江苏省启东市2017_2018学年高二数学上学期期末考试试题(附解析)

2017-2018学年江苏省南通市启东市高三（上）期末数学试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应位置．1．设集合A={x|﹣1≤x≤2}，B={x|0＜x＜4}，则A∩B=______．2．某校春季高考对学生填报志愿情况进行调查，采用分层抽样的办法抽取样本，该校共有200名学生报名参加春季高考，现抽取了一个容量为50的样本，已知样本中女生比男生多4人，则该校参加春季高考的女生共有______名．3．如果复数z=（i为虚数单位）的实部与虚部互为相反数，那么|z|=______．4．函数f（x）=ln（x﹣x2）的单调递减区间为______．5．如图是一个算法的流程图，则输出的k的值是______．6．若将甲、乙、丙三个球随机放入编号为1，2两个盒子中，每个盒子的放球数量不限，则每个盒子中球数不小于其编号的概率是______．7．设等差数列{a n}的前n项和为S n，若S3≥6，S5≤20，则a6的最大值为______．8．若α，β∈（0，），cos（α﹣）=，sin（﹣β）=﹣，则cos（α+β）的值等于______．9．设向量=（sin，cos），=（sin，cos）（n∈N+），则（•）=______．10．已知直线l：x﹣2y+m=0上存在点M满足与两点A（﹣2，0），B（2，0）连线的斜率k MA与k MB之积为﹣1，则实数m的取值范围是______．11．某工广生产一种无盖冰激凌纸筒为圆柱形，现一客户定制该圆柱纸筒，并要求该圆柱纸筒的容积为27πcm3，设该圆柱纸筒的底面半径为r，则工厂要求制作该圆柱纸筒的材料最省时，r的值为______cm．12．已知等比数列{a n}，首项a1=2，公比q=3，a p+a p+1+…+a k=2178（k＞p，p，k∈N+），则p+k=______．13．设函数f（x）=，若函数y=f（x）﹣2x+b有两个零点，则参数b的取值范围是______．14．对任意实数x＞1，y＞，不等式p≤+恒成立，则实数p的最大值为______．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．已知函数f（x）=2cos2x+sin2x．（1）求函数f（x）的最小正周期；（2）在△ABC中，若C为锐角，f（A+B）=0，AC=2，BC=3，求AB的长．16．如图，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D是边BC上异于C的一点，AD⊥C1D．（1）求证：AD⊥平面BCC1B1；（2）如果点E是B1C1的中点，求证：平面A1EB∥平面ADC1．17．在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的离心率为，且右准线方程为x=4．（1）求椭圆的标准方程；（2）设P（x1，y1），M（x2，y2）（y2≠y1）是椭圆C上的两个动点，点M关于x轴的对称点为N，如果直线PM，PN与x轴交于（m，0）和（n，0），问m•n是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．18．如图，某景区有一座高AD为1千米的山，山顶A处可供游客观赏日出．坡角∠ACD=30°，在山脚有一条长为10千米的小路BC，且BC与CD垂直，为方便游客，该景区拟在小路BC上找一点M，建造两条直线型公路BM和MA，其中公路BM每千米的造价为30万元，公路MA每千米的造价为60万元．（1）设∠AMC=θ，求出造价y关于θ的函数关系式；（2）当BM长为多少米时，才能使造价y最低？19．已知a＞0，且a≠1，函数f（x）=a x﹣1，g（x）=﹣x2+xlna．（1）若a＞1，证明函数h（x）=f（x）﹣g（x）在区间（0，+∞）上是单调增函数；（2）求函数h（x）=f（x）﹣g（x）在区间[﹣1，1]上的最大值；（3）若函数F（x）的图象过原点，且F′（x）=g（x），当a＞e时，函数F（x）过点A（1，m）的切线至少有2条，求实数m的值．20．已知等差数列{a n}的公差为d，等比数列{b n}的公比为q，且数列{b n}的前n项和为S n．（1）若a1=b1=d=2，S3＜a1006+5b2﹣2016，求整数q的值；（2）若S n+1﹣2S n=2，试问数列{b n}中是否存在一点b k，使得b k恰好可以表示为该数列中连续p（p∈N，p≥2）项的和？请说明理由？（3）若b1=a r，b2=a s≠a r，b3=a t（其中t＞s＞r，且（s﹣r）是（t﹣r）的约数），证明数列{b n}中每一项都是数列{a n}中的项．[选修4-1：几何证明选讲]21．如图所示，PA，PB分别切圆O于A，B，过AB与OP的交点M作弦CD，连结PC，求证：[选修4-2：矩阵与变换]22．在平面直角坐标系xOy中，设点P（1，1）在矩阵对应的变换下得到点Q（3，7），求M﹣1．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在极坐标系中，设直线l过点，且直线l与曲线C：ρ=asinθ（a＞0）有且只有一个公共点，求实数a的值．[选修4-5：不等式选讲]24．求函数的最大值．25．学校文娱队的每位队员唱歌、跳舞至少会一项，已知会唱歌的有2人，会跳舞的有5人，现从中选2人．设ξ为选出的人中即会唱歌又会跳舞的人数，且．（1）求文娱队的队员人数；（2）求ξ的分布列，并求其数学期望E（ξ）．26．已知有穷数列{a n}共有m项（m≥3，m∈N*），对于每个i（i=1，2，3，…，m）均有a i∈{1，2，3}，且首项a1与末项a m不相等，同时任意相邻两项不相等．记符合上述条件的所有数列{a n}的个数为f（m）．（1）写出f（3），f（4）的值；（2）写出f（m）的表达式，并说明理由．2015-2016学年江苏省南通市启东市高三（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应位置．1．设集合A={x|﹣1≤x≤2}，B={x|0＜x＜4}，则A∩B={x|0＜x≤2} ．【考点】交集及其运算．【分析】由A与B，求出两集合的交集即可．【解答】解：∵A={x|﹣1≤x≤2}，B={x|0＜x＜4}，∴A∩B={x|0＜x≤2}，故答案为：{x|0＜x≤2}2．某校春季高考对学生填报志愿情况进行调查，采用分层抽样的办法抽取样本，该校共有200名学生报名参加春季高考，现抽取了一个容量为50的样本，已知样本中女生比男生多4人，则该校参加春季高考的女生共有108名．【考点】分层抽样方法．【分析】根据样本容量和女生比男生多4人，可得样本中女生数，再根据抽取的比例可得总体中的女生人数．【解答】解：∵样本容量为50，女生比男生多4人，∴样本中女生数为27人，又分层抽样的抽取比例为=，∴总体中女生数为27×4=108人．故答案为：108．3．如果复数z=（i为虚数单位）的实部与虚部互为相反数，那么|z|=．【考点】复数求模．【分析】利用复数的运算法则及其实部与虚部互为相反数，解得a，再利用复数模的计算公式即可得出．【解答】解：复数z===的实部与虚部互为相反数，∴+=0，解得a=0．∴z=．∴|z|==．故答案为：．4．函数f（x）=ln（x﹣x2）的单调递减区间为[，）．【考点】复合函数的单调性．【分析】令t=x﹣x2＞0，求得函数的定义域，f（x）=g（t）=lnt，本题即求函数函数t在定义域内的减区间，再利用二次函数的性质可得结论．【解答】解：令t=x﹣x2＞0，求得0＜x＜1，可得函数的定义域为（0，1），f（x）=g（t）=lnt．本题即求函数t在定义域内的减区间，函数t在定义域内的减区间为[，1），故答案为：[，1）．5．如图是一个算法的流程图，则输出的k的值是4．【考点】程序框图．【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，循环可得结论．【解答】解：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：第一次循环，s=5，k=1，第二次循环，s=13，k=2，第三次循环，s=13，k=3，第四次循环，s=29，k=4，退出循环，输出k=4．故答案为：4．6．若将甲、乙、丙三个球随机放入编号为1，2两个盒子中，每个盒子的放球数量不限，则每个盒子中球数不小于其编号的概率是．【考点】古典概型及其概率计算公式．【分析】将甲、乙、丙三个球随机放入编号为1，2两个盒子中，每个盒子的放球数量不限，先求出基本事件总数，每个盒子中球数不小于其编号的情况是1号盒中放1个，2号盒中放2个，求出有多少种放法，由此能求出每个盒子中球数不小于其编号的概率．【解答】解：将甲、乙、丙三个球随机放入编号为1，2两个盒子中，每个盒子的放球数量不限，基本事件总数n=23=8，每个盒子中球数不小于其编号的情况是1号盒中放1个，2号盒中放2个，有=3种放法，∴每个盒子中球数不小于其编号的概率：p=．故答案为：．7．设等差数列{a n}的前n项和为S n，若S3≥6，S5≤20，则a6的最大值为10．【考点】等差数列的前n项和．【分析】由等差数列的前n项和公式得到，由此能求出a6的最大值．【解答】解：∵等差数列{a n}的前n项和为S n，若S3≥6，S5≤20，∴，∴，∴a6=a1+5d=﹣3（a1+d）+4（a1+2d）≤﹣3×2+4×4=10，∴a6的最大值为10．故答案为：10．8．若α，β∈（0，），cos（α﹣）=，sin（﹣β）=﹣，则cos（α+β）的值等于﹣．【考点】两角和与差的正弦函数．【分析】根据题意可得α﹣=±，﹣β=﹣，由此求得α+β的值，可得cos（α+β）的值．【解答】解：∵α，β∈（0，），cos（α﹣）=，sin（﹣β）=﹣，∴α﹣=±，﹣β=﹣，∴α=β=或α+β=0（舍去）．∴cos（α+β）=﹣，故答案为：﹣．9．设向量=（sin，cos），=（sin，cos）（n∈N+），则（•）=﹣1．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】化简•=cos．于是根据诱导公式可得+=+=+=…=+=0，所以（•）=+=cos+cosπ=﹣1．【解答】解：•=sin sin+cos cos=cos（﹣）=cos．∴+=cos+cos=0，同理， +=0， +=0，…+=0．∴（•）=+=cos+cosπ=﹣1．故答案为﹣1．10．已知直线l：x﹣2y+m=0上存在点M满足与两点A（﹣2，0），B（2，0）连线的斜率k MA与k MB之积为﹣1，则实数m的取值范围是[﹣2，2]．【考点】圆方程的综合应用．【分析】设出M的坐标，由k MA与k MB之积为3得到M坐标的方程，和已知直线方程联立，化为关于x的一元二次方程后由判别式大于等于0求得实数m的取值范围．【解答】解：设M（x，y），由k MA•k MB=3，得•=﹣1，即x2+y2=4．联立，得5y2﹣4my+m2﹣4=0．要使直线l：x﹣2y+m=0上存在点M满足与两点A（﹣2，0），B（2，0）连线的斜率k MA 与k MB之积为﹣1，则△=（4m）2﹣20（m2﹣4）≥0，即m2≤20．解得m∈[﹣2，2]．∴实数m的取值范围是：[﹣2，2]．故答案为：[﹣2，2]．11．某工广生产一种无盖冰激凌纸筒为圆柱形，现一客户定制该圆柱纸筒，并要求该圆柱纸筒的容积为27πcm3，设该圆柱纸筒的底面半径为r，则工厂要求制作该圆柱纸筒的材料最省时，r的值为3cm．【考点】棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积．【分析】设底面半径为r，高为h，则由题意得S=2πrh+πr2=，由此利用导数能求出制作该圆柱纸筒的材料最省时，r的值．【解答】解：设底面半径为r，高为h，则由题意得h=，∴S=2πrh+πr2=，∴S′=，当0＜r＜3时，S′＜0，当r＞3时，S′＞0，故r=3时，取得极小值，也是最小值，∴制作该圆柱纸筒的材料最省时，r的值为3．故答案为：3．12．已知等比数列{a n}，首项a1=2，公比q=3，a p+a p+1+…+a k=2178（k＞p，p，k∈N+），则p+k=10．【考点】数列的求和．【分析】通过a n=2•3n﹣1可知a p+a p+1+…+a k=3p﹣1（3k﹣p+1﹣1），利用2178=32•（35﹣1）比较即得结论．【解答】解：依题意，a n=2•3n﹣1，则2178=a p+a p+1+…+a k==3p﹣1（3k﹣p+1﹣1），又∵2178=9=32•（35﹣1），∴，即，∴p+k=10，故答案为：10．13．设函数f（x）=，若函数y=f（x）﹣2x+b有两个零点，则参数b的取值范围是（﹣∞，﹣2]∪（0，2ln2﹣1）．【考点】根的存在性及根的个数判断．【分析】由y=f（x）﹣2x+b=0得f（x）=2x﹣b，作出函数f（x）和y=2x﹣b的图象，利用数形结合进行求解即可．【解答】解：作出函数f（x）的图象如图：，由y=f（x）﹣2x+b=0得f（x）=2x﹣b，当g（x）=2x﹣b经过点（0，2）时，满足两个函数有两个交点，此时﹣b=2，即b=﹣2，当﹣b≥2，即b≤﹣2时，满足条件，当g（x）=2x﹣b与f（x）=e x﹣1相切时，由f′（x）=e x=2得x=ln2，y=e ln2﹣1=2﹣1=1，即切点坐标为（ln2，1），此时2ln2﹣b=1，即b=2ln2﹣1，当直线g（x）=2x﹣b经过原点时，b=0，∴要使两个函数有两个交点，则此时0＜b＜2ln2﹣1，综上0＜b＜2ln2﹣1或b≤﹣2，故实数b的取值范围是（﹣∞，﹣2]∪（0，2ln2﹣1），故答案为：（﹣∞，﹣2]∪（0，2ln2﹣1）14．对任意实数x＞1，y＞，不等式p≤+恒成立，则实数p的最大值为8．【考点】函数恒成立问题．【分析】根据不等式p≤+恒成立，转化为求+的最小值即可，利用换元法，结合基本不等式进行求解即可．【解答】解：设a=2y﹣1，b=x﹣1，∵x＞1，y＞，∴a＞0，b＞0，且x=b+1，y=（a+1），则+=+≥2×=2×=2（++）≥2×（2+）=2（2+2）=8，当且仅当a=b=1，即x=2，y=1时，取等号．∴p≤8，即p的最大值为8，故答案为：8．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．已知函数f（x）=2cos2x+sin2x．（1）求函数f（x）的最小正周期；（2）在△ABC中，若C为锐角，f（A+B）=0，AC=2，BC=3，求AB的长．【考点】余弦定理；三角函数的周期性及其求法．【分析】（1）由三角函数恒等变换的应用化简函数解析式可得f（x）=2sin（2x+）+1，利用周期公式可求f（x）的最小正周期T．（2）由已知可得sin（2A+2B+）=﹣，由A，B是△ABC的内角，解得：A+B=或A+B=，结合A+B+C=π，C为锐角，可得C=，由余弦定理即可求得AB的值．【解答】解：（1）∵f（x）=2cos2x+sin2x=cos2x+1+sin2x=2sin（2x+）+1，…4分∴函数f（x）的最小正周期T=．…7分（2）∵f（A+B）=0，∴sin（2A+2B+）=﹣，∵A，B是△ABC的内角，∴2A+2B+=，或2A+2B+=，解得：A+B=或A+B=，∵A+B+C=π，∴C=，或C=，∵C为锐角，∴可得C=，∵AC=2，BC=3，∴由余弦定理可得：AB2=AC2+BC2﹣2AC×BC×cosC=12+9﹣2×，即AB=．…14分16．如图，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D是边BC上异于C的一点，AD⊥C1D．（1）求证：AD⊥平面BCC1B1；（2）如果点E是B1C1的中点，求证：平面A1EB∥平面ADC1．【考点】直线与平面垂直的判定；平面与平面平行的判定．【分析】（1）由于正三棱柱中，CC1⊥平面ABC，得到AD⊥CC1又已知AD⊥C1D，利用线面垂直的判断定理得到结论．（2）连结A1C，交AC1于O，连结OD，推导出OD∥A1B，由点E是B1C1的中点，可得BD EC1，即BE∥DC1，由BE∩A1B=B，DC1∩OD=D，即可证明平面A1EB∥平面ADC1．【解答】（满分为14分）解：（1）在正三棱柱中，CC1⊥平面ABC，AD⊆平面ABC，∴AD⊥CC1．…又AD⊥C1D，CC1交C1D于C1，且CC1和C1D都在面BCC1B1内，∴AD⊥平面BCC1B1．…（2）连结A1C，交AC1于O，连结OD，∵正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，点D在棱BC上，AD⊥C1D．平面C1AD⊥平面B1BCC1，∴D是BC中点，O是A1C中点，∴OD∥A1B，…∵点E是B1C1的中点，D是BC中点，∴BD EC1，∴四边形BDEC1为平行四边形，BE∥DC1，…∵BE∩A1B=B，DC1∩OD=D，且A1B，BE⊂平面A1EB，DC1，OD⊂平面ADC1，∴平面A1EB∥平面ADC1．…17．在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的离心率为，且右准线方程为x=4．（1）求椭圆的标准方程；（2）设P（x1，y1），M（x2，y2）（y2≠y1）是椭圆C上的两个动点，点M关于x轴的对称点为N，如果直线PM，PN与x轴交于（m，0）和（n，0），问m•n是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．【分析】（1）由椭圆的离心率为，且右准线方程为x=4，列方程组解得a=2，c=1，由此能求出椭圆的标准方程．（2）由P（x1，y1），M（x2，y2），得N（x2，﹣y2），求出直线PM的方程和直线PN的方程，分别令y=0，得m和n，由此能推导出m•n为定值．【解答】解：（1）由题意，得，且，解得a=2，c=1，∴=，∴椭圆的标准方程为．（2）由P（x1，y1），M（x2，y2），得N（x2，﹣y2），∴+=1，，直线PM的方程为y﹣y1=，直线PN的方程为y﹣y1=（x﹣x1），分别令y=0，得m=，n=，∴mn====4为定值，∴m•n为定值4．18．如图，某景区有一座高AD为1千米的山，山顶A处可供游客观赏日出．坡角∠ACD=30°，在山脚有一条长为10千米的小路BC，且BC与CD垂直，为方便游客，该景区拟在小路BC上找一点M，建造两条直线型公路BM和MA，其中公路BM每千米的造价为30万元，公路MA每千米的造价为60万元．（1）设∠AMC=θ，求出造价y关于θ的函数关系式；（2）当BM长为多少米时，才能使造价y最低？【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用；函数解析式的求解及常用方法；在实际问题中建立三角函数模型．【分析】（1）容易求得MA=2，可说明△AMC为Rt△，从而可以得出，这样根据题意即可求出，；（2）可求导数得到，可以判断导数符号，从而可以得出时y取到最小值，可求出此时BM的长度．【解答】解：（1）在Rt△ACD中，∠ACD=30°，AD=1；∴AC=2；BC⊥CD，BC⊥AD；∴BC⊥平面ACD，AC⊂平面ACD；∴BC⊥AC；∴，；∴=，（）；（2）=；令y′=0得，cosθ=；∵；∴；∴时，，1﹣2cosθ＜0，y′＜0，时，y′＞0；∴时，y有最小值，此时；∴当BM长为米时，才能使造价y最低．