华中师范数学分析第十一章反常积分复习自测题2

第十一章 反常积分总练习题1、证明下列等式： (1)⎰+11-p 1x x dx=⎰∞++1-p 1x x dx ，p>0；(2)⎰∞++01-p 1x x dx=⎰∞++0-p1x x dx ，0<p<1. 证：(1)∵p>0，∴两个积分都收敛，令x=t1，则⎰+11-p 1x x dx=⎰++→1u 1-p 0u 1x x lim =⎰++∞→1u1p -1u11t1t lim d ⎪⎭⎫⎝⎛t 1=⎰++∞→u 11-p u 11t t lim dt=⎰∞++1-p 1x x dx.(2)∵0<p<1，∴两个积分都收敛， 又⎰∞++01-p 1x x dx=⎰+101-p 1x x dx+⎰∞++11-p 1x x dx. 由(1)得⎰+11-p 1x x dx=⎰∞++1-p1x x dx ，又令x=t1，则 ⎰∞++11-p 1x x dx=⎰++∞→u 11-p u 1x x lim =⎰++→u 11p -10u11t1t lim d ⎪⎭⎫ ⎝⎛t 1=⎰++→1u 1-p 0u 11t t lim dt=⎰+10-p 1x x dx. ∴⎰∞++01-p 1x x dx=⎰∞++1-p 1x x dx+⎰+10-p 1x x dx=⎰∞++0-p1x x dx.2、证明下列不等式： (1)22π<⎰14x -1dx<2π；(2)⎪⎭⎫⎝⎛-e 1121<⎰+∞0x -2e dx<1+2e 1. 证：(1)∵)x 1(212-<4x-11<2x-11, x ∈(1,0].∴⎰12x-1dx 21<⎰14x-1dx<⎰12x-1dx .又⎰102x-1dx 21=22π；⎰12x -1dx=2π. ∴22π<⎰104x-1dx <2π. (2)⎰+∞0x -2e dx=⎰10x -2e dx+⎰+∞1x -2e dx<⎰10dx +⎰+∞1x -2x e dx=1+2e1. 又⎰+∞0x -2edx=⎰10x -2edx+⎰+∞1x -2edx>⎰10x -2edx>⎰10x -2x edx=⎪⎭⎫ ⎝⎛-e 1121.∴⎪⎭⎫ ⎝⎛-e 1121<⎰+∞0n -2e dx<1+2e1.3、计算下列反常积分的值：(1)bx cos e 0ax -⎰+∞dx (a>0)；(2)bx sin e 0ax -⎰+∞dx (a>0)；(3)⎰+∞+02x1lnxdx ；(4)⎰2π0)θln(tan d θ. 解：(1)bx cos e 0ax -⎰+∞dx=⎰+∞→u 0ax -u e b 1limdsinbx=b 1lim u +∞→sinbxe -ax |u 0-⎰+∞→u 0u sinbx lim b 1de -ax=⎰+∞→u 0ax-u sinbx e lim b a dx=-⎰+∞→u 0ax -u 2e lim b a dcosbx =-2u b a lim+∞→cosbxe -ax |u 0+⎰+∞→u 0u 2cosbx lim b a de -ax=2b a -bx cos e ba 0ax -22⎰∞+dx.∴bx cos eb b a 0ax-222⎰∞++dx=2b a ，即bx cos e 0ax -⎰+∞dx=22ba a+. (2)bx sin e 0ax -⎰+∞dx=-⎰+∞→u0u sinbx lim a1de -ax=-a 1lim u +∞→sinbxe -ax |u 0+⎰+∞→u 0ax-u e lim a 1dsinbx=⎰+∞0ax -cosbx e a b dx=22b a a a b +⋅=22ba b+. (3)⎰+∞+02x 1lnx dx=⎰+102x 1lnx dx+⎰+∞+12x 1lnx dx=⎰+102x 1lnx dx+⎰∞+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫⎝⎛12x 11x 1ln d ⎪⎭⎫⎝⎛x 1 =⎰+12x 1lnxdx+⎰+012u 1lnu du=⎰+102x 1lnx dx+⎰+012x1lnx dx=0. (4)令tan θ=t ，则⎰2π)θln(tan d θ=⎰+102t1lntdt=0.4、讨论反常积⎰+∞λxsinbxdx (b ≠0)，λ取何值时绝对收敛或条件收敛. 解：不妨设b>0，记I=⎰+∞0λx sinbx dx ，I 1=⎰b10λx sinbx dx ，I 2=⎰+∞b1λx sinbx dx. 对I 1，当λ≤1时，λ0x x sinbx lim+→=bx sinbx bx lim λ-10x +→=⎩⎨⎧=<1λb 1λ0，∴I 1是正常积分. 当λ>1时，x=0是瑕点，λ1-λ0x x sinbxx lim +→=b ∈(0,+∞). ∴当1<λ<2时，I 1绝对收敛；当λ≥2时，I 1发散. 对I 2，当λ≤0时，∵令A n =(2n π+4π)b 1，B n =(2n π+2π)b1， 则A n →+∞，B n →+∞(n →+∞)且 |⎰nn B Aλx sinbx dx|=b λ⎰++2πn π24πn π2λu sinu du ≥b λ⎰+++2πn π24πn π2λu )4πn π2sin(du =22b λλ1)4πn π2()2πn π2(λ-1λ-1-+-+>0. ∴当λ≤0时，I 2发散. 当0<λ≤1时，由狄利克雷判别法知I 2收敛.又|λx sinbx |≥λ2x bx sin =λ2x1+λ2x bx 2sin ， 其中⎰+∞b1λ2x bx2sin dx 收敛，但⎰+∞b1λ2x dx 发散，∴当0<λ≤1时，I 2条件收敛. 当λ>1时，∵|λx sinbx|≤λx 1，∴I 2绝对收敛.综上，原积分的收敛性如下表：5、证明：设f 在[0,+∞)上连续，0<a<b. (1)若+∞→x lim f(x)=k, 则⎰+∞x f(bx)-f(ax)dx =[f(0)-k]ln ab； (2)若⎰+∞x f(x)dx 收敛，则⎰+∞0x f(bx)-f(ax)dx =f(0)ln ab. 证：(1)令ax=t ，则⎰Aεx f(ax)dx=⎰aA a εt f(t)dt ，同理，⎰A εx f(bx)dx=⎰bA b εtf(t)dt. ∴⎰Aεx f(bx)-f(ax)dx=⎰aA a εt f(t)dt-⎰bA b εt f(t)dt=⎰b εa εt f(t)dt-⎰bA aA tf(t)dt =⎰b aεu u)f(εdu-⎰b a u f(Au)du=⎰b a u u) f(εdu-⎰b a u f(Au)du=[f(εξ)-f(A η)]⎰b a udu , 其中ξ,η∈(a,b)，令ε→0+, A →+∞, 得⎰+∞x f(bx)-f(ax)dx =[f(0)-k]⎰b a u du =[f(0)-k]ln ab.