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椭圆的定义、性质及标准方程1. 椭圆的定义：⑴第一定义：平面内与两个定点的距离之和等于常数（大于）的点的轨12F F 、12F F 迹叫做椭圆。
这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距。
⑵第二定义：动点到定点的距离和它到定直线的距离之比等于常数M F l ，则动点的轨迹叫做椭圆。
)10(<<e e M 定点是椭圆的焦点，定直线叫做椭圆的准线，常数叫做椭圆的离心率。
F l e 说明：①若常数等于，则动点轨迹是线段。
2a 2c 12F F ②若常数小于，则动点轨迹不存在。
2a 2c 2. 椭圆的标准方程、图形及几何性质：标准方程中)0(12222>>=+b a by a x 心在原点，焦点在轴上x )0(12222>>=+b a bx a y 中心在原点，焦点在轴上y 图形范围x a y b≤≤，x b y a≤≤，顶点()()()()12120000A a A a B b B b --，、，，、，()()()()12120000A a A a B b B b --，、，，、，对称轴轴、轴；x y 长轴长，短轴长；2a 2b 焦点在长轴上轴、轴；x y 长轴长，短轴长；2a 2b 焦点在长轴上焦点()()1200F c F c -，、，()()1200F c F c -，、，焦距)0(221>=c c F F )0(221>=c c F F 离心率)10(<<=e ace )10(<<=e ace 准线2a x c=±2a y c=±参数方程与普通方程的参数方程为22221x y a b+=()cos sin x a y b θθθ=⎧⎨=⎩为参数的参数方程为22221y x a b+=()cos sin y a x b θθθ=⎧⎨=⎩为参数3. 焦半径公式：椭圆上的任一点和焦点连结的线段长称为焦半径。
双曲线知识点一、 双曲线的定义：1. 第一定义：到两个定点F 1与F 2的距离之差的绝对值等于定长（＜|F 1F 2|）的点的轨迹（21212F F a PF PF <=-（a 为常数））这两个定点叫双曲线的焦点．要注意两点：（1）距离之差的绝对值.（2）2a ＜|F 1F 2|.当|MF 1|－|MF 2|=2a 时，曲线仅表示焦点F 2所对应的一支； 当|MF 1|－|MF 2|=－2a 时，曲线仅表示焦点F 1所对应的一支；当2a =|F 1F 2|时，轨迹是一直线上以F 1、F 2为端点向外的两条射线；当2a ＞|F 1F 2|时，动点轨迹不存在.2. 第二定义：动点到一定点F 的距离与它到一条定直线l 的距离之比是常数e (e ＞1)时，这个动点的轨迹是双曲线这定点叫做双曲线的焦点，定直线l 叫做双曲线的准线二、双曲线的标准方程：12222=-by a x （a ＞0，b ＞0）(焦点在x 轴上)；12222=-bx a y （a ＞0，b ＞0）(焦点在y 轴上)； 1. 如果2x 项的系数是正数，则焦点在x 轴上；如果2y 项的系数是正数，则焦点在y 轴上. a 不一定大于b.2. 与双曲线12222=-by a x 共焦点的双曲线系方程是12222=--+k b y k a x 3. 双曲线方程也可设为：221(0)x y mn m n-=> 例题：已知双曲线C 和椭圆221169x y +=有相同的焦点，且过(3,4)P 点，求双曲线C 的轨迹方程。
三、点与双曲线的位置关系，直线与双曲线的位置关系： 1 点与双曲线：点00(,)P x y 在双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的内部2200221x y a b ⇔->点00(,)P x y 在双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的外部2200221x y a b ⇔-<点00(,)P x y 在双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>上220022-=1x y a b⇔2 直线与双曲线：（代数法）设直线:l y kx m =+，双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 联立解得02)(222222222=----b a m a mkx a x k a b1) 0m =时，b bk a a-<<直线与双曲线交于两点（左支一个点右支一个点）；b k a ≥，bk a≤-，或k 不存在时直线与双曲线没有交点；2) 0m ≠时，k 存在时，若0222=-k a ba bk ±=，直线与双曲线渐近线平行，直线与双曲线相交于一点；若2220b a k -≠，222222222(2)4()()a mk b a k a m a b ∆=-----2222224()a b m b a k =+-0∆>时，22220m b a k +->，直线与双曲线相交于两点； 0∆<时，22220m b a k +-<，直线与双曲线相离，没有交点；0∆=时22220m b a k +-=，2222m b k a +=直线与双曲线有一个交点； 若k 不存在，a m a -<<时，直线与双曲线没有交点； m a m a ><-或直线与双曲线相交于两点； 3. 