19．已知a＞0，且a≠1，函数f（x）=a x﹣1，g（x）=﹣x2+xlna．（1）若a＞1，证明函数h（x）=f（x）﹣g（x）在区间（0，+∞）上是单调增函数；（2）求函数h（x）=f（x）﹣g（x）在区间[﹣1，1]上的最大值；（3）若函数F（x）的图象过原点，且F′（x）=g（x），当a＞e时，函数F（x）过点A（1，m）的切线至少有2条，求实数m的值．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】（1）求函数的导数，根据函数单调性和导数的关系进行证明．（2）求函数的解析式，根据函数单调性和最值如导数的关系进行求解．（3）求出函数F（x）的解析式，结合导数的几何意义进行求解．【解答】解：（1）h（x）=f（x）﹣g（x）=a x﹣1+x2﹣xlna，则h′（x）=（a x﹣1）lna+2x，∵a＞1，∴当x＞0时，a x﹣1＞0，lna＞0，∴h′（x）＞0，即此时函数h（x）在区间（0，+∞）上是单调增函数．（2）由（1）知，当a＞1时，函数h（x）在区间（0，+∞）上是单调增函数，则在区间（﹣∞，0）上是单调减函数，同理当0＜a＜1时，h（x）在区间（0，+∞）上是单调增函数，则在区间（﹣∞，0）上是单调减函数，即当a＞0，且a≠1时，h（x）在区间[﹣1，0）上是减函数，在区间（[0，1）上是增函数，当﹣1≤x≤1时，h（x）的最大值为h（﹣1）和h（1）中的最大值，∵h（1）﹣h（﹣1）=（a﹣lna）﹣（+lna）=a﹣﹣2lna，∴令G（a）=a﹣﹣2lna，a＞0，则G′（a）=1+﹣=（1﹣）2≥0，∴G（a）=a﹣﹣2lna，在a＞0上为增函数，∵G（1）=1﹣1﹣2ln1=0，∴a＞1时，G（a）＞0，即h（1）＞h（﹣1），最大值为h（1）=a﹣lna，当0＜a＜1时，G（a）＜0，即h（﹣1）＞h（1），最大值为h（﹣1）=+lna．（3）∵F（x）的图象过原点，且F′（x）=g（x）=﹣x2+xlna，∴设F（x）=﹣x3+x2lna+c，∵F（x）的图象过原点，∴F（0）=0，即c=0，则F（x）=﹣x3+x2lna．设切点为B（x0，﹣x03+x02lna），则B处的切线方程为：y﹣（﹣x03+x02lna）=﹣（﹣x02+x0lna）（x﹣x0），将A的坐标代入得m﹣（﹣x03+x02lna）=﹣（﹣x02+x0lna）（1﹣x0），即m=x03﹣（1+lna）x02+x0lna （※），则原等价为关于x0的方程（※）至少有2个不同的解，设φ（x）=x3﹣（1+lna）x2+xlna，则φ′（x）=2x02﹣（2+lna）x+lna=（x﹣1）（2x﹣lna），∵a＞e，∴＞1，当x∈（﹣∞，1）和（，+∞）时，φ′（x）＞0，此时函数φ（x）为增函数，当x∈（1，）时，φ′（x）＜0，此时函数φ（x）为减函数，∴φ（x）的极大值为φ（1）=﹣1﹣lna+lna=lna﹣，φ（x）的极大值为φ（lna）=ln3a﹣ln2a（1+lna）+ln2a=﹣ln3a+ln2a，设t=lna，则t＞，则原等价为对t＞恒成立，∴由m≤t﹣得m≤，∵s（t）=﹣t3+t2的最大值为s（4）=，∴由m≥﹣t3+t2，得m≥，即m=，综上所述当a＞e时，函数F（x）过点A（1，m）的切线至少有2条，此时实数m的值为．20．已知等差数列{a n}的公差为d，等比数列{b n}的公比为q，且数列{b n}的前n项和为S n．（1）若a1=b1=d=2，S3＜a1006+5b2﹣2016，求整数q的值；（2）若S n+1﹣2S n=2，试问数列{b n}中是否存在一点b k，使得b k恰好可以表示为该数列中连续p（p∈N，p≥2）项的和？请说明理由？（3）若b1=a r，b2=a s≠a r，b3=a t（其中t＞s＞r，且（s﹣r）是（t﹣r）的约数），证明数列{b n}中每一项都是数列{a n}中的项．【考点】等比数列的性质；等比数列的前n项和．【分析】（1）若数列{b n}的前n项和为S n，且a1=b1=d=2，S3＜5b2+a88﹣180，借助于通项公式得到q的值．恰好可以表示为该数列中连（2）在（1）的条件下，假设数列{b n}中存在一项b k，使得b，k续P（P∈N，P≥2）项和，然后推理证明．（3）若b1=a r，b2=a s≠a r，b3=a t（其中t＞s＞r，且（s﹣r）是（t﹣r）的约数），要证明数列{b n}中每一项都是数列{a n}中的项，只要分析通项公式的特点可以得到．【解答】解：（1）由题意知a n=2+（n﹣1）×2=2n，，∵S3＜a1006+5b2﹣2016，∴b1+b2+b3＜a1006+5b2﹣2016，∴b1﹣4b2+b3＜2012﹣2016，∴q2﹣4q+3＜0，解得1＜q＜3，又q为整数，∴q=2．=2，n≥2，（2）由S n+1﹣2S n=2，得S n﹣2S n﹣1两式相减得b n+1﹣2b n=0，n≥2，∵等比数列{b n}的公比为q，∴q=2，又n=1时，S2﹣2S1=2，∴b1+b2﹣2b1=2，解得b1=2，∴．数列{b n}中存在一点b k，使得b k恰好可以表示为该数列中连续p（p∈N，p≥2）项的和，即b k=b n+b n+1+b n+2+…+b n+p，﹣1，∴2k＞2n+p﹣1，∵，∴b k＞b n+p﹣1∴k＞n+p﹣1，∴k≥n+p，（*）又==2n+p﹣2n＜2n+p，∴k＜n+p，这与（*）式矛盾，∴假设不成立，故数列{b n}中不存在一点b k，使得b k恰好可以表示为该数列中连续p（p∈N，p≥2）项的和，证明：（3）∵b1=a r，b2=a s≠a r，b3=a t（其中t＞s＞r，且（s﹣r）是（t﹣r）的约数），∴b2=b1q=a r q=a s=a r+（s﹣r）d，∴d=，∴，∵a s≠a r，∴b1≠b2，∴q≠1，又a r≠0，∴q=，∵t＞s＞r，且（s﹣r）是（t﹣r）的约数，∴q是正整数，且q≥2，对于{b n}中的任一项b i（这里只讨论i＞3的情形），有===）=，由于（s﹣r）（1q+…+q i﹣1）+1为正整数，∴b i一定是数列{a n}中的项．[选修4-1：几何证明选讲]21．如图所示，PA，PB分别切圆O于A，B，过AB与OP的交点M作弦CD，连结PC，求证：【考点】与圆有关的比例线段．【分析】由相交弦定理知DM•CM=AM•MB=AM2．直角三角形AMO∽直角三角形PMA，所以=，进一步证明△CMP∽△OMD，即可证明结论．【解答】证明：因为PA、PB分别切圆O于点A、B，OP与AB交于M所以OP垂直平分AB又圆O中AB，CD交于M，由相交弦定理知DM•CM=AM•MB=AM2．连接OA，因为AP为圆O切线，所以∠OAP=90°又∠AMP=90°，所以∠OAM+∠MAP=∠MAP+∠APM=90°所以∠OAM=∠APM所以直角三角形AMO∽直角三角形PMA所以=所以PM•OM=AM2，又DM•CM=AM•MB=AM2，所以PM•OM=DM•CM，所以，又∠CMP=∠ODM所以△CMP∽△OMD所以．[选修4-2：矩阵与变换]22．在平面直角坐标系xOy中，设点P（1，1）在矩阵对应的变换下得到点Q（3，7），求M﹣1．【考点】几种特殊的矩阵变换．【分析】由矩阵的变换求得a和b的值，求得丨M丨及M*，即可求得M﹣1．【解答】解：由=，∴，解得：，M=，丨M丨=1×4﹣2×3=﹣2M﹣1=×=，M﹣1=．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在极坐标系中，设直线l过点，且直线l与曲线C：ρ=asinθ（a＞0）有且只有一个公共点，求实数a的值．【考点】简单曲线的极坐标方程．【分析】求出点A，B的直角坐标，利用点斜式方程得出直线l的直角坐标方程，再求出曲线C的普通方程，求出圆心和半径，利用d=r构建出a的方程，解出a的值．【解答】解：由直线l过点，可得A，B的直角坐标为A（，），B（0，3），直线AB的斜率k==，即有直线l的方程为：y﹣3=x，即y=x+3，由曲线C：ρ=asinθ（a＞0），可得曲线C的普通方程为x2+y2﹣ay=0，即有圆心C（0，），r==，直线l与曲线C：ρ=asinθ（a＞0）有且只有一个公共点即直线和圆相切，可得，解得a=2或﹣6，由a＞0，可得a=2．[选修4-5：不等式选讲]24．求函数的最大值．【考点】函数的最值及其几何意义．【分析】函数的最值转化为基本不等式≤=1，从而解得．【解答】解：∵≤=1，（当且仅当x﹣5=7﹣x，即x=6时，等号成立），∴≤2，故函数的最大值为2．25．学校文娱队的每位队员唱歌、跳舞至少会一项，已知会唱歌的有2人，会跳舞的有5人，现从中选2人．设ξ为选出的人中即会唱歌又会跳舞的人数，且．（1）求文娱队的队员人数；（2）求ξ的分布列，并求其数学期望E（ξ）．【考点】离散型随机变量的期望与方差．【分析】（Ⅰ）设既会唱歌又会跳舞的有x人，则该演出队的总人数为（7﹣x）人，那么只会一项的人数是（7﹣2x）人，由已知得P（ξ=0）=1﹣P（ξ＞0）=1﹣=，由此能求出该演出队的总人数．（Ⅱ）由已知得ξ的可能取值为0，1，2，分别求出相应的概率，由此能求出ξ的分布列和Eξ．【解答】解：（Ⅰ）设既会唱歌又会跳舞的有x人，则文娱队的总人数为（7﹣x）人，那么只会一项的人数是（7﹣2x）人，∵ξ为选出的人中既会唱歌又会跳舞的人数，且P（ξ＞0）=，∴P（ξ=0）=1﹣P（ξ＞0）=1﹣=，∴P（ξ=0）==，解得x=2，∴该文娱队的总人数为5人．（Ⅱ）由已知得ξ的可能取值为0，1，2，P（ξ=0）=，P（ξ=1）==，P（ξ=2）==，Eξ==．26．已知有穷数列{a n}共有m项（m≥3，m∈N*），对于每个i（i=1，2，3，…，m）均有a i∈{1，2，3}，且首项a1与末项a m不相等，同时任意相邻两项不相等．记符合上述条件的所有数列{a n}的个数为f（m）．（1）写出f（3），f（4）的值；（2）写出f（m）的表达式，并说明理由．【考点】排列、组合的实际应用；排列与组合的综合．【分析】（1）由题意可知：（1）f（3）=3×2×1=6，f（4）=3×2×2+3×3×1×1=18种，（2）猜想f（m）=2m+2•（﹣1）m，（*），利用数学归纳法即可证明．【解答】解：（1）f（3）=3×2×1=6，f（4）=3×2×2+3×3×1×1=18种，（2）f（m）=2m+2•（﹣1）m，（*）理由如下：当m=3时，f（3）=6，符合（*）式，①假设当m=k时，（*）成立，即f（k）=2k+2•（﹣1）k，那么m=k+1时，因为a1有3种取法，a2有2种取法，…，a k有2种取法，a k+1若仅与a k不同，则有2种取法，一种与a1数不同，符合要求，有f（k+1）个，一种与a1数相同，不符合要求，当相当与k项有穷数列的个数，有f（k）个，则有3×2k=f （k+1）+f（k），∴a k+1=﹣a k+3×2k=﹣2k﹣2（﹣1）k+3×2k=2k+1+2（﹣1）k+1，即n=k+1时，（*）也成立，由①②可知，（*）成立．2016年9月16日。

2017-2018学年高二（上）期末数学试卷（文科）一、选择题（每小题5分，共60分.在所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．cos600°=（）A．B．﹣C．D．﹣【解答】解：cos600°=cos=cos240°=cos=﹣cos60°=﹣，故选：B．2．设集合A={x|x2﹣5x+6＜0}，B={x|2x﹣5＞0}，则A∩B=（）A．B． C． D．【解答】解：由A中不等式变形得：（x﹣2）（x﹣3）＜0，解得：2＜x＜3，即A=（2，3），由B中不等式解得：x＞，即B=（，+∞），则A∩B=（，3），故选：C．3．复数（i是虚数单位）的共轭复数在复平面内对应的点是（）A．（2，﹣2）B．（2，2） C．（﹣2，﹣2） D．（﹣2，2）【解答】解：==2﹣2i（i是虚数单位）的共轭复数2+2i在复平面内对应的点（2，2）．故选：B．4．已知数列，则a2016=（）A．1 B．4 C．﹣4 D．5【解答】解：数列，∴a3=a2﹣a1=4，同理可得：a4=﹣1，a5=﹣5，a6=﹣4，a7=1，a8=5，…，21·世纪*教育网可得an+6=an．则a2016=a335×6+6=a6=﹣4．故选：C．5．取一根长度为4m的绳子，拉直后在任意位置剪断，则剪得的两段长度都不小于1.5m的概率是（）A．B．C．D．【解答】解：记“两段的长都不小于1.5m”为事件A，则只能在中间1m的绳子上剪断，剪得两段的长都不小于1.5，所以事件A发生的概率P（A）=．6．已知==2，且它们的夹角为，则=（）A． B． C．1 D．2【解答】解：根据条件：==12；∴．故选A．7．给出下列命题：①a＞b⇒ac2＞bc2；②a＞|b|⇒a2＞b2；③|a|＞b⇒a2＞b2；④a＞b⇒a3＞b3其中正确的命题是（）A．①② B．②③ C．③④ D．②④【解答】解：①a＞b⇒ac2＞bc2在c=0时不成立，故①错误；②a＞|b|⇒|a|＞|b|⇒a2＞b2，故②正确；③a=﹣2，b=1时，|a|＞b成立，但a2＞b2不成立，故③错误；④y=x3在R上为增函数，故a＞b⇒a3＞b3，故④正确；故选：D8．如图所示的程序的输出结果为S=1320，则判断框中应填（）A．i≥9 B．i≤9 C．i≤10 D．i≥10【解答】解：首先给循环变量i和累积变量S赋值12和1，判断12≥10，执行S=1×12=12，i=12﹣1=11；判断11≥10，执行S=12×11=132，i=11﹣1=10；判断10≥10，执行S=132×10=1320，i=10﹣1=9；判断9＜10，输出S的值为1320．故判断框中应填i≥10．故选：D．9．定义在R上的函数f（x）在（6，+∞）上为增函数，且函数y=f（x+6）为偶函数，则A ．f （4）＜f （7）B ．f （4）＞f （7）C ．f （5）＞f （7）D ．f （5）＜f （7） 【解答】解：根据题意，y=f （x+6）为偶函数，则函数f （x ）的图象关于x=6对称， f （4）=f （8），f （5）=f （7）； 故C 、D 错误；又由函数在（6，+∞）上为增函数，则有f （8）＞f （7）； 又由f （4）=f （8）， 故有f （4）＞f （7）； 故选：B ．10．已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ）A ．B ．C ．D ．【解答】解：由已知中的三视图可得：该几何体是一个以侧视图为底面的四棱锥， 其底面面积S=2×2=4，高h=×2=，故体积V==，故选：C ．11．气象意义上的春季进入夏季的标志为：“连续五天每天日平均温度不低于22℃”，现在甲、乙、丙三地连续五天的日平均温度的记录数据（记录数据都是正整数，单位℃）：21教育名师原创作品甲地：五个数据的中位数是24，众数为22； 乙地：五个数据的中位数是27，平均数为24；丙地：五个数据中有一个数据是30，平均数是24，方差为10． 则肯定进入夏季的地区有（ ） A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个【解答】解：气象意义上的春季进入夏季的标志为：“连续五天每天日平均温度不低于22℃”， 由此得到：甲地肯定进入夏季，∵五个数据的中位数是24，众数为22，∴22℃至少出现两次，若有一天低于22℃，中位数就不是24℃，故甲地进入夏季； 乙地不一定进处夏季，如13，23，27，28，29，故乙地不一定进入夏季； 丙地不一定进入夏季，10×5﹣（30﹣24）2≥（24﹣x ）2， ∴（24﹣x ）2≤14，x=21时，成立，故丙地不一定进入夏季． 故选：B ．12．已知圆O 的半径为2，PA 、PB 为圆O 的两条切线，A 、B 为切点（A 与B 不重合），则的最小值为（ ）2·1·c ·n ·j ·yA ．﹣12+4B ．﹣16+4C ．﹣12+8D ．﹣16+8【解答】解：设PA 与PO 的夹角为α，则|PA|=|PB|=，y=•=||||cos2α=•cos2α=•cos2α=4记cos2α=μ．则y=4=4[（﹣μ﹣2）+]=﹣12+4（1﹣μ）+≥﹣12+8．当且仅当μ=1﹣时，y 取得最小值：8．即•的最小值为8﹣12．故选：C ．二.填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．若函数f （x ）=x2﹣|x+a|为偶函数，则实数a= 0 ． 【解答】解：∵f （x ）为偶函数 ∴f （﹣x ）=f （x ）恒成立 即x2﹣|x+a|=x2﹣|x ﹣a|恒成立 即|x+a|=|x ﹣a|恒成立 所以a=0故答案为：0．14．某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的k 的值是 5 ．【解答】解：程序在运行过程中各变量的值如下表示：第一圈k=3 a=43 b=34第二圈k=4 a=44 b=44第三圈k=5 a=45 b=54此时a＞b，退出循环，k值为5故答案为：5．15．若平面向量，满足||≤1，||≤1，且以向量，为邻边的平行四边形的面积为，则与的夹角θ的取值范围是．【解答】解：∵以向量，为邻边的平行四边形的面积为，∴．∵平面向量，满足||≤1，||≤1，∴，∵θ∈（0，π），∴．∴与的夹角θ的取值范围是．故答案为：．16．某毕业生参加人才招聘会，分别向甲、乙、丙三个公司投递了个人简历，假定该毕业生得到甲公司面试的概率为，得到乙、丙公司面试的概率均为p，且三个公司是否让其面试是相互独立的．记X为该毕业生得到面试的公司个数．若P（X=0）=，则随机变量X的数学期望E（X）=．【解答】解：由题意知X为该毕业生得到面试的公司个数，则X的可能取值是0，1，2，3，∵P（X=0）=，∴，∴p=，P（X=1）=+=P（X=2）==，P（X=3）=1﹣=，∴E（X）==，故答案为：三、解答题17．在△ABC中，内角A，B，C所对边长分别为a，b，c，，∠BA C=θ，a=4．（1）求bc的最大值；（2）求函数的值域．【解答】解：（1）∵=bc•cosθ=8，由余弦定理可得16=b2+c2﹣2bc•cosθ=b2+c2﹣16，∴b2+c2=32，又b2+c2≥2bc，∴bc≤16，即bc的最大值为16，当且仅当b=c=4，θ=时取得最大值；（2）结合（1）得，=bc≤16，∴cosθ≥，又0＜θ＜π，∴0＜θ≤，∴=2sin（2θ+）﹣1∵0＜θ≤，∴＜2θ+≤，∴sin（2θ+）≤1，当2θ+=，即θ=时，f（θ）min=2×，当2θ+=，即θ=时，f （θ）max=2×1﹣1=1，∴函数f （θ）的值域为[0，1]18．已知函数的图象关于直线x=π对称，其中ω，λ为常数，且ω∈（，1）． （1）求函数f （x ）的最小正周期；（2）若存在，使f （x0）=0，求λ的取值范围．【解答】（本题满分为12分）解：（1）=sin2ωx ﹣cos2ωx ﹣λ=2sin （2ωx ﹣）﹣λ，∵函数f （x ）的图象关于直线x=π对称，∴解得：2ωx ﹣=kπ+，可得：ω=+（k ∈Z ），∵ω∈（，1）．可得k=1时，ω=，∴函数f （x ）的最小正周期T==…6分（2）令f （x0）=0，则λ=2sin （﹣），由0≤x0≤，可得：﹣≤﹣≤，则﹣≤sin （﹣）≤1，根据题意，方程λ=2sin （﹣）在[0，]内有解，∴λ的取值范围为：[﹣1，2]…12分19．向量与的夹角为θ，||=2，||=1，=t，=（1﹣t ），||在t0时取得最小值，当0＜t0＜时，夹角θ的取值范围是 ．