九年级矩形培优作业

初中数学9年级上册同步培优专题题库（北师大版）专题1.2 矩形的性质与判定姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________注意事项：本试卷满分100分，考试时间45分钟，试题共25题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（2020春•武汉期中）如图，公路AC ，BC 互相垂直，公路AB 的中点M 与点C 被湖隔开．测得AB 的长为1.6km ，则M ，C 两点间的距离为（ ）A ．0.5kmB ．0.6kmC ．0.8kmD ．1.2km【分析】利用直角三角形斜边上的中线等于斜边一半的性质即可求解．【解析】由题意可知，△ABC 中，∠ACB ＝90°，M 是AB 的中点，∴MC =12AB =12×1.6＝0.8（km ）． 故选：C ．2．（2020春•东湖区校级期中）如图，点P 是矩形ABCD 的对角线AC 上一点，过点P 作EF ∥BC ，分别交AB ，CD 于E 、F ，连接PB 、PD ．若AE ＝2，PF ＝6，则图中阴影部分的面积为（ ）A ．10B ．12C ．16D ．18【分析】由矩形的性质可证明S △PEB ＝S △PFD ，即可求解．【解析】作PM ⊥AD 于M ，交BC 于N ．则有四边形AEPM ，四边形DFPM ，四边形CFPN ，四边形BEPN 都是矩形，∴S △ADC ＝S △ABC ，S △AMP ＝S △AEP ，S △PBE ＝S △PBN ，S △PFD ＝S △PDM ，S △PFC ＝S △PCN ，∵MP ＝AE ＝2∴S △DFP ＝S △PBE =12×2×6＝6， ∴S 阴＝6+6＝12，故选：B ． 3．（2020春•江阴市期中）已知：如图，矩形ABCD 中，AB ＝5，BC ＝12，对角线AC 、BD 相交于点O ，点P 是线段AD 上任意一点，且PE ⊥AC 于点E ，PF ⊥BD 于点F ，则PE +PF 等于（ ）A ．6013 B ．5013 C ．185 D ．125【分析】首先连接OP ．由矩形ABCD 的两边AB ＝5，BC ＝12，可求得OA ＝OD =132，然后由S △AOD ＝S △AOP +S △DOP 求得答案．【解析】连接PO ，∵矩形ABCD 的两边AB ＝5，BC ＝12，∴S 矩形ABCD ＝AB •BC ＝60，OA ＝OC ，OB ＝OD ，AC ＝BD ，AC =√AB 2+BC 2=√122+52=13， ∴S △AOD =14S 矩形ABCD ＝15，OA ＝OD =12AC =132， ∴S △AOD ＝S △AOP +S △DOP =12OA •PE +12OD •PF =12OA （PE +PF ）=12×132×（PE +PF ）＝15， ∴PE +PF =6013， 故选：A ．4．（2020春•鹿城区校级期中）如图，在矩形ABCD中，AO＝5，CD＝6，则AD＝（）A．5 B．6 C．7 D．8【分析】根据矩形的性质得出∠ADC＝90°，AC＝2AO＝10，根据勾股定理求出AD即可．【解析】∵四边形ABCD是矩形，AO＝5，∴∠ADC＝90°，AC＝2AO＝10，在Rt△ADC中，由勾股定理得：AD=√AC2−CD2=√102−62=8，故选：D．5．（2020春•西城区校级期中）一个长方形在平面直角坐标系中三个顶点的坐标为（﹣2，﹣1）（﹣2，2）和（4，﹣1），则第四个顶点的坐标为（）A．（﹣2，2）B．（4，2）C．（4，4）D．（4，3）【分析】先在平面直角坐标系中描出点（﹣2，﹣1）（﹣2，2）和（4，﹣1），然后根据矩形的性质画出矩形得到第四个点的位置，再写出第四个顶点的坐标．【解析】如图，∵A（﹣2，﹣1），B（﹣2，2），C（4，﹣1），∴BD＝AC＝2+4＝6，∴第四个顶点D的坐标为（6﹣2，2），即（4，2）．故选：B．6．（2020春•江汉区期中）下列结论中，矩形具有而平行四边形不一定具有的性质是（）A．内角和为360°B．对角线互相平分C．对角线相等D．对边平行【分析】由矩形的性质和平行四边形的性质即可得出结论．【解析】矩形的性质：内角和360°，对边平行且相等，对角线互相平分且相等；平行四边形的性质：内角和360°，对边平行且相等，对角线互相平分；故选项A、B、D不符合题意，C符合题意；故选：C．7．（2020春•栖霞区期中）下列条件中，不能判定▱ABCD为矩形的是（）A．∠A＝∠C B．∠A＝∠B C．AC＝BD D．AB⊥BC【分析】由矩形的判定方法分别对各个选项进行判断，即可得出结论．【解析】A、在▱ABCD，若∠A＝∠C，则四边形ABCD还是平行四边形；故选项A符合题意；B、在▱ABCD中，AD∥BC，∴∠A+∠B＝180°，∵∠A＝∠B，∴∠A＝∠B＝90°，∴▱ABCD是矩形，故选项B不符合题意；C、在▱ABCD中，AC＝BD，则▱ABCD是矩形；故选项C不符合题意；D、在▱ABCD中，AB⊥BC，∴∠ABC＝90°，∴▱ABCD是矩形，故选项D不符合题意；故选：A．8．（2020春•香坊区校级期中）如图，在矩形ABCD中，AE平分∠BAD交BC于点E，ED＝5，EC＝3，则矩形的周长为（）A．18 B．20 C．22 D．24【分析】根据勾股定理求出DC＝4；证明BE＝AB＝4，即可求出矩形的周长．【解析】∵四边形ABCD是矩形，∴∠C＝90°，AB＝CD，AD∥BC，AD＝BC，∵ED＝5，EC＝3，∴DC2＝DE2﹣CE2＝25﹣9＝16，∴DC＝4，AB＝4；∵AD∥BC，∴∠AEB＝∠DAE；∵AE平分∠BAD，∴∠BAE＝∠DAE，∴∠BAE＝∠AEB，∴BE＝AB＝4，∴BC＝BE+EC＝7，∴矩形ABCD的周长＝2（4+7）＝22．故选：C．9．（2020春•无锡期中）如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，过对角线交点O作EF⊥AC交AD于点E，交BC于点F，连接CE，△DEC的周长为（）A．10 B．11 C．12 D．13【分析】根据矩形的性质得出∠ADC＝90°，DC＝AB＝4，AD＝BC＝6，AO＝OC，根据线段垂直平分线的性质得出AE＝CE＝6﹣x，在Rt△DEC中，根据勾股定理得出DE2+DC2＝EC2，求出DE即可．【解析】设DE＝x，则AE＝6﹣x，∵四边形ABCD是矩形，∴∠ADC＝90°，DC＝AB＝4，AD＝BC＝6，AO＝OC，∵EF⊥AC，AO＝OC，∴AE＝CE＝6﹣x，在Rt△DEC中，由勾股定理得：DE2+DC2＝EC2，即x2+42＝（6﹣x）2，解得：x=53，即DE=53，CE＝AE＝6−53=135，∴△DEC的周长为DE+CE+DC=53+133+4＝10，故选：A．10．（2020春•赣榆区期中）如图，△ABC中，AB＝AC，DE垂直平分AB，BE⊥AC，AF⊥BC，则∠EFC 的度数为（）A．35°B．40°C．45°D．60°【分析】先根据线段垂直平分线的性质及BE⊥AC得出△ABE是等腰直角三角形，再由等腰三角形的性质得出∠ABC的度数，由AB＝AC，AF⊥BC，可知BF＝CF，BF＝EF，再根据三角形外角的性质即可得出结论．【解析】∵DE垂直平分AB，∴AE＝BE，∵BE⊥AC，∴△ABE是等腰直角三角形，∴∠BAC＝∠ABE＝45°，又∵AB＝AC，∴∠ABC=12（180°﹣∠BAC）=12（180°﹣45°）＝67.5°，∴∠CBE＝∠ABC﹣∠ABE＝67.5°﹣45°＝22.5°，∵AB＝AC，AF⊥BC，∴BF＝CF，∴BF ＝EF ，∴∠BEF ＝∠CBE ＝22.5°，∴∠EFC ＝∠BEF +∠CBE ＝22.5°+22.5°＝45°．故选：C ．二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上11．（2020春•西城区校级期中）如图，点E 为矩形ABCD 的边BC 长上的一点，作DF ⊥AE 于点F ，且满足DF ＝AB ．下面结论：①△DEF ≌△DEC ；②S △ABE ＝S △ADF ；③AF ＝AB ；④BE ＝AF ．其中正确的结论是 ①②④ ．【分析】证明Rt △DEF ≌Rt △DEC 得出①正确；在证明△ABE ≌△DFA 得出S △ABE ＝S △ADF ；②正确；得出BE ＝AF ，④正确，③不正确；即可得出结论．【解析】∵四边形ABCD 是矩形，∴∠C ＝∠ABE ＝90°，AD ∥BC ，AB ＝CD ，∵DF ＝AB ，∴DF ＝CD ，∵DF ⊥AE ，∴∠DFA ＝∠DFE ＝90°，在Rt △DEF 和Rt △DEC 中，{DE =DE DF =DC， ∴Rt △DEF ≌Rt △DEC （HL ），①正确；∵AD ∥BC ，∴∠AEB ＝∠DAF ，在△ABE和△DFA中，{∠ABE=∠DFA ∠AEB=∠DAF AB=DF，∴△ABE≌△DFA（AAS），∴S△ABE ＝S△ADF；②正确；∴BE＝AF，④正确，③不正确；故答案为：①②④．12．（2020春•栖霞区期中）如图，在矩形ABCD中，AC、BD交于点O，DE⊥AC于点E，若∠AOD＝110°，则∠CDE＝35°．【分析】由矩形的性质得出OC＝OD，得出∠ODC＝∠OCD＝55°，由直角三角形的性质求出∠ODE＝20°，即可得出答案．【解析】∵四边形ABCD是矩形，∴∠ADC＝90°，AC＝BD，OA＝OC，OB＝OD，∴OC＝OD，∴∠ODC＝∠OCD，∵∠AOD＝110°，∴∠DOE＝70°，∠ODC＝∠OCD=12（180°﹣70°）＝55°，∵DE⊥AC，∴∠ODE＝90°﹣∠DOE＝20°，∴∠CDE＝∠ODC﹣∠ODE＝55°﹣20°＝35°；故答案为：35．13．（2020春•宜兴市期中）如图，矩形ABCD的对角线AC与BD相交点O，AC＝12，P，Q分别为AO，AD的中点，则PQ的长度为3．【分析】根据矩形的性质可得AC ＝BD ＝12，BO ＝DO ＝6，再根据三角形中位线定理可得PQ =12DO ＝3．【解析】∵四边形ABCD 是矩形，∴AC ＝BD ＝12，BO ＝DO =12BD ， ∴OD =12BD ＝6， ∵点P 、Q 是AO ，AD 的中点，∴PQ 是△AOD 的中位线，∴PQ =12DO ＝3． 故答案为：3．14．（2020春•江汉区期中）如图，矩形ABCD 中，对角线AC 的垂直平分线EF 分别交BC ，AD 于点E ，F ，若BE ＝3，AF ＝5，则线段AC 的长为 4√5 ．【分析】连接AE ，由线段垂直平分线的性质得出OA ＝OC ，AE ＝CE ，证明△AOF ≌△COE 得出AF ＝CE ＝5，得出AE ＝CE ＝5，BC ＝BE +CE ＝8，由勾股定理求出AB ＝4，再由勾股定理求出AC 即可．【解析】连接AE ，如图：∵EF 是AC 的垂直平分线，∴OA ＝OC ，AE ＝CE ，∵四边形ABCD 是矩形，∴∠B ＝90°，AD ∥BC ，∴∠OAF ＝∠OCE ，在△AOF 和△COE 中，{∠AOF =∠COEOA =OC ∠OAF =∠OCE，∴△AOF ≌△COE （ASA ），∴AF ＝CE ＝5，∴AE ＝CE ＝5，BC ＝BE +CE ＝3+5＝8，∴AB =√AE 2−BE 2=√52−32=4，∴AC=√AB2+BC2=√42+82=4√5；故答案为：4√5．15．（2020春•南岗区校级期中）如图，在矩形AOBC中，点A的坐标是（﹣2，1），点C的纵坐标是4，则B点的纵坐标是3．【分析】过点A作AD⊥x轴于点D，过点B作BE⊥x轴于点E，过点C作CF∥y轴，过点A作AF∥x 轴，交点为F，则AF⊥CF，延长CA交x轴于点H，证明△AFC≌△OEB，即可求得答案．【解析】如图，过点A作AD⊥x轴于点D，过点B作BE⊥x轴于点E，过点C作CF∥y轴，过点A作AF∥x轴，交点为F，则AF⊥CF，延长CA交x轴于点H，∵四边形AOBC是矩形，∴OB＝AC，AC∥OB，∴∠CAF＝∠CHO＝∠BOE，∵∠AFC＝∠OEB＝90°，∴△AFC≌△OEB（AAS），∴CF＝BE＝4﹣1＝3，故答案为：3．16．（2020春•鹿城区校级期中）学习新知：如图1、图2，P是矩形ABCD所在平面内任意一点，则有以下重要结论：AP2+CP2＝BP2+DP2．该结论的证明不难，同学们通过勾股定理即可证明．应用新知：如图3，在△ABC中，CA＝4，CB＝6，D是△ABC内一点，且CD＝2，∠ADB＝90°，则AB的最小值为4√3−2．【分析】以AD、BD为边作矩形ADBE，连接CE、DE，由矩形的性质得出AB＝DE，由题意得CD2+CE2＝CA2+CB2，求出CE＝4√3，当C、D、E三点共线时，DE最小，得出AB的最小值＝DE的最小值＝CE﹣CD＝4√3−2．【解析】以AD、BD为边作矩形ADBE，连接CE、DE，如图所示：则AB＝DE，由题意得：CD2+CE2＝CA2+CB2，即22+CE2＝42+62，解得：CE＝4√3，当C、D、E三点共线时，DE最小，∴AB的最小值＝DE的最小值＝CE﹣CD＝4√3−2；故答案为：4√3−2．17．（2020春•明水县校级期中）如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，CE∥BD，DE∥AC．若AC＝5，则四边形CODE的周长是10．【分析】根据矩形的性质求出OC＝OD，根据平行四边形的判定得出四边形CODE是平行四边形，根据菱形的判定得出四边形CODE是菱形，再根据菱形的性质得出即可．【解析】如图，∵四边形ABCD是矩形，AC＝5，∴AO＝OC＝2.5，AC＝BD，DO＝BO，∴OC＝OD，∵CE∥BD，DE∥AC，∴四边形CODE是平行四边形，∴四边形CODE是菱形，∴DE＝CE＝OC＝OD＝2.5，∴四边形CODE的周长是2.5+2.5+2.5+2.5＝10，故答案为：10．18．（2020春•赣榆区期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝5，BC＝12，D是AB上一动点，过点D作DE⊥AC于点E，DF⊥BC于点F，连接EF，则线段EF的最小值是6013．【分析】连接CD，利用勾股定理列式求出AB，判断出四边形CFDE是矩形，根据矩形的对角线相等可得EF＝CD，再根据垂线段最短可得CD⊥AB时，线段EF的值最小，然后根据三角形的面积公式列出求解即可．【解析】如图，连接CD．∵∠ACB＝90°，AC＝5，BC＝12，∴AB=√AC2+BC2=√52+122=13，∵DE ⊥AC ，DF ⊥BC ，∠C ＝90°，∴四边形CFDE 是矩形，∴EF ＝CD ，由垂线段最短可得CD ⊥AB 时，线段EF 的值最小，此时，S △ABC =12BC •AC =12AB •CD ， 即12×12×5=12×13•CD ， 解得：CD =6013， ∴EF =6013． 故答案为：6013．三、解答题（本大题共7小题，共46分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19．（2020春•罗湖区校级期中）如图，在平行四边形ABCD 中，点O 是AB 的中点，且OC ＝OD ．（1）求证：平行四边形ABCD 是矩形； （2）若AD ＝3，∠COD ＝60°，求矩形ABCD 的面积．【分析】（1）证△AOD ≌△BOC （SSS ），得出∠A ＝∠B ＝90°，即可得出结论；（2）证出∠AOD ＝∠BOC ＝60°，则∠ADO ＝30°，由含30°角的直角三角形的性质得出OA =√33AD =√3，则AB ＝2OA ＝2√3，由矩形面积公式即可得出答案．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ＝BC ，AD ∥BC ，∴∠A +∠B ＝180°，∵点O 是AB 的中点，在△AOD和△BOC中，{OA=OB AD=BC OD=OC，∴△AOD≌△BOC（SSS），∴∠A＝∠B＝90°，∴平行四边形ABCD是矩形；（2）解：由（1）得：△AOD≌△BOC，∴∠AOD＝∠BOC，∵∠COD＝60°，∴∠AOD＝∠BOC＝60°，∵∠A＝90°，∴∠ADO＝30°，∴OA=√33AD=√3，∴AB＝2OA＝2√3，∴矩形ABCD的面积＝AB×AD＝2√3×3＝6√3．20．（2020春•吴江区期中）如图，矩形ABCD中，AB＝8，BC＝4，点E、F分别在AB、CD上，且BE＝DF＝3．（1）求证：四边形AECF是菱形；（2）求线段EF的长．【分析】（1）根据矩形的性质得到CD＝AB＝8，AD＝BC＝4，CD∥AB，∠D＝∠B＝90°，求得CF＝AE＝5，根据勾股定理得到AF＝CE＝5，于是得到结论；（2）过F作FH⊥AB于H，得到四边形AHFD是矩形，根据矩形的性质得到AH＝DF＝3，FH＝AD＝4，根据勾股定理即可得到结论．【解答】（1）证明：∵在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝4，∴CD＝AB＝8，AD＝BC＝4，CD∥AB，∠D＝∠B＝90°，∴CF＝AE＝8﹣3＝5，∴AF＝CE=√32+42=5，∴AF＝CF＝CE＝AE＝5，∴四边形AECF是菱形；（2）解：过F作FH⊥AB于H，如图所示：则四边形AHFD是矩形，∴AH＝DF＝3，FH＝AD＝4，∴EH＝5﹣3＝2，∴EF=√EH2+FH2=√22+42=2√5．21．（2020春•建湖县期中）已知：如图，AC、BD相交于点O，且点O是AC、BD的中点，点E在四边形ABCD的形外，且∠AEC＝∠BED＝90°．求证：四边形ABCD是矩形．【分析】连接EO，证四边形ABCD是平行四边形，在Rt△AEC中EO=12AC，在Rt△EBD中，EO=12BD，得到AC＝BD，即可得出结论．【解答】证明：连接EO，如图所示：∵O是AC、BD的中点，∴AO＝CO，BO＝DO，∴四边形ABCD是平行四边形，在Rt△EBD中，∵O为BD中点，∴EO=12 BD，在Rt△AEC中，∵O为AC的中点，∴EO=12 AC，∴AC＝BD，又∵四边形ABCD是平行四边形，∴平行四边形ABCD是矩形．22．（2020春•汉寿县期中）如图，矩形EFGH的顶点E，G分别在菱形ABCD的边AD，BC上，顶点F，H在菱形ABCD的对角线BD上．（1）求证：BG＝DE；（2）若E为AD中点，求证：四边形ABGE是平行四边形．【分析】（1）根据矩形的性质得到EH＝FG，EH∥FG，得到∠GFH＝∠EHF，求得∠BFG＝∠DHE，根据菱形的性质得到AD∥BC，得到∠GBF＝∠EDH，根据全等三角形的性质即可得到结论；（2）连接EG，根据菱形的性质得到AD＝BC，AD∥BC，求得AE＝BG，AE∥BG，得到四边形ABGE 是平行四边形即可．【解答】证明：（1）∵四边形EFGH是矩形，∴EH＝FG，EH∥FG，∴∠GFH＝∠EHF，∵∠BFG＝180°﹣∠GFH，∠DHE＝180°﹣∠EHF，∴∠BFG＝∠DHE，∵四边形ABCD是菱形，∴AD∥BC，∴∠GBF＝∠EDH，在△BGF和△DEH中，{∠BFG=∠DHE ∠GBF=∠EDH FG=HE，∴△BGF≌△DEH（AAS），∴BG＝DE；（2）连接EG，如图所示：∵四边形ABCD是菱形，∴AD＝BC，AD∥BC，∵E为AD中点，∴AE＝ED，∵BG＝DE，∴AE＝BG，AE∥BG，∴四边形ABGE是平行四边形，23．（2020春•香坊区校级期中）已知，在△ABC中，AB＝AC，点D、点O分别为BC、AC的中点，AE ∥BC．（1）如图1，求证：四边形ADCE是矩形；（2）如图2，若点F是CE上一动点，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出与四边形ABDF面积相等的三角形和四边形．【分析】（1）首先得到四边形ADCE 是平行四边形，然后利用有一个角是直角的平行四边形是矩形判断矩形即可；（2）根据四边形ADCE 是矩形，得到AD ∥CE ，于是得到S △ADC ＝S △ADF ＝S △AED ，即可得到结论．【解答】（1）证明：∵点D 、点O 别是BC 、AC 的中点，∴OD ∥AB ，BD ＝CD ，∴DE ∥AB ，又∵AE ∥BD ，∴四边形ABDE 是平行四边形，∴AE ＝BD ，∴AE ＝CD ，∵AE ∥BC ，∴四边形ADCE 是平行四边形，∵AB ＝AC ，D 为BC 的中点，∴AD ⊥BC ，∴四边形ADCE 是矩形；（2）解：∵四边形ADCE 是矩形，∴AD ∥CE ，∴S △ADC ＝S △ADF ＝S △AED ，∴四边形ABDF 面积＝S △ABC ＝S 四边形ABDE ＝S 矩形ADCE ．24．（2020春•武汉期中）如图，在菱形ABCD 中，AB ＝6，∠DAB ＝60°，点E 是AD 边的中点，点M 是AB 边上一动点（不与点A 重合），延长ME 交射线CD 于点N ，连接MD ，AN ．（1）求证：四边形AMDN 是平行四边形；（2）填空：①当AM 的值为 3 时，四边形AMDN 是矩形；②当AM的值为6时，四边形AMDN是菱形．【分析】（1）由菱形的性质可得∠DNE＝∠AME，再由点E是AD边的中点，可得AE＝DE，从而可证明△NDE≌△MAE（AAS），则NE＝ME，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形可得答案；（2）①当AM的值为3时，四边形AMDN是矩形．根据对角线相等的平行四边形是矩形即可判定；②当AM的值为6时，四边形AMDN是菱形．根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形即可判定．【解析】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AB∥CD，∴∠DNE＝∠AME，∠NDE＝∠MAE，∵点E是AD边的中点，∴AE＝DE，∴在△NDE和△MAE中，△NDE≌△MAE（AAS），∴NE＝ME，∴四边形AMDN是平行四边形；（2）①当AM的值为3时，四边形AMDN是矩形．理由如下：∵四边形ABCD为菱形，∴AB＝AD＝6，∵点E是AD边的中点，∴AE=12AD＝3，∴AM＝AE＝3，∵∠DAB＝60°，∴△AEM是等边三角形，∴EM＝AE，∵NE＝EM=12 MN，∴MN＝AD，∵四边形AMDN是平行四边形，∴四边形AMDN是矩形．故答案为：3；②当AM的值为6时，四边形AMDN是菱形．理由如下：∵AB＝AD＝6，AM＝6，∴AD＝AM，∵∠DAB＝60°，∴△AMD是等边三角形，∴ME⊥AD，∵四边形AMDN是平行四边形，∴四边形AMDN是菱形．故答案为：6．25．（2020春•庆云县期中）矩形ABCD中，对角线AC和BD相交于O，∠AOB＝60度，AC＝10．（1）求矩形较短边的长．（2）矩形较长边的长；（3）矩形的面积．如果把本题改为：矩形ABCD中，对角线AC和BD相交于O，∠AOB＝60度，AB＝4，你能求出这个矩形的面积吗？试写出解答过程．【分析】（1）根据矩形的性质，可以得到△AOB是等边三角形，则可以求得OA的长，进而求得AB的长．（2）在直角△ABC中，根据勾股定理来求BC的长度；（3）由矩形的面积公式进行解答；如果把本题改为：根据矩形性质得出AC＝2AO，BD＝2BO，AC＝BD，推出AO＝OB，得出等边三角形AOB，求出∠ABO，即可得出答案．【解析】（1）∵四边形ABCD是矩形，∴OA＝OB又∵∠AOB＝60°∴△AOB是等边三角形．∴AB＝OA=12AC＝5，即矩形较短边的长为5；（2）在直角△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝5，AC＝10，则BC=√AC2−AB2=√102−52=5√3，即矩形较长边的长是5√3；（3）矩形的面积＝AB•BC＝5×5√3=25√3；如果把本题改为：矩形ABCD中，对角线AC和BD相交于O，∠AOB＝60度，AB＝4，能求出这个矩形的面积．解答过程为：∵四边形ABCD是矩形，∴AC＝2AO，BD＝2BO，AC＝BD，∴AO＝OB，∵∠AOB＝60°，∴△AOB是等边三角形，∴∠ABO＝60°，∴AD＝AB•tan60°＝4√3，∴这个矩形的面积为4×4√3=16√3．第21页/ 共21页。

