数学北师大版选修1-1导学案-3-1变化的快慢与变化率

1.(2012·西安检测)某物体的位移公式为s ＝s (t )，从t 0到t 0＋Δt 这段时间内，下列理解正确的是( )A ．(t 0＋Δt )－t 0称为函数值增量B ．t 0称为函数值增量C ．Δs ＝s (t 0＋Δt )－s (t 0)称为函数值增量D.Δs Δt称为函数值增量 解析：选C.函数值增量的概念是指函数值的改变量．2.已知函数f (x )＝x 2＋1，则在x ＝2，Δx ＝0.1时，Δy 的值为( )A ．0.40B ．0.41C ．0.43D ．0.44解析：选B.∵x ＝2，Δx ＝0.1，∴Δy ＝f (x ＋Δx )－f (x )＝f (2.1)－f (2)＝(2.12＋1)－(22＋1)＝0.41.3.函数y ＝1x在区间[x 0，x 0＋Δx ](x 0≠0，且x 0＋Δx ≠0)的平均变化率为________． 解析：Δy Δx ＝f （x 0＋Δx ）－f （x 0）Δx ＝1x 0＋Δx －1x 0Δx＝－1x 0（x 0＋Δx ）. 答案：－1x 0（x 0＋Δx ）4.(2012·焦作检测)一木块沿某一斜面自由下滑，测得下滑的距离s 与时间t 之间的函数关系为s ＝18t 2，则t ＝2时，木块的瞬时速度为________． 解析：Δs Δt ＝18（t ＋Δt ）2－18t 2Δt＝14t ＋18Δt . 当t ＝2，且Δt 趋于0时，Δs Δt趋于12.答案：12[A 级 基础达标]1.在曲线y ＝x 2＋1上取一点(1，2)及邻近一点(1＋Δx ，2＋Δy )，则Δy Δx为( ) A ．Δx ＋1Δx ＋2B ．Δx －1Δx－2 C ．Δx ＋2D ．2＋Δx －1Δx解析：选C.Δy ＝f (1＋Δx )－f (1)＝(1＋Δx )2＋1－(12＋1)＝(Δx )2＋2Δx ，∴Δy Δx＝Δx ＋2.2.(2012·石柱质检)某质点的运动规律为s ＝t 2＋3，则在时间(3，3＋Δt )中的平均速度等于( )A ．6＋ΔtB ．6＋Δt ＋9ΔtC ．3＋ΔtD ．9＋Δt解析：选A.v ＝Δs Δt ＝s （3＋Δt ）－s （3）Δt＝[（3＋Δt ）2＋3]－（32＋3）Δt＝6＋Δt . 3.水以恒速(即单位时间内注入水的体积相同)注入下面四种底面积相同的容器中，按顺序与各容器对应的水的高度h 与时间t 的函数关系图像相对应的一项是( )A ．①②③④B ．②①③④C ．②①④③D ．②④①③解析：选C.以第二个容器为例，由于容器上细下粗，所以水以恒速注入时，开始阶段高度增加得慢，以后高度增加得越来越快，反映在图像上，①符合上述变化情况．同理可知其他三种容器的情况．4.(2012·江津测试)某日中午12时整，甲车自A 处以40 km/h 的速度向正东方向行驶，乙车自A 处以60 km/h 的速度向正西方向行驶，至当日12时30分，两车之间的距离对时间的平均变化率为________．解析：Δs Δt＝0.5×60＋0.5×400.5＝100 km/h. 答案：100 km/h5.汽车行驶的路程s 和时间t 之间的函数图像如图，在时间段[t 0，t 1]，[t 1，t 2]，[t 2，t 3]上的平均速度分别为v 1，v 2，v 3，则三者的大小关系为________．解析：∵v 1＝s （t 1）－s （t 0）t 1－t 0＝k OA ； v 2＝s （t 2）－s （t 1）t 2－t 1＝k AB ； v 3＝s （t 3）－s （t 2）t 3－t 2＝k BC . 又∵k BC ＞k AB ＞k OA ，∴v 3＞v 2＞v 1.答案：v 3＞v 2＞v 16.求函数y ＝x 2在x ＝1，2，3附近的平均变化率，取Δx 都为13，哪点附近的平均变化率最大．解：在x ＝1附近的平均变化率为k 1＝f （1＋Δx ）－f （1）Δx＝（1＋Δx ）2－1Δx＝2＋Δx ； 在x ＝2附近的平均变化率为k 2＝f （2＋Δx ）－f （2）Δx＝（2＋Δx ）2－4Δx＝4＋Δx ； 在x ＝3附近的平均变化率为k 3＝f （3＋Δx ）－f （3）Δx＝（3＋Δx ）2－9Δx＝6＋Δx . 令Δx ＝13，可得k 1＝73，k 2＝133，k 3＝193，故函数f (x )在x ＝3附近的平均变化率最大． [B 级 能力提升]7.