高中数学第一章导数及其应用1.5定积分的概念1.5.3微积分基本定理教学案苏教版选修2

（全国通用版）2018-2019版高中数学第一章导数及其应用1.5 定积分的概念1.5.3 定积分的概念学案新人教A版选修2-2编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（（全国通用版）2018-2019版高中数学第一章导数及其应用1.5 定积分的概念1.5.3 定积分的概念学案新人教A版选修2-2）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。

本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为（全国通用版）2018-2019版高中数学第一章导数及其应用1.5 定积分的概念1.5.3 定积分的概念学案新人教A版选修2-2的全部内容。

1.5。

3 定积分的概念学习目标 1.了解定积分的概念，会用定义求定积分。

2。

理解定积分的几何意义。

3。

掌握定积分的基本性质．知识点一定积分的概念思考分析求曲边梯形的面积和变速直线运动的路程，找一下它们的共同点．答案两个问题均可以通过“分割、近似代替、求和、取极限”解决，都可以归结为一个特定形式和的极限．梳理一般地，如果函数f(x）在区间[a，b］上连续,用分点a＝x0〈x1〈…<x i－1〈x i<…〈x n ＝b将区间［a，b］等分成n个小区间，在每个小区间［x i－1,x i]上任取一点ξi（i＝1,2，…，n），作和式错误!（ξi)Δx＝错误!错误!f（ξi），当n→∞时，上述和式无限接近某个常数，这个常数叫做函数f（x）在区间［a,b]上的定积分，记作ʃ错误!f(x)d x，即ʃ错误!f(x）d x＝错误!错误!错误!f(ξi），这里，a与b分别叫做积分下限与积分上限，区间[a，b］叫做积分区间，函数f(x）叫做被积函数，x叫做积分变量,f(x）d x叫做被积式．知识点二定积分的几何意义思考1 根据定积分的定义求得ʃ2，1(x＋1)d x的值是多少？答案ʃ错误!（x＋1）d x＝错误!。

1.5定积分的概念教学目标：1、通过求曲边梯形的面积和变速直线运动的路程，了解定积分的背景；2、借助于几何直观定积分的基本思想，了解定积分的概念，能用定积分法求简单的定积分．3、理解掌握定积分的几何意义；教学重点：定积分的概念、定积分法求简单的定积分、定积分的几何意义． 教学难点：定积分的概念、定积分的几何意义． 教学过程： 一．创设情景 复习：1．2．对这四个步骤再以分析、理解、归纳，找出共同点． 二．新课讲授1．定积分的概念 一般地，设函数()f x 在区间[,]a b 上连续，用分点0121i i n a x x x x x x b -=<<<<<<<=将区间[,]a b 等分成n 个小区间，每个小区间长度为x ∆（b ax n-∆=），在每个小区间[]1,i i x x -上取一点()1,2,,i i n ξ=，作和式：11()()nnn i i i i b aS f x f n ξξ==-=∆=∑∑如果x ∆无限接近于0（亦即n →+∞）时，上述和式n S 无限趋近于常数S ，那么称该常数S 为函数()f x 在区间[,]a b 上的定积分。

记为：()baS f x dx =⎰其中()f x 成为被积函数，x 叫做积分变量，[,]a b 为积分区间，b 积分上限，a 积分下限。

说明：（1）定积分()baf x dx ⎰是一个常数，即n S 无限趋近的常数S （n →+∞时）称为()baf x dx ⎰，而不是n S ．（2）用定义求定积分的一般方法是：①分割：n 等分区间[],a b ；②近似代替：取点[]1,i i i x x ξ-∈；③求和：1()ni i b a f n ξ=-∑；④取极限：()1()lim n b i a n i b af x dx f n ξ→∞=-=∑⎰ （3）曲边图形面积：()baS f x dx =⎰；变速运动路程21()t t S v t dt =⎰；变力做功 ()baW F r dr =⎰2．定积分的几何意义 说明：一般情况下，定积分()baf x dx ⎰的几何意义是介于x 轴、函数()f x 的图形以及直线,x a x b ==之间各部分面积的代数和，在x 轴上方的面积取正号，在x 轴下方的面积去负号．（可以先不给学生讲）．分析：一般的，设被积函数()y f x =，若()y f x =在[,]a b 上可取负值。

导数的应用一、教材分析“导数的综合应用”是高中数学人教A版教材选修2—2第一章的内容，是中学数学新增内容，是高等数学的基础内容，它在中学数学教材中的出现,使中学数学与大学数学之间又多了一个无可争辩的衔接点。

导数的应用是高考考查的重点和难点，题型既有灵活多变的客观性试题，又有具有一定能力要求的主观性试题，这要求我们复习时要掌握基本题型的解法，树立利用导数处理问题的意识．二、学情分析根据上述教材结构与内容分析，立足学生的认知水平，制定如下教学目标和重、难点。

三、教学目标1、知识与技能：(1）利用导数的几何意义。

（2）利用导数求函数的单调区间;(3)利用导数求函数的极值以及函数在闭区间上的最值;（4）解决根分布及恒成立问题2、过程与方法：(1)能够利用函数性质作图像，反过来利用函数的图像研究函数的性质如交点情况，能合理利用数形结合解题.(2)学会利用熟悉的问答过渡到陌生的问题。

3、情感、态度与价值观:这是一堂复习课，教学难度有所增加,培养学生思考问题的习惯，以及克服困难的信心。

四、教学重点、难点重点是应用导数求单调性，极值，最值难点是方程根及恒成立问题五、学法与教法➢学法与教学用具学法：（1）合作学习：引导学生分组讨论，合作交流，共同探讨问题（如问题3的处理）。

（2）自主学习：引导学生从简单问题出发，发散到已学过的知识中去。

（如问题1、2的处理）.(3）探究学习：引导学生发挥主观能动性，主动探索新知(如问题1、2的发散和直击高考的处理)。

教学用具：多媒体。

➢教法:变式教学———这样可以让学生从题海中解脱出来，形成知识网络，增强知识的系统性与连贯性,从而使学生能够抓住问题的本质，加深对问题的理解，从“变”的现象中发现“不变”的本质，从“不变"的本质中探索“变”的规律；教学教学内容师生互动设计思路环节3、若f（x)在x=1处取得极值（1）此时方程f（x）=0有三个根,求c的取值范围.分组讨论,学生讲思路，讲方法。