北师大版九年级数学上册《1.2矩形的性质与判定》优生辅导训练（附答案）1．如图，矩形ABCD的对角线交于点O，点E在线段AO上，且DE＝DC，若∠EDO＝15°，则∠DEC＝°．2．如图所示，长方形纸片上画有两个完全相同的灰色长方形，那么剩余白色长方形的周长为（用含a，b的式子表示）．3．如图，在矩形ABCD中，AC是矩形ABCD的对角线，并且AC平分∠DAE，AC＝12cm，AD＝9cm，动点P从点E出发，沿EA方向匀速运动，速度为1cm/s，同时动点Q从点C 出发，沿CA方向匀速运动，速度为2cm/s，连接PQ，设运动时间为t（s）（0＜t＜6），则当t＝时，△PQA为等腰三角形．4．在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，若∠ACB＝30°，则∠AOB的度数是．5．如图矩形ABCD中，AB＝3cm，AD＝4cm，过对角线BD的中点O作BD的垂直平分线EF，分别交AD、BC于点E、F，则AE的长为．6．如图，O是矩形ABCD的对角线AC的中点，M是AD的中点，若AB＝6，AD＝8，则四边形ABOM的周长为．7．在矩形ABCD中，AC、BD交于点O．过点O作OE⊥BD交射线BC于点E，若BE＝2CE，AB＝3，则AD的长为．8．已知矩形ABCD，对角线AC、BD相交于点O，点E为BD上一点，OE＝1，连接AE，∠AOB＝60°，AB＝2，则AE的长为．9．如图，在矩形ABCD中，AD＝2AB＝2，E是BC边上的一个动点，连接AE，过点D作DF⊥AE于F，连接CF，当△CDF为等腰三角形时，则BE的长是10．矩形的对角线长13，一边长为5，则它的面积为．11．在四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O且AC，BD互相平分，若添加一个条件使得四边形ABCD是矩形，则这个条件可以是（填写一个即可）．12．工人师傅在测量一个门框是否是矩形时，只需要用到一个直角尺，则他用到的判定方法是．13．在四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，OA＝OC，OB＝OD，添加一个条件使四边形ABCD是矩形，那么所添加的条件可以是（写出一个即可）．14．如图，在平行四边形ABCD中，在不添加任何辅助线的情况下，请添加一个条件，使平行四边形ABCD是矩形．15．如图四边形ABCD是平行四边形，若（添加一个条件），四边形ABCD是矩形．16．如图，请你添加一个适当的条件，使平行四边形ABCD成为矩形．（答出一个即可）17．用一把刻度尺来判定一个零件是矩形的方法是先测量两组对边是否分别相等，然后测量两条对角线是否相等，这样做的依据是．18．▱ABCD，补充条件（一个即可）时，▱ABCD为矩形．19．工人师傅在做门窗或矩形零件时，不仅要测量两组对边的长度是否相等，常常还要测量它们的两条对角线是否相等，以确保图形是矩形．这依据的道理是．20．将两块全等的含30°角的三角尺如图①所示摆放在一起，设较短直角边为1，如图②所示，Rt△BCD沿射线BD方向平移，在平移的过程中，当点B的移动距离为时四边形ABC′D′为矩形．21．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝5，BC＝12，D是AB上一动点，过点D 作DE⊥AC于点E，DF⊥BC于点F，连接EF，则线段EF的最小值是．22．在△ABC中，AB＝6cm，AC＝8cm，BC＝10cm，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，连接EF，则EF的最小值为cm．23．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，且BA＝9，AC＝12，点D是斜边BC上的一个动点，过点D分别作DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，点G为四边形DEAF对角线交点，则线段GF的最小值为．24．如图，将一矩形纸片ABCD沿着虚线EF剪成两个全等的四边形纸片．根据图中标示的长度与角度，求出剪得的四边形纸片中较短的边AE的长是．25．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，且BA＝3，AC＝4，点D是斜边BC上的一个动点，过点D分别作DM⊥AB于点M，DN⊥AC于点N，连接MN，则线段MN的最小值为．26．如图，若将四根木条钉成的矩形木框ABCD变形为平行四边形A′BCD′，并使其面积为矩形ABCD面积的一半，若A′D′与CD交于点E，且AB＝2，则△ECD′的面积是．27．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝5，AC＝12，M为斜边AB上一动点，过M 作MD⊥AC，过M作ME⊥CB于点E，则线段DE的最小为．28．如图，在△ABC中，AB＝3cm，AC＝4cm，BC＝5cm，M是BC边上的动点，MD⊥AB，ME⊥AC，垂足分别是D、E．线段DE的最小值是cm．29．如图，在△ABC中，AB＝3，AC＝4，BC＝5，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF ⊥AC于F，M为EF中点，则AM的最小值为．30．如图，△ABC是以AB为斜边的直角三角形，AC＝4，BC＝3，P为AB上一动点，且PE⊥AC于E，PF⊥BC于F，则线段EF长度的最小值是．参考答案1．解：∵四边形ABCD是矩形，∴OA＝OC，OB＝OD，AC＝BD，∴OC＝OD，∴∠OCD＝∠ODC，∵DE＝DC，∴∠DEC＝∠OCD，∴∠DEC＝∠OCD＝∠ODC，设∠DEC＝∠OCD＝∠ODC＝x，则∠COD＝180°﹣2x，又∵∠COD＝∠DEC+∠EDO，∴180°﹣2x＝x+15°，解得：x＝55°，即∠DEC＝55°，故答案为：55．2．解：剩余白色长方形的长为b，宽为（b﹣a），所以剩余白色长方形的周长＝2b+2（b﹣a）＝4b﹣2a．故答案为4b﹣2a．3．解：∵四边形ABCD是矩形，AC＝12cm，AD＝9cm，∴AD＝BC＝12cm，AD∥BC，∠ABC＝90°，∴AB＝，∵AC平分∠DAE，∴∠DAC＝∠CAE，∵AD∥BC，∴∠ACE＝∠DAC＝∠CAE．∴EA＝EC，设EA＝EC＝xcm，则BE＝9﹣x（cm），∵AE2＝BE2＝AB2，∴，解得，x＝8，∴AE＝EC＝8cm，由题意知，PE＝tcm，CQ＝2tcm，则AP＝8﹣t（cm），AQ＝12﹣2t（cm），当AP＝AQ时，有8﹣t＝12﹣2t，解得t＝4；当P A＝PQ时，∠P AQ＝∠AQP＝∠ACB，∴t＝0（舍去）；当QP＝QA时，∠QP A＝∠QAP＝∠ECA，∵∠P AQ＝∠CAE，∴t＝5．综上，当t＝4秒或5秒时，△PQA为等腰三角形．故答案为：4或5．4．解：∵矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，∴OB＝OC，∴∠OBC＝∠ACB＝30°，∴∠AOB＝∠OBC+∠ACB＝30°+30°＝60°．故答案为60°5．解：连接EB，∵EF垂直平分BD，∴ED＝EB，设AE＝xcm，则DE＝EB＝（4﹣x）cm，在Rt△AEB中，AE2+AB2＝BE2，即：x2+32＝（4﹣x）2，解得：x＝，故答案为：cm．6．解：∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC＝8，AB＝CD＝6，∠ABC＝90°，∴AC＝＝10，∵AO＝OC，∴BO＝AC＝5，∵AO＝OC，AM＝MD＝4，∴OM＝CD＝3，∴四边形ABOM的周长为AB+OB+OM+AM＝6+5+3+4＝18．故答案为18．7．解：如图，当点E在BC的延长线上时，∵BE＝2CE，∴BC＝CE，∵OE⊥BD，∴OC＝BC＝CE，∵四边形ABCD是矩形，∴AO＝CO＝BO＝DO，AD＝BC；∴BO＝CO＝BC，∴△BOC是等边三角形，∴∠ACB＝60°如图，当点E在线段BC上时，设直线OE与直线AB，CD交于点F，点H，∵AB∥CD，∴AF＝CH，∵AB∥CD，∴BF＝2CH＝2AF，∴3+AF＝2AF，∴AF＝3＝AB，且OE⊥BD，∴AO＝AB＝AF＝3，∵AO＝BO＝CO＝DO，∴AO＝AB＝BO，∴△ABO是等边三角形，∴∠ABD＝60°，∴AD＝3，故答案为：3或．8．解：如图，连接AE，∵四边形ABCD是矩形，∴OA＝OB，且∠AOB＝60°，∴△AOB是等边三角形，若点E在BO上时，∵OE＝1，∴BE＝EO＝1，且△ABO等边三角形，∴AE⊥BO，∴AE＝＝＝，若点E'在OD上时，∴AE'＝＝＝，故答案为：或．9．解：①CF＝CD时，过点C作CM⊥DF，垂足为点M．则CM∥AE，DM＝MF，延长CM交AD于点G，∴AG＝GD＝1，∵AG∥EC，AE∥CG，∴四边形AECG是平行四边形，∴CE＝AG＝1，∴当BE＝1时，△CDF是等腰三角形．②DF＝DC时，则DC＝DF＝1，∵DF⊥AE，AD＝2，∴∠DAE＝30°，∴∠AEB＝30°则BE＝∴当BE＝时，△CDF是等腰三角形；③FD＝FC时，则点F在CD的垂直平分线上，故F为AE中点．∵AB＝1，BE＝x，∴AE＝，AF＝，∴当BE＝2﹣时，△CDF是等腰三角形．综上，当BE＝1、、2﹣时，△CDF是等腰三角形．故答案为：1或或2﹣．10．解∵对角线长为13，一边长为5，∴另一条边长＝＝12，∴S矩形＝12×5＝60；故答案为：60．11．解：∵对角线AC与BD互相平分，∴四边形ABCD是平行四边形，要使四边形ABCD成为矩形，需添加一个条件是：AC＝BD或有个内角等于90度．故答案为：AC＝BD或有个内角等于90度．12．解：用直角尺测量门框的三个角是否都是直角，如果都是直角，则四边形是矩形．故答案为：三个角是直角的四边形为矩形13．解：添加的条件是：AC＝BD或∠ABC＝90°；理由如下：∵OA＝OC，OB＝OD，∴四边形ABCD是平行四边形，当AC＝BD时，四边形ABCD是矩形（对角线相等的平行四边形是矩形）；当∠ABC＝90°时，四边形ABCD是矩形（有一个角是直角的平行四边形是矩形）．故答案为：AC＝BD或∠ABC＝90°．14．解：添加条件：∠ABC＝90°或AD⊥AB（答案不唯一）．理由：∵四边形ABCD是平行四边形，∠ABC＝90°，∴平行四边形ABCD是矩形（矩形的定义）．故答案是：∠ABC＝90°．15．解：根据有一个角是直角的平行四边形是矩形，可以添加∠ABC＝90°；根据对角线相等的平行四边形是矩形，可以添加AC＝BD；故答案为∠ABC＝90°或AC＝BD．16．解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴当AC＝BD或∠BAD＝90°或∠ABC＝90°或∠BCD＝90°或∠ADC＝90°时，平行四边形ABCD成为矩形；故答案为：AC＝BD或∠BAD＝90°或∠ABC＝90°或∠BCD＝90°或∠ADC＝90°．17．解：先测量两组对边是否分别相等，可判定是否是平行四边形，然后测量两条对角线是否相等可判定是否是矩形，所以这样做的依据是：对角线相等的平行四边形是矩形，故答案为：对角线相等的平行四边形是矩形．18．解：添加的条件是AC＝BD，理由是：∵AC＝BD，四边形ABCD是平行四边形，∴平行四边形ABCD是矩形，故答案为：AC＝BD19．解：因为门窗所构成的形状是矩形，所以根据矩形的判定（对角线相等的平行四边形为矩形）可得出．故答案为：对角线相等的平行四边形是矩形．20．解：如图：当四边形ABC′D是矩形时，∠B′BC′＝90°﹣30°＝60°，∵B′C′＝1，∴BB′＝，当点B的移动距离为时，四边形ABC′D′为矩形．故答案为：．21．解：如图，连接CD．∵∠ACB＝90°，AC＝5，BC＝12，∴AB＝＝＝13，∵DE⊥AC，DF⊥BC，∠C＝90°，∴四边形CFDE是矩形，∴EF＝CD，由垂线段最短可得CD⊥AB时，线段EF的值最小，此时，S△ABC＝BC•AC＝AB•CD，即×12×5＝×13•CD，解得：CD＝，∴EF＝．故答案为：．22．解：∵AB＝6cm，AC＝8cm，BC＝10cm，∴AB2+AC2＝BC2，∴△ABC为直角三角形，∠A＝90°，∵PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，∴∠AEP＝∠AFP＝90°，∴四边形AEPF为矩形，连接AP，如图，EF＝AP，当AP的值最小时，EF的值最小，当AP⊥BC时，AP的值最小，根据△ABC面积公式，×AB•AC＝×AP•BC，∴AP＝＝＝，∴EF的最小值为．故答案为．23．解：连接AD、EF，∵∠BAC＝90°，且BA＝9，AC＝12，∴BC＝＝15，∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠DEA＝∠DF A＝∠BAC＝90°，∴四边形DEAF是矩形，∴EF＝AD，∴当AD⊥BC时，AD的值最小，此时，△ABC的面积＝AB×AC＝BC×AD，∴AD＝＝＝，∴EF的最小值为，∵点G为四边形DEAF对角线交点，∴GF＝EF＝；故答案为：．24．解：过F作FQ⊥AD于Q，则∠FQE＝90°，∵四边形ABCD是长方形，∴∠A＝∠B＝90°，AB＝DC＝4，AD∥BC，∴四边形ABFQ是矩形，∴AB＝FQ＝DC＝4，∵AD∥BC，∴∠QEF＝∠BFE＝45°，∴EQ＝FQ＝4，∴AE＝CF＝×（10﹣4）＝3，故答案为：3．25．解：∵∠BAC＝90°，且BA＝3，AC＝4，∴BC＝＝5，∵DM⊥AB，DN⊥AC，∴∠DMA＝∠DNA＝∠BAC＝90°，∴四边形DMAN是矩形，∴MN＝AD，∴当AD⊥BC时，AD的值最小，此时，△ABC的面积＝AB×AC＝BC×AD，∴AD＝＝，∴MN的最小值为；故答案为：．26．解：作A'F⊥BC于F，如图所示：则∠A'FB＝90°，根据题意得：平行四边形A′BCD′的面积＝BC•A'F＝BC•AB，∴A'F＝AB＝1，∴∠D＝∠B＝30°，∴BF＝A'F＝，∵四边形ABCD是矩形，四边形A′BCD′是平行四边形，∴BC＝AD＝A'D'，A'D'∥AD∥BC，CD⊥BC，∴CD⊥A'D'，∴A'F∥CD，∴四边形A'ECF是矩形，∴CE＝A'F＝1，A'E＝CF，∴DE＝BF＝，∴△ECD的面积＝DE×CE＝××1＝；故答案为：．27．解：连接CM，如图所示：∵MD⊥AC，ME⊥CB，∴∠MDC＝∠MEC＝90°，∵∠C＝90°，∴四边形CDME是矩形，∴DE＝CM，∵∠C＝90°，BC＝5，AC＝12，∴AB＝，当CM⊥AB时，CM最短，此时△ABC的面积＝AB•CM＝BC•AC，∴CM的最小值＝，∴线段DE的最小值为；故答案为：．28．解：∵AB2+AC2＝32+42＝25＝BC2，∴∠A＝90°，又∵MD⊥AB，ME⊥AC，∴四边形ADME是矩形，连接AM，则AM＝DE，由垂线段最短可知，AM⊥BC时，线段DE最小，此时，S△ABC＝BC•AM＝×5•AM＝×3×4，解得AM＝2.4，即DE＝2.4cm．故答案为：2.4．29．解：如图，连接AP，∵AB＝3，AC＝4，BC＝5，∴∠EAF＝90°，∵PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，∴四边形AEPF是矩形，∴EF，AP互相平分．且EF＝AP，∴EF，AP的交点就是M点．∵当AP的值最小时，AM的值就最小，∴当AP⊥BC时，AP的值最小，即AM的值最小．∵AP•BC＝AB•AC，∴AP•BC＝AB•AC，∵AB＝3，AC＝4，BC＝5，∴5AP＝3×4，∴AP＝，∴AM＝；故答案为：．30．解：连接PC．∵PE⊥AC，PF⊥BC，∴∠PEC＝∠PFC＝∠C＝90°；又∵∠ACB＝90°，∴四边形ECFP是矩形，∴EF＝PC，∴当PC最小时，EF也最小，即当CP⊥AB时，PC最小，∵AC＝4，BC＝3，∴AB＝5，∴AC•BC＝AB•PC，∴PC＝．∴线段EF长的最小值为；故答案是：．。

