一轮复习：静态平衡中的临界极值问题

§2．6 动态平衡、平衡中的临界和极值问平衡物体的临界问题的求解方法一般是采用假设推理法，即先假设怎样，然后再根据平衡条件及有关知识列方程求解。

解决这类问题关键是要注意“恰好出现”或“恰好不出现”。

2、极值问题：极值是指平衡问题中某些物理量变化时出现最大值或最小值。

平衡物体的极值，一般指在力的变化过程中的最大值和最小值问题。

【重点精析】一、动态分析问题【例1】如图所示，轻绳的两端分别系在圆环A和小球B上，圆环A套在粗糙的水平直杆MN上。

现用水平力F拉着绳子上的一点O，使小球B从图中实线位置缓慢上升到虚线位置，但圆环A始终保持在原位置不动。

则在这一过程中，环对杆的摩擦力Ff和环对杆的压力FN的变化情况是( )A、Ff不变，FN不变B、Ff增大，FN不变C、Ff增大，FN减小D、Ff不变，FN减小【解析】以结点O为研究对象进行受力分析如图(a)。

由题可知，O点处于动态平衡，则可作出三力的平衡关系图如图(a)。

由图可知水平拉力增大。

以环、绳和小球构成的整体作为研究对象，作受力分析图如图(b)。

由整个系统平衡可知：FN=(mA+mB)g；Ff=F。

即Ff增大，FN不变，故B正确。

【答案】B【方法提炼】动态平衡问题的处理方法所谓动态平衡问题是指通过控制某些物理量，使物体的状态发生缓慢变化，而在这个过程中物体又始终处于一系列的平衡状态中。

(1)图解分析法对研究对象在状态变化过程中的若干状态进行受力分析，依据某一参量的变化，在同一图中作出物体在若干状态下力的平衡图(力的平行四边形)，再由动态力的平行四边形各边长度变化及角度变化确定力的大小及方向的变化情况。

动态平衡中各力的变化情况是一种常见题型。

总结其特点有：合力大小和方向都不变；一个分力的方向不变，分析另一个分力方向变化时两个分力大小的变化情况。

用图解法具有简单、直观的优点。

(2)相似三角形法对受三力作用而平衡的物体，先正确分析物体的受力，画出受力分析图，再寻找与力的三角形相似的几何三角形，利用相似三角形的性质，建立比例关系，把力的大小变化问题转化为几何三角形边长的大小变化问题进行讨论。

【答案】D 【详解】AB．对小球受力分析，如图所示,根据受力平衡可得 F mg tan , T mg ,移动过程中，θ逐渐增大，tanθ逐渐增大，
cos
cosθ逐渐减小，则水平拉力F逐渐增大，细线的拉力逐渐增大，故 AB错误；CD．以铁架台、小球整体为研究对象，根据受力平衡可得 FN (M m)g ，f F,可知桌面对铁架台的支持力不变，即铁架台对桌面的压力不变； 铁架台所受地面的摩擦力变大，故C错误，D正确。 故选D。
经典例题
[典例1]（2024·全国·高三专题练习）如图所示，壁虎在竖直玻璃面上斜 向上匀速爬行，关于它在此平面内的受力分析，下列示意图中正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A 【详解】壁虎在竖直玻璃面上匀速爬行，属于匀速直线运动，对壁虎进行受力分析 由图可知，F与mg大小相等，方向相反。 故选A。
当物理情景中涉及物体较多时,就要考虑采用整体法和隔离法。
(1)整体法
研究外力对系统的作用 各物体运动状态相同
同时满足上述两个条件即可采用整体法。
(2)隔离法
分析系统内各物体各部分间相互作用 各物体运动状态可不相同
物体必须从系统中隔离出来,独立地进行受力分析,列出方程。
变式训练
变式3（2023秋·天津西青·高一天津市西青区杨柳青第一中学校考期末）一 铁架台放在水平桌面上，其上用轻质细线悬挂一小置运动到虚线位置，铁架台始 终保持静止。则在这一过程中（ ） A．水平拉力F不变 B．细线的拉力变小 C．铁架台对桌面的压力变大 D．铁架台所受地面的摩擦力变大
A．5N
B．6N C．7.5N D．8N
【答案】B
【详解】设F与水平方向夹角为θ，根据平衡知识可知：F cos (mg F sin ) ，解得