过定点的直线与双曲线的位置关系：设直线:l y kx m =+过定点00(,)P x y ，双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x1).当点00(,)P x y 在双曲线内部时：b bk a a-<<，直线与双曲线两支各有一个交点； a bk ±=，直线与双曲线渐近线平行，直线与双曲线相交于一点；b k a >或bk a<-或k 不存在时直线与双曲线的一支有两个交点；2).当点00(,)P x y 在双曲线上时：bk a =±或2020b x k a y =，直线与双曲线只交于点00(,)P x y ；b bk a a-<<直线与双曲线交于两点（左支一个点右支一个点）； 2020b x k a y >（00y ≠）或2020b x b k a a y <<（00y ≠）或bk a <-或k 不存在，直线与双曲线在一支上有两个交点； 当00y ≠时，bk a =±或k 不存在，直线与双曲线只交于点00(,)P x y ；b k a >或bk a <-时直线与双曲线的一支有两个交点；b bk a a-<<直线与双曲线交于两点（左支一个点右支一个点）； 3).当点00(,)P x y 在双曲线外部时：当()0,0P 时，b bk a a -<<，直线与双曲线两支各有一个交点； b k a ≥或bk a≤或k 不存在，直线与双曲线没有交点；当点0m ≠时，k =时，过点00(,)P x y 的直线与双曲线相切 bk a=±时，直线与双曲线只交于一点；几何法：直线与渐近线的位置关系例：过点(0,3)P 的直线l 和双曲线22:14y C x -=，仅有一个公共点，求直线l 的方程。
圆锥曲线(椭圆、双曲线、抛物线)知识点综述.双曲线首先，双曲线的定义:1.第一个定义:到两个固定点F1和F2的距离之差的绝对值等于固定长度点(| f1 F2 |)的轨迹((常数))。
这两个固定点被称为双曲线焦点。
注意两点:(1)距离差的绝对值。
(2) 2a | f1 F2 |时，移动点轨迹不存在。
2 .第二个定义:当从移动点到某一点f的距离与其到固定直线l的距离之比是常数e (e(e>1)时，移动点的轨迹就是双曲线的焦点，固定点叫做双曲线的焦点，固定直线l叫做双曲线的准线第二，双曲线的标准方程:(a > 0，b > 0)(聚焦在x轴上)；(a > 0，b > 0)(聚焦在y轴上)；1.如果项的系数为正，则焦点在X轴上；如果项的系数为正，则焦点在y轴上。
a不一定大于b 2。
具有双曲焦点的双曲系统方程是3。
双曲线方程也可以设置为: 示例:众所周知，双曲线和椭圆有相同的焦点，双曲线的轨迹方程是通过该点得到的。
三、点和双曲线的位置，直线和双曲线的位置:1点和双曲线:点在双曲线内，双曲线外的点在双曲线上2条直线和双曲线上: (代数方法)当设置直线和双曲线时，直线和双曲线相交于两点(一点在左边，一点在右边)；当或k不存在时，直线和双曲线之间没有交点；2)当直线和双曲渐近线平行时，直线和双曲在一点相交；如果直线和双曲线相交于两点；当、直线和双曲线分开，且没有交点时；当直线和双曲线有一个交点时；如果它不存在，直线和双曲线之间就没有交点。
直线和双曲线相交于两点。
3.通过固定点的直线和双曲线之间的位置关系:在固定点上设置直线，双曲线1)。
当点在双曲线内时:直线和双曲线各有一个交点；直线平行于双曲线的渐近线，直线和双曲线相交于一点。
或者，当一条直线和一条双曲线的一个分支不存在时，它们之间有两个交点。
2)。
当点在双曲线上时:或者，直线和双曲线只在点相交；直线和双曲线相交于两点(一点在左边，一点在右边)；()或()与否，直线和双曲线在一个分支上有两个交点；在那个时候，或者不存在，直线和双曲线只在该点相交；在偶然直线和双曲线的一个分支之间有两个交点。
圆锥曲线（椭圆、双曲线、抛物线）基础知识及常⽤结论圆锥曲线必背⼝诀(红字为⼝诀)-椭圆⼀、椭圆定义定点为焦点，定值为长轴.（定值=2a ）椭圆.定点为焦点，定直线为准线，定值为离⼼率.（定值=e ）定点为短轴顶点，定值为负值. （定值2k e 1=-）⼆、椭圆的性质定理长轴短轴与焦距，形似勾股弦定理①准线⽅程准焦距，a ⽅、b ⽅除以c ②通径等于 2 ep ，切线⽅程⽤代替③焦三⾓形计⾯积，半⾓正切连乘b ④注解：1长轴2a =，短轴2b =，焦距2c =，则：222a b c =+2准线⽅程：2a x c= （a ⽅除以c ）3椭圆的通径d ：过焦点垂直于长轴的直线与椭圆的两交点之间的距离称为椭圆的通径.（通径22c b 2b 2a c ad 2ep =??==）过椭圆上00x y (,)点的切线⽅程，⽤00x y (,)等效代替椭圆⽅程得到.等效代替后的是切线⽅程是：0022x x y y1a b+=4、焦三⾓形计⾯积，半⾓正切连乘b焦三⾓形：以椭圆的两个焦点12F F ,为顶点，另⼀个顶点P 在椭圆上的三⾓形称为焦三⾓形.半⾓是指12F PF θ=∠的⼀半.则焦三⾓形的⾯积为：2S b 2tanθ=证明：设1PF m =，2PF n =，则m n 2a +=由余弦定理：222m n 2mn 4c cos θ+-?=22224a 4b m n 4b ()=-=+-即：22mn 2mn 4b cos θ-?=-，即：22b 1mn (cos )θ=+.即：2122b mn PF PF 1||||cos θ==+故：12F PF 1S m n 2sin θ=??△2212b b 211sin sin cos cos θθθθ=?