高中数学第一章导数及其应用1.5定积分的概念1.5.3定积分的概念讲义新人教A 版选修221．定积分的概念一般地，设函数f (x )在区间[a ，b ]上□01连续，用分点a ＝x 0<x 1<x 2<…<x i －1<x i <…<x n ＝b 将区间[a ，b ]等分成n 个小区间，在每个小区间[x i －1，x i ]上任取一点ξi (i ＝1,2，…，n )，作和式□02∑ni ＝1f (ξi )Δx ＝∑ni ＝1b －a nf (ξi )． 当n →∞时，上述和式无限接近某个常数，那么这个常数叫做函数f (x )在区间[a ，b ]上的定积分，记作：□03⎠⎛ab fx d x ，即⎠⎛ab f (x )d x ＝□04lim n →∞∑ni ＝1 b －a n f (ξi )．2．定积分的相关名称3．定积分的几何意义(1)前提条件：函数f (x )在区间[a ，b]上连续，f (x )≥0.(2)定积分⎠⎛ab f (x )d x 的几何意义：由y ＝0，曲线f (x )以及直线x ＝a ，x ＝b 围成的曲边梯形的□12面积． 4．定积分的基本性质(1)⎠⎛a b kf (x )d x ＝□13k ⎠⎛ab f (x )d x (k 为常数)． (2)⎠⎛a b [f (x )±g(x )]d x ＝□14⎠⎛a b f (x )d x ±⎠⎛ab g(x )d x . (3)⎠⎛ab f (x )d x ＝□15⎠⎛ac f (x )d x ＋⎠⎛cb f (x )d x (其中a <c<b)．用定积分求曲边图形面积时，不判断曲边图形位于x 轴上方、还是下方，直接求解而出现错误．避免出错的措施为：(1)当对应的曲边图形位于x 轴上方时(图①)，定积分的值取正值，且等于曲边图形的面积；(2)当对应的曲边图形位于x 轴下方时(图②)，定积分的值取负值，且等于曲边图形面积的相反数；(3)当位于x 轴上方的曲边图形面积等于位于x 轴下方的曲边图形面积时，定积分的值为0(图③)，且等于位于x 轴上方的曲边图形面积减去位于x 轴下方的曲边图形面积．1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)⎠⎛a b f (x )d x ＝⎠⎛ab f (t)d t .( )(2)⎠⎛a b f (x )d x 的值一定是一个正数．( ) (3)⎠⎛ab (x 2＋2x )d x ＝⎠⎛a b x 2d x ＋⎠⎛ab 2xd x .( )答案 (1)√ (2)× (3)√探究1 利用定义计算定积分例1 利用定积分的定义，计算⎠⎛12(3x ＋2)d x 的值．[解] 令f (x )＝3x ＋2. (1)分割在区间[1,2]上等间隔地插入n －1个分点，把区间[1,2]等分成n 个小区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤n ＋i －1n ，n ＋i n (i ＝1,2，…，n )，每个小区间的长度为Δx ＝n ＋i n －n ＋i －1n ＝1n . (2)近似代替、求和 取ξi ＝n ＋i －1n (i ＝1,2，…，n )， 则S n ＝∑ni ＝1f (n ＋i －1n)·Δx ＝∑ni ＝1⎣⎢⎡⎦⎥⎤3n ＋i －1n ＋2·1n＝∑i ＝1n⎣⎢⎡⎦⎥⎤3i －1n 2＋5n ＝3n2[0＋1＋2＋…＋(n －1)]＋5＝32×n 2－n n 2＋5＝132－32n . (3)取极限⎠⎛12(3x ＋2)d x ＝lim n→∞S n ＝lim n→∞ ⎝ ⎛⎭⎪⎫132－32n ＝132. 拓展提升利用定义求定积分的关键仍然是“分割、近似代替、求和、取极限”这一过程．其中： (1)在近似代替时，可以选取每个小区间的左端点、右端点、区间中点、区间端点的几何平均数等相应的函数值来代替该区间的函数值；(2)将“近似代替、求和”作为一个步骤来处理，其条理性更强．【跟踪训练1】 求由直线x ＝0，x ＝1，y ＝0与曲线f (x )＝x 2＋2x ＋1围成曲边梯形的面积．解 将区间[0,1]等分成n 个小区间，则第i 个小区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤i －1n ，i n ，等i 个小区间的面积为ΔS i ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫i n ·1n ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫i n 2＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫i n ＋1·1n，S n ＝∑ni ＝1⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫i n 2＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫i n ＋1·1n＝1n 3(12＋22＋32＋…＋n 2)＋2n2(1＋2＋3＋…＋n )＋1＝1n3·n n ＋12n ＋16＋2n2·n n ＋12＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1n ⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋1n 6＋1n＋2，S ＝lim n→∞S n ＝lim n→∞ ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1n ⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋1n 6＋1n ＋2＝73， 所以所求的曲边梯形的面积为73.拓展提升b f(x)d x的值的关键是确定由曲线y＝f(x)，直线x＝a，利用定积分所表示的几何意义求⎠⎛a直线x＝b及x轴所围成的平面图形的形状．常见形状是三角形、直角梯形、矩形、圆等可求面积的平面图形．解 (1)如图1，阴影部分面积为2＋5×12＝72，从而 ⎠⎛01(3x ＋2)d x ＝72.图1 图2探究3 利用定积分的性质求定积分例3 已知⎠⎛01x 3d x ＝14，⎠⎛12x 3d x ＝154，⎠⎛12x 2d x ＝73，⎠⎛24x 2d x ＝563，求：(1)⎠⎛02(3x 3)d x ；(2)⎠⎛14(6x 2)d x ； (3)⎠⎛12(3x 2－2x 3)d x .[解] (1)⎠⎛02(3x 3)d x ＝3⎠⎛02x 3d x＝3⎝⎛⎭⎫⎠⎛01x 3d x ＋⎠⎛12x 3d x ＝3×⎝ ⎛⎭⎪⎫14＋154＝12.(2)⎠⎛14(6x 2)d x ＝6⎠⎛14x 2d x ＝6⎝⎛⎭⎫⎠⎛12x 2d x ＋⎠⎛24x 2d x ＝6×⎝ ⎛⎭⎪⎫73＋563＝126. (3)⎠⎛12(3x 2－2x 3)d x ＝⎠⎛12(3x 2)d x －⎠⎛12(2x 3)d x＝3⎠⎛12x 2d x －2⎠⎛12x 3d x ＝3×73－2×154＝7－152＝－12.拓展提升【跟踪训练3】 已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x ∈[0，2，4－x ，x ∈[2，3，52－x 2，x ∈[3，5]，求f (x )在区间[0,5]上的定积分．1.求阴影部分面积可分两类：(1)规则图形：按照面积的相关公式直接计算；(2)不规则图形：转化为规则图形或曲边梯形，再求面积的和或差，曲边梯形面积利用定积分来计算；改变积分变量，使问题简化.2.可以利用“分割、近似代替、求和、取极限”求定积分；对于一些特殊函数，也可以利用几何意义求定积分.3.定积分的几何性质可以帮助简化定积分运算.1．若函数f(x)在区间[a，b]上的图象在x轴上方，且图象从左至右上升，则求由曲线y ＝f(x)，直线x＝a，x＝b(a≠b)及x轴围成的平面图形的面积S时，将区间[a，b]n等分，用每个小区间的左端点的函数值计算出面积为S1，用每个小区间的右端点的函数值计算出面积为S2，则有( )A．S1<S<S2B．S1≤S<S2C．S1≤S2≤S D．S1≤S≤S2答案 A解析 由题意知，在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤i－1n ，i n 上，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫i －1n <f ⎝ ⎛⎭⎪⎫i n，所以S 1＝∑i ＝1nf ⎝ ⎛⎭⎪⎫i －1n ·1n <∑i ＝1nf ⎝ ⎛⎭⎪⎫i n ·1n ＝S 2，则S 1<S <S 2.答案 D3.⎠⎛06(2x －4)d x ＝________.答案 12解析 如图A(0，－4)，B(6,8)，M(2,0)，S △AOM ＝12×2×4＝4，S △MBC ＝12×4×8＝16，所以⎠⎛06(2x －4)d x ＝16－4＝12.4．曲线y ＝1x与直线y ＝x ，x ＝2所围成的图形面积用定积分可表示为 ________．答案 ⎠⎛12⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x d x解析 如图所示，阴影部分的面积可表示为⎠⎛12x d x －⎠⎛121xd x ＝⎠⎛12⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x d x . 5．根据定积分的几何意义求定积分⎠⎛13(x －2)d x ，⎠⎛13|x －2|d x .解 根据定积分的几何意义，所求定积分表示直线x ＝3，x ＝1，y ＝0分别与函数y ＝x －2，y ＝|x －2|的图象所围成的图形的面积，即如图的阴影部分的面积．∴⎠⎛13(x －2)d x ＝－12×1×1＋12×1×1＝0. ⎠⎛13|x －2|d x ＝12×1×1＋12×1×1＝1.。

