不等式及其解集

不等式及其解集·要点详析
重点
1．不等式的概念
用不等号表示不等关系的式子，叫做不等式．
例如：x－1＜2，3－4＜0，3－4≠4－3，a＞0，a＜0，a2≥0等都是不等式．五种不等号的读法及意义
（1）“≠”读作“不等于”，它说明两个量之间的关系是不相等的，但不能明确哪个大哪个小；
（2）“＞”读作“大于”，表示其左边的量比右边的量大；
（3）“＜”读作“小于”，表示其左边的量比右边的量小；
（4）“≥”读作“大于或等于”，即“不小于”，表示左边“不小于”右边；
（5）“≤”读作“小于或等于”，即“不大于”，表示左边“不大于”右边．2．不等式成立与不等式不成立的意义
对于含有未知数的不等式来说，当未知数取某些值时，不等式的左、右两边符合不等号所表示的大小关系，我们就说，不等式成立；当未知数取某些数值时，不等式的左、右两边不符合不等号所表示的大小关系，我们就说，不等式不成立．3．不等式的解与不等式的解集
（1）不等式的解使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解．
（2）不等式的解集一般地说，一个含有未知数的不等式的所有的解，组成这个不等式的解的集合，简称为这个不等式的解集．
（3）不等式的解与解集的区别与联系
不等式的解与不等式的解集是两个不同的概念，不等式的解是指满足这个不等式的未知数的某个值，而不等式的解集，是指满足这个不等式的未知数的所有的值，不等式的所有解组成了不等式的解集，解集中包括了每一个解．难点
1．不等式的解及解集．
2．不等式的解集在数轴表示的方法．。

不等式及其解集1. 不等式的概念和表示不等式是数学中一种表达式，它使用不等号（<，>，≤或≥）来表示两个数或两个代数式之间的大小关系。

不等式可以包含一个或多个未知数，并且可以包含常数和其他数学运算。

不等式的一般形式如下：p(x) < q(x)其中p(x)和q(x)是多项式函数，表示式子的左侧和右侧。

不等式的解集是满足不等式的x的值的集合。

2. 一元一次不等式一元一次不等式是指只包含一个未知数x，并且最高次数为一次的不等式。

例如：ax + b < 0其中a和b是常数。

要求解这个不等式，我们可以按照以下步骤进行：1.将不等式转化为等式：ax + b = 02.求解这个等式的解x_0。

3.根据x_0的位置确定不等式的解集。

假设x_0表示等式的解。

•如果a > 0，则解集为(x, −∞)•如果a < 0，则解集为(−∞, x)3. 一元二次不等式一元二次不等式是指只包含一个未知数x，并且最高次数为二次的不等式。

例如：ax^2 + bx + c > 0其中a，b和c是常数。

要求解这个不等式，我们可以按照以下步骤进行：1.将不等式转化为等式：ax^2 + bx + c = 02.求解这个等式的解集{x_1, x_2}。

3.根据x_1和x_2的位置确定不等式的解集。

假设x_1和x_2表示等式的解。

•如果a > 0，则解集为(−∞, x_1) ∪ (x_2, +∞)•如果a < 0，则解集为(x_1, x_2)4. 多元不等式多元不等式是指含有多个未知数的不等式。

解决多元不等式的方法通常是通过图形、代数方法或数值方法。

例如：考虑以下两个不等式：ax + by ≥ cdx + ey < f可以使用图形方法将它们表示在坐标系中，并找到满足这两个不等式的区域。

通过确定这些区域的交集，可以获得满足所有条件的解集。

5. 不等式解集的表示和性质不等式解集通常用集合表示法来表示，例如：S = {x | p(x) < q(x)}其中，S表示满足不等式的x的集合，p(x)和q(x)分别代表不等式的左侧和右侧。