(2)∵⎰+∞0x f(x)dx 收敛，∴对任何ε>0, 有⎰+∞εx f(ax)dx=⎰+∞a εxf(x)dx ， ∴⎰+∞x f(bx)-f(ax)dx=⎰+∞a εx f(x)dx-⎰+∞b εx f(x)dx=⎰b εa εx f(x)dx=⎰b εa εx x)f(εdx=f(εξ)⎰b a xdx . 令ε→0+, 则⎰+∞0x f(bx)-f(ax)dx =f(0)⎰b a x dx =f(0)ln ab.6、证明下述命题：(1)设f 为[a,+∞)上的非负连续函数. 若⎰+∞a x f(x )dx 收敛，则⎰+∞a f(x )dx 也收敛；(2)设f 为[a,+∞)上的连续可微函数，且当x →+∞时，f(x)递减地趋于0，则⎰+∞a f(x )dx 收敛的充要条件为⎰+∞'a (x )f x dx 收敛.证：(1)取M=max{|a|,1}，则⎰+∞M x f(x )dx 与⎰+∞a x f(x )dx 同收敛. ∵f 为[M,+∞)上的非负连续，∴0≤f(x)≤xf(x)，x ∈[M,+∞)， ∴⎰+∞M f(x )dx 收敛，同时有⎰+∞a f(x )dx 也收敛. (2)∵f,f ’为[a,+∞)上都连续，∴⎰'Aa(x )f x dx=xf(x)|Aa -⎰Aaf(x )dx.设⎰+∞a f(x )dx 收敛，又当x →+∞时，f(x)递减地趋于0，∴+∞→A lim xf(x)|A a =-af(a). ∴⎰'+∞→AaA (x )f x limdx 存在，即⎰+∞'a (x )f x dx 收敛. 设⎰+∞'a (x )f x dx 收敛，则任给ε>0, 有M>|a|，当A>x>M 时，就有 |⎰'Ax (t)f t dt|<ε，∵f ’≤0, 由积分中值定理知，存在ξ∈[x,A]，使得⎰'Ax(t)f t dt=ξ⎰'Ax(t)f dt=ξ[f(A)-f(x)]，∴0≤x|f(A)-f(x)|≤ξ|f(A)-f(x)|<ε，令A →+∞，则f(A)→0，∴ |xf(x)|= x|f(x)|≤ε (x>M)， ∴+∞→x lim xf(x)=0，∴+∞→A lim xf(x)|A a =-af(a)存在，又⎰'+∞→AaA (x )f x limdx=+∞→A lim xf(x)|Aa -⎰+∞→AaA f(x )limdx 存在，∴⎰+∞→A a A f(x )lim dx 存在，即⎰+∞a f(x )dx 收敛. 得证.。

第十一章 反常积分一、单选题（每题2分）1、广义积分dxx x ⎰∞+-1211=（ ）A 、0B 、2πC 、4πD 、发散2、广义积分dx x x ⎰∞+-+2221=（ ） A 、4ln B 、0 C 、4ln 31 D 、发散3、广义积分⎰+-20234x x dx =（ ）A 、3ln 1-B 、32ln 21 C 、3ln D 、发散 4、下列广义积分收敛的是（ ）A 、⎰∞+edx x xln B 、⎰∞+e x x dx ln C 、⎰∞+e x x dx 2)(ln D 、⎰∞+ex x dx21)(ln~5、下列广义积分发散的是（ ）A 、⎰∞-0dxe xB 、⎰π2cos x dx C 、⎰-202x dx D 、⎰∞+-0dx e x6、下列积分中（ ）是收敛的A 、⎰∞+∞-xdx sin B 、⎰-222sin ππx dx C 、⎰∞+0dx e xD 、⎰-101x dx 7、下列广义积分发散的是（ ）A 、⎰-11sin x dx B 、⎰--1121x dx C 、⎰∞+-02dx xe x D 、⎰∞+22)(ln x x dx8、⎰=-10121dx e x x（ ）A 、e 1B 、11-eC 、e 1-D 、∞9、已知2sin 0π=⎰∞+dx x x ，则=⎰∞+dx x x x 0cos sin （ ）A 、0B 、4πC 、 2πD 、π》10、广义积分=+⎰∞+∞-dx x 211（ ）A 、0B 、2πC 、2π-D 、π11、下列积分中绝对收敛的是（ ）A 、dx x x ⎰∞+12sin B 、dx x x ⎰∞+1sin C 、dx x ⎰∞+12sin D 、dx x x ⎰∞+14sin12、已知广义积分dxx ⎰∞+∞-sin ，则下列答案中正确的是（ ）A 、因为()x f 在()+∞∞-,上是奇函数，所以0sin =⎰∞+∞-dx x B 、dx x ⎰∞+∞-sin =()()()[]0cos cos cos =∞--∞+-=∞-∞+-xC 、dx x ⎰∞+∞-sin =()0cos cos lim sin lim =+-=⎰-+∞→+∞→b b xdx bbb bD 、dxx ⎰∞+∞-sin 发散13、设广义积分dxe kb ⎰∞+-0收敛，则k （ ）^A 、0≥B 、0>C 、0<D 、0=答案：BCDCB DAABD ADB二、判断题（每题2分）1、当10<<λ时，无穷积分dx x x⎰∞+1cos λ条件收敛； （ ）2、当10<<λ时，无穷积分dx x x⎰∞+1sin λ绝对收敛； （ ）3、若无穷积分()⎰∞+adxx f 收敛，而函数()x ϕ在[)+∞,a 单调有界， 则无穷积分()()⎰∞+adxx x f ϕ收敛； （ ）4、若()⎰∞+adxx f 收敛，则()0lim =+∞→x f x ； （ ）/5、若()x f 在[)+∞,a 无界，则()⎰∞+a dx x f 发散； （ ）6、若()x f x +∞→lim 不存在，则()⎰∞+adxx f 发散； （ ）7、若()x f 单调，()⎰∞+adxx f 收敛，则()0lim =+∞→x f x ； （ ）8、若()⎰∞+adxx f 收敛，则()⎰∞+adxx f 2收敛； （ ）9、若()⎰∞+adxx f 2，()⎰∞+adxx g 2收敛，则()()⎰∞+adxx g x f 收敛； （ ）10、如果()⎰∞+adxx f 收敛，()x g 在[)+∞,a 上有界，则()()⎰∞+a dx x g x f 收敛；（ ）11、若()⎰∞+adxx f 收敛，()0lim =+∞→x f x ，则()⎰∞+adxx f 2收敛； （ ）12、如果()⎰∞+adxx f 绝对收敛，()1lim =+∞→x g x ，则()()⎰∞+adxx g x f 收敛；（ ）答案：××× ××× ×、三、填空题（每题2分） 1、若无穷积分()⎰∞+a dx x f 收敛，则()=⎰∞++∞→dx x f pp lim；2、若无穷积分()⎰∞+adxx f 收敛，则a b >时，无穷积分()⎰∞+bdxx f ；3、设(]b a x ,∈∀，函数()0≥x