巧分类解计数问题

三年级奥数第11讲分类枚举第十一讲分类枚举知识点：分类枚举是数学上一种重要的思考方法，在很多问题中都要用到这种方法，这样思考的关键是做到有序思考，不重复，不遗漏。

例1：袋子中装有黑、红、白三中颜色的小球各1个，每次从中摸出2个球，可能出现哪几种情况？同步练习1、盘子里有水果梨子、香蕉、苹果各一个，小红每次只能取2个，她有几种不同的方法？2、袋子中装有红、黄、蓝、绿四种颜色的小球各一个，每次从中摸出2个球，可能有哪几种取法？3、甲乙丙三个小朋友，每两人之间握一次手，一共要握多少次手？例2：用3、5、6这三个数字可以组成多少个没有重复数字的三位数？同步练习1、用4、7、8这三个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数？2、用5、0、9这三个数字可以组成多少个没有重复数字的三位数，其中最大的是多少？最小的呢？3、小华、小明、小林3人站成一排照相，有多少种不同的排法？例3：从玲玲家到学校有2条路可以走，从学校到电影院有3条路可以走，从玲玲家到电影院有几种不同的走法？同步练习1、小明有3件衬衫和2条裤子，可以搭配出几种不同的穿着？2、从学校到公园有3条路可以走，从公园道展览馆有4条路可以走，从学校到展览馆有几种不同的走法？3、书架上有5本不同的画报，8本不同的报刊，如果每次从书架上任取一本画报和一本报刊，共有多少种不同的取法？例4：往返于南京和上海之间的沪宁高速列车沿途要停靠常州，无锡，苏州三站。

问：铁道部门要为这趟车准备多少种车票？同步练习1、3个小朋友过圣诞节互相寄节日贺卡，一共寄了多少张贺卡？2、汽车往返于甲乙丙丁4个车站之间，问：管理部门要为这趟汽车准备多少种车票？3、5个小朋友互相寄信表示问候，一共寄了多少封信？课后巩固一、填空题1、用3、4、9可组成（）个数字不重复的三位数，其中最大是（），最小是（）2、文具店有3种不同的书包，4种不同的文具，妈妈想给亮亮买一个书包和一个文具盒，共有（）种不同买法。