图4 解析：以球为研究对象，球所受重力mg产生的效果有两个：对斜面产生 了压力
，对挡板产生了压力
，根据重力产生的效果将重力分解，如图4所示，当挡板与斜面的夹角 α由图示位置变化时，
大小改变，但方向不变，始终与斜面垂直；
的大小、方向均改变（图4中画出的一系列虚线表示变化的
）。由图可看出，当
与
垂直即
时，挡板AO所受压力最小，最小压力
图3 解析：由于物体在水平面上做匀速直线运动，随着α角的不同，物体与 水平面的弹力不同，因而滑动的摩擦力也不一样，而拉力在水平方向的 分力与摩擦力相等，因而α角不同，拉力F也不一样。以物体为研究对 象，受力分析如图3所示，因为物体处于平衡状态，根据
得：
。 联立可解得：
可见当
，即
，F有最小值：
说明：此例给出了求解极值问题的一种方法：函数法。此例中，F的大 小随α的变化而变化，要求F的极小值，就要根据题意求出F随α而变的 函数关系式，再利用函数的单调性，讨论F的极值。此例中三角函数的 变换是一种常用的方法，应牢记。 三. 物体处于动态平衡状态 例4. 如图4所示，质量为m的球放在倾角为 的光滑斜面上，试分析挡板AO与斜面间的倾角α多大时，AO所受压力最 小？
极值问题则是在满足一定的条件下，某物理量出现极大值或极小值 的情况。临界问题往往是和极值问题联系在界条件或达到极 值的条件。要特别注意可能出现的多种情况。 一. 物体处于静止状态 例1. 如图1所示，重20N的物体静止在倾角为
。 说明：本题考查分析推理能力及运用数学知识处理物理问题的能力。部 分考生不进行推理凭主观臆断，得出挡板处于竖直状态所受压力最小的 错误结论。还有部分考生思维不灵活，不采用“图解法”而采用“正交 分解法”，陷入繁琐的计算和推理，往往由于计算过程出错，导致错误 结果。 例5. 一质量为m的物体，置于水平长木板上，物体与木板间的动摩擦因 数为

μ1F≥4mg
F≥16N
所以：F≥30N四、求临界 Nhomakorabea和极值的方法：
1．解析法：利用物体受力平衡列出未知量与已知量
的关系表达式，用数学方法求极值．
2．假设法：假设可发生的临界现象，列出满足所发
生的临界现象的平衡方程求解．
3．图解法：根据已知量的变化情况，画出平行四边
形的边角变化，确定未知量的大小．
针对练习1
为r的半球体均匀物块A.现在A上放一密度和半径与A相同的球体B，调整A
的位置使得A、B保持静止状态，已知A与地面间的动摩擦因数为0.5.则A球
球心距墙角的最远距离是(
√
)
【解析】 根据题意可知，B的质
量为2m，A、B处于静止状态，受力
平衡，则地面对A的支持力为：N＝
3mg，当地面对A的摩擦力达到最大静
整体法
滑动临界
F
（2）以木块和小球为研究对象，由平
衡条件得
N
f
刚开始滑动”临界
条件是：静摩擦力
达到最大值
联立解得
G
（3）若在小球上施加一个外力F，让小球脱离劈形木块，
这个外力的最小值为多少？
分离临界极值问题
脱离临界：小球与斜面仍接触
但弹力为零
最小值：弹力为零变为三力平
衡问题，动态三角形
F垂直绳拉力时，取得最小值
最大值．
2．“两物体恰好分离”临界条件是；两物体间
的压力为0.
3．“刚好断开”临界条件是：绳的张力最大．
三、经典例析：
例1、如图，在粗糙的水平地面放置一重为50N的劈形木块，在劈形木块上
有一个重力为100N的光滑小球被轻绳拴住悬挂在天花板上，已知绳子与竖直

个状态均可视为平衡状态.
2.做题流程 受力分析 —化—“—动—”—为—静→画不同状态平衡图构造矢量三角形 —“—静—”—中—求—动→
—定—性—分—析→ 根据矢量三角形边长关系确定矢量的大小变化
三角函数关系
—定—量—计—算→ 正弦定理
找关系求极值
相似三角形
3.三力平衡、合力与分力关系 如图，F1、F2、F3共点平衡，三力的合 力 为 零 ， 则 F1 、 F2 的 合 力 F3′ 与 F3 等 大 反 向 ， F1 、 F2 、 F3′ 构 成 矢 量 三 角 形 ， 即F3′为F1、F2的合力，也可以将F1、F2、 F3直接构成封闭三角形.
√A.MN上的张力逐渐增大
B.MN上的张力先增大后减小
C.OM上的张力逐渐增大
√D.OM上的张力先增大后减小
以重物为研究对象分析受力情况，受重力mg、OM绳上拉力F2、MN上 拉力F1，由题意知，三个力的合力始终为零，矢量三角形如图所示， F1、F2的夹角为π－α不变，在F2转至水平的过程中， 矢量三角形在同一外接圆上，由图可知，MN上的 张力F1逐渐增大，OM上的张力F2先增大后减小， 所以A、D正确，B、C错误.
以结点B为研究对象，分析受力情况，作出力的合成图如图，根据平 衡条件知，F、FN的合力F合与G大小相等、方向相反. 根据三角形相似得AFC合 ＝AFB＝BFCN 又 F 合＝G 得 F＝AACB G，FN＝BACC G ∠BCA缓慢变小的过程中，AB变小，而AC、BC 不变，则F变小，FN不变，故杆BC所产生的弹 力大小不变，故选A.
2.一力恒定(如重力)，另一力与恒定的力不垂直但方向不变，作出不同状 态下的矢量三角形，确定力大小的变化，恒力之外的两力垂直时，有极 值出现. 基本矢量图，如图所示

