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10.1 分类计数原理和分步计数原理

10.1 分类计数原理和分步计数原理

1. 当A=Ø时,只有 只有B={1,2}得1组解 组解; 时 只有 得 组解 2. 当A={1}时,B={2}或{1,2},得2组解 组解; 时 或 得 组解 3. 当A={2}时,B={1}或{1,2},得2组解 组解; 时 或 得 组解
4. 当A={1,2}时,B=Ø或{1}或{2}或{1,2},得4组解 时 或 或 或 得 组解 由加法原理,共有 由加法原理 共有1+2+2+4=9组解 共有 组解 为两个“ 需将两种元素(1与 装 法2: 设A,B为两个“口袋”,需将两种元素 与2)装 为两个 口袋” 需将两种元素 任一元素至少装入一个袋中分两步可办好此事: 入,任一元素至少装入一个袋中分两步可办好此事 任一元素至少装入一个袋中分两步可办好此事 步装“ 可装入 不装入B,也可装入 可装入A不装入 也可装入B不装入 第1步装“1”,可装入 不装入 也可装入 不装入 步装 A,还可既装入 又装入 有3种装法 还可既装入A又装入 种装法; 还可既装入 又装入B,有 种装法 步装“ 同样有 种装法.由乘法原理 同样有3种装法 由乘法原理,共有 第2步装“2”,同样有 种装法 由乘法原理 共有 步装 3 × 3=9 种装法
N=10×10×10×10=104 × × ×
个四位数字号码。 答：可以组成10000个四位数字号码。 可以组成 个四位数字号码 本题的特点 数字可以重复使用，例如0000 特点是 0000， 本题的特点是数字可以重复使用，例如0000， 1111，1212等等 与分步计数原理比较， 等等， 1111，1212等等，与分步计数原理比较，这里完成每 m=10， n=4个步骤 个步骤, 一步的方法数 m=10，有n=4个步骤,结果是总个数
N＝m1 ＋m2 ＋L ＋mn ＝
分步计数原理分类计数原理一ppt课件

分步计数原理分类计数原理一ppt课件

2、分步乘法计数原理：完成一件事，需要分成n个步 骤，做第1步有m1种不同的方法,做第2步有m2种不同 的方法……，做第n步有mn种不同的方法.那么完成这
件事共有N m1 m2 种不m同n 的方法.
分类加法计数原理和分步乘法计数原理的 共同点：回答的都是有关做一件事的不同方法种数的问题 不同点：分类加法计数原理与分类有关，
情境问题
一学生从外面进入教室有多少 种走法？若进来再出去，有多少 走法？
2018年6月14日——7月15日在俄罗斯举行的第21届世界 杯足球赛共有32个队参赛．它们先分成8个小组进行循环 赛，决出16强，这16个队按确定的程序进行淘汰赛后， 最后决出冠亚军，此外还决出了第三、第四名．问一共 安排了多少场比赛？
分类加法计数原理
如果完成一件事情有n类不同方案，在每一类中 都有若干种不同方法，那么应当如何计数呢？
一般归纳：完成一件事情有n类不同方案，
在第1类方案中有 m1种不同的方法，在第2类方 案中有m2 种不同的方法……在第n类方案中有
种不同的方法.那么完成这件事共有 mn
N= m1+m2+… + mn 种不同的方法
注:⑴把完成一件事的所有方法分类. (注意不重不漏)
⑵分类──类类相加. (每类中的每一种方法都独立完成这件事)
例2、在例1中，如果数学也是A大学的强项专业，
则A大学共有6个专业可以选择，B大学共有4个专
业可以选择，那么用分类加法计数原理，得到这
名同学可能的专业选择共有
6+4=10种
这种算法有什么问题？
最后结果，只须一种方法 这件事，只有各个步骤都完成
就可完成这件事。
了，才能完成这件事。
区别3 各类办法是互相独立的。 各步之间是互相关联的。
分类计数原理与分步计数原理-PPT课件_OK