中班数学优秀教案：分类记数教案名称：中班数学优秀教案：分类记数教学目标：1. 能够理解分类的概念，并能够进行简单的分类操作。

2. 能够运用分类记数的方法进行简单的计数和统计。

3. 能够解决一些简单的分类记数问题。

教学资源：1. 图片卡片或小玩具等多种具有分类特征的物品，如动物、水果、颜色等。

教学准备：1. 将教学资源准备好，并按照一定的类别进行分类。

教学过程：1. 导入活动：使用图片卡片或小玩具向学生展示不同类别的物品，例如动物、水果和颜色等，引导学生观察并进行简单的分类。

2. 讨论引导：与学生一起讨论分类的意义和方法，并引导学生找到物品的共同特征进行分类。

3. 教师示范：教师将一些物品进行分类，并解释其分类的原因和方法。

4. 学生操作：学生根据教师的示范，自己进行分类操作，并尝试找到合适的规则进行分类。

5. 讨论总结：学生完成分类后，教师与学生一起讨论各种分类的方法和规则，并分享归纳出的结论。

6. 进行分类记数：教师出示一些物品，并要求学生根据分类进行记数。

例如，教师出示苹果、梨子和香蕉等水果，要求学生分别计数每种水果的数量。

7. 探究拓展：教师出示一些复杂的物品，并要求学生利用分类记数的方法解决问题。

例如，教师出示红色和蓝色的小球，要求学生分别计数每种颜色的球的数量。

然后教师再出示一些其他颜色的小球，使学生能够对比和比较不同颜色的球的数量。

8. 游戏活动：教师组织学生进行分类记数的游戏活动，例如将学生分为两组，每组负责分类和记数一种类别的物品。

比赛结束后，比较两组的结果，并进行讨论。

9. 总结巩固：通过教学活动的讨论和总结，让学生对分类记数的方法有更加深入的理解，并将其应用于实际生活中。

教学评估：1. 观察学生在课堂中的参与程度和分类记数的表现。

2. 教师可以布置一些简单的分类记数题目或游戏作为作业，评估学生的掌握情况。

3. 教师可以进行小组讨论，让学生以小组形式进行分类记数，通过小组之间的合作和交流评估学生的理解和应用能力。

计数法（排列与组合）【四年级计数问题：加乘原理难度：中难度/高难度】一个半圆周上共有12个点，直径上5个，圆周上7个，以这些点为顶点，可以画出多少个三角形？【分析与解答】分类计数一共分成三类：第一类两个点在圆弧上另一点在直径上C72×25=105(个)；第二类两个点在直径上另一个点在圆弧上共有C5×7=70（个）；第三类三个点都在圆弧上共有C73共有35个。

三类共105+70+35=210（个）【四年级乘法原理问题：难度：低难度】从南京到上海的某次快车中途要停靠六个大站．铁路局要为这次快车准备多少种不同的车票？这些车票中最多有多少种不相同的票价？【分析与解答】共有8个站．每个站到其它7个站各需1种车票，共有7×8=56种车票．因为A站到B 站与B站到A站的票价相同，所以最多有56÷2=28种票价．【四年级乘法原理问题：难度：中难度】有五张卡，分别写有数字1、2、4、5、8．现从中取出3张卡片，并排放在一起，组成一个三位数，问：可以组成多少个不同的偶数？【分析与解答】要写出这个三位数分三步走，第一步我们写受限制的个位只能从2、4、8中选一个放在个位上，有三种方法。

第二步从剩下的4个数字中选一个放在百位上有4种方法，第三步，再从剩下的三个数字中选出1个放在十位上，有3种方法。

所以一共有3×4×3=36个。

【四年级乘法原理问题：难度：中难度】有5张卡片分别写着2、3、4、5、6。

如果允许把6当做9来用，那么从中任意抽取3张卡片组合成三位数。

（1）一共可以组成多少个三位数？（2）一共可以组成多少个三位偶数？【分析与解答】（1）这些三位中分成两类，有6参加和没有6参加的。

有6参加的情况：从其他的4个数中选2个数，所以有C42=6种，每一种和6组成的三位数都是3的全排列共6个数，那么6种组合方式一共会有6×6=36个数，而且6可以当成9看，所以可以组成36×2=72个数。

生活中运用分类计数原理的案例一、加法原理加法原理是做一件事，完成它分成N类，每类方式都可以独立达成目标，把每类的方法数相加就是完成这件事的所有方法数。

也就是“分类相加”。

举个例子：笔试结束之后，为了放松自我打算去六朝古都南京旅行，从你所在的城市到南京，可以选择高铁（有5趟车）、普通火车（有6趟车）、大巴（有4趟车）的交通工具。

那么摆在你面前的有3类方式可供你选择，并且每类方式都可以独立达成你从所在城市到南京这件任务目标。

那么总计的方法数就是把每类方式的方法数加起来即可，即5+6+4=15种方法。

同样生活中处处存在“计数原理”。

例如，你上午全身心备考公务员笔试，“怒刷”一套行测试卷，到中午准备吃一顿大餐，小区门口有面馆3家、盖浇饭4家、牛肉汤5家，那么摆在你面前有3类方式可以供你选择，并且每类方式都可以独立达成你中午吃一顿大餐的任务。

那么总计的方法数就是把每类的方法数加起来即可，即3+4+5=12种。

二、乘法原理乘法原理是做一件事，完成它分成N个步骤，每一步都发生才能达成目标，把每步的方法数相乘就是完成这件事的所有方法数。

也就是“分步相乘”。

举个例子：南京的“土著”居民老A，决定去台湾旅行，但是没有直达台湾的交通工具，并且只能从上海中转去台湾。

从南京到上海有高铁3趟车，从上海到台湾有航班4班。

那么老A要想完成从南京到台湾这件任务，必须分成两步走，第一步先到上海，第二步再到台湾，这时候总计的方法数就是把每步方式的方法数乘起来即可，即种方法。

同样生活中处处存在“计数原理”。

例如，早上起来，准备穿的美美哒出门，而你的衣柜里有上衣4件、裤子6件，鞋3双，那么完成穿衣出门这件任务分成三步走：第一步，穿上衣，可供你选择的有4件；第二步，穿裤子，可供你选择的有6件；第三步，穿鞋，可供你选择的有3双。