秘籍02共点力的静态平衡、动态平衡、临界和极值问题、整体法和隔离法一、共点力的平衡1.平衡状态：物体受到几个力作用时，如果保持静止或匀速直线运动状态，我们就说这个物体处于平衡状态。

【注意】“静止”和“v=0”的区别和联系当v=0时：①a=0时，静止，处于平衡状态②a≠0时，不静止，处于非平衡状态，如自由落体初始时刻2.共点力平衡的条件(1)条件：在共点力作用下物体平衡的条件是合力为0。

(2)公式：F合＝03.三个结论：①二力平衡：二力等大、反向，是一对平衡力；②三力平衡：任两个力的合力与第三个力等大、反向；③多力平衡：任一力与其他所有力的合力等大、反向。

二、静态平衡与动态平衡的处理方法1.静态平衡与动态平衡态而加速度也为零才能认为平衡状态。

物理学中的“缓慢移动”一般可理解为动态平衡。

2.静态平衡的分析思路和解决方法方法内容合成法物体受三个共点力的作用而平衡，则任意两个力的合力一定与第三个力大小相等，方向相反。

分解法物体受三个共点力的作用而平衡，将某一个力按力的效果分解，则其分力和其他两个力满足平衡条件。

正交分解法物体受到三个或三个以上力的作用而平衡，将物体所受的力分解为相互垂直的两组，每组力都满足平衡条件。

力的三角形法对受三个力作用而平衡的物体，将力的矢量图平移使三个力组成一个首尾依次相接的矢量三角形，根据正弦定理、余弦定理或相似三角形等数学知识求解未知力。

3.动态平衡的分析思路和解决方法方法内容解析法对研究对象的任一状态进行受力分析，建立平衡方程，求出已知力与未知力的函数式，进而判断各个力的变化情况图解法①分析物体的受力及特点；②利用平行四边形定则，作出矢量四边形；③根据矢量四边形边长大小作出定性分析；相似三角形法①分析物体的受力及特点；②利用平行四边形定则，作三力矢量三角形；③根据矢量三角形和几何三角形相似作定性分析；拉密定理法①分析物体的受力及特点；②利用平行四边形定则，作三力矢量三角形；③利用正弦或拉密定理作定性分析；三、共点力平衡中的临界极值问题1.临界或极值条件的标志有些题目中有“刚好”、“恰好”、“正好”等字眼，明显表明题述的过程存在着临界点。

[解析] (1)如图甲所示，未施加力F时，对物体受力分析，由平衡 条件得mgsin 30°＝μmgcos 30°
解得 μ＝tan 30°＝ 33。
(2)设斜面倾角为 α，受力情况如图乙所示，由平衡条件得 Fcos α＝
mgsin α＋Ff′， FN′＝mgcos α＋Fsin α
Ff′＝μFN′
3. 突破共点力平衡中的临界、极值问题的步骤
►考向1 极值问题
(2022·浙江1月选考)如图所示，学校门口水平地面上有一质量
为m的石墩，石墩与水平地面间的动摩擦因数为μ，工作人员用轻绳按图
示方式匀速移动石墩时，两平行轻绳与水平面间的夹角均为θ，则下列
说法正确的是( B ) A．轻绳的合拉力大小为cμoms gθ
类型二 “一力恒定，另外两力方向变化但夹角一定”的动态平衡 问题
作出不同状态的矢量三角形，利用两力夹角不变，结合正弦定理列 式求解，也可以作出动态圆。
(2024·河北沧州联考)如图所示，两根相同的轻质弹簧一端分 别固定于M、N两点，另一端分别与轻绳OP、OQ连接于O点。现用手拉 住OP、OQ的末端，使OM、ON两弹簧长度相同(均处于拉伸状态)，且 分别保持水平、竖直。最初OP竖直向下，OQ与OP成120°夹角。现使 OP、OQ的夹角不变，在保持O点不动的情况下，将OP、OQ沿顺时针方 向缓慢旋转70°。已知弹簧、轻绳始终在同一竖直平面内，则在两轻绳 旋转的过程中( A )
[速解指导] 晾衣绳模型：近小远大恒不变→绳长不变，绳子端点 水平间距d变小→绳子拉力变小。
[解析] 设绳子两端点所悬点的水平距离为 d，绳长为 l，绳子拉力
为 T，绳子与竖直方向之间的夹角为 θ，物体的质量为 m。根据共点力平
衡有 2Tcos θ＝mg，sin θ＝dl ，T＝ 2