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分类计数原理 与 分步计数原理
1
§10.1 分类计数原理与分步计数原理(1)
分类计数原理：做一件事，完成它可 以有n类办法，在第1类办法中有m1种不 同的方法，在第2类办法中有m2种不同的 方法，……，在第n类办法中有mn种不同 的方法．那么完成这件事共有
N＝m1十m2十…十mn种不同的方法． 因为此计数原理运用加法运算，所以又叫 加法原理。
【引申2】A集合中有4个元素，B集合中有10 个元素，问：可以建立多少个从A到B的映射？
【引申3】运动会上4位同学报名参加10个项目， 每人必须且只能报一项，有多少种报名方法？
6பைடு நூலகம்
【变式1】若用0到9这些数字组成四位数， 则有多少个？
【引申4】现要排一份5天的值班表，总共 有5个人，每天有一个人值班，每个人都可 以值多天班或不值班，但相邻两天不准由 同一个值班，问此值班表共有多少种不同 的排法？
9
2
§10.1 分类计数原理与分步计数原理(1)
分步计数原理：做一件事，完成它需要分 成n个步骤，做第1步有m1种不同的方法， 做第2步有m2种不同的方法，……，做第n 步有mn种不同的方法．那么完成这件事共 有 N＝m1 m2…mn种不同的方法． 因为此计数原理运用加法运算，所以又叫 乘法原理。
你能再举几个生活中的需要用到分类或分步 计数原理的问题吗？
3
【例1】温州中学高一（11）班有男生30人， 女生24人，要从中选一人参加学校会议，问： 总共有多少种选法？
【变式1】若要分别从男，女生中各选一 人参加学校会议，问：有多少种选法？
【变式2】若要分别从男生中选两人，女 生中一人参加学校会议，问：有多少种选 法？
4
【变式3】若市级会议和学校会议同时召开 （即参加市级会议和学校会议的不能是同一 个人），若要从全班同学中选一人参加市级 会议，又要分别从男女生中各选一人参加学 校会议，问：有多少种选法？
分类计数原理和分步计数原理

分类计数原理和分步计数原理

相互独立的步骤是指一个步骤的结果不会影响另一个步骤的结果 。
分步计数原理的核心思想是“分步”，即根据事件的某些特征将 其分成不同的步骤，然后分别计算每一步中的方法数，最后将这 些方法数相乘得到复杂事件的总方法数。
两者关系与区别
关系
分类计数原理和分步计数原理都是解决复杂事件计数问题的方法，它们的核心思想都是将复杂事件进行分解，然 后分别进行计算。
04 计数原理在算法中的应 用
动态规划算法
最优子结构
动态规划算法通过把原问题分解为若干个子问题，并求解子 问题的最优解，进而得到原问题的最优解。这种通过子问题 的最优解来推导原问题最优解的方法体现了分类计数原理的 思想。
状态转移方程
动态规划算法中，通常定义一个状态转移方程来描述子问题 之间的关系。这个方程可以帮助我们计算出每个子问题的最 优解，并最终得到原问题的最优解。状态转移方程的构建和 求解过程体现了分步计数原理的思想。
路线规划问题
从起点到终点需要经过三个城市，每两个城市之间都有多 条路线可选。根据加法原理和乘法原理，可以计算出从起 点到终点所有可能的路线组合数。
彩票选号问题
一张彩票需要选择7个号码，每个号码可以是1~49中的任 意一个。根据乘法原理，共有 $49 times 48 times 47 times 46 times 45 times 44 times 43 $ 种不同的选号方 式。
组合问题
排列与组合的区别
排列是把元素按顺序排列，而组合是 把元素无顺序地组合起来。
从n个不同元素中取出m个元素（ m≤n）的所有排列的个数，叫做从n 个元素中取出m个元素的组合数。
概率统计问题
古典概型
如果每个样本点发生的可能性相 等，则事件A发生的概率等于事件 A包含的样本点个数与样本空间包
分类计数原理与分步计数原理PPT优秀课件5

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个计数原理。
结束
2）在实际测试中，程序 员总是把每一个子模块看 成一个黑箱，即通过只考 察是否执行了正确的子模 块的方式来测试整个模块。18条子执模行块路1 径 这样，他可以先分别单独 测试5个模块，以考察每 个子模块的工作是否正常。 总共需要的测试次数为：
开始
子模块2 45条执行路径
A
子模块3 28条执行路径
完成：第1步是从开
始执行到A点；第2步 是从A点执行到结束。
子模块1 18条执行路径
子模块2 45条执行路径
子模块3 28条执行路径
而第步可由子模块1
A
或子模块2或子模块3
来完成；第二步可由
子模块4或子模块5来 完成。因此，分析一
子模块4 38条执行路径
子模块5 43条执行路径
条指令在整个模块的
执行路径需要用到两
分析:用100个位置表示由100个碱基组成的长链，每个位置都可以从A、
C、G、U中任选一个来占据。
第1位 第2位 第3位
第100位
……
4种
4种
4种
4种
解：100个碱基组成的长链共有100个位置，在每个位置中，从A、C、G、U
中任选一个来填入，每个位置有4种填充方法。根据分步计数原理，共有
4 4 4 4＝4100种不同的RNA分子.
例6.随着人们生活水平的提高，某城市家庭汽车拥有量迅速增 长，汽车牌照号码需要扩容。交通管理部门出台了一种汽车牌 照组成办法，每一个汽车牌照都必须有３个不重复的英文字母 和３个不重复的阿拉伯数字，并且３个字母必须合成一组出现， ３个数字也必须合成一组出现，那么这种办法共能给多少辆汽 车上牌照?
例1. 五名学生报名参加四项体育比赛，每人 限报一项，报名方法的种数为多少？又他们争 夺这四项比赛的冠军，获得冠军的可能性有多 少种？
分类计数原理与分步计数原理课件