【解答】解：由题意可得=2×1×co sθ=2cosθ，=﹣=（1﹣t ）﹣t，∴||2==（1﹣t ）2+t2﹣2t （1﹣t ）=（1﹣t ）2+4t2﹣4t （1﹣t ）cosθ =（5+4cosθ）t2+（﹣2﹣4cosθ）t+1由二次函数知当上式取最小值时，t0=，由题意可得0＜＜，解得﹣＜cosθ＜0，∴＜θ＜故答案为：20．在四棱锥P ﹣ABCD 中，AD ⊥平面PDC ，PD ⊥DC ，底面ABCD 是梯形，AB ∥DC ，AB=AD=PD=1，CD= （1）求证：平面PBC ⊥平面PBD ；（2）设Q 为棱PC 上一点，=λ，试确定 λ的值使得二面角Q ﹣BD ﹣P 为60°．【解答】（1）证明：∵AD ⊥平面PDC ，PD ⊂平面PCD ，DC ⊂平面PDC ，图1所示．∴AD ⊥PD ，AD ⊥DC ，在梯形ABCD 中，过点作B 作BH ⊥CD 于H ， 在△BCH 中，BH=CH=1，∴∠BCH=45°， 又在△DAB 中，AD=AB=1，∴∠ADB=45°， ∴∠BDC=45°，∴∠DBC=90°，∴BC ⊥BD ． ∵PD ⊥AD ，PD ⊥DC ，AD ∩DC=D ． AD ⊂平面ABCD ，DC ⊂平面ABCD ， ∴PD ⊥平面ABCD ，∵BC ⊂平面ABCD ，∴PD ⊥BC ，∵BD ∩PD=D ，BD ⊂平面PBD ，PD ⊂平面PBD ． ∴BC ⊥平面PBD ，∵BC ⊂平面PBC ，∴平面PBC ⊥平面PBD ；（2）解：过点Q 作QM ∥BC 交PB 于点M ，过点M 作MN ⊥BD 于点N ，连QN ． 由（1）可知BC ⊥平面PDB ，∴QM ⊥平面PDB ，∴QM ⊥BD ， ∵QM ∩MN=M ，∴BD ⊥平面MNQ ，∴BD ⊥QN ，图2所示． ∴∠QNM 是二面角Q ﹣BD ﹣P 的平面角，∴∠QNM=60°，∵，∴，∵QM∥BC，∴，∴QM=λBC，由（1）知，∴，又∵PD=1，MN∥PD，∴，∴MN===1﹣λ，∵tan∠MNQ=，∴，∴．21．已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）过点A（﹣，），离心率为，点F1，F2分别为其左右焦点．21教育网（1）求椭圆C的标准方程；（2）若y2=4x上存在两个点M，N，椭圆上有两个点P，Q满足，M，N，F2三点共线，P，Q，F2三点共线，且PQ⊥MN．求四边形PMQN面积的最小值．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．【分析】（1）由椭圆的离心率公式和点满足椭圆方程及a，b，c的关系，解方程，即可得到椭圆方程；（2）讨论直线MN的斜率不存在，求得弦长，求得四边形的面积；当直线MN斜率存在时，设直线方程为：y=k（x﹣1）（k≠0）联立抛物线方程和椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式，以及四边形的面积公式，计算即可得到最小值．【解答】解：（1）由题意得：，a2﹣b2=c2，得b=c，因为椭圆过点A（﹣，），则+=1，解得c=1，所以a2=2，所以椭圆C方程为．（2）当直线MN斜率不存在时，直线PQ的斜率为0，易得，．当直线MN斜率存在时，设直线方程为：y=k（x﹣1）（k≠0）与y2=4x联立得k2x2﹣（2k2+4）x+k2=0，令M（x1，y1），N（x2，y2），则，x1x2=1，|MN|=•．即有，∵PQ⊥MN，∴直线PQ的方程为：y=﹣（x﹣1），将直线与椭圆联立得，（k2+2）x2﹣4x+2﹣2k2=0，令P（x3，y3），Q（x4，y4），x3+x4=，x3x4=，由弦长公式|PQ|=•，代入计算可得，∴四边形PMQN的面积S=|MN|•|PQ|=，令1+k2=t，（t＞1），上式=，所以．最小值为．22．设函数f（x）=lnx，g（x）=（m＞0）．（1）当m=1时，函数y=f（x）与y=g（x）在x=1处的切线互相垂直，求n的值；（2）若函数y=f（x）﹣g（x）在定义域内不单调，求m﹣n的取值范围；（3）是否存在实数a，使得f（）•f（eax）+f（）≤0对任意正实数x恒成立？若存在，求出满足条件的实数a；若不存在，请说明理由．【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（1）分别求出f（x）、g（x）的导数，求得在x=1处切线的斜率，由两直线垂直的条件，解方程即可得到n；（2）求出y=f（x）﹣g（x）的导数，可得，得的最小值为负，运用基本不等式即可求得m﹣n的范围；（3）假设存在实数a，运用构造函数，求出导数，求得单调区间和最值，结合不等式恒成立思想即有三种解法．【解答】解：（1）当m=1时，，∴y=g（x）在x=1处的切线斜率，由，∴y=f（x）在x=1处的切线斜率k=1，∴，∴n=5．（2）易知函数y=f（x）﹣g（x）的定义域为（0，+∞），又，由题意，得的最小值为负，∴m（1﹣n）＞4，由m＞0，1﹣n＞0，∴，∴m+（1﹣n）＞4或m+1﹣n＜﹣4（舍去），∴m﹣n＞3；（3）解法一、假设存在实数a，使得f（）•f（eax）+f（）≤0对任意正实数x恒成立．令θ（x）=，其中x＞0，a＞0，则θ'（x）=，设，∴δ（x）在（0，+∞）单调递减，δ（x）=0在区间（0，+∞）必存在实根，不妨设δ（x0）=0，即，可得（*）θ（x）在区间（0，x0）上单调递增，在（x0，+∞）上单调递减，所以θ（x）max=θ（x0），θ（x0）=（ax0﹣1）•ln2a﹣（ax0﹣1）•lnx0，代入（*）式得，根据题意恒成立．又根据基本不等式，，当且仅当时，等式成立即有，即ax0=1，即．代入（*）式得，，即，解得．解法二、假设存在实数a，使得f（）•f（eax）+f（）≤0对任意正实数x恒成立．令θ（x）=ax•ln2a﹣ax•lnx+lnx﹣ln2a=（ax﹣1）（ln2a﹣lnx），其中x＞0，a＞0根据条件对任意正数x恒成立，即（ax﹣1）（ln2a﹣lnx）≤0对任意正数x恒成立，∴且，解得且，即时上述条件成立，此时．解法三、假设存在实数a，使得f（）•f（eax）+f（）≤0对任意正实数x恒成立．令θ（x）=ax•ln2a﹣ax•lnx+lnx﹣ln2a=（ax﹣1）（ln2a﹣lnx），其中x＞0，a＞0要使得（ax﹣1）（ln2a﹣lnx）≤0对任意正数x恒成立，等价于（ax﹣1）（2a﹣x）≤0对任意正数x恒成立，即对任意正数x恒成立，设函数，则φ（x）的函数图象为开口向上，与x正半轴至少有一个交点的抛物线，因此，根据题意，抛物线只能与x轴有一个交点，即，所以．。

2017—2018学年度第一学期期末考试高二理科数学试卷（答题时间：120分钟 满分：150分)一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分）每小题只有一个．．．．正确选项,请将正确选项填到答题卡处1。

设集合{|(1)(2)0}A x x x =+-<， {|13}B x x =<<，则A B = A ．{|13}x x -<< B ．{|11}x x -<<C ．{|12}x x <<D ．{|23}x x <<2.已知抛物线y 2＝2px （p >0）的准线经过点(－1,1),则该抛物线的焦点坐标为A ．(－1，0)B ．（1,0）C ．（0，－1)D ．（0,1）3．设x ，y ∈R ，则“x ≥2且y ≥2”是“x 2＋y 2≥4”的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件4．已知等差数列｛a n }的公差为d （d ≠0）,且a 3＋a 6＋a 10＋a 13＝32，若a m ＝8，则m 为A ．12B ．8C ．6D ．45．执行如图所示的程序框图,若输入的n ＝10，则输出的S 等于A .错误!B .错误!C 。

错误!D .错误!6．某学校组织学生参加数学测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组依次为［20,40),[40,60)，［60,80），［80，100]．若低于60分的人数是15人，则该班的学生人数是A ．45B ．50C ．55D ．607。

若一个正三棱柱的三视图如图所示，则这个正三棱柱的表面积为A .318B 。

315C .3824+D 。

31624+8．已知a ＋b ＋c ＝0,｜a |＝2，|b |＝3，｜c ｜＝4，则向量a 与b 之间的夹角<a ,b 〉为A ．30°B ．45°C ．60°D ．以上都不对9．在长为10厘米的线段AB 上任取一点G ，用AG 为半径作圆,则圆的面积介于36π平方厘米到64π平方厘米的概率是A .错误!B 。

江苏省启东2017~2018学年度第一学期第一次月考高二创新班数学试卷 2017.9.25一、填空题：本题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题．．纸．相应位置上．．．．．． 1．命题“x ∀∈R ，2x x -≤0”的否定是 ．2．已知实数{0a ∈，1，2，3}，且{0a ∉，1，2}，则a 的值为 ．3．函数()f x =的定义域为 ．4．已知函数()f x 是二次函数且(0)2f =，(1)()1f x f x x +-=-，则函数()f x = ．5．已知集合{|3}A x x =>，{|}B x x a =>，若“x A ∈”是“x B ∈的”必要不充分条件，则实数a的取值范围为 ．6．从1，2，3，4，5这五个数中一次随机地抽取两个数，则其中一个数是另一个数的两倍的概率是 ．7．设命题p ：实数x 满足2430x x -+<；命题q ：实数x 满足2260280x x x x ⎧--<⎪⎨+->⎪⎩ 若p q ∧为真，则实数x 的取值范围是 ．8．矩形ABCD 中，点E 为边CD 的中点，若在矩形ABCD 内部随机取一个点Q ，则点Q 取自ADE △内部的概率为 ．9．随机变量X 的取值为0，1，2，若1(0)5P X ==，()1E X =，则()V X = ． 10．若有一批产品共100件，其中有5件不合格品，随机取出10件产品，则不合格品数ξ的数学期望()E ξ= ．11．设函数2222()x x f x x ⎧++⎪=⎨-⎪⎩ 若(())2f f a =，则a = ． 12．已知集合{I =1，2，3，4，5，6，7}，集合P m =，}k I ∈，则P 的元素个数为 ． 13．若函数2()(2)e e 1x x f x a x x =--+在区间(-∞，0]恒为非负，则实数a 的取值范围为 ．14．以A 表示值域为R 的函数组成的集合，B 表示具有如下性质的函数()x ϕ组成的集合：对于函数()x ϕ，存在一个正数M ，使得函数()x ϕ的值域包含于区间[M -，]M ．例如，当31()x x ϕ=，2()sin x x ϕ=时，1()x A ϕ∈，2()x B ϕ∈．现有如下命题：， ， ，x ≤0， ，0x >．①设函数()f x 的定义域为D ，则“()f x A ∈”的充要条件是“b ∀∈R ，a D ∃∈，()f a b =”； ②若函数()f x B ∈的充要条件是()f x 有最大值和最小值；③若函数()f x ，()g x 的定义域相同，且()f x A ∈，()g x B ∈，则()()f x g x B +∉； ④若函数2()ln(2)1x f x a x x =+++（2x >-，a ∈R ）有最大值，则()f x B ∈． 其中的真命题的序号为 ．二、解答题：本大题共6小题，共计90分，请在答题．．纸．指定区域．．．．内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本小题满分14分）一个盒子里装有三张卡片，分别标记有数字1，2，3，这三张卡片除标记的数字外完全相同 ．随机有放回地抽取3次，每次抽取1张，将抽取的卡片上数字依次记为a ，b ，c ． ⑴求“抽取的卡片上的数字满足a b c +=”的概率；⑵求“抽取的卡片上的数字不完全相同”的概率．16．（小题满分14分）设ABC △的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．命题p ：若333a b c +=，则π2C <． ⑴写出命题p 的逆否命题，并判断其真假；⑵若命题p 为真，请证明；若为假，请说明理由．17．（本小题满分14分）已知关于x 的一元二次方程229640x ax b +-+=，a 、b ∈R ．⑴若1a =，b 是从区间[0，2]内任取的一个数，求方程没有实数根．．．．．．．的概率； ⑵若a 是从区间[0，3]内任取的一个数，b 是从区间[0，2]内任取的一个数，求方程．．有实数根．．．．的 概率．18．（本小题满分16分）为拉动经济增长，某市决定新建一批重点工程，其中基础设施工程有6个项目，民生工程有4个项目，产业建设工程有2个项目．现在3名工人独立地从中任选一个项目参与建设，设每个工人选择任意一个项目的概率相同．⑴求他们选择的项目所属类别互不相同的概率；⑵记X 为3人中选择的项目属于基础设施工程或产业建设工程的人数，求X 的概率分布以及它的数学期望()E X 与标准差σ．19．（本小题满分16分）有人玩掷硬币走跳棋的游戏，已知棋盘上标有0站，1站，2站，…，99站，100站．一枚棋子开始时在第0站，棋手每掷一次硬币，棋子向前跳动一次，若掷出正面，则棋子前进1站；若掷出反面，则棋子前进2站，知道跳到99站（胜利）或100站（失败），游戏结束．设棋子跳到第n站的概率为n P ．⑴求0P ，1P ，2P 的值；⑵求n P 与1n P -的关系式；（其中2≤n ≤99）⑶求99P 和100P ．20．（本小题满分16分）对于定义域为I 的函数()y f x =，如果存在区间[m ，]n I ⊆，同时满足①()f x 在[m ，]n 内是单调函数；②当定义域为[m ，]n 时，()f x 的值域也是[m ，]n ．则称[m ，]n 是函数()y f x =的“好区间”．已知函数3()f x x ax =-，其中a ∈R ． ⑴若0a =，判断函数()f x 是否存在“好区间”，请说明理由；⑵若3a =，判断函数()f x 是否存在“好区间”，请说明理由； ⑶若函数()f x 存在“好区间”，试求实数a 的取值范围．。

2016-2017学年江苏省南通市启东高二（上）期末数学试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上．1．（5分）抛物线y=x2的准线方程是．2．（5分）命题“任意正实数a，函数f（x）=x2+ax在[0，+∞）上都是增函数”的否定是．3．（5分）已知复数z满足（3+4i）z=5i2016（i为虚数单位），则|z|=．4．（5分）将参加夏令营的500名学生编号为：001，002，…，500，采用系统抽样的方法抽取一个容量为50的样本，且随机抽得的号码为003，这500名学生分住在三个营区，从001到200在第一营区，从201到355在第二营区，从356到500在第三营区，则第三个营区被抽中的人数为．5．（5分）如图是一个算法的流程图，若输出的结果是1023，则判断框中的整数M的值是．6．（5分）在平面直角坐标系内，二元一次方程Ax+By+C=0（A2+B2≠0）表示直线的方程，在空间直角坐标系内，三元一次方程Ax+By+Cz+D=0（A2+B2+C2≠0）表示平面的方程．在平面直角坐标系内，点P（x0，y0）到直线Ax+By+C=0的距离d=，运用类比的思想，我们可以解决下面的问题：在空间直角坐标系内，点P（2，1，1）到平面3x+4y+12z+4=0的距离d=．7．（5分）等轴双曲线的离心率为．8．（5分）“a＞1”是“（a+1）x＞2对x∈（1，+∞）恒成立”的条件（填“充分不必要、必要不充分、充要”）．9．（5分）过点P（5，4）作直线l与圆O：x2+y2=25交于A，B两点，若PA=2，则直线l的方程为．10．（5分）已知双曲线的渐近线方程为，一个焦点为，则双曲线的标准方程是．11．（5分）已知椭圆的离心率，A、B是椭圆的左、右顶点，P是椭圆上不同于A、B的一点，直线PA、PB斜倾角分别为α、β，则=．12．（5分）已知圆心C在抛物线y2=4x上且与准线相切，则圆C恒过定点．13．（5分）在平面直角坐标系xOy中，已知圆O1，圆O2均与x轴相切且圆心O1，O2与原点O 共线，O1，O2两点的横坐标之积为6，设圆O1与圆O2相交于P，Q两点，直线l：2x﹣y﹣8=0，则点P与直线l上任意一点M之间的距离的最小值为．14．（5分）在平面直角坐标系xOy中，B是椭圆的上顶点，直线y=b与椭圆右准线交于点A，若以AB为直径的圆与x轴的公共点都在椭圆内部，则椭圆的离心率e的取值范围是．二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（14分）某市居民用水拟实行阶梯水价，每人月用水量中不超过w立方米的部分按4元/立方米收费，超出w立方米的部分按10元/立方米收费，从该市随机调查了10000位居民，获得了他们某月的用水量数据，整理得到如图频率分布直方图：（1）如果w为整数，那么根据此次调查，为使80%以上居民在该月的用水价格为4元/立方米，w至少定为多少？（2）假设同组中的每个数据用该组区间的右端点值代替，当w=3时，估计该市居民该月的人均水费．16．（14分）设a为实数，给出命题p：关于x的不等式的解集为∅，命题q：函数f（x）=lg[ax2+（a﹣2）x+]的定义域为R，若命题“p∨q”为真，“p∧q”为假，求实数a的取值范围．17．（14分）在平面直角坐标系xOy中，已知圆M经过点A（1，0），B（3，0），C（0，1）．（1）求圆M的方程；（2）若直线l“mx﹣2y﹣（2m+1）=0与圆M交于点P，Q，且•=0，求实数m的值．18．（16分）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆+=1（a＞b＞0）与直线y=kx（k＞0）相交于A，B两点（从左到右），过点B作x轴的垂线，垂足为C，直线AC交椭圆于另一点D．（1）若椭圆的离心率为，点B的坐标为（，1），求椭圆的方程；（2）若以OD为直径的圆恰好经过点B，求椭圆的离心率．19．（16分）已知圆M：x2+（y﹣4）2=4，点P是直线l：x﹣2y=0上的一动点，过点P作圆M 的切线PA、PB，切点为A、B．（Ⅰ）当切线PA的长度为2时，求点P的坐标；（Ⅱ）若△PAM的外接圆为圆N，试问：当P运动时，圆N是否过定点？若存在，求出所有的定点的坐标；若不存在，说明理由；（Ⅲ）求线段AB长度的最小值．20．（16分）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆（a＞b＞0）的离心率为，其焦点在圆x2+y2=1上．（1）求椭圆的方程；（2）设A，B，M是椭圆上的三点（异于椭圆顶点），且存在锐角θ，使．（i）求证：直线OA与OB的斜率之积为定值；（ii）求OA2+OB2．试卷（附加题）21．（10分）已知矩阵，其中a，b均为实数，若点A（3，﹣1）在矩阵M的变换作用下得到点B（3，5），求矩阵M的特征值．22．（10分）在极坐标系中，设圆C经过点P（，），圆心是直线ρsin（﹣θ）=与极轴的交点．（1）求圆C的半径；（2）求圆C的极坐标方程．23．