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沪科版数学七年级下册8.1《幂的运算》教学设计一. 教材分析《幂的运算》是沪科版数学七年级下册第8.1节的内容，主要介绍了同底数幂的乘除法、幂的乘方与积的乘方、合并同类项等运算规则。
这部分内容是初中学段数学的重要基础，也是后续学习代数式、函数等知识的前提。
教材通过具体的例子引导学生掌握幂的运算规律，培养学生的逻辑思维能力和运算能力。
二. 学情分析七年级的学生已经掌握了整数、分数和小数的四则运算，对于幂的概念和简单的幂运算可能还比较陌生。
因此，在教学过程中，需要通过生动的例子和生活中的实际问题，激发学生的学习兴趣，引导学生理解和掌握幂的运算规律。
同时，七年级学生的抽象思维能力正在发展，需要通过大量的练习和操作活动，来巩固和提高幂的运算能力。
三. 教学目标1.理解幂的运算概念，掌握同底数幂的乘除法、幂的乘方与积的乘方、合并同类项等运算规则。
2.培养学生的逻辑思维能力和运算能力。
3.能够运用幂的运算知识解决生活中的实际问题。
四. 教学重难点1.重点：同底数幂的乘除法、幂的乘方与积的乘方、合并同类项等幂的运算规则。
2.难点：理解幂的运算规律，能够灵活运用幂的运算知识解决实际问题。
五. 教学方法1.采用问题驱动的教学方法，通过设置问题和情境，引导学生探究幂的运算规律。
2.运用直观教具和多媒体辅助教学，帮助学生形象地理解幂的运算概念。
3.采用分组讨论和合作学习的方式，培养学生的团队协作能力和沟通能力。
4.注重练习和操作活动，提高学生的运算能力和解决问题的能力。
六. 教学准备1.准备相关的教学材料和课件，如PPT、教案、练习题等。
2.准备一些实际问题，用于引导学生运用幂的运算知识解决实际问题。
3.准备一些直观教具，如幂的运算图表、幂的运算模型等。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过设置一个实际问题，如“一个正方形的边长是2，求这个正方形的面积”，引导学生思考如何计算面积。
然后引出幂的运算概念，告诉学生，面积可以表示为边长的平方，即2的平方。
《8.1幂的运算》学习要点幂的运算是整式乘除的基础,其内容包括同底数幂的乘法、幂的乘方与积的乘方、同底数幂的除法.这几个运算法则容易混淆,一定要严格区分.法则解读1. 同底数幂的乘法:同底数幂相乘,底数不变,指数相加.注意:因式是幂的形式且底数一定要相同,积也是一个幂,其底数和因式的底数相同,积中幂的指数是各因式的指数之和.即 n m n m a a a +=⋅(m ,n 都是正整数)例1 (1)(江苏盐城)23x x ⋅的运算结果是( ).(A) x (B) 2x (C) 5x (D) 6x(2) 若3=m a ,2=n a ,则n m a +=析解 (1) 根据法则,底数不变,指数相加.结果应选(C).(2) 逆用法则, n m a +=623=⨯=⋅n m a a .2. 幂的乘方与积的乘方幂的乘方:底数不变,指数相乘.一定要注意与同底数幂相乘的法则的区别,是指数相乘,而不是指数相加. 即 mn n m a a =)((m ,n 都是正整数)例2 (1)(南京)计算23)(x 的结果是( ).(A) 5x (B) 6x (C) 8x (D) 9x(2) 计算a a a ⋅+2433)(2)(3=析解 (1)根据法则,底数不变,指数相乘.结果应选(B).(2)先根据幂的乘方、同底数幂相乘进行计算,再合并同类项得到结果. a a a ⋅+2433)(2)(3=9998924335232323a a a a a a a a a =+=⋅+=⋅+⨯⨯积的乘方:先把积中的每一个因式分别乘方,再把所得的结果相乘.一定要注意积中的每一个因式都要乘方,不能漏乘.即n n n b a ab =)((n 是正整数)例3 (1)(浙江宁波)计算2)2(a -=(2) 计算1092)21(⋅-= 析解 (1)根据法则, 先把积中的每一个因式分别乘方,再把所得的结果相乘. 则2)2(a -=2224)2(a a =- 注意:-2也要乘方.(2)逆用同底数幂相乘和积的乘方法则,可使运算简便.1092)21(⋅-=2212)1(2)221(22)21(9999-=⨯-=⋅-=⋅⨯-=⋅⋅- 3. 同底数幂的除法:同底数幂相除,底数不变,指数相减.和同底数幂的乘法类似,被除式和除式都是幂的形式且底数一定要相同,商也是一个幂,其底数与被除式和除式的底数相同,商中幂的指数是被除式的指数与除式的指数之差.即n m n m a a a -=÷(a ≠0, m ,n 都是正整数，且m ＞n )零指数幂:不等于零的数的零次幂等于1. 即10=a (a ≠0).负整数指数幂: 不等于零的数的负整数次幂等于这个数的正整数次幂的倒数.即 p p aa 1=-(a ≠0,p 是正整数). 用科学计数法表示绝对值较小的数根据需要可以将一个绝对值较小的数表示成10n a ⨯(110a ≤≤，n 为负整数)的形式.其规律如下：n 为该数第一个非零数字前面所有零的个数(包括小数点前面的那个零).