如何求运动员的瞬时速度呢？比如，2t =时的瞬时速度是多少？考察2t =附近的情况：思考：当t ∆趋近于0时，平均速度v 有什么样的变化趋势？结论：当t ∆趋近于0时，即无论t 从小于2的一边，还是从大于2的一边趋近于2时，平均速度v 都趋近于一个确定的值13.1-．从物理的角度看，时间t ∆间隔无限变小时，平均速度v 就无限趋近于史的瞬时速度，因此，运动员在2t =时的瞬时速度是13.1/m s -为了表述方便，我们用0(2)(2)lim 13.1t h t h t∆→+∆-=-∆ 表示“当2t =，t ∆趋近于0时，平均速度v 趋近于定值13.1-”小结：局部以匀速代替变速，以平均速度代替瞬时速度，然后通过取极限，从瞬时速度的近似值过渡到瞬时速度的精确值。

2 导数的概念从函数y =f (x )在x =x 0处的瞬时变化率是:0000()()lim lim x x f x x f x f xx ∆→∆→+∆-∆=∆∆ 我们称它为函数()y f x =在0x x =出的导数，记作'0()f x 或0'|x x y =，即0000()()()lim x f x x f x f x x∆→+∆-'=∆ 说明：（1）导数即为函数y =f (x )在x =x 0处的瞬时变化率 （2）0x x x ∆=-，当0x ∆→时，0x x →，所以0000()()()lim x f x f x f x x x ∆→-'=-三．典例分析例1．（1）求函数y =3x 2在x =1处的导数.分析：先求Δf =Δy =f (１＋Δx )-f (１)=6Δx +(Δx )2再求6f x x ∆=+∆∆再求0lim 6x f x∆→∆=∆ 解：法一（略）法二：222211113313(1)|lim lim lim3(1)611x x x x x x y x x x =→→→-⋅-'===+=-- （2）求函数f (x )=x x +-2在1x =-附近的平均变化率，并求出在该点处的导数． 解：x xx x x y ∆-=∆-∆+-+∆+--=∆∆32)1()1(2 200(1)(1)2(1)lim lim (3)3x x y x x f x x x∆→∆→∆--+∆+-+∆-'-===-∆=∆∆ 例2．（课本例1）将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品，需要对原油进行冷却和加热，如果第xh 时，原油的温度（单位：C ）为2()715(08)f x x x x =-+≤≤，计算第2h 时和第6h 时，原油温度的瞬时变化率，并说明它们的意义．解：在第2h 时和第6h 时，原油温度的瞬时变化率就是'(2)f 和'(6)f根据导数定义，0(2)()f x f x f x x+∆-∆=∆∆ 22(2)7(2)15(27215)3x x x x+∆-+∆+--⨯+==∆-∆ 所以00(2)lim lim(3)3x x f f x x ∆→∆→∆'==∆-=-∆ 同理可得:(6)5f '=在第2h 时和第6h 时，原油温度的瞬时变化率分别为3-和5，说明在2h 附近，原油温度大约以3/C h 的速率下降，在第6h 附近，原油温度大约以5/C h 的速率上升．注：一般地，'0()f x 反映了原油温度在时刻0x 附近的变化情况．四．课堂练习1．质点运动规律为32+=t s ，求质点在3t =的瞬时速度为．2．求曲线y =f (x )=x 3在1x =时的导数．3．例2中，计算第3h 时和第5h 时，原油温度的瞬时变化率，并说明它们的意义．五．回顾总结1．瞬时速度、瞬时变化率的概念2．导数的概念六．布置作业。