(2012·九江测试)将半径为R 的铁球加热，若铁球的半径增加ΔR ，则铁球的表面积增加( )A ．8πR (ΔR )B ．8πR (ΔR )＋4π(ΔR )2C ．4πR (ΔR )＋4π(ΔR )2D ．4π(ΔR )2解析：选B.ΔS ＝4π(R ＋ΔR )2－4πR 2＝8πR (ΔR )＋4π(ΔR )2.8.物体运动时位移s 与时间t 的函数关系是s ＝－4t 2＋16t ，此物体在某一时刻的速度为零，则相应的时刻为( )A ．t ＝1B ．t ＝2C ．t ＝3D ．t ＝4解析：选 B.Δs ＝－4(t ＋Δt )2＋16(t ＋Δt )－(－4t 2＋16t )＝16Δt －8t ·Δt －4(Δt )2.又因为在某时刻的瞬时速度为零，当Δt 趋于0时，Δs Δt＝16－8t －4Δt ＝0. 即16－8t ＝0，解得t ＝2.9.求函数f (x )＝x 2分别在[1，2]，[1，1]，[1，1.01]上的平均变化率，根据所得结果，你的猜想是________．解析：k 1＝Δy 1Δx 1＝f （2）－f （1）2－1＝22－121＝3， k 2＝Δy 2Δx 2＝f （1.1）－f （1）1.1－1＝1.12－120.1＝2.1， k 3＝Δy 3Δx 3＝f （1.01）－f （1）1.01－1＝1.012－120.01＝2.01.猜想x 0＝1不变，Δx 越小，函数的平均变化率越接近于2.答案：x 0＝1不变，Δx 越小，函数的平均变化率越接近于2.10.已知自由落体的运动方程为s ＝12gt 2(g ＝9.8 m/s 2)，求： (1)落体在t 0到t 0＋Δt 这段时间内的平均速度；(2)落体在t 0时的瞬时速度；(3)落体在t 0＝2 s 到t 1＝2.1 s 这段时间内的平均速度；(4)落体在t 0＝2 s 时的瞬时速度．解：(1)落体在t 0到t 0＋Δt 这段时间内的位移增量为Δs ＝12g (t 0＋Δt )2－12gt 20，因此，落体在这段时间内的平均速度为 v ＝Δs Δt ＝12g （t 0＋Δt ）2－12gt 20Δt ＝12g ·Δt （2t 0＋Δt ）Δt＝12g (2t 0＋Δt )． (2)落体在t 0时的瞬时速度即Δt 趋于0时，Δs Δt趋于gt 0这一速度． (3)落体在t 0＝2 s 到t 1＝2.1 s ，其时间增量Δt ＝t 1－t 0＝0.1(s)，由(1)知平均速度为v ＝12g (2×2＋0.1)＝2.05×9.8＝20.09(m /s)．(4)由(2)知落体在t 0＝2 s 时的瞬时速度为v ＝9.8×2＝19.6(m /s)．11.(创新题)质点M 按规律s ＝s (t )＝at 2＋1做直线运动(位移s 的单位：m ，时间t 的单位：s)．问是否存在常数a ，使质点M 在t ＝2 s 时的瞬时速度为8 m/s ？若存在，求出a 的值；若不存在，说明理由．解：假设存在常数a ，则Δs ＝s (2＋Δt )－s (2)＝a (2＋Δt )2＋1－a ×22－1＝4a ＋4a Δt ＋a (Δt )2＋1－4a －1＝4a Δt ＋a (Δt )2，所以Δs Δt ＝4a Δt ＋a （Δt ）2Δt＝4a ＋a Δt .当Δt 趋于0时，4a ＋a Δt 趋于4a ，由题易知4a ＝8，解得a ＝2.所以存在常数a ＝2，使质点M 在t ＝2 s 时的瞬时速度为8 m /s.。

变化率与导数1变化的快慢与变化率【学习目标丨1•理解函数的平均变化率和瞬时变化率的概念2会求物体运动的平均速度并估计瞬时速度.IT问题导学--------------------------- 知识点一函数的平均变化率观察图形，回答下列问题：思考1函数f(x)在区间［%, X2］上平均变化率的大小与曲线在区间上的陡峭程度有何关系?思考2怎样理解自变量的增量、函数值的增量?梳理平均变化率(2) 实质： ______________________________________________ 之比.(3) 作用：刻画函数值在区间［X 1,X 2］上变化的 ____________________________________________ ⑷几何意义：已知P I (X 1, f(X l ))，P 2(X 2，f(X 2))是函数y = f(x)图像上的两点，则平均变化率A X=匕一也表示割线P 1P 2的X 2 - X 1知识点二瞬时变化率 思考1物体的平均速度能否精确反映物体的运动状态?