正交回归

回归正交试验设计一、概述（1）回归分析与正交试验设计的主要优缺点回归分析的主要优点是可以由试验数据求出经验公式，用于描述自变量与因变量之间的函数关系。

它的主要缺点是毫不关心试验数据如何取得，这样，不仅盲目地增加了试验次数，而且试验数据还往往不能提供充分的信息。

因此，有些工作者将经典的回归分析方法描述成：“这是撒大网，捉小鱼，有时还捉不到鱼”。

所以说，回归分析只是被动地处理试验数据，并且回归系数之间存在相关关系，若从回归方程中剔除某个不显著因素时，需重新计算回归系数，耗费大量的时间。

正交试验设计的主要优点是科学地安排试验过程，用最少的试验次数获得最全面的试验信息，并对试验结果进行科学分析（如方差分析），从而得到最佳试验条件，但是它的主要缺点是试验结果无法用一个经验公式来表达，从而不便于考察试验条件改变后，试验指标将作如何变化。

（2）回归正交试验设计回归正交试验设计，实际上就是将线性回归分析与正交试验设计两者有机地结合起来而发展出的一种试验设计方法，它利用正交试验设计法的“正交性”特点，有计划、有目的、科学合理地在正交表上安排试验，并将试验结果用一个明确的函数表达式即回归方程来表示，从而达到既减少试验次数、又能迅速地建立经验公式的目的。

根据回归模型的次数，回归正交试验设计又分为一次回归试验设计和二次回归试验设计。

二、一次回归正交试验设计（一）一次回归正交试验设计的概念一次回归设计研究的是一个因素z （或多个因素z 1，z 2，……）与试验指标y 之间的线性关系。

当只研究一个因素时，其线性回归模型：y ＝β0＋β1z ＋e (1)其回归方程为：z y ∧∧∧+=10ββ (2)式中∧0β、∧1β称为回归系数，e 是随机误差，是一组相互独立、且服从正态分布Ｎ（０，σ２）的随机变量。

可以证明，∧0β、∧1β和∧y 是β０、β１和y 的无偏估计，即Ｅ（∧0β）＝β０，Ｅ（∧1β）＝β1，Ｅ（∧y ）＝y一次回归正交试验设计是通过编码公式x ＝f(z) −− 即变量变换，将式（２）变为：x b b y 10+=∧(3)且使试验方案具有正交性，即使得编码因素Ｘ的各水平之和为零：∑==mi ix1(4)式中m 是因素x 的水平数。

正交回归（正交多项式回归）多项式回归虽然是一种有效的统计方法，但这种方法存在着两个缺点：一是计算量较大，特别是当自变量个数较多，或者自变量幂较高时，计算量迅速增加；二是回归系数间存在着相关性，从而剔除一个变量后还必须重新计算求出回归系数。

当自变量x的取值是等间隔时，我们可以利用正交性原理有效地克服上述缺点。

这种多项式回归方法就是本节将要介绍的正交多项式回归。

一、正交多项式回归的数学模型设变量y和x的n组观测数据服从以下k次多项式(2-4-17)令(2-4-18)…分别是x的一次、二次,…k次多项式，a ij是一些适当选择的常数，如何选择将在下面讨论(i=1,2,…，n)。

将(2-4-18)式代入(2-4-17)式，则有(2-4-19)比较(2-4-19)和(2-4-17)式可知，二者系数间存在简单的函数关系，只要求出，就可以求出。

若把…看作新的自变量，则(2-4-19)式就成为一个k元线性模型，其结构矩阵为(2-4-20)正规方程为(2-4-21)(2-4-22)其中在上节中我们遇到的困难是解正规方程系数矩阵的工作量太大，如果我们有办法使其对角线上的元素不为零，而其余元素均为零，那么计算就大大简化了，而且同时消去了系数间的相关性。

对于…我们可以通过选择系数a10,a21,a20,…,a k,k-i,…,a k0使得(2-4-23)（2-4-24）从而使则正规方程组为(2-4-29)回归系数为(2-4-30)满足(2-4-23)和(2-4-24)式的多项式组…我们称之为正交多项式。

