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二项式定理复习课ppt

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2025届高中数学一轮复习课件《二项式定理》ppt

2025届高中数学一轮复习课件《二项式定理》ppt
3．二项式系数 二项展开式中各项的系数___C_nk__(k∈{0，1，…，n})叫做二项式系数．
高考一轮总复习•数学
第6页
二 二项式系数的性质 1．对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数__相__等_____．
2．增减性与最大值：当 n 是偶数时，中间的一项_________取得最大值；当 n 是奇数时，
高考一轮总复习•数学
第8页
1．判断下列结论是否正确． (1)Crnan－rbr 是(a＋b)n 的展开式中的第 r 项．( ) (2)通项公式 Tr＋1＝Crnan－rbr 中的 a 和 b 不能互换．( √ ) (3)(a＋b)n 的展开式中某项的系数是该项中非字母因数部分，包括符号等，与该项的 二项式系数不同．(√ ) (4)若(3x－1)7＝a7x7＋a6x6＋…＋a1x＋a0，则 a7＋a6＋…＋a1 的值为 128.( )
或者其他量.
高考一轮总复习•数学
第19页
对点练 1(1)在2x－mx 6 的展开式中，若常数项为－20，则实数 m 的值为(
)
A．12
B．－12
C．－2
D．2
(2)(2024·湖北部分重点中学第二次联考)用 1,2,3,4,5 组成没有重复数字的五位数，其中
个位小于百位且百位小于万位的五位数有 n 个，则(1＋x)3＋(1＋x)4＋(1＋x)5＋…＋(1＋x)n
(3)(3
3－2)7 的展开式的通项
Tk＋1＝Ck7·(3
7－k
3)7－k·(－2)k＝Ck7·3 3
·(－2)k(k＝0,1,2,3,4,5,6,7)，
高考一轮总复习•数学
第17页
要使第 k＋1 项为有理数，则7－3 k∈Z，则 k 可取 有理项的求法．

第十章 第三节 二项式定理 课件(共47张PPT)

第十章 第三节 二项式定理 课件(共47张PPT)

赋值法求系数和的应用技巧 (1)“赋值法”对形如(ax＋b)n，(ax2＋bx＋c)m(a，b，c∈R)的式子求其展 开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令 x＝1 即可；对形如(ax＋by)n(a， b∈R)的式子求其展开式各项系数之和，只需令 x＝y＝1 即可． (2)若 f(x)＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，则 f(x)展开式中各项系数之和为 f(1)， 偶次项系数之和为 a0＋a2＋a4＋…＝f（1）＋2f（－1） ，奇次项系数之和为 a1＋a3＋a5＋…＝f（1）－2f（－1） .令 x＝0，可得 a0＝f(0).
令
x＝1
代入2x－
1 x
6
＝1；
故所有项的系数之和为 1；故选 AC.]
求形如(a＋b)n(n∈N*)的展开式中与特定项相关的量 (常数项、参数值、特定项等)的步骤
(1)利用二项式定理写出二项展开式的通项公式 Tr＋1＝Crn an－rbr，常把字 母和系数分离开来(注意符号不要出错)；
(2)根据题目中的相关条件(如常数项要求指数为零，有理项要求指数为整 数)先列出相应方程(组)或不等式(组)，解出 r；
故选 B.]
3．(x＋1x －2)6(x>0)的展开式中含 x3 项的系数为________．
解析：
法一：因为(x＋1x －2)6＝(
x
－
1 x
)12，所以其展开式的通项公
式为 Tr＋1＝C1r2 (
x
)12－r(－
1 x
)r＝Cr12
(－1)r(
x )12－2r＝Cr12 (－1)rx6－r，由 6
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)Ckn an－kbk 是二项展开式的第 k 项．( ) (2)在二项展开式中，系数最大的项为中间一项或中间两项．( ) (3)(a＋b)n 的展开式中，每一项的二项式系数与 a，b 无关．( ) (4)(a＋b)n 某项的系数是该项中非字母因数部分，包括符号等，与该项的 二项式系数不同．( ) 答案： (1)× (2)× (3)√ (4)√

《二项式定理》复习课件(理)

《二项式定理》复习课件(理)

【解答】令 x＝1 则 a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＋a7 ＝－1，① 令 x＝－1 则 a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＋a6－a7＝37， ② (1) 令 x＝0，则 a0＝(1－0)7＝1， ∴a1＋a2＋…＋a7＝－2， －1－37 (2)(①－②)÷ 2 得 a1＋a3＋a5＋a7＝ ＝－1094. 2 －1＋37 (3)(①＋②)÷ 2 得 a0＋a2＋a4＋a6＝ ＝1093. 2
中，含 x4 的项的系数是( D．5
B
)
B．10
【思路】 令展开式的通项中 x 的幂指数等于 4 确定待 定系数 r.
►
探究点2
二项式系数与项的系数 1 n ( 2 x ) 例2 已知 2 若展开式中第5项，第6项，第7项的二项式系数 成等差数列，求展开式中二项式系数最大的项 的系数 n=14时，是3432
(2)增减性 n－k＋1 k－1 k ∵Cn＝ Cn ， k
∴当 k＜
n＋1 2 时，二项式系数逐渐增大，由对称性知
后半部分是逐渐减小的．
n 当 n 为偶数时，中间一项(第 2 ＋1
大，最大值为
(3)最大值
n＋1 n－1 ＋1 项 ) 当 n 为奇数时， 中间两项(第 2 ＋1 项和第 2
C
n 2 n
二项式定理
知识梳理
1．二项式定理 0 n 1 n－1 2 n－2 2 k n－k k n C a ＋ C a b ＋ C a b ＋ … ＋ C b＋ n n na (a＋b) ＝ n n …+Cn b (n∈N*)， 右边的多项式叫做(a＋b)n 的二项展开式， n 其中各项系数 Ck …，n)叫做展开式的 二项式系数 ， n(k＝0,1， k n－k k C a b n 第 k＋1 项 Tk＋1＝ (其中 0≤k≤n，k∈N，n∈N*) 叫做二项展开式的通项公式． 二项展开式的特点 (1)项数：共有 n＋1 项； (2)(a＋b)n 的展开式中各项均为 a 与 b 的 n 次齐次式， 其中