思考2如何描述物体在某一时刻的运动状态?梳理 要求物体在t o 时刻的瞬时速度，设运动方程为 s = s(t),可先求物体在(t o , t o +A t)内的平均速度A s == ，然后A t 趋于0,得到物体在t o 时刻的题型探究类型一函数的平均变化率 命题角度1求函数的平均变化率例1求函数y = f(X) = X 2在X = 1,2,3附近的平均变化率，取A X 都为丄，哪一点附近的平均变3 化率最大?(1)定义式: Ax反思与感悟 求平均变化率的主要步骤 (1)先计算函数值的改变量 A y = f(X 2)— f(x i );⑵再计算自变量的改变量A x = X 2 — X i ；跟踪训练1 (1)已知函数f(X )= X 2 + 2X — 5的图像上的一点 A(— 1，— 6)及邻近一点B( — 1+ A X ,—6 + A y)，贝U 申= _______⑵如图所示是函数y = f(X)的图像，贝U 函数f(X)在区间［—1,1］上的平均变化率为 ________ ;函 数f(x)在区间［0,2］上的平均变化率为_________ . 命题角度2平均变化率的几何意义例2 过曲线y = f(x) = x 2 — x 上的两点P(1,0)和Q(1 + A x , A y)作曲线的割线，已知割线 PQ的斜率为2,求A x 的值.反思与感悟 函数y = f(x)从X 1到X 2的平均变化率的实质是函数 y = f(x)图像上两点P#X 1,A y f(X 2 — f(X 1 )f(X 1)) , P 2(X 2, f(X 2))连线 P 1P 2 的斜率，即 kP 1P 2= A x =.公X 2— X 1跟踪训练2 (1)甲，乙两人走过的路程S 1(t), S 2(t)与时间t 的关系如图所示, 则在［0 , t o ］这个时间段内，甲，乙两人的平均速度 v 甲，v 乙的关系是( )A . v 甲＞v 乙(3)得平均变化率A y _ f (血厂 f (X1 )A XX 2 — X iB. v甲＜v乙C. v甲=v乙D .大小关系不确定⑵过曲线y= f(x) = i土图像上一点(2, - 2)及邻近一点(2+ A x, - 2+ A y)作割线，则当A x =0.5时割线的斜率为 __________.类型二求函数的瞬时变化率例3以初速度V o(v o＞O)竖直上抛的物体，t秒时的高度s与t的函数关系为s= v o t—ggt2,求物体在时刻t0处的瞬时速度.反思与感悟(1)求瞬时速度的步骤①求位移改变量A s= s(t o+ A t) —s(t o)；②求平均速度v=A s；A s③当A t趋于0时，平均速度和趋于瞬时速度.⑵求当A x无限趋近于0时£的值①在表达式中，可把A x作为一个数来参加运算；②求出严的表达式后，A x无限趋近于0就是令A x= 0，求出结果即可.A x跟踪训练3 一质点M按运动方程s(t) = at2+ 1做直线运动(位移单位：m,时间单位：s), 若质点M在t= 2 s时的瞬时速度为8 m/s,求常数a的值.当堂训练1已知函数f（x），当自变量由X0变化到X!时，函数值的增量与相应的自变量的增量之比是函数（）A .在x o处的变化率B. 在区间［x o, X i］上的平均变化率C. 在x i处的变化率D .以上结论都不对2.一物体的运动方程是s= 3 + 2t,则在［2,2.1］这段时间内的平均速度是（）A. 0.4B. 2C. 0.3D. 0.23•物体运动时位移s与时间t的函数关系是s=- 4t2+ 16t，此物体在某一时刻的瞬时速度为零，则相应的时刻为（）A . t = 1B . t = 2C . t = 3D . t= 44. _____________________________________________________ 球的半径从1增加到2时，球的体积平均膨胀率为____________________________________________ .5. 设函数f（x）= 3x2+ 2在x o= 1,2,3附近A x取；时的平均变化率分别为k i, k?, k?,比较k i,k2, k3的大小.厂规律与方法1 .平均变化率反映函数在某个范围内变化的快慢；瞬时变化率反映函数在某点处变化的快慢．2．