那么共计的组合数就是把每步的方法数乘起来即可，即种下面看一个例题，加深对乘法原理的理解：一家餐厅推出工作套餐，包括一份主食、一份小菜和一杯饮料。

二年级奥数：巧数图形体系所属体系板块：第三级上能力培养：分类思考、数形结合思想体系对接：第一级下《有趣的平面图形》第三级下《飞速图形计数》预热知识一、分类法1、打枪法2、恰含法3、分大小【例】下图你能数出多少条线段？【例】下图共有多少个长方形？【解析】分类法（打枪法）【解析】分类数（恰含法）总：4+3+2+1=10（个）总：3+2+1=6（个）答：共10个。

答：共6个。

【例】下图你能数出多少个正方形？【解析】分类数（大小）1个小正方形：4个4个小正方形：1个总：4+1=5（个）答：共5个。

二、巧数图形（分层数）1、总数=每层个数相加每层个数=上层个数+看得见【例】下图中的小方块有几个？【解析】巧数图形（分层数）总：1+4+5=10（个）答：有10个。

课前思考1、正方形如何计数呢？2、小方块如何计数呢？3、如何利用学过的乘法来进行计数？4、一年级秋季要求背的1-10的三角形数还记得吗？数数中的枚举知识点精讲知识点总结一、数字：0、1、2、3、4、5、6、7、8、9（共10个）数：由数字组成的（无数个）二、组数（最高位不为0）1.确定几位数2.确定从哪位开始写注：①“比”后为目标②“相差”：2种情况3.确定顺序（从小到大/从大到小）4.有无特殊要求反序数下降数（上升数）例题精讲1.根据条件组数——有序的排列（例2）你能根据下面的要求，写出所有符合条件的两位数吗？（1）十位上的数字比个位上的数字大2；（2）十位上的数字与个位上的数字相差2。

解析：（1）先确定要题目要求我们写的是两位数，再确定从哪一位开始写——通过比较，发现先写出“比”字后面的，再写前面的思考起来更容易，所以一般我们把“比”字后面的当做是目标。

在这里也就是“个位上的数字”为目标，先写出来个位可能是几，再寻找十位上比个位上大2的数字即可组成我们需要的两位数。

个位上可能是：0、1、2、3、4、5、6、7、8、9。

而十位上最大是9，十位上的数字比个位上的数字大2，所以个位上最大是7。

小学三年级数学分类枚举知识点讲解关于小学三年级数学分类枚举知识点讲解小芳为了给灾区儿童捐款，把储蓄罐里的钱全拿了出来。

她想数数有多少钱。

小朋友，你知道小芳是怎么数的吗?小芳是个聪明的孩子，她把钱按1分、2分、5分、1角、2角、5角、1元等分类去数。

所以很快就数好了。

小芳数钱，用的就是分类枚举的方法。

这是一种很重要的数学思考方法，在很多问题的思考过程中都发挥了很大的作用。

下面就让我们一起来看看它的本领吧!经典试题例[1]下图中有多少个三角形？分析我们可以根据图形特征将它分成3类：第一类：有6个;第2类：有6个;第3类：有3个;解6+6+3=15(个)图中有15个三角形。

例[2]下图中有多少个正方形？分析根据正方形边长的大小，我们将它们分成4类。

第1类：由1个小正方形组成的正方形有24个;第2类：由4个小正方形组成的正方形有13个;第3类：由9个小正方形组成的正方形有4个;第4类：由16个小正方形组成的正方形有1个。