上。现用水平力F推物体A，在F由零逐渐增加至 3 mg再逐渐减为零的过程
2
中，A和B始终保持静止。对此过程下列说法正确的是 世纪金榜导学号
()
A.地面对B的支持力大于(M+m)g
B.A对B的压力的最小值为 3 mg，最大值为 3 3 mg
2
C.A所受摩擦力的最小值为0，最大值为
mg
4
4
D.A所受摩擦力的最小值为 1 mg，最大值为 3 mg
极限 法
数学 分析 法
物理 分析 法
正确进行受力分析和变化过程分析，找到平衡的临界点和极值点；临界 条件必须在变化中寻找，不能在一个状态上研究临界问题，要把某个物 理量推向极大或极小
通过对问题分析，根据平衡条件列出物理量之间的函数关系(画出函数 图象)，用数学方法求极值(如求二次函数极值、公式极值、三角函数极 值)
1.临界、极值问题特征： (1)临界问题：当某物理量变化时，会引起其他几个物理量的变化，从而使物 体所处的平衡状态“恰好出现”或“恰好不出现”，在问题的描述中常用 “刚好”“刚能”“恰好”等语言叙述。 (2)极值问题：平衡物体的极值，一般指在力的变化过程中的最大值和最小值 问题。
2.解决极值和临界问题的三种方法：
学号( ) A.mg
C. 1 mg
2
B. 3 mg
3
D. 1 mg
4
【解析】选C。由图可知,要想CD水平,各绳均应绷紧,则AC与水平方向的夹角
为60°;结点C受力平衡,则受力分析如图所示,则CD绳的拉力T=mgtan30°=
3mg;D点受绳子拉力大小等于T,方向向左;要使CD水平,D点两绳的拉力与外
核心素养微专题系列 平衡中的临界和极值问题
内容索引

2008高考物理复习物体平衡时的临界状态和极值问题所谓的临界状态是指一种物理现象转变为另一种物理现象，或者从一个物理过程转入到另一个物理过程的转折状态。

我们也可以将其理解为“恰好出现”或者“恰好不出现”某种现象的状态。

而平衡物体的临界状态是指物体所处的平衡状态将要变化的状态。

所谓极值问题是指研究平衡问题中某物理量变化情况时出现的最大值或者最小值。

研究物理极值问题和临界问题的基本观点有二：1、物理分析：通过对物理过程分析，抓住临界或者极值条件进行求解；2、数学讨论：通过对物理问题的分析，依据物理规律列出物理量之间的函数关系，用数学方法求极值。

这种方法一定要依据物理理论对解的合理性以及物理意义进行讨论或者说明。

研究临界问题的基本方法：一般采用先假设一种情况的存在，然后再根据平衡条件以及有关知识列方程求解。

研究平衡物体的极值问题有两种方法：1、解析法：根据物体的平衡条件列方程，在解方程时采用数学知识求极值。

通常我们会用到的数学知识有：二次函数极值、均分定理求极值、讨论分式极值、三角函数极值以及几何法求极值；2、图解法：根据物体的平衡条件作出力的矢量图，如只受三个力，则这三个力矢量三角形，然后根据图进行动态分析，确定最大值和最小值。

这种方法比较简便，而且很直观。

例1、如图1所示，物体的质量为2kg，两根轻绳AB和AC的一端连接于竖直的墙上，另一端系于物体上，在物体上另施加一个方向与水平线成θ=60°的拉力F，若要使绳都能伸直，求拉力F的大小范围。

（北京市海淀区试题）解析、这是一个典型的临界问题。

作出物体A的受力图如图2所示，由平衡条件有：ΣF y=Fcosθ-F2-F1cosθ=0 (1)ΣF x=Fsinθ+F1sinθ-mg =0 (2)由（1）、（2）可得：F=mg/sinθ–F1（3）F=F2/2cosθ +mg/2sinθ（4）要使两绳都能绷直，则有F1≥0（5），F2≥0 （6）由（3）、（5）得F有最大值F max=mg/sinθ=40/（√3）N由（4）、（6）可知F有最小值F min=mg/2sinθ=20/（√3）N综合有F的取值范围为：20/（√3）N≤F≤40/（√3）N例2、如图3所示，位于斜面上的物体M在沿斜面向上的力F的作用下，处于静止状态，则斜面作用于物体的静摩擦力（）（1）、方向可能沿斜面向上；（2）、方向可能沿斜面向下；（3）、大小可能等于零；（4）、大小可能等于F。