9.4.1 矩形同步培优讲练综合知识点1：矩形的定义有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.知识点2：矩形的性质1.矩形具有平行四边形的所有性质；2.矩形的对角线相等；3.矩形的四个角都是直角；4.矩形是轴对称图形，它有两条对称轴.知识点3：矩形的判定1.定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.2.对角线相等的平行四边形是矩形.3.有三个角是直角的四边形是矩形.一、矩形性质的认识【例1】下列性质中矩形不一定具有的性质是（）A．对角线互相平分B．对角线互相垂直C．对角线相等D．既是轴对称图形又是中心对称图形【例2】关于矩形，下列说法错误的是()A．四个角相等B．对角线相等C．四条边相等D．对角线互相平分【例3】下列说法中能判定四边形是矩形的是()A ．有两个角为直角的四边形B ．对角线互相平分的四边形C ．对角线相等的四边形D ．四个角都相等的四边形二、利用矩形的性质求角度【例1】如图，将矩形ABCD 绕点A 顺时针旋转到矩形AB C D '''的位置，若旋转角为20︒，则1∠为（ ）A ．100︒B ．110︒C ．120︒D ．130︒【例2】如图，在矩形ABCD 中，对角线AC ，BD 交于点O .若60AOB ∠=︒，则OCB ∠的度数为（ ）A ．30°B ．35°C ．40°D ．45°【例3】如图，在矩形ABCD 中，AC ，BD 相交于点O ，AE 平分BAD ∠交BC 于E ，若30DAO ∠=︒，则BEO ∠的度数为( )A ．45︒B ．60︒C ．65︒D ．75︒三、利用矩形的性质求线段【例1】如图，在矩形COED 中，点D 的坐标是()3,4，则CE 的长是（ ）．A ．3B ．4C ．5D ．6【例2】如图，在矩形ABCD 中，2AB =，3BC =，点E 在BC 边上，且1BE =，F 为AB 边上的一个动点，连接EF ，以EF 为边作等边EFG ，且点G 在矩形ABCD 内，连接CG ，则CG 的最小值为（ ）A ．3B ．2C ．1 D【例3】如图，在ABC 中，3AB =，4AC =，5BC =，P 为边BC 上一动点，PE AB ⊥于E ，PF AC ⊥于F ，M 为EF 中点，则AM 的最小值为__．四、利用矩形的性质求面积【例1】如图，矩形ABCD 中，4=AD ，10AB =，点E 为直线AB 的一点，连EC ，平移EC 至DF ，连接DE 、CF ，则四边形DECF 的面积是（ ）A ．15B ．40C ．20D ．30【例2】如图，点P 是矩形ABCD 的对角线AC 上一点，过点P 作EF //BC ，分别交AB ，CD 于点E ，F ，连接PB ，.PD 若2AE =，8.PF =则图中阴影部分的面积为______．【例3】如图，在矩形ABCD 中，AB=4，BC=6，点E 为BC 的中点，将△ABE 沿AE 折叠，使点B 落在矩形内点F 处，连接CF ，则S △ECF 的值为____．五、矩形有关的折叠问题【例1】如图，矩形ABCD 中，AB =4，AD =6，点E 为AD 中点，点P 为线段AB 上一个动点，连接EP ，将△APE 沿PE 折叠得到△FPE ，连接CE ，DF ，当线段DF 被CE 垂直平分时，AF 则线的长为_______．【例2】如图，有一张矩形纸条ABCD，AB＝10cm，BC＝3cm，点M，N分别在边AB，CD上，CN＝1cm．现将四边形BCNM沿MN折叠，使点B，C分别落在点B'，C'上．在点M从点A运动到点B的过程中，若边MB'与边CD交于点E，则点E相应运动的路径长为_____cm．【例3】如图，在长方形ABCD中，点M为CD中点，将△MBC沿BM翻折至△MBE，若∠AME＝α，∠ABE＝β，则α与β之间的数量关系为________．△，C D'与AB交于点E，若【例4】如图，将长方形纸片ABCD沿BD所在直线折叠，得到BC D'∠=︒，则2125∠的度数为_________．六、矩形的判定 解答题【例1】如图，ABC ∆中，AC BC =，CD AB ⊥于点D ，四边形DBCE 是平行四边形．求证：四边形ADCE 是矩形．【例2】如图，在ABC ∆中，//AE BC ，AB AC =，D 为BC 中点，AE BD =．（1）求证：四边形AEBD 是矩形．（2）连接CE 交AB 于点F ，若30ABE ∠=︒，2AE =，直接写出EC 的长．【例3】问题情境：在综合实践课上，老师让同学们探究“平面直角坐标系中的旋转问题”，如图，在平面直角坐标系中，四边形AOBC 是矩形，()0,0O ，点()5,0A ，点()0,3B ．操作发现：以点A 为中心，顺时针旋转矩形AOBC ，得到矩形ADEF ，点O ，B ，C 的对应点分别为D ，E ，F ．(1)如图，当点D 落在BC 边上时，求点D 的坐标；(2)继续探究：如图，当点D 落在线段BE 上时，AD 与BC 交于点H ，求证：ADB AOB ≌；≠，将ABC沿AC翻折至AB C'，连接B D'．【例4】在平行四边形ABCD中，AB BC'=；(1)求证：B E DE'∥；(2)求证：B D AC(3)在平行四边形ABCD中，已知：460，，将ABC沿AC翻折至AB C'，连接B D'．若以BC B=∠=︒A、C、D、B'为顶点的四边形是矩形，求AC的长．BC=．对角线AC的垂直平分线分别交AB、CD于点【例5】已知：如图，在矩形ABCD中，4AB=，2E、F．求线段CF的长．【例6】如图①，四边形ABCD是一张矩形纸片，AD =1，AB =5．在矩形ABCD的边AB上取一点M，在CD上取一点N，将纸片沿MN折叠，使MB与DN相交于点K，得到△MNK，如图①．(1)当点M与点A重合（如图②），且∠BMN=15°时，求△MNK的面积；(2)请你利用备用图探究怎样能够能够使折叠出△MNK的面积最大，最大值是多少【例7】如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，动点E从点A出发，沿边AD，DC向点C运动，A，D关于直线BE的对称点分别为M，N，连接MN．(1)如图，当E在边AD上且DE＝2时，求∠AEM的度数．(2)当N在BC延长线上时，求DE的长，并判断直线MN与直线BD的位置关系，说明理由．(3)当直线MN恰好经过点C DE的长．1．如图，在长方形ABCD中，连接AC，以A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AD，AC于点E，F，分别以E，F为圆心，大于12EF的长为半径画弧，两弧在DAC∠内交于点H，画射线AH交DC于点M．若68ACB∠=︒，则DMA∠的大小为（）A．34︒B．56︒C．66︒D．68︒2．如图，矩形ABCD 中，3AB =，两条对角线,AC BD 所夹的钝角为120︒，则对角线BD 的长为( )A ．3B ．6C ．D ．103．如图，在矩形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，过点A 作AE BD ⊥，垂足为点E ，若2EAC CAD ∠=∠，则BAE ∠的度数为（ ）A ．20︒B ．22.5︒C ．30︒D ．45︒4．如图，矩形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，过点O 作OE BD ⊥，交AD 于点E ，若20ACB ∠=︒，则AOE ∠的大小为__________．5．如图，在矩形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于O ，DE AC ⊥于E ，:1:2EDC EDA ∠∠=，则ODE ∠的度数是___________．6．如图，将矩形ABCD 绕点A 顺时针旋转35︒，得到矩形AB C D '''，则α∠=______.︒．7．如图，四边形ABCD 为矩形，则∠ABC =________；若OA =5，则BD =________．8．如图，延长矩形ABCD 边BC 至点E ，使CE BD =，连接AE ，如果40ADB ∠=︒，则E ∠=______．9．如图，平面直角坐标系中，长方形OABC ，点A ，C 分别在y 轴，x 轴的正半轴上，6OA =，3OC =，45DOE ∠=︒，OD ，OE 分别交BC ，AB 于点D ，E ，且2CD =，则点E 坐标为______．9.4.1 矩形同步培优讲练综合知识点1：矩形的定义有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.知识点2：矩形的性质1.矩形具有平行四边形的所有性质；2.矩形的对角线相等；3.矩形的四个角都是直角；4.矩形是轴对称图形，它有两条对称轴.知识点3：矩形的判定1.定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.2.对角线相等的平行四边形是矩形.3.有三个角是直角的四边形是矩形.一、矩形性质的认识【例1】下列性质中矩形不一定具有的性质是（）A．对角线互相平分B．对角线互相垂直C．对角线相等D．既是轴对称图形又是中心对称图形【答案】B【解析】解：A、矩形的对角线互相平分，故此选项不符合题意；B、矩形的对角线不一定互相垂直，故此选项符合题意；C、矩形的对角线相等，故此选项不符合题意；D、矩形既是轴对称图形又是中心对称图形，故此选项不符合题意；故选：B．【例2】关于矩形，下列说法错误的是()A．四个角相等B．对角线相等C．四条边相等D．对角线互相平分【答案】C【解析】解：矩形的性质为四个角相等，对角线相等，对角线互相平分，故选：C ．【例3】下列说法中能判定四边形是矩形的是( )A ．有两个角为直角的四边形B ．对角线互相平分的四边形C ．对角线相等的四边形D ．四个角都相等的四边形【答案】D【解析】解：A 、有3个角为直角的四边形是矩形，故错误；B 、对角线互相平分的四边形是平行四边形，故错误；C 、对角线相等的平行四边形，故错误；D 、四个角都相等的四边形是矩形，故正确；故选：D ．二、利用矩形的性质求角度【例1】如图，将矩形ABCD 绕点A 顺时针旋转到矩形AB C D '''的位置，若旋转角为20︒，则1∠为（）A ．100︒B ．110︒C ．120︒D ．130︒【答案】B【解析】解：设C D ''与BC 交于点E ，如图所示．∵旋转角为20︒，∴20DAD '∠=︒，∴9070BAD DAD ''∠=︒-∠=︒．∵360BAD B BED D '''∠+∠+∠+∠=︒，∴360709090110BED '∠=︒-︒-︒-︒=︒，∴1110BED '∠=∠=︒．故选：B ．【例2】如图，在矩形ABCD 中，对角线AC ，BD 交于点O.若60AOB ∠=︒，则OCB ∠的度数为（ ）A ．30°B ．35°C ．40°D ．45° 【答案】A【解析】解：∵四边形ABCD 是矩，∠AOB ＝60°，∴∠BCD ＝90°，∠COD ＝60°，OC ＝OD ＝1122AC BD =， ∴△COD 是等边三角形，∴∠OCD ＝60°，∴∠OCB ＝90°﹣∠OCD ＝30°，故选：A ．【例3】如图，在矩形ABCD 中，AC ，BD 相交于点O ，AE 平分BAD ∠交BC 于E ，若30DAO ∠=︒，则BEO ∠的度数为( )A ．45︒B ．60︒C ．65︒D ．75︒【答案】D【解析】解：∵四边形ABCD 是矩形，∴∠BAD=∠ABC=90°，OA=12AC ，OB=12BD ，AC=BD ， ∴OA=OB ，∵AE 平分∠BAD ，∴∠BAE=∠DAE=45°，∴△ABE 是等腰直角三角形，∴AB=BE ，∵∠DAO=30°，∴∠EAO=15°，∴∠BAO=45°+15°=60°，∴△AOB 是等边三角形，∴∠ABO=60°，OB=AB ，∴∠OBE=90°-60°=30°，OB=BE ，∴∠BEO=12×（180°-30°）=75°． 故选：D ．三、利用矩形的性质求线段【例1】如图，在矩形COED 中，点D 的坐标是()3,4，则CE 的长是（ ）．A ．3B ．4C ．5D ．6【答案】C【解析】 解：四边形COED 是矩形， CE OD ∴=，点D 的坐标是()3,4，5OD ∴=，5CE ∴=，故选：C ．【例2】如图，在矩形ABCD 中，2AB =，3BC =，点E 在BC 边上，且1BE =，F 为AB 边上的一个动点，连接EF ，以EF 为边作等边EFG ，且点G 在矩形ABCD 内，连接CG ，则CG 的最小值为（ ）A ．3B ．2C ．1 D【答案】B【解析】解：如图，以EC 为边作等边三角形ECH ，过点H 作HN BC ⊥于N ，HM AB ⊥于M ，又∵90ABC ∠=︒，∴四边形MHNB 是矩形，∴MH BN =，∵1BE =，2AB =，3BC =，∴2EC =，∵EHC △是等边三角形，HN EC ⊥，∴2EC EH ==，1EN NC ==，60HEC ∠=︒，∴2BN MH ==，∵FGE △是等边三角形，∴FE FG =，60FEG HEC ∠=︒=∠，∴FEH GEC ∠=∠，在FEH △和GEC 中，FE GE FEH GEC HE EC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()SAS FEH GEC ≌，∴FH GC =，∴当FH AB ⊥时，FH 有最小值，即GC 有最小值，∴点F 与点M 重合时，2FH HM ==，故选B ．【例3】如图，在ABC 中，3AB =，4AC =，5BC =，P 为边BC 上一动点，PE AB ⊥于E ，PF AC ⊥于F ，M 为EF 中点，则AM 的最小值为__．【答案】65【解析】解：如图，连接AP ，3AB =，4AC =，5BC =，90EAF ∴∠=︒，PE AB ⊥于E ，PF AC ⊥于F ，∴四边形AEPF 是矩形，EF ∴，AP 互相平分．且EF AP =，EF ∴，AP 的交点就是M 点．当AP 的值最小时，AM 的值就最小，∴当⊥AP BC 时，AP 的值最小，即AM 的值最小．1122AP BC AB AC ⋅=⋅， AP BC AB AC ∴⋅=⋅，3AB =，4AC =，5BC =，534AP ∴=⨯，125AP ∴=， 65AM ∴=； 故答案为：65．四、利用矩形的性质求面积【例1】如图，矩形ABCD 中，4=AD ，10AB =，点E 为直线AB 的一点，连EC ，平移EC 至DF ，连接DE 、CF ，则四边形DECF 的面积是（ ）A ．15B ．40C ．20D ．30【答案】B【解析】解：已知平移EC 至DF ，则EC DF ∥，EC DF =四边形CEDF 是平行四边形，则122410402CEDF CED S S CD DA CD DA ==⨯⨯⨯==⨯= 故选：B ．【例2】如图，点P 是矩形ABCD 的对角线AC 上一点，过点P 作EF//BC ，分别交AB ，CD 于点E ，F ，连接PB ，.PD 若2AE =，8.PF =则图中阴影部分的面积为______．【答案】16【解析】解：作PM AD ⊥于M ，交BC 于N ．则有四边形AEPM ，四边形DFPM ，四边形CFPN ，四边形BEPN 都是矩形，ADC ABC SS ∴=，AMP AEP S S =，PBE PBN S S =，PFD PDM S S =，PFC PCN S S =， ADC AMP PFC ABC AEP PCN S S S S S S ∴--=--，即BEPN DFPM S S =矩形矩形， 12882DFP PBE S S ∴==⨯⨯=， 8816S ∴=+=阴影，故答案为：16【例3】如图，在矩形ABCD 中，AB=4，BC=6，点E 为BC 的中点，将△ABE 沿AE 折叠，使点B 落在矩形内点F 处，连接CF ，则S △ECF 的值为____．【答案】10825【解析】如图，连接BF ，，∵BC=6，点E 为BC 的中点，∴BE=3， 又∵AB=4，∴，由折叠可知：BF ⊥AE （对应点的连线必垂直于对称轴），∴BH=431255 AB BEAE•⨯==，∴BF=245，∵EF=BE=CE，∴∠BFC=90°，根据勾股定理可得：185，S△ECF=12S△BCF=12×12×185×245=10825，故答案为：108 25．五、矩形有关的折叠问题【例1】如图，矩形ABCD中，AB=4，AD=6，点E为AD中点，点P为线段AB上一个动点，连接EP，将△APE沿PE折叠得到△FPE，连接CE，DF，当线段DF被CE垂直平分时，AF则线的长为_______．【答案】18 5【解析】解：连接AF交PE于O，连接DF，∵矩形ABCD，∴BC=AD=6,CD=AB=4，∵线段DF被CE垂直平分时，∴CF=CD=4,ED=EF，∵将△APE沿PE折叠得到△FPE，∴PE是线段AF的垂直平分线，∴AE=EF,AF=2OA，∴AE=ED=EF，∵AD=AE+ED=6，∴AE=ED=EF=3，设AP=x，则PF=AP=x，BP=4-x，PC=PF+FC=x+4，∵PC2=BP2+BC2,即（x+4）2=（4-x）2+62∴x=94，∵154 =，∴1122PE AO PA AE=，即115193 2424AO⨯=⨯⨯，解得：AO=95，∴AF=2AO=185．故答案为185．【例2】如图，有一张矩形纸条ABCD，AB＝10cm，BC＝3cm，点M，N分别在边AB，CD上，CN＝1cm．现将四边形BCNM沿MN折叠，使点B，C分别落在点B'，C'上．在点M从点A运动到点B的过程中，若边MB'与边CD交于点E，则点E相应运动的路径长为_____cm．1【解析】如图1中，当点M与A重合时，AE＝EN，设AE＝EN＝xcm，在Rt△ADE中，则有x2＝32+（9﹣x）2，解得x＝5，∴DE＝10﹣1-5＝4（cm），如图2中，当点M运动到MB′⊥AB时，DE′的值最大，DE′＝10﹣1﹣3＝6（cm），如图3中，当点M运动到点B′落在CD时，NB'=DB′（即DE″）＝10﹣1＝（9（cm），∴点E的运动轨迹E→E′→E″，运动路径＝EE′+E′B′＝6﹣4+6﹣（91）（cm）．1．【例3】如图，在长方形ABCD中，点M为CD中点，将△MBC沿BM翻折至△MBE，若∠AME＝α，∠ABE＝β，则α与β之间的数量关系为________．【答案】3290βα-=︒【解析】如图，延长BE 交AD 于点N ，设BN 交AM 于点O ．∵四边形ABCD 是矩形，∴∠D=∠C=90°，AD=BC ，∵DM=MC ，∴△ADM ≌△BCM(SAS)，∴∠DAM=∠CBM ，∵△BME 是由△MBC 翻折得到，∴∠CBM=∠EBM=12(90°−β)，∵∠DAM=∠MBE ，∠AON=∠BOM ，∴∠OMB=∠ANB=90°−β，在△MBE 中，∵∠EMB+∠EBM=90°，∴α+(90°−β)+12(90°−β)=90°，整理得：3β−2α=90°故答案为：3β−2α=90°【例4】如图，将长方形纸片ABCD 沿BD 所在直线折叠，得到BC D '△，C D '与AB 交于点E ，若125∠=︒，则2∠的度数为_________．【答案】40︒【解析】解：在矩形ABCD 中，90C ∠=︒，AB CD ∥，∴190CBD ∠+∠=︒，1ABD ∠=∠，125∠=︒，∴65CBD ∠=︒，25ABD ∠=︒，由折叠可知：2ABD CBD ∠+∠=∠，∴2652540CBD ABD ∠=∠-∠=︒-︒=︒．故答案为：40︒．六、矩形的判定 解答题【例1】如图，ABC ∆中，AC BC =，CD AB ⊥于点D ，四边形DBCE 是平行四边形．求证：四边形ADCE 是矩形．【答案】见解析【解析】证明：AC BC =，CD AB ⊥，90ADC ∴∠=︒，AD BD =．在DBCE 中，//EC BD ，EC BD =，//EC AD ∴，EC AD =．∴四边形ADCE 是平行四边形．又90ADC ∠=︒，∴四边形ADCE 是矩形．【例2】如图，在ABC ∆中，//AE BC ，AB AC =，D 为BC 中点，AE BD =．（1）求证：四边形AEBD 是矩形．（2）连接CE 交AB 于点F ，若30ABE ∠=︒，2AE =，直接写出EC 的长．【答案】见解析【解析】（1）证明：//AE BD ，AE BD =，∴四边形AEBD 是平行四边形，AB AC =，D 为BC 的中点，AD BC ∴⊥，90ADB ∴∠=︒，∴四边形AEBD 是矩形．（2）解：四边形AEBD 是矩形，90AEB DBE ∴∠=∠=︒，2BD AE ==，30ABE ∠=︒，BE ∴==24BC BD =，EC ∴=，【例3】问题情境：在综合实践课上，老师让同学们探究“平面直角坐标系中的旋转问题”，如图，在平面直角坐标系中，四边形AOBC 是矩形，()0,0O ，点()5,0A ，点()0,3B ．操作发现：以点A 为中心，顺时针旋转矩形AOBC ，得到矩形ADEF ，点O ，B ，C 的对应点分别为D ，E ，F ．(1)如图，当点D 落在BC 边上时，求点D 的坐标；(2)继续探究：如图，当点D 落在线段BE 上时，AD 与BC 交于点H ，求证：ADB AOB ≌；【答案】(1)()1,3D (2)证明见解析【解析】（1）解：∵()5,0A ，()0,3B ，∴5OA =，3OB =，∵四边形AOBC 是矩形，∴3AC OB ==，5OA BC ==，90OBC C ∠=∠=︒，∵矩形ADEF 是由矩形AOBC 旋转得到，∴5AD AO ==，在Rt ADC 中，4CD =，∴1BD BC CD =-=，∴()1,3D ．（2）证明：四边形ADEF 是矩形，90ADE ∴∠=︒，点D 在线段BE 上，90ADB ∴∠=︒，由旋转的性质得：AD AO =，在Rt ADB 和Rt AOB △中，AB AB AD AO =⎧⎨=⎩， ∴()Rt Rt HL ADB AOB ≅．【例4】在平行四边形ABCD 中，AB BC ≠，将ABC 沿AC 翻折至AB C '，连接B D '．(1)求证：B E DE '=；(2)求证：B D AC '∥；(3)在平行四边形ABCD 中，已知：460BC B =∠=︒，，将ABC 沿AC 翻折至AB C '，连接B D '．若以A 、C 、D 、B '为顶点的四边形是矩形，求AC 的长．【答案】(1)见解析(2)见解析(3)【解析】（1）证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD BC AD BC =，∥，∴EAC ACB ∠=∠，由折叠的性质可知ACB ACB BC B C ''∠=∠=，，∴EAC ACB '∠=∠，BC AD '=，∴AE CE =，∴B C CE AD AE '-=-，即B E DE '=；（2）证明：∵B E DE '=， ∴()11802CB D B DA B ED '''∠=∠=︒-∠， 同理可得()11802EAC ECA AEC ∠=∠=︒-∠， ∵AEC B ED '∠=∠，∴ACB CB D ''∠=∠，∴B D AC '∥；（3）解：分两种情况：①如图1所示：∵四边形ACDB 是矩形，∴90CAB '∠=︒，∴90BAC ∠=︒，∵=60B ∠︒，∴30ACB ∠=︒， ∴122AB BC ==,∴AC②如图2所示：∵四边形ACB D '是矩形，∴90ACB '∠=︒，∴90ACB ∠=︒，∵460BC B =∠=︒，，∴30BAC ∠=︒，∴28AB AC ==,∴AC综上所述：AC 的长为【例5】已知：如图，在矩形ABCD 中，4AB =，2BC =．对角线AC 的垂直平分线分别交AB 、CD 于点E 、F ．求线段CF 的长．【答案】52CF =【解析】解：连接AF ，如图所示：∵四边形ABCD 是矩形，∴42CD AB AD BC ====，，∵EF 是AC 的垂直平分线，∴AF CF =，设CF x =，则4DF CD CF x =-=- ，在Rt ADF 中，222AF DF DA +＝，即22224x x =+-（），解得：x =52， ∴52CF ＝【例6】如图①，四边形ABCD 是一张矩形纸片，AD =1，AB =5．在矩形ABCD 的边AB 上取一点M ，在CD 上取一点N ，将纸片沿MN 折叠，使MB 与DN 相交于点K ，得到△MNK ，如图①．(1)当点M 与点A 重合（如图②），且∠BMN=15°时，求△MNK 的面积；(2)请你利用备用图探究怎样能够能够使折叠出△MNK 的面积最大，最大值是多少【答案】(1)△MNK 的面积为1 (2)△MNK 的面积最大值为1.3【解析】（1）解：∵四边形ABCD 是矩形，∴在图1、图2中，DNAB ，∴∠DNM=∠BMN ，又∵折叠，∴∠BMN =∠KMN ，∴∠KMN=∠KNM ，∴NK=MK ，∵△MNK 的面积S=12NK•AD=12NK ，∴S=12MK ，图2中，由折叠知，∠KAN=∠NAB=15°，∵DN AB ，∴∠KNA=∠NAB，∴∠KNA=∠KAN=15°，KA=KN，∴在Rt ADK中，∠DKA=30°，KA=2AD=2∴△MNK的面积S=12NK•AD=12NK，∴S=12AK=1；（2）有以下两种情况：情况一：如图3，将矩形纸片对折，使点B与D重合，此时点K也与D重合．设MK=MB=x，则AM=5-x．由勾股定理得：12+ (5-x)2=x2，解得，x=2.6，即MD= ND= 2.6，∴S△MNK= S△ACK=12×1×2.6 =1.3；情况二：如图4，将矩形纸片沿对角线AC对折，此时折痕即为AC．设MK=AX= CK=x，则DK=5-x，同理可得MK=NK=2.6，∴S△MNK= S△ACK=12×1×2.6 =1.3，∴△MNK的面积最大值为1.3．【例7】如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，动点E从点A出发，沿边AD，DC向点C运动，A，D关于直线BE的对称点分别为M，N，连接MN．(1)如图，当E在边AD上且DE＝2时，求∠AEM的度数．(2)当N 在BC 延长线上时，求DE 的长，并判断直线MN 与直线BD 的位置关系，说明理由．(3)当直线MN 恰好经过点C 时，求DE 的长．【答案】(1)∠AEM ＝90° (2)MN BD ∥，理由见解析 (3)DE 的长为【解析】（1）解：如图1，∵DE ＝2，∴AE ＝AB ＝6，∵四边形ABCD 是矩形，∴∠A ＝90°，∴∠AEB ＝∠ABE ＝45°．由对称性知∠BEM ＝45°，∴∠AEM ＝90°．（2）解：如图2，∵AB ＝6，AD ＝8，∴BD ＝10，∵当N 落在BC 延长线上时，BN ＝BD ＝10，∴CN ＝2．设DE EN x ==，则6CE x =-，∵222CE CN EN +=，解得：103x =， ∴103DE EN ==． ∵BM ＝AB ＝CD ，MN ＝AD ＝BC ，∴Rt Rt (H )L BMN DCB ≌，∴∠DBC ＝∠BNM ，∴MN BD ∥；（3）分类讨论：①如图3，当E 在边AD 上时，∴∠BMC ＝90°，∴MC =．∵BM ＝AB ＝CD ，∠DEC ＝∠BCE ，∴△BCM ≌△CED(AAS)，∴DE ＝MC ＝②如图4，当点E 在边CD 上时，∵BM ＝6，BC ＝8，∴MC ＝∴8CN MN MC =-=-设DE EN y ==，则6CE y =-，∴222(6)(8y y -=-+，解得：y =∴DE =综上所述，DE 的长为1．如图，在长方形ABCD 中，连接AC ，以A 为圆心，适当长为半径画弧，分别交AD ，AC 于点E ，F ，分别以E ，F 为圆心，大于12EF 的长为半径画弧，两弧在DAC ∠内交于点H ，画射线AH 交DC 于点M ．若68ACB ∠=︒，则DMA ∠的大小为（ ）A ．34︒B ．56︒C ．66︒D ．68︒【答案】B【解析】 解：四边形ABCD 是长方形，90,D AD BC ∴∠=︒， 68DAC ACB ∴∠=∠=︒，由题意可知，AM 平分DAC ∠，1342DAM DAC ∴∠=∠=︒， 9056DMA DAM ∴∠=︒-∠=︒，故选：B ．2．如图，矩形ABCD 中，3AB =，两条对角线,AC BD 所夹的钝角为120︒，则对角线BD 的长为( )A ．3B ．6C ．D ．10【答案】B【解析】解：在矩形ABCD 中，OA OB =，∵两条对角线,AC BD 所夹的钝角为120︒ 60AOB ∠∴=︒，AOB ∴是等边三角形，3OB AB ∴==，2236BD OB ∴==⨯=．故选：B ．3．如图，在矩形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，过点A 作AE BD ⊥，垂足为点E ，若2EAC CAD ∠=∠，则BAE ∠的度数为（ ）A ．20︒B ．22.5︒C ．30︒D ．45︒【答案】B【解析】 解：四边形ABCD 是矩形，AC BD ∴=，OA OC =，OB OD =，OA OB OD ∴==，即AOB 、AOD △均为等腰三角形， OAD ODA ∠=∠∴，OAB OBA ∠=∠，AOE ∠是等腰AOD △的一个外角，2AOE OAD ODA OAD ∴∠=∠+∠=∠，2EAC CAD ∠=∠，EAO AOE ∠∠∴=，AE BD ⊥，90AEO ∴∠=︒，即AEO △是等腰直角三角形，45AOE ∴∠=︒，()()111801804567.522OAB OBA AOB ∴∠=∠=︒-∠=︒-︒=︒， 67.54522.5BAE OAB OAE ∴∠=∠-∠=︒-︒=︒，故选：B ．4．如图，矩形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，过点O 作OE BD ⊥，交AD 于点E ，若20ACB ∠=︒，则AOE ∠的大小为__________．【答案】50︒【解析】∵四边形ABCD 是矩形，OA OB OC OD ∴===，20ACB ∠=︒，20OBC OCB ∴∠=∠=︒，40AOB OBC OCB ∴∠=∠+∠=︒，OE BD ⊥，904050AOE BOE AOB ∴∠=∠-∠=︒-︒=︒，故答案为：50︒．5．如图，在矩形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于O ，DE AC ⊥于E ，:1:2EDC EDA ∠∠=，则ODE ∠的度数是___________．【答案】30︒【解析】【解答】解：∵:1:2EDC EDA ∠∠=，90EDC EDA ∠+∠=︒，∴30EDC ∠=︒，60EDA ∠=︒，∵DE OC ⊥，∴9060DCE EDC ∠︒=︒-∠=，∵四边形ABCD 是矩形，∴OA OD OC ==，∴ODC 是等边三角形，∵DE OC ⊥， ∴1302ODE CDE ODC ∠=∠=∠=︒， 故答案为：30︒．6．如图，将矩形ABCD 绕点A 顺时针旋转35︒，得到矩形AB C D '''，则α∠=______.︒【答案】125 【解析】解：将矩形ABCD 绕点A 顺时针旋转35︒得到矩形AB C D '''，∴903555BAD ∠=︒-︒='︒，∵360BAD ABC AD C α∠+∠+∠'+='∠'︒，∴360909055125α∠=︒-︒-︒-︒=︒，故答案为：125．7．如图，四边形ABCD 为矩形，则∠ABC=________；若OA=5，则BD=________．【答案】 90︒ 10【解析】∵四边形ABCD 是矩形，OA=5，∴ABC ∠=90︒，210BD AC OA ===，故答案为：9010︒，． 8．如图，延长矩形ABCD 边BC 至点E ，使CE BD =，连接AE ，如果40ADB ∠=︒，则E ∠=______．【答案】20°【解析】解：连接AC，∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BE，AC=BD，且∠ADB=∠CAD=30°，∴∠E=∠DAE，又∵BD=CE，∴CE=CA，∴∠E=∠CAE，∵∠CAD=∠CAE+∠DAE，∴∠E+∠E=40°，即∠E=20°，故答案为：20°．9．如图，平面直角坐标系中，长方形OABC，点A，C分别在y轴，x轴的正半轴上，6OA=，3OC=，45DOE∠=︒，OD，OE分别交BC，AB于点D，E，且2CD=，则点E坐标为______．【答案】6,6 5⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】解：过点E作EF OD⊥，过点F作FN OC⊥，并延长NF交AB延长线于点M，如下图：则90EFO FNO ∠=∠=︒，∴90OFN EFM ∠+∠=︒，90OFN FON ∠+∠=︒ ∴FON EFM ∠=∠在矩形OABC 中，//AB OC ，63OA BC OC AB ====， ∴90M FNO ∠=∠=︒∴四边形BCNM 为矩形∴6MN BC ==，//CD MN ，BM CN = ∴AM ON =∵45DOE ∠=︒∴EFO △为等腰直角三角形，EF OF =∴FON EFM △≌△∴MF ON =，EM FN =设MF ON x ==，则6EM FN x ==-，(,6)F x x - 设直线OD 解析式为y kx =由题意可知(3,2)D ，代入y kx =得，32k =，解得23k =， 又∵点(,6)F x x -在直线OD 上，∴263x x -= 解得185x =，即181255AM ON FN EM ====， ∴65AE AM EM =-=∴点E 坐标为6,65⎛⎫ ⎪⎝⎭故答案为6,65⎛⎫ ⎪⎝⎭。