1.5定积分的概念教学目标：1、通过求曲边梯形的面积和变速直线运动的路程，了解定积分的背景；2、借助于几何直观定积分的基本思想，了解定积分的概念，能用定积分法求简单的定积分．3、理解掌握定积分的几何意义；教学重点：定积分的概念、定积分法求简单的定积分、定积分的几何意义． 教学难点：定积分的概念、定积分的几何意义． 教学过程： 一．创设情景 复习：1．2．对这四个步骤再以分析、理解、归纳，找出共同点． 二．新课讲授1．定积分的概念 一般地，设函数()f x 在区间[,]a b 上连续，用分点0121i i n a x x x x x x b -=<<<<<<<=L L将区间[,]a b 等分成n 个小区间，每个小区间长度为x ∆（b ax n-∆=），在每个小区间[]1,i i x x -上取一点()1,2,,i i n ξ=L ，作和式：11()()n nn i i i i b aS f x f nξξ==-=∆=∑∑如果x ∆无限接近于0（亦即n →+∞）时，上述和式n S 无限趋近于常数S ，那么称该常数S 为函数()f x 在区间[,]a b 上的定积分。

记为：()baS f x dx =⎰其中()f x 成为被积函数，x 叫做积分变量，[,]a b 为积分区间，b 积分上限，a 积分下限。

说明：（1）定积分()baf x dx ⎰是一个常数，即n S 无限趋近的常数S （n →+∞时）称为()baf x dx ⎰，而不是n S ．（2）用定义求定积分的一般方法是：①分割：n 等分区间[],a b ；②近似代替：取点[]1,i i i x x ξ-∈；③求和：1()ni i ba f n ξ=-∑；④取极限：()1()lim n b i a n i b af x dx f n ξ→∞=-=∑⎰（3）曲边图形面积：()baS f x dx =⎰；变速运动路程21()t t S v t dt =⎰；变力做功 ()baW F r dr =⎰2．定积分的几何意义 说明：一般情况下，定积分()baf x dx ⎰的几何意义是介于x 轴、函数()f x 的图形以及直线,x a x b ==之间各部分面积的代数和，在x 轴上方的面积取正号，在x 轴下方的面积去负号．（可以先不给学生讲）．分析：一般的，设被积函数()y f x =，若()y f x =在[,]a b 上可取负值。