f ，a 是其瑕点，且极限())0()(lim +∞≤≤=-+→d d x f a x ax λ，若+∞≤<≥d 0,1λ，则瑕积分()⎰ba dx x f ；4、设[)+∞∈∀,a x ，函数()0≥x f ，0>a ，且极限())0(lim +∞≤≤=+→d d x f x a x λ， 若+∞<≤>d 0,1λ，则无穷积分()⎰∞+a dx x f ；5、若()⎰∞+adxx f 收敛，则无穷积分()⎰∞+adxx f ；6、当1>λ时，无穷积分dx x x⎰∞+1cos λ ；7、当1≥p 时，瑕积分⎰10px dx ；'8、若()⎰∞+adxx f 收敛，且存在极限()Ax f x =+∞→lim ，则=A ；9、=+⎰∞+12)1(x x dx ；=⎰∞+e x x dx 2ln ；10、设⎰∞-∞→=⎪⎭⎫ ⎝⎛+at axx dtte x x 1lim ，则常数=a ；11、如果广义积分dxx p ⎰∞++11收敛，则p ；12、如果广义积分dxx p ⎰-11发散，则p ；答案：1、0 2、收敛 3、发散 4、收敛 5、绝对收敛 6、绝对收敛7、发散 8、0 9、2ln 21；1 10、2 11、2-< 12、2≥四、计算题（每题5分） | 1、⎰∞+++0284x x dx解：⎰∞+++0284x x dx =)022arctan 21(lim 4)2(lim 02u x x dx u u u +=+++∞→+∞→⎰=8)42(21)422(arctan 21lim ππππ=-=-++∞→u u 2、dxx x 1sin 122⎰∞+π解：设x t 1=，则dt t dx 21-=，有dx x x 1sin 122⎰∞+π=120cos sin 02==-⎰ππt tdt 3、⎰∞+-+222x x dx解：⎰∞+-+222x x dx =221ln 31lim )2111(31lim 2u x x dx x x u u u ⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=+--+∞→+∞→⎰ =2ln 32)2ln 221ln lim (31=-+-+∞←u u u4、⎰1ln xdx，解：⎰1ln xdx =()1)ln 1(lim 1ln lim ln lim 0100-=+--=-=+++→→→⎰εεεεεεεεx x x xdx5、⎰--1121x dx解：⎰--1121x dx=⎰⎰-→+-→-+-++εεεε10200121lim 1lim x dxx dx =)01arcsin 10(arcsin lim 0εεε-++-+→x x))1arcsin()1arcsin((lim 0εεε-++--=+→=πππ=+226、()⎰--112x x dx 解：因为()C x C t t dtt x xx dx+--=+-=+-=---⎰⎰1arctan 2arctan 2121122所以()⎰--1012x x dx=01)1arctan 2(lim 1)2(lim 010εεεε---=--++→-→⎰x xx dx=2)4arctan lim (20ππεε=--+→7、⎰∞+++04211dx x x-解：由 Cx x x x xx d dx x x x dx x x +-=+--=++=++⎰⎰⎰21arctan 212)1()1(111112222342得 ⎰∞+++04211dx x x =221arctan 21lim 11lim 20420πεεεε=-=++⎰++→+∞→→+∞→u x x dx x x u u u8、())0(ln >⎰∞+a x x dxa p解：1=p 时，+∞===+∞→∞++∞→⎰⎰a u x x x d x x dxu u a au ln ln lim ln ln lim ln1≠p 时，()()a u x p x xd x x dxpu uapu a p-+∞→+∞→∞+-==⎰⎰1)(ln 11limln ln limln=⎪⎩⎪⎨⎧<∞>--11)(ln 111p p a p p故当1>p 时，()⎰∞+a px x dx ln =()pa p --1ln 111≤p 时，()⎰∞+apx x dxln 发散；9、⎰2)ln(sin πdxx解：=I ⎰20)ln(sin πdx x =⎰+→20sin ln lim πεxdx ⎰+→=422sin ln lim 2πεεtdt t x、=⎰+++→42)cos ln sin ln 2(ln lim 2πεεdtt t=⎰⎰++⋅404cos ln 2sin ln 242ln 2πππtdttdt=⎰⎰+=++404022ln 2cos ln 2sin ln 22ln 2ππππIxdx xdx由此求得 2ln 2π-=I10、⎰∞+-∈=0)(N n dx e x I x n n解：当0=n 时，⎰∞+-==001dx e I x当1≥n 时，dx x e n ux e dx x e I un x u nx u un x u n ⎰⎰--+∞→-+∞→-+∞→+-==010lim 0)(lim lim=⎰---+∞→=u n n x u nI dx x e n 011lim则 !12)1(0n I n n I n =⋅⋅-= 五、证明题（每题5分） ~ 1、证明01ln 02=+⎰∞+dx x x证：令t x 1=，则 ⎰⎰⎰∞-∞+∞++-=⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅+=+00222021ln 1111ln1ln dt t t dt t t t dx x x =⎰∞++-021ln dxx x则有 01ln 02=+⎰∞+dx x x2、证明dx x x⎰∞++01cos 收敛，且11cos 0≤+⎰∞+dx x x证：dx x x ⎰∞++01cos =dxx x x x ⎰∞+++∞++02)1(sin 01sin =dxx x⎰∞++02)1(sin又()22111sin x x x+≤+）（，而dxx ⎰∞++02)1(1收敛，所以dx x x ⎰∞++02)1(sin 收敛⇒dxx x ⎰∞++01cos 收敛而≤+=+⎰⎰∞+∞+02)1(sin 1cos dx x xdx xx1011)1(102=∞++-=+⎰∞+x dx x3、证明：若()x f 在()+∞∞-,上连续，且()⎰∞+∞-dx x f 收敛，则对任何()+∞∞-∈,x ，有()()⎰∞-=x x f dt t f dx d , ()()⎰∞+-=x x f dt t f dx d ,证：,a ∀由条件()1J dx x f =⎰∞-，()⎰∞+=02J dx x f 都存在；再由()x f 连续可得…()()()⎰⎰∞-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=x x a x f dt t f J dx d dt t f dx d ,1()()()⎰⎰∞+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=x a x x f J dt t f dx d dt t f dx d ,24、 设()⎰∞+adxx f 收敛，证明：（1）若极限()x f x +∞→lim 存在，则()0lim =+∞→x f x（2）若()x f 在[)∞+a 上为单调函数，则()0lim =+∞→x f x证：（1）设()Ax f x =+∞→lim 。