能承受的最大拉力都是250N。（g=10m/s2）（sin53°=0.8，cos53°=0.6）求：
（1）AO的拉力；
（2）为保证绳子不断，所挂重物的最大质量是多少？
题型二：绳子承受最大拉力问题
【变式1】用一根长1m的轻质细绳将一幅质量为1kg的画框对称悬挂在墙壁上，
已知绳能承受的最大张力10N，为使绳不断裂，画框上两个钉的间距最大为（g
前推进。槽表面光滑，摩擦力可以不计；部件A与部件B界面具有摩擦系数μ，
且最大静摩擦力等于滑动摩擦力，界面与水平面呈45°夹角。部件B质量为m，
重力加速度为g，为了使门闩启动，施加在部件A上的水平力F至少是（
）
【详解】设A、B刚好发生相对滑动，A、B的受力如图所示
题型三：物体间相对滑动问题
【变式2】扩张机的原理如图所示，A、B、C为活动铰链，在A处作用一水平力
1
为m2的钩码，平衡后绳的ac段正好水平，则重物和钩码的质量比 为（
2
）
考向2：限定条件下的平衡问题
【详解】对绳子上c点进行受力分析
THANKS
求：
（1）A、B接触面间的动摩擦因数μ2；
（2）若F=10N，地面对物体A的摩擦力大小？A对物体B的摩擦力大小？
（3）若F=20N，地面对物体A的摩擦力大小？物体B对物体A的摩擦力大小？
题型三：物体间相对滑动问题
题型三：物体间相对滑动问题
【变式1】竖直门闩简化结构的侧视图如图所示。下方部件A可以在水平槽内向
此过程中某段绳子被拉断，则（ B ）
A．绳AC段先断
B．绳OA段先断
C．绳AB段先断
D．OA与AB段可能同时拉断
题型三：物体间相对滑动问题
【典例3】如图所示，物体A重40N，物体B重20N，A与地面间的动摩擦因数

目录
高中总复习·物理
解析：
小球沿圆环缓慢上移可看成小球始终
受力平衡，对小球进行受力分析，作出受力示意


图如图所示，由图可知△OAB∽△G'FA，即 ＝


N
＝ ，当A点上移时，半径不变，AB长度减

小，故F减小，FN不变，故C正确。
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目录
高中总复习·物理
4. （多选）如图所示，静止在水平地面上的台秤上有一铁架台，小球
【典例4】
如图所示，学校门口水平地面上有一质量为m的石墩，
石墩与水平地面间的动摩擦因数为μ，工作人员用轻绳按图示方式
匀速移动石墩时，两平行轻绳与水平面间的夹角均为θ，则下列说
法正确的是（
A.
）

轻绳的合拉力大小为
cos
B. 轻绳的合拉力大小为

cos＋sin
C. 减小夹角θ，轻绳的合拉力一定减小
的拉力FT和力F，由图看出，当F与细线垂直时F最小，由数学知识
得F的最小值为F＝Gsin 30°＝2.5 N，故选项B正确。
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高中总复习·物理
2. 【极限法】
小朋友在玩积木时，将两个相同的方形积木放在粗糙的水平地面
上。将球形积木放在两方形积木之间，截面图如图所示，接触点分
别为A、B。他发现当两方形积木之间的距离大到一定程度时，球形
可得Fsin θ＝μN，联立解得tan θ＝1，则θ＝45°，根据几何关系可得
AB之间的距离为x＝ 2R，故C正确，A、B、D错误。
目录
高中总复习·物理

解析 设两根细绳对圆柱体的拉力的合力为FT,木板对圆柱体的支持力为FN,由平衡条件得FT、FN的合力方向竖直向上,大小等于圆柱体的重力G。作合成图中三角形的外接圆,初状态时FN水平向左,FT过圆的圆心,如图中实线所示。木板以直线MN为轴向后方缓慢转动直至水平过程中,
FT、FN的夹角不变,且合力不变,如图中虚线所示,可知两根细绳对圆柱体拉力的合力FT一直减小,木板对圆柱体的支持力FN先增大后减小,根据牛顿第三定律得圆柱体对木板的压力先增大后减小,A、D两项错误, B项正确;两根细绳的夹角不变,随着合力的减小,两根细绳上的拉力也一直减小,C项错误。
解析 如图所示,以小球为研究对象,小球受到重力、细绳的拉力和斜面的支持力,三力平衡。根据平衡条件得知拉力与支持力的合力与重力大小相等,方向相反,且重力保持不变,作出三个位置拉力与支持力的合成示意图,可得细绳由水平方向逐渐向上偏移时,拉力F先逐渐减小后逐渐增大,D项正确。
答案 D
考向3 相似三角形法在三力平衡问题中,如果有一个力是恒力,另外两个力方向都变化,且题目给出了空间几何关系,多数情况下力的矢量三角形与空间几何三角形相似,可利用相似三角形对应边成比例进行计算。
第二章
相互作用——力
专题突破四 态平衡问题 平衡中的临界和极值问题
1.学会用解析法、图解法、相似三角形法等解答动态平衡问题。2.会用极限分析法或数学分析法等解答平衡中的临界和极值问题。
1.动态平衡问题是指物体的受力状态缓慢发生变化,但在变化过程中,每一个状态均可视为平衡状态。2.基本思路:化“动”为“静”,“静”中求“动”。
考向2 物理分析法根据物体的平衡条件,作出力的矢量图,通过对物理过程的分析,利用平行四边形定则进行动态分析,确定最大值与最小值。
答案 A