=++⼜：22221222sin cossin tan cos cosθθθθθθ==+ 所以：椭圆的焦点三⾓形的⾯积为122F PF S b 2tan θ=. 三、椭圆的相关公式切线平分焦周⾓，称为弦切⾓定理①1F2FOxyPmn切点连线求⽅程，极线定理须牢记②弦与中线斜率积，准线去除准焦距③细看中点弦⽅程，恰似弦中点轨迹④注解：1弦切⾓定理：切线平分椭圆焦周⾓的外⾓，平分双曲线的焦周⾓. 焦周⾓是焦点三⾓形中，焦距所对应的⾓.弦切⾓是指椭圆的弦与其切线相交于椭圆上时它们的夹⾓，当弦为焦点弦时（过焦点的弦），那么切线是两个焦点弦的⾓平分线.2若000P x y (,)在椭圆2222x y 1a b+=外，则过0P 作椭圆的两条切线，切点为12P P ,，则点0P 和切点弦12P P ,分别称为椭圆的极点和极线.切点弦12P P 的直线⽅程即极线⽅程是0022x xy y1a b+=（称为极线定理）3弦指椭圆内的⼀弦AB .中线指弦AB 的中点M 与原点O 的连线，即OAB ?得中线.这两条直线的斜率的乘积，等于准线距离2c a x c=-去除准焦距2bp c=，其结果是：2AB OM2c p b k k x a==- 4中点弦AB 的⽅程：在椭圆中，若弦AB 的中点为00M x y (,)，弦AB 称为中点弦，则中点弦的⽅程就是2200002222x x y y x y a b a b+=+，是直线⽅程.弦中点M 的轨迹⽅程：在椭圆中，过椭圆内点000P x y (,)的弦AB ，其中点M 的⽅程就是22002222x x y y x y a b a b+=+，仍为椭圆.这两个⽅程有些相似，要擦亮眼睛，千万不要搞混了.圆锥曲线必背⼝诀(红字为⼝诀)-双曲线⼀、双曲线定义⼆、双曲线的性质定理基本同椭圆，有所区别：实轴虚轴与焦距，形似勾股弦定理①准线⽅程准焦距，a ⽅、b ⽅除以c ②通径等于 2 e p ，切线⽅程⽤代替③焦三⾓形计⾯积，半⾓余切连乘b ④注解：1实轴2a =，虚轴2b =，焦距2c =，则：222a b c +=2准线⽅程2a x c=± （a ⽅除以c ）准焦距p ：焦点到准线的距离：2b pc = （b ⽅除以c ）3通径等于2 e p ，切线⽅程⽤代替双曲线的通径d ：过焦点垂直于长轴的直线与双曲线的两交点之间的距离称为双曲线的通径.（通径22c b 2b 2a c ad 2ep =??==）过双曲线上000P x y (,)点的切线⽅程，⽤000P x y (,)等效代替双曲线⽅程得到，等效代替后的是切线⽅程是：0022x x y y1a b-=4焦三⾓形计⾯积，半⾓余切连乘b焦三⾓形：以双曲线的两个焦点12F F ,为顶点，另⼀个顶点P 在椭圆上的三⾓形称为焦三⾓形.半⾓是指12F PF γ=∠的⼀半.双曲线2222x y 1a b-=的左右焦点分别为12F F ,，点P 为双曲线上异于顶点任意⼀点12F PF γ∠=，则双曲线的焦点三⾓形满⾜：2122b PF PF 1cos γ=- 其⾯积为；122F PF S b co 2t γ=.证明：设21PF m PF n ,==，则m n 2a -=在12F PF ?中，由余弦定理得：222121212PF PF 2PF PF F F cos γ+-=，即：222m n 2mn 4c cos γ+-?=22224a 4b m n 4b ()=+=-+ 即：2222m n 2mn m n 4b cos ()γ+-?=-+即：22mn 2mn 4b cos γ-?=，即：22b mn 1(cos )γ=-即：22b mn 1cos γ=-，即：2122bPF PF 1cos γ=-那么，焦点三⾓形的⾯积为：12F PF 1S mn 2sin γ?=?212b 21sin cos γγ=?-2222b 22b 122sin cossin cos sinγγγγγ==?-2b 2cot γ= 故：122F PF S b 2cot γ= 同时：12F PF 12P P 1S F F y c y 2?=?=?，故：2p b y c 2cot γ=±? 双曲线的焦点三⾓形的⾯积为：122F PF S b co 2t γ=.三、双曲线的相关公式切线平分焦周⾓，称为弦切⾓定理①切点连线求⽅程，极线定理须牢记②弦与中线斜率积，准线去除准焦距③细看中点弦⽅程，恰似弦中点轨迹④注解：1弦切⾓定理：切线平分椭圆焦周⾓的外⾓，平分双曲线的焦周⾓.焦周⾓是焦点三⾓形中，焦距所对应的⾓. 弦切⾓是指双曲线的弦与其切线相交于双曲线上时它们的夹⾓，当弦为焦点弦时（过焦点的弦），那么切线是两个焦点弦的⾓平分线.如图，12F PF ?是焦点三⾓形，12F PF ∠为焦周⾓，PT 为双曲线的切线. 则PT 平分12F PF ∠.2若000P x y (,)在双曲线2222x y 1a b-=外，以包含焦点的区域为内，不包含焦点的区域为外，则过0P 作双曲选的两条切线，切点为1P 、2P ，则点0P 和切点弦12P P 分别称为双曲线的极点和极线，切点弦12P P 的直线⽅程即极线⽅程是0022x xy y1a b-=（称为极线定理）3弦指双曲线内的⼀弦AB .中线指弦AB 的中点M 与原点O 的连线，即OAB ?得中线.这两条直线的斜率的乘积，等于准线距离2c a x c =去除准焦距2b p c=，其结果是：2AB OM2c p b k k x a==4中点弦AB 的⽅程：在双曲线中，若弦AB 的中点为00M x y (,)，称弦AB 为中点弦，则中点弦的⽅程就是：2200002222x x y y x y aba b-=-，它是直线⽅程. 