解24+13+4+1=42。

图中有42个正方形。

例[3]在算盘上，用两粒珠子可以表示几个不同的三位数：分别是哪几个数？分析根据两粒珠子的位置，我们可将它们分成3类：第1类：两粒珠子都在上档，可以组成505，550;第2类：两粒珠子都在下档，可以组成101，110，200;第3类：一粒在上档，另一粒在下档，可以组成510，501，150，105，600。

解可以表示101，105，110，150，200，501，505，510，550，600共10个三位数。

例[4]用数字7，8，9可以组成多少个不同的三位数？分别是哪几个数？分析根据百位上数字的不同，我们可以将它们分成三类：第1类：百位上的数字为7，有789，798;第2类：百位上的数字为8，有879，897;第3类：百位上的数字为9，有978，987。

解可以组成789，798，879，897，978，987共6个三位数。

例[5]往返于南京和上海之间的沪宁高速列车沿途要停靠常州、无锡、苏州三站。

分类计数原理与分步计数原理例题分类计数原理与分步计数原理是概率统计学中非常重要的概念，掌握这两个原理对于解决概率问题至关重要。

下面，我们将给出几个例题，帮助大家更好地理解分类计数原理与分步计数原理。

1. 有一张包含26个字母的字母表，从中任意挑选3个字母组成一个三字母单词，问有多少种不同的单词可以组成？解：根据分类计数原理，可以将问题分解成三个步骤。

第一步，从26个字母中选取第一个字母，有26种可能性；第二步，从剩下的25个字母中选取第二个字母，有25种可能性；第三步，从剩下的24个字母中选取第三个字母，有24种可能性。

所以，一共有26×25×24=15,600种不同的三字母单词可以组成。

2. 一支队伍有15名球员，其中有5名前锋、5名中场和5名后卫，教练要选出4名球员组成一支小队，其中至少要有1名前锋、1名中场和1名后卫，问有多少种不同的选择方法？解：根据分步计数原理，可以将问题分解成两个步骤。

第一步，选出必须要有的1名前锋、1名中场和1名后卫，共有5×5×5=125种选择方法；第二步，从剩下的12名球员中选取1名任意位置的球员，共有12种选择方法。

因此，共有125×12=1,500种不同的选择方法。

3. 一家公司有5名男员工和3名女员工，要从中挑选3人组成一组参加会议，其中至少要有一名女员工，问有多少种不同的选择方法？解：根据分步计数原理，可以将问题分解成两个步骤。