（10分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BAC=90°，AB=AC=2，AA1=6，点E、F分别在棱BB1、CC1上，且BE=BB1，C1F=CC1．（1）求异面直线AE与A1 F所成角的大小；（2）求平面AEF与平面ABC所成角的余弦值．24．（10分）已知数列{a n}满足a1=﹣1，．（1）求证：数列是等比数列；（2）设，求证：当n≥2，n∈N*时，．2016-2017学年江苏省南通市启东高二（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上．1．（5分）抛物线y=x2的准线方程是4y+1=0．【解答】解：因为抛物线的标准方程为：x2=y，焦点在y轴上；所以：2p=1，即p=，所以：=，∴准线方程y=﹣=﹣，即4y+1=0．故答案为：4y+1=0．2．（5分）命题“任意正实数a，函数f（x）=x2+ax在[0，+∞）上都是增函数”的否定是“存在正实数a，函数f（x）=x2+ax在[0，+∞）上不都是增函数”．【解答】解：命题“任意正实数a，函数f（x）=x2+ax在[0，+∞）上都是增函数”的否定是“存在正实数a，函数f（x）=x2+ax在[0，+∞）上不都是增函数”．故答案为：“存在正实数a，函数f（x）=x2+ax在[0，+∞）上不都是增函数”．3．（5分）已知复数z满足（3+4i）z=5i2016（i为虚数单位），则|z|=1．【解答】解：由（3+4i）z=5i2016，得==，则|z|=．故答案为：1．4．（5分）将参加夏令营的500名学生编号为：001，002，…，500，采用系统抽样的方法抽取一个容量为50的样本，且随机抽得的号码为003，这500名学生分住在三个营区，从001到200在第一营区，从201到355在第二营区，从356到500在第三营区，则第三个营区被抽中的人数为14．【解答】解：系统抽样的抽取间隔为=10，∵随机抽得的第一个号码为003，∴被抽到号码l=10k+3，k∈N．∴在第三营区中被抽到的号码为363，373…493，∴第三个营区被抽中的人数为14．故答案为：14．5．（5分）如图是一个算法的流程图，若输出的结果是1023，则判断框中的整数M的值是9．【解答】解：执行程序框图，有A=1，S=1当满足条件A≤M，S=1+2+22+…+2M=1023由等比数列的求和公式，可知2M+1﹣1=1023，即可解得M=9．故答案为：9．6．（5分）在平面直角坐标系内，二元一次方程Ax+By+C=0（A2+B2≠0）表示直线的方程，在空间直角坐标系内，三元一次方程Ax+By+Cz+D=0（A2+B2+C2≠0）表示平面的方程．在平面直角坐标系内，点P（x0，y0）到直线Ax+By+C=0的距离d=，运用类比的思想，我们可以解决下面的问题：在空间直角坐标系内，点P（2，1，1）到平面3x+4y+12z+4=0的距离d=2．【解答】解：类比点P（x0，y0）到直线Ax+By+C=0的距离d=，可知在空间中，点P（x0，y0，z0）到平面Ax+By+Cz+D=0（A2+B2+C2≠0）的距离，代入数据可知点P（2，1，1）到平面3x+4y+12z+4=0的距离d=2．故答案为：27．（5分）等轴双曲线的离心率为．【解答】解：∵等轴双曲线中a=b∴c==a∴e==故答案为：8．（5分）“a＞1”是“（a+1）x＞2对x∈（1，+∞）恒成立”的充分不必要条件（填“充分不必要、必要不充分、充要”）．【解答】解：若a＞1，则x＞，而＜1，∴∈（1，+∞），是充分条件；若（a+1）x＞2对x∈（1，+∞）恒成立，则x＞，只需≤1即可，∴a≥1，是不必要条件，故答案为：充分不必要．9．（5分）过点P（5，4）作直线l与圆O：x2+y2=25交于A，B两点，若PA=2，则直线l的方程为y=4或40x﹣9y﹣164=0．【解答】解：当直线l斜率为0时，A与M重合，B与N重合，此时OQ=4，由垂径定理定理得到Q为MN中点，连接OM，根据勾股定理得：QM==3，∴MN=2QM=6，此时直线l方程为y=4，符合题意；当直线l斜率不为0时，设为k，直线l方程为y﹣4=k（x﹣5），即kx﹣y+4﹣5k=0，由割线定理得到AB=MN=6，再由垂径定理得到C为AB的中点，即AC=AB=3，过O作OC⊥AB，连接OA，根据勾股定理得：OC==4，∴圆心O到直线l的距离d==4，解得：k=0（舍去）或k=，则此时直线l的方程为x﹣y+4﹣5×=0，即40x﹣9y﹣164=0，综上，直线l的方程为y=4或40x﹣9y﹣164=0．故答案为：y=4或40x﹣9y﹣164=010．（5分）已知双曲线的渐近线方程为，一个焦点为，则双曲线的标准方程是﹣=1．【解答】解：根据题意，要求双曲线的一个焦点为，在y轴上，可以设其标准方程为：﹣=1，且有a2+b2=c2=8，①其渐近线方程为：y=±x，又由该双曲线的渐近线方程为，则有=，②联立①、②可得：a2=6，b2=2，则要求双曲线的方程为：﹣=1；故答案为：﹣=1．11．（5分）已知椭圆的离心率，A、B是椭圆的左、右顶点，P是椭圆上不同于A、B的一点，直线PA、PB斜倾角分别为α、β，则=．【解答】解：由题意，A（﹣a，0），B（a，0），设P（x，y），则，∴=∵椭圆的离心率，∴∴a2=4b2∴∴∴=﹣∴∴====故答案为：12．（5分）已知圆心C在抛物线y2=4x上且与准线相切，则圆C恒过定点（1，0）．【解答】解：设动圆的圆心到直线x=﹣1的距离为r，因为动圆圆心在抛物线y2=4x上，且抛物线的准线方程为x=﹣1，所以动圆圆心到直线x=﹣1的距离与到焦点（1，0）的距离相等，所以点（1，0）一定在动圆上，即动圆必过定点（1，0）．故答案为：（1，0）．13．（5分）在平面直角坐标系xOy中，已知圆O1，圆O2均与x轴相切且圆心O1，O2与原点O 共线，O1，O2两点的横坐标之积为6，设圆O1与圆O2相交于P，Q两点，直线l：2x﹣y﹣8=0，则点P与直线l上任意一点M之间的距离的最小值为．【解答】解：设圆O1：（x﹣x1）2+（y﹣kx1）2=k2x12，圆O2：（x﹣x2）2+（y﹣kx2）2=k2x22，两方程相减可得：2ky=x1+x2﹣2x，与圆O1联立可得x2+y2=6，令y﹣2x=t，则y=2x+t，代入可得5x2﹣4tx+t2﹣6=0，△=30﹣t2≥0，可得﹣≤t≤，∵P到直线l的距离为，∴y﹣2x=t=﹣时，点P与直线l上任意一点M之间的距离的最小值为．故答案为：．14．（5分）在平面直角坐标系xOy中，B是椭圆的上顶点，直线y=b与椭圆右准线交于点A，若以AB为直径的圆与x轴的公共点都在椭圆内部，则椭圆的离心率e的取值范围是（，1）．【解答】解：如图所示：过圆心M作横轴垂线，垂足为T，圆与横轴交点为N，H则MT=b，MH=r=，要使以AB为直径的圆与x轴的公共点都在椭圆内部，只需TH＜a﹣即可，即MH2﹣MT2＜（a﹣）2，（）2﹣b2＜（a﹣）2，化简得c3﹣2a2c+a3＜0⇒e3﹣2e+1＜0⇒（e﹣1）（e2+e﹣1）＜0∵e＜1，∴e2+e﹣1＞0⇒e＞．椭圆的离心率e的取值范围是（，1）二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（14分）某市居民用水拟实行阶梯水价，每人月用水量中不超过w立方米的部分按4元/立方米收费，超出w立方米的部分按10元/立方米收费，从该市随机调查了10000位居民，获得了他们某月的用水量数据，整理得到如图频率分布直方图：（1）如果w为整数，那么根据此次调查，为使80%以上居民在该月的用水价格为4元/立方米，w至少定为多少？（2）假设同组中的每个数据用该组区间的右端点值代替，当w=3时，估计该市居民该月的人均水费．【解答】解：（1）由频率分布直方图得：用水量在[0.5，1）的频率为0.1，用水量在[1，1.5）的频率为0.15，用水量在[1.5，2）的频率为0.2，用水量在[2，2.5）的频率为0.25，用水量在[2.5，3）的频率为0.15，用水量在[3，3.5）的频率为0.05，用水量在[3.5，4）的频率为0.05，用水量在[4，4.5）的频率为0.05，∵用水量小于等于3立方米的频率为85%，∴为使80%以上居民在该用的用水价为4元/立方米，∴w至少定为3立方米．（2）当w=3时，该市居民的人均水费为：（0.1×1+0.15×1.5+0.2×2+0.25×2.5+0.15×3）×4+0.05×3×4+0.05×0.5×10+0.05×3×4+0.05×1×10+0.05×3×4+0.05×1.5×10=10.5，∴当w=3时，估计该市居民该月的人均水费为10.5元．16．（14分）设a为实数，给出命题p：关于x的不等式的解集为∅，命题q：函数f（x）=lg[ax2+（a﹣2）x+]的定义域为R，若命题“p∨q”为真，“p∧q”为假，求实数a的取值范围．【解答】解：命题p：|x﹣1|≥0，∴，∴a＞1；命题q：不等式的解集为R，∴，解得；若命题“p∨q”为真，“p∧q”为假，则p，q一真一假；p真q假时，，解得a≥8；p假q真时，，解得；∴实数a的取值范围为：．17．（14分）在平面直角坐标系xOy中，已知圆M经过点A（1，0），B（3，0），C（0，1）．（1）求圆M的方程；（2）若直线l“mx﹣2y﹣（2m+1）=0与圆M交于点P，Q，且•=0，求实数m的值．【解答】解：（1）如图，AB中垂线方程为x=2，AC中垂线方程为y=x，联立，解得M（2，2），又|MA|=，∴圆M的方程为（x﹣2）2+（y﹣2）2=5；（2）∵•=0，∴∠PMQ=90°，则|PQ|=，∴M到直线mx﹣2y﹣（2m+1）=0的距离为．由，解得：m=．18．（16分）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆+=1（a＞b＞0）与直线y=kx（k＞0）相交于A，B两点（从左到右），过点B作x轴的垂线，垂足为C，直线AC交椭圆于另一点D．（1）若椭圆的离心率为，点B的坐标为（，1），求椭圆的方程；（2）若以OD为直径的圆恰好经过点B，求椭圆的离心率．【解答】解：（1）∵椭圆的离心率为，点B的坐标为（，1），∴，，又a2=b2+c2，联立解得a2=4，b2=c2=2．∴椭圆的方程为：=1．（2）设A（x1，y1），D（x2，y2），则B（﹣x1，﹣y1），C（﹣x1，0）．k AD==k AC==，k BD==﹣．又，，两式相减可得：=0，∴×=0，化为a2=2b2．∴椭圆的离心率e==．19．（16分）已知圆M：x2+（y﹣4）2=4，点P是直线l：x﹣2y=0上的一动点，过点P作圆M 的切线PA、PB，切点为A、B．（Ⅰ）当切线PA的长度为2时，求点P的坐标；（Ⅱ）若△PAM的外接圆为圆N，试问：当P运动时，圆N是否过定点？若存在，求出所有的定点的坐标；若不存在，说明理由；（Ⅲ）求线段AB长度的最小值．【解答】解：（Ⅰ）由题可知，圆M的半径r=2，设P（2b，b），因为PA是圆M的一条切线，所以∠MAP=90°，所以MP=，解得所以…4分（Ⅱ）设P（2b，b），因为∠MAP=90°，所以经过A、P、M三点的圆N以MP为直径，其方程为：即（2x+y﹣4）b﹣（x2+y2﹣4y）=0由，…7分解得或，所以圆过定点…9分（Ⅲ）因为圆N方程为（x﹣b）2+（y﹣）2=即x2+y2﹣2bx﹣（b+4）y+4b=0 …①圆M：x2+（y﹣4）2=4，即x2+y2﹣8y+12=0…②②﹣①得圆M方程与圆N相交弦AB所在直线方程为：2bx+（b﹣4）y+12﹣4b=0…11分点M到直线AB的距离…13分相交弦长即：当时，AB有最小值…16分．20．（16分）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆（a＞b＞0）的离心率为，其焦点在圆x2+y2=1上．（1）求椭圆的方程；（2）设A，B，M是椭圆上的三点（异于椭圆顶点），且存在锐角θ，使．（i）求证：直线OA与OB的斜率之积为定值；（ii）求OA2+OB2．【解答】解：（1）依题意，得c=1．于是，a=，b=1．…（2分）所以所求椭圆的方程为．…（4分）（2）（i）设A（x1，y1），B（x2，y2），则①，②．又设M（x，y），因，故…（7分）因M在椭圆上，故．整理得．将①②代入上式，并注意cosθsinθ≠0，得．所以，为定值．…（10分）（ii），故y12+y22=1．又，故x12+x22=2．所以，OA2+OB2=x12+y12+x22+y22=3．…（16分）试卷（附加题）21．（10分）已知矩阵，其中a，b均为实数，若点A（3，﹣1）在矩阵M的变换作用下得到点B（3，5），求矩阵M的特征值．【解答】解：由题意得：==，∴，解得a=3，b=2．∴M=，设矩阵M的特征值为λ，则f（λ）==0，化为（2﹣λ）（1﹣λ）﹣6=0，化为λ2﹣3λ﹣4=0，解得λ1=﹣1，λ2=4．22．（10分）在极坐标系中，设圆C经过点P（，），圆心是直线ρsin（﹣θ）=与极轴的交点．（1）求圆C的半径；（2）求圆C的极坐标方程．【解答】解：（1）因为圆心为直线ρsin（﹣θ）=与极轴的交点，所以令θ=0，得ρ=1，即圆心是（1，0），又圆C经过点P（，），P（，）的直角坐标为（，），所以圆的半径r==1．（2）圆C的普通方程为（x﹣1）2+y2=1，即x2+y2﹣2x=0，∵x2+y2=ρ2，x=ρcosθ，∴圆C的极坐标方程为ρ2﹣2ρcosθ=0，即ρ=2cosθ．23．（10分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BAC=90°，AB=AC=2，AA1=6，点E、F分别在棱BB1、CC1上，且BE=BB1，C1F=CC1．（1）求异面直线AE与A1 F所成角的大小；（2）求平面AEF与平面ABC所成角的余弦值．【解答】解：（1）建立如图所示的直角坐标系，则A（0，0，0），E（2，0，2），A1（0，0，6），F（0，2，4），从而=（2，0，2），=（0，2，﹣2）．…2分记与的夹角为θ，则有：cosθ=cos＜＞=﹣．由异面直线AE与A1F所成角的范围为（0，π），得异面直线AE与A1F所成角为60°．…4分（2）记平面AEF和平面ABC的法向量分别为和，则由题设可令=（x，y，z），且有平面ABC的法向量为，．由，取x=1，得=（1，2，﹣1）．…8分记平面AEF与平面ABC所成的角为β，则cosβ=|cos＜＞|=||=．∴平面AEF与平面ABC所成角的余弦值为．…10分．24．（10分）已知数列{a n}满足a1=﹣1，．（1）求证：数列是等比数列；（2）设，求证：当n≥2，n∈N*时，．【解答】证明：（1）∵数列{a n}满足a1=﹣1，．∴==3×．=1，∴数列是等比数列，首项为1，公比为3．（2）由（1）可得：=3n﹣1，可得a n+2=n•3n﹣1．b n==．+b n+2+…+b2n=+…+∴当n≥2，n∈N*时，b n+1下面利用数学归纳法证明：．①当n=2时，b3+b4==＜=．+b k+2+…+b2k＜﹣．②假设n=k∈N*，k≥2．b k+1+b k+3+…+b2k+b2k+1+b2k+2＜﹣++﹣=﹣＜﹣．则n=k+1时，b k+2∴n=k+1时，假设成立．综上可得：当n≥2，n∈N*时，．。

江苏省南通市启东市2017-2018学年高二数学下学期期末考试试题（扫描版）2017～2018学年第二学期期终考学生素质调研测试高二数学（Ⅰ）参考答案一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1．∃x ∈R ，2x 2＋3x ＋4≤0；2．11(,)(,)22-∞--+∞U (或{x |x ≠－12})；3．13；4．真；5．2x ＋2cos x ；6．－1；7．0；8．（0，1）；9．必要不充分；10．2x －y ＋2＝0(或y ＝2x ＋2)；11．2；12．(0,+∞)；13．{}22(3,1]e --U ；14．4．二、解答题：本大题共6小题，共90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．(本小题满分14分)甲、乙两个同学分别抛掷一枚质地均匀的骰子．（1）求他们抛掷的骰子向上的点数之和是4的倍数的概率；（2）求甲抛掷的骰子向上的点数不大于乙抛掷的骰子向上的点数的概率． 【解】（1）记“他们抛掷的骰子向上的点数之和是4的倍数”为事件A ，基本事件共有36个，事件A 包含9个基本事件， 故P (A )=14；……………6分（2）记“甲抛掷的骰子向上的点数不大于乙抛掷的骰子向上的点数”为事件B ，基本事件共有36个，事件B 包含21个基本事件， 故P (B )=2173612=．……………12分答（1）他们抛掷的骰子向上的点数之和是4的倍数的概率为14；（2）甲抛掷的骰子向上的点数不大于乙抛掷的骰子向上的点数的概率为712．……………14分16．(本小题满分14分)已知集合A ＝{x |0≤kx ＋1≤5}，B ＝{ x |－1≤x ≤2}． （1）当k ＝1时，求集合A ；（2）当k ≤0时，若A ∩B ＝B ，求实数k 的取值范围．【解】（1）当k ＝1时，A ＝{x |0≤x ＋1≤5}＝{x |－1≤x ≤4}；……………4分（2）因为A ∩B = B ，所以BA ，……………6分由0≤kx ＋1≤5，得－1≤kx ≤4，①当k =0时，A =R ，满足B A 成立；……………8分②当k <0时，A =]1,4[kk -，……………10分由BA ，得4112k k⎧-⎪⎨⎪-⎩≤≥，……………12分 即12k -≥，故102k -<≤，综上所述：102k -≤≤．……………14分 17．(本小题满分14分)如图，在圆心角为90°，半径为60 cm 的扇形铁皮上截取一块矩形材料OABC ，其中点O 为圆心，点B 在圆弧上，点A ，C 在两半径上，现将此矩形铁皮OABC 卷成一个以AB 为母线的圆柱形铁皮罐的侧面（不计剪裁和拼接损耗），设矩形的边长AB ＝x cm ，圆柱形铁皮罐的容积为V (x ) cm 3.（1）求圆柱形铁皮罐的容积V (x )关于x 的函数解析式，并指出该函数的定义域； （2）当x 为何值时，才使做出的圆柱形铁皮罐的容积V (x )最大？最大容积是多少？（圆柱体积公式：V ＝Sh ，S 为圆柱的底面积，h 为圆柱的高）【解】（1）连接OB ，在Rt△OAB 中，由AB =x ，利用勾股定理可得OA ＝3600－x 2，设圆柱底面半径为r ，则3600－x 2＝2πr ，……………2分即4π2r 2＝3600－x 2，所以V (x )＝πr 2x ＝π·3600－x 24π2·x ＝3600x －x 34π，即铁皮罐的容积为V (x )关于x 的函数关系式为V (x )＝3600x －x 34π，定义域为(0，60).……………6分（2）由V ′(x )＝3600－3x 24π＝0，x ∈(0，60)，得x ＝203．……………8分列表如下：x(0，20 3 (203，60)BCO A(第17题)分所以当x ＝203时，V (x )有极大值，也是最大值为120003π.答：当x 为20 3 cm 时，做出的圆柱形铁皮罐的容积最大，最大容积是120003πcm 3.……………14分18．(本小题满分16分)已知命题p ：函数12()12xx f x k -=+⋅是R 上的奇函数，命题q ：函数2211()k g x k k x-=-的定义域和值域都是[a ，b ]，其中a ＞1． （1）若命题p 为真命题，求实数k 的值；（2）若“p 且q ”为假命题，“p 或q ”为真命题，求实数k 的取值范围． 