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十字相乘法解方程课件

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因式分解法解一元二次方程——十字相乘法PPT课件

因式分解法解一元二次方程——十字相乘法PPT课件

3分钟练习
x
-1
x
-7
-x+（-7x）=11x
x
-2
x
-3
-2x+（-3x）=-5x
x
-1
x
-10
-x+（-10x）=-11x
小结2： 1分钟板书小结 当常数项是正数时，
分解的两个数必同号，即 都为正或都为负，
交叉相乘之和为一次项。
第9页/共22页
（7）X2+6x-7=0
解：（x-1)(x+7）=0 x-1=0或x+7=0
）
x
2+
4
x
+
3
=
0
解：（x+1)(x+3）=0 x+1=0或x+3=0 x1=-1,x2=-3
x
1
x
3
x+3x=4x
x
1
X +7x+6=0 （2） 2 解：（x+1)(x+6）=0 x+1=0或x+6=0 x1=-1,x2=-6
x
6
x+6x=7x
x
1
解：（x+1)(x+10）=0 x+1=0或x+10=0 x1=-1,x2=-10
-2x+5x=3x
（10）X2-6x-7=0 x 1
解：（x+1)(x-7）=0 x+1=0或x-7=0
x
-7
x1=-1,x2=7
x+（-7x）=-6x
X -5x-6=0 （11） 2 解：（x+1)(x-6）=0
x
1
x+1=0或x-6=0

人教版九年级数学课件《一元二次方程的解法(五)十字相乘法》

人教版九年级数学课件《一元二次方程的解法(五)十字相乘法》
3. 检 验 确 定，横 写因 式。
当一个二 次三 项 式 满足上述特征就可以用这样的方法进行分解这种 方法叫做 十字相乘法．
知识精讲
【 人教版数学九年级上册】
(1) x2+ 1 4 x + 4 5 = 0
(2) x 2 -2 x -1 5 = 0
像上述特征的一元二次方程可以十字相乘法来解. （初中阶段我们只 对二次项系数为1或 -1的一元二次方程考虑采用十字相乘法求解)
第21章 十字相乘法一元二次方程的解法 （补充方法）
【 人教版数学九年级上册】
学习目标
·理解用十字相乘法解方程的依据 ·会用十字相乘法解—些特殊的—元二次方程
复习回顾
【 人教版数学九年级上册】
我们已经学过了几种解一元二次方程的方法？
1.直 接开平方法 2.配方法
3.公式法
4.分解因式法
【 人教版数学九年级上册】
典例解析
例2 : 解下列方程： (1) - a 2 + 1 3 a - 4 2 = 0
(3) - x2 - 2 x + 15 = 0
【 人教版数学九年级上册】
(2) - y2 + 3 y + 18 = 0
(4) - x 2+ 1 3 x - 1 2 = 0
【 人教版数学九年级上册】
典例解析
例3 : 解方程 ( 2x+1 ) 2+4 ( 2 x + 1 ) -5=0 .
根据等式的性质，反过来也是成立的：
x2 +(a+b)x+ab = (x+a)(x+b)
【 人教版数学九年级上册】
知识精讲
深入解析
x2+ (a + b)x + ab = (x + a)(x + b)

十字相乘法解法综合课件

十字相乘法解法综合课件
在寻找因子时，尽量选择 简单的数字作为因子，以 减少计算的复杂度。
避免大数相乘
在计算过程中，尽量避免 大数的相乘，可以使用因 式分解或分配律等方法简 化计算。
利用分配律
在计算过程中，可以利用 分配律简化计算，如 $(a+b)(c+d)=ac+ad+bc +bd$。
05
练习与巩固
基础练习题
总结词
掌握基本概念和步骤
原理
基于一元二次方程的根与系数的关系，通过将方程左侧的二 次项和常数项分别分解为两个一次项的乘积，使得左侧成为 两个一次项的乘积之和，右侧为零，从而找到方程的根。
适用范围
01
只适用于一元二次方程，且系数 必须满足一定的条件才能进行因 式分解。
02
对于某些特殊形式的一元二次方 程，如形如 $ax^2+bx=0$ 的方 程，可以直接应用十字相乘法求 解。
历史背景
起源
十字相乘法最早可以追溯到中国古代 的数学著作《九章算术》，但直到明 朝时期的《算法统宗》才得到了较为 详细的阐述和应用。
发展
现代应用
在现代数学教育和研究中，十字相乘 法仍然是解决一元二次方程的重要工 具之一，尤其在代数、几何等领域中 有着广泛的应用。
随着数学的发展，十字相乘法逐渐成 为了解一元二次方程的重要方法之一 ，并在多个数学领域得到广泛应用。
举例
对于方程 $2x^2 - 5x + 3 = 0$，我们可以找到因数 $2$ 和 $3$，它 们的和为 $-5$，乘积为 $6$，满足条件，所以原方程可以分解为 $(2x - 3)(x - 2) = 0$，解得 $x = frac{3}{2}$ 或 $x = 2$。
分式方程的化简