1
3
23
A.2G B. 3 G C.G D. 3 G
解析 对 A 球受力分析可知，因 O、A 间绳竖直，则 A、B 间绳上的 拉力为 0。对 B 球受力分析如图所示，则可知当 F 与 O、B 间绳垂直时
F 最小，Fmin＝Gsin θ，其中 sin θ＝2ll＝21，则 Fmin＝21G，故选项 A 正确。
方向上有 F＝FTsin θ。当 θ＝60°时，FN1＝ 23m2g，由牛顿第三定律得小
球对半圆柱体的压力大小为 23m2g，B 错误；F＝FTsin θ＝12m2gsin 2θ， 当 θ＝45°时，Fmax＝21m2g，C 正确；FN＝(m1＋m2)g－m2gcos2θ，当 θ＝
60°时，FN＝m1g＋34m2g，当换用半径更大的半圆柱体时，θ 改变，FN 改
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@《创新设计》
目录
备选训练
【备选训练1】 倾角为θ＝37°的斜面与水平面保持静止， 斜面上有一重为G的物体A，物体A与斜面间的动摩擦因数μ
物体A在斜面上静止 有几个极端情况？各 自的受力情况如何？
＝0.5。现给A施加一水平力F，如图示。设最大静摩擦力与
滑动摩擦力相等(sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8)，如果物体A能
答案 A
4
@《创新设计》
目录
多维训练
1．如图17，倾角为45°的斜面体A放在水平地面上，A与地面间的动 摩擦因数为0.75，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，光滑半球体B静止在 竖直墙和斜面体之间，已知A、B所受重力都为G，若在B的球心处施加 一竖直向下的力F，要保持斜面体静止不动，F的最大值是( )
A．G B．1.5G C．2G D．2.5G
解析 用整体法分析，把两个小球看做一个整体，此整体受到的外力为竖直向下的重 力2mg、水平向左的力F(甲受到的)、水平向右的力F(乙受到的)和细线1的拉力，两水 平力相互平衡，故细线1的拉力一定与重力2mg等大反向，即细线1一定竖直；再用隔 离法，分析乙球受力的情况，乙球受到向下的重力mg，水平向右的拉力F，细线2的 拉力F2。要使得乙球受力平衡，细线2必须向右倾斜。选项A正确。答案 A

2023届高三物理一轮复习重点热点难点专题特训专题10 共点力作用下的静态平衡问题特训目标特训内容目标1 受力分析（1T—5T）目标2 有关连接体的静态平衡问题（6T—10T）目标3 三角形相似法在静态平衡问题中的应用（11T—15T）目标4 静态平衡状态下的临界极值问题（16T—20T）一、受力分析1．如图所示，甲、乙两个三角形物体在一个垂直于甲和乙接触面的力F的作用下，均静止在固定的斜面上。

以下关于甲、乙两个物体受力情况的判断正确的是（）A．物体甲一定受到四个力的作用B．物体甲可能只受到三个力的作用C．物体乙一定受到四个力的作用D．物体乙可能只受到三个力的作用【答案】A【详解】AB．物体甲受到重力，甲相对于乙有沿斜面向下运动趋势，乙对甲有一个沿乙表面向上的摩擦力，有摩擦力必定有弹力，所以乙对甲有一个支持力，另外甲还受到推力F，共4个力，B错误A正确；CD．物体乙受到重力、甲对它的压力和摩擦力、斜面对它的支持力；以甲、乙整体为研究对象，力F沿固定斜面有向上的分力，该分力大小与甲和乙重力沿斜面向下的分力大小不确定，所以乙和斜面间可能有摩擦力、有可能没有摩擦力，所以乙可能受4个力，有可能受5个力，CD错误。

故选A。

2．如图，在一恒力作用下，系统处于静止，则以下说法正确的是（）A．B物体最多受5个力B．A物体仅受4个力C．C物体可能受3个力也可能受4个力D．地面一定不光滑【答案】C【详解】A．物体B受到重力，物体C对它的压力、还有可能受到C对它的摩擦力、A对它的支持力和摩擦力、墙壁的支持力，所以B最多受到6个力，故A错误；BD．以B和C整体为研究对象，如果竖直面对B和C向上的摩擦力等于B和C的重力之和，则A物体与B物体之间没有作用力，则A物体受到重力和地面的支持力两个力的作用，地面可以是光滑的，故BD错误；C．对物体C进行分析，C物体受到重力、B对C的支持力、恒力F，如果恒力F沿B和C 接触面向上的分力等于C的重力沿接触面向下的分力，则C物体不受摩擦力作用，则C物体速度3个力作用，如果恒力F沿B和C接触面向上的分力不等于C的重力沿接触面向下的分力，则C物体还要受到摩擦力作用，所以C物体速度4个力作用，故C物体可能受3个力也可能受4个力，故C正确。