专题19 不等式组及其解集1．一元一次不等式组：把几个含有相同未知数的一元一次不等式合起来，组成一个一元一次不等式组.2．不等式组的解集：一般地，几个不等式的解集的公共部分，叫作由它们所组成的不 等式组的解集，解不等式组就是求它的解集. 不等式组（a <b ）数轴表示 解集 口诀 同大取大 同小取小 大小小大 中间找 无解 大大小小 无解了当不等式带有“≤”或“≥”时，上面的口诀依然适用，如不等式组的解集为.4.解决和不等式组解集有关的问题时，注意利用数轴这一数学工具，过程直观明了.典例精析例1 解不等式组 并将解集在数轴上表示出来.【分析】解一元一次不等式组，先求出每个不等式的解集，然后利用数轴求出这些解集的公共部分即为不等式组的解集.【解】解不等式①，得x>-2解不等式②，得x≤2把不等式①和②的解集在数轴上表示出来，如图19-1所示.∴不等式的解集为-2<x ≤2【点评】熟练解出不等式，并准确地在数轴上表示出来，从而在数轴上找到不等式解集的公共部分即为不等式组的解集.拓展与变式1 解不等式组并写出它所有的整数解.,x a x b<⎧⎨>⎩x b >,x a x b <⎧⎨<⎩x a <,x a x b >⎧⎨<⎩a xb <<,x a x b <⎧⎨>⎩23x x ≤⎧⎨<⎩2x ≤22,11,39x x x x >-⎧⎪-+⎨≤⎪⎩①②()41710,85,3x x x x +≤+⎧⎪⎨--<⎪⎩①②拓展与变式2 不等式组的所有整数解的和是 . 拓展与变式3 若|x+1|=x+1，|2x-7|=7-2x ，则满足条件的所有非负整数x 有 .【反思】根据题意列出不等式（组），解出不等式组从而找出符合条件的解，注意非负整数即自然数，也就是0和正整数.例2 如果a>2，那么不等式组的解集为 ，的解集为 . 【分析】把每个不等式的解集表示在数轴上（或用口诀），结合数轴找不等式组的解集.【解】把不等式的解集表示在数轴上，不等式组表示在数轴上如图19-2所示，可知解集为x >a .不等式组表示在数轴上如图19-3所示， 可知解集为2<x ≤a .【点评】利用数轴上的数越往右越大，在数轴上找好数约位置，结合数轴找到不拓展与变式4 （1）已知关于x 的不等式组的解集为x ≥2，则a 的取值范围是 .（2）已知关于x 的不等式组有解，则a 的取值范围是 . 拓展与变式5 已知关于x 的不等式组的解集为0<x <2，求m -n 的值.拓展与变式6 解关于x 的不等式组34125x +-≤<,2x a x >⎧⎨>⎩,2x a x ≤⎧⎨>⎩,2x a x >⎧⎨>⎩,2x a x ≤⎧⎨>⎩,2x a x >⎧⎨≥⎩,2x a x <⎧⎨>⎩2,11x m n x m +>+⎧⎨-<-⎩①②0,12.23x a x x x -≥⎧⎪-+⎨+>⎪⎩①②拓展与变式7 已知关于x 的不等式组的整数共有3个，求a 的取值范围.拓展与变式8 定义新运算：对干任意实数a ，b 都有a #b =ab -a -b +1，等式右边是通常的加法减法及乘法运算.例如：2#4=2×4-2-4+1=3.请根据上述知识解决问题：若3#x 的值大于4而不大于m 时，恰有两个整数解，求m 的取值范围.【反思】解决含参数的不等式组问题，数形结合必不可少，同时要注意等号能否取到，可将取等号的值代入原题中检验.专题突破1.不等式组的整数解有（ ）. A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个0,321x a x -≥⎧⎨-≥-⎩①②24,241x x x x ≤+⎧⎨+<-⎩2.不等式组的解集是x>1，则m 的取值范围是 .3.解不等式组并将不等式组的解集在数轴上表示出来.4.某旅行社某天有空房10间，当天接待了一个旅行团，当每个房间只住3人时，有一个房间的住宿情况是不满也不空.若旅行团的人数为偶数，问：旅行团共有多少人?5.关于x 的不等式组有2个整数解，求a 的取值范围.551,1x x x m +<+⎧⎨-≥⎩()5623,3513,44x x x x -≤+⎧⎪⎨-<-⎪⎩①②()2331,324x x x x a <-+⎧⎪⎨+>+⎪⎩①②。

不等式的基本性质及其解集一、不等式的性质1．不等式的两边都加上（或减去）同一个数或整式，不等号的方向不变． c a b a +⇒> ca b a c b +⇒<+, c b +2．不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。

若：0,>>c b a ，可得ac bc ．3．不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．若ac c b a ⇒<>0, bc ． 二．不等式的解集1．定义：一般的，一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解的集合，简称这个不等式的解集.2．解与解集的联系： 解集和解那个的范围大.（解是指个体，解集是指群体） 3．不等式解集的表示方法. 1-≤x ①用不等式表示。

如1-≤x 或x <-1等。

x <②用数轴表示.（注意实心圈与空心圈的区别） 4.解一元不等式的步骤：去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1，注意是否需要变号。