1.5.2 定积分学习目标 1.了解定积分的概念，会用定义求定积分.2.理解定积分的几何意义.3.掌握定积分的基本性质． 知识点一 定积分的概念思考 回顾求曲边梯形面积和变速直线运动路程的求法，找一下它们的共同点．一般地，设函数f (x )在区间[a ，b ]上有定义，将区间[a ，b ]等分成n 个小区间，每个小区间长度为Δx (Δx ＝b －an)，在每个小区间上取一点，依次为x 1，x 2，…，x i ，…，x n .作和______________________________________，如果当Δx →0(亦即n →＋∞)时，S n →S (常数)，那么称常数S 为函数f (x )在区间[a ，b ]上的定积分，记为：S ＝ʃba f (x )d x ，其中，f (x )称为__________，[a ，b ]称为__________，a 称为________，b 称为__________． 知识点二 定积分的几何意义思考 定积分和曲边梯形的面积有何关系？从几何角度看，如果在区间[a ，b ]上函数f (x )连续且恒有________，那么定积分ʃba f(x)d x 表示由____________所围成的曲边梯形的面积．这就是定积分ʃba f(x)d x 的几何意义． 知识点三 定积分的性质思考 你能根据定积分的几何意义解释ʃba f (x )d x ＝ʃca f (x )d x ＋ʃbc f (x )d x (其中a <c <b )吗？ 1．ʃba kf (x )d x ＝(k 为常数)． 2．ʃb a [f 1(x )±f 2(x )]d x ＝.3．ʃba f (x )d x ＝(其中a <c <b )．类型一 定积分的概念例1 用定积分的定义计算ʃ30x 2d x . 反思与感悟 利用定义求定积分的步骤： 跟踪训练1 用定义计算ʃ21(1＋x )d x . 类型二 定积分的几何意义例2 (1)如图所示，f (x )在区间[a ，b ]上，则阴影部分的面积S 为________(填写序号)． ①ʃba f (x )d x ；②ʃc a f (x )d x －ʃbc f (x )d x ； ③－ʃc a f (x )d x －ʃbc f (x )d x ； ④－ʃc a f (x )d x ＋ʃbc f (x )d x .(2)利用定积分的几何意义计算ʃ24－x －22d x .反思与感悟 (1)定积分的几何意义是在x 轴上半部，计算的面积取正值，在x 轴下半部计算的面积取负值．(2)不规则的图形常利用分割法将图形分割成几个容易求定积分的图形求面积，要注意分割点要确定准确．(关键词：分割)(3)奇、偶函数在区间[－a ，a ]上的定积分 ①若奇函数y ＝f (x )的图象在[－a ，a ]上连续，则 ʃa－a f (x )d x ＝0.②若偶函数y ＝f (x )的图象在[－a ，a ]上连续， 则ʃa －a f (x )d x ＝2ʃa0f (x )d x .跟踪训练2 利用几何意义计算下列定积分： (1)ʃ2－24－x 2d x ； (2)ʃ3－1(3x ＋1)d x ； (3)ʃ1－1(x 3＋3x )d x . 类型三 定积分的性质例3 计算ʃ3－3(9－x 2－x 3)d x 的值． 反思与感悟 根据定积分的性质计算定积分，可以先借助于定积分的定义或几何意义求出相关函数的定积分，再利用函数的性质、定积分的性质结合图形进行计算． 跟踪训练3 已知ʃ10x 3d x ＝14，ʃ21x 3d x ＝154，ʃ21x 2d x ＝73，ʃ42x 2d x ＝563， 求：(1)ʃ203x 3d x ；(2)ʃ416x 2d x ；(3)ʃ21(3x 2－2x 3)d x .1．关于定积分a ＝ʃ2－1(－2)d x 的叙述正确的是________．(填序号) ①被积函数为y ＝2，a ＝6； ②被积函数为y ＝－2，a ＝6； ③被积函数为y ＝－2，a ＝－6； ④被积函数为y ＝2，a ＝－6.2．将曲线y ＝e x，x ＝0，x ＝2，y ＝0所围成的图形面积写成定积分的形式为________． 3．ʃ502(x －2)d x ＝________.4．计算：⎠⎜⎜⎛π232π(2－5sin x )d x .1．定积分ʃb af (x )d x 是一个和式∑i ＝1nb －anf (ξi )的极限，是一个常数． 2．可以利用“分割、以直代曲、作和、逼近”求定积分；对于一些特殊函数，也可以利用几何意义求定积分．3．定积分的几何性质可以帮助简化定积分运算．提醒：完成作业 1.5.2答案精析问题导学 知识点一思考 两个问题均可以通过“分割、以直代曲、作和、逼近”解决，都可以归结为一个特定形式和的极限．S n ＝f (x 1)Δx ＋f (x 2)Δx ＋…＋f (x i )Δx ＋…＋f (x n )Δx 被积函数 积分区间 积分下限积分上限 知识点二思考 (1)当函数f (x )≥0时，定积分ʃba f (x )d x 表示由直线x ＝a ，x ＝b (a <b )，y ＝0及曲线y ＝f (x )所围成的曲边梯形的面积．(2)当函数f (x )≤0时，曲边梯形位于x 轴的下方，此时ʃba f (x )d x 等于曲边梯形面积S 的相反数，即ʃba f (x )d x ＝－S .(3)当f (x )在区间[a ，b ]上有正有负时，定积分ʃba f (x )d x 表示介于x 轴、函数f (x )的图象及直线x ＝a ，x ＝b (a ≠b )之间各部分面积的代数和(在x 轴上方的取正，在x 轴下方的取负)．f (x )≥0 直线x ＝a ，x ＝b ，y ＝0和曲线y ＝f (x )知识点三思考 直线x ＝c 把一个大的曲边梯形分成了两个小曲边梯形，因此大曲边梯形的面积S 是两个小曲边梯形的面积S 1，S 2之和，即S ＝S 1＋S 2. 1．k ʃba f (x )d x2．ʃb a f 1(x )d x ±ʃba f 2(x )d x 3．ʃc a f (x )d x ＋ʃbc f (x )d x 题型探究例1 解 令f (x )＝x 2. (1)分割在区间[0,3]上等间隔地插入n －1个点，把区间[0,3]分成n 等份，其分点为x i ＝3i n(i ＝1,2，…，n －1)，这样每个小区间[x i －1，x i ]的长度Δx ＝3n(i ＝1,2，…，n )．(2)以直代曲、作和令ξi ＝x i ＝3in(i ＝1,2，…，n )，于是有和式：∑i ＝1nf (ξi )Δx ＝∑i ＝1n(3i n )2·3n ＝27n 3∑i ＝1n i 2＝27n 3·16n (n ＋1)·(2n ＋1)＝92(1＋1n )(2＋1n )． (3)逼近n →＋∞时，92(1＋1n )(2＋1n)→9.根据定积分的定义ʃ30x 2d x ＝9. 跟踪训练1 解 (1)分割 将区间[1,2]等分成n 个小区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋i －1n ，1＋in (i ＝1,2，…，n )，每个小区间的长度为Δx ＝1n.(2)以直代曲、作和 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋i －1n ，1＋i n 上取点ξi ＝1＋i －1n(i ＝1,2，…，n )， 于是f (ξi )＝1＋1＋i －1n ＝2＋i －1n， 从而得∑i ＝1nf (ξi )Δx ＝∑i ＝1n(2＋i －1n )·1n ＝∑i ＝1n ⎝ ⎛⎭⎪⎫2n ＋i －1n 2＝2n ·n ＋1n2[0＋1＋2＋…＋(n －1)]＝2＋1n2·n n －12＝2＋n －12n. (3)逼近n →＋∞时，2＋n －12n →52.因此ʃ21(1＋x )d x ＝52.例2 (1)④ (2)解 ʃ24－x －22d x 表示圆心为(2,0)，半径等于2的圆的面积的14，即ʃ24－x －22d x ＝14×π×22＝π.跟踪训练2 解 (1)在平面上y ＝4－x 2表示的几何图形为以原点为圆心以2为半径的上半圆，其面积为S ＝12·π·22＝2π.由定积分的几何意义知ʃ2－24－x 2d x ＝2π. (2)由直线x ＝－1，x ＝3，y ＝0，以及y ＝3x ＋1所围成的图形，如图所示： ʃ3－1(3x ＋1)d x 表示由直线x ＝－1，x ＝3，y ＝0以及y ＝3x ＋1所围成的图形在x 轴上方的面积减去在x 轴下方的面积，∴ʃ3－1(3x ＋1)d x ＝12×(3＋13)×(3×3＋1)－12(－13＋1)×2＝503－23＝16. (3)∵y ＝x 3＋3x 为奇函数， ∴ʃ1－1(x 3＋3x )d x ＝0. 例3 解 如图， 由定积分的几何意义得 ʃ3－39－x 2d x ＝π×322＝9π2，ʃ3－3x 3d x ＝0，由定积分性质得ʃ3－3(9－x 2－x 3)d x ＝ʃ3－39－x 2d x －ʃ3－3x 3d x ＝9π2. 跟踪训练3 解 (1)ʃ203x 3d x ＝3ʃ20x 3d x ＝3(ʃ10x 3d x ＋ʃ21x 3d x ) ＝3×(14＋154)＝12.(2)ʃ416x 2d x ＝6ʃ41x 2d x ＝6(ʃ21x 2d x ＋ʃ42x 2d x ) ＝6×(73＋563)＝126；(3)ʃ21(3x 2－2x 3)d x ＝ʃ213x 2d x －ʃ212x 3d x ＝3ʃ21x 2d x －2ʃ21x 3d x ＝3×73－2×154 ＝7－152＝－12.达标检测1．③ 2.ʃ20e xd x 3.54．解 由定积分的几何意义得⎠⎜⎜⎛π232π2d x ＝(3π2－π2)×2＝2π. 由定积分的几何意义得⎠⎜⎜⎛π232πsin x d x ＝0.所以⎠⎜⎜⎛π232π (2－5sin x )d x ＝⎠⎜⎜⎛π232π2d x －5⎠⎜⎜⎛π232πsin x d x ＝2π.。

