【真题】华中师范大学学科数学真题

华中师范大学二〇一〇年研究生入学考试试题考试科目：数学分析一、（30分）计算题1、设函数)(x f 定义在),(+∞−∞上，满足x x f x f cos )()2(=，1)0()(lim 0==→f x f x ，求)(x f ；2、设dx x a n n ∫=40tan π，求)(121+∞=+∑n n n a a n 的值.3/求曲线积分∫−+−+−Ldz y x dy x z dx z y )()()(，其中L 为平面0=++z y x 与球面1222=++z y x 相交的交线，方向从Z 轴正向看是逆时针.二、(12分)设0,)(>=ααx x f ，证明：当10≤≤α时，)(x f 在),0(+∞上一致连续；当1>α时，)(x f 在),0(+∞上不一致连续.三、（12分）证明含参量x 的反常积分dy yxy ∫+∞0sin 在),[+∞δ上一致收敛（其中0>δ），但在),0(+∞内不一致收敛.四、（20分）设函数)(x f 在],[b a 上连续，在),(b a 内二阶可导，且过点))(,(a f a 和))(,(b f b 的直线与曲线)(x f y =相交于))(,(c f c ，其中b c a <<，证明：存在),(b a ∈ξ，使得0)(''=ξf .五、（20分）设可微函数列)}({x f n 在],[b a 上逐点收敛，且对任意],[b a x ∈，存在x 的领域)(x U ，使得)}({'x f n 在],[)(b a x U ∩上一致有界，证明：1、)}({'x f n 在],[b a 上一致有界；2、)}({x f n 在],[b a 上一致收敛.六、（20分）设⎩⎨⎧=+≠++=0,00),ln(),(222222y x y x y x xy y x f ，讨论),(y x f 在原点)0,0(处的连续性，偏导数的存在性以及可微性.七、(20分)已知)(x f 是),0[+∞上的正值连续函数，且+∞<∫+∞dx x f 0)(1，证明：1、存在数列),0[+∞∈n x ,...)2,1(=n 满足：}{n x 严格单调递增，+∞=∞→n n x lim ，+∞=∞→)(lim n n x f ；2、−∞=∫+∞→x x dt t f x 02)(1lim 八、（16分）已知),,(z y x f 和),,(z y x g 在1:222≤++z y x V 上具有二阶连续的偏导数，记222222zy x ∂∂+∂∂+∂∂=∆，,,(z y x ∂∂∂∂∂∂=∇.1、证明：dxdydz f g dS n f gdxdydz f g VS V ∫∫∫∫∫∫∫∫∆−∂∂=∇∇)()·(，其中n 表示S 的外法线方向，S 为球面1222=++z y x ；2，若222z y x f ++=∆，试计算：dxdydz z f z y x z y f z y x y x f z y x x I V ∫∫∫∂∂+++∂∂+++∂∂++=(222222222。

华 中 师 范 大 学2004年研究生入学考试试题（高等代数）1（15）设12,,n a a a …是数域P 上n 个不同的数，解线形方程组12112222221122111111221n n n n n n n n n n n n n n x x x a x a x a x aa x a x a x a a x a x a x a ----+++=⎧⎪+++=⎪⎪+++=⎨⎪⎪⎪+++=⎩2、（15）设P 是数域，n nA P ⨯∈，3()21m x xx =++是A 的最小多项式，求1A -。

3、（20）设P 是数域，12()(,,,)n nij nA a P ααα⨯==∈，nn a 的代数余子式0nn A ≠， 1）证明12,,,n ααα线形无关；2）当|A|=0时，求线形方程组A*x=0的基础解系，其中A*是A 的伴随矩阵地。

4、（30）设P 是数域，12{|'},{|n n n n V A P A A V B P B ⨯⨯=∈==∈是上三角矩阵}，1） 证明12,V V 都是n n P ⨯的子空间；2） 证明1212,n n n nP V V P V V ⨯⨯=+≠⊕。

5、（30）设p(x)是数域P 上的不可约多项式，α是 p(x)的复根 1）证明p(x)的常数项不等于零；2）证明对任意正整数m,m(p(x),x )1=; 3)设3p(x)=x 22x -+,求51α6、（20）设n 元实二次型12(,,,)'n f x x x x Ax =经过正交线形替换x Qy =（其中Q 是正交矩阵）化为222212323n y y y ny ++++，证明： 1） A 的特征值是1，2，3,…，n;2） 存在正定矩阵B 使得2A B =。