人教版九年级数学章节培优训练试卷班级 姓名第二十二章 二次函数 22.3 实际问题与二次函数第1课时 图形面积问题一、选择题1. 用长为4米的绳子围成一个矩形，它的一边长为x 米，设它的面积为S 平方米，则S 与x 的函数关系为( ) A.正比例函数关系 B.一次函数关系 C.二次函数关系 D.以上都不是2. 如图，将一根长2 m 的铁丝首尾相接围成矩形，则围成的矩形的面积最大是( )A.14 m 2 B.13m 2C.12m 2 D.1 m 23. 如图，有一个矩形苗圃，其中一边靠墙，另外三边用长为20 m 的篱笆围成.已知墙长为15 m ，若平行于墙的一边长不小于8 m ，则这个苗圃面积的最大值和最小值分别为( )A.48 m 2，37.5 m 2B.50 m 2，32 m 2C.50 m 2，37.5 m 2D.48 m 2，32 m 24. 为了节省材料，某工厂利用岸堤MN(岸堤足够长)为一边，用总长为80米的材料围成一个由三块面积相等的小长方形组成的长方形区域(图中长方形ABCD)，若BC=(x+20)米，则下列4个结论:①AB=(10-1.5x)米;②BC=2CF;③AE=2BE;④长方形ABCD 的最大面积为300平方米.其中正确结论的序号是( )A.①②B.①③C.②③D.③④5.如图，将一根长2 m 的铁丝首尾相接围成矩形，则围成的矩形的面积的最大值是( )A.14m 2 B.13m 2 C.12m 2 D.1 m 26.如图，预防新冠肺炎疫情期间，某校在校门口用塑料膜围成一个矩形临时隔离区，隔离区一面靠长为5 m 的墙，隔离区被分成两个矩形区域(用塑料膜隔开).已知整个隔离区塑料膜总长为12 m ，如果隔离区出入口的大小不计，小明认为:隔离区的最大面积为12 m 2;小亮认为:隔离区的面积可能为9 m 2.则( )A.小明正确，小亮错误B.小明错误，小亮正确C.两人均正确D.两人均错误二、填空题7.用长12 m的铝合金条制成矩形窗框(如图所示)，那么这个窗户的最大透光面积是.(中间横条所占的面积忽略不计)8.如图，某农场计划修建三间矩形饲养室，饲养室一面靠现有墙(墙可用长度≤20 m)，中间用两道墙隔开.已知计划中的修筑材料可建围墙总长为60 m，设饲养室宽为x m，占地总面积为y m2，则三间饲养室总面积y的最大值为.9.如图，要在夹角为30°的两条小路OA与OB形成的角状空地上建一个三角形花坛，分别在边OA和OB上取点P和点Q，并扎起篱笆将花坛保护起来(篱笆的厚度忽略不计).若OP和OQ两段篱笆的总长为60 m，则该花坛(△POQ)面积的最大值为m2.10.某农场拟建两间矩形饲养室，一面靠足够长的墙体，中间用一道围栏隔开，并在如图所示的两处各留1 m宽的门，围栏(不含门)的总长为26 m，若要使得建成的饲养室面积最大，则利用墙体的长度为m.三、解答题11.如图，要用篱笆(虚线部分)围成一个矩形苗圃ABCD，其中两边靠的墙足够长，中间用平行于AB的篱笆EF隔开，已知篱笆的总长度为18米，设矩形苗圃ABCD的一边AB的长为x(m)，矩形苗圃ABCD的面积为y(m2).(1)求y与x的函数关系式;(2)求所围矩形苗圃ABCD的面积的最大值.12.某社区决定把一块长为50 m、宽为30 m的矩形空地建为居民健身广场，设计方案如图所示，阴影区域为绿化区(四块绿化区为大小、形状都相同的矩形)，空白区域为活动区，且四周的四个出口宽度相同，其宽度不小于14 m，不大于26 m，设绿化区较长边的长为x m，活动区的面积为y m2.(1)求y与x的函数表达式并求出自变量x的取值范围;(2)求活动区的最大面积.答案全解全析一、选择题1.答案 C ∵矩形的周长为4米，一边长为x 米，∴其邻边长为(2-x)米，∴S=x(2-x)=-x 2+2x ，∴S 与x 的函数关系为二次函数关系.故选C.2.答案 A 设矩形的一边长为x m ，则其邻边长为(1-x)m ，设矩形的面积为S m 2，则S=x(1-x)=-x 2+x=-(x -12)2+14，∵0<x<1，∴当x=12时，S 取得最大值，为14.∴周长为2 m 的矩形的最大面积为14m 2.故选A.3.答案 C 设平行于墙的一边长为x m ，苗圃面积为S m 2，则S=x×12(20-x)=-12(x 2-20x)=-12(x-10)2+50(8≤x≤15)，易知当x=10时，S 有最大值，S 最大=50.∵15-10>10-8，∴当x=15时，S 有最小值， S 最小=15×12×(20-15)=37.5，∴这个苗圃面积的最大值和最小值分别为50 m 2，37.5 m 2.故选C. 4. 答案 D ∵三块小长方形的面积相等，∴EG=GF，设EG=FG=a ，AE=HG=DF=b ，则EF=BC=2a ，故BE=FC=12b ，无法得出BC=2CF ，故②错误;可得AE=2BE ，故③正确;可得b+12b+b+12b+b=80-2(x+20)，解得b=10-12x ，则AB=32(10-12x)=(15-34x)米，故①错误;设长方形ABCD的面积为S 平方米，则S=(15-34x)(20+x)=-34x 2+300，∵-34x 2≤0，∴当x=0，即BC=20米时，S 取得最大值，为300，故④正确.故选D.5. 答案 A 设矩形的一边长为x m ，则其邻边长为(1-x)m.设矩形的面积为S m 2，则S=x(1-x)=-x 2+x=-(x -12)2+14(0<x<1)，当x=12时，S取得最大值，最大值为14，∴围成的矩形的最大面积为14m 2.6. 答案 B 设平行于墙的塑料膜的长度为x m ，隔离区的面积为S m 2，由题意得S=12-x 3×x=-13x 2+4x(0<x≤5)，∴抛物线的对称轴为x=-42×(-13)=6，∵抛物线开口向下，0<x≤5时对应的图象在对称轴左侧，∴S 随x 的增大而增大，∴当x=5时，S 有最大值，S 最大值=-13×52+4×5=-253+20=353.∵353<12，∴小明错误.令S=9，得9=-13x 2+4x ，解得x 1=9(舍)，x 2=3，∴x=3时，S=9.∴隔离区的面积可能为9 m 2，即小亮正确. 二、填空题 7.答案 6 m 2解析 设窗户的高度为x m ，窗户的透光面积为S m 2，则宽为(12-2x 3)m ，由矩形面积公式得S=12-2x 3·x=-23x 2+4x=-23(x-3)2+6，∵x>0，12-2x3>0，∴0<x<6，∵-23<0，∴S 有最大值，当x=3时，S 取得最大值，为6.故这个窗户的最大透光面积是6 m 2. 8.答案 200解析 若饲养室宽为x m ，则长为(60-4x)m ， ∴y=x(60-4x)=-4x 2+60x=-4(x-7.5)2+225，∵0<60-4x≤20，∴10≤x<15.∵-4<0，∴当x>7.5时，y 随x 的增大而减小，∴当x=10时，y 有最大值，最大值为-4×102+60×10=200. 9. 答案 225解析 如图，作PC⊥OB 于点C ，设OP 长为x m ，△POQ 的面积为Sm 2.则OQ 长为(60-x)m ，∵∠POQ=30°，∴PC=12OP=12x(m)，∴S=12×12x·(60-x)=-14(x-30)2+225(0<x<60)，∴当x=30时，S 取得最大值225，即当OP 的长为30 m 时，△POQ 的面积最大，最大值为225 m 2.10. 答案 14解析 所有围栏的长加上两个门的宽为26+2=28(m)，设平行于墙的围栏的长与一个门的宽的和为x m ，则垂直于墙的围栏长为13(28-x)m ，设建成的饲养室的面积为S m 2，则S=13x(28-x)=-13(x 2-28x)=-13(x-14)2+1963，∴当x=14时，建成的饲养室面积最大，则利用墙体的长度为14 m. 三、解答题11.解析 (1)若AB=x m ，则有BC=(18-2x)m ， 根据题意得y=x(18-2x)=-2x 2+18x ， ∴y 与x 的函数关系式为y=-2x 2+18x. (2)∵0<18-2x ，x>0，∴0<x<9，∵y=-2x 2+18x=-2(x -92)2+812中，-2<0，∴y 有最大值，当x=92时，y 取得最大值，为812.答:所围矩形苗圃ABCD 的面积的最大值为812m 2.12.解析 (1)根据题意，绿化区的宽为[30-(50-2x)]÷2=(x -10)m ， ∴y=50×30-4x(x-10)=-4x 2+40x+1 500，∵四个出口宽度相同，其宽度不小于14 m ，不大于26 m ，即14≤50-2x≤26，∴12≤x≤18，∴y与x的函数表达式为y=-4x2+40x+1 500(12≤x≤18).(2)y=-4x2+40x+1 500=-4(x-5)2+1 600，∵-4<0，∴抛物线的开口向下，当x≥5时，y随x的增大而减小，∵12≤x≤18，∴当x=12时，y有最大值，最大值为1 404.答:活动区的最大面积为1 404 m2.。