1.5.3定积分的概念【学习目标】1．理解曲边梯形面积的求解思想,掌握其方法步骤；2．了解定积分的定义、性质及函数在上可积的充分条件；3．明确定积分的几何意义和物理意义； 4．无限细分和无穷累积的思维方法. 【学习重难点】重点：定积分的概念、用定义求简单的定积分、定积分的几何意义．难点：定积分的概念、定积分的几何意义． 【使用说明与学法指导】1.课前用20分钟预习课本P45-47内容.并完成书本上练、习题及导学案上的问题导学.2.独立思考，认真限时完成，规范书写.课上小组合作探究，答疑解惑. 【问题导学】 1.定积分的概念一般地，设函数()f x 在区间[,]a b 上连续，用分点0121i i n a x x x x x x b -=<<<<<<<=将区间[,]a b 等分成n 个小区间，每个小区间长度为x ∆（b ax n-∆=），在每个小区间[]1,i i x x -上取一点()1,2,,i i n ξ=，作和式：11()()nnn i i i i b aS f x f n ξξ==-=∆=∑∑.如果x ∆无限接近于0（亦即n →+∞）时，上述和式n S 无限趋近于常数S ，那么称该常数S 为函数()f x 在区间[,]a b 上的定积分。

记为：()baS f x dx=⎰，即1()lim ()nbi ax i b af x dx f nζ→∞=-=∑⎰. 2.定积分的相关名称3.定积分的几何意义（1）前提条件：函数()f x 在区间[,]a b 上连续，()0f x ≥.（2）定积分()baf x dx ⎰的几何意义：由直线,x a x b ==（a b ≠），0y =和曲线()y f x =所围成的曲边梯形的面积. 4.定积分的基本性质（1）()()b baakf x dx k f x dx =⎰⎰ （k 为常数）(2)1212[()()]()()b b baaaf x f x dx f x dx f x dx ±=±⎰⎰⎰（3）()()()b c baacf x dx f x dx f x dx =+⎰⎰⎰（其中a cb <<）【合作探究】 （利用定义求定积分） 问题1：（1）将111lim()122n n n n→∞+++++表示为定积分为111dx x +⎰.（2）利用积分定义求2badx ⎰的值.答案：2()b a -（利用定积分的几何意义求定积分） 问题2：（1）131(3)x x dx -+⎰=0（2）31(31)x dx -+⎰= 16 （3）1-⎰=2π（定积分性质的应用） 问题3：（1）计算232)x dx -⎰的值；答案：2π（2）已知[)[)[],0,2()4,2,35,3,522x x f x x x xx ⎧⎪∈⎪=-∈⎨⎪⎪-∈⎩，求()f x 的区间[]0,5上的定积分.答案：92【深化提高】利用定积分的几何意义求2222()sin f x dx xdxππ--+⎰⎰的值，其中21,0()31,0x x f x x x -≥⎧=⎨-<⎩. 答案：-6●当堂检测A 组（你一定行）： 1.定积分()baf x dx ⎰的大小 （ A ）A ．与()y f x =和积分区间[,]a b 有关，与i ζ的取法无关B. 与()y f x =有关，与积分区间[,]a b 和iζ的取法无关C. 与()y f x =和i ζ的取法有关，与积分区间[,]a b 无关D. 与()y f x =、积分区间[,]a b 、i ζ的取法均无关 2. 定积分31(3)dx -⎰等于 （ A ）A.-6B.6C.-3D.3 B 组（你坚信你能行）： 3.已知12013x dx =⎰，22173x dx =⎰，则220(1)x dx +=⎰143. 4. 求由曲线xy e =，直线2,1x y ==围成的图形的面积时，若选择x 为积分变量，则积分区间为 []0,2 .C 组（我对你很有吸引力哟）：5.计算322(25sin )x dx ππ-⎰的值.答案：2π【小结与反思】。