例4 (1)(河南)计算532)(x x ÷=(2)计算210222222--+-+-=析解 (1)先由幂的乘方求出32)(x ,再根据同底数幂相除得出结果.532)(x x ÷=x x x x x x ==÷=÷-⨯5656532(2) 210222222--+-+-=4324121124=+-+- 错例剖析计算 (1)155353x x x x ==⋅⨯;(2)24848a a a a n n n n ==÷÷;(3)164242)(a a a ==. 剖析 (1)同底数幂相乘,应指数相加,而不是指数相乘.故结果应为8x .(2) 同底数幂相除,应指数相减,而不是指数相除.故结果应为n a 4.(3)幂的乘方,应指数相乘,而不是指数乘方.故结果应为8a . 链接中考1. (沈阳)下列计算中,正确的是( ).(A)743)(a a = (B)734a a a =+ (C)734)()(a a a =-⋅- (D)235a a a =÷2. (广安)下列计算中,正确的是( ).(A)842x x x =⋅ (B)236x x x =÷ (C)532532a a a =+ (D)6234)2(x x =3.(旅顺)下列计算正确的是( ).(A)3232a a a =+ (B)a a 2121=- (C)623)(a a a -=⋅- (D)aa 221=- 4. (沈阳)观察下列等式:221=,422=,823=,1624=,3225=,6426=, 12827=,……,通过观察,用你所发现的规律确定20062的个位数是 . 参考答案:1 (D) 2 (D) 3 (D)4 20062=250142)2(⋅,因为42的个位数为6,6的任何次幂的个位数还是6, 所以5014)2(的个位数是6,又22是4,所以20062的个位数为4.。
一．同底数幂的乘法1．同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加。
即n m n m a a a +=⋅ (m ，n 都是正整数)．注意：① 三个或三个以上同底数幂相乘时，也具有这一性质．如：p n m p n m a a a a ++=⋅⋅ (m ，n ，p 都是正整数)．② 此性质可以逆用：n m n m a a a ⋅=+说明：在幂的运算中，经常会用到以下的一些变形：（－a ）n＝⎪⎩⎪⎨⎧-);(),(为奇数为偶数n a n a n n （b －a ）n ＝⎪⎩⎪⎨⎧---).()(),()(为奇数为偶数n b a n b a n n 二．幂、积、商的乘方1．幂的乘方法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘。
即mn n m a )a (=(m ，n 都是正整数)．注意： ① 在形式上，底数本身就是一个幂，② 不要把幂的乘方性质与同底数幂的乘法性质混淆．幂的乘方运算，是转化为指数的乘法运算(底数不变)；同底数幂的乘法，是转化为指数的加法运算(底数不变)．③ 此性质可以逆用：m n n m mn )a ()a (a ==．2．积的乘方的法则：积的乘方，等于各因数乘方的积．即n n n b a )ab (⋅=(n 为正整数)。
同理：三个或三个以上的因数的积的乘方，也具备这一性质．如n n n n c b a )abc (⋅⋅=．注意：此性质可逆用：n n n )ab (b a =⋅．3．零指数、负指数： （1）10=a （a ≠0） （2）pp a a 1=- （a ≠0） 三．同底数幂的除法法则：同底数幂的除法法则：底数不变，指数相减。
即n m n m a a a -=÷ (m ，n 都是正整数)．【典例精析】例1、计算：(1)-a 2·a 6； (2)(-x)·(-x)3 ；(3)y m ·y m+1．(4)()1u u 3x x -； （5）()()[]()233y x y x y x --- （6）()()2n 2331n a a +-(7)9()()()()()()x x x x x x x x 2233224224-⋅-⋅-+⋅-+； （8）()2n 321m n 3b a 4b a 41+--⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛-（9）74a a ÷； （10）()()63x x -÷-例2、用小数或分数表示下列各数：（1）310- = （2）0278-⨯= （3）41.610-⨯= （4）52-=例3、（1）、已知：73,53==n m ，求n m +3的值。
（2）、已知：29,632==n m ，求n m 223-的值。
（3）、若,0352=-+y x 求y x 324∙的值。
（4）如果52x =，62y =，试求y x 22+的值。
（5）已知03y 4x =-+，你能求出y x 162⋅的值吗？例4、若2128n +=，求()20102n n +-的值。
例5. 已知4,25a b =-=，求19991999ab 的值。