可以使用逼近的思想理解瞬时变化率，同时结合变化率的实际意义．答案精析问题导学 知识点一思考1 (1)y = f(x)在区间［X i , X 2］上的平均变化率是曲线 y = f(x)在区间［X 1, X 2］上陡峭程度的“数量化”，曲线陡峭程度是平均变化率的“视觉化”. ⑵平均变化率的绝对值越大，曲线y = f(x)在区间［X i , X 2］上越“陡峭”，反之亦然.思考2 (1)自变量的增量：用A X 表示，即A X = X 2-X i ,表示自变量相对于 X i 的“增加量”. ⑵函数值的增量：用 A y 表示，即 勿=f(X 2)-f(x i ),也表示为f(x i + AX ) — f(xi )，表示函数值在X i 的“增加量”.(3)增量并不一定都是正值，也可以是负值，函数值的增量还可以是 0,比如常数函数，其函数值的增量就是0. 梳理(i )f 血—f Xi(2)函数值的改变量与自变量的改变量(3)快慢 (4)斜率X 2— xi知识点二思考i 不能.如高台跳水运动员从起跳高度到最高点然后回到起跳高度的过程中，平均速 度为0,而运动员一直处于运动状态.思考2 可以使用瞬时速度精确描述物体在某一时刻的运动状态. 梳理st0+A A —sto 瞬时速度A t题型探究例i 解 在x = i 附近的平均变化率为 f i + A x — f i i +A x 2— i ki = A X = —AX —=2 + A x ;在x =2附近的平均变化率为 f 2 + A x — f 2 2+ A x 2— 22 k2= A X = A X=4 + A x ;在x =3附近的平均变化率为f 3 + A x — f 33+ A x 2— 32k3==6 + A x.AxA x1 17当&=3时，k 尸2+3= 3,由于k 1<k 2<k 3，所以在x = 3附近的平均变化率最大. 跟踪训练1(1)A x (2)1 3解析⑴籌—2—1 + A x + 2 — 1 + A x — 5 — — 6 = A x =A x.⑵函数f(x)在区间［—1,1］上的平均变化率为 加—f (- 1 )= 2 — 1= 11 ----- 12 2.由函数f(x)的图像知，x + 3厂,—K x w 1, f(x) =2 x + 1, 1<x w 3.所以函数f(x)在区间［0,2］上的平均变化率为3— 3 f2 — f 03—2 3 =〒=4.例2 解害熾PQ 的斜率即为函数f(x)从 1到1+ A x 的平均变化率•/ A y = f(1 + A x) — f(1)2 2=(1 + A x)2— (1 + A x)— (12— 1)2=A x + ( A x),•••割线PQ 的斜率k =Ay = 1+ A x.A x又•••割线 PQ 的斜率为 2, •••1+A x = 2, • A x = 1. 跟踪训练2(1)B(2)|1 13k2= 4+3=£，k 3= 6+1 = 19 ~3. A y A x .解析（1）设直线AC , BC 的斜率分别为k Ac , k Bc ,由平均变化率的几何意义知，s i （t ）在［0,t o ］上的平均变化率 V 甲=k AC , S 2（t ）在［0, t o ］上的平均变化率 v 乙=k BC . 因为k AC <k BC ，所以V 甲<v 乙 ⑵当 &= 0.5 时，2+ A x = 2.5,因为 A s = V o (t o + A t) - 2-g(t o + A t)2 — [v o t o -=(v o -gt o ) A t — *g( A t)2, A s 1所以 A t = v o - gt o - ^g A t.当A t 趋于o 时，石趋于v o - gt o , 故物体在时刻t o 处的瞬时速度为v o — gt o .跟踪训练3解 质点M 在t = 2时的瞬时速度即为函数在 •••质点M 在t = 2附近的平均变化率A s = s(2 + A t — s(2 ) A t = A ta(2+ A t 2-4a = ------- 7T --- = 4a + a A t ,A tA s当A t 趋于0时，A 趋于4a , 4a = 8,得 a = 2. 当堂训练 28 n1. B2.B3.B4.Q5.解 函数在［x o , X o +A x ］上的平均变化率为 6x o + 3A x. 1当x o = 1, A x = 2时，函数在［1,1.5］上的平均变化率为 k i = 6X 1 + 3X 0.5= 7.5;故一2+ A y =2.5 1-2.5故 k pQ =2.5- 223.t = 2处的瞬时变化率.1当x o = 2, A x=㊁时，函数在［2,2.5］上的平均变化率为k2= 6 X 2 + 3X 0.5= 13.5;1当x o = 3, A x= q时，函数在［3,3.5］上的平均变化率为k3= 6X 3 + 3X 0.5= 19.5,所以k1<k2<k3.。