7、（20）设A 是数域P 上n 维线形空间V 的线形变换，V α∈，1()0,0n n A A α-≠=，证明：1）21,(),(),,()n A A A αααα-是V 的基； 2）设W 是A 的不变子空间，121,,,,0n a a a P a ∈≠并且存在向量21123()()()n n a a A a A a A W βαααα-=++++∈，则W=V 。

华中师范⼤学学科教学数学考研复试试卷华中师范⼤学⼆零⼀三年硕⼠研究⽣复试试题⼀、名词解释（每个题4分，共20分）接受学习有意义学习同化运算能⼒⼼智技能⼆、简单题（每个题10分，共40分）1.对于函数的概念，在义务教育阶段已经给出了“变量说”的函数的定义，为什么在⾼中阶段⼜以“对应说”重新对函数的概念进⾏定义？这样的教学安排体现了哪⼀教学原则的要求？2.命题2320x x -+=“的根是12x x ==或”是简单命题还是复合命题？为什么？3.请以“四边形”作为属概念，选择不同的种差，⾄少给出“平⾏四边形”三种不同的定义。

4.在数学概念教学中，数学概念引⼊的途径主要有那些？三、论述题（每题20分，共40分）1.数学教学⽬的即回答“为什么要学数学”，不同的⼈对此可能做出不同的回答，以下是⼏种有代表性的回答：（1）“数学是有⽤的”。