第十一章反常积分§1反常积分概念一问题提出在讨论定积分时有两个最基本的限制:积分区间的有穷性和被积函数的有界性.但在很多实际问题中往往需要突破这些限制,考虑无穷区间上的“积分”,或是无界函数的“积分”,这便是本章的主题.例1(第二宇宙速度问题)在地球表面垂直发射火箭(图11-1),要使火箭克服地球引力无限远离地球,试问初速度v0至少要多大?设地球半径为R,火箭质量为m,地面上的重力加速度为g.仅供个人学习参考r mgR ∫∫2∫d x= mgR21-1 .Rx2R r当r →+∞时,其极限mgR 就是火箭无限远离地球需作的功.我们很自然地会把这极限写作上限为+∞的“积分”:图11-1+∞mgR2d x= limrmgR2Rx2r →+∞Rd x= mgR.x2最后,由机械能守恒定律可求得初速度v 0至少应使122mv 0= mgR.用g =9.81(m 6s /2),R =6.371×106(m )代入,便得例211-2).2∫ ∫ ∫ §1反常积分概念265从物理学知道,在不计摩擦力的情形下,当桶内水位高度为(h -x)时,水从孔中流出的流速(单位时间内流过单位截面积的流量)为 v=2g(h- x),其中g 为重力加速度. 设在很小一段时间d t 内,桶中液面降低的微小量为d x,它们之间应满足πR 2d x=v πr 2d t, 图11-2由此则有t=Rd 2.上可积.(1)+∞J=f(x )d x,(1′)a+∞ +∞ 并称 f(x)d x 收敛.如果极限(1)不存在,为方便起见,亦称f(x)d xaa发散.类似地,可定义f 在(-∞,b]上的无穷积分:bb∫∫ ∫ ∫∫266第十一章反常积分∫f(x)d x=lim∫f(x )d x.(2)-∞u →-∞u对于f 在(-∞,+∞)上的无穷积分,它用前面两种无穷积分来定义:+∞af(x)d x=-∞-∞+∞ f(x)d x+af(x)d x, (3)其中a 为任一实数,当且仅当右边两个无穷积分都收敛时它才是收敛的.注1无穷积分(3)的收敛性与收敛时的值,都和实数a 的选取无关.注2由于无穷积分(3)是由(1)、(2)两类无穷积分来定义的,因此,f 在任何有限区间[v,u]ì(-∞,+∞)上,首先必须是可积的.+∞注3af(x)d x 收敛的几何意义是:若f 在[a,+线轴之间那一块向右无限延伸的 图11-31∫) +∞ d x 2 x(ln x)p ; 2) +∞d x-∞1+x 2.解1)由于无穷积分是通过变限定积分的极限来定义的,因此有关定积分的换元积分法和图11-4a∫∫§1反常积分概念267分部积分法一般都可引用到无穷积分中来.对于本例来说,就有∫+∞d x+∞d t2x(ln x)p =∫ln2tp.从例3知道,该无穷积分当p >1时收敛,当p ≤1时发散.2)任取实数a,讨论如下两个无穷积分:∫d x+∞d x -∞1+x2和∫a由于a1+x2.lim∫d x = lim (arctan a-arctan u)u →-∞ u1+x 2v u →-∞=arctan a+π,2注定义[u,b]ì(5)(5′)bf(x)a 而无 b界函数反常积分 f(x)d x 又称为瑕积分.a类似地,可定义瑕点为b 时的瑕积分:bu∫f(x)d x=lim∫f(x)d x.au →b-a其中f 在[a,b)有定义,在点b 的任一左邻域内无界,但在任何[a,u]ì[a,b)1 1 x 268 第十一章反常积分上可积.若f 的瑕点c ∈(a,b),则定义瑕积分b c b∫f(x )d x=∫f(x )d x+∫f(x)d xaacub=lim ∫f(x )d x+lim ∫f(x )d x.(6)u →c-av →c+v其中f 在[a,c)∪(c,b]上有定义,在点c 的任一领域内无界,但在任何[a,u]ì[a,c)和[v,b]ì(c,b]上都可积.当且仅当(6)式右边两个瑕积分都收敛时,左边的瑕积分才是收敛的.又若a 、b 两点都是f 的瑕点,而f 在任何[u,v]ì(a,b)上可积,这时定义瑕积分b c b∫f(x)d x=∫f(x)d x+∫f(x )d x(7)其中c ,上可积例6(8)故当0<q <1时,瑕积分(8)收敛,且∫d x ∫d x 1q = lim 0 u →0+u x q=1- q ;∫∫§1反常积分概念269而当q ≥1时,瑕积分(8)发散于+∞.上述结论在图11-4中同样能获得直观的反映. 如果把例3与例6联系起来,考察反常积分 +∞我们定义d xx p (p>0). (9)∫+∞d x 1d x+∞d x 0xp=∫0x p+∫1xp,它当且仅当右边的瑕积分和无穷积分都收敛时才收敛.但由例3与例6的结果可知,这两个反常积分不能同时收敛,故反常积分(9)对任何实数p 都是发散的.习题1.讨论下列无穷积分是否收敛?若收敛,则求其值:+∞2.3.4.举例说明: f(x)d x 收敛且f 在[a,+∞)上连续时,不一定有limax →+∞f(x)=0.+∞5.证明:若af(x)d x 收敛,且存在极限lim x →+∞f(x)=A,则A=0.∫ ∫∫ ∫∫ ∫ ∫ ∫ 270第十一章反常积分+∞6.证明:若f 在[a,+∞)上可导,且a+∞f(x)d x 与 af ′(x )d x 都收敛,则lim x →+∞f(x)=0.§2无穷积分的性质与收敛判别一无穷积分的性质+∞由定义知道,无穷积分auf(x)d x 收敛与否,取决于函数F(u) =f(x)d x 在u →+∞时是否存在极限.因此可由函数极限的柯西准则导出无穷 a积分收敛的柯西准则.+∞定理11.1无穷积分af(x)d x 收敛的充要条件是:任给ε>0,存在G此外,+∞ [k a(1)性质d x 与+∞ b(2)另一充要条件:任给ε>0,存在G ≥a,当u> G 时,总有 +∞f(x)d x<ε.u∫ ∫ ∫ ∫∫ ∫ ∫ §2无穷积分的性质与收敛判别271事实上,这可由+∞u +∞∫f(x)d x=∫f(x)d x+∫f(x)d xaau结合无穷积分的收敛定义而得.