第三章 变化率与导数§1 变化的快慢与变化率自主整理1.函数的平均变化率函数y=f(x)当自变量x 从x 1变为x 2时,函数值从f(x 1)变为f(x 2),它的平均变化率为_________.通常自变量的变化x 2-x 1称作自变量的改变量,记作_________,函数值的变化f(x 2)-f(x 1),称作函数值的改变量,记作_________.这样函数的平均变化率就可以表示为函数值的改变量与自变量之比,即_________.我们用它刻画函数值_________. 2.函数的瞬时变化率函数y=f(x)在自变量x 从x 0变到x 1的过程中,若设Δx=x 1-x 0,Δy=f(x 1)-f(x 0),则函数的平均变化率是101)()(x x x f x f x y --=∆∆=_________.当Δx 趋于0时,平均变化率就趋于函数在x 0点的瞬时变化率,瞬时变化率刻画的是_________.高手笔记1.函数的平均变化率和瞬时变化率都是用来刻画函数变化快慢的,它们的绝对值越大,变化得越快.2.求函数f(x)的平均变化率的步骤: (1)求函数值的增量Δy=f(x 2)-f(x 1); (2)计算平均变化率1212)()(x x x f x f x y --=∆∆. 3.求函数的瞬时变化率是利用平均变化率“逐渐逼近”的方法，求解过程较为烦琐，根据教材概括也可以按以下方法求解：（1）设Δx=x 1-x 0,求Δy=f(x 0+Δx)-f(x 0);(2)求平均变化率x x f x x f x y ∆-∆+=∆∆)()(00;(3)当Δx 趋于0时，xy∆∆趋于一个常数，即函数在x 0点的瞬时变化率. 名师解惑1.同一函数的平均变化率是否为一个常数? 剖析:平均变化率1212)()(x x x f x f x y --=∆∆,式子中Δx,Δy 的值可正、可负,但Δx 的值不能为0,Δy 的值可以为0.当函数f(x)为常数函数时,Δy=0,此时平均变化率为0.当x 1、x 2分别取不同的数值时,函数的平均变化率往往不同.2.函数的平均变化率和瞬时变化率的关系是什么? 平均变化率xx f x x f x y ∆-∆+=∆∆)()(00,当Δx 趋于0时,它所趋于的一个常数就是函数在x 0点的瞬时变化率.剖析:Δx 趋于0是指自变量间隔Δx 越来越近,能达到任意小的间隔,但始终不能为0;Δx,Δy 在变化中都趋近于0,但它们的比值趋近于一个确定的常数. 讲练互动【例1】甲、乙两厂污水的排放量W 与时间t 的关系如图所示,试指出哪一个厂治污效果较好?解析：通过比较相同时间Δt 内,两厂污水排放量的平均变化率的大小便知结果. 解：在t 0处,虽然W 1(t 0)=W 2(t 0), 但tt t W t W ∆∆--)()(0101<t t t W t W ∆∆--)()(0202,所以,在相同时间Δt 内,甲厂比乙厂的平均治污率小.所以乙厂治污效果较好.绿色通道通过函数的平均变化率研究函数值变化的快慢,xy∆∆越大,高度的平均变化量就越大,图像越陡峭;反之,xy∆∆越小,高度的平均变化量越小,图像越平缓. 变式训练1.过曲线f(x)=x 3上两点P(1,1)和Q(1+Δx,1+Δy)作曲线的割线,求当Δx=0.1时割线的斜率. 解析:割线斜率k=xyx x y y ∆∆=--1212. 解:∵Δy=f(1+Δx)-f(1)=(1+Δx)3-1=1.13-1=0.331. ∴当Δx=0.1时割线PQ 的斜率为1.0331.0=∆∆x y =3.31. 【例2】在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度h(单位:m)与起跳后的时间t(单位:s)存在函数关系h(t)=-4.9t 2+6.5t+10.估计运动员在t=2时的瞬时速度. 