平衡中的临界与极值问题1．考点及要求：(1)力的合成与分解(Ⅱ)；(2)共点力的平衡(Ⅱ).2.方式与技能：处置临界极值问题的主要方式有假设法、图解法或解析法，找到临界条件是解题的关键．1．(静态平衡的临界极值问题)将两个质量均为m的小球a、b用细线相连后，再用细线悬挂于O点，如图1所示．使劲F拉小球b，使两个小球都处于静止状态，且细线Oa与竖直方向的夹角维持θ＝30°，则F的最小值为( )图1mg B．mg mg mg2. (运动中的临界极值问题)如图2所示，质量均为m的木块A和B，用一个劲度系数为k的轻质弹簧连接，最初系统静止，此刻使劲缓慢拉A直到B恰好离开地面，则这一进程A上升的高度为( )图23．如图3所示，一小球用轻绳悬于O点，使劲F拉住小球，使悬线维持偏离竖直方向60°角，且小球始终处于平衡状态．为了使F有最小值，F与竖直方向的夹角θ应该是( )图3A．90° B．45° C．30° D．0°4．物体的质量为2 kg，两根轻细绳AB和AC的一端连接于竖直墙上，另一端系于物体上，在物体上另施加一个方向与水平线成θ角的拉力F，相关几何关系如图4所示，θ＝60°，若要使绳都能伸直，求拉力F的大小范围．(g取10 m/s2)图45．一个底面粗糙、质量为m的劈放在水平面上，劈的斜面滑腻且倾角为30°，如图5所示．现用一端固定的轻绳系一质量也为m的小球，绳与斜面的夹角为30°，求：图5(1)当劈静止时绳索拉力为多大？(2)若地面对劈的最大静摩擦力等于地面对劈的支持力的k倍，为使整个系统静止，k值必需知足什么条件？答案解析1．B [将a 、b 看成一个整体，受力分析可知，当力F 与Oa 垂直时F 最小，可知此时F ＝2mg sin θ＝mg ，B 正确．]2．B [最初A 、B 处于静止状态，而且弹簧处于紧缩状态，按照平衡条件对A 有k Δl 1＝mg ，B 恰好离开地面时弹簧处于拉伸状态，此时地面对B 支持力为零，按照平衡条件对B 有k Δl 2＝mg ，这一进程A 上升的高度为Δl 1＋Δl 2＝2mg k.] 3．C [如图所示，小球受三个力而处于平衡状态，重力mg 的大小和方向都不变，绳索拉力T 方向不变，因为绳索拉力T 和外力F 的合力等于重力，通过作图法知，当F 的方向与绳索方向垂直时，由于垂线段最短，所以F 最小，则由几何知识得θ＝30°，故C 正确，A 、B 、D 错误．]N≤F ≤4033N 解析 画出A 受力示用意，并成立直角坐标系如图所示．由平衡条件有：ΣF x ＝F cos θ－F C －F B cos θ＝0①ΣF y ＝F sin θ＋F B sin θ－mg ＝0②由①②可得：F ＝mg /sin θ－F B ③F ＝F C 2cos θ＋mg2sin θ④ 要使两绳都能绷直，则有F B ≥0，⑤F C ≥0⑥由③⑤得F 有最大值F max ＝mg sin θ＝4033N. 由④⑥可知F 有最小值F min ＝mg2sin θ＝2033 N. 故F 的取值范围为2033 N≤F ≤4033N. 5．观点析解析 (1)小球受力如图所示T cos 30°＝mg sin 30°则T＝33 mg.(2)对小球和劈整体受力分析如图所示N＋T sin 60°＝2mgf＝T cos 60°f m＝kN为使整个系统静止，需要知足：f≤f m则k≥3 9.。

突破5平衡中的临界与极值问题1．临界问题当某物理量变化时，会引起其他几个物理量的变化，从而使物体所处的平衡状态“恰好出现”或“恰好不出现”，在问题的描述中常用“刚好”、“刚能”、“恰好”等语言叙述．常见的临界状态有：(1)两接触物体脱离与不脱离的临界条件是相互作用力为0(主要体现为两物体间的弹力为0)；(2)绳子断与不断的临界条件为绳中张力达到最大值；绳子绷紧与松弛的临界条件为绳中张力为0；(3)存在摩擦力作用的两物体间发生相对滑动或相对静止的临界条件为静摩擦力达到最大。