第五讲 矩形的性质与判定一【根底回忆】1．如图，矩形ABCD 中，沿对角线BD 向上翻折，使点C 落在点F 处，连AF ． 〔1〕求证：A F ∥BD ；〔2〕假设AB=6，BC=8，那么AF=___________．2．如图，矩形ABCD 中，AC=2AB ，AE 平分∠DAB ，那么∠OEA=__________．3．如图，矩形ABCD 中，E F ⊥CE ，EF=CE ，DE=4，矩形的周长为32，那么CF=________．4．如图，矩形ABCD 中，点P 在BC 边上，PE ⊥AC ，PF ⊥BD ，AB=6，BC=8，那么PE+PF=_______．5．如图，矩形ABCD 中，∠AOD=120°，OD=2，那么AB=________，AD=__________．6．如图，矩形ABCD 中，CE ⊥BD ，DE=13BE=2，那么BC=_________；CD=___________．7．如图，矩形ABCD 中，AE 平分∠BAD ，∠EAC=15°，那么∠BOE=_____________．8．如图，矩形ABCD 中，AB=6，BC=8，沿AC 折叠到△ACE ，AE 交BC 于F ， 求S △ACFEDDB CD B CD CD ED A C二【矩形的判定】9．如图，AC=BC ，AD ⊥BC 于D ，点P 为AB 上的动点，PE ⊥BC ，PF ⊥AC ，垂足分别为E 、F ．〔1〕求证：PE+PF=AD ；〔2〕假设点P 在AB 的延长线上，问PE 、PF 、AD 有怎样的关系？画图并证明．10．如图，BE 平分△ABC 的外角，BF 平分∠ABC ，AE ⊥BE 于E 点，AF ⊥BF 于F 点， 〔1〕求证：四边形AEBF 是矩形；〔2〕求证：EF ∥BC ．三【矩形的性质与判定】11．如图，矩形ABCG 中，点D 是AG 的中点，DE ⊥CD 交AB 于E ，BE=BC ，连CE 交BD 于F ，求证：〔1〕BD=CD ；〔2〕∠BDC=45°；〔3〕DE=DF ．FA12．如图，在矩形ABCD 中，AD=5，AB=4，点E 、G 、H 、F 分别在AB 、BC 、CD 、AD上，且AF=CG=2，BE=DH=1，点P 是直线EF 、GH 之间任意一点，连接PE 、PF 、PG 、PH ，那么△PEF 和△PGH 的面积和等于．13．如图，矩形ABCD 中，对角线AC 、BD 交于O ，AE ⊥BD 于E ，AB=6，AD=8 那么BD=_________；AE=__________． 14．如图，矩形ABCD 中，E 在BC 上，AB=3，AD=5，CE=1，DF ⊥AE 于F ，那么DF=_______．四【问题探究】15．等腰三角形ABC 和DBE 的底角共顶点，AB=AC ，DB=DE ，∠BAC=∠BDE ，以线段AD 和AC 为邻边作平行四边形ACFD ，连接CE ．〔1〕如图1，B 、D 、C 依次在同一直线上，∠BAC=∠BDE=60°，那么∠ECF=_________； 〔2〕如图2，B 、D 、C 依次在同一直线上，∠BAC=∠BDE=90°，那么∠ECF=_________； 请任选一个加以证明．OD 第13题图EC B A FD 第14题图EC B A 图1D A BE FC 图2D CFEB A16．等腰△ABC 和等腰△ADE ，CA=CB ，AD=AE ，∠ACB=∠DAE=a ，以AB 、AD 为邻边作平行四边形ABFD ，连CE 、CF ．〔1〕如图1，当a=90°，且C 、A 、D 在一条直线上时，那么∠CFD=_________；EFCF=________． 〔2〕如图2，当a ＜90°，且C 、A 、D 不在一条直线上，求∠CFE ．17．如图，AB ∥CD ，∠D=90°，AB=AC ，AE=AD ，且∠CAE=90°，连BE 交AC 于F 点． 〔1〕求证：BF=EF ；〔2〕如图2，假设点N 为BC 的中点，求FNBD； 〔3〕如图3，假设M 为AE 的中点，BM 交AC 于P ，求MPBP．图1图2图1E图2E图3E。