解析：运动员一段时间的高度改变量Δh 除以这段时间的改变量Δt 就是这段时间的平均速度. 解：将时间间隔每次缩短为前面的1计算出相应的平均速度得到下表.可以看出,当时间t 1趋于t 0=2 s 时,平均速度趋于-13.1 m/s,因此,可以认为运动员在t=2 s 时的瞬时速度为-13.1 m/s. 绿色通道从物理的角度看,时间间隔Δt 无限变小时,平均速度就无限趋近于t=2时的瞬时速度. 变式训练2.求y=2x 2-x 在x=1附近的平均变化率.解析:平均变化率,即xy ∆∆. 解:Δy=f(1+Δx)-f(1)=［2(1+Δx)2-(1+Δx)］-(2-1)=2(Δx)2+3Δx,xy∆∆=2Δx+3.。

转变的快慢与转变率学习目标：了解瞬时速度的概念，能够区分平均速度和瞬时速度.能求出简单函数在某一点的导数(瞬时转变率)学习重点：导数概念的形成，导数内涵的理解一、自主学习[问题1] 一般地，函数12(),,y f x x x =是其概念域内不同的两点，那么函数的转变率能够用式子 表示，咱们把那个式子称为函数()f x 从1x 到2x 的。

适应用 来表示，即： 。

（注：上式中x ∆、f ∆的值可正、可负，但不能为0，()f x 为常数时，f ∆=0） [问题2] 咱们把物体在某一时刻的速度称为________。

一般地，若物体的运动规律为)(t f s =，则物体在时刻t 的瞬时速度v 就是物体在t 到t t ∆+这段时刻内，当_________时平均速度的极限，即t s v x ∆∆=→∆0lim=___________________[问题3]函数y=f(x)在x=x0处的瞬时转变率是: 。

咱们称它为函数()y f x =在0x x =处的___，记作'0()f x 或_____，即_________。

附注： ①导数即为函数y=f(x)在x=x0处的瞬时转变率；②概念的转变形式：()x f '=x x x f x f x y x x ∆∆--=∆∆→∆→∆)()(lim )(lim0000； ()x f '=00)()(lim )(lim 00x x x f x f x y x x x x --=∆∆→→；()x f '=x x f x x f x ∆--∆-→∆-)()(lim 000；0x x x ∆=-，当0x ∆→时，0x x →，所以0000()()()lim x f x f x f x x x ∆→-'=- ③求函数()x f y =在0x x =处的导数步骤：“一差；二比；三极限”。

[问题4]求函数()f x 在0x 处导数三步法：①求函数的增量： 。

§1 变化的快慢与变化率学习目标：1.理解函数平均变化率与瞬时变化率的概念.2.会求给定函数在某个区间的平均变化率．(重点)3.会求函数在某点的瞬时变化率，并能根据瞬时变化率判断函数在某点处变化的快慢．(重点、难点)1．平均变化率对一般的函数y ＝f (x )，当自变量x 从x 1变为x 2时，函数值从f (x 1)变为f (x 2)，它的平均变化率为f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1.通常自变量的变化x 2－x 1称作自变量的改变量，记作Δx ，函数值的变化f (x 2)－f (x 1)称作函数值的改变量，记作Δy .这样，函数的平均变化率就可以表示为函数值的改变量与自变量的改变量之比，即Δy Δx＝f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1.我们用它来刻画函数值在区间[x 1，x 2]上变化的快慢．思考：函数f (x )在区间[x 1，x 2]上平均变化率的大小与曲线在区间上的陡峭程度有何关系？[提示] (1)y ＝f (x )在区间[x 1，x 2]上的平均变化率是曲线y ＝f (x )在区间[x 1，x 2]上陡峭程度的“数量化”，曲线陡峭程度是平均变化率的“视觉化”．(2)平均变化率的绝对值越大，曲线y ＝f (x )在区间[x 1，x 2]上越“陡峭”，反之亦然．2．瞬时变化率对于一般的函数y ＝f (x )，在自变量x 从x 0变到x 1的过程中，若设Δx ＝x 1－x 0，Δy ＝f (x 1)－f (x 0)，则函数的平均变化率是Δy Δx ＝f (x 1)－f (x 0)x 1－x 0＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx .当Δx 趋于0时，平均变化率就趋于函数在x 0点的瞬时变化率，瞬时变化率刻画的是函数在一点处变化的快慢．思考：物体的平均速度能否精确反映物体的运动状态？如何描述物体在某一时刻的运动状态？[提示]不能．如高台跳水运动员从起跳高度到最高点然后回到起跳高度的过程中，平均速度为0，而运动员一直处于运动状态．可以使用瞬时速度精确描述物体在某一时刻的运动状态．1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)对于函数y＝f(x)，当x从x1变为x2时，函数值从f(x1)变为f(x2)，若记Δx＝x2－x1，Δy＝f(x2)－f(x1)，则(1)Δx可正，可负，可为零；()(2)函数y＝f(x)的平均变化率为ΔyΔx＝f(x2)－f(x1)x2－x1＝f(x1＋Δx)－f(x1)Δx；()(3)函数y＝f(x)的平均变化率为ΔyΔx＝f(x1)－f(x2)x1－x2＝f(x2－Δx)－f(x2)－Δx；()(4)当Δx趋于0时，ΔyΔx就趋于x1处的瞬时变化率．()[答案](1)×(2)√(3)√(4)√2．函数f(x)＝2x2－1在区间[1,1＋Δx]上的平均变化率ΔyΔx等于()A．4B．4x C．4＋2Δx D．4＋2(Δx)2 C[Δy＝2(1＋Δx)2－1－(2×12－1)＝2(Δx)2＋4Δx.∴ΔyΔx＝2(Δx)2＋4ΔxΔx＝2Δx＋4.]3．函数f(x)＝x2在x＝1处的瞬时变化率为__________．[解析]ΔyΔx＝(1＋Δx)2－12Δx＝2Δx＋(Δx)2Δx＝Δx＋2，当Δx趋于0时，ΔyΔx趋于2.[答案] 2求平均变化率【例1】求函数y＝f(x)＝3x2＋2在区间[x0，x0＋Δx]上的平均变化率，并求当x0＝2，Δx＝0.1时平均变化率的值．[解]Δx＝x0＋Δx－x0＝Δx.Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)＝3(x0＋Δx)2＋2－(3x20＋2)＝6x0·Δx＋3(Δx)2.∴ΔyΔx＝6x0·Δx＋3(Δx)2Δx＝6x0＋3Δx.即函数在[x0，x0＋Δx]上的平均变化率为6x0＋3Δx.当x0＝2，Δx＝0.1时，6x0＋3Δx＝6×2＋3×0.1＝12.3.即函数y＝3x2＋2在[2,2.1]上的平均变化率为12.3.求函数y＝f(x)在[x1，x2]上的平均变化率的方法步骤是：(1)计算Δx，求出Δx＝x2－x1；(2)计算Δy，求出Δy＝f(x2)－f(x1)；(3)计算变化率，求出ΔyΔx的值.1．已知函数f(x)＝x2＋x，计算f(x)在区间[x0，x0＋Δx]上的平均变化率，并求当x0＝2，Δx＝0.1时平均变化率的值．[解]函数f(x)＝x2＋x在区间[x0，x0＋Δx]上的平均变化率为f(x0＋Δx)－f(x0)(x0＋Δx)－x0＝(x0＋Δx)2＋x0＋Δx－(x20＋x0)Δx＝(2x0＋1)·Δx＋(Δx)2Δx＝2x0＋1＋Δx，当x0＝2，Δx＝0.1时，函数f(x)＝x2＋x在区间[2,2.1]上的平均变化率为2×2＋1＋0.1＝5.1.求瞬时速度【例2】 以初速度v 0(v 0>0)竖直上抛的物体，t s 时的高度s 与t 的函数关系为s ＝v 0t －12gt 2，求物体在时刻t 0处的瞬时速度．思路探究：本题可先求物体在t 0到t 0＋Δt 之间的平均速度，然后求当Δt 趋于0时的瞬时速度．[解] ∵Δs ＝v 0(t 0＋Δt )－12g (t 0＋Δt )2－⎝ ⎛⎭⎪⎫v 0t 0－12gt 20＝(v 0－gt 0)Δt －12g (Δt )2， ∴Δs Δt ＝v 0－gt 0－12g Δt . 当Δt 趋于0时，ΔsΔt 趋于v 0－gt 0，故物体在时刻t 0处的瞬时速度为v 0－gt 0.求运动物体瞬时速度的三个步骤：(1)求时间改变量Δt 和位移改变量Δs ＝s (t 0＋Δt )－s (t 0)； (2)求平均速度v ＝ΔsΔt ；(3)求瞬时速度，当Δt 无限趋近于0时，ΔsΔt 无限趋近于常数v ，即为瞬时速度．2．一做直线运动的物体，其位移s 与时间t 的关系是s ＝3t －t 2，求此物体在t ＝3时的瞬时速度．[解] 令Δt 为增量．