第一步，从8名员工中选取必须要有的至少1名女员工，共有C(3,1)=3种选择方法；第二步，从剩下的7名员工中选取2名任意员工，共有C(7,2)=21种选择方法。

因此，共有3×21=63种不同的选择方法。

以上就是几个关于分类计数原理与分步计数原理的例题，希望对大家有所帮助。

在实际应用中，分类计数原理与分步计数原理经常会被使用到，因此需要掌握这两个原理的应用方法。

巧解二类分组计数原理问题马江英１㊀施建昌２(１.浙江省绍兴市柯桥区钱清中学㊀３１２０２５ꎻ２.浙江省绍兴市柯桥区教师发展中心㊀３１２０３０)摘㊀要:计数原理在每年的高考中常考常新ꎬ涉及分组问题的计数原理更是不断翻新ꎬ但若能理解基本概念ꎬ掌握好不同分组的处理方法ꎬ对于化解和克服这类计数原理问题可以事半功倍ꎬ化难为易.本文通过三例讲解来说明如何理解和克服二类分组计数原理问题ꎬ愿助考生一臂之力.关键词:分组ꎻ计数原理中图分类号:Ｇ６３２㊀㊀㊀㊀㊀㊀文献标识码:Ａ㊀㊀㊀㊀㊀㊀文章编号:１００８－０３３３(２０１９)０４－００１５－０２收稿日期:２０１８－１１－１５作者简介:马江英(１９７６－)ꎬ女ꎬ浙江省绍兴人ꎬ本科ꎬ中学一级教师ꎬ从事高中数学解题研究.施建昌(１９７４－)ꎬ男ꎬ浙江省绍兴人ꎬ本科ꎬ中学高级教师ꎬ从事高中数学解题研究.㊀㊀在近几年的高考中ꎬ计数原理是高考考查的重要知识点ꎬ是数学中的重要研究对象之一ꎬ其中的分类加法计数原理㊁分步乘法计数原理是解决计数问题的最基本㊁最重要的方法ꎬ也称为基本计数原理ꎬ它们为解决很多实际问题提供了思想和工具.与分配有关的计数原理问题一直是高考的热点ꎬ从考查的题型上看主要涉及平均分组和不平均分组二类典型问题ꎬ下面从二类典型问题和涉二类问题的综合问题三个方面进行例说.㊀㊀一㊁平均分组问题分组问题中对于平均分组的情况ꎬ有以下结论:对于ｋｍ个不同的元素分成ｋ组ꎬ每组有ｍ个ꎬ则不同的分法有ＣｍｋｍＣｍ(ｋ－１)ｍ Ｃｍｍｋ!.例１㊀为迎接２０２０年东京奥运会ꎬ日本某校举行奥运知识竞赛ꎬ经初选后ꎬ有１２名同学获得参赛资格.这１２名选手要分成４个小组ꎬ每组３人ꎬ那么不同的分组方法有种.解析㊀可以从１２人中依次选出３ꎬ３ꎬ３ꎬ３的方式进行分组ꎬ选法有Ｃ３１２Ｃ３９Ｃ３６Ｃ３３种.但由于这４个组的人数相同ꎬ故是平均分组问题ꎬ应除以组数的阶乘４!综上ꎬ本题的不同分组方法数为Ｃ３１２Ｃ３９Ｃ３６Ｃ３３４!＝１５４００.评注㊀此题是一个平均分组问题ꎬ主要是要注意根据平均分组原则进行解题.平均分组问题的方法是解决有关分组问题的根本方法ꎬ在解题时要注意正确使用.㊀㊀二㊁不平均分组问题对于不平均分组问题ꎬ但其中含有平均分组的成分ꎬ因对其中平均分组的问题ꎬ有以下结论:对于ｋｍ个不同的元素分成ｋ组ꎬ每组有ｍ个ꎬ则不同的分法有ＣｍｋｍＣｍ(ｋ－１)ｍ Ｃｍｍｋ!ꎬ因此在解题时要兼顾.例２㊀将语文㊁数学㊁外语㊁物理㊁化学㊁生物这六本课外辅导读物赠送给某希望工程学校的四名学生阅读ꎬ每人至少一本ꎬ至多２本ꎬ则恰好有一人同时获得物理㊁化学两本书的概率是(㊀㊀).Ａ.１３０㊀㊀㊀Ｂ.１１５㊀㊀㊀Ｃ.２１５㊀㊀Ｄ.４１５解析㊀本题是一个排列组合问题为主的概率问题ꎬ特别要注意分组方法的应用.将六本书分给四位同学ꎬ就是首先将六本书分成四组ꎬ分别为２本㊁２本㊁１本㊁１本ꎬ共有Ｃ２６Ｃ２４Ｃ１２Ｃ１１２!ˑ２!ꎻ符合条件的情况是物理㊁化学两本一组ꎬ则共有Ｃ２４Ｃ１２Ｃ１１２!ꎬ这样恰好有一人同时获得物理㊁化学两本书的概率是Ｃ２４Ｃ１２Ｃ１１２!Ｃ２６Ｃ２４Ｃ１２Ｃ１１２!ˑ２!＝２Ｃ２４Ｃ１２Ｃ２６Ｃ２４Ｃ１２＝２１５ꎬ因此选Ｃ.