+∞性质3若f 在任何有限区间[a,u ]上可积,且有a+∞f(x)d x 亦必收敛,并有a|f(x)|d x 收敛,则+∞+∞f(x)d x≤aa+∞f(x) d x. (3)证由≥a,当u等式(u +∞由于 |f(x)|d x 关于上限u 是单调递增的,因此aa|f(x)|d x 收敛的u 充要条件是 a| f(x)|d x 存在上界.根据这一分析,便立即导出下述比较判别法(请读者自己写出证明):定理11.2(比较法则)设定义在[a,+∞)上的两个函数f 和g 都在任何∫ ∫ ∫ ∫∫∫∫272 第十一章反常积分有限区间[a,u]上可积,且满足f(x)≤g(x),x ∈[a,+∞),+∞+∞ 则当 g(x )d x 收敛时aa+∞ +∞|f(x)|d x 必收敛(或者,当 a|f(x)|d x 发散时,ag(x)d x 必发散).+∞例1讨论sin xd x 的收敛性. 1+x 2+∞解由于sin x1d x π1+x2≤1+x 2,x ∈[0,+∞),以及∫1+x 2=为收敛2(§1sin xd x 为绝对收敛. =c,则有:(i i .则有:.xp a推论3设f 定义于[a,+∞),在任何有限区间[a,u]上可积,且则有: lim x →+∞x pf(x) =λ.+∞(i)当p >1,0≤λ<+∞时, f(x)d x 收敛;a+∞(ii)当p ≤1,0<λ≤+∞时,af(x)d x 发散.+∞∫∫∫1§2无穷积分的性质与收敛判别273例2讨论下列无穷限积分的收敛性:1∫)+∞x αe -xd x;2)1+∞x 2d x. 0x 5+1解本例中两个被积函数都是非负的,故收敛与绝对收敛是同一回事.1)由于对任何实数α都有limx →+∞x 2·x αe -x= lim x →+∞ x α+2ex=0,因此根据上述推论3(p =2,λ=0),推知1)对任何实数α都是收敛的.2)由于12limx →+∞x 2·x x 5+1=1,, g(x)limx →+∞又因u 2>u 1 11于是有uξuf(x)g(x)d x ≤g(u 1)·uuf(x)d x+ g(u 2)·∫ f(x)d x11ξξ u=g(u 1)·∫f(x )d x ∫-f(x)d xaa22u∫∫ ∫ ∫∫∫∫ ∫274第十一章反常积分2+ g(u 2)·ξf(x)d x-∫f(x)d xε4M ·2M+ +∞ aaε4M·2M=ε.根据柯西准则,证得af(x)g(x)d x 收敛.+∞定理11.4(阿贝尔(Abel)判别法)若 af(x)d x 收敛,g(x)在[a,+∞)+∞上单调有界,则a f(x)g(x)d x 收敛.这定理同样可用积分第二中值定理来证明,但又可利用狄利克雷判别法更方便地获得证明(留作习题).:+而1 u∫1cos2x 1 其中12xd x=2 2 cos ttd t 满足狄利克雷判别条件,是收敛的,而+∞d x12x是发散的,因此当0<p ≤1时该无穷积分不是绝对收敛的.所以它是条 件收敛的.例4证明下列无穷积分都是条件收敛的:<∫∫ ∫∫ ∫ ∫∫ ∫∫+∞ §2无穷积分的性质与收敛判别275+∞sin x 2d x,1+∞cos x 2d x,1+∞x sin x 4d x.1证前两个无穷积分经换元t =x 2得到+∞+∞sin x 2d x=1 1+∞ +∞ cos x 2d x= 11sin t d t, 2 tcos t d t.2 t由例3已知它们是条件收敛的.对于第三个无穷积分,经换元t =x 2而得∫x sin x 4d x=1+∞sin t 2d t,,甚至是无界的,1.2.+∞若a收敛.3.g(x).(1(4.(5∫)ln (1+x)d x;(6)11+x +∞x md x(n 、m ≥0).1xn0 1+xn5.讨论下列无穷积分为绝对收敛还是条件收敛:(1∫)sin xd x;(2)1x+∞sgn(sin x)d x;1+x2+∞+∞∫ ∫∫∫∫∫276第十一章反常积分(3∫)x cos xd x; (4)100+xln(ln x)sin x d x.eln x6.举例说明∫:+∞+∞ +∞f(x)d x 收敛时aaf 2(x )d x 不一定收敛∫; +∞ f(x)d x 绝对收敛时,af 2(x)d x 也不一定收敛. a+∞ +∞7.证明:若af(x)d x 绝对收敛,且lim x →+∞f(x)=0,则a+∞f 2(x)d x 必定收敛.8.证明:若f 是[a,+∞)上的单调函数,且 af(x)d x 收敛,则lim x →+∞f(x)=0,且f(x)=o 1x,x →+∞.+∞9.10,存在δ>性质b∫f 1(x )a敛,(1)性质b c∫f(x)d x 与∫f(x)d x 同敛态,并有aab c b∫f(x)d x=∫f(x )d x+∫f(x)d x,(2)aacb其中 f(x)d x 为定积分.c+∞+∞∫∫∫∫(x- a)p ∫§3瑕积分的性质与收敛判别277性质3设函数f的瑕点为x=a,f在(a,b]的任一内闭区间[u,b]上可b积.则当af(x) d x收敛时∫,b bf(x)d x也必定收敛,并有ab∫f(x)d x ≤∫f(x) d x. (3)a ab b同样地,当a f(x) d x收敛时,称f(x)d x为绝对收敛.又称收敛而不绝a对收敛的瑕积分是条件收敛的.判别瑕积分绝对收敛的比较法则及其推论如下:定理11.6(比较法则)设定义在(a,b]上的两个函数f与g,瑕点同为x=a,在任何[u,b]ì(a,b]上都可积,且满足则当, bg(x)a((成为则有:(ii)当f(x) ≥1,且p≥1时,af(x) d x发散.推论3设f定义于(a,b],a为其瑕点,且在任何[u,b]ì(a,b]上可积. 如果则有: limx→a +(x- a)p f(x) =λ,∫ ∫x278第十一章反常积分b(i )当0<p <1,0≤λ<+∞时af(x)d x 收敛;b(ii)当p ≥1,0<λ≤+∞时a例1判别下列瑕积分的收敛性:f(x)d x 发散.1∫) ln x d x ;2∫)0 x2x1ln xd x.解本例两个瑕积分的被积函数在各自的积分区间上分别保持同号———ln x在(0,1]上恒为负, x 在(1,2]上恒为正———所以它们的瑕积分收敛与绝xln x2(i)x →0+x1-α· 1+x =1,根据定理11.6推论3,当0<p =1-α<1,即α>0且λ=1时,瑕积分I(α)收1∫ §3瑕积分的性质与收敛判别279敛;当p =1-α≥1,即α≤0且λ=1时,I(α)发散.(ii)再讨论J(α),它是无穷积分.由于α-1lim x →+∞ x 2-α·x1+x= lim x →+∞ x 1+x =1,根据定理11.2推论3,当p =2-α>1,即α<1且λ=1时,J(α)收敛;而当p =2-α≤1,即α≥1且λ=1时,J(α)发散.1.2.3.4.5.x)d x=π62/6.(1∫) =-πln20 2(2∫)θsin θd θ=2πln2. 01-cos θπ1∫2∫ 280 第十一章反常积分总练习题1.证明下列等式:1 p-1 +∞-p (1∫) x d x=∫x d x,p>0;0x+1 1 x+1+∞ p-1 +∞-p (2∫) x d x=∫xd x,0<p<1.0 x+1 0 x+12.证明下列不等式:(1)π<∫d x <π;22 (2)1 20 1-1 e 1-x 4 +∞ < 0 2 e -x d x<1+1. 2e3.计算下列反常积分的值:4.5.(2)若6.(也收敛.(2+∞ a●。