十字相乘法解一元二次方程课件PPT

十字相乘法解一元二次方程课件PPT

由于父母没有对他过多雕琢,刘峻琳属于那种没有什么特长 变的学式生题。双休日,其他同学都在上各种补习班,只有我是自由 的,爸爸妈妈也不管我,让我有充裕的时间去参加体育运动或 者看课外书。看课外书是我最大的爱好,在阅读课外书的时候, 对于一般内容,我会加快阅读速度,而对于那些经典好句好段, 我就会慢慢品读,一页读几分钟。班主任杨老师说:“刘峻琳 的每篇作文从选材到立意都很大气,其立足点都不是个人、家 庭,而是从民族、国家等角度去写,这都与他的阅读习惯有关。
01
读开头、读领头句、读结尾。
2.扫描式阅读。即阅读时视线要垂直移动,
02
瞄准重要字词即可。比如在阅读“那么,有
没有一种快速阅读的方法呢?”这句话时,
只要抓住“有学识快速阅读”这两个关键
词语,就理解这个句子的基本意思了
快速阅读有三种表现方式
3.组合式阅读,即群读。要想做到群读需要经过不
断地训练才能达到要求。我们可以找一篇通俗易懂
变式题
刘峻琳同学的阅读习惯非常好,有快读有慢读, 既保证了一定的阅读速度,同时也没有落下重点。 下面我们来介绍另外一种快速阅读法。这种方法 由美国教育学家比尔·科斯比和前苏联著名学者 奥库兹涅佐夫等人提出,并在实践中不断丰富和 完善。
快速阅读有三种表现方式
1.跃式阅读。读书时不要逐句逐段,而是跳跃式的,
比如形如x2+(a+b)x+ab＝0的方程，可以将其变形为(x+a)(x+b)=0后
再求解。
1
a
1
b
变式题
具备快速阅读的能力
变式题
初中生要掌握快速阅读的能力,这对 提高阅读效率是非常必要的。 高效学习经验 阅读书籍有快有慢

高中数学课件-十字相乘法解一元二次方程

高中数学课件-十字相乘法解一元二次方程
一元二次不等式及其解法
你学过一元二次方程的哪些解法?
开平方法
配方法
公式法
因式分解法
观察思考 1
(1)(x 2)(x 3) ___________ (2)(x 4)(x 5) __________
由此你能将下面的多项式分解因式吗？
x2 10 x 21 ___________
x2 x 20 _______________
先胜
解下列方程
为快

(1).x 1(5x 4) 0; (2).3xx 2 4 2x;
(3).(2x 1)2 4(2x 1); (4).(x 1)(x 2) 12
观察思考 2
怎样求不等式 x2 5x 0 的解呢？
像 x2 5x 0 这样只含一个未知 数，并且未知数最高次数为2的不等式， 称为一元二次不等式.
(x 5)(x 2) 0 x 5 0或x 2 0 x1 5, x2 2
x2 2x 8 0 (x 2)(x 4) 0 x 2 0或x 4 0 x1 2, x2 4
例题欣赏
练习 解下列方程 (1)x2 3x 2 0
(2)x2 3x 2 0
(3)x2 x 2 0 (4)x2 x 2 0
归纳总结
十字相乘法分解因式:
1 a
x2+(a+b)x+ab= (x+a)(x+b). 1 b
十字相乘法解一元二次方程：
x2+(a+b)x+ab=0
(x+a)(x+b)=0 (x+a)=0 或(x+b)=0
十字相乘法
解下列方程
1. x2 3x 10 0 2. (x 3)(x 1) 5

十字相乘法PPT课件

十字相乘法PPT课件
用十字ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ乘法解一元二次方程
学习目标 : 理解并学会熟练运用十字相乘法进行因
式分解，解一元二次方程 .
学习重点 : 准确应用十字相乘法进行因式分解并进
行适当变式练习。
一、温故知新、自主学习
1．类比：
多位数乘以多位 数