分类计数原理与分步计数原理课件


在实施过程中，需要密切监控方案的执行 情况，及时调整和优化方案，以确保达到 预期的效果。
混合应用的优势与挑战
优势
分类计数原理和分步计数原理的混合应用可以更好地解决复杂的问题，提高解决问题的效率和准确性 。同时，这种应用方式可以更好地满足实际需求，提高生产效率、项目管理和物流管理水平。
挑战
在混合应用中，需要充分考虑各种因素，包括分类和分步的边界、数学模型的建立、实施方案的制定 和实施与监控等。这些因素都需要综合考虑，才能达到最佳的应用效果。同时，这种应用方式也需要 较高的专业知识和技能水平，需要具备丰富的实践经验和管理能力。
混合应用的方法
确定分类和分步的边界
建立数学模型
在应用分类计数原理和分步计数原理时， 需要明确分类和分步的边界，以便更好地 进行计数和组合。
通过建立数学模型，可以更好地描述分类 计数原理和分步计数原理的混合应用，并 进行优化和控制。
制定实施方案
实施与监控
根据分类和分步的边界以及数学模型，制 定具体的实施方案，包括具体的操作步骤 、时间安排、资源分配等。
实例三
一个骰子有6个面，投掷3次骰子， 每次都有6种可能的结果，那么投掷 3次骰子有多少种不同的结果？
分类计数原理的应用
应用一
在生产过程中，如果各个工序之 间相互独立，且每道工序都有n 种不同的加工方法，那么完成整 个产品需要的方法数为n的乘积
。
应用二
在排列组合问题中，如果需要完 成多个独立任务，且每个任务都 有不同的方法数，那么完成这些 任务的方法数为各个方法数的乘
总结词
互斥事件的乘法原则
详细描述
分类计数原理主要应用于多个独立事件，其中每个事件的发生都是互斥的，即一个事件发 生后，其他事件就不会发生。在这种情况下，完成这些事件的种数就是各个事件种数的乘 积。
第十章 第一节 分类加法计数原理与分步乘法计数原理 课件(共30张PPT)

第十章 第一节 分类加法计数原理与分步乘法计数原理 课件(共30张PPT)

主，难度将会变小．
学科素养： 数学建模、数学抽象．
知识·分步落实
⊲学生用书 P165
两个计数原理
分类加法计数原理
分步乘法计数原理
条 完成一件事有两__类__不__同__方__案__，在第 1 完成一件事需要两__个__步__骤__，做
件 类方案中有 m 种不同的方法，在第 2 第 1 步有 m 种不同的方法，做
法，所以由分步乘法计数原理得直线有 5×4＝20(条).]
4．书架的第 1 层放有 4 本不同的语文书，第 2 层放有 5 本不同的数学书， 第 3 层放有 6 本不同的体育书．从第 1，2，3 层分别各取 1 本书，则不同的 取法种数为________．
解析： 由分步乘法计数原理知，从第 1，2，3 层分别各取 1 本书，不 同的取法共有 4×5×6＝120(种).
(2)区域 3 有 4 种选法，区域 1 有 3 种选法，区域 2 有 2 种选法，区域 4 从区域 1，2 所选颜色中选有 2 种选法，区域 5 可选剩下的一种和区域 1，2 所选被区域 4 选剩下的一种，有 2 种选法，共有 4×3×2×2×2＝96 种．
答案： 144；96
用分步乘法计数原理解决问题的三个步骤
类方案中有 n 种不种的方法
第 2 步有 n 种不同的方法
结 完成这件事共有 N＝m__＋__n_种不同的 完成这件事共有 N＝_m_·_n_种不
论 方法
同的方法
[注意] 分类的关键在于要做到“不重不漏”；分步的关键在于要正确 设计分步的程序，即合理分类，准确分步．在分类与分步之前要确定题目中 是否有特殊条件限制．
1．分类加法计数原理中，完成一件事的方法属于其中一类，并且只属于 其中一类．
2．分步乘法计数原理中，各个步骤相互依存，步与步之间“相互独立， 分步完成”．
分类与分步计数(优秀课件)