弦中点M 的轨迹⽅程：在双曲线中，过双曲线外⼀点000P x y (,)的弦AB ，其AB 中点M 的⽅程就是22002222x x y y x y a b a b-=-，仍为双曲线.这两个⽅程有些相似，要擦亮眼睛，千万不要搞混了.圆锥曲线必背⼝诀(红字为⼝诀)-抛物线⼀、抛物线定义抛物线，有定义，定点定线等距离12⼆、抛物线性质焦点准线极点线①，两臂点乘积不变②焦弦切线成直⾓，切点就是两端点③端点投影在准线，连结焦点垂直线④焦弦垂直极焦线⑤，切线是⾓平分线⑥直⾓梯形对⾓线，交点就是本原点⑦焦弦三⾓计⾯积，半个p ⽅除正弦⑧注解：1抛物线的焦点和准线是⼀对极点和极线.抛物线⽅程：2y 2px =，焦点(,)p F 02，准线p p x 2=-(抛物线的顶点(,)O 00到定点(,)p F 02和定直线p p x 2=-距离相等) 焦弦：过焦点的直线与抛物线相交于两点A 和B ，则AB 称为焦弦.弦中点(,)M M M x y ，A B M x x x 2+=，A B M y yy 2+= 焦弦⽅程：()p y k x 2=-，k 为斜率. 2焦点三⾓形两边OA 和OB 的点乘积为定值，且夹⾓是钝⾓. 证明：焦弦AB 满⾜的条件()2y 2pxp y k x 2?=??=- ()22p k x 2px 2-=? ()22222k p k x k 2px 04-++=由韦达定理得：2A B px x 4=2A B py y 22p p 2==-=-?=-，即：2A B p x x 4=，2A B y y p =- ①且：2A A B B A B A B 3OA OB x y x y x x y y p 04(,)(,)?=?=+=-<. 故：焦点三⾓形两边之点乘积为定值.3即：焦弦两端点的切线互相垂直. 证明：如图，由抛物线⽅程：2y 2px =得到导数：yy p '=，即：py y'=故：AEA p k y =，BE Bp k y = 于是：2AE BEA B A Bp p p k k y y y y ?=?=将①式2A B y y p =-代⼊上式得：AE BE k k 1?=-即：AE BE ⊥，故焦弦端点在准线的投影点与焦点构成直⾓三⾓形. 4即：焦弦端点在准线的投影点与焦点构成直⾓三⾓形. 证明：坐标B p C y 2(,)-,A p D y 2(,)-则：B CF p y (,)=-，A DF p y (,)=- 于是：2A B CF DF p y y ?=+将①式2A B y y p =-代⼊上式得：CF DF 0?= 故：CF DF ⊥即：焦弦端点A B ,在准线的投影点D C ,，则CF DF ⊥，即：焦弦端点在准线的投影点与焦点构成直⾓三⾓形.5若焦弦AB 对应的极点E ，则EF 为极焦线，于是EF AB ⊥⽤向量⽅法可证.由于M 是AB 的中点，AEB ?为直⾓三⾓形，计算可得E 是DC 的中点，故：ED EF EC == 由向量法可证EF AB 0?=即：焦弦AB 与极焦线EF 互相垂直. 6即：切线平分焦弦的倾⾓(或倾⾓的外⾓) 如图：因为ADE ?和AFE ?都是直⾓三⾓形，且由定义知：AF AD =，AE AE =故ADE AFE ??≌，则对应⾓相等. 即：AE 是DAF ∠的⾓平分线同理，BE 是CBF ∠的⾓平分线 7即：直⾓梯形ABCD 对⾓线相交于原点即：A O C ,,三点共线；B O D ,,三点共线. ⽤向量法证明：OA CO //，OB DO //证明：坐标2A A y A y 2p (,)，2B B y B y 2p (,)，B p C y 2(,)-，A pD y 2(,)-向量：2A A y OA y 2p (,)=，B pCO y 2(,)=-各分量之⽐：2A2x A 2xy OA y 2p p p CO 2()()==，2y A AB A B y OA y y y y y CO ()()==--将①式2A B y y p =-代⼊上式得：22yA A2A By OA y y y y p CO ()()==- 故：y x xyOA OA OACO CO CO()()()()==，即：OA CO // 同理：OB DO //.直⾓梯形ABCD 对⾓线相交于原点. 8即：焦弦三⾓形的⾯积为：sin 2 AOBp S 2α= （α为焦弦的倾⾓）证明：AB AF BF =+A B A B p p x x x x p 22=+ ++=++M p2x 2()=+2EM = 如图：GF 2OF p == 则：2EF GF 1pEM sin sinsin sin αααα==?= E于是：22pAB sin α= 故：AOB1S OF AB 2sin α?=221p 2p p 222sin sin sin ααα==附：圆锥曲线必背----极坐标圆锥曲线的极坐标以准焦距p 和离⼼率e 来表⽰常量，以极径ρ和极⾓θ来表⽰变量.0ρ≥，[,)o 0360θ∈以焦点(,)F 0θ为极点(原点O )，以椭圆长轴、抛物线对称轴、双曲线的实轴为极轴的建⽴极坐标系.故准线是到极点距离为准焦距p 、且垂直于极轴的直线L . 极坐标系与直⾓坐标系的换算关系是：ρ=，arctan y xθ= 或者：cos x ρθ=，sin y ρθ= 特别注意：极坐标系中，以焦点为极点(原点)，⽽直⾓坐标系中以对称点为原点得到标准⽅程. 