中考数学复习《矩形》专项提升训练(附答案) 学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________一、选择题1.如图，将矩形ABCD沿AE折叠，若∠BAD′＝30°，则∠AED′等于( )A.30°B.45°C.60°D.75°2.矩形的对角线一定具有的性质是( )A.互相垂直B.互相垂直且相等C.相等D.互相垂直平分3.一个矩形在平面直角坐标系中三个顶点的坐标为(﹣1，﹣1)，(﹣1，2)，(3，﹣1)，则第四个顶点的坐标为( )A.(2，2)B.(3，2)C.(3，3)D.(2，3)4.如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O.已知矩形ABCD的对角线AC＝8 cm，∠AOD＝120°，则AB的长为( )A. 3 cmB.2 cmC.2 3 cmD.4 cm5.如图，在宽为20m，长为30m的矩形地面上修建两条同样宽的道路，余下部分作为耕地.根据图中数据，计算耕地的面积为( )A.600m2B.551m2C.550m2D.500m26.如图，矩形ABCD中，E在AD上，EF⊥EC，EF＝EC，DE＝2，矩形周长为16，则AE长是( )A.3B.4C.5D.77.在数学活动课上，老师和同学们判断一个四边形门框是否为矩形，下面是某合作学习小组的4位同学拟定的方案，其中正确的是( )A.测量对角线是否相互平分B.测量两组对边是否分别相等C.测量一组对角是否为直角D.测量四边形的其中三个角是否都为直角8.如图，已知▱ABCD的四个内角的角平分线分别交于E，F，G，H.试说明四边形EFGH 的形状是( ).A.平行四边形B.矩形C.任意四边形D.不能判断其形状9.已知,线段AB，BC，∠ABC＝90°.求作：矩形ABCD.以下是甲、乙两同学的作业：对于两人的作业，下列说法正确的是( )A.两人都对B.两人都不对C.甲对，乙不对D.甲不对，乙对)10.如图，矩形ABCD中，AB＝4，AD＝2，E为AB的中点，F为EC上一动点，P为DF 中点，连接PB，则PB的最小值是( )A.2B.4C. 2D.2 2二、填空题11.如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E、F分别是AO、AD的中点，若AB＝6cm，BC＝8cm，则EF＝cm.12.如图，▱ABCD的顶点B在矩形AEFC的边EF上，点B与点E、F不重合，若△ACD 的面积为3，则图中阴影部分两个三角形的面积和为．13.如图，矩形ABCD沿AE折叠，使D点落在BC边上的F点处，如果∠BAF＝60°，则∠AEF＝______．14.如图，在四边形ABCD中，对角线AC⊥BD，垂足为点O，E，F，G，H分别为边AD，AB，BC，CD的中点，若AC=8，BD=6，则四边形EFGH的面积为____.15.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，AC=4，M为斜边AB上一动点，过M作MD⊥AC，过M作ME⊥CB于点E，则线段DE的最小值为．16.如图，矩形ABCD中，AB=7cm,BC=3cm,P、Q两点分别从A、B两点同时出发，沿矩形ABCD的边逆时针运动，速度均为1cm/s，当点P到达B点时两点同时停止运动，若PQ长度为5cm时，运动时间为s．三、解答题17.如图，四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AO＝CO，BO＝DO，且∠ABC＋∠ADC＝180°．(1)求证：四边形ABCD是矩形．(2)若∠ADF：∠FDC＝3：2，DF⊥AC，则∠BDF的度数是多少？18.如图，在矩形ABCD中，AD＝12，AB＝7，DF平分∠ADC，AF⊥EF.(1)求证：AF＝EF；(2)求EF长.19.如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8.将矩形ABCD沿CE折叠后，使点D恰好落在对角线AC上的点F处.(1)求EF的长；(2)求四边形ABCE的面积.20.如图，在矩形ABCD中，E、F分别是边AB、CD上的点，AE＝CF，连接EF、BF，EF与对角线AC交于点O，且BE＝BF，∠BEF＝2∠BAC．(1)求证：OE＝OF；(2)若BC＝23，求AB的长．21.如图所示，△ABC中，D是BC边上一点，E是AD的中点，过点A作BC的平行线交CE的延长线于F，且AF＝BD，连接BF.(1)求证：D是BC的中点；(2)若AB＝AC，试判断四边形AFBD的形状，并证明你的结论.22.如图，在平行四边形ABCD中，AB≠BC，连接AC，AE是∠BAD的平分线，交边DC的延长线于点F．(1)证明：CE＝CF；(2)若∠B＝60°，BC＝2AB，试判断四边形ABFC的形状，并说明理由．23.如图，在▱ABCD中，E是AD上一点，连接BE，F为BE中点，且AF＝BF(1)求证：四边形ABCD为矩形；＝5，CD＝4，求CG．(2)过点F作FG⊥BE，垂足为F，交BC于点G，若BE＝BC，S△BFG参考答案1.C2.C.3.B4.D.5.B.6.A7.D.8.B9.A10.D.11.答案为：2.5.12.答案为：3．13.答案为：75°.14.答案为：12；15.答案为：2.4.16.答案为: 3或717.证明：(1)∵AO＝CO，BO＝DO∴四边形ABCD是平行四边形∴∠ABC＝∠ADC∵∠ABC＋∠ADC＝180°∴∠ABC＝∠ADC＝90°∴四边形ABCD是矩形；(2)解：∵∠ADC＝90°，∠ADF：∠FDC＝3：2 ∴∠FDC＝36°∵DF⊥AC∴∠DCO＝90°﹣36°＝54°∵四边形ABCD是矩形∴OC＝OD∴∠ODC＝54°∴∠BDF＝∠ODC﹣∠FDC＝18°．18.证明：(1)∵四边形ABCD是矩形∴∠B＝∠C＝∠ADC＝90°，AB＝DC＝7，BC＝AD＝12 ∴∠BAF＋∠AFB＝90°∵DF平分∠ADC∴∠ADF＝∠CDF＝45°∴△DCF是等腰直角三角形∴FC＝DC＝7∴AB＝FC∵AF⊥EF∴∠AFE＝90°∴∠AFB＋∠EFC＝90°∴∠BAF＝∠EFC在△ABF和△FCE中∠BAF＝∠EFC；AB＝FC；∠B＝∠C∴△ABF≌△FCE(ASA)∴EF＝AF；(2)解：BF＝BC﹣FC＝12﹣7＝5在Rt△ABF中，由勾股定理得：AF＝＝，则EF＝AF＝.19.解：(1)设EF＝x依题意知：△CDE≌△CFE∴DE＝EF＝x，CF＝CD＝6.∵在Rt△ACD中，AC＝10∴AF＝AC﹣CF＝4，AE＝AD﹣DE＝8﹣x.在Rt△AEF中，有AE2＝AF2＋EF2即(8﹣x)2＝42＋x2解得x＝3，即：EF＝3.(2)由(1)知：AE＝8﹣3＝5∴S＝(5＋8)×6÷2＝39.梯形ABCE20.证明：(1)在矩形ABCD中，AB∥CD∴∠BAC＝∠FCO在△AOE和△COF中∴△AOE≌△COF(AAS)∴OE＝OF；(2)解：如图，连接OB∵BE＝BF，OE＝OF∴BO⊥EF∴在Rt△BEO中，∠BEF＋∠ABO＝90°由直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半可知：OA＝OB＝OC ∴∠BAC＝∠ABO又∵∠BEF＝2∠BAC，即2∠BAC＋∠BAC＝90°，解得∠BAC＝30°∵BC＝2 3∴AC＝2BC＝4 3∴AB＝6．21.(1)证明：∵AF∥BC∴∠AFE＝∠DCE∵点E为AD的中点∴AE＝DE在△AEF和△DEC中∴△AEF≌△DEC(AAS)∴AF＝CD∵AF＝BD∴CD＝BD∴D是BC的中点；(2)若AB＝AC，则四边形AFBD是矩形.理由如下：∵△AEF≌△DEC∴AF＝CD∵AF＝BD∴CD＝BD；∵AF∥BD，AF＝BD∴四边形AFBD是平行四边形∵AB＝AC，BD＝CD∴∠ADB＝90°∴平行四边形AFBD是矩形.22.证明：(1)如图(1)∵AE是∠BAD的平分线∴∠BAF＝∠DAF∵在平行四边形ABCD中∴AB∥DF，AD∥BC∴∠BAF＝∠F，∠DAF＝∠CEF∴∠F＝∠DAF＝∠CEF∴CE＝FC；(2)解：四边形ABFC是矩形理由：如图(2)，∵∠B＝60°，AD∥BC∴∠BAC＝120°∵∠BAF＝∠DAF∴∠BAF＝60°，则△ABE是等边三角形可得AB＝BE＝AE，∠BEA＝∠AFC＝60°∵BC＝2AB∴AE＝BE＝EC∴△ABC是直角三角形，∠BAC＝90°在△ABE和△FCE中∵∴△ABE≌△FCE(ASA)∴AB＝FC又∵AB∥FC∴四边形ABFC是平行四边形再由∠BAC＝90°，故四边形ABFC是矩形．23.证明：(1)∵F为BE中点，AF＝BF∴AF＝BF＝EF∴∠BAF＝∠ABF，∠FAE＝∠AEF在△ABE中，∠BAF＋∠ABF＋∠FAE＋∠AEF＝180°∴∠BAF＋∠FAE＝90°又四边形ABCD为平行四边形∴四边形ABCD为矩形.(2)解：连接EG，过点E作EH⊥BC，垂足为H∵F为BE的中点，FG⊥BE∴BG＝GE＝5，CD＝4∵S△BFG＝10＝0.5BGEH∴S△BGE∴BG＝GE＝5在Rt△EGH中，GH＝3在Rt△BEH中，BE＝45＝BC∴CG＝BC﹣BG＝45﹣5．第11 页共11 页。

矩形专题培优训练引言矩形作为一种基本的几何图形，在数学和应用领域中有着广泛的应用。

熟练掌握矩形的性质和应用是学生数学素养提高的关键之一。

为了帮助学生夯实矩形的基础知识，本文将介绍矩形的定义、性质、判定方法以及应用，并提供相关题目进行培优训练。

1. 矩形的定义矩形是一种特殊的四边形，其特点是四条边两两相等且相邻两边互相垂直。

换句话说，矩形是一种具有四个直角的四边形。

2. 矩形的性质矩形具有以下性质：•四条边两两相等且相邻两边互相垂直；•对角线相等，且互相平分；•对角线互相垂直；•任意一条高将矩形分成两个全等的直角三角形；•矩形的面积等于长乘以宽。

3. 矩形的判定方法判定一个四边形是否为矩形可以根据以下方法进行：•判断四条边是否两两相等；•判断相邻两边是否互相垂直。

只有当上述两个条件都满足时，四边形才能被判定为矩形。

4. 矩形的应用4.1. 建筑设计矩形在建筑设计中有着广泛的应用。

矩形的稳定性使其成为常用的建筑基本单位，如墙壁、门窗等。

4.2. 计算面积由于矩形的面积可以简单地通过长乘以宽来计算，因此在日常生活中，矩形常被用来计算物体的面积，如家具、地板等。

4.3. 绘制图表矩形可以用来绘制各种图表，如柱状图、折线图等。

矩形的四条边都是直线，使得图表的绘制更加规整美观。

5. 矩形专题培优训练题目1.已知一个四边形的四个顶点依次为A(3,5)、B(9,5)、C(9,9)、D(3,9)，判断该四边形是否为矩形。

2.若一个四边形的对角线互相垂直，且其中一条对角线的长度为6，求另一条对角线的长度。

3.一个矩形的面积是36平方单位，若它的长与宽的比为3：2，求其长和宽。

4.在一个矩形的两个相邻顶点上，分别有两只蚂蚁开始移动，它们同时以相同的速度沿着矩形边界行走，两只蚂蚁行走的路径互相垂直，当两只蚂蚁行走一圈后，它们相遇在矩形的中点上，请问矩形的长和宽的比是多少？矩形作为一种基本的几何图形，在数学和应用领域中具有重要的地位。