1．5.1 & 1.5.2 曲边梯形的面积定积分[对应学生用书P24]如图，阴影部分是由直线x＝1，x＝2，y＝0和函数f(x)＝x2所围成的图形，问题1：利用你已学知识能求出阴影部分的面积吗？提示：不能．问题2：若把区间[1,2]分成许多小区间，进而把阴影部分拆分为一些小曲边梯形，你能近似地求出这些小曲边梯形的面积吗？提示：可以．把每一个小曲边梯形看作一个小矩形求解．问题3：我们知道，拆分后的所有小曲边梯形的面积和是该阴影部分的面积，如何才能更精确地求出阴影部分的面积呢？提示：分割的曲边梯形数目越多，所求面积越精确．1．曲边梯形的面积将已知区间[a，b]等分成n个小区间，当分点非常多(n很大)时，可以认为f(x)在小区间上几乎没有变化(或变化非常小)，从而可以取小区间内任意一点x i对应的函数值f(x i)作为小矩形一边的长．于是，可用f(x i)Δx来近似表示小曲边梯形的面积，这样，和式f(x1)Δx ＋f(x2)Δx＋…＋f(x n)Δx表示了曲边梯形面积的近似值．2．求曲边梯形的面积的步骤求曲边梯形面积的过程可以用流程图表示为： 分割设函数f (x )在区间[a ，b ]上有定义，将区间[a ，b ]等分成n 个小区间，每个小区间长度为Δx ⎝⎛⎭⎪⎫Δx ＝b －a n ，在每个小区间上取一点，依次为x 1，x 2，…，x i ，…，x n ，作和S n ＝f (x 1)Δx ＋f (x 2)Δx ＋…＋f (x i )Δx ＋…＋f (x n )Δx .如果当Δx →0(亦即n →＋∞)时，S n →S (常数)，那么称常数S 为函数f (x )在区间[a ，b ]上的定积分．记为S ＝∫b a f (x )d x .其中，f (x )称为被积函数，[a ，b ]称为积分区间，a 称为积分下限，b 称为积分上限．问题1：试利用定积分的定义计算⎠⎛01x d x 的值．提示：将区间[0,1]等分成n 个小区间，则第i 个小区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤i －1n ，i n ，第i 个小区间的面积为ΔS i ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫i n·1n ＝i n ·1n，所以S n ＝∑i ＝1nΔS i ＝∑i ＝1ni n ·1n ＝1n2(1＋2＋3＋…＋n )＝1n2·n n ＋2＝12＋12n， 当n →＋∞时，S n →12，所以⎠⎛01x d x ＝12.问题2：直线x ＝0，x ＝1，y ＝0和函数f (x )＝x 围成的图形的面积是多少？提示：如图，S ＝12×1×1＝12.问题3：以上两个问题的结果一样吗？提示：一样．问题4：以上问题说明了什么道理？提示：定积分⎠⎛a bf (x )d x (f (x )≥0)的值等于直线x ＝a ，x ＝b ，(a ≠b )，y ＝0和曲线y ＝f (x )所围成的面积．一般地，定积分⎠⎛a bf (x )d x 的几何意义是，在区间[a ，b ]上曲线与x 轴所围图形面积的代数和(即x 轴上方的面积减去x 轴下方的面积．)1．“分割”的目的在于更精确地实施“以直代曲”，例子中以“矩形”代替“曲边梯形”，分割越细，这种“代替”就越精确．当n 越大时，所有“小矩形的面积和就越逼近曲边梯形的面积”．2．定积分⎠⎛a bf (x )d x 是一个常数，即定积分是一个数值，它仅仅取决于被积函数和积分区间，而与积分变量用什么字母表示无关，如⎠⎛a b x 2d x ＝⎠⎛a bt 2d t .[对应学生用书P26][例1] [思路点拨] 依据求曲边梯形面积的步骤求解． [精解详析] (1)分割如图，把曲边梯形ABCD 分割成n 个小曲边梯形，用分点n ＋1n ，n ＋2n ，…，n ＋n －n把区间[1,2]等分成n 个小区间：⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，n ＋1n ，⎣⎢⎡⎦⎥⎤n ＋1n ，n ＋2n ，…，⎣⎢⎡⎦⎥⎤n ＋i －1n ，n ＋i n ，…，⎣⎢⎡⎦⎥⎤n ＋n －n ，2，每个小区间的长度为Δx ＝n ＋i n －n ＋i －1n ＝1n，过各分点作x 轴的垂线，把曲边梯形ABCD 分割成n 个小曲边梯形，它们的面积分别记作ΔS 1，ΔS 2，…，ΔS n . (2)以直代曲取各小区间的左端点ξi ，用ξ3i 为一边长，以小区间长Δx ＝1n为其邻边长的小矩形面积近似代替第i 个小曲边梯形的面积，可以近似地表示为ΔS i ≈ξ3i ·Δx ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫n ＋i －1n 3·1n(i ＝1,2,3，…，n )．(3)作和因为每一个小矩形的面积都可以作为相应的小曲边梯形面积的近似值，所以n 个小矩形面积的和就是曲边梯形ABCD 的面积S 的近似值，即S ＝∑i ＝1nΔS i ≈∑i ＝1n⎝⎛⎭⎪⎫n ＋i －1n 31n.①(4)逼近当分割无限变细，即Δx →0时，和式①的值→S .因为∑i ＝1n⎝ ⎛⎭⎪⎫n ＋i －1n 31n ＝1n 4∑i ＝1n(n ＋i －1)3＝1n 4∑i ＝1n[(n －1)3＋3(n －1)2i ＋3(n －1)i 2＋i 3] ＝1n 4[n (n －1)3＋3(n －1)2·n n ＋2＋3(n －1)·n 6·(n ＋1)·(2n ＋1)＋14n 2(n ＋1)2]，当n →∞时，S ＝∑i ＝1n⎝⎛⎭⎪⎫n ＋i －1n 31n＝1＋32＋1＋14＝154.[一点通] 四边形面积的求解(1)规则四边形：利用四边形的面积公式． (2)曲边梯形 ①思想：以直代曲；②步骤：分割→以直代曲→作和→逼近； ③关键：以直代曲；④结果：分割越细，面积越精确．1．已知汽车做变速直线运动，在时刻t 的速度为v (t )＝－t 2＋2t (单位：km/h)，求它在1≤t ≤2这段时间行驶的路程是多少？解：将时间区间[1,2]等分成n 个小区间， 则第i 个小区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋i －1n ，1＋in ， 在第i 个时间段的路程近似为ΔS i ＝v ⎝⎛⎭⎪⎫1＋i n Δt ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i n 2＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i n ·1n，i ＝1,2，…，n .所以S n ＝∑i ＝1nΔS i ＝∑i ＝1n⎣⎢⎡⎦⎥⎤－⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i n 2＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i n·1n＝－1n3[(n ＋1)2＋(n ＋2)2＋(n ＋3)2＋…＋(2n )2]＋2n 2[(n ＋1)＋(n ＋2)＋…＋2n ]＝－1n 3⎣⎢⎡⎦⎥⎤2nn ＋n ＋6－n n ＋n ＋6＋2n 2·n n ＋1＋2n 2 ＝－13⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋1n ⎝ ⎛⎭⎪⎫4＋1n ＋16⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1n ⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋1n ＋3＋1n，n →＋∞时，－13⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋1n ⎝ ⎛⎭⎪⎫4＋1n ＋16⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1n ⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋1n ＋3＋1n→S . 