如图，O 为极点，L 为准线，则依据定义，到定点(极点)和到定直线(准线)的距离之⽐为定值(定值e )的点的轨迹为圆锥曲线. 所以，对极坐标系，请记住：⑴极坐标系的极点O 是椭圆的左焦点、抛物线的焦点、双曲线的右焦点；⑵曲线上的点(,)Pρθ到焦点F的距离是ρ，到准线的距离是cospρθ+，根据定义：cosepρρθ=+即：cosep eρθρ+=，即：cosep eρρθ=-，即：1eρθ=-①这就是极坐标下，圆锥曲线的通式.⑶对应不同的e，呈现不同的曲线. 对双曲线，只是右边的⼀⽀；对抛物线，开⼝向右.将极轴旋转o180，α和θ分别对应变换前后的极⾓，即转⾓为o180θα=+，则极坐标⽅程变换前⽅程为：cosep1eρα=-变换后⽅程为：cosep1eρθ=+②此时的极坐标系下，此时有：⑵对应不同的e，呈现不同的曲线对双曲线，只是左边的⼀⽀；对抛物线，开⼝向左.⑴将极轴顺时针旋转o90，即：o 90θα=+，则情况如图.圆锥曲线的⽅程为：sin ep1e ρθ=- ③此时的极坐标系下：对应于直⾓坐标系下，焦点在y 轴的情况，且极点O 对应于椭圆下⽅的焦点，双曲线上⽅的焦点，抛物线的焦点.对双曲线，只是y 轴上边的⼀⽀；对抛物线，开⼝向上. ⑵如果将极轴逆时针旋转o 90，即：o 90θα=-，则情况如图. 圆锥曲线的⽅程为：sin ep1e ρα=+ ③此时的极坐标系下：对应于直⾓坐标系下，焦点在y 轴的情况，且对应于椭圆上⽅的焦点，双曲线下⽅的焦点，抛物线的焦点.对双曲线，只是y 轴下边的⼀⽀；对抛物线，开⼝向下.⑴在极坐标系中，圆锥曲线的通式为：=cos ep1e ρθ- ①即：cos e ep ρρθ-=，即：cos ep e ρρθ=+即：(cos )(cos )(cos )2222222ep e e p e 2e p ρρθρθρθ=+=++ ②将222x y ρ=+，cos x ρθ=代⼊②式得：2222222x y e p e x 2e px +=++即：()2222221e x 2e px y e p --+= ③当e 1≠时有：()[()]()()22222222222222--++=+---- 即：()()()22222 2222222e p e e p 1e x y e p 11e 1e 1e --+=+=--- 即：()()22222222222e px y 1e1e p e p1e 1e --+=-- ④⑴当e 1<时，令()22222e p a 1e =-，2222e p b 1e=-，22e p c 1e=-则：()222222222e p e p a b 1e 1e-=---[()]()()2222e p e p 11e 1e 1e =--=--⽽：()()2422222222e p e p c a b 1e 1e ===--- 代⼊④式得：()2222x c y 1ab-+= ⑤这是标准的椭圆⽅程. ⑵当e 1>时，令()222 22e p a e 1=-，2222e p b e 1=-，22e p c e 1=-则：()222222222e p e p a b e 1e 1+=+--[()]()()2242e p e p 1e 1e 1e 1=+-=-- ⽽：()()2422222222e p e p c a b e 1e 1===+-- 代⼊④式得：()2222x c y 1ab+-= ⑥这是标准的双曲线⽅程.⑶当e 1=时，由③式()2222221e x 2e px y e p --+=得：222px y p -+=即：()22p y 2px p 2p x 2=+=+ 即：()2p y 2p x 2=+ ⑦这是标准的抛物线⽅程.。
FA P HBQ专题：解圆锥曲线问题常用方法（一）【学习要点】解圆锥曲线问题常用以下方法： 1、定义法（1）椭圆有两种定义。
第一定义中，r 1+r 2=2a 。
第二定义中，r 1=ed 1 r 2=ed 2。
（2）双曲线有两种定义。
第一定义中，a r r 221=-，当r 1>r 2时，注意r 2的最小值为c-a ：第二定义中，r 1=ed 1，r 2=ed 2，尤其应注意第二定义的应用，常常将 半径与“点到准线距离”互相转化。
（3）抛物线只有一种定义，而此定义的作用较椭圆、双曲线更大，很多抛物线问题用定义解决更直接简明。
2、韦达定理法因直线的方程是一次的，圆锥曲线的方程是二次的，故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题，最终转化为一元二次方程问题，故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一，尤其是弦中点问题，弦长问题，可用韦达定理直接解决，但应注意不要忽视判别式的作用。
3、解析几何的运算中，常设一些量而并不解解出这些量，利用这些量过渡使问题得以解决，这种方法称为“设而不求法”。
设而不求法对于直线与圆锥曲线相交而产生的弦中点问题，常用“点差法”，即设弦的两个端点A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),弦AB 中点为M(x 0,y 0)，将点A 、B 坐标代入圆锥曲线方程，作差后，产生弦中点与弦斜率的关系，这是一种常见的“设而不求”法，具体有：（1）)0(12222>>=+b a b y a x 与直线相交于A 、B ，设弦AB 中点为M(x 0,y 0)，则有02020=+k b y a x 。