分类与分步计数(优秀课件)

果和1个橙子的概率是多少？
综合练习题
题目1
一个袋子中有10种不同物品，每种物品有4个，随机取出6 个物品，问取到3种不同物品的概率是多少？
题目2
一个盒子中有12个小球，每个小球上写有一个数字（1-12），随机取出7 个小球，问取到3个小球的数字是连续整数的概率是多少？
题目3
一个篮子里有8种不同的糖果，每种糖果有5个，随机取出5 个糖果，问取到4种不同糖果的概率是多少？
概念
分类计数原理是计数原理中的基础原理，它强调将问题按照一定的标准进行分类 ，然后分别对每一类进行计数，最后将各类的方法数相加得到总的方法数。
应用场景
01
组合数学
分类计数原理在组合数学中有着广泛的应用，如在计算组合数、排列数
等时常常用到分类计数原理。
02
概率论
在概率论中，分类计数原理可以用于计算多个事件同时发生的概率，即
将每个事件发生的概率相加得到总概率。
03
计算机科学
在计算机科学中，分类计数原理可以用于设计算法和数据结构，例如在
排序算法中，可以根据不同的排序规则将问题分成不同的类别，然后分
别对每一类进行排序。
与其他计数原理的关联
分步计数原理
分类计数原理和分步计数原理是两个密切相关的计数原理。分步计数原理强调将问题分成若干个步骤进行解决， 每一步都有一定的方法数，最终的方法数是各步方法数的乘积。分类计数原理和分步计数原理在实际应用中常常 是相互关联的。
分类与分步计数(优秀课件)
目录
• 分类计数原理 • 分步计数原理 • 实例解析 • 练习与思考
01 分类计数原理
定义与概念
定义
分类计数原理也称为加法原理，是指完成一件事情，需要分成$n$个类，第一类有 $n_1$种不同的方法，第二类有$n_2$种不同的方法，...，第$n$类有$n_n$种不同 的方法，则完成这件事情共有$n_1+n_2+...+n_n$种不同的方法。
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第 2步 ,从剩 2个 下 5 字 的1 母 个 ,放 中 在 2位 选 ,有 第 2种 5 选 ; 法 第 3步 ,从剩 2个 下 4 字 的1 母 个 ,放 中在 3位 选 ,有 第 2种 4 选 ; 法 第 4 步 ,从 1个 0 数 1 个 ,放 字4 在 中 位 ,有 1第 选 种 0 ;选
例1 由 0,1,2,3,4,5,6 这 7 个数字可以组成多少个无 重复数字的四位偶数？
【思路启迪】 要完成的“一件事”为“组成无重复数字 的四位偶数”，所以首位数字不能为 0 并且末位数字必须是偶 数数字，且组成的四位数中的四个数字不重复，因此应先分类， 再分步．
【解】 第 1 类，当首位数字为奇数数字即取 1,3,5 中的 任一个，末位数字可取 0,2,4,6 中的任一个，百位数字不能取 与这两个数字重复的数字，十位数字则不能取与这三个数字重 复的数字．
根据分步乘法计数原理，有 3×4×5×4＝240 种取法．
第 2 类，当首位数字为偶数数字即 2,4,6 中任一个，例如 4，则末位数字可以是 0,2,6 中的任一个，百位数字不能取与这 两个数字重复的数字，十位数字则不能取与这三个数字重复的 数字．
根据分步乘法计数原理，有 3×3×5×4＝180 种取法． 根据分类加法计数原理，共可以组成 240＋180＝420 个无 重复数字的四位偶数．
1.1分类加法计数原理
与 分步乘法计数原理
（第二课时）
用分类加法计数原理和分步乘法计数原理解决计数问题 的方法．
用两个计数原理解决计数的问题时，最重要的是开始计算 之前要进行仔细分析——需要 分类 还是 分步 ．
分类要做到“ 不重不漏 ”，分类后再分别对每一类进行 计数，最后用分类加法计数原理 求和 ，得到总数．
变式训练1 由数字 0、1、2、3、4、5 可组成多少个 没有重复数字且不能被 5 整除的四位数字？