125
x +7
× 13
× x -1

3 75
-x -7
③求二次函数y=kx2+x－k+1（k≠0，k 为常数）图象与x轴的交点坐标.
五、自我评价:
1，本节课我主要是学习了： 2，仍感觉有困惑 ： 3，我认为我这一节课的表现： （A很棒 B一般 C没发挥出来D还需力）. 4，下节课我打算：

=（x+a）（x+b）
其中 p=a+b ，q=ab
二、探究新知、合作交流
1．自主探究：（十字相乘法解一元二次方程） (1)X2+4X+3=0 (2)X2-7X+12=0
(3) X2-7X-30=0
(4)
X2+2X+
3 4
=0
2．合作交流：（十字相乘法法解一元二次方程） (1)3X2-5X+2=0 (2)12y2-5y-2=0
1 2 5
x2 +7x
16 2 5
X2 +6x -7
（x+7 ）（x-1）= X2 +6x -7
过程的对称：
2．计算：
（x+1）(x+2)= （x+3）(x-5)=
3．因式分解： X2-7X+12=

因式分解(十字相乘)课件


探索因式分解在其他学科中的应用， 如物理、化学等。
感谢您的观看
THANKS
十字相乘法是一种用于因式分解的数学方法，通过将一个多项式分解为两个因式的 乘积，从而简化问题。
它基于二次多项式的根与系数之间的关系，通过构造一个交叉相乘的方程组来找到 因式。
这种方法在代数、方程求解和数学竞赛等领域有广泛应用。
十字相乘法的应用
01
02
03
04
解决一元二次方程
通过十字相乘法，可以将一元 二次方程转化为两个一次方程
通过实例分析和练习，掌握十 字相乘法的运用。
结合实际问题和数学模型，加 深对因式分解的理解和应用。
课程安排
介绍因式分解的概念和意义 。
讲解因式分解的基本方法和 步骤。
02
01
重点介绍十字相乘法的原理
和应用。
03
通过实例演示和练习，巩固 所学知识。
04
05
总结课程重点和难点，提出 学习建议。
02
因式分解的基本概念
因式分解的步骤
总结词
因式分解通常按照一定的步骤进行。
详细描述
因式分解通常按照以下步骤进行：首先观察多项式的各项，尝试将其转化为整式的积的形式；然后提取公因式； 最后利用公式法或分组法进行因式分解。在每一步中，都需要仔细分析多项式的各项，并灵活运用数学规则和技 巧。
03
十字相乘法
什么是十字相乘法
因式分解(十字相乘)ppt 课件
目录 CONTENT
• 引言 • 因式分解的基本概念 • 十字相乘法 • 因式分解的实例解析 • 练习与巩固 • 总结与回顾
01
引言
课程目标
掌握因式分解的基本 原理和方法。

十字相乘ppt课件免费


中等难度实例解析
总结词
中等难度实例涉及稍微复杂的因式分 解和乘法运算。
详细描述
例如，将3x^3 - 9x^2 + 6x分解为(x - 2)(3x^2 - 3x + 2)，这个过程需要 更深入的理解因式分解的概念，并掌 握更复杂的乘法运算。
高难度实例解析
总结词
高难度实例涉及复杂的因式分解和乘法运算，需要较高的数学技巧。
教师可设计多样化的练习题目，让学生充分练习 和掌握十字相乘法的技巧，提高解题能力。
教师还应关注学生的反馈和表现，及时给予指导 和帮助，促进学生的学习进步。
THANKS FOR WATCHING
感谢您的观看
总结词
求解一元一次方程
详细描述
最后，我们将交叉相乘的结果相加或相减，得到一元一次方程的解。如果一元一次方程有两个解，则原多项式方 程也有两个解。
04 实例解析
简单实例解析
总结词
简单实例主要涉及基本的因式分解和 乘法运算。
详细描述
例如，将2x^2 - 4x + 2分解为(2x 2)(x - 1)，这个过程需要理解因式分解 的概念，并掌握基本的乘法运算。
= b，则这两个数就是方程的两个根。
通过这种方法，我们可以将原方程转化为两个一元一 次方程，从而求解出方程的根。
这种方法的关键在于找到合适的 m 和 n，使得它们满 足上述条件。
Hale Waihona Puke 原理的数学表达如果 ax^2 + bx + c = 0 是我们要解的 一元二次方程，那么我们可以通过以下 步骤找到它的根
对学生的建议
学生应熟练掌握十字相乘法的步骤和技巧，通过多练习来提高自己的解题能力。
在学习过程中，学生应积极思考和探索，尝试不同的方法和思路，以培养自己的数 学思维和创新能力。