例6. 若x 2＝＝，则x 321 （2）若()()()＝则－－－x x x ,22223÷= 例7. 研究下列算式，你能发现什么规律？请运用你发现的规律完成下列填空： 1×3+1=4=22；2×4+1=9=32；3×5+1=16=42；4×6+1=25=52；第100个等式为：_________________；例8．（－1）2006+（－12）－2－（3.14－π）0例9.小明是一位刻苦学习，勤于思考的同学，一天，他在解方程时突然产生了这样的想法，x2=-1，这个方程在实数范围内无解，如果存在一个数i2=-1，那么方程x2=-1可以变成x2=i2，则x=±i，从而x=±i是方程x2=-1的两个解，小明还发现i具有以下性质：i1=i，i2=-1，i3=i2•i=-i；i4=（i2）2=（-1）2=1，i5=i4•i=i，i6=（i2）3=（-1）3=-1，i7=i6•i=-i，i8=（i4）2=1，…请你观察上述等式，根据你发现的规律填空：i4n+1= ，i4n+2= ，i4n+3= ，i4n+4= （n为自然数）．例10.（2009•双柏县）阅读下列材料：一般地，n个相同的因数a相乘记为a n．如2×2×2=23=8，此时，3叫做以2为底8的对数，记为log28（即log28=3）．一般地，若a n=b（a＞0且a≠1，b＞0），则n叫做以a为底b的对数，记为loga b（即logab=n）．如34=81，则4叫做以3为底81的对数，记为log381（即log381=4）．（1）计算以下各对数的值：log24= ，log216= ，log264=（2）观察（1）中三数4、16、64之间满足怎样的关系式，log24、log216、log264之间又满足怎样的关系式；（3）由（2）的结果，你能归纳出一个一般性的结论吗？loga M+logaN= ；（a＞0且a≠1，M＞0，N＞0）（4）根据幂的运算法则：a n•a m=a n+m以及对数的含义证明上述结论．例11.已知 25x=2000, 80y=2000, 求11x y的值。
【同步训练】一、填空题1.－232y x 的系数是_____，次数是_____. 2.多项式－3x 2y 2+6xyz +3xy 2－7是_____次_____项式，其中最高次项为_____.3.在代数式4,3x a ,y +2,－5m 中_____为单项式，_____为多项式. 4.三个连续奇数，中间一个是n ，第一个是_____，第三个是_____，这三个数的和为_____.5.(－x 2)(－x )2·(－x )3=_____.6.( )3=－(7×7×7)(m ·m ·m )7.若3x =12，3y =4，则27x －y =_____.8.已知(9n )2=38,则n =_____.9.0.000635用科学记数法保留两个有效数字为 .10.用小数表示6.8×10－4= .二、选择题11.下列计算错误的是( )A.4x 2·5x 2=20x 4B.5y 3·3y 4=15y 12C.(ab 2)3=a 3b 6D.(－2a 2)2=4a 412.若0.5a 2b y 与34a x b 的和仍是单项式，则正确的是( ) A.x =2,y =0 B.x =－2,y =0C.x =－2,y =1D.x =2,y =113.如果一个多项式的次数是6，则这个多项式的任何一项的次数都( )A.小于6B.等于6C.不大于6D.不小于614.下列计算正确的是( )A.(－1)0=－1B.(－1)－1=1C.2a －3=321aD.(－a 3)÷(－a )7=41a 16.(－135)1997×(－253)1997等于( )A.－1B.1C.0D.199717. (101)2+(101)0+(101)－2计算后其结果为( ) A.1 B.201 C.1011001 D.100100118. 下列各式计算结果不正确的是( )A.ab (ab )2=a 3b 3B.a 3b 2÷2ab =21a 2b C.(2ab 2)3=8a 3b 6 D.a 3÷a 3·a 3=a 219. (5×3－30÷2)0=( )A.0B.1C.无意义D.1520. 下列选项正确的是( )A.5ab －(－2ab )=7abB.－x －x =0C.x －(m +n －x )=－m －nD.多项式a 2－21a +41是由a 2，21a ，41三项组成的 三、解答题21.计算：（1）()()331m m a a a +（2）()()2242232a a a +--（3）()()()332243x x x x x x x --++-（4）()()()()()234545m n m n m n m n m n +---+--++22. 已知：2,3m n x x ==，求：32m n x + 的值。
23.比较 1007534和 的大小。
24.已知3113m n n y y y -+=，146m n xx x --=，求2m n +的值。
家庭作业姓名： 规定时间： 实际时间：1、用小数或分数表示下列各数：（1）0118355⎪⎭⎫ ⎝⎛= . （2）23-= . （3）24-= .（4）365-⎪⎭⎫ ⎝⎛= . （5）4.2310-⨯= . （6）325.0-= .2、解答题：（1）、已知：73,53==n m ，求n m +3的值。
（2）、已知：29,632==n m ，求n m 223-的值。
（3）、若,0352=-+y x 求y x 324∙的值。
(4)、已知2228162n n ⨯⨯=，求n 的值。
(5)、若23,5,m n m n a a a +==求的值.。