解：组成四位数可分四步，第一步排千位有 5 种，第二步 排百位有 5 种，第三步排十位有 4 种，第四步排个位有 3 种．由 分步乘法计数原理得共有四位数 5×5×4×3＝300(个)
同理，个位数为 0 的四位数有 5×4×3＝60(个)，个位数 为 5 新,规 牌定 照 可 以2类 分,即为字 母 组 合 在 左 和在 字右 母 .确组 定合 一 个 牌 照 的 字 母 和 数 字 6个 可步 以.骤 分
解 ： 将 汽 车 牌 照 分 为 2 类 ,一 类 字 母 组 合 在 左 ,另 一
类 的 字 母 组 合 在 右 . 字母组合在,分左 6个时步骤确定一个 照汽 的车 字母和数 : 字 第 1 步 ,从 2个 6 字 1 个 母 ,放中 在 ,有 2 选 首 种 6 位 ;选
2.对于有特殊元素或特殊位置的问题，可优先安排。
要点一 用计数原理解决“组数问题”
对于组数问题的计数，明确特殊位置或特殊数字，是我们 采用“分类”还是“分步”的关键．一般按特殊位置(末位或 首位)由谁占领分类，分类中再按特殊位置(或特殊元素)优先的 策略分步完成；如果正面分类较多，可采用间接法求解．
第 5步 ,从剩 9个 下数 的 1 个 字 ,放 中 在 5位 选 ,有 第 9
种选 ; 法 第 6 步 ,从剩 8个 下 数 的 1 个 字 ,放中 在 6 位 ,有 选 8 第
种选 . 法 根据分步乘法计 ,字数母原组理合在左的牌
有262524109811232000个.
同理 ,字母组合在右的有牌 112照3也 200个 0 . 所,共 以能 11给 232 10 10 20 32202040640
∴不能被 5 整除的四位数共有 300－48－60＝192(个).
要点二 用计数原理解决“ 选（抽）取”问题 例2
变式训练2
要点三 用计数原理解决“涂色(种植)” 问题
涂色(种植)问题是计数原理应用中的典型问题，涂色(种植) 本身就是策略的一个运用过程，解决区域涂色(种植)问题时， 为便于分析问题，应先给区域(种植的品种)标上相应序号，然 后按涂色(种植)的顺序分步或颜色(种植的品种)当选情况分 类，最后利用两个计数原理求解．
例3 如图，要给地图 A，B，C，D 四个区域分别 涂上 3 种不同颜色中的某一种，允许同一种颜色使用多次，但 相邻区域必须涂不同的颜色，不同的涂色方案有多少种？
【思路启迪】 根据地图的特点确定涂色的顺序，再进行 计算．
【解】 按地图 A，B，C，D 四个区域依次涂色，分四 步完成：
第一步：涂 A 区域，有 3 种选择； 第二步：涂 B 区域，有 2 种选择； 第三步：涂 C 区域，由于它与 A，B 区域颜色不同，有 1 种选择； 第四步，涂 D 区域，由于它与 B，C 区域颜色不同，有 1 种选择． 所以根据分步乘法计数原理，得到不同的涂色方案种数共 有 3×2×1×1＝6.
分步要做到“ 步骤完整 ”——完成了所有步骤，恰好完 成任务，当然步与步之间要相互独立，分步后再计算每一步的 方法数，最后根据分步乘法计数原理，把完成每一步的方法 数 相乘 ，得到总数．
情境引例入2 随 着 人 们 生 活 水 平 的 提 高 , 某 城 市 家 庭汽车拥有量迅速增长,汽车牌照号码需要 扩 容 .交 通 管 理 部 门 出 台 了 一 种 汽 车 牌 照 组 成办法,每一个汽车牌照都必须有 3 个不重 复的英文字母和 3个不重复的阿拉伯数 字, 并 且 3个 字 母 必 须 合 成 一 组 出 现 ,3个 数 字 也 必 须 合 成 一 组 出 现 .那 么 这 种 办 法 共 能 给 多 少辆汽车上牌照?
辆汽车 . 上牌照
升华提高：
很多实际问题需要综合应用两个基本计数原理方能解决，此 时可根据需要先分类再分步，或者先分步再分类。
探究成果
1.应用两个基本计数原理解题时，首先必须弄明白怎 样就能“完成这件事”？其次要做到合理分类，准确分步， 按元素的性质分类，按事件发生的过程分步是计数问题的 基本方法。