【解】（1）若命题p 为真命题，则f (－x )＋f (x )＝0，……………2分即121201212x xx xk k ----+=+⋅+⋅， 化简得(1)(222)0x x k --+-=对任意的x ∈R 成立，……………4分 所以k ＝1．……………6分（2）若命题q 为真命题，因为221()0g x k x'=>在[a ，b ]上恒成立，所以g (x )在[a ，b ]上是单调增函数，又g (x )的定义域和值域都是[a ，b ]，所以(),(),g a a g b b =⎧⎨=⎩……………8分所以a ，b 是方程2211k x k k x--=的两个不相等的实根，且1＜a ＜b ． 即方程22(21)10k x k k x --+=有两个大于1的实根且不相等，……………10分 记h (x )＝k 2x 2－k (2k －1)x ＋1，故2222[(21)]40,(21)1,2(1)(21)10,k k k k k k h k k k ⎧∆=-->⎪-⎪>⎨⎪⎪=--+>⎩12k <<-，所以k 的取值范围为15122k -<<-．……………12分因为“p 且q ”为假命题，“p 或q ”为真命题，所以命题p 和q 中有且仅有一个为真命题，……………14分 即p 真q 假，或p 假q 真．所以1,151,,2k k k =⎧⎪⎨-⎪⎩或≤≥-或1,151,2k k ≠⎧⎪⎨-<<-⎪ 所以实数k 的取值范围为151{1}2⎛⎫- ⎪⎝⎭U ,-．……………16分 19．(本小题满分16分)已知函数f (x )＝e x ＋a e －x －1，集合A ＝{x |x 2－x ≤0}． （1）当a ＝－3时，解不等式f (x )＞1；（2）若B ＝{ x |log 2f (x )≥1}，且A ∩B ≠，求实数a 的取值范围； （3）当a ＞1时，若函数f (x )的定义域为A ，求函数f (x )的值域． 【解】（1）当a ＝－3时，由f (x )＞1得e x －3e -x－1＞1，所以e 2x－2e x －3＞0，即(e x －3) (e x＋1)＞0，……………2分 所以e x＞3，故x ＞ln3，所以不等式的解集为(ln3，+∞).……………4分 （2）由x 2－x ≤0，得0≤x ≤1，所以A ＝{x |0≤x ≤1}.因为A ∩B ≠，所以log 2f (x )≥1在0≤x ≤1上有解， 即 f (x )≥2在0≤x ≤1上有解，即e x ＋a e -x－3≥0在0≤x ≤1上有解，……………7分 所以a ≥3e x －e 2x 在0≤x ≤1上有解，即a ≥[3e x －e 2x]min . 由0≤x ≤1得1≤e x≤e，所以3e x －e 2x ＝－(e x －32)2＋94∈[3e －e 2，94]，所以a ≥3e －e 2. ……………10分 （3）设t ＝e x，由（2）知1≤t ≤e，记g (t )＝t ＋a t －1(1≤t ≤e，a ＞1)，则2()()()1t a t a a g t t +-'=-=， t (1，a )a(a ，＋∞)g ′(－＋①当a ≥e 时，即a ≥e 2时，g (t )在1≤t ≤e 上递减，所以g (e)≤g (t )≤g (1)，即e 1()ea g t a +-≤≤．所以f (x )的值域为[e 1,]e a a +-.……………12分②当1＜a ＜e 时，即1＜a ＜e 2时，g (t )min = g (a )＝2a －1，g (t )max =max{ g (1)，g (e)} =max{ a ，e 1ea +-}．1°若a e 1ea >+-，即e ＜a ＜e 2时，g (t )max = g (1)= a ；所以f (x )的值域为1,]a ；……………14分2°若a e 1e a +-≤，即1＜a ≤e 时，g (t )max = g (e) =e 1e a +-，所以f (x )的值域为1,e 1]ea +-．综上所述，当1＜a ≤e 时，f (x )的值域为1,e 1]ea +-；当e ＜a ＜e 2时，f (x )的值域为1,]a ；当a ≥e 2时，f (x )的值域为[e 1,]ea a +-．……………16分20．(本小题满分16分)已知函数f (x )＝ln x －ax －b (a ，b ∈R )．（1）若函数f (x )的图象在x ＝1处的切线过点(2，0)，求2a ＋b 的值； （2）当b ＝0时，函数y ＝f (x )在1(,)e +∞上没有零点，求实数a 的取值范围；（3）当a ＞0时，存在实数x 1，x 2(x 1≠x 2)使得f (x 1)＝f (x 2)，求证：f ′(x 1＋x 22)＜0．【解】（1）因为f ′(x )＝1x－a ，所以k ＝f ′(1)＝1－a ，……………2分又因为f (1)＝－a －b ，所以切线方程为y ＋a ＋b ＝(1－a )(x －1)， 因为过点(2，0)，所以a ＋b =1－a ，即2a ＋b ＝1.……………4分 （2）解法一：当b ＝0时，f (x )＝ln x －ax ，所以f ′(x )＝1x －a ＝1－axx.10若a ≤0，则f ′(x )＞0，所以f (x )在(1e ，＋∞)上递增，所以f (x )＞f (1e)＝－1－ae，因为函数y＝f(x)在(1e，＋∞)上没有零点，所以－1－ae≥0，即a≤－e；……………6分20若a＞0，由f ′(x)＝0，得x＝1a.①当1a≤1e时，即a≥e时，f ′(x)＜0，f(x)在(1e，＋∞)上递减，所以f(x)＜f(1e)＝－1－ae＜0，符合题意，所以a≥e；……………8分②当1a＞1e时，即0＜a＜e时，若1e＜x＜1a，f ′(x)＜0，f(x)在(1e，1a)上递增；若x＞1a，f ′(x)＞0，f(x)在(1a，＋∞)上递减，所以f(x)在x＝1a处取得极大值，即为最大值，要使函数y＝f(x)在(1e，＋∞)上没有零点，必须满足f(1a)＝ln1a－1＝－ln a－1＜0，得a＞1e，所以1e＜a＜e.综上所述，实数a的取值范围是a≤－e或a＞1e.……………10分解法二：当b＝0时，f(x)＝ln x－ax，由f(x)＝0得a＝ln xx，设g(x)＝ln xx，则g′(x)＝1－ln xx2.当1e＜x＜e时，g ′(x)＞0，所以g(x)在(1e，e)上递增，当x＞e时，g ′(x)＜0，所以g(x)在(e，＋∞)上递减，所以g(x)max＝g(e)＝1e，……………6分又g(1e)＝－e，且当x＞e时，g(x)＝ln xx＞0恒成立，所以g(x)在(1e，＋∞)上值域为(－e，1e]，……………8分要使函数y＝f(x)在(1e，＋∞)上没有零点，必须满足a≤－e或a＞1e，即所求实数a的取值范围是a≤－e或a＞1e.……………10分（3）不妨设0＜x 1＜x 2，由f (x 1)＝f (x 2)，得ln x 1－ax 1－b ＝ln x 2－ax 2－b ， 因为a ＞0，所以21211ln ln x x x x a-=-.……………12分又因为11()ax f x a x x -'=-=，f ′(x )在(0，＋∞)上递减，且f ′(1a )＝0，故要证12()02x x f +'<，只要证1212x x a +>， 只要证1221212ln ln x x x x x x +->-，只要证212112ln ln 2x x x x x x -->+， 只要证221121ln121x x x x x x ->+（*），……………14分 令211x t x =>，记11()ln ,(1,)12t h t t t t -=-∈+∞+，则222(1)21()02(1)2(1)t h t t t t t -'=-=-<++， 所以h (t )在(1,+∞)上递减，所以h (t )< h (1)=0， 所以（*）成立，所以原命题成立.……………16分（3）（法二）当a ＞0时，11()ax f x a x x-'=-=f (x )在(0，1a )上递增，在(1a，＋∞)上递减. ……………11分不妨设0＜x 1＜x 2，因为f (x 1)＝f (x 2)，所以0＜x 1＜1a＜x 2故要证12()02x x f +'<，只要证1212x x a +>，只要证12x x +＞ 只要证x 2＞x 1，因为0＜x 1＜1a，所以x 1＞1a ，x 2＞1a又因为f (x )在(1a，＋∞)上递减，所以只要证f (x 2)＜f (x 1)因为f (x 1)＝f (x 2)，所以只要证f (x 1)＜f (x 1)只要证ln x 1－ax 1－b ＜ln(x 1)－a (x 1)－b …………13分只要证ln(x 1)－ln x 1＋2ax 1－2＞0设h (x )= ln(x )－ln x ＋2ax －2 ，0＜x ＜1ah ′(x )=－＋2a ==＜0所以h (x )在(0，)上递减，所以h (x )＞h (1a )=ln 1a －ln 1a+2－2=0所以ln(x 1)－ln x 1＋2ax 1－2＞0所以12x x +＞所以12()02x x f +'< ……………16分 高二数学Ⅱ参考答案及评分建议21．(本小题满分10分)求下列函数的导数：（1）2e x y =；（2）3)31(x y -=．【解】（1）222e (2)e 22e x x x y x ''=⋅=⋅=；……………5分（2）223(13)(13)9(13)y x x x ''=--=--．或281549y x x '=-+-．……………10分22．(本小题满分10分)2名男生、4名女生排成一排，问：（1）男生甲必须排在男生乙的左边（不一定相邻）的不同排法共有多少种？ （2）4名女生不全相邻的不同排法共有多少种？【解】（1）法1：46A 360=，法2：6622A 360A =；……………5分 （2）643643A A A 576-=．答：分别有360和576种不同的排法.……………10分 23．(本小题满分10分)小陈同学进行三次定点投篮测试，已知第一次投篮命中的概率为13，第二次投篮命中的概率为12，前两次投篮是否命中相互之间没有影响．第三次投篮受到前两次结果的影响，如果前两次投篮至少命中一次，则第三次投篮命中的概率为23，否则为14．（1）求小陈同学三次投篮至少命中一次的概率；（2）记小陈同学三次投篮命中的次数为随机变量ξ，求ξ的概率分布及数学期望． 【解】（1）小陈同学三次投篮都没有命中的概率为(1－13)×(1－12)×(1－14)＝14；所以小陈同学三次投篮至少命中一次的概率为1－14＝34. ……………3分（2）ξ可能的取值为0，1，2，3．P (ξ＝0)＝14；P (ξ＝1)＝13×(1－12)×(1－23)＋(1－13)×12×(1－23)＋(1－13)×(1×12)×14＝14； P (ξ＝2)＝13×12×13＋13×12×23＋23×12×23＝718；P (ξ＝3)＝13×12×23＝19；故随机变量ξ的概率分布为……………8分所以数学期望E (ξ)＝0×14＋1×14＋2×718＋3×19＝4936．……………10分24．(本小题满分10分)已知m ，n ∈N *，定义(1)(2)(1)()!n n n n n m f m m ---+=L ．（1）求f 4(2)，f 4(5)的值；（2）证明：211[2()]23nk n n k k f k n -=⋅=⋅∑．【解】（1）443(2)62!f ⨯==，443210(5)05!f ⨯⨯⨯⨯==．……………4分（2）C ,,()0, 1.m n n m n f m m n ⎧=⎨+⎩≤≥当n ＝1时，211[2()]223nk n n k k f k n -=⋅==⋅∑,等式成立．……………6分当n ≥2时，2231[2()]12(1)22(2)32(3)2()nk n n n n n n k k f k f f f n f n =⋅=⨯+⨯+⨯++⨯∑L1223312C 22C 32C 2C n nn n n n n =⨯+⨯+⨯++⨯L ，由于11(1)!!C C !()!(1)![(1)(1)]!k k n n n n k k n n k n k k n k ---⋅=⋅=⋅=⋅-----，……………8分 所以202132111111[2()]2C 2C 2C 2C nk n n n n n n n k k f k n n n n -----=⋅=⨯+⨯+⨯++⨯∑L()1121223n n n n --=+=⋅，综上所述，对 n ∈N *，211[2()]223nk n n k k f k n -=⋅==⋅∑成立．……………10分。

2017-2018学年江苏省南通市启东中学高二（上）期末数学试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．1．（5分）复数，其中i为虚数单位，则z的虚部是．2．（5分）命题“∃x∈R，x2﹣2≤0”的否定是．3．（5分）执行如图所示的伪代码，若输出的y值为1，则输入x的值为．4．（5分）已知一组数据4.8，4.9，5.2，5.5，5.6，则该组数据的方差是．5．（5分）抛物线x2=4y的焦点到准线的距离为．6．（5分）某校高一年级有学生400人，高二年级有学生360人，现采用分层抽样的方法从全校学生中抽出56人，其中从高一年级学生中抽出20人，则从高二年级学生中抽取的人数为．7．（5分）观察下列各式9﹣1=8，16﹣4=12，25﹣9=16，36﹣16=20…，这些等式反映了自然数间的某种规律，设n表示自然数，用关于n的等式表示为．8．（5分）离心率为2且与椭圆+=1有共同焦点的双曲线方程是．9．（5分）将一个质地均匀的骰子（一种各个面上分别标有1，2，3，4，5，6个点为正方体玩具）先后抛掷2次，则出现向上的点数之和不小于9的概率是．10．（5分）已知命题p：“∀x∈[1，2]，x2﹣a≥0”；命题q：“∃x∈R，x2+2ax+2﹣a=0”，若命题“p∧q”是真命题，则实数a的取值范围是．11．（5分）在平面直角坐标系xOy中，直线mx﹣y﹣3m﹣2=0（m∈R）被圆（x﹣2）2+（y+1）2=4截得的所有弦中弦长的最小值为．12．（5分）已知点A的坐标是（1，1），F1是椭圆3x2+4y2﹣12=0的左焦点，点P在椭圆上移动，则|PA|+2|PF1|的最小值．13．（5分）已知圆和两点，（m ＞0），若圆C上存在点P，使得∠APB=60°，则实数m的取值范围是．14．（5分）如图，已知椭圆（a＞b＞0）的左、右焦点为F1、F2，P是椭圆上一点，M在PF1上，且满足，PO⊥F2M，O为坐标原点．椭圆离心率e的取值范围．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（14分）已知z为复数，z+2i和均为实数，其中i是虚数单位．（1）求复数z和|z|；（2）若在第四象限，求实数m的取值范围．16．（14分）已知命题p：∀x∈R，tx2+x+t≤0．（1）若p为真命题，求实数t的取值范围；（2）命题q：∃x∈[2，16]，tlog2x+1≥0，当p∨q为真命题且p∧q为假命题时，求实数t的取值范围．17．（14分）已知椭圆C的方程为+=1．（1）求k的取值范围；（2）若椭圆C的离心率e=，求k的值．18．（16分）已知圆O：x2+y2=4，两个定点A（a，2），B（m，1），其中a∈R，m＞0．P为圆O上任意一点，且（λ为常数）．（1）求常数λ的值；（2）过点E（a，t）作直线l与圆C：x2+y2=m交于M，N两点，若M点恰好是线段NE的中点，求实数t的取值范围．19．（16分）（1）找出一个等比数列{a n}，使得1，，4为其中的三项，并指出分别是{a n}的第几项；（2）证明：为无理数；（3）证明：1，，4不可能为同一等差数列中的三项．20．（16分）已知椭圆C：左焦点F，左顶点A，椭圆上一点B满足BF ⊥x轴，且点B在x轴下方，BA连线与左准线l交于点P，过点P任意引一直线与椭圆交于C、D，连结AD、BC交于点Q，若实数λ1，λ2满足：=λ1，=λ2．（1）求λ1•λ2的值；（2）求证：点Q在一定直线上．[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分10分）21．（10分）已知矩阵M=，其中a∈R，若点P（1，﹣2）在矩阵M的变换下得到点P′（﹣4，0）（1）求实数a的值；（2）求矩阵M的特征值及其对应的特征向量．[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分20分）22．已知直线的极坐标方程为，圆M的参数方程为（其中θ为参数）．（Ⅰ）将直线的极坐标方程化为直角坐标方程；（Ⅱ）求圆M上的点到直线的距离的最小值．23．（10分）如图，正方形ABCD的中心为O，四边形OBEF为矩形，平面OBEF ⊥平面ABCD，点G为AB的中点，AB=BE=2．（1）求证：EG∥平面ADF；（2）求二面角O﹣EF﹣C的正弦值；（3）设H为线段AF上的点，且AH=HF，求直线BH和平面CEF所成角的正弦值．24．（10分）在平面直角坐标系xOy中，直线l：x=﹣1，点T（3，0），动点P满足PS⊥l，垂足为S，且•=0，设动点P的轨迹为曲线C．（1）求曲线C的方程；（2）设Q是曲线C上异于点P的另一点，且直线PQ过点（1，0），线段PQ的中点为M，直线l与x轴的交点为N．求证：向量与共线．2017-2018学年江苏省南通市启东中学高二（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．1．（5分）复数，其中i为虚数单位，则z的虚部是﹣．【分析】利用复数的运算性质、虚部的定义即可得出．【解答】解：复数=﹣=﹣=﹣﹣i，则z的虚部=﹣．故答案为：．【点评】本题考查了复数的运算性质、虚部的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．2．（5分）命题“∃x∈R，x2﹣2≤0”的否定是∀x∈R，x2﹣2＞0．【分析】直接利用特称命题的否定是全称命题写出结果即可．【解答】解：因为特称命题的否定是全称命题，所以，命题“∃x∈R，x2﹣2≤0”的否定是：∀x∈R，x2﹣2＞0．故答案为：∀x∈R，x2﹣2＞0．【点评】本题考查命题的否定，特称命题与全称命题的否定关系，是基础题．3．（5分）执行如图所示的伪代码，若输出的y值为1，则输入x的值为﹣1．【分析】分析出算法的功能是求分段函数f（x）的值，根据输出的值为1，分别求出当x≤0时和当x＞0时的x值即可．【解答】解：由程序语句知：算法的功能是求f（x）=的值，当x≥0时，y=2x+1=1，解得x=﹣1，不合题意，舍去；当x＜0时，y=2﹣x2=1，解得x=±1，应取x=﹣1；综上，x的值为﹣1．故答案为：﹣1．【点评】本题考查了选择结构的程序语句应用问题，根据语句判断算法的功能是解题的关键．4．（5分）已知一组数据4.8，4.9，5.2，5.5，5.6，则该组数据的方差是0.1．【分析】根据平均数与方差的公式计算即可．【解答】解：数据4.8，4.9，5.2，5.5，5.6的平均数为：=×（4.8+4.9+5.2+5.5+5.6）=5.2，∴该组数据的方差为：S2=×[（4.8﹣5.2）2+（4.9﹣5.2）2+（5.2﹣5.2）2+（5.5﹣5.2）2+（5.6﹣5.2）2]=0.1．故答案为：0.1．【点评】本题考查了平均数与方差的计算问题，是基础题．5．（5分）抛物线x2=4y的焦点到准线的距离为2．【分析】直接利用抛物线的性质求解即可．【解答】解：抛物线x2=4y的焦点到准线的距离为：p=2．