（2）)0,0(12222>>=-b a by a x 与直线l 相交于A 、B ，设弦AB 中点为M(x 0,y 0)则有02020=-k b y a x （3）y 2=2px （p>0）与直线l 相交于A 、B 设弦AB 中点为M(x 0,y 0),则有2y 0k=2p,即y 0k=p. 【典型例题】例1、(1)抛物线C:y 2=4x 上一点P 到点A(3,42)与到准线的距离和最小,则点 P 的坐标为______________(2)抛物线C: y 2=4x 上一点Q 到点B(4,1)与到焦点F 的距离和最小,则点Q 的坐标为 。
高考圆锥曲线公式学问点总结高考圆锥曲线公式学问点总结导语：人生，没有过不去的坎，你不行以坐在坎边等它消逝，你只能想方法穿过它。
下面是为大家整理，数学学问。
词更多相关信息请关注CNFLA相关栏目!圆锥曲线公式：椭圆1、中心在原点，焦点在x轴上的椭圆标准方程：其中x/a+y/b=1,其中ab0,c=a-b2、中心在原点，焦点在y轴上的椭圆标准方程：y/a+x/b=1,其中ab0,c=a-b参数方程：x=acos;y=bsin(为参数，02)圆锥曲线公式：双曲线1、中心在原点，焦点在x轴上的.双曲线标准方程：x/a-y/b=1,其中a0，b0，c=a+b.2、中心在原点，焦点在y轴上的双曲线标准方程：y/a-x/b=1,其中a0，b0，c=a+b.参数方程：x=asec;y=btan(为参数)圆锥曲线公式：抛物线参数方程:x=2pt;y=2pt(t为参数)t=1/tan(tan为曲线上点与坐标原点确定直线的斜率)特殊地，t可等于0 直角坐标:y=ax+bx+c(开口方向为y轴，a0)x=ay+by+c(开口方向为x轴，a0)离心率椭圆，双曲线，抛物线这些圆锥曲线有统一的定义：平面上，到定点的距离与到定直线的距离的比e是常数的点的轨迹叫做圆锥曲线。
且当01时为双曲线。
圆锥曲线公式学问点总结圆锥曲线椭圆双曲线抛物线标准方程x/a+y/b=1(ab0) x/a-y/b=1(a0,b0) y=2px(p0) 范围x[-a,a] x(-，-a][a,+) x[0,+)y[-b,b] yR yR对称性关于x轴，y轴，原点对称关于x轴，y轴，原点对称关于x轴对称顶点(a,0),(-a,0),(0,b),(0,-b) (a,0),(-a,0) (0,0)焦点(c,0),(-c,0) (c,0),(-c,0) (p/2,0)准线x=a/c x=a/c x=-p/2渐近线y=(b/a)x离心率e=c/a,e(0,1) e=c/a,e(1,+) e=1焦半径∣PF∣=a+ex ∣PF∣=∣ex+a∣∣PF∣=x+p/2∣PF∣=a-ex ∣PF∣=∣ex-a∣焦准距p=b/c p=b/c p通径2b/a 2b/a 2p参数方程x=acos x=asec x=2pty=bsin，为参数y=btan，为参数y=2pt,t为参数过圆锥曲线上一点x0x/a+y0y/b=1 x0x/a-y0y/b=1 y0y=p(x+x0)(x0,y0)的切线方程斜率为k的切线方程y=kx(ak+b) y=kx(ak-b)y=kx+p/2k。
八、圆锥曲线1.圆锥曲线的两个定义：（1）第一定义中要重视“括号”内的限制条件：椭圆中，与两个定点F 1，F 2的距离的和等于常数2a ，且此常数2a 一定要大于21F F ，当常数等于21F F 时，轨迹是线段F 1F 2，当常数小于21F F 时，无轨迹；双曲线中，与两定点F 1，F 2的距离的差的绝对值等于常数2a ，且此常数2a 一定要小于|F 1F 2|，定义中的“绝对值”与2a ＜|F 1F 2|不可忽视。
若2a ＝|F 1F 2|，则轨迹是以F 1，F 2为端点的两条射线，若2a ﹥|F 1F 2|，则轨迹不存在。
若去掉定义中的绝对值则轨迹仅表示双曲线的一支。
如（1）已知定点)0,3(),0,3(21F F -，在满足下列条件的平面上动点P 的轨迹中是椭圆的是 A ．421=+PF PF B ．621=+PF PF C ．1021=+PF PF D ．122221=+PF PF （答：C ）；（2）方程8=表示的曲线是_____（答：双曲线的左支）（2）第二定义中要注意定点和定直线是相应的焦点和准线，且“点点距为分子、点线距为分母”，其商即是离心率e 。
圆锥曲线的第二定义，给出了圆锥曲线上的点到焦点距离与此点到相应准线距离间的关系，要善于运用第二定义对它们进行相互转化。
如已知点)0,22(Q 及抛物线42x y =上一动点P （x ,y ）,则y+|PQ|的最小值是_____（答：2）2.圆锥曲线的标准方程（标准方程是指中心（顶点）在原点，坐标轴为对称轴时的标准位置的方程）：（1）椭圆：焦点在x 轴上时12222=+b y a x （0a b >>）⇔{cos sin x a y b ϕϕ==（参数方程，其中ϕ为参数），焦点在y 轴上时2222b x a y +＝1（0a b >>）。
方程22Ax By C +=表示椭圆的充要条件是什么？（ABC ≠0，且A ，B ，C 同号，A ≠B ）。
高中数学专题四 椭圆、双曲线、抛物线《圆锥曲线》知识点小结一、椭圆：（1）椭圆的定义：平面内与两个定点的距离的和等于常数（大于）21,F F ||21F F 的点的轨迹。
其中：两个定点叫做椭圆的焦点，焦点间的距离叫做焦距。