《分解因式-十字相乘法》ppt课件


解：1、a= -10 b= -2
2、 a、b
m=(a+b)
1、-10 -9
-1、10 9
2、-5 -3
-2、5 3
例题 (1)2x2+5x+2 (2)3x2+5x-12
解：(1)原式=(2x+1)(2x+2) (2)原式=(3x-4)(x+3)
练习：因式分解 （1）6x2-5x-25 （2）8x2-22x+15
请大家记住公式
十字相乘法公式：
x2 (a b)x ab (x a)(x b)
练一练：将下列各式因式分解
(1)x2+3x+2
(3)x2+x-6
(2)x2-6x+8
(4)x2-x-12
解：(1)原式=(x+1)(x+2) (2)原式=(x-2)(x-4)
(3)原式=(x-2)(x+3) (4)原式=(x+3)(x-4)
利用十字交叉线来分解系数， 把二次三项式分解因式的方 法叫做十字相乘法
十字相乘法的步骤：
（1）因式分解竖直写; （2）交叉相乘验中项; （3）横向写出两因式;
提问：形如x2＋px＋q的二次三项式满足什么条件时可以 用十字相乘法因式分解？
如果二次三项式x2+px+q中的常数项系数q能分解成两个 因数a、b的积，而且一次项系数p有恰好是a、b的和，那 么x2+px+q就可以用十字相乘法因式分解。
(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab
反过来，得 x2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)

十字相乘法(经典教学课件)