故答案为：2．【点评】本题考查的简单性质，考查计算能力．6．（5分）某校高一年级有学生400人，高二年级有学生360人，现采用分层抽样的方法从全校学生中抽出56人，其中从高一年级学生中抽出20人，则从高二年级学生中抽取的人数为18．【分析】根据学生的人数比，利用分层抽样的定义即可得到结论．【解答】解：设从高二年级学生中抽出x人，由题意得=，解得x=18，故答案为：18【点评】本题主要考查分层抽样的应用，根据条件建立比例关系是解决本题的关键，比较基础．7．（5分）观察下列各式9﹣1=8，16﹣4=12，25﹣9=16，36﹣16=20…，这些等式反映了自然数间的某种规律，设n表示自然数，用关于n的等式表示为（n+2）2﹣n2=4（n+1）（n∈N∗）．【分析】根据已知中各式9﹣1=8，16﹣4=12，25﹣9=16，36﹣16=20…，分析等式两边的数的变化规律，发现等号前为一个平方差的形式，右边是4的整数倍，归纳总结后，即可得到结论．【解答】解：观察下列各式9﹣1=32﹣12=8=4×（1+1），16﹣4=42﹣22=12=4×（1+2），25﹣9=52﹣32=16=4×（1+3），36﹣16=62﹣42=20=4×（1+4），，…，分析等式两边数的变化规律，我们可以推断（n+2）2﹣n2=4（n+1）（n∈N∗）故答案为：（n+2）2﹣n2=4（n+1）（n∈N∗）【点评】归纳推理的一般步骤是：（1）通过观察个别情况发现某些相同性质；（2）从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题（猜想）．8．（5分）离心率为2且与椭圆+=1有共同焦点的双曲线方程是﹣=1．【分析】根据题意，求出椭圆的焦点，分析可得双曲线的焦点在x轴上，且c=4，可设双曲线的方程为﹣=1，由离心率公式和c的值可得a的值，进而计算可得b的值，将a、b的值代入双曲线的方程，即可得答案．【解答】解：根据题意，椭圆+=1的焦点为（±4，0），又由双曲线与椭圆有共同焦点，则双曲线的焦点在x轴上，且c=4，设其方程为﹣=1，又由双曲线的离心率e=2，即e==2，则a=2，b2=c2﹣a2=16﹣4=12，则双曲线的方程为：﹣=1；故答案为：﹣=1．【点评】本题考查双曲线的几何性质，注意先求出椭圆的焦点，方便设出双曲线的方程．9．（5分）将一个质地均匀的骰子（一种各个面上分别标有1，2，3，4，5，6个点为正方体玩具）先后抛掷2次，则出现向上的点数之和不小于9的概率是．【分析】基本事件总数n=6×6=36，利用列举法求出出现向上的点数之和不小于9包含的基本事件有10个，由此能求出出现向上的点数之和不小于9的概率．【解答】解：将一个质地均匀的骰子（一种各个面上分别标有1，2，3，4，5，6个点为正方体玩具）先后抛掷2次，基本事件总数n=6×6=36，出现向上的点数之和不小于9包含的基本事件有：（3，6），（6，3），（4，5），（5，4），（4，6），（6，4），（5，5），（5，6），（6，5），（6，6），共有10个，∴出现向上的点数之和不小于9的概率：p=．故答案为：．【点评】本题考查概率的求法，考查古典概型概率计算公式、列举法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．10．（5分）已知命题p：“∀x∈[1，2]，x2﹣a≥0”；命题q：“∃x∈R，x2+2ax+2﹣a=0”，若命题“p∧q”是真命题，则实数a的取值范围是a≤﹣2，或a=1．【分析】若命题“p∧q”是真命题，则命题p，q均为真命题，进而可得答案．【解答】解：若命题p：“∀x∈[1，2]，x2﹣a≥0”为真；则1﹣a≥0，解得：a≤1，若命题q：“∃x∈R，x2+2ax+2﹣a=0”为真，则△=4a2﹣4（2﹣a）≥0，解得：a≤﹣2，或a≥1，若命题“p∧q”是真命题，则a≤﹣2，或a=1，故答案为：a≤﹣2，或a=1【点评】本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了复合命题，函数恒成立问题，方程根的存在性及个数问题，难度中档．11．（5分）在平面直角坐标系xOy中，直线mx﹣y﹣3m﹣2=0（m∈R）被圆（x﹣2）2+（y+1）2=4截得的所有弦中弦长的最小值为．【分析】已知直线过定点I（3，﹣2），由题意画出图形，利用垂径定理求得答案．【解答】解：直线mx﹣y﹣3m﹣2=0过定点I（3，﹣2），圆（x﹣2）2+（y+1）2=4的圆心坐标C（2，﹣1），半径为r=2．如图，∵|CI|=，∴直线mx﹣y﹣3m﹣2=0被圆（x﹣2）2+（y+1）2=4截得的所有弦中弦长的最小值为．故答案为：．【点评】本题考查圆的方程的求法，考查直线与圆位置关系的应用，考查垂径定理的应用，是中档题．12．（5分）已知点A的坐标是（1，1），F1是椭圆3x2+4y2﹣12=0的左焦点，点P在椭圆上移动，则|PA|+2|PF1|的最小值5．【分析】由椭圆方程求得椭圆的离心率和左准线方程，把2|PF1|转化为椭圆上的点到左准线的距离，过A作左准线的垂线AB，则AB的长度即为所求．【解答】解：由椭圆3x2+4y2﹣12=0作出椭圆如图，由a2=4，b2=3，得c2=1，c=1，∴=，由椭圆的第二定义可得，椭圆上的点到左焦点的距离|PF1|与到左准线的距离的比值为e=，∴2|PF1|为椭圆上的点到左准线的距离，过A作AB⊥左准线l与B，交椭圆于P，则P点为使|PA|+2|PF1|最小的点，最小值为A到l的距离，等于1+=1+4=5．故答案为：5．【点评】本题考查了椭圆的第二定义，考查了椭圆的简单几何性质，体现了数学转化思想方法，是中档题．13．（5分）已知圆和两点，（m ＞0），若圆C上存在点P，使得∠APB=60°，则实数m的取值范围是{m|} ．【分析】当D（0，3m）时，∠ADB=60°，满足条件的点P必在以A、B、D三点所确定的圆周上，该圆圆心为M（0，m），要使圆C上存在点P，由两圆必有交点，从而|r M﹣r C|≤|MC|≤|r M+r C|，进而（2m﹣2）2≤（3）2+（m﹣5）2≤（2m+2）2，由此能求出实数m的取值范围．【解答】解：如图，当D（0，3m）时，∠ADB=60°，故满足条件的点P必在以A、B、D三点所确定的圆周上，∴该圆圆心为M（0，m），要使圆C上存在点P，由两圆必有交点，即|r M﹣r C|≤|MC|≤|r M+r C|，如图，∴|r M﹣r C|2≤|MC|2≤|r M+r C|2，∴（2m﹣2）2≤（3）2+（m﹣5）2≤（2m+2）2，由m＞0，解得2．故答案为：{m|}．【点评】本题考查实数的取值范围的求法，考查直线方程、圆、两点间距离公式等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查数形结合思想、函数与方程思想，是中档题．14．（5分）如图，已知椭圆（a＞b＞0）的左、右焦点为F1、F2，P是椭圆上一点，M在PF1上，且满足，PO⊥F2M，O为坐标原点．椭圆离心率e的取值范围（，1）．【分析】设P（x0，y0），M（x M，y M），运用向量的坐标和向量共线和垂直的条件，再由椭圆的性质可得﹣a＜x0＜a，解不等式即可得到所求离心率的范围．【解答】解：设P（x0，y0），M（x M，y M），∵，∴=（x0+c，y0）=（x M+c，y M）∴M（x0﹣c，y0），=（x0﹣c，y0），∵PO⊥F2M，=（x0，y0）∴（x0﹣c）x0+y02=0即x02+y02=2cx0，联立方程得：，消去y0得：c2x02﹣2a2cx0+a2（a2﹣c2）=0，解得：x0=或x0=，∵﹣a＜x0＜a，∴x0=∈（0，a），∴0＜a2﹣ac＜ac解得：e＞，综上，椭圆离心率e的取值范围为（，1）．故答案为：（，1）．【点评】本题考查椭圆的方程的运用，考查向量共线的坐标表示，以及向量垂直的条件：数量积为0，同时考查解方程和解不等式的运算求解能力，属于中档题．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（14分）已知z为复数，z+2i和均为实数，其中i是虚数单位．（1）求复数z和|z|；（2）若在第四象限，求实数m的取值范围．【分析】（1）设z=a+bi（a，b∈R），则z+2i=a+（b+2）i，由虚部为0求得b，代入，由其虚部为0求得a，则复数z和|z|可求；（2）由的实部大于0且虚部小于0联立不等式组求解．【解答】解：（1）设z=a+bi（a，b∈R），则z+2i=a+（b+2）i，由z+2i为实数，得b+2=0，则b=﹣2．由=为实数，得，则a=4，∴z=4﹣2i，则；（2）由=4+3m+（m2﹣4）i在第四象限，得，解得．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．16．（14分）已知命题p：∀x∈R，tx2+x+t≤0．（1）若p为真命题，求实数t的取值范围；（2）命题q：∃x∈[2，16]，tlog2x+1≥0，当p∨q为真命题且p∧q为假命题时，求实数t的取值范围．【分析】（1）利用全称命题，以及不等式恒成立，通过二次函数的性质求解即可．（2）求出命题q成立时，t的范围，然后通过复合命题的真假转化求解即可．【解答】解：（1）∵∀x∈R，tx2+x+t≤0，∴t＜0且△=1﹣4t2≤0，解得∴p为真命题时，．…（6分）（2）∃x∈[2，16]，tlog2x+1≥0⇒∃x∈[2，16]，有解．又x∈[2，16]时，，∴t≥﹣1．…（8分）∵p∨q为真命题且p∧q为假命题时，∴p真q假或p假q真，当p假q真，有解得；当p真q假，有解得t＜﹣1；∴p∨q为真命题且p∧q为假命题时，t＜﹣1或．…（14分）【点评】本题考查命题的真假的判断与应用，复合命题的真假的判断，考查计算能力．17．（14分）已知椭圆C的方程为+=1．（1）求k的取值范围；（2）若椭圆C的离心率e=，求k的值．【分析】（1）利用椭圆的简单性质，列出不等式求解即可．（2）通过椭圆的焦点所在的轴，求解椭圆的离心率即可．【解答】解：（1）∵方程为+=1表示椭圆，则，解得k∈（1，5）∪（5，9）…（6分）（未去5扣2分）（2）①当9﹣k＞k﹣1时，依题意可知a=，b=，∴c=，∵=，∴，∴k=2；②当9﹣k＜k﹣1时，依题意可知b=，a=，∴c=，∵=，∴，∴k=8；∴k的值为2或8．（一种情况（4分）共8分）【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用，考查计算能力．18．（16分）已知圆O：x2+y2=4，两个定点A（a，2），B（m，1），其中a∈R，m＞0．P为圆O上任意一点，且（λ为常数）．（1）求常数λ的值；（2）过点E（a，t）作直线l与圆C：x2+y2=m交于M，N两点，若M点恰好是线段NE的中点，求实数t的取值范围．【分析】（1）设出P的坐标，利用距离公式，通过待定系数法列出方程组求解即可．（2）设M（x0，y0），M是线段NE的中点，N（2x0﹣2，2y0﹣t），M，N在圆C 上，即关于x，y的方程组有解，转化为直线n：8x+4ty﹣t2﹣7=0与圆C：x2+y2=1有交点，利用点到直线的距离公式，列出不等式求解即可．【解答】解：（1）设点P（x，y），x2+y2=4，，，因为，所以（x﹣a）2+（y﹣2）2=λ2[（x﹣m）2+（y﹣1）2]，化简得2ax+4y﹣a2﹣8=λ2（2mx+2y﹣m2﹣5），因为P为圆O上任意一点，所以，又m＞0，λ＞0，解得，所以常数．…（8分）（2）设M（x0，y0），M是线段NE的中点，N（2x0﹣2，2y0﹣t），又M，N在圆C上，即关于x，y的方程组有解，化简得有解，即直线n：8x+4ty﹣t2﹣7=0与圆C：x2+y2=1有交点，则，化简得：t4﹣2t2﹣15≤0，解得．…（16分）【点评】本题考查直线与圆的方程的综合应用，考查转化思想以及计算能力．19．（16分）（1）找出一个等比数列{a n}，使得1，，4为其中的三项，并指出分别是{a n}的第几项；（2）证明：为无理数；（3）证明：1，，4不可能为同一等差数列中的三项．【分析】（1）根据题意取一个等比数列{a n}：首项为1、公比为，由等比数列的通项公式求出a n，再求出a n=4时的项数n即可判断；（2）假设是有理数，利用有理数的定义得：存在互质整数h、k，使得，再进行证明直到推出矛盾；（3）假设1，，4是同一等差数列中的三项，利用等差数列的通项公式和（2）的结论进行证明，直到推出矛盾．【解答】解：（1）取一个等比数列{a n}：首项为1、公比为，则，…2分则令=4，解得n=5，所以a 1=1，，a5=4．…4分（2）证明：假设是有理数，则存在互质整数h、k，使得，…5分则h2=2k2，所以h为偶数，…7分设h=2t，t为整数，则k2=2t2，所以k也为偶数，则h、k有公约数2，这与h、k互质相矛盾，…9分所以假设不成立，所以是有理数．…10分（3）证明：假设1，，4是同一等差数列中的三项，且分别为第n、m、p项且n、m、p互不相等，…11分设公差为d，显然d≠0，则，消去d得，，…13分由n、m、p都为整数，所以为有理数，由（2）得是无理数，所以等式不可能成立，…15分所以假设不成立，即1，，4不可能为同一等差数列中的三项．…16分．【点评】本题考查了等差、等比数列的通项公式，有理数的定义是应用，以及利用反证法证明结论成立，属于中档题．20．（16分）已知椭圆C：左焦点F，左顶点A，椭圆上一点B满足BF ⊥x轴，且点B在x轴下方，BA连线与左准线l交于点P，过点P任意引一直线与椭圆交于C、D，连结AD、BC交于点Q，若实数λ1，λ2满足：=λ1，=λ2．（1）求λ1•λ2的值；（2）求证：点Q在一定直线上．【分析】（1）由椭圆方程求得F坐标，结合BF⊥x轴，不妨设B（﹣2，﹣3），结合A（﹣4，0），求得直线AB方程，进一步求得P的坐标，由=λ1，得，再由=λ2，得，再由，可得，利用，由系数相等即可求得；（2）设点C（x1，y1），D（x2，y2），Q（x0，y0），由=λ1，得，，代入椭圆方程：，求得λ1，同理求得λ2，代入，可得x0+y0+2=0，说明点Q在定直线x﹣y+2=0上．【解答】解：（1）由椭圆C：，得a2=16，b2=12，∴，则F（﹣2，0），由BF⊥x轴，不妨设B（﹣2，﹣3），∵A（﹣4，0），∴直线AB：y=﹣（x+4），又左准线l：x=﹣8，∴P（﹣8，6），又=λ1，∴，得，由=λ2，得，得，又，∴，∵，由系数相等得，得；（2）证明：设点C（x1，y1），D（x2，y2），Q（x0，y0），由=λ1，得（x1+2，y1+3）=λ1（x0﹣x1，y0﹣y1），得，，代入椭圆方程：，得：，显然λ1≠0，∴，同理得：，又由（1），∴，整理得：x0+y0+2=0，即点Q在定直线x﹣y+2=0上．【点评】本题考查椭圆的简单性质，考查平面向量在求解圆锥曲线问题中的应用，考查计算能力，属难题．[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分10分）21．（10分）已知矩阵M=，其中a∈R，若点P（1，﹣2）在矩阵M的变换下得到点P′（﹣4，0）（1）求实数a的值；（2）求矩阵M的特征值及其对应的特征向量．【分析】（1）点P（1，﹣2）在矩阵M的变换下得到点P'（﹣4，0），利用二阶矩阵与平面列向量的乘法可求实数a的值；（2）先求矩阵M的特征多项式f（λ），令f（λ）=0，从而可得矩阵M的特征值，进而可求特征向量．【解答】解：（1）由=，∴2﹣2a=﹣4⇒a=3．（2）由（1）知M=，则矩阵M的特征多项式为令f（λ）=0，得矩阵M的特征值为﹣1与4．当λ=﹣1时，∴矩阵M的属于特征值﹣1的一个特征向量为；当λ=4时，∴矩阵M的属于特征值4的一个特征向量为．【点评】本题主要考查二阶矩阵与平面列向量的乘法，考查矩阵M的特征值及其对应的特征向量．关键是写出特征多项式，从而求得特征值．[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分20分）22．已知直线的极坐标方程为，圆M的参数方程为（其中θ为参数）．（Ⅰ）将直线的极坐标方程化为直角坐标方程；（Ⅱ）求圆M上的点到直线的距离的最小值．【分析】（Ⅰ）以极点为原点，极轴为x轴正半轴建立直角坐标系，利用和角的正弦函数，即可求得该直线的直角坐标方程；（Ⅱ）圆M的普通方程为：x2+（y+2）2=4，求出圆心M（0，﹣2）到直线x+y ﹣1=0的距离，即可得到圆M上的点到直线的距离的最小值．【解答】解：（Ⅰ）以极点为原点，极轴为x轴正半轴建立直角坐标系．（1分）∵∴，∴ρsinθ+ρcosθ=1．（2分）∴该直线的直角坐标方程为：x+y﹣1=0．（3分）（Ⅱ）圆M的普通方程为：x2+（y+2）2=4（4分）圆心M（0，﹣2）到直线x+y﹣1=0的距离．（5分）所以圆M上的点到直线的距离的最小值为．（7分）【点评】本题考查极坐标方程与直角坐标方程，参数方程与普通方程的互化，考查点线距离公式的运用，属于基础题．23．（10分）如图，正方形ABCD的中心为O，四边形OBEF为矩形，平面OBEF ⊥平面ABCD，点G为AB的中点，AB=BE=2．（1）求证：EG∥平面ADF；（2）求二面角O﹣EF﹣C的正弦值；（3）设H为线段AF上的点，且AH=HF，求直线BH和平面CEF所成角的正弦值．【分析】（1）取AD的中点I，连接FI，证明四边形EFIG是平行四边形，可得EG ∥FI，利用线面平行的判定定理证明：EG∥平面ADF；（2）建立如图所示的坐标系O﹣xyz，求出平面OEF的法向量，平面OEF的法向量，利用向量的夹角公式，即可求二面角O﹣EF﹣C的正弦值；（3）求出=（﹣，，），利用向量的夹角公式求出直线BH和平面CEF 所成角的正弦值．【解答】（1）证明：取AD的中点I，连接FI，∵矩形OBEF，∴EF∥OB，EF=OB，∵G，I是中点，∴GI∥BD，GI=BD．∵O是正方形ABCD的中心，∴OB=BD．∴EF∥GI，EF=GI，∴四边形EFIG是平行四边形，∴EG∥FI，∵EG⊄平面ADF，FI⊂平面ADF，∴EG∥平面ADF；（2）解：建立如图所示的坐标系O﹣xyz，则B（0，﹣，0），C（，0，0），E（0，﹣，2），F（0，0，2），设平面CEF的法向量为=（x，y，z），则，取=（，0，1）∵OC⊥平面OEF，∴平面OEF的法向量为=（1，0，0），∵|cos＜，＞|=∴二面角O﹣EF﹣C的正弦值为=；（3）解：AH=HF，∴==（，0，）．设H（a，b，c），则=（a+，b，c）=（，0，）．∴a=﹣，b=0，c=，∴=（﹣，，），∴直线BH和平面CEF所成角的正弦值=|cos＜，＞|==．【点评】本题考查证明线面平行的判定定理，考查二面角O﹣EF﹣C的正弦值，直线BH和平面CEF所成角的正弦值，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．24．（10分）在平面直角坐标系xOy中，直线l：x=﹣1，点T（3，0），动点P满足PS⊥l，垂足为S，且•=0，设动点P的轨迹为曲线C．（1）求曲线C的方程；（2）设Q是曲线C上异于点P的另一点，且直线PQ过点（1，0），线段PQ的中点为M，直线l与x轴的交点为N．求证：向量与共线．【分析】（1）设P（x0，y0），则S（﹣1，y0），由此利用向量的数量积能求出曲线C的方程．（2）设Q（x1，y1），则，从而y2=4x，p=2，焦点F（1，0），N（﹣1，0），由PQ过F，得，，进而=（），=（），由此能证明向量与共线．【解答】解：（1）设P（x0，y0），则S（﹣1，y0），∴=（x0，y0）•（4，﹣y0）=4=0，∴．∴曲线C：y2=4x．证明：（2）设Q（x1，y1），则，y2=4x，p=2，焦点F（1，0），N（﹣1，0），∵PQ过F，∴x0x1=﹣=1，，∴，，∴=，=，∴=（）=（），=（x1+1，y1）=（），假设=成立，∴，解得，∴，∴向量与共线．【点评】本题考查曲线方程的求法，考查向量共线的证明，考查抛物线、直线方程、向量的数量积等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．。