典型例题例1.①如果)2(2)2(-<-m x m 的解集为2>x ，求m 的取值范围. ②不等式a x <2的解集为7<x ，求a 的值.例2.（1）如果关于x 的方程x m m x +-=+2432的解为大于4的数，求m 的取值范围.（2）已知不等式03≤-a x 的正整数解恰是1，2，3，求a 的取值范围.例3．直线l 1：y ＝k 1x ＋b 与直线l 2：y ＝k 2x 在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则关于x 的不等式k 1x ＋b ＞k 2x 的解为（ ）。

A 、x ＞－1B 、x ＜－1C 、x ＜－2D 、无法确定 例4．（1）若0)2(32=--+-k y x x 中，y 为非负数，求k 的取值范围．思考题．设c b a ,,均为正数，若ac bc b a b a c +<+<+，试确定c b a ,,三个数的大小．y k 2x(第3题图)【经典练习】一、选择题（每小题2分，共36分）1、“x 的2倍与3的差不大于8”列出的不等式是（ ） A 、2x －3≤8 B 、2x －3≥8 C 、2x －3＜8 D 、2x －3＞82、下列不等式一定成立的是（ ） A 、5a ＞4aB 、x +2＜x +3C 、－a ＞－2aD 、aa 24> 3、如果x ＜－3，那么下列不等式成立的是（ ） A 、x 2＞－3x B 、x 2≥－3x C 、x 2＜－3x D 、x 2≤－3x 4、不等式－3x +6＞0的正整数解有（ ） A 、1个 B 、2个 C 、3个 D 、无数多个 *5、若m 满足|m |＞m ，则m 一定是（ ） A 、正数 B 、负数 C 、非负数 D 、任意有理数 6、在数轴上与到原点的距离小于8的点对应的x 满足（ ） A 、－8＜x ＜8 B 、x ＜－8或x ＞8 C 、x ＜8 D 、x ＞8**7、要使函数y =（2m －3）x +（3n +1）的图象经过x 、y 轴的正半轴，则m 与n 的取值应为（ ）A 、m ＞23，n ＞－31B 、m ＞3，n ＞－3C 、m ＜23，n ＜－31D 、m ＜23，n ＞－31*8、 下列说法中，正确的有（ ）.① 若0ab <，则0,0;a b <<②若0,0a b <>，则0ab <；③若22,a b m m <则a b <；④若a b <，则22am bm <;⑤若0a b <<，则0a b +<；⑥若0a b +<，则0a b <<.A 、4个B 、3个C 、2个D 、1个 9、 下列说法正确的是（ ）. A 、5是不等式x+5＞10的解集 B 、x ＜5是不等式x-5＞0的解集 C 、x ≥5是不等式-x ≤-5的解集D 、x ＞3是不等式x-3≥0的解集10、 若a-b ＜0，则下列各式中一定正确的是（ ）.A 、a ＞bB 、ab ＞0C 、ab＜0 D 、-a ＞-b11 不等式5x-1≤24的正整数解有（ ）.A 、4个B 、5个C 、6个D 、无限多个 **12 实数b 满足|b |<3，并且实数a 使得a <b 恒成立，则a 的取值范围是（ ） A 、小于或等于3的实数 B 、 小于或等于－3的实数 C 、小于－3的实数 D 、 小于3的实数 13、 若4x <-，则下列不等式中正确的是（ ）. A ．x 2≥－4x B 、x 2≤－4x C 、 x 2>－4x D 、 x 2<－4x*14、关于x 的方程2435x a x b++=的解不是负数，则a 与b 的关系是（ ） A 、35a b > B 、 b ≥53aC 、5a =3bD 、5a ≥3b 15、在不等式100>5x 中，能使不等式成立的x 的最大正整数值为（ ）. A 、18 B 、19 C 、20 D 、21 16、下列不等式中，错误的是（ ）. A 、57-<-B 、5>3C 、0a 12>+D 、a a ->**17、已知5x －m ≤0只有两个正整数解，则m 的取值范围是（ ） A 、10<m <15 B 、10≤m ≤15 C 、10<m ≤15 D 、10≤m <15 18、下列各式中，是一元一次不等式的是（ ）. A 、1y x 21<- B 、02x 3x 2>+- C 、2x141x 2+=+ D 、x 61x 31x 21>+二、填空题（每小题2分，共36分）1、不等式6－2x ＞0的解集是________.2、当x ________时，代数式523--x 的值是非正数. 3、当m ________时，不等式（2－m ）x ＜8的解集为x ＞m-28. 4、若x =23+a ，y =32+a ，且x ＞2＞y ，则a 的取值范围是________.5、已知三角形的两边为3和4，则第三边a 的取值范围是________.6、已知一次函数y =（m +4）x －3+n （其中x 是自变量），当m 、n 为________时，函数图象与y 轴的交点在x 轴下方.*7、某种商品的价格第一年上升了10%，第二年下降了（m －5）%（m ＞5）后，仍不低于原价，则m 的值应为________.8、5m-3是非负数，用不等式表示为______. 9、不等式238654x--<-<-的解集为______.10、当a b >，则2ab b <成立的条件是______.*11、明明的语文、外语两科的平均分为m 分，若使语文、外语、数学三科的平均分超过n 分，则数学分数a （分）应满足的关系式是_________.（m >n ） 12、设a ＜b ，用“＜”或“＞”|号填空：11(1)_____;(2)100_____100;22(3)1.5_____1.5;(4)_____.1212a b a b a ba b --++--13、不等式的性质：（1）如果a>b, 那么a+c b+c. （2）如果m>n, p>0, 那么mp np. （3） . 14、若-3x +4<-2x -5,则-x ______-9.15、已知直线y=kx+b 经过点（2，0），且k <0，则当x ______时，y <0. 16、不等式x <3的非负整数解是________.17、不等式|x |-2≤3的正整数解是____________.18、在2y 2-3y +1>0, y 2+2y +1=0,-6<-2, 27ab<2, 2312x x +- ,2103y y --<,7x +5≥5x +6中, 一元一次不等式有_____个,它们是_____________________.三、解答题1、解下列不等式，并把解集在数轴上表示出来：（每题4分共16分） （1）3（1-x ）-2（x+8）<2； （2）3（x+3）-5（x-1） ≥7； （3）132+-x ≤42+x ；（4）)69(6123--x x ≥7+x ．3、（6分）在“科学与艺术”知识竞赛的预选赛中共有20道题，对于每一道题，答对得10分，答错或不答扣5分，总得分不少于80分者通过预选赛。