评注㊀分组问题中对于不平均分组问题的组合数一般不必除以某一个数的阶乘数ꎬ但对于含有平均分组成分的则需要按不平均分组的原则进行计算.㊀㊀三㊁分组综合问题分组综合问题就是指在分组中既含有平均分组的情况ꎬ也含有不平均分组的成分ꎬ在解题时要注意综合考虑ꎬ并特别掌握好各种分组情况的解法和注意事项.５１例３㊀将７个人(含甲㊁乙)分成三个组ꎬ一组３人ꎬ另两组各２人ꎬ不同的分组数为ａꎬ甲㊁乙分到同一组的概率为ｐꎬ则ａꎬｐ的值分别为(㊀㊀).Ａ.ａ＝１０５ꎬｐ＝５２１㊀㊀Ｂ.ａ＝１０５ꎬｐ＝４２１Ｃ.ａ＝２１０ꎬｐ＝５２１㊀㊀Ｄ.ａ＝２１０ꎬｐ＝４２１解析㊀因为总的分组数ａ＝Ｃ３７Ｃ２４Ｃ２２２!＝１０５ꎻ甲㊁乙分在同一组的方法种数有以下两种情况ꎬ(１)若甲㊁乙分在３人组ꎬ有Ｃ１５Ｃ２４Ｃ２２２!＝１５种ꎻ(２)若甲㊁乙分在２人组ꎬ有Ｃ３５＝１０种ꎬ故共有２５种ꎬ所以ｐ＝２５１０５＝５２１ꎬ故选Ａ.评注㊀这是一个分组综合问题ꎬ第一问涉及到平均分组与不平均分组两种情况ꎬ对于每组２人的两组是平均分组ꎬ而３人组就是不平均分组ꎬ这类问题的求解方法要特别注意.第二问主要是对于甲㊁乙分到同一组的情况有两种ꎬ即在３人组或在２人组ꎬ要分类讨论.像这样的分组问题ꎬ特别是不完全平均分组问题ꎬ对于平均分组的问题在计算组合数时要除以相同个数的组数的阶乘数ꎬ而不相同的个数不必计算在阶乘数内.分组问题中的平均分组问题与不平均分组问题处理方法是不一样的ꎬ要特别注意 不平均分组问题 的情况及 含有平均和不平均分组的交汇问题 的情况的区别与联系ꎬ掌握原则是:涉及平均分组时ꎬ在分组时对于分好组的组合数还应除以相同个数的组数的阶乘数.这类问题往往需要注意排列㊁组合计算公式的应用ꎬ并学会将复杂事件分解为若干简单事件进行处理.㊀㊀参考文献:[１]曾元.轻松搞定计数原理难题[Ｊ].黑龙江科技信息ꎬ２０１６(０４):４３.[责任编辑:杨惠民]数形结合在高中数学解题中的运用王永辉(河北省石家庄市平山实验中学㊀０５０４００)摘㊀要:数形结合是高中数学解题中一种重要的解题方法.它能够有效帮助学生打开解题思路ꎬ提高解题速度ꎬ保证解题的准确性.教师在教学过程中ꎬ要把握数形结合的应用方法ꎬ判断数形转化的方式ꎬ适当运用数形结合思想ꎬ加深知识理解ꎬ提高解题效率.关键词:数学ꎻ数形结合ꎻ解题中图分类号:Ｇ６３２㊀㊀㊀㊀㊀㊀文献标识码:Ａ㊀㊀㊀㊀㊀㊀文章编号:１００８－０３３３(２０１９)０４－００１６－０２收稿日期:２０１８－１１－１５作者简介:王永辉(１９７６.３－)ꎬ女ꎬ河北省石家庄市平山县人ꎬ本科ꎬ中学高级教师ꎬ从事高中数学教学研究.㊀㊀一㊁数形结合思想在数学中ꎬ我们学习和研究的知识ꎬ很多都是围绕数与形展开的ꎬ数与形存在着一定的联系ꎬ在部分特定的情况下ꎬ两者能够相互转化ꎬ我们能够在数形转化的过程中ꎬ加强对相关知识的理解与掌握.在高中数学解题过程中ꎬ我们能够通过运用数形结合思想ꎬ将解题思路清晰化ꎬ易化解题过程.数形结合思想ꎬ是在解题过程中ꎬ根据题目给出的条件与要求ꎬ同时思考题目内容的代数含义与几何意义ꎬ两者互相参考和印证ꎬ让相对抽象的代数含义以几何空间的形式直观地表现出来ꎬ或者用精炼的代数语言表达复杂几何空间形式的内容ꎬ让数与形紧密地联系起来.实际的解题中ꎬ数形结合思想ꎬ通常是将相对抽象的数量关系㊁数学语言与比较直观的几何位置㊁图形关系结合起来ꎬ通过代数来解析图形ꎬ或者通过图形来易化对代数关系的理解ꎬ让抽象复杂的形式简单化ꎬ从而更容易找出解题的方法与思路ꎬ提高解题效率.㊀㊀二㊁数形结合思想的应用方法在高中数学解题中数形结合的应用总体来说有三种方法ꎬ分别是以数转形㊁以形转数ꎬ以及数形互转.第一ꎬ以数转形.代数知识的抽象度和复杂度都很６１。