江苏省南通市启东市2017-2018学年高二下学期期末考试数学试题第Ⅰ卷（共160分）一、填空题（每题5分，满分70分，将答案填在答题纸上）1. “”的否定是__________．【答案】【解析】分析：根据的否定为得结果.详解：因为的否定为，所以“”的否定是点睛：对全称(存在性)命题进行否定的两步操作：①找到命题所含的量词，没有量词的要结合命题的含义加上量词，再进行否定；②对原命题的结论进行否定. 的否定为，的否定为.2. 函数的定义域是__________．【答案】【解析】分析：根据分母不为零得定义域.详解：因为，所以,即定义域为.点睛：求具体函数定义域，主要从以下方面列条件：偶次根式下被开方数非负，分母不为零，对数真数大于零，实际意义等.3. 两根相距的木杆上系一根绳子，并在绳子上挂一盏灯，则灯与两端距离都大于的概率是__________．【答案】【解析】在距绳子两段两米处分别取A，B两点，当绳子在线段AB上时（不含端点），符合要求，所以灯与两端距离都大于2m的概率为，故填．4. 命题，命题，则“或”是__________命题.(填“真”、“假”）【答案】真【解析】分析：先判断p,q真假，再判断“或”真假.详解：因为，所以p为假命题,因为，所以q为真命题,因此“或”是真命题，点睛：若要判断一个含有逻辑联结词的命题的真假，需先判断构成这个命题的每个简单命题的真假，再依据“或”：一真即真，“且”：一假即假，“非”：真假相反，做出判断即可.5. 函数的导函数__________．【答案】【解析】分析：根据导数运算法则直接计算.详解：点睛：本题考查基本初等函数导数，考查基本求解能力.6. 已知函数是上奇函数，且当时，则__________．【答案】【解析】分析：先求，再根据奇函数得.详解：因为，因为函数是上奇函数，所以点睛：已知函数的奇偶性求函数值或解析式，首先抓住奇偶性讨论函数在各个区间上的解析式，或充分利用奇偶性得出关于的方程，从而可得的值或解析式.7. 已知集合，若，则实数的值是__________．【答案】【解析】分析：根据集合包含关系得元素与集合属于关系，再结合元素互异性得结果.详解：因为，所以点睛：注意元素的互异性.在解决含参数的集合问题时，要注意检验集合中元素的互异性，否则很可能会因为不满足“互异性”而导致解题错误.8. 函数的单调减区间为__________．【答案】【解析】分析：先求导数，再求导数小于零的解集.详解：因为，所以因此单调减区间为.点睛：求函数的单调区间或存在单调区间，常常通过求导，转化为解方程或不等式，常用到分类讨论思想.9. “”是“函数是上的奇函数”的__________条件.(填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分又不必要”中一个）【答案】必要不充分【解析】分析：先举反例说明充分性不成立，再根据奇函数性质推导，说明必要性成立. 详解：因为满足，但不是奇函数，所以充分性不成立，因为函数是上的奇函数，所以必要性成立.因此“”是“函数是上的奇函数”的必要不充分条件.，点睛：充分、必要条件的三种判断方法．1．定义法：直接判断“若则”、“若则”的真假．并注意和图示相结合，例如“⇒”为真，则是的充分条件．2．等价法：利用⇒与非⇒非，⇒与非⇒非，⇔与非⇔非的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法．3．集合法：若⊆，则是的充分条件或是的必要条件；若＝，则是的充要条件．10. 设函数图象在处的切线方程是，则函数的图象在处的切线方程是__________．【答案】【解析】分析：先根据导数几何意义得，再根据点斜式求切线方程.详解：因为函数图象在处的切线方程是，，所以,因此函数的图象在处的切线斜率等于，切线方程是.点睛：利用导数的几何意义解题，主要是利用导数、切点坐标、切线斜率之间的关系来进行转化11. 若关于的不等式的解集是，则实数的值是__________．【答案】【解析】分析：先根据二次函数图像得恒成立且的两根为1，3，再根据韦达定理求实数的值详解：因为关于的不等式的解集是，所以恒成立且的两根为1，3，所以.点睛：一元二次方程的根与对应一元二次不等式解集以及对应二次函数零点的关系，是数形结合思想，等价转化思想的具体体现，注意转化时的等价性.12. 函数的图象如图所示，则的取值范围是__________．【答案】【解析】分析：先根据图像得，解得b,a关系,即得解析式，根据二次函数性质求取值范围.详解：因为根据图像得，所以点睛：本题考查幂函数图像与性质，考查二次函数求最值方法.13. 已知函数，若函数恰有两个不同的零点，则实数的取值范围是__________．【答案】【解析】分析：先根据导数研究图像，再根据与图像交点情况确定实数的取值范围.详解：令，所以当时，；当时，；作与图像，由图可得要使函数恰有两个不同的零点，需点睛：对于方程解的个数(或函数零点个数)问题，可利用函数的值域或最值，结合函数的单调性、草图确定其中参数范围．从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性，分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等．14. 已知定义在实数集上的偶函数在区间上是增函数.若存在实数，对任意的【答案】【解析】分析：先根据单调性得对任意的都成立，再根据实数存在性得，即得，解得正整数的最大值.详解：因为偶函数在区间上是增函数，对任意的，都有，所以对任意的都成立，因为存在实数，所以即得，因为成立，，所以正整数的最大值为4.点睛：对于求不等式成立时的参数范围问题，一般有三个方法，一是分离参数法, 使不等式一端是含有参数的式子，另一端是一个区间上具体的函数，通过对具体函数的研究确定含参式子满足的条件.二是讨论分析法，根据参数取值情况分类讨论，三是数形结合法，将不等式转化为两个函数，通过两个函数图像确定条件.二、解答题：15. 甲、乙两个同学分別抛掷一枚质地均匀的骰子.（1）求他们抛掷的骰子向上的点数之和是4的倍数的概率；（2）求甲抛掷的骰子向上的点数不大于乙抛掷的骰子向上的点数的概率.【答案】（1）；（2）.【解析】分析：（1）先求基本事件总数，再求点数之和是4的倍数事件数，最后根据古典概型概率公式求概率，（2）先求基本事件总数，再求甲抛掷的骰子向上的点数不大于乙抛掷的骰子向上的点数的事件数，最后根据古典概型概率公式求概率.详解：（1）记“他们抛掷的骰子向上的点数之和是4的倍数”为事件A，基本事件共有36个，事件A包含9个基本事件，故P(A)=；（2）记“甲抛掷的骰子向上的点数不大于乙抛掷的骰子向上的点数”为事件B，基本事件共有36个，事件B包含21个基本事件，故P(B)=．答（1）他们抛掷的骰子向上的点数之和是4的倍数的概率为.（2）甲抛掷的骰子向上的点数不大于乙抛掷的骰子向上的点数的概率为．点睛：古典概型中基本事件数的探求方法(1)列举法.(2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求.对于基本事件有“有序”与“无序”区别的题目，常采用树状图法.(3)列表法：适用于多元素基本事件的求解问题，通过列表把复杂的题目简单化、抽象的题目具体化.(4)排列组合法：适用于限制条件较多且元素数目较多的题目.16. 已知集合.（1）当时，求集合；（2）当时，若，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】分析：（1）解一次不等式得集合A，（2）先根据A∩B= B得B A，再根据k分类解集合A，最后根据数轴确定实数的取值范围.详解：（1）当k＝1时，A＝{x|0≤x＋1≤5}＝{x|－1≤x≤4}；（2）因为A∩B= B，所以B A，由0≤kx＋1≤5，得－1≤kx≤4，①当k=0时，A=R，满足B A成立；②当k<0时，A=，由B A，得，即，故，综上所述：．点睛：将两个集合之间的关系准确转化为参数所满足的条件时，应注意子集与真子集的区别，此类问题多与不等式(组)的解集相关．确定参数所满足的条件时，一定要把端点值代入进行验证，否则易产生增解或漏解．17. 如图，在圆心角为，半径为的扇形铁皮上截取一块矩形材料，其中点为圆心，点在圆弧上，点在两半径上，现将此矩形铁皮卷成一个以为母线的圆柱形铁皮罐的侧面(不计剪裁和拼接损耗)，设矩形的边长，圆柱形铁皮罐的容积为.（1）求圆柱形铁皮罐的容积关于的函数解析式，并指出该函数的定义域；（2）当为何值时，才使做出的圆柱形铁皮罐的容积最大？最大容积是多少？ (圆柱体积公式：，为圆柱的底面枳，为圆柱的高）【答案】（1）；（2），.【解析】分析：（1）先利用勾股定理可得OA,根据周长公式得半径，再根据圆柱体积公式求V(x)，最后根据实际意义确定定义域，（2）先求导数，再求导函数零点，列表分析导函数符号变化规律，确定函数单调性，进而得函数最值.详解：（1）连接OB，在Rt△OAB中，由AB=x，利用勾股定理可得OA＝，设圆柱底面半径为r，则＝2πr，即4＝3600－，所以V(x)＝π＝π··x＝，即铁皮罐的容积为V(x)关于x的函数关系式为V(x)＝，定义域为(0，60).（2）由V ′(x)＝＝0，x∈(0，60)，得x＝20．列表如下：(20V(20所以当x＝20时，V(x)有极大值，也是最大值为.答：当x为20 cm时，做出的圆柱形铁皮罐的容积最大，最大容积是.点睛：利用导数解答函数最值的一般步骤：第一步：利用或求单调区间；第二步：解得实根；第三步：比较实根同区间端点的大小；第四步：求极值；第五步：比较极值同端点值的大小．18. 已知命题函数是上的奇函数，命题函数的定义域和值域都是，其中.（1）若命题为真命题，求实数的值；（2）若“且”为假命题，“或”为真命题，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】分析：（1）根据奇函数定义得f(－x)＋f(x)＝0，解得实数的值；（2）根据函数单调性得转化为对应一元二次方程有两个大于1的不相等实根，利用实根分布解得k 的取值范围，由“p且q”为假命题，“p或q”为真命题，得命题p和q中有且仅有一个为真命题，根据真假列方程组解得实数的取值范围.详解：（1）若命题p为真命题，则f(－x)＋f(x)＝0，即，化简得对任意的x∈R成立，所以k＝1．（2）若命题q为真命题，因为在[a，b]上恒成立，所以g(x)在[a，b]上是单调增函数，又g(x)的定义域和值域都是[a，b]，所以所以a，b是方程的两个不相等的实根，且1＜a＜b．即方程有两个大于1的实根且不相等，记h(x)＝k2x2－k(2k－1)x＋1，故，解得，所以k的取值范围为．因为“p且q”为假命题，“p或q”为真命题，所以命题p和q中有且仅有一个为真命题，即p真q假，或p假q真．所以或所以实数k的取值范围为．点睛：以命题真假为依据求参数的取值范围时，首先要对两个简单命题进行化简，然后依据“p∨q”“p∧q”“非p”形式命题的真假，列出含有参数的不等式(组)求解即可.19. 已知函数，集合.（1）当时，解不等式；（2）若，且，求实数的取值范围；（3）当时，若函数的定义域为，求函数的值域.【答案】（1）；（2）；（3）当时，的值域为；当时，的值域为；当时，的值域为．【解析】分析：（1）先根据一元二次方程解得e x＞3，再解对数不等式得解集，（2）解一元二次不等式得集合A,再根据，得log2f(x)≥1在0≤x≤1上有解，利用变量分离法得a≥3e x－e2x在0≤x≤1上有解，即a≥[3e x－e2x]min.最后根据二次函数性质求最值得结果,（3）先转化为对勾函数，再根据拐点与定义区间位置关系，分类讨论，结合单调性确定函数值域. 详解：（1）当a＝－3时，由f(x)＞1得e x－3e-x－1＞1，所以e2x－2e x－3＞0，即(e x－3) (e x＋1)＞0，所以e x＞3，故x＞ln3，所以不等式的解集为(ln3，+∞).（2）由x2－x≤0，得0≤x≤1，所以A＝{x|0≤x≤1}.因为A∩B≠，所以log2f(x)≥1在0≤x≤1上有解，即f(x)≥2在0≤x≤1上有解，即e x＋ae-x－3≥0在0≤x≤1上有解，所以a≥3e x－e2x在0≤x≤1上有解，即a≥[3e x－e2x]min.由0≤x≤1得1≤e x≤e，所以3e x－e2x＝－(e x－)2＋∈[3e－e2，]，所以a≥3e－e2.（3）设t＝e x，由（2）知1≤t≤e，记g(t)＝t＋－1(1≤t≤e，a＞1)，则，(①当≥e时，即a≥e2时，g(t)在1≤t≤e上递减，所以g(e)≤g(t)≤g(1)，即．所以f(x)的值域为.②当1＜＜e时，即1＜a＜e2时，g(t)min= g()＝2－1，g(t)max=max{ g(1)，g(e)} =max{ a，}．1°若a，即e＜a＜e2时，g(t)max= g(1)= a；所以f(x)的值域为；2°若a，即1＜a≤e时，g(t)max= g(e) =，所以f(x)的值域为．综上所述，当1＜a≤e时，f(x)的值域为；当e＜a＜e2时，f(x)的值域为；当a≥e2时，f(x)的值域为．点睛：不等式有解是含参数的不等式存在性问题时，只要求存在满足条件的即可；不等式的解集为R是指不等式的恒成立，而不等式的解集的对立面（如的解集是空集，则恒成立）)也是不等式的恒成立问题，此两类问题都可转化为最值问题，即恒成立⇔，恒成立⇔.20. 已知函数.（1）若函数的图象在处的切线过点，求的值；（2）当时，函数在上没有零点，求实数的取值范围；（3）当时，存在实数使得，求证：.【答案】（1）；（2）或；（3）证明见解析.【解析】分析：（1）先根据导数几何意义得切线斜率，再根据两点间斜率公式列等式，解得的值；（2）先求导数，根据a讨论导数零点情况，再根据对应单调性确定函数值域，最后根据无零点确定最小值大于零或最大值小于零，解得结果，（3）先根据，解得，代入得，再转化为一元函数：最后利用导数证明h(t)< 0成立.详解：（1）因为f ′(x)＝－a，所以k＝f ′(1)＝1－a，又因为f(1)＝－a－b，所以切线方程为y＋a＋b＝(1－a)(x－1)，因为过点(2，0)，所以a＋b=1－a，即2a＋b＝1.（2）当b＝0时，f(x)＝lnx－ax，所以f ′(x)＝－a＝.10若a≤0，则f ′(x)＞0，所以f(x)在(，＋∞)上递增，所以f(x)＞f()＝－1－，因为函数y＝f(x)在(，＋∞)上没有零点，所以－1－≥0，即a≤－e；20若a＞0，由f ′(x)＝0，得x＝.①当≤时，即a≥e时，f ′(x)＜0，f(x)在(，＋∞)上递减，所以f(x)＜f()＝－1－＜0，符合题意，所以a≥e；②当＞时，即0＜a＜e时，若＜x＜，f ′(x)＜0，f(x)在(，)上递增；若x＞，f ′(x)＞0，f(x)在(，＋∞)上递减，所以f(x)在x＝处取得极大值，即为最大值，要使函数y＝f(x)在(，＋∞)上没有零点，必须满足f()＝ln－1＝－lna－1＜0，得a＞，所以＜a＜e.综上所述，实数a的取值范围是a≤－e或a＞.（3）不妨设0＜x1＜x2，由f(x1)＝f(x2)，得lnx1－ax1－b＝lnx2－ax2－b，因为a＞0，所以.又因为，f ′(x)在(0，＋∞)上递减，且f ′()＝0，故要证，只要证，只要证，只要证，只要证（*），令，记，则，所以h(t)在(1,+∞)上递减，所以h(t)< h(1)=0，所以（*）成立，所以原命题成立.点睛：利用导数证明不等式常见类型及解题策略(1) 构造差函数.根据差函数导函数符号，确定差函数单调性，利用单调性得不等量关系，进而证明不等式.（2）根据条件，寻找目标函数.一般思路为利用条件将求和问题转化为对应项之间大小关系，或利用放缩、等量代换将多元函数转化为一元函数.21. 求下列函数的导数：（1）；（2）.【答案】（1）；（2）或．【解析】分析：（1）根据复合函数（指数函数与一次函数的复合）求导法则求导数，（2）根据复合函数（幂函数与一次函数的复合）求导法则求导数.详解：（1）；（2）．或．点睛：本题考查复合函数求导法则，注意函数如何复合的.22. 2名男生、4名女生排成一排，问：（1）男生平必须排在男生乙的左边（不一定相邻）的不同排法共有多少种？（2）4名女生不全相邻的不同排法共有多少种？【答案】（1）；（2）.【解析】分析：（1）根据定序法确定排列数，（2）先求相邻的排列数（捆绑法），再用全排列相减得结果.详解：（1）法1：，法2：；（2）．答：分别有360和576种不同的排法.点睛：求解排列、组合问题常用的解题方法：(1)元素相邻的排列问题——“捆邦法”；(2)元素相间的排列问题——“插空法”；(3)元素有顺序限制的排列问题——“除序法”；(4)带有“含”与“不含”“至多”“至少”的排列组合问题——间接法.23. 小陈同学进行三次定点投篮测试，已知第一次投篮命中的概率为，第二次投篮命中的概率为，前两次投篮是否命中相互之间没有影响.第三次投篮受到前两次结果的影响，如果前两次投篮至少命中一次，则第三次投篮命中的概率为，否则为.（1）求小陈同学三次投篮至少命中一次的概率；（2）记小陈同学三次投篮命中的次数为随机变量，求的概率分布及数学期望.【答案】（1）；（2）.【解析】分析：（1）先求小陈同学三次投篮都没有命中的概率，再用1减得结果，（2）先确定随机变量取法，再利用组合数求对应概率，列表得分布列，最后根据数学期望公式求结果. 详解：（1）小陈同学三次投篮都没有命中的概率为(1－)×(1－)×(1－)＝；所以小陈同学三次投篮至少命中一次的概率为1－＝.（2）ξ可能的取值为0，1，2，3．P(ξ＝0)＝；P(ξ＝1)＝×(1－)×(1－)＋(1－)××(1－)＋(1－)×(1×)×＝；P(ξ＝2)＝××＋××＋××＝；P(ξ＝3)＝××＝；故随机变量ξ的概率分布为所以数学期望E(ξ)＝0×＋1×＋2×=＋3×＝．点睛：求解离散型随机变量的数学期望的一般步骤为：第一步是“判断取值”，即判断随机变量的所有可能取值，以及取每个值所表示的意义；第二步是“探求概率”，即利用排列组合，枚举法，概率公式，求出随机变量取每个值时的概率；第三步是“写分布列”，即按规范形式写出分布列，并注意用分布列的性质检验所求的分布列或某事件的概率是否正确；第四步是“求期望值”，一般利用离散型随机变量的数学期望的定义求期望的值.24. 已知，定义.（1）求的值；（2）证明：.【答案】（1）；（2）证明见解析.【解析】分析：（1）先根据定义代入求求的值；（2）根据定义可得，则左边化简得，利用等式化简,并利用二项式定理可得结果.详解：（1），．（2）当n＝1时，,等式成立．当n≥2时，，由于，所以，综上所述，对n∈N*，成立．点睛：有关组合式的求值证明，常采用构造法逆用二项式定理.常应用组合数性质进行转化：，.。