显然这里关键的问题是如何找出一组正交多项式。

换言之，就是如何选择系数a10,a21,a20,…,a k,k-i,…,a k0使(2-4-23)和(2-4-24)式成立。

在正交多项式回归中自变量的选择是等间隔的，设间隔为h,x0=a, 则(2-4-31)若令(2-4-32)则(2-4-33)由此可见，是1至n的正整数。

只要我们用代替x作为自变量，问题就变得简单了。

三元二次正交回归旋转通用设计在统计学和机器学习领域中，回归分析是一种重要的建模方法，用于探究自变量与因变量之间的关系。

而正交回归是一种特殊的回归方法，它可以解决自变量之间共线性的问题，提高模型的稳定性和可解释性。

本文将介绍三元二次正交回归旋转通用设计方法，以及其在实际应用中的意义和优势。

一、三元二次正交回归在传统的回归分析中，如果自变量之间存在较强的相关性，会导致模型的方差变大，降低模型的预测能力。

而正交回归通过将自变量进行正交化处理，消除它们之间的相关性，从而提高模型的稳定性。

在三元二次正交回归中，通常会将自变量进行二次展开，以更好地捕捉自变量之间的非线性关系。

二、回归旋转回归旋转是一种将原始自变量进行旋转变换的技术，旨在提高模型的解释能力和预测准确性。

通过回归旋转，可以将原始的自变量空间转换为一个新的正交空间，从而使模型更容易解释和理解。

在三元二次正交回归中，回归旋转可以进一步优化模型的设计，提高模型的拟合效果和泛化能力。

三、通用设计三元二次正交回归旋转通用设计是一种灵活而有效的建模方法，适用于各种类型的数据分析和预测问题。

通过将正交回归和回归旋转相结合，可以充分挖掘数据中隐藏的非线性关系，提高模型的拟合效果和预测准确性。

同时，通用设计的特点使得模型具有较强的适应能力，可以应用于不同领域和不同类型的数据集。

四、应用意义三元二次正交回归旋转通用设计在实际应用中具有重要的意义和应用价值。

首先，它可以帮助研究人员更好地理解数据中的复杂关系，揭示隐藏在数据背后的规律和模式。

其次，通过建立高效稳健的模型，可以为决策者提供可靠的决策支持，帮助他们更好地制定策略和规划。

最后，三元二次正交回归旋转通用设计还可以为学术研究和工程实践提供有力的工具和方法，推动科学技术的发展和创新。

三元二次正交回归旋转通用设计是一种强大而灵活的建模方法，具有广泛的应用前景和深远的意义。

通过合理运用这一方法，可以更好地理解和利用数据，为决策和创新提供有力支持，推动社会经济的持续发展。

正交回归
正交回归用于检验两个连续变量之间的线性关系：一个响应 (Y) 和一个预测变量 (X)。

正交回归经常在您希望知道临床化学和实验室设置中的两种设备或两种方法是否测量相同的内容时使用。

与简单线性回归不同，正交回归中的响应和预测变量均包含测量误差。

在简单回归中，只有响应变量包含测量误差。

如果在 X 和 Y 都包含测量误差时使用最小二乘回归分析数据，斜率可能会出现偏倚，从而影响结果的有效性。

正交回归提供与数据“最佳”拟合的线。

然后可将这条线用于：
·确定两种检验方法是否等价
·检验响应变量如何随预测变量的变化而变化
·针对预测变量 (X) 预测响应变量 (Y) 的值
在正交回归中，最佳拟合线就是最小化标绘点与直线之间的加权正交距离的线。

如果误差方差比为 1，加权距离为 Euclidean 距离。

在正交回归中，必须满足以下假定：
·预测变量和响应分别包含一个表示为 x 和 y 的固定未知数量以及一个误差分量。

·误差项为独立的项。

·误差项的均值为零而且包含恒定方差。

·预测变量和响应呈线性相关。

正交距离回归（ODR）是一种常用的多元统计分析方法，它在数据分析和建模中具有广泛的应用。

通过使用MATLAB软件进行ODR分析，可以更加方便和高效地进行数据处理和模型拟合。

本文将针对ODR正交距离回归在MATLAB中的应用进行详细介绍和分析，以帮助读者更好地理解和运用这一方法。

一、ODR正交距离回归简介1.1 ODR的原理和特点ODR正交距离回归是一种针对多元变量之间关系进行建模的方法，其核心思想是通过最小化因变量与自变量之间的正交距离来拟合模型，从而得到更加可靠的回归结果。

与传统的最小二乘法不同，ODR能够有效处理自变量之间存在相关性的情况，具有更高的鲁棒性和稳健性。

1.2 ODR在数据分析中的应用ODR方法广泛应用于统计数据分析、回归分析、参数估计等领域，特别适用于数据存在多重共线性、异方差性等问题的情况。

在实际应用中，ODR可以用于工程建模、市场预测、科学研究等方面，为研究人员和决策者提供数据分析和决策支持。

二、MATLAB中ODR的实现2.1 MATLAB工具箱MATLAB作为一种强大的科学计算软件，提供了丰富的工具箱和函数库，方便用户进行数据处理、统计分析、数值计算等操作。

其中，MATLAB Statistics and Machine Learning Toolbox中包含了ODR 正交距离回归相关的函数和工具，可以实现对ODR方法的快速应用和实现。

2.2 MATLAB中ODR的调用在MATLAB中，可以通过调用ODR的相关函数和工具箱来进行数据分析和建模。

用户可以首先准备好需要进行分析的数据集，并在MATLAB命令窗口中使用相关函数进行ODR分析，得到模型的拟合结果和参数估计。

2.3 MATLAB中ODR的参数设置在进行ODR分析时，用户可以设置一些参数和选项来控制模型的拟合过程和结果的输出。

可以指定ODR方法的算法类型、拟合的约束条件、残差的权重设置等内容，来满足不同分析需求和模型假设。