则s (3＋Δt )－s (3)Δt ＝－3Δt －(Δt )2Δt ＝－3－Δt .当Δt 趋于0时，s (3＋Δt )－s (3)Δt趋于－3.所以此物体在t ＝3时的瞬时速度为－3.求瞬时变化率[探究问题]1．已知s (t )＝5t 2，请求出t 从3秒到3.1秒的平均速度． [提示] 当3≤t ≤3.1时， Δt ＝0.1，Δs ＝s (3.1)－s (3)＝5×3.12－5×32＝5×(3.1－3)×(3.1＋3) ∴Δs Δt ＝5×0.1×6.10.1＝30.5(m/s)． 2．在上述问题中，请求出t ＝3秒时的瞬时速度． [提示] 在t ＝3附近取一个小时间段Δt ， 即3≤t ≤3＋Δt (Δt >0)，∴Δs ＝s (3＋Δt )－s (3)＝5×(3＋Δt )2－5×32＝5·Δt ·(6＋Δt )， ∴Δs Δt ＝5Δt (6＋Δt )Δt ＝30＋5Δt .当Δt 趋于0时，ΔsΔt 趋于30. ∴在t ＝3秒时的瞬时速度为30 m/s . 【例3】 已知函数y ＝f (x )＝2x 2＋1.(1)求函数y ＝f (x )在区间[x 0，x 0＋Δx ]上的平均变化率； (2)求函数y ＝f (x )在区间[2,2.01]上的平均变化率； (3)求函数y ＝f (x )在x ＝2处的瞬时变化率．思路探究：函数y ＝f (x )＝2x 2＋1→函数值的改变量Δy ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)→函数的平均变化率Δy Δx →Δx 趋于0→ΔyΔx 趋于常数．[解] (1)由已知，∵Δy ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0) ＝2(x 0＋Δx )2＋1－2x 20－1＝2Δx (2x 0＋Δx )， ∴Δy Δx ＝2Δx (2x 0＋Δx )Δx ＝4x 0＋2Δx .(2)由(1)可知，ΔyΔx ＝4x 0＋2Δx ， 当x 0＝2，Δx ＝0.01时，ΔyΔx＝4×2＋2×0.01＝8.02.(3)在x＝2处取自变量的增量Δx，得一区间[2,2＋Δx]．∴Δy＝f(2＋Δx)－f(2)＝2(2＋Δx)2＋1－(2·22＋1)＝2(Δx)2＋8Δx.∴ΔyΔx＝2Δx＋8，当Δx趋于0时，ΔyΔx趋于8，即函数y＝f(x)在x＝2处的瞬时变化率为8.1．极限思想是逼近的思想，瞬时变化率就是平均变化率的极限．求ΔyΔx(当Δx无限趋近于0时)的极限方法(1)在极限表达式中，可把Δx作为一个数来参与运算．(2)求出ΔyΔx的表达式后，Δx无限趋近于0就是令Δx＝0，求出结果即可．2．函数y＝f(x)在x＝x0处的导数f′(x0)反映了函数在该点处的瞬时变化率，它揭示了事物在某时刻的变化情况．1．已知函数y＝f(x)＝x2＋1，则在x＝2，Δx＝0.1时，Δy的值为()A．0.40B．0.41C．0.43 D．0.44B [Δy ＝f (2＋0.1)2－f (2)＝2.12＋1－(22＋1)＝0.41.]2.如图，函数y ＝f (x )在[1,3]上平均变化率为( ) A ．1 B ．－1 C ．2D ．－2B [Δy Δx ＝f (3)－f (1)3－1＝1－33－1＝－1.]3．一物体的运动方程是s ＝3＋t 2，则在一小段时间[2,2.1]内相应的平均速度为________．[解析] Δs Δt ＝3＋2.12－(3＋22)2.1－2＝4.1.[答案] 4.14．某物体作匀速运动，其运动方程为s ＝v (t )＝vt ＋b ，则该物体在运动过程中其平均速度与任何时刻的瞬时速度关系为________．[解析] 平均速度v ＝v (t ＋Δt )＋b －[vt ＋b ]Δt ＝v ΔtΔt ＝v .故任一时刻的瞬时速度也是v .[答案] 相等5．一质点的运动方程为s ＝8－3t 2，其中s 表示位移(单位：m)，t 表示时间(单位：s)．(1)求该质点在[1,1＋Δt ]这段时间内的平均速度； (2)求该质点在t ＝1 s 时的瞬时速度．[解] (1)该质点在[1,1＋Δt ]这段时间内的平均速度为ΔsΔt ＝8－3(1＋Δt )2－8＋3×12Δt＝(－6－3Δt )(m/s)．(2)由(1)知，当Δt 趋近于0 s 时，ΔsΔt 趋近于－6 m /s ，所以该质点在t ＝1 s 时的瞬时速度为－6 m /s .。