则当n →∞时，－13⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋1n ⎝ ⎛⎭⎪⎫4＋1n ＋16⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1n⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋1n ＋3＋1n →23. 由此可知，S ＝23.所以这段时间行驶的路程为23km.[例2] (1)⎠⎛3－3 9－x 2d x ； (2)⎠⎛03(2x ＋1)d x .[思路点拨] ⎠⎛a bf (x )d x 的几何意义：介于x ＝a ，x ＝b 之间，x 轴上、下相应曲边平面图形面积的代数和．[精解详析] (1)在平面上y ＝9－x 2表示的几何图形为以原点为圆心以3为半径的上半圆(如图(1)所示)．其面积为S ＝12·π·32＝92π.由定积分的几何意义知⎠⎛3－39－x 2d x ＝92π. (2)在平面上，f (x )＝2x ＋1为一条直线．⎠⎛03(2x ＋1)d x 表示直线f (x )＝2x ＋1，x ＝0，x ＝3围成的直角梯形OABC 的面积(如图(2)所示)．其面积为S ＝12(1＋7)×3＝12.根据定积分的几何意义知⎠⎛03(2x ＋1)d x ＝12.[一点通] (1)利用几何意义求定积分，关键是准确确定被积函数的图象以及积分区间，正确利用相关的几何知识求面积，不规则图形常用分割法求面积，注意分割点的确定．(2)两种典型的曲边梯形面积的计算方法：①由三条直线x ＝a 、x ＝b (a <b )、x 轴，一条曲线y ＝f (x )(f (x )≥0)围成的曲边梯形的面积S ＝⎠⎛a bf (x )d x (如图(1)所示)．②由三条直线x ＝a 、x ＝b (a <b )、x 轴，一条曲线y ＝f (x )(f (x )≤0)围成的曲边梯形的面积S ＝⎪⎪⎪⎪⎠⎛a bf x x ＝－⎠⎛a bf (x )d x (如图(2)所示)．2．利用定积分的几何意义求⎠⎛1－14－x 2d x . 解：由y ＝4－x 2可得x 2＋y 2＝4(y ≥0)，其图象如图．⎠⎛1－14－x 2d x 等于圆心角为60°的弓形面积CDE 与矩形ABCD 的面积之和．∵S 弓形＝12×π3×22－12×2×2sin π3＝2π3－3，S 矩形＝AB ·BC ＝23，∴⎠⎛1－14－x 2d x ＝23＋2π3－3＝2π3＋ 3. 3．利用定积分的几何意义求∫π2－π2sin x d x .解：∵函数y ＝sin x 在x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2上是奇函数， ∴∫π2－π2sin x d x ＝0.4．利用定积分的几何意义求∫101－x －2d x .解：令y ＝1－x －2，则(x －1)2＋y 2＝1(0≤y ≤1)．因此∫101－x －2d x 表示以(1,0)为圆心，1为半径的14圆的面积．∫101－x －2d x ＝π4.[例3] (1)y ＝0，y ＝x ，x ＝2；(2)y ＝x －2，x ＝y 2. [思路点拨] 画出图形，利用定积分的几何意义表示．[精解详析] (1)曲线所围成的区域如图(1)所示，设此面积为S ，则S ＝⎠⎛02(x －0)d x ＝⎠⎛02x d x .(2)曲线所围成的平面区域如图(2)所示，S ＝A 1＋A 2，A 1由y ＝x ，y ＝－x ，x ＝1围成； A 2由y ＝x ，y ＝x －2，x ＝1和x ＝4围成．所以A 1＝2⎠⎛01x d x ，A 2＝⎠⎛14[x －(x －2)]d x ，所以S ＝2⎠⎛01x d x ＋⎠⎛14(x －x ＋2)d x .[一点通] 用定积分表示曲线围成的平面区域的面积的步骤是： (1)准确画出各曲线围成的平面区域；(2)把平面区域分割成容易表示的几部分，同时要注意x 轴下方有没有区域； (3)解曲线组成的方程组，确定积分的上、下限； (4)根据定积分的几何意义写出结果．5．曲线y ＝cos x (0≤x ≤2π)与直线y ＝1围成的封闭图形的面积是________． 解析：如图，求曲线y ＝cos x (0≤x ≤2π)与直线围成的封闭图形的面积可根据余弦函数图象的对称性转化为求由直线y ＝0，y ＝1，x ＝0，x ＝2π围成的矩形的面积．答案：2π6．画出曲线y ＝log 12x ，y ＝0，x ＝12，x ＝3所围成的平面区域并用定积分表示其面积．解：曲线所围成的平面区域如图所示．设此面积为S .则S ＝⎠⎛112log 12x d x －⎠⎛13log 12x d x .1．当函数f (x )≥0时，定积分⎠⎛a bf (x )d x 在几何上表示由直线x ＝a ，x ＝b (a <b )，y ＝0及曲线y ＝f (x )所围成的曲边梯形的面积．2．当函数f (x )≤0时，曲边梯形位于x 轴的下方，此时⎠⎛a bf (x )d x 等于曲边梯形面积S 的相反数，即⎠⎛a bf (x )d x ＝－S .3．当f (x )在区间[a ，b ]上有正有负时，定积分⎠⎛a bf (x )d x 表示介于x 轴、函数f (x )的图象及直线x ＝a ，x ＝b (a ≠b )之间各部分面积的代数和(在x 轴上方的取正，在x 轴下方的取负)．[对应课时跟踪训练(十)]一、填空题1．当n →＋∞时，1n ⎣⎢⎡⎦⎥⎤sin πn ＋sin 2πn ＋…＋sinn －πn表示成定积分为________． 解析：根据定积分的几何意义，当n →＋∞时，1n ⎣⎢⎡⎦⎥⎤sin πn ＋sin 2πn ＋…＋sinn －πn表示曲线y ＝sin x ，x ＝0，x ＝π，y ＝0所围成图形的面积，所以表示成定积分为⎠⎛0πsinx d x .答案：⎠⎛0πsin x d x2.⎠⎛02x 2d x ＝________.解析：定积分⎠⎛02x 2d x 等于直线y ＝x 2与x ＝0，x ＝2，y ＝0围成三角形的面积S ＝12×2×1＝1.答案：13．已知⎠⎛0tx d x ＝2，则⎠⎛0－tx d x ＝________. 解析：⎠⎛0tx d x 表示直线y ＝x ，x ＝0，x ＝t ，y ＝0所围成图形的面积，而⎠⎛0－t 表示直线y ＝x ，x ＝0，x ＝－t ，y ＝0所围成图形面积的相反数，所以⎠⎛0－t x d x ＝－2. 答案：－2 4．若∫π20cos x d x ＝1，则由x ＝0，x ＝π，f (x )＝sin x 及x 轴围成的图形的面积为________．解析：由正弦函数与余弦函数的图象，知f (x )＝sin x ，x ∈[0，π]的图象与x 轴围成的图形的面积，等于g (x )＝cos x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2的图象与x 轴围成的图形的面积的2倍．所以答案应为2.答案：25．用定积分表示下列阴影部分的面积(不要求计算)：(1)S ＝__________(图(1))；(2)S ＝__________(图(2))；(3)S ＝__________(图(3))．答案：(1)∫ππ3sin x d x (2)∫ 2－412x 2d x (3)∫ 94(x 12)d x二、解答题6．若⎠⎛0ax d x ＝1(a >0)，求实数a 的值． 解：由定积分的几何意义知：11 ⎠⎛0ax d x ＝12×a ×a ＝1(a >0)， 则有a ＝ 2.7．计算定积分⎠⎛05(3x －6)d x .解：如图，计算可得A 的面积为272，B 的面积为6，从而⎠⎛05(3x －6)d x ＝272－6＝152. 8．利用定积分的几何意义求：⎠⎛01 1－x 2d x . 解：∵被积函数为y ＝1－x 2，其表示的曲线为以原点为圆心，1为半径的四分之一圆，由定积分的几何意义，可知所求的定积分即为四分之一圆的面积，所以∫101－x 2d x ＝π4×12＝π4.。