九年级上册数学 压轴解答题培优测试卷一、压轴题1．如图，在矩形ABCD 中，AB=20cm ，BC=4cm ，点p 从A 开始折线A ——B ——C ——D 以4cm/秒的 速度 移动，点Q 从C 开始沿CD 边以1cm/秒的速度移动，如果点P 、Q 分别从A 、C 同时出发，当其中一点到达D 时，另一点也随之停止运动，设运动的时间t （秒）（1）t 为何值时，四边形APQD 为矩形.（2）如图（2），如果⊙P 和⊙Q 的半径都是2cm ，那么t 为何值时，⊙P 和⊙Q 外切？ 2．如图①，O 经过等边ABC 的顶点A ，C （圆心O 在ABC 内），分别与AB ，CB 的延长线交于点D ，E ，连结DE ，BF EC ⊥交AE 于点F ． （1）求证：BD BE =．（2）当:3:2AF EF =，6AC =，求AE 的长．（3）当:3:2AF EF =，AC a =时，如图②，连结OF ，OB ，求OFB △的面积（用含a 的代数式表示）．3．在长方形ABCD 中，AB ＝5cm ，BC ＝6cm ，点P 从点A 开始沿边AB 向终点B 以1/cm s 的速度移动，与此同时，点Q 从点B 开始沿边BC 向终点C 以2/cm s 的速度移动．如果P 、Q 分别从A 、B 同时出发，当点Q 运动到点C 时，两点停止运动．设运动时间为t 秒．（1）填空：______＝______，______＝______（用含t 的代数式表示）； （2）当t 为何值时，PQ 的长度等于5cm ？（3）是否存在t 的值，使得五边形APQCD 的面积等于226cm ？若存在，请求出此时t 的值；若不存在，请说明理由．4．如图，AB 是⊙O 的直径，AF 是⊙O 的弦，AE 平分BAF ∠，交⊙O 于点E ，过点E 作直线ED AF ⊥，交AF 的延长线于点D ，交AB 的延长线于点C .(1)求证:CD 是⊙O 的切线; (2)若10,6AB AF ==，求AE 的长.5．如图，Rt △ABC ，CA ⊥BC ，AC ＝4，在AB 边上取一点D ，使AD ＝BC ，作AD 的垂直平分线，交AC 边于点F ，交以AB 为直径的⊙O 于G ，H ，设BC ＝x ． （1）求证：四边形AGDH 为菱形； （2）若EF ＝y ，求y 关于x 的函数关系式； （3）连结OF ，CG ．①若△AOF 为等腰三角形，求⊙O 的面积；②若BC ＝3，则30CG+9＝______．（直接写出答案）．6．如图，⊙M 与菱形ABCD 在平面直角坐标系中，点M 的坐标为（﹣3，1），点A 的坐标为（2，0），点B 的坐标为（13D 在x 轴上，且点D 在点A 的右侧． （1）求菱形ABCD 的周长；（2）若⊙M 沿x 轴向右以每秒2个单位长度的速度平移，菱形ABCD 沿x 轴向左以每秒3个单位长度的速度平移，设菱形移动的时间为t （秒），当⊙M 与AD 相切，且切点为AD 的中点时，连接AC ，求t 的值及∠MAC 的度数；（3）在（2）的条件下，当点M 与AC 所在的直线的距离为1时，求t 的值．7．【问题学习】小芸在小组学习时问小娟这样一个问题：已知α为锐角，且sinα=13，求sin2α的值．小娟是这样给小芸讲解的：构造如图1所示的图形，在⊙O中，AB是直径，点C在⊙O上，所以∠ACB=90°，作CD⊥AB于D．设∠BAC=α，则sinα=13BCAB=，可设BC=x，则AB=3x，…．【问题解决】（1）请按照小娟的思路，利用图1求出sin2α的值；（写出完整的解答过程）（2）如图2，已知点M，N，P为⊙O上的三点，且∠P=β，sinβ=35，求sin2β的值．8．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=6，P为边BC上一个动点（可以包括点C但不包括点B），以P为圆心PB为半径作⊙P交AB于点D过点D作⊙P的切线交边AC于点E，（1）求证：AE=DE；（2）若PB=2，求AE的长；（3）在P点的运动过程中，请直接写出线段AE长度的取值范围．9．抛物线G：2y ax c=+与x轴交于A、B两点，与y交于C（0，-1），且AB =4OC．（1）直接写出抛物线G的解析式：；（2）如图1，点D（-1，m）在抛物线G上，点P是抛物线G上一个动点，且在直线OD 的下方，过点P作x轴的平行线交直线OD于点Q，当线段PQ取最大值时，求点P的坐标；（3）如图2，点M 在y 轴左侧的抛物线G 上，将点M 先向右平移4个单位后再向下平移，使得到的对应点N 也落在y 轴左侧的抛物线G 上，若S △CMN =2，求点M 的坐标．10．抛物线()20y ax bx c a =++≠的顶点为(),P h k ，作x 轴的平行线4y k =+与抛物线交于点A 、B ，无论h 、k 为何值，AB 的长度都为4． （1）请直接写出a 的值____________； （2）若抛物线当0x =和4x =时的函数值相等， ①求b 的值；②过点()0,2Q 作直线2y =平行x 轴，交抛物线于M 、N 两点，且4QM QN +=，求c 的取值范围；（3）若1c b =--，2727b -<<，设线段AB 与抛物线所夹的封闭区域为S ，将抛物线绕原点逆时针旋转α，且1tan 2α=，此时区域S 的边界与y 轴的交点为C 、D 两点，若点D 在点C 上方，请判断点D 在抛物线上还是在线段AB 上，并求CD 的最大值．11．如图，已知抛物线234y x bx c =++与坐标轴交于A 、B 、C 三点，A 点的坐标为(1,0)-，过点C 的直线334y x t=-与x 轴交于点Q ，点P 是线段BC 上的一个动点，过P 作PH OB ⊥于点H ．若5PB t =，且01t <<．（1）点C 的坐标是________，b =________； （2）求线段QH 的长（用含t 的式子表示）；（3）依点P 的变化，是否存在t 的值，使以P 、H 、Q 为顶点的三角形与COQ 相似？若存在，直接写出所有t 的值；若不存在，说明理由．12．矩形ABCD 中，AB ＝2，AD ＝4，将矩形ABCD 绕点C 顺时针旋转至矩形EGCF （其中E、G、F分别与A、B、D对应）．（1）如图1，当点G落在AD边上时，直接写出AG的长为；（2）如图2，当点G落在线段AE上时，AD与CG交于点H，求GH的长；（3）如图3，记O为矩形ABCD对角线的交点，S为△OGE的面积，求S的取值范围．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、压轴题1．（1）4；（2）t为4s，203s，283s时，⊙P与⊙Q外切．【解析】试题分析：（1）四边形APQD为矩形，也就是AP=DQ，分别用含t的代数式表示，解即可；（2）主要考虑有四种情况，一种是P在AB上，一种是P在BC上时．一种是P在CD上时，又分为两种情况，一种是P在Q右侧，一种是P在Q左侧．并根据每一种情况，找出相等关系，解即可．试题解析：（1）根据题意，当AP=DQ时，四边形APQD为矩形．此时，4t=20-t，解得t=4（s）．答：t为4时，四边形APQD为矩形（2）当PQ=4时，⊙P与⊙Q外切．①如果点P在AB上运动．只有当四边形APQD为矩形时，PQ=4．由（1），得t=4（s）；②如果点P在BC上运动．此时t≥5，则CQ≥5，PQ≥CQ≥5＞4，∴⊙P与⊙Q外离；③如果点P在CD上运动，且点P在点Q的右侧．可得CQ=t，CP=4t-24．当CQ-CP=4时，⊙P与⊙Q外切．此时，t-（4t-24）=4，解得t=203（s）；④如果点P在CD上运动，且点P在点Q的左侧．当CP-CQ=4时，⊙P与⊙Q外切．此时，4t-24-t=4，解得t=283（s），∵点P 从A 开始沿折线A-B-C-D 移动到D 需要11s ，点Q 从C 开始沿CD 边移动到D 需要20s ，而283＜11， ∴当t 为4s ，203s ，283s 时，⊙P 与⊙Q 外切． 考点：1.矩形的性质；2.圆与圆的位置关系．2．(1)证明见解析；(2)213；(3) 23a 【解析】 【分析】(1)根据△ABC 是等边三角形，从而可以得出∠BAC=∠C ，结合圆周角定理即可证明； (2)过点A 作AG ⊥BC 于点G ，根据△ABC 是等边三角形，可以得到BG 、AG 的值，由BF ∥AG 可得到AF BGEF EB=，求出BE ，最后利用勾股定理即可求解； (3)过点O 作OM ⊥BC 于点M ，由题(2)知AF BGEF EB =，CG=BG=1122AC a =，可以得到BM 的值，根据BF ∥AG ，可证得△EBF ∽△EGA ，列比例式求出BF ，从而表示出△OFB 的面积． 【详解】(1)证明：∵△ABC 是等边三角形， ∴∠BAC=∠C=60°，∵∠DEB=∠BAC=60°，∠D=∠C=60°， ∴∠DEB=∠D ， ∴BD=BE ；(2)解：如图所示，过点A 作AG ⊥BC 于点G ，∵△ABC 是等边三角形，AC=6， ∴BG=11322BC AC ==， ∴在Rt △ABG 中，333AG BG == ∵BF ⊥EC ， ∴BF ∥AG ， ∴AF BG EF EB=， ∵AF ：EF=3：2，∴BE=23BG=2， ∴EG=BE+BG=3+2=5， 在Rt △AEG 中，()2222335213AE AG EG =+=+=(3)解：如图所示，过点O 作OM ⊥BC 于点M ，由题(2)知AF BGEF EB =，CG=BG=1122AC a =， ∴3=2AF BG EF EB =， ∴22113323EB BG a a ==⨯=， ∴EC=CG+BG+BE=11142233a a a a ++=，∴EM=12EC =23a ， ∴BM=EM-BE=211333a a a -=， ∵BF ∥AG ，∴△EBF ∽△EGA ，∴123=11532aBF BE AG EG a a ==+， ∵33AG BG ==， ∴233525BF a a =⨯=， ∴△OFB 的面积＝21313225330BF BM a a a ⋅=⨯⨯=． 【点睛】本题主要考查了圆的综合题，关键是根据等边三角形的性质，勾股定理和相似三角形的判定和性质求解．3．（1）BQ ,2tcm ,PB ,()5t cm -；（2）当t ＝0秒或2秒时，PQ 的长度等于5cm ；（3）存在t ＝1秒，能够使得五边形APQCD 的面积等于226cm ．理由见解析. 【解析】 【分析】（1）根据点P 从点A 开始沿边AB 向终点B 以1/cm s 的速度移动，与此同时，点Q 从点B 开始沿边BC 向终点C 以2/cm s 的速度移动，可以求得BQ ,PB .（2）用含t 的代数式分别表示PB 和BQ 的值，运用勾股定理求得PQ 为22(5)(2)t t -+＝25据此求出t 值.（3）根据题干信息使得五边形APQCD 的面积等于226cm 的t 值存在，利用长方形ABCD 的面积减去PBQ △的面积即可，有PBQ △的面积为4，由此求得t 值. 【详解】解：（1）点Q 从点B 开始沿边BC 向终点C 以2/cm s 的速度移动，故BQ 为2tcm ,点P 从点A 开始沿边AB 向终点B 以1/cm s 的速度移动，AB ＝5cm ，故PB 为()5t cm -.（2）由题意得：22(5)(2)t t -+＝25，解得：1t ＝0，2t ＝2；当t ＝0秒或2秒时，PQ 的长度等于5cm ；（3）存在t ＝1秒，能够使得五边形APQCD 的面积等于226cm ．理由如下： 长方形ABCD 的面积是：56⨯＝()230cm，使得五边形APQCD 的面积等于226cm ，则PBQ △的面积为3026-＝()24cm，()15242t t -⨯⨯=， 解得：1t ＝4（不合题意舍去），2t ＝1．即当t ＝1秒时，使得五边形APQCD 的面积等于226cm ． 【点睛】本题结合长方形考查动点问题，其本质运用代数式求值，利用含t 的代数式表示各自线段的直接，根据题干数量关系即可确立等量关系式，从而求出t 值.4．（1）详见解析；（2）【解析】 【分析】（1）通过证明OE ∥AD 得出结论OE ⊥CD ，从而证明CD 是⊙0的切线； （2）在Rt △ADE 中，求出AD ，DE ，利用勾股定理即可解决问题． 【详解】（1）证明：∵AE 平分∠DAC ， ∴∠CAE ＝∠DAE ．∵OA ＝OE ， ∴∠OEA ＝∠OAE ． ∴∠DAE ＝∠AEO ，． ∴AD ∥OE ． ∵AD ⊥CD ， ∴OE ⊥CD ． ∴CD 是⊙O 的切线． （2）解：连接BF 交OE 于K ．∵AB 是直径， ∴∠AFB ＝90°， ∵AB ＝10，AF ＝6， ∴BF 22106-8， ∵OE ∥AD ，∴∠OKB ＝∠AFB ＝90°， ∴OE ⊥BF ， ∴FK ＝BK ＝4， ∵OA ＝OB ，KF ＝KB ， ∴OK ＝12AF ＝3， ∴EK ＝OE ﹣OK ＝2， ∵∠D ＝∠DFK ＝∠FKE ＝90°， ∴四边形DFKE 是矩形， ∴DE ＝KF ＝4，DF ＝EK ＝2， ∴AD ＝AF+DF ＝8， 在Rt △ADE 中，AE 22AD DE +2284+45．【点睛】本题考查切线的判定和性质，勾股定理，矩形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，属于中考常考题型． 5．（1）证明见解析；（2）y ＝18x 2（x ＞0）；（3）①163π或8π或（17）π；②21 【解析】 【分析】（1）根据线段的垂直平分线的性质以及垂径定理证明AG=DG=DH=AH即可；（2）只要证明△AEF∽△ACB，可得AE EFAC BC=解决问题；（3）①分三种情形分别求解即可解决问题；②只要证明△CFG∽△HFA，可得GFAF=CGAH，求出相应的线段即可解决问题；【详解】（1）证明：∵GH垂直平分线段AD，∴HA＝HD，GA＝GD，∵AB是直径，AB⊥GH，∴EG＝EH，∴DG＝DH，∴AG＝DG＝DH＝AH，∴四边形AGDH是菱形．（2）解：∵AB是直径，∴∠ACB＝90°，∵AE⊥EF，∴∠AEF＝∠ACB＝90°，∵∠EAF＝∠CAB，∴△AEF∽△ACB，∴AE EF AC BC=，∴124x yx=，∴y＝18x2（x＞0）．（3）①解：如图1中，连接DF．∵GH垂直平分线段AD，∴FA＝FD，∴当点D与O重合时，△AOF是等腰三角形，此时AB＝2BC，∠CAB＝30°，∴AB＝833，∴⊙O的面积为163π．如图2中，当AF＝AO时，∵AB＝22AC BC+＝216x+，∴OA＝2 16x +，∵AF＝22EF AE+＝2221182x⎛⎫⎛⎫+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴216x+＝2221182x⎛⎫⎛⎫+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得x＝4（负根已经舍弃），∴AB＝42，∴⊙O的面积为8π．如图2﹣1中，当点C与点F重合时，设AE＝x，则BC＝AD＝2x，AB＝2164x+，∵△ACE∽△ABC，∴AC2＝AE•AB，∴16＝2164x+解得x2＝217﹣2（负根已经舍弃），∴AB2＝16+4x2＝817+8，∴⊙O的面积＝π•14•AB2＝（217+2）π综上所述，满足条件的⊙O的面积为163π或8π或（217+2）π；②如图3中，连接CG．∵AC＝4，BC＝3，∠ACB＝90°，∴AB＝5，∴OH＝OA＝52，∴AE＝32，∴OE＝OA﹣AE＝1，∴EG＝EH2512⎛⎫-⎪⎝⎭212，∵EF＝18x2＝98，∴FG 21﹣98，AF22AE EF+158，AH22AE EH+30，∵∠CFG＝∠AFH，∠FCG＝∠AHF，∴△CFG∽△HFA，∴GF CG AF AH=，∴219281530 8-=∴CG＝2705﹣33010，∴30CG+9＝421．故答案为421．【点睛】本题考查圆综合题、相似三角形的判定和性质、垂径定理、线段的垂直平分线的性质、菱形的判定和性质、勾股定理、解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题．6．（1）菱形的周长为8；（2）t=65，∠MAC=105°；（3）当t=1﹣3或t=1+3时，圆M与AC相切．【解析】试题分析：（1）过点B作BE⊥AD，垂足为E．由点A和点B的坐标可知：BE=3，AE=1，依据勾股定理可求得AB的长，从而可求得菱形的周长；（2）记 M与x轴的切线为F，AD的中点为E．先求得EF的长，然后根据路程=时间×速度列出方程即可；平移的图形如图3所示：过点B作BE⊥AD，垂足为E，连接MF，F为 M与AD的切点．由特殊锐角三角函数值可求得∠EAB=60°，依据菱形的性质可得到∠FAC=60°，然后证明△AFM是等腰直角三角形，从而可得到∠MAF的度数，故此可求得∠MAC的度数；（3）如图4所示：连接AM，过点作MN⊥AC，垂足为N，作ME⊥AD，垂足为E．先求得∠MAE=30°，依据特殊锐角三角函数值可得到AE的长，然后依据3t+2t=5-AE可求得t的值；如图5所示：连接AM，过点作MN⊥AC，垂足为N，作ME⊥AD，垂足为E．依据菱形的性质和切线长定理可求得∠MAE=60°，然后依据特殊锐角三角函数值可得到EA=3，最后依据3t+2t=5+AE．列方程求解即可．试题解析：（1）如图1所示：过点B作BE AD⊥，垂足为E，∵(B1,3，()A2,0，∴BE3=AE1=，∴22AB AE BE2=+=，∵四边形ABCD为菱形，∴AB BC CD AD===，∴菱形的周长248=⨯=．（2）如图2所示，⊙M 与x 轴的切线为F ，AD 中点为E ，∵()M 3,1-，∴()F 3,0-，∵AD 2=，且E 为AD 中点，∴()E 30，，EF 6=， ∴2t 3t 6+=， 解得6t 5=． 平移的图形如图3所示：过点B 作BE AD ⊥，垂足为E ，连接MF ，F 为⊙M 与AD 切点，∵由（1）可知，AE 1=，BE 3=∴tan EAB 3∠=∴EAB 60∠=︒，∴FAB 120∠=︒，∵四边形ABCD 是菱形，∴11FAC FAB 1206022∠∠==⨯︒=︒， ∵AD 为M 切线，∴MF AD ⊥，∵F 为AD 的中点，∴AF MF 1==，∴AFM 是等腰直角三角形，∴MAF 45∠=︒，∴MAC MAF FAC 4560105∠∠∠=+=︒+︒=︒．（3）如图4所示：连接AM ，过点作MN AC ⊥，垂足为N ，作ME AD ⊥，垂足为E ，∵四边形ABCD 为菱形，DAB 120∠=︒， ∴DAC 60∠=︒．∵AC 、AD 是圆M 的切线∴MAE 30∠=︒，∵ME MN 1==．∴EA 3=，∴3t 2t 53+=-，∴3t 1=-． 如图5所示：连接AM ，过点作MN AC ⊥，垂足为N ，作ME AD ⊥，垂足为E ，∵四边形ABCD 为菱形，DAB 120∠=︒，∴DAC 60∠=︒，∴NAE 120∠=︒，∵AC 、AD 是圆M 的切线，∴MAE 60∠=︒，∵ME MN 1==，∴3EA =∴33t2t53+=+，∴3t1=+．综上所述，当3t1=-或3t1=+时，圆M与AC相切．点睛：此题是一道圆的综合题.圆中的方法规律总结：1、分类讨论思想：研究点、直线和圆的位置关系时，就要从不同的位置关系去考虑，即要全面揭示点、直线和元的各种可能的位置关系.这种位置关系的考虑与分析要用到分类讨论思想.1、转化思想：（1）化“曲面”为“平面”（2）化不规则图形面积为规则图形的面积求解.3、方程思想：再与圆有关的计算题中，除了直接运用公式进行计算外，有时根据图形的特点，列方程解答，思路清楚，过程简捷.7．（1）sin2α=429；（2）sin2β=sin∠MON=2425．【解析】试题分析：（1）如图1中，⊙O中，AB是直径，点C在⊙O上，所以∠ACB=90°，作CD⊥AB于D．设∠BAC=α，则sinα=13BCAB=，可设BC=x，则AB=3x．利用面积法求出CD，在Rt△COD中，根据sin2α=CDOC，计算即可．（2）如图2中，连接NO，并延长交⊙O 于点Q，连接MQ，MO，过点M作MR⊥NO于点R．首先证明∠MON=2∠Q=2β，在Rt△QMN 中，由sinβ=35MNNQ=，设MN=3k，则NQ=5k，易得OM=12NQ=52k，可得MQ=22QN MN-=4k，由12•MN•MQ=12•NQ•MR，求出在Rt△MRO中，根据sin2β=sin∠MON=MROM，计算即可．试题解析：（1）如图1中，⊙O中，AB是直径，点C在⊙O上，所以∠ACB=90°，作CD⊥AB于D．设∠BAC=α，则sinα=13BCAB=，可设BC=x，则AB=3x．∴22AB BC-22(3)x x-2x，∵2•AC•BC=2•AB•CD，∴CD=223 x，∵OA=OC，∴∠OAC=∠OCA=α，∴∠COB=2α，∴sin2α=CDOC=429．（2）如图2中，连接NO，并延长交⊙O于点Q，连接MQ，MO，过点M作MR⊥NO于点R．在⊙O中，∠NMQ=90°，∵∠Q=∠P=β，∴∠MON=2∠Q=2β，在Rt△QMN中，∵sinβ=35 MNNQ=，∴设MN=3k，则NQ=5k，易得OM=12NQ=52k，∴22QN MN-=4k，∵1122NMQS MN MQ NQ MR∆==，∴3k•4k=5k•MR∴MR=12k 5，在Rt△MRO中，sin2β=sin∠MON=122455252kMRkOM==．考点：圆的综合题．8．（1）详见解析；（2）AE=194；（3）74≤AE＜254．【解析】【分析】（1）首先得出∠ADE+∠PDB=90°，进而得出∠B+∠A=90°，利用PD=PB得∠EDA=∠A进而（2）利用勾股定理得出ED2+PD2=EC2+CP2=PE2，求出AE即可；（3）分别根据当D（P)点在B点时以及当P与C重合时，求出AE的长，进而得出AE的取值范围．【详解】（1）证明：如图1，连接PD．∵DE切⊙O于D．∴PD⊥DE．∴∠ADE+∠PDB=90°．∵∠C=90°．∴∠B+∠A=90°．∵PD=PB．∴∠PDB=∠B．∴∠A=∠ADE．∴AE=DE；（2）解：如图1，连接PE，设DE=AE=x，则EC=8-x，∵PB=PD=2，BC=6．∴PC=4．∵∠PDE=∠C=90°，∴ED2+PD2=EC2+CP2=PE2．∴x2+22=（8-x）2+42．解得x=194．∴AE=194；（3）解：如图2，当P点在B点时，此时点D也在B点，∵AE=ED ，设AE=ED=x ，则EC=8-x ，∴EC 2+BC 2=BE 2，∴（8-x ）2+62=x 2，解得：x=254， 如图3，当P 与C 重合时，∵AE=ED ，设AE=ED=x ，则EC=8-x ，∴EC 2=DC 2+DE 2，∴（8-x ）2=62+x 2，解得：x=74， ∵P 为边BC 上一个动点（可以包括点C 但不包括点B ）， ∴线段AE 长度的取值范围为：74≤AE ＜254． 【点睛】本题主要考查圆的综合应用、切线的性质与判定以及勾股定理等知识，利用数形结合以及分类讨论的思想得出是解题关键．9．（1）2114y x =-；（2）点P 37(,)216-；（3）(222,222M --+ 【解析】【分析】（1）根据题意得到AB=4，根据函数对称轴x=0，得到OA=OB=2，得到A 、B 坐标，代入函数解析式即可求解； （2）首先求得直线OD 解析式，然后设P （21,14t t -），得到PQ 关于t 的解析式，然后求出顶点式即可求解； （3）设点21,14M m m ⎛⎫- ⎪⎝⎭，然后求得直线CM 的解析式，得到EM 的表达式，然后根据CMN CNE MNE S S S =+即可求解．【详解】（1）∵AB =4OC ，且C （0，-1） ∴AB=4 ∴OA=OB=2，即A 点坐标()2,0-，B 点坐标()2,0 代入A 点坐标得2021a =-解得14a = ∴G 的解析式为2114y x =- 故答案为2114y x =-（2）当1x =-时，34y =-,即：点D 为（31,4--） ∴直线OD 为：34y x =设P （21,14t t -），则Q 为（22141,1334t t --），则： 22214141325()()33333212PQ t t t t t =--=-++=--+ ∴当32t =时，PQ 取得最大值2512，此时点P 位37(,)216- （3）设点21,14M m m ⎛⎫- ⎪⎝⎭，则N ()214,414m m ⎛⎫++- ⎪⎝⎭ ∵C 点坐标为(0,1)-∴可设直线CM 为1y kx =-，带入M 点坐标得：14k m = ∴直线CM 为114y mx =- 过点N 作NE y ∥轴交CM 于点E ，则E 点为()14,414m m m ⎛⎫++- ⎪⎝⎭∴4EN m =-- ∵()()12CMNCNE MNEC N N M S SSx x x x EN ⎡⎤=+=-+-•⎣⎦ ∴()()104=22m m --- ∴2440m m +-=解得：1222m =--，2222m =-+（舍去） ∴M (222,222--+ 【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式，二次函数综合应用，是二次函数部分的压轴题，题目较难，应画出示意图，然后进行讨论分析．10．（1）1；（2）①4b =-；②26c ≤<；（3）D 一定在线段AB 上，52102=CD 【解析】 【分析】（1）根据题意顶点P （k ，h ）可将二次函数化为顶点式：()2y a x k h =-+，又4y k =+与抛物线交于点A 、B ，无论h 、k 为何值，AB 的长度都为4，即可得出a 的值；（2）①根据抛物线x=0和x=4时函数值相等，可得到顶点P 的横坐标，根据韦达定理结合（1）即可得到b 的值，②根据（1）和（2）①即可得二次函数对称轴为x=2，利用点Q （0，2）关于对称轴的对称点R （4，2）可得QR=4，又QR 在直线y=2上，故令M 坐标（t ，2）（0≤t ＜2），代入二次函数即求得c 的取值范围；（3）由c=-b-1代入抛物线方程即可化简，将抛物线绕原点逆时针旋转αα，且tanα=2，转化为将y 轴绕原点顺时针旋转α得到直线l ，且tanα=2，可得到直线l 的解析式，最后联立直线方程与抛物线方程运算求解． 【详解】解：（1）根据题意可知1二次函数2y ax bx c =++（a≠0）的顶点为P （k ，h ），故二次函数顶点式为()2y a x k h =-+，又4y k =+与抛物线交于点A 、B ，且无论h 、k 为何值，AB 的长度都为4， ∴a=1； 故答案为：a=1．（2）①∵二次函数当0x =和4x =时的函数值相等∴222b bx a =-=-= ∴4b =-故答案为：4b =-．②将点Q 向右平移4个单位得点()4,2R 当2c =时，242y x x =-+ 令2y =，则2242x x =-+ 解得14x =，20x =此时()0,2M ，()4,2N ，4MN QR == ∵4QM QN +=∵QM NR = ∴4QN NR QR +==∴N 在线段QR 上，同理M 在线段QR 上 设(),2M m ，则02m ≤<，224m m c =-+2242(2)6c m m m =-++=--+∵10-<，对称轴为2m =，02m ≤< ∴c 随着m 的增大而增大 ∴26c ≤<故答案为：26c ≤<．（3）∵1c b =--∴21y x bx b =+--将抛物线绕原点逆时针旋转α，且tan 2α=，转化为将y 轴绕原点顺时针旋转α得到直线l ，且tan 2α=，∴l 的解析式为2y x =221y x y x bx b =⎧⎨=+--⎩∴2(2)10x b x b +---= ∴2224(2)448b ac b b b ∆=-=-++=+∴x =∴12,22b D b ⎛-+-++⎝⎭22244124442444AB ac b b b b y k b a ---+-+=+=+==-++124224AB D b y y b b ⎛⎫-+-=-++-++=⎪⎝⎭∵20b ≥∴14104D ABy y -=≥==>∴点1D 始终在直线AB 上方∵2C b -+-⎝⎭∴24224BC A b y y b b ⎛⎫-+-=-+--++=⎪⎝⎭∴224841644AB C b b y y -++--++-==)22164-+=∵b -<<2028b ≤<，∴4≤<设n，4n ≤<∴2(2)164AB C n y y --+-=∵104-<，对称轴为2n =∴当4n ≤<时，AB C y y -随着n 的增大而减小 ∴当4n =时，0AB C y y -=∴当4n ≤<时，AB C y y > ∴区域S 的边界与l 的交点必有两个 ∵1D AB y y >∴区域S 的边界与l 的交点D 一定在线段AB 上∴D AB y y =∴2(2)164D C C AB n y y y y --+-=-=∴当22n =时，D C y y -有最大值122+ 此时122D C x x +-=由勾股定理得：()()225210C CD D CD x x y y +=-+-=，故答案为：5210+=CD ． 【点睛】本题考查二次函数一般式与顶点式、韦达定理的运用，以及根与系数的关系判断二次函数交点情况，正确理解相关知识点是解决本题的关键． 11．（1）()90,3,4--；（2）48QH t =- ；（321或732或2532【解析】 【分析】 （1）由于直线y ＝34tx －3过C 点，因此C 点的坐标为（0，-3），那么抛物线的解析式中c=-3，然后将A 点的坐标代入抛物线的解析式中即可求出b 的值；（2）求QH 的长，需知道OQ ，OH 的长．根据CQ 所在直线的解析式即可求出Q 的坐标，也就得出了OQ 的长，然后求OH 的长．在（1）中可得出抛物线的解析式，那么可求出B 的坐标．在直角三角形BPH 中，可根据BP=5t 以及∠CBO 的正弦值（可在直角三角形COB 中求出），得出BH 的长，根据OB 的长即可求出OH 的长．然后OH ，OQ 的差的绝对值就是QH 的长；（3）本题要分①当H 在Q 、B 之间．②在H 在O ，Q 之间两种情况进行讨论；根据不同的对应角得出的不同的对应成比例线段来求出t 的值． 【详解】 （1）由于直线y ＝34tx －3过C 点，C 点在y 轴上，则C 点的坐标为（0，-3）， 将A 点坐标代入解析式中，得0＝34－b －3，解得b ＝－94；故答案为 ()0,3-，94-； （2）由（1），得y ＝34x 2－94x －3，它与x 轴交于A ，B 两点，得B （4，0）．∴OB ＝4， 又∵OC ＝3， ∴BC ＝5．由题意，得△BHP ∽△BOC ， ∵OC ∶OB ∶BC ＝3∶4∶5， ∴HP ∶HB ∶BP ＝3∶4∶5， ∵PB ＝5t ，∴HB ＝4t ，HP ＝3t ． ∴OH ＝OB －HB ＝4－4t ． 由y ＝34tx －3与x 轴交于点Q ，得Q （4t ，0）． ∴OQ ＝4t ．①当H 在Q 、B 之间时， QH ＝OH －OQ＝（4－4t ）－4t ＝4－8t ． ②当H 在O 、Q 之间时， QH ＝OQ －OH＝4t －（4－4t ）＝8t －4． 综合①，②得QH ＝｜4－8t ｜；（3）存在t 的值，使以P 、H 、Q 为顶点的三角形与△COQ 相似． t 121，t 2＝732，t 3＝2532解析：①当H 在Q 、B 之间时，QH ＝4－8t ， 若△QHP ∽△COQ ，则QH ∶CO ＝HP ∶OQ ，得48334t tt-=， ∴t ＝732． 若△PHQ ∽△COQ ，则PH ∶CO ＝HQ ∶OQ ，得34834t t t-=， 即t 2＋2t －1＝0．∴t 1＝21-，t 2＝21--（舍去）． ②当H 在O 、Q 之间时，QH ＝8t －4． 若△QHP ∽△COQ ，则QH ∶CO ＝HP ∶OQ ，得84334t tt-=， ∴t ＝2532． 若△PHQ ∽△COQ ，则PH ∶CO ＝HQ ∶OQ ，得38434t t t-=， 即t 2－2t ＋1＝0． ∴t 1＝t 2＝1（舍去）．综上所述，存在t 的值，t 1＝21-，t 2＝732，t 3＝2532． 故答案为（1）()90,3,4--；（2）48QH t =- ；（3）存在，21-或732或2532．【点睛】本题是二次函数的综合题，此类问题综合性强，难度较大，在中考中比较常见，一般作为压轴题，题目比较典型． 12．（1）4﹣23；（2）32；（3）4﹣5≤S≤4+5 【解析】 【分析】（1）在Rt △DCG 中，利用勾股定理求出DG 即可解决问题；（2）首先证明AH ＝CH ，设AH ＝CH ＝m ，则DH ＝AD ﹣HD ＝4﹣m ，在Rt △DHC 中，根据CH 2＝CD 2+DH 2，构建方程求出m 即可解决问题；（3）如图，当点G 在对角线AC 上时，△OGE 的面积最小，当点G 在AC 的延长线上时，△OE′G′的面积最大，分别求出面积的最小值，最大值即可解决问题． 【详解】解：（1）如图1中，∵四边形ABCD 是矩形， ∴BC ＝AD ＝CG ＝4，∠D ＝90°， ∵AB ＝CD ＝2，∴DG 22CD CG -2242-3，∴AG＝AB﹣BG＝4﹣23，故答案为:4﹣23．（2）如图2中，由四边形CGEF是矩形，得到∠CGE＝90°，∵点G在线段AE上，∴∠AGC＝90°，∵CA＝CA，CB＝CG，∴Rt△ACG≌Rt△ACB（HL）．∴∠ACB＝∠ACG，∵AB∥CD∴∠ACG＝∠DAC，∴∠ACH＝∠HAC，∴AH＝CH，设AH＝CH＝m，则DH＝AD﹣AH＝5﹣m，在Rt△DHC中，∵CH2＝DC2+DH2，∴m2＝22+（4﹣m）2，∴m＝52，∴AH＝52，GH22AH AG-22522⎛⎫-⎪⎝⎭32．（3）在Rt△ABC中，2225AC AB BC=+=,152OC AC，由题可知，G点在以C点为圆心，BC为半径的圆上运动，且GE与该圆相切，因为GE=AB 不变，所以O到直线GE的距离即为△OGE的高，当点G在对角线AC上时，OG最短，即△OGE的面积最小，最小值＝12×OG×EG＝12×2×（4545当点G在AC的延长线上时，OG最长，即△OE′G′的面积最大．最大值＝12×E′G′×OG′＝12×2×（55综上所述，455【点睛】本题考查求一点到圆上点距离的最值、矩形的性质、全等三角形的判定和性质、旋转变换、勾股定理.（1）比较简单，掌握勾股定理和旋转的性质是解决此问的关键；（2）能表示Rt△DHC三边，借助方程思想是解决此问的关键；（2）理解线段GE的运动轨迹，得出面积最小（大）时G点的位置是解决此问的关键.。