俗话说“学了语⾔会写信，学了数学会算账”.（2）“数学能训练⼈的思维”。

⼀句名⾔说“数学是思维的体操”。

（3）“数学是升学的主课”。

常⾔道“数学是筛选⼈才的过滤器”。

请结合实际对以上三种回答作出⼀定的评价，并就此论述⼀下⾃⼰的观点。

⼀、数学教育⽬标的确定（⼀）数学教育的基本功能思考与讨论：“为什么要学习数学”？可能回答是：答案A ：“数学有⽤”。

俗话说：“学了语⽂会写信，学了数学会算帐。

”答案B ：“数学能训练⼈的思维”。

⼀句名⾔说：“数学是思想的体操。

”答案C ：“数学是升学的主课”。

常⾔道：“数学是筛选⼈才的过滤器”。

这是很有代表性的关于数学教育⽬标的回答。

代表着三种对数学教育功能的不同看法：1、实⽤性功能。

强调数学教育的实⽤性⽬标。

2、思维训练功能。

强调数学教育的思维训练和公民素质养成的⽬标。

3、选拔性功能。

强调数学教育在选拔⼈才中的特殊⽬标。

对于“教育⽬标”这个词，许多教育⽂件和论著都会提到，但提法却并⾮⼀致。

⽆论“教育⽬标”，还是“教学⽬标”，“课程⽬标”，提法上⼤同⼩异。

考试复习重点资料（最新版）资料见第三页封面第1页温馨提示提示：本套资料经过精心编排，前2页是封面和提示部分，后面是资料试题部分。

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第2页目录1华中师范大学2009年研究生入学考试试题高等代数4 2华中师范大学2010年研究生入学考试试题高等代数5 3华中师范大学2011年研究生入学考试试题高等代数6 4华中师范大学2012年研究生入学考试试题高等代数7 5华中师范大学2013年研究生入学考试试题高等代数9 6华中师范大学2014年研究生入学考试试题高等代数11 7华中师范大学2015年研究生入学考试试题高等代数12 8华中师范大学2016年研究生入学考试试题高等代数13 9华中师范大学2017年研究生入学考试试题高等代数15 10华中师范大学2009年研究生入学考试试题数学分析17 11华中师范大学2010年研究生入学考试试题数学分析19 12华中师范大学2011年研究生入学考试试题数学分析21 13华中师范大学2012年研究生入学考试试题数学分析23 14华中师范大学2013年研究生入学考试试题数学分析25 15华中师范大学2014年研究生入学考试试题数学分析27 16华中师范大学2015年研究生入学考试试题数学分析29 17华中师范大学2016年研究生入学考试试题数学分析31 18华中师范大学2017年研究生入学考试试题数学分析331.(20分)设a1,¨¨¨,a n是n个复数,x是复变元.求解:x取哪些复数值时下述等式(等式左边是n`1阶行列式)成立:ˇˇˇˇˇˇˇˇˇˇˇˇˇ111¨¨¨1x a1a2¨¨¨a nx2a21a22¨¨¨a2n............x n a n1a n2¨¨¨a n nˇˇˇˇˇˇˇˇˇˇˇˇˇ“0.2.(20分)设f p x q是n次实系数多项式,ną1.设f1p x q是f p x q的导数多项式.证明:(1)如果r是f p x q的m重根,mą0,则r是f1p x q的m´1重根(若r是f p x q的零重根则表示r不是f1p x q的根).(2)如果f p x q的根都是实数,则f1p x q的根也都是实数.3.(20分)设A是秩为r的mˆn阶矩阵,B是非零的mˆ1阶矩阵.考虑线性方程组AX“B,其中X是变元x1,¨¨¨,x n的列向量.证明:(1)线性方程组AX“B的任意有限个解向量X1,¨¨¨,X k的向量组的秩ďn´r`1.(2)若线性方程组AX“B有解,则它有n´r`1个解向量是线性无关的.4.(30分)设A,B,C都是n阶方阵,令˜A BC0¸是分块构成的2n阶方阵,其中右下块0表示n阶零方阵.(1)证明:rank ˜A BC0¸ěrank p B q`rank p C q.这里rank p B q表示矩阵B的秩.(2)举例说明:p1q中的等号和不等号都可能成立.5.(30分)设V是有限维向量空间,设U,W是V的两个子空间.(1)什么是U与W的和子空间U`W?请叙述关于U`W的维数公式.(2)证明关于和子空间的维数公式.6.(30分)设A为n阶实矩阵,λi“r`si是A的特征根,其中r,s是实数,i是虚数单位.(1)证明:12p A`A1q的特征根都是实数,令µ1﨨¨ďµn是12p A`A1q的全部特征根.(2)证明:µ1ďrďµn.(3)你有类似的估计s的办法吗?1.(20分)设F是任意数域,p p x q P F r x s.证明:p p x q是不可约多项式当且仅当p p x q是素多项式.2.(20分)(1)设A是n阶方阵,E是单位矩阵,k‰0.证明:A2“kA当且仅当rank p A q`rank p A´kE q“n.(2)证明:任意方阵可以表示为满秩矩阵和幂等矩阵的乘积.3.(20分)设R表示实数域,V“M3p R q表示所有3ˆ3实矩阵构成的向量空间.对给定的A P M3p R q,定义V上的线性变换A:VÑV为A pB q“AB´BA,对任意的B P M3p R q.设A“¨˚˝000010002˛‹‚.求A的特征值和相应的特征子空间;并求此时A的极小多项式.4.(30分)设有三元实二次型f p x,y,z q“x2`3y2`z2`4xz.并设x,y,z满足x2`y2`z2“1.试求f的最大值和最小值,并求当x,y,z取什么值时,f分别达到最大值和最小值.5.(30分)设R是实数域,V“C1r0,1s是闭区间r0,1s上的实连续可微函数的集合.V在函数的加法和数乘函数的运算下是一个向量空间.(1)证明函数f p x q“cos x,g p x q“2x,h p x q“e x在V中线性无关.(2)任意给定ną0,在V中找出n`1个线性无关的元素,并证明你的结论.(3)对某个m,是否有V和R m同构,如果是,给出证明;如果不是,说明理由.6.(30分)(1)设A和B均为n阶复方阵,证明:A与B相似当且仅当作为λ´矩阵,有λE´A等价于λE´B.(2)设A,B都是3阶幂零矩阵,证明:A相似于B当且仅当A与B有相同的极小多项式.(3)试说明上述结论p2q对4阶幂零矩阵是否成立,为什么?。