§1.5.3定积分的概念教学目标：1.通过求曲边梯形的面积和变速直线运动的路程，了解定积分的背景；2.能用定积分的定义求简单的定积分；3.理解掌握定积分的几何意义；教学重点： 定积分的概念、定积分法求简单的定积分、定积分的几何意义；教学难点：定积分的概念、定积分法求简单的定积分、定积分的几何意义．教学过程设计（一）、情景引入，激发兴趣。

【教师引入】利用导数我们解决了“已知物体运动路程与时间的关系，求物体运动速度”的问题．反之，如果已知物体的速度与时间的关系，如何求其在一定时间内经过的路程呢？(二)、探究新知，揭示概念定积分的概念 一般地，设函数()f x 在区间[,]a b 上连续，用分点0121i i n a x x x x x x b -=<<<<<<<=L L将区间[,]a b 等分成n 个小区间，每个小区间长度为x ∆（b a x n -∆=），在每个小区间[]1,i i x x -上取一点()1,2,,i i n ξ=L ，作和式：11()()n n n ii i i b a S f x f nξξ==-=∆=∑∑ 如果x ∆无限接近于0（亦即n →+∞）时，上述和式n S 无限趋近于常数S ，那么称该常数S 为函数()f x 在区间[,]a b 上的定积分。

记为：()ba S f x dx =⎰其中()f x 成为被积函数，x 叫做积分变量，[,]a b 为积分区间，b 积分上限，a 积分下限。

（三）、分析归纳，抽象概括说明：（1）定积分()b a f x dx ⎰是一个常数，即n S 无限趋近的常数S （n →+∞时）称为()ba f x dx ⎰，而不是n S ．（2）用定义求定积分的一般方法是：①分割：n 等分区间[],a b ；②近似代替：取点[]1,i i i x x ξ-∈；③求和：1()ni i b a f n ξ=-∑； ④取极限：()1()lim n bi a n i b a f x dx f nξ→∞=-=∑⎰ （3）曲边图形面积：()b a S f x dx =⎰；变速运动路程21()t t S v t dt =⎰；变力做功 ()b aW F r dr =⎰ （2）．定积分的几何意义 如果在区间[,]a b 上函数连续且恒有()0f x ≥，那么定积分()b a f x dx ⎰表示由直线,x a x b ==（a b ≠），0y =和曲线()y f x =所围成的曲边梯形的面积。