不等式及其解集教案一、教学目标1. 了解不等式的概念及其表达方式。

2. 学会解一元一次不等式。

3. 能够求解不等式的解集。

4. 能够应用不等式解决实际问题。

二、教学重点与难点1. 教学重点：不等式的概念及其表达方式。

一元一次不等式的解法。

不等式解集的求解方法。

2. 教学难点：不等式解集的求解方法。

三、教学方法1. 采用问题驱动的教学方法，引导学生通过思考和讨论来掌握不等式的概念和解法。

2. 使用实例和练习题，让学生通过实际操作和练习来加深对不等式的理解和应用能力。

3. 利用图形和图像辅助教学，帮助学生直观地理解不等式的解集。

四、教学准备1. 教学课件和教案。

2. 练习题和答案。

3. 图形和图像的展示工具。

五、教学过程1. 导入：通过引入实际问题，引发学生对不等式的兴趣和思考。

引导学生回顾已学的代数知识，为新知识的学习做好铺垫。

2. 讲解不等式的概念：解释不等式的定义和表达方式。

举例说明不等式的应用场景。

3. 讲解一元一次不等式的解法：引导学生通过移项、合并同类项等步骤解一元一次不等式。

给出解题的步骤和注意事项。

4. 练习题解答：让学生独立解答练习题，巩固所学的解法。

引导学生总结解题经验和技巧。

5. 讲解不等式解集的求解方法：介绍解集的概念和解集的表示方法。

引导学生通过图形和图像来求解不等式的解集。

6. 练习题解答：让学生独立解答练习题，巩固所学的解集求解方法。

引导学生总结解题经验和技巧。

7. 总结与复习：对本节课的内容进行总结和复习。

强调不等式的重要性和应用价值。

8. 布置作业：布置相关的练习题，让学生进一步巩固所学知识。

鼓励学生进行自主学习和思考。

教学反思：在教学过程中，要注意关注学生的学习情况，及时进行调整教学方法和节奏。

对于学生的疑问和困惑，要耐心解答和引导，帮助学生理解和掌握不等式的概念和解法。

要注重培养学生的解题能力和思维能力，提高他们解决实际问题的能力。

六、教学拓展1. 引入不等式的性质：讲解不等式的基本性质，如同向相加、同向相乘等。

不等式及其解集教学设计1. 不等式的基本概念1.1 什么是不等式？大家好！今天我们来聊聊不等式。

简单来说，不等式就是用来比较两个数学表达式的大小关系的。

比如，我们常看到的“<”表示小于，“>”表示大于，“≤”表示小于等于，“≥”表示大于等于。

就像是你和朋友比谁跑得快一样，不等式就是用来比较两个数学“选手”的。

1.2 不等式的例子想象一下你在超市买东西。

你买了一瓶饮料，价格标的是5元，店里还告诉你现在打折，价格小于等于4元。

这个“价格小于等于4元”就是不等式的实际应用。

这样我们就能知道现在是不是便宜货，心里也会有个数了。

2. 解不等式的步骤2.1 解不等式的基本步骤解决不等式其实跟解方程差不多，只不过不等式解的结果可能会有点“漂浮”，所以我们需要特别留意。

首先，你得把不等式的各项收集整齐，然后用类似解方程的方法来处理。

不过，不等式有个小秘密——在你乘除以负数的时候，记得要把“不等号”翻转过来哦，不然结果会出大事的。

2.2 举个例子假设我们有一个不等式：2x + 3 > 7。

我们要怎么解呢？首先把3从不等式里移走，得到2x > 4。