华中师范大学数学分析考研真题以上是01年数分2003年数学分析（综合卷）1.(16)求下列极限：(1))/1(2)!(lim n n n +∞→. (2))(x f 在]1,1[-上连续，恒不为0，求131sin )(1lim 30--+→x x x x f2.(15)设)(x f 在],[b a 上二阶可导,过点))(,(a f a A 与))(,(b f b B 的直线与曲线)(x f y =相较于))(,(c f c C ,其中b c a <<,证明:在),(b a 中至少存在一点ξ,使0)(=''ξf .3.(15) 证明:x x n n 21ln ∑∞=在]1,0(上一致收敛.4.(15) 设))}({(x f n 是],[b a 上的函数序列,满足对每一个],[b a x ∈导函数)(x f n '存在),2,1( =n 并且满足下列条件:(1)存在某一个],[0b a x ∈,使))}({(0x f n 收敛；(2)导函数列)}({x f n '在],[b a 上一致收敛. 证明: )}({x f n 在],[b a 上一致收敛.5.(14)设)(x f 在],[b a 上可导,其导函数)(x f '在],[b a 可积,对任意的自然数n .记⎰∑---+==b a ni n dx x f n a b n a b i a f )()(1σ , 证明:)]()([2lim a f b f a b n n n --=+∞→σ.2004年数学分析1.求下列极限(共50分,第1,2小题各10分,第3,4小题各15分)(1)21sin 0lim(cos )x x x → (2)11lim 123n n →∞+++1…+n (3)74444lim (112)x x x x x →∞++-- (4)1limsin (sin)2n n k k n nππ→∞=∑ 2.(15)设)(),(x g x f 在],[b a 上连续,在),(b a 内可导,若12,x x 是)(x f 在区间],[b a 上的两个零点，证明：存在[,]a b ξ∈，使得'()()'()0f f g ξξξ+=3.(15)设)(x f 在)0](,[>>a b b a 上连续,在),(b a 内可导,证明:在),(b a 内存在,ξη使b a f f ⋅'⋅=')()(2ηηξ.4.(15)设)(x f 在],[b a 上黎曼可积,证明:()f x e 在],[b a 上也是黎曼可积的.5.(15)'()(1,2,3,n f x n =…）在],[b a 上连续,函数)(x g 在],[b a 上也连续,且对],[b a 中任意的12,x x 和正整数n ,有1212|()()|||n n M f x f x x x n -≤-(0>M ),证明:lim ().'()0b n n a g x f x dx →+∞=⎰. 6.(15)设()n f x ( ,2,1=n )在],[b a 上连续,且{()}n f x 在],[b a 上一致收敛与)(x f .证明:(1)存在0>M ,使对任何自然数n ,有|()|,|()|n f x M f x M ≤≤及. (2)若)(x F 为-∞+∞（，）上连续函数,则(())n F f x 一致收敛于))((x f F .7.(10)设函数)(x f 在闭区间]1,1[-上具有三阶连续导数,且0)0(,1)1(,0)1(='==-f f f ,证明:在)1,1(-内至少存在一点ξ,使得(3)()3fξ=.8.(15)函数),(y x F 在点00(,)x y 的某个邻域内有连续的二阶偏导数,且00000000(,)0,'(,)0,'(,)0,''(,)0x y xx F x y F x y F x y F x y ==><,证明:由方程),(y x F 确定的隐函数()y f x =在0x 点取得极小值. 2005年数学分析1.求下列极限或指定函数的值:(1)1!2!3!!lim !n n n →∞++++ (10分) (2)135(21)lim 2462n n n n →∞- (10分) (3)1326lim[().1]2x x x x x e x →+∞-+-+(10分) (4)设)(x f 在0=x 的邻域二阶可导,且130()lim(1)x x f x x e x →++=,求(0),'(0),''(0)f f f 的值.(15分) 2.(15)设函数)(),(x g x f 在],[b a 上可导,且在),(b a 上'()0g x ≠,证明:存在)()'()(,)()()'()f a f f a bg g b g ξξξξξ-∈=-(使. 3.(15)设函数()f x 在]4,2[上有连续的一阶导函数,且(2)(4)0f f ==,证明：4242max |'()||()|x f x f x dx ≤≤≥⎰. 4.(13)设有方程.sin (01)x m q x q =+<<.若0101,.sin ,,sin ,,n n x m x m q x x m q x +==+=+ 证明:{}n x 收敛; 设lim n n x l →+∞=,再证明l 是方程.sin x m q x =+的唯一解. 5.(13)证明:函数项级数11((1))x n n x e n n ∞=-+∑在任何有穷区间[,]a b 上一致收敛. 6.(13)设()f x 在[,]a b 上二阶可导,且''()0f x >,证明:1()()2ba ab f f x dx b a +≤-⎰. 7.(13)设12,,,,n a a a 均为常数,证明:函数项级数101..!x n t n n a t e dt n ∞-=∑⎰在[,]a b 上一致收敛. 8.(13)设()f x 在[,]a b 上黎曼可积，()0,f x c ≥≥用可积准则证明：函数ln ()f x 在[,]a b 上黎曼可积.9.(10)设()f x 在[,]a b 上具有连续的二阶导数,证明:在(,)a b 内存在ξ,使得31()()()().''()224ba ab f x dx b a f b a f ξ+=-+-⎰ 2006年数学分析 1.(30) (1)111sin )1(sin lim 121----→x x e x x . (2) 设x x a x y +=,求y '. (3) dx x x ⎰+ln 1ln ln . (4)设yx y x y x f y arcsin )1(),(2-+=,求)1,(x f x '.(5)dxdy e y x y xD 22)(+⎰⎰+,其中}1),{(22≤+=y x y x D . (6) 求⎰-=Lydx ydy x I cos sin ,其中L 是从点)0,0(O 到点)0,(πA 的正弦曲线有x y sin =. 2.(20)设)(x f 在(,)a +∞上可导,且'()f x 在(,)a +∞上有界,证明:(1) )(x f 在(,)a +∞上一致连续. (2)()lim ()lim ()x x a f a f x f x ++→∞→=存在，但不一定存在. (3)若)(lim x f x +∞→存在，且)(lim )(lim x f x f ax x +→+∞→=，则)(x f '在(,)a +∞上至少有一个零点。