注意：表示椭圆；表示线段；没有轨迹；||221F F a >||221F F a =21F F ||221F F a <（2）椭圆的标准方程、图象及几何性质：3．常用结论：（1）椭圆的两个焦点为，过的直线交椭圆于)0(12222>>=+b a by a x 21,F F 1F 两点，则的周长=B A ,2ABF ∆（2）设椭圆左、右两个焦点为，过且垂直于对称轴)0(12222>>=+b a by a x 21,F F 1F 的直线交椭圆于两点，则的坐标分别是Q P ,Q P ,=||PQ 二、双曲线：（1）双曲线的定义：平面内与两个定点的距离的差的绝对值等于常数（小于21,F F ）的点的轨迹。
||21F F 其中：两个定点叫做双曲线的焦点，焦点间的距离叫做焦距。
注意：与（）表示双曲线的一支。
a PF PF 2||||21=-a PF PF 2||||12=-||221F F a <表示两条射线；没有轨迹；||221F F a =||221F F a >（2）双曲线的标准方程、图象及几何性质：（3）双曲线的渐近线：①求双曲线的渐近线，可令其右边的1为0，即得，因式分解得到12222=-b y a x 02222=-by a x 。
0x ya b±=②与双曲线共渐近线的双曲线系方程是；12222=-b y a x λ=-2222by a x （4）等轴双曲线为，其离心率为222t y x =-2（4）常用结论：（1）双曲线的两个焦点为，过的直线交)0,0(12222>>=-b a by a x 21,F F 1F 双曲线的同一支于两点，则的周长=B A ,2ABF ∆（2）设双曲线左、右两个焦点为，过且垂直于对)0,0(12222>>=-b a b y a x 21,F F 1F 称轴的直线交双曲线于两点，则的坐标分别是Q P ,Q P ,=||PQ 三、抛物线：（1）抛物线的定义：平面内与一个定点的距离和一条定直线的距离相等的点的轨迹。
椭圆的定义、性质及标准方程1. 椭圆的定义：⑴第一定义：平面内与两个定点的距离之和等于常数（大于）的点的轨12F F 、12F F 迹叫做椭圆。
这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距。
⑵第二定义：动点到定点的距离和它到定直线的距离之比等于常数M F l ，则动点的轨迹叫做椭圆。
)10(<<e e M 定点是椭圆的焦点，定直线叫做椭圆的准线，常数叫做椭圆的离心率。
F l e 说明：①若常数等于，则动点轨迹是线段。
2a 2c 12F F ②若常数小于，则动点轨迹不存在。
2a 2c 2. 椭圆的标准方程、图形及几何性质：标准方程中)0(12222>>=+b a by a x 心在原点，焦点在轴上x )0(12222>>=+b a bx a y 中心在原点，焦点在轴上y 图形范围x a y b≤≤，x b y a≤≤，顶点()()()()12120000A a A a B b B b --，、，，、，()()()()12120000A a A a B b B b --，、，，、，对称轴轴、轴；x y 长轴长，短轴长；2a 2b 焦点在长轴上轴、轴；x y 长轴长，短轴长；2a 2b 焦点在长轴上焦点()()1200F c F c -，、，()()1200F c F c -，、，焦距)0(221>=c c F F )0(221>=c c F F 离心率)10(<<=e ace )10(<<=e ace 准线2a x c=±2a y c=±参数方程与普通方程的参数方程为22221x y a b+=()cos sin x a y b θθθ=⎧⎨=⎩为参数的参数方程为22221y x a b+=()cos sin y a x b θθθ=⎧⎨=⎩为参数3. 焦半径公式：椭圆上的任一点和焦点连结的线段长称为焦半径。
焦半径公式：椭圆焦点在轴上时，设分别是椭圆的左、右焦点，x 12F F 、是椭圆上任一点，则，。
()00P x y ，10PF a ex =+20PF a ex =-推导过程：由第二定义得（为点到左准线的距离），11PF e d =1d P 则；同理得。
211000a PF ed e x ex a a ex c ⎛⎫==+=+=+ ⎪⎝⎭20PF a ex =-简记为：左“＋”右“－”。
由此可见，过焦点的弦的弦长是一个仅与它的中点的横坐标有关的数。
；若焦点在轴上，则为。
有时为了运算方便，设22221x y a b +=y 22221y x a b +=。
),0(122n m m ny mx ≠>=+双曲线的定义、方程和性质知识要点：1．定义（1）第一定义：平面内到两定点F 1、F 2的距离之差的绝对值等于定长2a （小于|F 1F 2|）的点的轨迹叫双曲线。
说明：①||PF 1|-|PF 2||=2a （2a <|F 1F 2|）是双曲线；若2a=|F 1F 2|，轨迹是以F 1、F 2为端点的射线；2a >|F 1F 2|时无轨迹。
②设M 是双曲线上任意一点，若M 点在双曲线右边一支上，则|MF 1|>|MF 2|，|MF 1|-|MF 2|=2a ；若M 在双曲线的左支上，则|MF 1|<|MF 2|，|MF 1|-|MF 2|=-2a ，故|MF 1|-|MF 2|=±2a ，这是与椭圆不同的地方。
（2）第二定义：平面内动点到定点F 的距离与到定直线L 的距离之比是常数e （e>1）的点的轨迹叫双曲线，定点叫焦点，定直线L 叫相应的准线。
（1）等轴双曲线：实、虚轴相等的双曲线。
等轴双曲线的渐近线为y=±x ，离心率为。
2（2）共轴双曲线：以已知双曲线的实轴为虚轴，虚轴为实轴的双曲线叫原双曲线的共轴双曲线，例：的共轴双曲线是。