1. 已知矩形的对角线长度分别为6cm和8cm，则该矩形的面积是多少平方厘米？A. 24cm²B. 36cm²C. 48cm²D. 64cm²2. 矩形的长和宽分别为a和b，且a+b=10，a²+b²=68，则该矩形的面积是多少平方厘米？A. 50cm²B. 52cm²C. 54cm²D. 56cm²3. 已知矩形的长是宽的2倍，且对角线长度为10cm，则该矩形的周长是多少厘米？A. 30cmB. 32cmC. 34cmD. 36cm4. 矩形的长和宽分别为x和y，且x+y=14，x²+y²=182，则该矩形的面积是多少平方厘米？A. 60cm²B. 62cm²C. 64cm²D. 66cm²5. 矩形的长和宽分别为m和n，且m+n=12，m²+n²=120，则该矩形的面积是多少平方厘米？B. 42cm²C. 44cm²D. 46cm²6. 已知矩形的长和宽分别为p和q，且p²+q²=100，p/q=3/4，则该矩形的周长是多少厘米？A. 20cmB. 22cmC. 24cmD. 26cm7. 矩形的长和宽分别为r和s，且r²+s²=196，r/s=4/3，则该矩形的面积是多少平方厘米？A. 144cm²B. 150cm²C. 156cm²D. 162cm²8. 已知矩形的长是宽的3倍，且对角线长度为15cm，则该矩形的周长是多少厘米？A. 30cmB. 35cmC. 40cmD. 45cm9. 矩形的长和宽分别为t和u，且t²+u²=256，t/u=5/4，则该矩形的面积是多少平方厘米？A. 100cm²C. 120cm²D. 130cm²10. 已知矩形的长和宽分别为v和w，且v²+w²=324，v/w=6/5，则该矩形的面积是多少平方厘米？A. 108cm²B. 112cm²C. 116cm²D. 120cm²二、填空题（每题5分，共20分）11. 矩形的对角线长度为10cm，则该矩形的周长最小值为________cm。