1.(36)计算题: (1) n n n n n n)12()1(1lim -+∞→ (2)dxdydz z y x t t z y x t ⎰⎰⎰≤++→+++22222224sin 1lim (3) 求曲线积分⎰+-Ly x ydxxdy 229,其中L 为平面内任意一条不经过原点的正向光滑封闭简单曲线.2.(15)设函数)(x f 在),0[+∞上具有连续的导函数,且)(lim x f x '∞→存在有限,10<<α,是一个常数,证明:)(αx f 在),0[+∞上一致连续.3.(15)设)(x f 和)(x g 在],[b a 上连续且在),(b a 内可导,试证:在),(b a 内存在点ξ,使得)()]()([)()]()([ξξf a g b g g a f b f '-='-.4.(20)证明:函数项级数∑∞=-=1)(n nx ne x f 在),0(+∞上收敛,但不一致收敛,而和函数)(x f 在),0(+∞上可以任意次求导.5.(20)证明:方程)sin(2xy y x =+在原点的某个邻域内可以唯一确定隐函数)(x f y =,并)0(y '计算的值.6.(14)证明:若函数)(x f 在],[b a 上无界,则必存在],[b a 上的某点,使得)(x f 在该点的任何邻域内无界.7.(12)设函数u 在),0[+∞上连续可微且+∞<'+⎰dx x u x u ))()((22,试证:(1)存在),0[+∞中的子列∞=1}{n n x 使得当∞→n 时, +∞→n x 且0)(→n x u(2)存在某常数0>C ,使得2122},0[)))()((()(sup dx x u x u C x u x ⎰∞++∞∈'+≤8.(18)设3R ⊂Ω为有界闭区域,且具有光滑边界+∞<<Ω∂T 0,.(1)设v u ,是Ω上具有连续二阶偏导数的函数,试证:dS n u v dxdydz v u dxdydz u v ⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰Ω∂ΩΩ∂∂+∇∇-=∆,其中222222z u y u x u u ∂∂+∂∂+∂∂=∆,u ∇为u 的梯度, n u∂∂为u 沿区域的边界的外法向n的方向导数;(2)设),,,(t z y x u 在),0[T ⨯Ω上具有连续一阶偏导数,试证:),0[,),,,(),,,(T t dxdydz t z y x t udxdydz t z y x u dt d ∈∀∂∂=⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΩΩ;(3)设),,,(t z y x u 在),0[T ⨯Ω上具有连续二阶偏导数且满足3u u tu+∆=∂∂若u 在 ),0[T ⨯Ω上恒为零记2222)()()(z u y u x u u ∂∂+∂∂+∂∂=∇,试证dxdydz u u t E ⎰⎰⎰Ω-∇=)4121()(42在),0[T 上是减函数.1.(30)计算题: (1)1)1()]ln 1cos[sin()sin(lim 0-++→βαx x x x (2) 计算二重积分dxdy y yD⎰⎰sin ,其中D 是由0,1,===x y x y 围成的区域.(3) 求曲线积分⎰-+----C y x dxy dy x 22)2()1(4)2()1(其中C 为平面内任意一条不经过点)2,1(得正向光滑封闭简单曲线2.(12)设函数)(x f 定义在开区间),(b a 内,若对任意的),(b a c ∈,都有)(lim x f cx →存在,且)(lim x f ax +→和)(lim x f bx +→也存在，则)(x f 在开区间),(b a 内有界.3.(12)证明:含参量反常积分dy xe xy ⎰+∞-0在),[+∞δ上一致收敛)0(>δ,但在),0(+∞内不一致收敛.4.(20)设函数)(x f 在]1,0[上连续,在)1,0(内可微,且存在0>M ,使得M x x f x f x x 2)()(),1,0(<-'∈∀,证明: (1)xx f )(在]1,0[内一致连续. (2))(lim 0x f x +→存在.5.(20)证明下面结论: (1)若)(x f 在]1,0[上连续,则⎰=∞→10)(lim dx x f x n x . (2)若)(x f 在]1,0[上连续可微,则⎰=∞→1)1()(lim f dx x f x n n n .6.