2017-2018学年江苏省南通市启东中学高二（上）期中数学试卷一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分）1．（5分）命题：∀x∈R，sinx≤1的否定为．2．（5分）抛物线x2=2y的准线方程为．3．（5分）已知复数z满足（z﹣2）（1﹣i）=1+i（i为虚数单位），则复数z的模是．4．（5分）已知p：x＞2，q：x≥1，则p是q的条件．（选填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”之一）5．（5分）已知双曲线﹣=1的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线上，且PF1=4，则PF2的长为．6．（5分）已知点A（﹣1，0），B（5，0），C（1，4），则△ABC的外接圆的方程为．7．（5分）设A，F是椭圆+=1（a＞b＞0）的上顶点和右焦点，AF的延长线交椭圆右准线于点B，若=λ，则λ的值为．8．（5分）设F1，F2是椭圆+=1（a＞b＞0）的左、右焦点，A为椭圆的上顶点，M为AF2的中点，若MF1⊥AF2，则该椭圆的离心率为．9．（5分）已知点P是直线y=x上一个动点，过点P作圆（x+2）2+（y﹣2）2=1的切线，切点为T，则线段PT长度的最小值为．10．（5分）已知F是抛物线C：y2=12x的焦点，M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N，若M是FN的中点，则FN的长度为．11．（5分）已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦点为F，点A在双曲线的渐近线上，△OAF的边长为6的等边三角形（O为坐标原点），则该双曲线的方程为．12．（5分）“求1+q+q2+q3+…（0＜q＜1）的值时，采用了如下的方式：令1+q+q2+q3+…=x，则有x=1+q（1+q+q2+…）=1+q•x，解得x=”，用类比的方法可以求得：的值为．13．（5分）已知P为椭圆+=1上的动点，M，N为圆（x﹣2）2+y2=1上两点，且MN=，则|+|的取值范围是．14．（5分）在平面直角坐标系xOy中，已知直线y=x+2与x轴，y轴分别交于M、N两点，点P在圆（x﹣a）2+y2=2上运动，若∠MPN恒为锐角，则a的取值范围是．二、解答题（本题共70分）15．（14分）命题p：方程+=1表示双曲线；命题q：∃x∈R，使得x2+mx+m+3＜0成立．若“p且￢q”为真命题，求实数m的取值范围．16．（14分）用合适的方法证明下面两个问题：（1）已知n∈N*，求证：﹣1≥﹣；（2），，不能构成等差数列．17．（14分）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆+=1（a＞b＞0）与双曲线﹣y2=1有相同的焦点F1，F2，抛物线x2=2py（p＞0）的焦点为F，且与椭圆在第一象限的交点为M，若MF1+MF2=2．（1）求椭圆的方程；（2）若MF=，求抛物线的方程．18．（16分）在平面直角坐标系xOy中，已知F1，F2分别为椭圆+=1（a＞b＞0）的左、右焦点，且椭圆经过点A（2，0）和点（1，3e），其中e为椭圆的离心率．（1）求椭圆的方程；（2）过点A的直线l交椭圆于另一点B，点M在直线l上，且OM=MA，若MF1⊥BF 2，求直线l的斜率．19．（16分）已知方程C：x2+y2+8x﹣m+1=0表示圆（m∈R）．（1）求实数m的取值范围；（2）若圆C与直线x+y+1=0相交于A、B，若△ABC为等边三角形，求m的值；（3）已知点A（﹣2，0），B（4，0），P是与圆C上任意一点，若为定值，求m的值．20．（16分）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，AB为椭圆的一条弦，直线y=kx（k＞0）经过弦AB的中点M，与椭圆C交于P，Q两点，设直线AB的斜率为k1．（1）若点P的坐标为（1，），求椭圆C的方程；（2）求证：k1k为定值；（3）若直线AB过椭圆的右焦点F，线段FO上一点D满足AB=4FD，求证：以FD为直径的圆恰好经过点M．【附加题】21．（12分）用数学归纳法证明：1+++…+＜n（n∈N*，且n＞1）．22．（12分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1=AB=AC=2，AB⊥AC，M是棱BC的中点，点P在线段A1B上．（1）若P是线段A1B的中点，求直线MP与直线AC所成的角的大小；（2）是否存在点P，使得直线MP与平面ABC所成角的大小为，若存在，求出线段BP的长度；若不存在，请说明理由．23．（16分）已知抛物线C：y2=4x，过直线l：x=﹣2上任一点A向抛物线C引两条切线AS，AT（切点为S，T，且点S在x轴上方）．（1）求证：直线ST过定点，并求出该定点；（2）抛物线C上是否存在点B，使得BS⊥BT．2017-2018学年江苏省南通市启东中学高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分）1．（5分）命题：∀x∈R，sinx≤1的否定为∃x0∈R，使得sinx0＞1．【解答】解：∵命题：∀x∈R，sinx≤1，∴命题的否定为：∃x0∈R，使得sinx0＞1，故答案为：∃x0∈R，使得sinx0＞12．（5分）抛物线x2=2y的准线方程为y=﹣．【解答】解：根据题意，抛物线的方程为x2=2y，其开口向上，且p=1，则抛物线的准线方程y=﹣，故答案为：y=﹣．3．（5分）已知复数z满足（z﹣2）（1﹣i）=1+i（i为虚数单位），则复数z的模是．【解答】解：由（z﹣2）（1﹣i）=1+i，得z﹣2=，∴z=2+i，则|z|=．故答案为：．4．（5分）已知p：x＞2，q：x≥1，则p是q的充分不必要条件．（选填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”之一）【解答】解：∵p：x＞2，q：x≥1，∴p⇒q，反之不成立．则p是q的充分不必要条件．故答案为：充分不必要．5．（5分）已知双曲线﹣=1的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线上，且PF1=4，则PF2的长为10．【解答】解：根据题意，双曲线的标准方程为﹣=1，其中a==3，点P在双曲线上，则有||PF1|﹣|PF2||=2a=6，又由|PF1|=4，解可得|PF2|=10或﹣2（舍），则|PF2|=10；故答案为：10．6．（5分）已知点A（﹣1，0），B（5，0），C（1，4），则△ABC的外接圆的方程为x2+y2﹣4x﹣2y﹣5=0．【解答】解：已知点A（﹣1，0），B（5，0），C（1，4），设△ABC的外接圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，则有，求得，∴△ABC的外接圆的方程为x2+y2﹣4x﹣2y﹣5=0，故答案为：x2+y2﹣4x﹣2y﹣5=0．7．（5分）设A，F是椭圆+=1（a＞b＞0）的上顶点和右焦点，AF的延长线交椭圆右准线于点B，若=λ，则λ的值为．【解答】解：如图，由题意+=1，得A（0，），c=，则F（1，0），右准线方程为x=．直线AF的方程为，取x=4，得B（4，﹣），，，由=λ，得，即．故答案为：．8．（5分）设F1，F2是椭圆+=1（a＞b＞0）的左、右焦点，A为椭圆的上顶点，M为AF2的中点，若MF1⊥AF2，则该椭圆的离心率为．【解答】解：∵F1，F2是椭圆+=1（a＞b＞0）的左、右焦点，A为椭圆的上顶点，若M为AF2的中点，且MF1⊥AF2，则△F1F2A是等腰三角形，F1F2=F1A，即2c=a，故该椭圆的离心率e==，故答案为：．9．（5分）已知点P是直线y=x上一个动点，过点P作圆（x+2）2+（y﹣2）2=1的切线，切点为T，则线段PT长度的最小值为．【解答】解：圆心坐标C（﹣2，2），半径R=1，则切线长|PT|=，则要使PT最小，则只需要PC最小即可，此时CP垂直直线y=x，则C到直线x﹣y=0的距离d===2，此时|PT|===，故答案为：．10．（5分）已知F是抛物线C：y2=12x的焦点，M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N，若M是FN的中点，则FN的长度为9．【解答】解：抛物线C：y2=8x的焦点F（2，0），M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N．若M为FN的中点，可知M的横坐标为：1.5，则FN|=1.5+3=4.5，|FN|=2|FM|=2×4.5=9．故答案为：9．11．（5分）已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦点为F，点A在双曲线的渐近线上，△OAF的边长为6的等边三角形（O为坐标原点），则该双曲线的方程为﹣=1．【解答】解：由题意可知，解得a=3，b=3，∴双曲线方程为=1．故答案为：=1．12．（5分）“求1+q+q2+q3+…（0＜q＜1）的值时，采用了如下的方式：令1+q+q2+q3+…=x，则有x=1+q（1+q+q2+…）=1+q•x，解得x=”，用类比的方法可以求得：的值为．【解答】解：令=x（x＞0）则有x=∴x2=1+x∴x2﹣x﹣1=0解得x=或x=∵x＞0，∴舍去．故答案为：．13．（5分）已知P为椭圆+=1上的动点，M，N为圆（x﹣2）2+y2=1上两点，且MN=，则|+|的取值范围是[3，13] ．【解答】解：令Q为MN中的中点，则圆（x﹣2）2+y2=1的圆心C到MN的距离CQ==，又由C为椭圆+=1的焦点，故|PC|∈[2，6]，则PQ|∈[2﹣，6+]=[，]，|+|=|2|∈[3，13]，故答案为：[3，13]．14．（5分）在平面直角坐标系xOy中，已知直线y=x+2与x轴，y轴分别交于M、N两点，点P在圆（x﹣a）2+y2=2上运动，若∠MPN恒为锐角，则a的取值范围是a＞或a＜﹣．【解答】解：设以MN为直径的圆的圆心为A，则M（﹣2，0），N（0，2），所以中点A（﹣1，1）；点P与M，N构成∠MPN恒为锐角，则点P恒在圆A之外，又两个圆半径相等，所以两圆外离，所以（a+1）2+12＞（2）2，解得a＞或a＜﹣；所以a的取值范围是a＞或a＜﹣；故答案为：a＞或a＜﹣．二、解答题（本题共70分）15．（14分）命题p：方程+=1表示双曲线；命题q：∃x∈R，使得x2+mx+m+3＜0成立．若“p且￢q”为真命题，求实数m的取值范围．【解答】解：若p为真命题，则（m+3）（m﹣4）＜0，解得：﹣3＜m＜4，￢q：∀x∈R，使得x2+mx+m+3≥0，若￢q是真命题，则m2﹣4（m+3）≤0，解得：﹣2≤m≤6，若“p且￢q”为真命题，则p是真命题且￢q也是真命题，故﹣2≤m＜4．16．（14分）用合适的方法证明下面两个问题：（1）已知n∈N*，求证：﹣1≥﹣；（2），，不能构成等差数列．【解答】解：（1）要证：﹣1≥﹣，只要+≥+1，只要证（+）2≥（+1）2，只要证n+2+2≥n+2+2，只要证≥，只要证2n≥n+1，只要证n≥1，显然对于n∈N*，成立，故﹣1≥﹣；（2）假设，，能构成等差数列，则2=+，即（2）2=（+）2，即12=7+2，即5=2，显然不成立，故假设不成立，故，，不能构成等差数列17．（14分）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆+=1（a＞b＞0）与双曲线﹣y2=1有相同的焦点F1，F2，抛物线x2=2py（p＞0）的焦点为F，且与椭圆在第一象限的交点为M，若MF1+MF2=2．（1）求椭圆的方程；（2）若MF=，求抛物线的方程．【解答】解：（1）由条件得，解得a=，b=，∴椭圆方程为=1．（2）设M（x0，y0），则MF=y0+=，即p=﹣2y0，又M在椭圆上，∴x02+3y02=6，且x02=2py0，∴（7﹣4y0）y0+3y02=6，解得y0=1或y0=6（舍），∴p=，∴抛物线方程为x2=3y．18．（16分）在平面直角坐标系xOy中，已知F1，F2分别为椭圆+=1（a＞b＞0）的左、右焦点，且椭圆经过点A（2，0）和点（1，3e），其中e为椭圆的离心率．（1）求椭圆的方程；（2）过点A的直线l交椭圆于另一点B，点M在直线l上，且OM=MA，若MF1⊥BF2，求直线l的斜率．【解答】解：（1）∵椭圆E经过点A（2，0）和（1，3e），∴，解得a=2，b=，c=1．∴椭圆方程为；（2）由（1）知，F1（﹣1，0），F2（1，0）．设直线l的斜率为k，则直线l的方程是y=k（x﹣2）．联立，可得（4k2+3）x2﹣16k2x+16k2﹣12=0，解得x=2，或x=，点B坐标为（，）．由OM=MA知，点M在OA的中垂线x=1上，又点M在直线l上，∴点M的坐标为（1，﹣k）．从而=（2，k），=（，）．∵MF1⊥BF2，∴，∴，解得k=±，故直线l的斜率是±．19．（16分）已知方程C：x2+y2+8x﹣m+1=0表示圆（m∈R）．（1）求实数m的取值范围；（2）若圆C与直线x+y+1=0相交于A、B，若△ABC为等边三角形，求m的值；（3）已知点A（﹣2，0），B（4，0），P是与圆C上任意一点，若为定值，求m的值．【解答】解：（1）若方程C：x2+y2+8x﹣m+1=0表示圆，必有82﹣4（﹣m+1）＞0，解可得：m＞﹣15；即m的取值范围是（﹣15，+∞）；（2）圆C的方程为x2+y2+8x﹣m+1=0，变形可得（x+4）2+y2=15+m，圆心为（﹣4，0），半径r=，圆心C到直线x+y+1=0的距离d==，又由圆C与直线x+y+1=0相交于A、B，若△ABC为等边三角形，则圆心C到直线的距离d=r，则有=×，解可得m=﹣11；（3）根据题意，如图，连接PC，设圆C的半径为r，则PC=r，设∠PCA=θ，则有CA=2，CB=8，由余弦定理可得：PA=，PB=，若为定值，则设=，则有=即=k，变形可得：r2+4﹣4rcosθ=k（r2+64﹣16rcosθ），分析可得：k=，r2=16，又由圆的标准方程为：（x+4）2+y2=15+m，则有15+m=16，解可得m=1；则m=1．20．（16分）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，AB为椭圆的一条弦，直线y=kx（k＞0）经过弦AB的中点M，与椭圆C交于P，Q两点，设直线AB的斜率为k1．（1）若点P的坐标为（1，），求椭圆C的方程；（2）求证：k1k为定值；（3）若直线AB过椭圆的右焦点F，线段FO上一点D满足AB=4FD，求证：以FD为直径的圆恰好经过点M．【解答】（1）解：由题意，，解得a=2，b=，∴椭圆方程为；（2）证明：设AB的中点为（x0，y0），A（x1，y1），B（x2，y2），由于A，B为椭圆上的点，∴，，两式相减得：，即=﹣，∵k1=，k=，∴k1k=﹣；（3）证明：由（2）知，AB所在直线的斜率为，又直线AB过点F（1，0），则AB：y=，联立，得（3+4k2）x2﹣6x+3﹣16k2=0．则，．=．∴M（）．|AB|===．则|FD|==，设D（n，0），则1﹣n=，得n=．∴D（，0），而=，∴，∴以FD为直径的圆恰好经过点M．【附加题】21．（12分）用数学归纳法证明：1+++…+＜n（n∈N*，且n＞1）．【解答】证明：（1）当n=2时，显然1++=＜2，不等式成立；（2）假设当n=k（k≥2）时，不等式成立，即1+++…+＜k，则当n=k+1时，1+++…++++…+＜k++…+＜k+++…=k+1，∴当n=k+1时，不等式成立，综上，对于n∈N*，n＞1，1+++…+＜n．22．（12分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1=AB=AC=2，AB⊥AC，M是棱BC的中点，点P在线段A1B上．（1）若P是线段A1B的中点，求直线MP与直线AC所成的角的大小；（2）是否存在点P，使得直线MP与平面ABC所成角的大小为，若存在，求出线段BP的长度；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）∵在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1=AB=AC=2，AB⊥AC，M是棱BC的中点，P是线段A1B的中点，∴以A为原点，AB为x轴，AC为y轴，AA1为z轴，建立空间直角坐标系，A（0，0，0），B（2，0，0），C（0，2，0），M（1，1，0），A1（0，0，2），P（1，0，1），=（0，﹣1，1），=（0，2，0），设直线MP与直线AC所成的角为θ，则cosθ===，∴θ=，∴直线MP与直线AC所成的角为．（2）假设存在点P（a，b，c），，（0≤λ≤1），使得直线MP与平面ABC所成角的大小为，则（a﹣2，b，c）=（﹣2λ，0，2λ），解得P（2﹣2λ，0，2λ），=（1﹣2λ，﹣1，2λ），平面ABC的法向量=（0，0，1），∵直线MP与平面ABC所成角的大小为，∴sin==，由0≤λ≤1，解得．∴BP=×=．∴存在点P，使得直线MP与平面ABC所成角的大小为，线段BP的长度为．23．（16分）已知抛物线C：y2=4x，过直线l：x=﹣2上任一点A向抛物线C引两条切线AS，AT（切点为S，T，且点S在x轴上方）．（1）求证：直线ST过定点，并求出该定点；（2）抛物线C上是否存在点B，使得BS⊥BT．：y﹣t=k（x+2），【解答】解：（1）方法一：（1）设A（﹣2，t），过点A的切线：l切联立，整理得：ky2﹣4y+4（t+2k）=0，由，则得2k2+tk﹣1=0，即k（2k+t）=1，则k+2t=，则k1k2=﹣，且有ky2﹣4y+=0，即（ky﹣2）2=0，得y=，因此S（，），T（，），l ST：y﹣=（x﹣）=（x ﹣）=﹣x﹣，∴y=﹣x+=﹣（x﹣2），即有l ST：y=﹣（x﹣2），∴直线ST过定点P（2，0）；方法二：设S（x1，y1），T（x2，y2），由y2=4x，根据复合函数求导法则2yy′=4，则y′=，则直线AS的斜率k=，方程为：y﹣y1=（x﹣x1），由y12=4x1，整理得：yy1=2（x+x1），同理可得：直线AT：yy2=2（x+x2），设A（﹣2，y A），则y A y1=2（x1﹣2），y A y2=2（x2﹣2），即y A y1﹣2x1+4=0，y A y2﹣2x2+4=0，∴S（x1，y1），T（x2，y2）是方程y A y﹣2（x﹣2）=0解，则直线ST：y A y﹣2（x﹣2）=0∴直线ST恒过点（2，0）；（2）假设存在点B，使得BS⊥BT，设B（m，n），由直线ST：y A y﹣2（x﹣2）=0，∴，整理得：y2﹣2y A y﹣8=0，则y 1+y2=2y A，y1y2=﹣8，则x1+x2=y A2+4，x1x2=×（y1y2）2=4，由BS⊥BT，则•=0，即（x1﹣m，y1﹣n）•（x2﹣m，y2﹣n）=0，整理得：x1x2﹣m（x1+x2）+m2+y1y2﹣n（y1+y2）+n2=0，∴4﹣my A2﹣4m+m2﹣8﹣2ny A+n2=0，my A2+2ny A+4m+4﹣m2﹣n2=0，由4m=n2，代入整理得：y A2+2ny A+4﹣=0，令4﹣=0，即n2=8，当n=2则y A2+2y A=0，解得：y A=0或y A=﹣2，当n=﹣2则y A2﹣2y A=0，解得：y A=0（舍去）或y A=2，∴当B（2，2）或（2，﹣2）时，A（﹣2，±2）时，BS⊥BT．。