分类计数原理和分步计数原理的理解与简单应用（833200）新疆奎屯市第一高级中学特级教师 王新敞分类计数原理与分步计数原理是计数问题的基本原理，体现了解决问题时将其分解的两种常用方法，即把问题分类解决和分步解决.分类计数原理：做一件事情，完成它可以有n 类办法，在第一类办法中有1m 种不同的方法，在第二类办法中有2m 种不同的方法，……，在第n 类办法中有n m 种不同的方法那么完成这件事共有12n N m m m =+++ 种不同的方法分步计数原理：做一件事情，完成它需要分成n 个步骤，做第一步有1m 种不同的方法，做第二步有2m 种不同的方法，……，做第n 步有n m 种不同的方法，那么完成这件事有12n N m m m =⨯⨯⨯ 种不同的方法两个基本原理的作用：计算做一件事完成它的所有不同的方法种数两个基本原理的区别：一个与分类有关，一个与分步有关；加法原理是“分类完成”，乘法原理是“分步完成”原理浅释：①分类计数原理(加法原理)中，“完成一件事，有n 类办法”，是说每种办法“互斥”，即每种方法都可以独立地完成这件事，同时他们之间没有重复也没有遗漏．进行分类时，要求各类办法彼此之间是相互排斥的，不论那一类办法中的哪一种方法，都能独立完成这件事.只有满足这个条件，才能直接用加法原理，否则不可以.②分步计数原理(乘法原理)中，“完成一件事，需要分成n 个步骤”，是说每个步骤都不足以完成这件事，这些步骤，彼此间也不能有重复和遗漏．如果完成一件事需要分成几个步骤，各步骤都不可缺少，需要依次完成所有步骤才能完成这件事，而各步要求相互独立，即相对于前一步的每一种方法，下一步都有m 种不同的方法，那么完成这件事的方法数就可以直接用乘法原理.可以看出“分”是它们共同的特征，但是，分法却大不相同．两个原理的公式是: 12n N m m m =+++ , 12n N m m m =⨯⨯⨯这种变形还提醒人们，分类和分步，常是在一定的限制之下人为的，因此，在这里我们大有用武之地：可以根据解题需要灵活而巧妙地分类或分步．强调知识的综合是近年的一种可取的现象．两个原理，可以与物理中电路的串联、并联类比．例1 电视台在“欢乐今宵”节目中拿出两个信箱，其中存放着先后两次竞猜中成绩优秀的观众来信，甲信箱中有30封，乙信箱中有20封.现由主持人抽奖确定幸运观众，若先确定一名幸运之星，再从两信箱中各确定一名幸运伙伴，有多少种不同的结果？ 解：分两类：（1）幸运之星在甲箱中抽，再在两箱中各定一名幸运伙伴，有30×29×20=17400种结果；（2）幸运之星在乙箱中抽，同理有20×19×30=11400种结果.因此共有17400+11400=28800种不同结果.点评：在综合运用两个原理时，既要合理分类，又要合理分步，一般情况是先分类再分步. 例2 从集合{1，2，3，…，10}中，选出由5个数组成的子集，使得这5个数中的任何两个数的和不等于11，这样的子集共有多少个?解：和为11的数共有5组：1与10，2与9，3与8，4与7，5与6，子集中的元素不能取自同一组中的两数，即子集中的元素取自5个组中的一个数.而每个数的取法有2种，所以子集的个数为2×2×2×2×2=25=32.点评：解本题的关键是找出和为11的5组数，然后再用分步计数原理求解. 例2中选出5个数组成子集改为选出4个数呢? （答案：C 45·24=80个）.