(18)设⎪⎩⎪⎨⎧=+≠+++=0 , 00,sin ),(222222222y x y x y x y x y x y x f ,讨论),(y x f 在原点)0,0(处的连续性,偏导的存在性以及可微性.7.(20)设函数列)}({x f n 中的每一项函数)(x f n 都是],[b a 上的单调函数,试证明:(1)若∑∞=1)(n n a f 和∑∞=1)(n n b f 都绝对收敛,则∑∞=1)(n n x f 在],[b a 上一致收敛.(2)若每一项函数)(x f n 的单调性相同,且∑∞=1)(n n a f 和∑∞=1)(n n b f 都收敛，则在上一致收敛.8.(18)设f 连续,证明:(1)证明:⎰⎰⎰⎰--=Vdx x x f dxdydz z f 112)1)(()(π,其中1:222≤++z y x V .(2)记函数dxdydz cz by ax f c b a F V⎰⎰⎰++=)(),,(,其中1:222≤++z y x V ,证明:球面1222=++c b a 为函数),,(c b a F 的等值面,即),,(c b a F 在球面1222=++c b a 上恒为常数,并求出此常数.2010年数学分析1.(30)计算题: (1)设函数)(x f 定义在),(+∞-∞上,满足:1)0()(lim ,cos )()2(0===→f x f x x f x f x ,求)(x f . (2)设⎰=40tan πxdx a nn ,求)(121+∞=+∑n n n a a n的值.(3) 求曲线积分dz y x dy x z dx z y L)()()(-+-+-⎰,其中L 为平面0=++z y x 与球面1222=++z y x 相交的交线,方向从z 轴正向看是逆时针的.2.(12)设0,)(>=ααx x f ,证明:当10≤<α时, )(x f 在),0(+∞上一致连续; 当1>α时, )(x f 在),0(+∞上不一致连续.3.(12)证明:含参量x 反常积分dy xe xy ⎰+∞-0在),[+∞δ上一致收敛)0(>δ,但在),0(+∞内不一致收敛.4.(20)函数)(x f 在],[b a 上连续,在),(b a 内二阶可导,且过点))(,(a f a 和))(,(b f b 的直线与曲线)(x f y =相交于点))(,(c f c (b c a <<),证明:存在),(b a ∈ξ,使得0)(=''x f .5.(20)设可微函数列)}({x f n 在],[b a 上逐点收敛,且对任意],[b a x ∈存在x 的邻域)(x U ,使得)}({x f n '在],[)(b a x U ⋂上一致有界,证明:(1))}({x f n '在]1,0[上一致有界. (2))}({x f n 在]1,0[上一致收敛.6.(20)设⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++=0, 00),ln(),(222222y x y x y x xy y x f ,讨论),(y x f 在原点)0,0(处的连续性,偏导的存在性以及可微性. 7.(20)已知)(x f 是),0[+∞上的正值连续函数,且+∞<⎰+∞dx x f 0)(1,证明: (1)存在数列),2,1)(,0[ =+∞∈n x n 满足:}{n x 严格单调递增,+∞=+∞=∞→∞→)(lim ,lim n n n n x f x . (2)+∞=⎰+∞→dt t f xxx 02)(1lim .8.(16)已知),,(z y x f 和),,(z y x g 在1:222≤++z y x V 上具有二阶连续的偏导数,记z y x zy x ∂∂+∂∂+∂∂=∇∂∂+∂∂+∂∂=∆,222222(1)证明:⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰∇⋅-∂∂=∇⋅∇VVSdxdydz f g dS n fgdxdydz f g )()(,其中n 表示S 的外法线方向,S 为球面1222=++z y x .(2)若222z y x f ++=∆,试计算:dxdydz z fzy x z y f z y x y x f z y x xI V)(222222222∂∂+++∂∂+++∂∂++=⎰⎰⎰.。