第十一章 反常积分习题课一 概念叙述 1．叙述()dx x f a⎰+∞收敛的定义．答：()dx x f a⎰+∞收敛⇔()()lim+∞→+∞=⎰⎰uaau f x dx f x dx 存在．⇔()lim0+∞→+∞=⎰uu f x dx ．2．叙述()b af x dx ⎰（a 是暇点）收敛的定义．答：()ba f x dx ⎰收敛⇔()()lim +→=⎰⎰b buau a f x dx f x dx 存在．⇔0,0,εδ∀>∃>当δ<<+a u a ，有()()ε-<⎰⎰b buaf x dx f x dx ．3． 叙述()dx x f a⎰+∞收敛的柯西准则．答：无穷积分()dx x f a⎰+∞收敛的柯西准则是：任给0ε>，存在0M >，只要12,u u M >，便有()()()2121u u u aau f x dx f x dx f x dx ε-=<⎰⎰⎰．4． 叙述()b af x dx ⎰（a 是暇点）收敛的柯西准则．答：瑕积分()dx x f ba ⎰（瑕点为a ）收敛的充要条件是：任给0ε>，存在0δ>，只要()12,,u u a a ∈+δ，总有()()()2121b bu u u u f x dx f x dx f x dx -=<ε⎰⎰⎰．二 疑难问题1．试问⎰+∞adx x f )(收敛与0)(lim =+∞→x f x 有无联系？答：首先，0)(lim =+∞→x f x 肯定不是⎰+∞adx x f )(收敛的充分条件，例如01lim=+∞→x x ，但⎰+∞11dx x发散．那么0)(lim =+∞→x f x 是否是⎰+∞adx x f )(收敛的必要条件呢？也不是！例如⎰+∞12sin dx x ，⎰+∞12cos dx x ，⎰+∞14sin dxx x 都收敛，因为前两个无穷积分经换元2t x =得到⎰+∞12sin dx x 1+∞=⎰，21cos x dx +∞=⎰=dt tt ⎰+∞12cos ，则⎰+∞12sin dx x ，⎰+∞12cos dx x 是条件收敛，对于第三个无穷积分，经换元2t x =而得⎰+∞14sin dx x x =⎰+∞12sin 21dt t ，它也是条件收敛的． 从这三个无穷积分的收敛性可以看到，当x →+∞时被积函数即使不趋于零，甚至是无界的，无穷积分仍有可能收敛．注：若lim ()0x f x A →+∞=≠，则⎰+∞ax x f d )(发散．注：1）若⎰+∞ax x f d )(收敛,且lim ()x f x A →+∞=存在, 则定有0)(lim =+∞→x f x ；2）若⎰+∞a x x f d )(收敛,且f 在[)+∞,a 上为单调，则0)(lim =+∞→x f x ；3）若⎰+∞a x x f d )(收敛，且f 在[)+∞,a 上一致连续，则0)(lim =+∞→x f x ；4）若⎰+∞ax x f d )(收敛，且()d af x x +∞'⎰收敛，则0)(lim =+∞→x f x ．证：1）设A x f x =+∞→)(lim ．若0≠A （不妨设0A >），则由极限保号性，M a ∃>，当x M ≥时满足 于是有()()2MaAf x dx u M ≥+-⎰， 于是 而这与⎰+∞ax x f d )(收敛相矛盾，故0A =．2）不妨f 在[)+∞,a 上单调增，若f 在[)+∞,a 上无上界，则0A ∀>，M a ∃>，当x M ≥时，使A x f ≥)(．类似于1）的证明，推知⎰+∞+∞=a dx x f )(，矛盾．所以f 在[)+∞,a 上单调增而有上界，于是由单调有界定理知A x f x =+∞→)(lim 存在．依据已证得的命题1），0)(l i m =+∞→x f x ．3）由f 在[)+∞,a 上一致连续，则0,0εδ∀>∃>，（设)δε≤[),,x x a '''∀∈+∞ x x δ'''-<只要时，就有()()2f x f x ε'''-<．又因⎰+∞adx x f )(收敛，故对上述,M a δ∃>，当12,x x M >时，有212()2x x f x dx δ<⎰．现对任何x M >，取12,x x M >，且使1221,.x x x x x δ<<-=此时由 便得(),.f x x M ε<>这就证得.0)(lim =+∞→x f x4）因为()d af x x +∞'⎰收敛，则()()()lim()d lim uau u f x x f u f a →+∞→+∞'=-⎰存在，于是()lim u f u →+∞存在，由1)得证．2．()af x dx +∞⎰收敛，与|()|af x dx +∞⎰收敛，2()af x dx +∞⎰收敛的关系？答：1）因为绝对收敛⇒收敛，反之不对，条件收敛的例子都是反例，则|()|af x dx +∞⎰收敛()af x dx +∞⎰收敛．2）()af x dx +∞⎰2()af x dx +∞⎰收敛，例1+∞⎰条件收敛，但 21111sin 1cos 21cos 2222xx x dx dx dx dx x x x x+∞+∞+∞+∞-==-⎰⎰⎰⎰，112dx x +∞⎰发散，1cos 22x dx x+∞⎰发散，则21sin x dx x +∞⎰发散． 例 211dx x +∞⎰收敛，但11dx x+∞⎰发散． 3）()af x dx +∞⎰收敛2()af x dx +∞⎰收敛，例 ()2441,10,1n n x n n f x n x n n ⎧≤<+⎪⎪=⎨⎪+≤<+⎪⎩，对ε∀，总存在1M >，使当n M >时，都有41221n n nn dx n ε+=<⎰． 故但对于()2f x ，例302sin x dx x+∞⎰绝对收敛，即302sin x dx x+∞⎰收敛，因为312sin x dx x+∞⎰绝对收敛，即312sin x dx x+∞⎰收敛，而1302sin x dx x⎰，0是暇点，取12p =，则3322sin lim lim 1ppx x x x x x xx++→→==，因为112p =<收敛． 