12222=-b y a x 12222-=-by a x ①双曲线及其共轴双曲线有共同的渐近线。
但有共同的渐近线的两双曲线，不一定是共轴双曲线；②双曲线和它的共轴双曲线的四个焦点在同一个圆周上。
抛物线标准方程与几何性质一、抛物线定义的理解平面内与一个定点和一条定直线的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点为抛F l F 物线的焦点，定直线为抛物线的准线。
l 注：① 定义可归结为“一动三定”：一个动点设为；一定点（即焦点）；一定M F 直线（即准线）；一定值1（即动点到定点的距离与它到定直线的距离之比1）l M F l② 定义中的隐含条件：焦点不在准线上。
若在上，抛物线退化为过且垂直F l F l F 于的一条直线l ③ 圆锥曲线的统一定义：平面内与一定点和定直线的距离之比为常数的点的轨F l e 迹，当时，表示椭圆；当时，表示双曲线；当时，表示抛物线。
10<<e 1>e 1=e ④ 抛物线定义建立了抛物线上的点、焦点、准线三者之间的距离关系，在解题中常将抛物线上的动点到焦点距离（称焦半径）与动点到准线距离互化，与抛物线的定义联系起来，通过这种转化使问题简单化。
二、抛物线标准方程1．抛物线标准方程建系特点：以抛物线的顶点为坐标原点，对称轴为一条坐标轴建立直角坐标系，这样使标准方程不仅具有对称性，而且曲线过原点，方程不含常数项，形式更为简单，便于应用。
2．四种标准方程的联系与区别：由于选取坐标系时，该坐标轴有四种不同的方向，因此抛物线的标准方程有四种不同的形式。
抛物线标准方程的四种形式为：，，其中：()022>±=p px y ()022>±=p py x ① 参数的几何意义：焦参数是焦点到准线的距离，所以恒为正值；值越大，p p p p 张口越大；等于焦点到抛物线顶点的距离。
2p②标准方程的特点：方程的左边是某变量的平方项，右边是另一变量的一次项，方程右边一次项的变量与焦点所在坐标轴的名称相同，一次项系数的符号决定抛物线的开口方向，即对称轴为轴时，方程中的一次项变量就是， 若的一次项前符号为正，则开口x x x 向右，若的一次项前符号为负，则开口向左；若对称轴为轴时，方程中的一次项变量x y 就是， 当的一次项前符号为正，则开口向上，若的一次项前符号为负，则开口向y y y 下。
三、求抛物线标准方程求抛物线方程时，要依据题设条件，弄清抛物线的对称轴和开口方向，正确地选择抛物线标准方程.① 待定系数法：因抛物线标准方程有四种形式，若能确定抛物线的形式，需一个条件就能解出待定系数，因此要做到“先定位，再定值”。
p 注：当求顶点在原点，对称轴为坐标轴的抛物线时，若不知开口方向，可设为或，这样可避免讨论。
ax y =2ay x =2② 抛物线轨迹法：若由已知得抛物线是标准形式，可直接设其标准式；若不确定是否是标准式，由已知条件可知曲线的动点的规律，一般用轨迹法求之。
四、抛物线的简单几何性质方程设抛物线()022>=p px y 焦点范围对称性顶点离心率准线通径性质⎪⎭⎫ ⎝⎛0,2p F 0≥x 关于轴对x 称原点1=e 2p x -=p2注：① 焦点的非零坐标是一次项系数的；41② 对于不同形式的抛物线，位置不同，其性质也有所不同，应弄清它们的异同点，数形结合，掌握方程与有关特征量，有关性质间的对应关系，从整体上认识抛物线及其性质。
五、直线与抛物线有关问题1．直线与抛物线的位置关系的判断：直线与抛物线方程联立方程组，消去或化得x y 形如（*）的式子：02=++c bx ax ① 当时，（*）式方程只有一解，即直线与抛物线只有一个交点，此时直线与抛0=a 物线不是相切，而是与抛物线对称轴平行或重合；② 当时，若△＞0（*）式方程有两组不同的实数解 直线与抛物线相交；0≠a ⇔⇔ 若△=0 （*）式方程有两组相同的实数解 直线与抛物线相切；⇔⇔ 若△＜0（*）式方程无实数解 直线与抛物线相离.⇔⇔2．直线与抛物线相交的弦长问题① 弦长公式：设直线交抛物线于，则()()2211,,,y x B y x A B A AB x x k AB -⋅+=21或.B A y y kAB -⋅+=211② 若直线与抛物线相交所得弦为焦点弦时,借助于焦半径公式处理：抛物线上一点的焦半径长是，抛物线()022>±=p px y ()00,y x M 20px MF +±=上一点的焦半径长是()022>±=p py x ()00,y x M 20p y MF +±=六、抛物线焦点弦的几个常用结论设为过抛物线焦点的弦，设，直线的AB ()022>±=p px y ()()2211,,,y x B y x A AB 倾斜角为，则θ① ；221221,4p y y p x x -== ② ；θ2sin 2pAB =p x x ++=21③以为直径的圆与准线相切；AB ④弦两端点与顶点所成三角形的面积；θsin 22p S AOB =∆⑤；pFB FA 211=+⑥ 焦点对、在准线上射影的张角为900；F A B 七、抛物线有关注意事项1．凡涉及抛物线的弦长、弦的中点、弦的斜率问题时要注意利用韦达定理，采用“设而不求”或“点差法”等方法，能避免求交点坐标的复杂运算.同时在解决直线与抛物线相交问题时不能忽视这个条件。
0>∆2．解决与抛物线的焦半径、焦点弦有关问题时，多从抛物线的定义出发，实现抛物线上任一点到焦点的距离和这点到准线的距离之间的相互转化，并应注意焦点弦的几何性质.。