2004年数学分析1.求下列极限(共50分,第1,2小题各10分,第3,4小题各15分)(1)21sinlim(cos )xx x →(2)n(3)74lim x x →∞- (4)1lim sin(sin)2nn k k n nππ→∞=∑ 2.(15)设)(),(x g x f 在],[b a 上连续,在),(b a 内可导,若12,x x 是)(x f 在区间],[b a 上的两个零点，证明：存在[,]a b ξ∈，使得'()()'()0f f g ξξξ+=3.(15)设)(x f 在)0](,[>>a b b a 上连续,在),(b a 内可导,证明:在),(b a 内存在,ξη使ba f f ⋅'⋅=')()(2ηηξ.4.(15)设)(x f 在],[b a 上黎曼可积,证明:()f x e在],[b a 上也是黎曼可积的.5.(15)'()(1,2,3,n f x n =…）在],[b a 上连续,函数)(x g 在],[b a 上也连续,且对],[b a 中任意的12,x x 和正整数n ,有1212|()()|||n n Mf x f x x x n -≤-(0>M ),证明:lim ().'()0bn n ag x f x dx →+∞=⎰.6.(15)设()n f x ( ,2,1=n )在],[b a 上连续,且{()}n f x 在],[b a 上一致收敛与)(x f .证明:(1)存在0>M ,使对任何自然数n ,有|()|,|()|n f x M f x M ≤≤及. (2)若)(x F 为-∞+∞（，）上连续函数,则(())n F f x 一致收敛于))((x f F .7.(10)设函数)(x f 在闭区间]1,1[-上具有三阶连续导数,且0)0(,1)1(,0)1(='==-f f f ,证明:在)1,1(-内至少存在一点ξ,使得(3)()3fξ=.8.(15)函数),(y x F 在点00(,)x y 的某个邻域内有连续的二阶偏导数,且00000000(,)0,'(,)0,'(,)0,''(,)0x y xx F x y F x y F x y F x y ==><,证明:由方程),(y x F 确定的隐函数()y f x =在0x 点取得极小值.2005年数学分析1.求下列极限或指定函数的值:(1)1!2!3!!lim !n n n →∞++++(10分) (2)lim 62n n→∞(10分)(3)132lim [().2x x x x x e →+∞-+(10分) (4)设)(x f 在0=x 的邻域二阶可导,且130()lim(1)x x f x x e x→++=,求(0),'(0),''(0)f f f 的值.(15分) 2.(15)设函数)(),(x g x f 在],[b a 上可导,且在),(b a 上'()0g x ≠,证明:存在)()'()(,)()()'()f a f f a bg g b g ξξξξξ-∈=-(使.3.(15)设函数()f x 在]4,2[上有连续的一阶导函数,且(2)(4)0f f ==,证明：4242max |'()||()|x f x f x dx ≤≤≥⎰.4.(13)设有方程.sin (01)x m q x q =+<<.若0101,.sin ,,sin ,,n n x m x m q x x m q x +==+=+证明:{}n x 收敛; 设lim n n x l →+∞=,再证明l 是方程.sin x m q x =+的唯一解.5.(13)证明:函数项级数11((1))x nn x e nn ∞=-+∑在任何有穷区间[,]a b 上一致收敛.6.(13)设()f x 在[,]a b 上二阶可导,且''()0f x >,证明:1()()2baa b f f x dx b a +≤-⎰. 7.(13)设12,,,,n a a a 均为常数,证明:函数项级数101..!xn t n n a t e dt n ∞-=∑⎰在[,]a b 上一致收敛. 8.(13)设()f x 在[,]a b 上黎曼可积，()0,f x c ≥≥用可积准则证明：函数ln ()f x 在[,]a b 上黎曼可积.9.(10)设()f x 在[,]a b 上具有连续的二阶导数,证明:在(,)a b 内存在ξ,使得31()()()().''()224baa b f x dx b a f b a f ξ+=-+-⎰2006年数学分析1.(30) (1)111sin)1(sin lim121----→x x e x x . (2) 设x x a x y +=,求y '. (3)dx xx ⎰+ln 1ln ln . (4)设yx y x y x f y arcsin)1(),(2-+=,求)1,(x f x '. (5)dxdy e y x y xD22)(+⎰⎰+,其中}1),{(22≤+=y x y x D . (6) 求⎰-=Lydx ydy x I cos sin ,其中L 是从点)0,0(O 到点)0,(πA 的正弦曲线有x y sin =.2.(20)设)(x f 在(,)a +∞上可导,且'()f x 在(,)a +∞上有界,证明:(1) )(x f 在(,)a +∞上一致连续.(2)()lim ()lim ()x x af a f x f x ++→∞→=存在，但不一定存在.(3)若)(lim x f x +∞→存在，且)(lim )(lim x f x f ax x +→+∞→=，则)(x f '在(,)a +∞上至少有一个零点。