接着，把2除以不等式的两边，得出x > 2。

这样，我们就搞定啦！要记住，步骤虽然简单，但每一步都要小心，别犯小错误。

3. 不等式的应用3.1 实际生活中的应用不等式的应用无处不在。

比如说，你在计划一次旅行，你的预算是3000元。

你看中了一些酒店，价格在2000元到2500元之间。

这个“价格在2000到2500元之间”就是一个不等式的实际应用。

它告诉你，你的预算是足够的，放心去享受旅行吧！3.2 不等式在数学中的作用在数学里，不等式也很重要。

比如在优化问题中，我们需要找出满足特定条件的最佳解。

不等式帮助我们设定这些条件，让我们找到最优的解决方案。

可以说，不等式就像是数学里的指南针，让我们在复杂的数学世界里不迷路。

4. 总结不等式不仅是数学里的基础知识，还能在实际生活中帮助我们做决策。

不等式复习一一、双基回忆1、不等式：用等号〔＜、≤、＞、≥〕连接起来的式子，叫做不等式。

〔1〕用不等式表示：①x与1的差是负数：；②a的1/2与b的3倍大于2 ；③x、y的平方和是非负数。

2、不等式的解和解集使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解。

一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解集。

注意：解集包括解，所有的解组成解集；解是一个数，解集是一个范围。

〔2〕判断以下说法是否正确：①4是不等式x＋3＞6的解；②不等式x＋2＞1的解是x＞－1；③3是不等式x＋2＞5的一个解；④不等式x＋1＜4的解集是x＜2.3、一元一次不等式：含有一个未知数并且未知数的次数是1的不等式叫做一元一次不等式。

〔3〕以下不等式是一元一次不等式的是.①3x+5=1；②2y-1≤5；③2/x+1＞3；④5+2＜8;⑤3+x2≥x.4、不等式的性质：〔1〕不等式两边加〔或减〕同一个数〔或式子〕，不等号的方向不变.即如果a＞b，那么a±c＞b±c.〔2〕不等式两边乘〔或除以〕同一个正数，不等号的方向不变.即如果a＞b，c＞0，那么ac ＞bc(或a/c＞b/c).〔3〕不等式两边乘〔或除以〕同一个负数，不等号的方向改变.即如果a＞b，c＜0，那么ac ＜bc(或a/c＜b/c).注意：①不等式的性质与等式的性质有相通之处，又有不同之点；②不等式的性质是解不等式的依据。

〔4〕a＞b，填空：①a+3 b+3,②2a 2b,③- a/3 －b/3，④a－b 0.5、解一元一次不等式〔5〕解一元一次不等式: 2x≥5x+6，并在数轴上表示解集。

二例题导引例1 判断正误：①假设a＞b,那么 ac2＞bc2；②假设ac2＞bc2,那么a＞b；③假设2 a+1＞2b+1,那么a＞b；④假设a＞b,那么1－2 a＞1－2b.例2 解以下不等式，并把它们的解集在数轴上表示出来。

〔1〕3〔1－x〕＜2(x+9); (2)112132x x ---≤.例3 a取什么自然数时，关于x的方程2－3x= a解是非负数？例4 小明和小丽决定把省下来的零用钱存起来，这个月小明顾虑了168元，小丽顾虑了85元，从下个月开始小明每月顾虑16元，而小丽每月存25元，问几个月后小丽的存款数能超过小明？三、练习提高夯实根底1、x的1/2与5的差不小于3，用不等式表示为。