=(m+n-2)(m+n-3)
想一想:
把下列各式分解因式 (3) y2-2y(x-1)-15(x-1)2
=[y+3(x-1)][y-5 (x-1)] =(y+3x-3)(y-5 x+5)
想一想:
(4)
2 2 a -12a(b+c)+36(b+c)
=[a-6(b+c)][a-6 (b+c)]
2 =(a-6b-6c)
小结: 由多项式乘法法则
(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab
反过来用就得到一个因式分解的方法
∴x2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)
x x
a
b
这个方法也称为十字相乘法
即:只要一个形如x2+mx+n 的二次三项式的常数项可以 分解成两个有理数相乘,且这 两个有理数的和恰好等于一 次项的系数,这个多项式就能 用十字相乘法分解因式
a1a2 x a1c2 a2c1 x c1c2
2
a1 x
c1
a2 x
所以原式可以分解为：a
c2
1 x c1 a2 x c2
例 因式分解：2x2-3x-2 解原式=(x-2)(2x+1)
x 2x
-2
+1
因式分解：
6 x 7 xy 5 y
2
2
2 x y 3x 5 y
a 2 3a 4
a -4 a +1 -4a+a
反之
a 3a 4 (a 4)(a 1)
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  3. 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
提示：当二次项系数为-1时 ，先提出负号再因式分解 。
练习一选择题:
1. 分解a 2 a 12的结果为( B )
A. (a - 3)(a 4); B. a 3a 4; C. a 6a 2; D. a 6a 2;
2. 分解x 2 2x 8的结果为 ( A )
A. a 4a 2; B. a 4a 2; C. a 4a 2; D. a - 4a 2;
解 : 1.5x2 4x 0, 分解因式法解一元二次方程的步骤是:
x5x 4 0.
x 0,或5x 4 0.
x1
0;
x2
4 5
.
2.(x 2) xx 2 0,
x 21 x 0.
1.化方程为一般形式;
2. 将方程左边因式分解;
3. 根据“至少有一个因式为 零”,转化为两个一元一次方程.
2x 2x 3 0
3x 5x 4 0
x 5 0, x 4 0
x1 5, x2 4
4x 4x 2 0
x 2 0, x- 3 0 x 4 0, x 2 0
例3把a2 7a 10分解因式;
解:原式= (a+5) (a+2)
a
5
a
2
5a+2a=7a
x2+7x+12=（x+3）（x+4） x2-x-6=（x+2）（x-3）
13 14
12 1 -3
练一练： 将下列各式分解因式
x2 5x 6
x2 x 6
x2 7x 12
x2 3x 10
x2
小结：用十字相乘法把形如
练习：在 横线上 填 、符号
__ __ x2 4x 3 =（x + 3）（x + 1）
-__ __ x2 2x 3 =（x
3）（x + 1）
- - __ __ y2 9y 20 =（y
4）（y 5）
_-_ __ t2 10t 56=（t
4）（t + 14）
当q>0时，q分解的因数a、b( 同号 )且（a、b符号）与p符号相同
4. 分别解两个一元一次 方程，它们的根就是原方
x 2 0,或1 x 0. 程的根.
x1 2; x2 1.
十字相乘法因式分解
1:计算:
(1). (x+2)(x+3);
(2). (x+2)(x-3);
解:原式 x2 2x 3x 23 解:原式 x2 -3x 2x 2(-3)
十字相乘法解方程
回顾 因式分解有哪些方法？ 1、提公因式法
ma mb mc ma b c
2、公式法
a2 b2 a ba b
a 2 2ab b2 a b2
a 2 2ab b2 a b2
例题欣赏 ☞
分解因式法
用分解因式法解方程: (1)5x2=4x;(2)x-2=x(x-2).
a2 13a 42
利用十字相乘法解一元二次方程
解方程1x2 6x 8 0; 2x2 5x 6 0;
3x2 x 20 0; 4x2 2x 8 0
5x 2 3x 2 0; 6x2 11x 30 0
解：1x 2x 4 0
x 2 0 x 4 0
x1 2, x2 4
x2 14x 45 (x 5)(x 9)
x2 29x 138 (x 23)(x 6)
小结：当q>0时，q分解的因数a、b( 同号 ) 且（a、b符号）与p符号相同
x2 7x 60 (x 12)(x 5) x2 14x 72 (x 4)(x 18)
当q<0时， q分解的因数a、b( 异号 ) （其中绝对值较大的因数符号）与p符号相同
x2 (a b)x ab
x2 5x 6
x2 (a b)x ab
十字相乘法（借助十字交叉线分解因式的方法）
例一：
步骤：
x2 6x 7 (x 7)(x 1) ①竖分二次项与常数项
x
7
x 1
7
或
1
②交叉相乘，和相加 ③检验确定，横写因式 顺口溜：竖分常数交叉验，
x7x 6x
横写因式不能乱。
试一试：(顺口溜：竖分常数交叉验，横写因式不能乱。)
x2 8x 15 (x 5)(x 3) 小结：
用十字相乘法把形如
x
5
x
3
x2 px q
二次三项式分解因式使
q ab, p a b
(3x) (5x) 8x
观察：p与a、b符号关系 x2 (a b)x ab x2 px q
当q<0时， q分解的因数a、b( 异号) （其中绝对值较大的因数 符号）与p符号相同
例1 : 把x2 3x 18分解因式;
x
6
x
-3
竖分常数交叉验， 横写因式不能乱。
解:原式= (x+6) (x-3)
例2把 x2 2x 15分解因式;
解: 原式 (x+3) (x-5)
x

3
x
-5
-5x+3x=-2x
px
q 二次三项式分解因式
q ab, p a b
当q>0时，q分解的因数a、b( 同号 )且（a、b符号）与p符号相同
当q<0时， q分解的因数a、b( 异号) （其中绝对值较大的因数 符号）与p符号相同
试将 x2 6x 16 分解因式 x2 6x 16
x2 6x 16
x 8x 2
C. (a - b)(a 2b);
D. (a - b)(a- 2b);
练习二丶把下列各式分解因式:
1. x2 4x 3;
2. y2 7 y 12;
3. m2 7m 18;
4. p2 5 p 36;
六、独立练习：把下列各式分解因式
x2 2x 15 x2 13x 12
y2 3x 18 y2 17x 30
x2 (2 3)x 6
x2 (-3 2)x 6
x2 5x 6
x2 x 6
(3). (x-2)(x-3);
(4)(x+a)(x+b);
解 : 原式 x2 - 3x - 2x (-2) (-3) 解: 原式 x2 bx ax a b
x2 (-3 2)x 6
3. 若 多项项M分解的因式是(x - 2)(x - 3),则M是(C )
A. x2 5x 6;
B. x2 5x 6;
C. x2 5X 6;
D. x2 5x 6;
(4). 分解a 2 3ab 2b2的结果为 ( D )
A. a ba 2b;
B. (a b)(a - 2b);