华中师范考研真题答案解析考研是许多大学毕业生为了进一步深造而选择的途径之一。

而华中师范大学则是考研人士瞩目的一所重点高校。

在考研的道路上，备考者总是期望能够获得真题及其答案的解析，以帮助他们更好地准备考试。

因此，今天我们将为大家提供一些华中师范考研真题的答案解析。

在过去的几年里，华中师范大学的考研数学试题一直以难度偏大而著称。

因此，数学科目往往成为考生备考的重中之重。

让我们以数学试题为例，来分析一下如何解答这些考研真题。

首先，我们来看一道典型的华中师范考研数学试题：1.已知函数f(x) = (x - 1)^2 (x - 2)(x - 3)，则 f(x) 的驻点是A. {1, 2, 3}B. {1, 3}C. {2, 3}D. {1, 2}答案解析：首先，我们可以将函数 f(x) 展开得到 f(x) = x^4 - 6x^3 + 11x^2 - 6x + 2。

驻点即为函数的导数为零的点。

我们对 f(x) 求导数得到 f'(x) = 4x^3 - 18x^2 + 22x - 6。

然后，我们令 f'(x) = 0，通过分解因式得到 (2x - 3)(2x^2 - 5x + 2) = 0。

解方程组可得 x = 3/2，或者 x = 1/2，或者 x = 2。

因此，该题的答案为 A. {1, 2, 3}。

通过这道题目的解析，我们可以看到，华中师范考研数学试题注重考察对基础知识的掌握和运用能力。

同时，这种题目也要求考生具备一定的逻辑思维和推理能力。

除了数学，华中师范考研还包括其他学科，比如英语、政治、专业课等。

这些学科的试题类型各有特点，解题方法也会有所不同。

例如，在英语科目中，阅读理解题通常是考生们认为比较困难的部分。

解答这类题目时，我们需要注意以下几点：1. 使用排除法：对于多选题，可以使用排除法来缩小答案范围。

通过排除那些与文中信息不符或者明显错误的选项，可以增加正确答案的概率。

2. 理解上下文：考生需要能够理解和把握文章的上下文，从而推测出正确答案。

华中师范大学新2025届高三最后一模数学试题考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。

2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。

3．考生必须保证答题卡的整洁。

考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．关于圆周率π，数学发展史上出现过许多很有创意的求法，如著名的浦丰实验和查理斯实验．受其启发，我们也可以通过设计下面的实验来估计π的值：先请全校m 名同学每人随机写下一个都小于1的正实数对(),x y ；再统计两数能与1构成钝角三角形三边的数对(),x y 的个数a ；最后再根据统计数a 估计π的值，那么可以估计π的值约为（ ）A ．4amB ．2a m+ C ．2a mm+ D ．42a mm+ 2．直线经过椭圆的左焦点，交椭圆于两点，交轴于点，若，则该椭圆的离心率是（） A ．B ．C ．D ．3．定义：{}()()N f x g x ⊗表示不等式()()f x g x <的解集中的整数解之和.若2()|log |f x x =，2()(1)2g x a x =-+，{}()()6N f x g x ⊗=，则实数a 的取值范围是A ．(,1]-∞-B ．2(log 32,0)-C ．2(2log 6,0]-D ．2log 32(,0]4- 4．要得到函数1cos 2y x =的图象，只需将函数1sin 223y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象上所有点的（ ）A ．横坐标缩短到原来的12（纵坐标不变），再向左平移3π个单位长度B ．横坐标缩短到原来的12（纵坐标不变），再向右平移6π个单位长度C ．横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向左平移6π个单位长度 D ．横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向右平移3π个单位长度 5．已知双曲线22221(0)x y a b a b-=>>的右焦点为F ，过F 的直线l 交双曲线的渐近线于A B 、两点，且直线l 的倾斜角是渐近线OA 倾斜角的2倍，若2AF FB =，则该双曲线的离心率为（ ）A ．324B ．233C ．305D ．526．已知向量a ，b ，b =(1，3)，且a 在b 方向上的投影为12，则a b ⋅等于（ ） A ．2B ．1C ．12D ．07．已知31(2)(1)mx x--的展开式中的常数项为8，则实数m =（ ）A ．2B ．-2C ．-3D ．38．已知函数2(0)()ln (0)x x f x x x ⎧≤=⎨>⎩，且关于x 的方程()0f x x a +-=有且只有一个实数根，则实数a 的取值范围（ ）． A ．[0,)+∞B ．(1,)+∞C ．(0,)+∞D ．[,1)-∞9．已知直线y ＝k （x ﹣1）与抛物线C ：y 2＝4x 交于A ，B 两点，直线y ＝2k （x ﹣2）与抛物线D ：y 2＝8x 交于M ，N 两点，设λ＝|AB |﹣2|MN |，则（ ） A ．λ＜﹣16B ．λ＝﹣16C ．﹣12＜λ＜0D ．λ＝﹣1210．设12,F F 分别是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左右焦点若双曲线上存在点P ，使1260F PF ∠=︒，且122PF PF =，则双曲线的离心率为（ ） A ．3B ．2C ．5D ．611．2019年某校迎国庆70周年歌咏比赛中，甲乙两个合唱队每场比赛得分的茎叶图如图所示（以十位数字为茎，个位数字为叶）.若甲队得分的中位数是86，乙队得分的平均数是88，则x y +=（ ）A ．170B ．10C ．172D ．1212．执行如图所示的程序框图，若输出的值为8，则框图中①处可以填（ ）．A ．7?S ≥B ．21?S ≥C ．28?S ≥D ．36?S ≥二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。