例3 某城市在中心广场建造一个花圃，花圃分为6个部分（如下图）.现要栽种4种不同颜色的花，每部分栽种一种且相邻部分不能栽种同样颜色的花，不同的栽种方法有_____________种.（以数字作答） 解法一：从题意来看6部分种4种颜色的花，又从图形看知必有2组同颜色的花，从同颜色的花入手分类求. （1）②与⑤同色，则③⑥也同色或④⑥也同色，所以共有N 1=4×3×2×2×1=48种；（2）③与⑤同色，则②④或⑥④同色，所以共有N 2=4×3×2×2×1=48种；（3）②与④且③与⑥同色，则共有N 3=4×3×2×1=24种.所以，共有N =N 1+N 2+N 3=48+48+24=120种.解法二：记颜色为A 、B 、C 、D 四色，先安排1、2、3有A 34种不同的栽法，不妨设1、2、3已分别栽种A 、B 、C ，则4、5、6栽种方法共5种，由以下树状图清晰可见.根据分步计数原理，不同栽种方法有N =A 34×5=120. 答案：120点评：①解法一是常规解法，解法二安排4、5、6时又用了分类和列举的方法. ②较复杂的应用题，需确定或设计出完成事件的程序，依需要分类或分步（“类”与“类”之间独立且并列，“步”与“步”相依且连续）而每个程序都是简单的排列组合问题.例4 (1)有红、黄、白色旗子各n 面（n ＞3），取其中一面、二面、三面组成纵列信号，可以有多少不同的信号？(2) 有1元、5元、10元的钞票各一张，取其中一张或几张，能组成多少种不同的币值？(1) 解 因为纵列信号有上、下顺序关系，所以是一个排列问题，信号分一面、二面、三面三种情况（三类），各类之间是互斥的，所以用加法原理：①升一面旗，共有3种信号；②升二面旗，要分两步，连续完成每一步，信号方告完成，而每步又是独立的事件，故用乘法原理，因同色旗子可重复使用，故共有3×3＝9种信号；③升三面旗，有3×3×3＝27种信号．所以共有3+9+27＝39种信号．(2) 解：计算币值与顺序无关，所以是一个组合问题，有取一张、二张、三张、四张四种情况，它们彼此是互斥的，用加法原理．因此，不同币值有＝15(种)点评 (1) 排列、组合的区别在于顺序性，前者“有序”而后者“无序”；加法原理与654321D D C C D C BD 654C B D乘法原理的区别在于联斥性，前者“斥”——互斥独立事件，后者“联”——相依事件．因而有“顺序”决“问题”，“联斥”定“原理”的说法．(2)加、乘原理是排列、组合问题的理论依据，在分析问题和指导解题中起着关键作用，运用加法原理的关键在于恰当地分类（分情况），要使所分类别既不遗漏，也不重复；运用乘法原理的关键在于分步，要正确设计分步的程序，使每步之间既互相联系，又彼此独立．例5 d c b a ,,,排成一行，其中a 不排第一，b 不排第二，c 不排第三，d 不排第四的不同排法共有多少种？解：依题意，符合要求的排法可分为第一个排b,c,d 中的某一个，共3类，每一类中不同排法可采用画“树图”的方式逐一排出：符合题意的不同排法共有9种点评：按照分“类”的思路，本题应用了分类计数原理，为把握不同排列的规律，“树图”是一种具有直观现象的有效做法.分类计数和分步计数两个原理是排列组合计数的理论依据，类与类之间独立且并列，步与步相依且连续；计算关键：审题、判断分类还是分步？（分类相加，分步相乘）、判断排列还是组合？（有序排列、无序组合）.。