突破临界问题的三种方法(1)【解析】法根据物体的平衡条件列方程，在解方程时采用数学知识求极值。

通常用到的数学知识有二次函数求极值、讨论分式求极值、三角函数求极值以及几何法求极值等。

(2)图解法根据平衡条件作出力的矢量图，如只受三个力，则这三个力构成封闭矢量三角形，然后根据矢量图进行动态分析，确定最大值和最小值。

(3)极限法极限法是一种处理临界问题的有效方法，它是指通过恰当选取某个变化的物理量将问题推向极端(“极大”、“极小”、“极右”、“极左”等)，从而把比较隐蔽的临界现象暴露出来，使问题明朗化，便于分析求解。

2．极值问题平衡物体的极值，一般指在力的变化过程中的最大值和最小值问题．一般用图解法或【解析】法进行分析．处理极值问题的两种基本方法(1)【解析】法：根据物体的平衡条件列方程，通过数学知识求极值的方法．此法思维严谨，但有时运算量比较大，相对来说较复杂，而且还要依据物理情境进行合理的分析讨论．学%科网(2)图解法：根据物体的平衡条件作出力的矢量三角形，然后由图进行动态分析，确定极值的方法．此法简便、直观．【典例1】倾角为θ＝37°的斜面与水平面保持静止，斜面上有一重为G的物体A，物体A与斜面间的动摩擦因数μ＝0.5。

现给A施加一水平力F，如图所示。

设最大静摩擦力与滑动摩擦力相等(sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8)，如果物体A能在斜面上静止，水平推力F与G的比值不可能是()A.3B.2C.1D.0.5【答案】 A【典例2】如图所示，一球A夹在竖直墙与三角劈B的斜面之间，三角形劈的重力为G，劈的底部与水平地面间的动摩擦因数为μ，劈的斜面与竖直墙面是光滑的，问欲使三角劈静止不动，球的重力不能超过多大？(设劈的最大静摩擦力等于滑动摩擦力)【答案】：球的重力不得超过G【跟踪短训】1. 将两个质量均为m的小球a、b用细线相连后，再用细线悬挂于O点，如图所示。

共点力作用下的静态平衡问题特训目标特训内容目标1受力分析(1T-4T)目标2有关连接体的静态平衡问题(5T-8T)目标3三角形相似法在静态平衡问题中的应用(9T-12T)目标4静态平衡状态下的临界极值问题(13T-16T)【特训典例】一、受力分析1物体b在水平推力F作用下，将物体a压在竖直墙壁上，a、b质量都为m，且此时a、b均处于静止状态。

如图所示，关于a、b两物体的受力情况，下列说法正确的是()A.当推力F增大时沿墙壁对a的摩擦力大小变大B.a、b分别都受到四个力的作用C.若木块a、b保持对静止沿墙壁向下匀速运动，则墙壁对木块的摩擦力大小为2mgD.当撤去F，木块a、b沿墙壁下滑，此时a不一定只受一个力【答案】C【详解】A．依题意，对a、b两物体进行受力分析，竖直方向受力平衡，即墙壁对a的摩擦力与两物体的重力大小相等，方向相反。

所以当推力F增大时沿墙壁对a的摩擦力大小不变，A错误；B．a物体受5个力作用，分别是重力、墙壁的弹力、b物体的压力、墙壁的摩擦力和b物体的摩擦力，b物体受4个力作用，分别是重力、a物体的弹力、a物体的摩擦力和外力F，B错误；C．若木块a、b保持对静止沿墙壁向下匀速运动，ab整体受力平衡，竖直方向有墙壁对a的摩擦力与两物体的重力大小相等即f=2mg，C正确；D．当撤去F，木块a、b沿墙壁下滑，此时a只受自身重力作用，D错误。

故选C。

2如图所示，水平地面上固定一斜面体，斜面体的倾角为α，小斜劈B上表面水平，放置在斜面上，物块A 处于小斜劈的上表面，通过两端带有铰链的轻杆与物块C相连，物块C紧靠墙面，墙面的倾角为θ，已知轻杆跟墙面垂直，A、B、C均静止，α<θ，关于A、B、C的受力，下列说法正确的是()A.A对B的摩擦力水平向右B.小斜劈B可能不受斜面体的摩擦力作用C.物块C的受力个数可能是3个D.A对B的压力大小一定等于A、C的重力之和【答案】B【详解】A．对A受力分析可知，杆对A的弹力方向沿CA方向，故B对A的摩擦力水平向右，那么A对B的摩擦力水平向左，A错误；B．B可能只受到重力、A施加的压力、A的摩擦力和斜面的支持力作用而平衡，B正确；C．对C受力分析如图C受重力、杆的作用力、墙面的支持力、摩擦力，4个力的作用，且满足F cosθ+f C sinθ=G C+N C cosθC错误；D．对AC整体受力分析如图N A+f C sinθ=G A+G C+N C cosθ联立可得N A=G A+F cosθ因为不清楚F cosθ与G C的大小关系，故A对B的压力大小不一定等于A、C的重力之和，D错误。