因为2133330010sin 1cos 21cos 21cos 2222x x x x dx dx dx dx x x x x+∞+∞+∞---==+⎰⎰⎰⎰， 311cos 22xdx x +∞-⎰收敛．1301cos 22x dx x -⎰，0是暇点，取1p = ，则23300141cos 22lim lim 122p p x x xx x x x x ++→→-==， 因为1p =，则发散．例 211dx x +∞⎰收敛，但11dx x+∞⎰发散． 3．()baf x dx ⎰（a 为瑕点）收敛，与|()|baf x dx ⎰收敛 ，2()baf x dx ⎰收敛的关系？答：1）|()|baf x dx ⎰收敛()baf x dx ⎰收敛．因为绝对收敛⇒收敛，反之不对，条件收敛的例子都是反例． 2）()baf x dx ⎰收敛2()baf x dx ⇒⎰收敛，()baf x dx ⎰收敛2()baf x dx ⇒⎰收敛．反例1⎰收敛，但101dx x ⎰发散．3）若2()b af x dx ⎰（a 为瑕点）收敛，则|()|baf x dx ⎰（a 为瑕点）收敛．证 因()()212f x f x +≤，则由比较原则，可得|()|b a f x dx ⎰收敛，从而()b a f x dx ⎰收敛．3．下列说法对吗？1）因为sin xx 在0没有定义，则10sin x dx x⎰是瑕积分；2）因为ln 1xx -在1x =没有定义，则1x =是10ln 1x dx x-⎰的暇点．答：若被积函数f 在点a 的近旁是无界的，这时点a 称为f 的瑕点．1）错误，因为0sin lim 1x x x +→=，则s i n xx在0的近旁有界，因此不是瑕点，10sin x dx x ⎰是定积分．若()x f 在(]b a ,上连续，()A x f ax =+→lim （常数），则()⎰badx x f 可看成正常积分，事实上，定义()()(]⎩⎨⎧∈==.,,,,b a x x f a x A x F 知()x F 在[]b a ,上连续，即()⎰badxx F 存在，而()()()⎰⎰⎰-→-→++==ba ba b adx x F dx x f dx x f εεεε00lim lim ，由于()x F 在[]b a ,上连续，知变下限函数()()⎰-=ba dx x F G εε在[]a b -,0上连续，有()()()⎰==+→ba dx x F G G 0limεε，即()().⎰⎰=b a b a dx x F dx x f 故()⎰ba dx x f 可看成正常积分。

第十一章 反常积分一、填空题 1．⎰+∞-++131xx ee dx= 2．⎰-+-31)3()1(x x dx =3．⎰+∞2)(ln kx x dx其中k 为常数，当1≤k 时，这积分 ，当1<k 时，这积分当这积分收敛时，其值为4．=++⎰+∞284x x dx5．=-+⎰∞+22)7(x x dx___________6．=+⎰∞---02)1(dx e xe x x____________二、选择填空 1． ⎰--=1121xxdx I 则（ ）A 可以令t x sin =求得⎰-=22sin ππtdt I 之值B 可从凑微分求得⎰----=11221)1(21xx d I 之值C 因被积函数在]1 ,1[-内不连续，不能直接换元D 因被积函数在]1 ,1[-内不连续，I 之值不存在 2．)(x f 在] ,[∞+a 连续c a <，则（ ） A)(dx x f a⎰+∞收敛， )(dx x f c⎰+∞也必收敛，但 )(dx x f a⎰+∞发散， )(dx x f c⎰+∞不一定发散。

B)(dx x f a⎰+∞发散， )(dx x f c⎰+∞也必发散，但 )(dx x f a⎰+∞收敛， )(dx x f c⎰+∞不一定收敛。

C )(dx x f a ⎰+∞与 )(dx x f c⎰+∞同时收敛或同时发散。

D)(dx x f a⎰+∞收敛， )(dx x f c⎰+∞必发散。

3．若xx x f 104)5(2-=-，则积分=+⎰40)12(dx x f ( ) A.0 B.4πC.是发散的广义积分D.是收敛的广义积分 4．=+⎰-222)1(x dx( )A.34-B.34C.32- D. 不存在 5．下列广义积分发散的是( )A.⎰-11sin x dx B.⎰--1121x dxC.⎰+∞-02dx e xD.⎰∞+22ln x x dx 三．计算题1．计算下列无究限积分：（1）⎰∞+12x dx ； （2）()⎰∞++12x 1x dx； （3）⎰∞+∞-++1x 2x 2dx2； （4）⎰∞+0x e dx ； （5）⎰+∞-0x dx xe 22．讨论下列无穷限积分的敛散性：（1）⎰∞++0341x dx ；（2）⎰∞+-axdx e 1x； （3）⎰∞++0x1dx ；（4）⎰∞++13dx x 1xarctgx；（5）()⎰∞+->+01a 1a dx x1x ；（6）()⎰∞+≥+0nm0n ,m dx x 1x ； （7）()⎰∞++1ndx xx 1ln ； （8）()⎰∞+3x ln ln x dx3．讨论下列非正常积分的绝对收敛与条件收敛：（1）⎰+∞02dx x sin ；（2）()dx x 1x sin sgn 02⎰∞++； （3）⎰∞++0dx x 100xcos x ；（4）()⎰∞+3xdx sin xln x ln ln 4．计算下列瑕积分的值：（1）⎰1xdx ln ； （2）⎰-1dx x1x； （3）()()()⎰≠--bab a x b a x dx5．判别下列非正常积分的敛散性：（1）()⎰-221x dx；（2）⎰123dx xx sin ；（3）⎰-104dx x1x ；（4）⎰-10dx x 1xln ； （5）⎰-103dx x 1arctgx； （6）⎰∞-0x dx x ln e ；（7）⎰1xln x dx ；（8）⎰π-20mdx xxcos 1 6．仿照无究限积分的阿贝耳判别法和狄利克雷判别法，写出瑕积分的相应判别法，并用来讨论下列非正常积分的绝对收或条件收敛：（1）⎰10dx xx 1cos ；（2）dx x x2sin e 02x sin ⎰∞+；7．计算下列瑕积分的值（其中n 为自然数）： （1）()⎰10ndx x ln ； （2）dx x1x 1n ⎰-8．求()⎰-2211dx x9．求dx ex x x-+∞∞-+⎰)(10．求⎰+∞-11x x dx11．求dx xx ⎰-2322cos 1sin ππ12．求⎰+∞∞--++dx e x x x 2)1(213．求dx x⎰-312lnπ14．判断下列广义积分的敛散性（1）dx x⎰20sin 1π（2）⎰-+-1122)1)(1(1dx x x15．判别广义积分dx x x xx ⎰∞+-03421ln 的敛散性16．计算积分⎰--23212xx dx四、证明题 1．假定⎰∞)(dx xx f 对a 取任何正值时收敛，且)(x f 为连续函数，L f =)0(，证明αββαln )()(⋅=-⎰∞L dx x x f x f a2．证明无穷限积分的性质3：若f 在任何有限区间[a ，A]上可积，且⎰+∞af 收敛，则⎰+∞af 也收敛，且⎰⎰+∞+∞≤aaf f3．证明定理10.22：设定义在[]+∞,a 上的非负函数f 与g 在任何有限区间[a ，A]上都可积。

第十一章 重积分§1 二重积分的概念1.把重积分⎰⎰D xydxdy 作为积分和的极限,计算这个积分值,其中D=[][]1,01,0⨯,并用直线网x=n i ,y=nj (i,j=1,2,…,n-1)分割这个正方形为许多小正方形,每一小正方形取其右上顶点为其界点.2.证明:若函数f 在矩形式域上D 可积,则f 在D 上有界.3.证明定理(20.3):若f 在矩形区域D 上连续,则f 在D 上可积.4.设D 为矩形区域,试证明二重积分性质2、4和7.性质2 若f 、g 都在D 上可积,则f+g 在D 上也可积,且()⎰+D g f =⎰⎰+D D g f . 性质4 若f 、g 在D 上可积,且g f ≤,则 ⎰⎰≤D Dg f , 性质7(中值定理) 若f 为闭域D 上连续函数,则存在()D ,∈ηξ,使得()D ,f f D∆ηξ=⎰. 5.设D 0、D 1和D 2均为矩形区域,且210D D D =,∅=11D int D int , 试证二重积分性质3.性质3(区域可加性) 若210D D D =且11D int D int ∅=,则f 在D 0上可积的充要条件是f 在D 1、D 2上都可积,且⎰0D f =⎰⎰+21D D f f , 6.设f 在可求面积的区域D 上连续,证明:(1)若在D 上()0y ,x f ≥,()0y ,x f ≠则0f D>⎰; (2)若在D 内任一子区域D D ⊂'上都有⎰'=D 0f ,则在D 上()0y ,x f ≡。

.7.证明:若f 在可求面积的有界闭域D 上连续,,g 在D 上可积且不变号,则存在一点()D ,∈ηξ,使得()()⎰⎰D dxdy y ,x g y ,x f =()ηξ,f ()⎰⎰Ddxdy y ,x g .8.应用中值定理估计积分⎰⎰≤-++10y x 22ycos x cos 100dxdy 的值§2 二重积分的计算1.计算下列二重积分:(1)()⎰⎰-Ddxdy x 2y ,其中D=[][]2,15,3⨯;(2)⎰⎰D2dxdy xy ,其中(ⅰ)D=[][]3,02,0⨯,(ⅱ)D=[]3,0 []2,0⨯; (3)()⎰⎰+Ddxdy y x cos ,其中D=[]π⨯⎥⎦⎤⎢⎣⎡π,02,0; (4)⎰⎰+D dx dy x y 1x ,其中D=[][]1,01,0⨯. 2. 设f(x,y)=()()y f x f 21⋅为定义在D=[]⨯11b ,a []22b ,a 上的函数,若1f 在[]11b ,a 上可积,2f 在[]22b ,a 上可积,则f 在D 上可积,且⎰D f =⎰⎰⋅1122b a b a 21f f . 3.设f 在区域D 上连续,试将二重积分()⎰⎰Ddxdy y ,x f 化为不同顺序的累次积分:(1)D 由不等式x y ≤,a y ≤,b x ≤()b a 0≤≤所确的区域:(2)D 由不等式222a y x ≤+与a y x ≤+(a>0)所确定的区域;(3)D=(){}1,≤+y x y x .4.在下列积分中改变累次积分的顺序:(1) ()⎰⎰20x 2x dy y ,x f dx ; (2) ()⎰⎰----11x 1x 122dy y ,x f dx ; (3)()⎰⎰10x 02dy y ,x f dy +()()⎰⎰-31x 3210dy y ,x f dx .5.计算下列二重积分:(1)⎰⎰D2dxdy xy ,其中D 由抛物线y=2px 与直线x=2p (p>0)所围的区域; (2)()⎰⎰+D 22dxdy y x,其中D=(){1x 0y ,x ≤≤, y x ≤ }x 2≤; (3)⎰⎰-D x a 2dx dy (a>0),其中D 为图(20—7)中的阴影部分； (4)⎰⎰Ddxdy x ,其中D=(){}x y x y ,x 22≤+; (5)⎰⎰D dxdy xy ,其中为圆域222a y x ≤+.6.写出积分()⎰⎰ddxdy y ,x f 在极坐标变换后不同顺序的累次积分:(1)D 由不等式1y x 22≤+,x y ≤,0y ≥所确定的区域;(2)D 由不等式2222b y x a ≤+≤所确定的区域;(3)D=(){}0x ,y y x y ,x 22≥≤+.7.用极坐标计算二重积分: (1) ⎰⎰+D22dxdy y x sin ,其中D=(){222y x y ,x +≤π }24π≤; (2)()⎰⎰+Ddxdy y x ,其中D=(){}y x y x y ,x 22+≤+; (3)()⎰⎰+'D22dxdy y x f ,其中D 为圆域222R y x ≤+.8.在下列符号分中引入新变量后,试将它化为累次积分:(1) ()⎰⎰--20x 2x 1dy y ,x f dx ,其中u=x+y,v=x-y;(2) ()dxdy y ,x f D⎰⎰,其中D=(){a y x y ,x ≤+,0x ≥, }0y ≥,若x=v cos U 4, v sin U y 4=.(3)()⎰⎰dxdy y ,x f ,其中D=(){a y x y ,x ≤+,0x ≥, }0y ≥,若x+y=u,y=uv.9.求由下列曲面所围立体V 的体积:(1) v 由坐标平面及x=2,y=3,x+y+Z=4所围的角柱体;(2) v 由z=22y x +和z=x+y 围的立体; (3) v 由曲面9y 4x Z 222+=和2Z=9y 4x 22+所围的立体.11.试作适当变换,计算下列积分:(1)()()⎰⎰-+Ddxdy y x sin y x ,D=(){π≤+≤y x 0y .x }π≤-≤y x 0;(2)⎰⎰+D y x y dxdy e,D=(){1y x y ,x ≤+,0x ≥,}0y ≥.12.设f:[a,b]→R 为连续函数,应用二重积分性质证明:()≤⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎰2b a dx x f ()()⎰-b a 2dx x f a b ， 其中等号仅在f 为常量函数时成立。