6.3.1二项式定理课件共15张PPT

6.3.1二项式定理课件共15张PPT

和 (a b)3 a 3 3a 2b 3ab 2 b3的概括和推广，
它是以多项式的乘法公式为基础，以组合知识为工具，
用不完全归纳法得到的，其证明可用数学归纳法．
（2）对二项式定理的理解和掌握，要从项数、系数、指
数、通项等方面的特征去熟悉他的展开式．通项公式
Tr 1 C a
r
率9％，按复利计算，10年后收回本金和利息。
试问，哪一种投资更有利？这种投资比另一种投资10年后大约
可多得利息多少元？
分析：本金10万元，年利率11％，按单利计算，10年后的本利和是
10×(1＋11％×10)＝21(万元);
本金10万元，年利率9％，按复利计算，10年后的本利和是10×(1＋
9％)10;
x
60 12 1
64 x 192x 240x 160
2 3
x x
x
3
2
0 n
1 n 1
a

b

C
a

C

n
例题讲评
例2： 求 (2 x
解:
1 6
) 的展开式中
x
的展开式的通项：
根据题意，得
因此， 2 的系数是
x
x 的系数。
艾萨克·牛顿 Isaac
Newton (1643—1727) 英国
科学家．他被誉为人类历史上
最伟大的科学家之一．他不仅
是一位物理学家、天文学家，
还是一位伟大的数学家．
牛顿二项式定理
新课引入
某人投资10万元，有两种获利的可能供选择。一种是年
利率11％，按单利计算，10年后收回本金和利息。另一种是年利

《二项式定理》(共17张)-完整版PPT课件全文

《二项式定理》(共17张)-完整版PPT课件全文

展开式的第3项是240x
例1.(2)求(2 x 1 )6的展开式 x
对于例1（2）中，请思考： ①展开式中的第3项的系数为多少？ ②展开式中的第3项的二项式系数为多少？ ③你能直接求展开式的第3项吗？
④你能直接求展开式中 x 2的系数吗？
解：④ Tk1 C6k (2
x)6k ( 1 )k x
(1)k 26k C6k x3k
N*)
①项数： 展开式共有n＋1项.
②次数： 各项的次数均为n
字母a的次数按降幂排列，由n递减到0 , 字母b的次数按升幂排列，由0递增到n .
③二项式系数: Cnk (k 0,1,2,, n)
④二项展开式的通项: Tk1 Cnk ankbk
典例剖析
例1.(1)求(1 1 )4的展开式； x
(2)求(2 x 1 )6的展开式. x
N
*
)
(1)二项式系数： Cnk (k 0,1,2,, n)
(2)二项展开式的通项：Tk1 Cnk ankbk
思想方法：
(1) 从特殊到一般的数学思维方式.
(2) 类比、等价转换的思想.
巩固型作业： 课本36页习题1.3A组第2，4题
思维拓展型作业
二项式系数Cn0 , Cn1,, Cnk ,, Cnn有何性质?
1) x
C62 (2
x )4 (
1 x
)2
C63
(2
x )3 (
1 x
)3
C64
(2
x )2 (
1 )4 x
C65 (2
x )(
1 x
)5
C66
(
1 )6 x
64x3
192x2
240x

二项式定理ppt课件

二项式定理ppt课件
统计力学
在统计力学中，二项式定理用于计算 分子在特定条件下可能处于的微观状 态数。
二项式定理在计算机科学中的应用
数据压缩
二项式定理用于计算数据压缩的比特率，以确定压缩后数据的存储空间。
加密算法
二项式定理用于实现某些加密算法，如RSA公钥加密算法。
二项式定理在其他工程领域的应用
控制系统
在控制系统的分析和设计中，二项式定理用于计算系统的传递函数。
04
二项式定理在数学中的应用
二项式定理在组合数学中的应用
组合数学是研究组合问题的数学分支，二项式定理在组合数学中有着广泛的应用。
利用二项式定理可以推导出组合数的性质和公式，例如C(n,k)的计算。
二项式定理还可以用于解决一些组合数学问题，例如排列、组合、概率等问题的求 解。
二项式定理在概率论中的应用
信号处理
在信号处理中，二项式定理用于计算信号的频谱和滤波器的设计。
06
总结与展望
二项式定理的重要性和应用价值
数学基础
二项式定理是数学中的基础定理 之一，它为组合数学、概率论和 统计学等领域提供了重要的理论
基础。
应用广泛
二项式定理的应用范围非常广泛 ，包括计算机科学、统计学、物 理学、工程学等领域，它为解决 实际问题提供了重要的方法和工
二项式定理ppt课件
汇报人：可编辑
2023-12-22
• 引言 • 二项式定理的公式与性质 • 二项式定理的展开与化简 • 二项式定理在数学中的应用 • 二项式定理在其他领域的应用 • 总结与展望
01
引言
二项式定理的定义
总结词
二项式定理是数学中的一个基本定理 ，用于解决二项式展开的问题。
详细描述

2023版高考数学一轮总复习10-2二项式定理课件


解析 (1)n=6时,(1+2x)6的展开式中有7项,中间一项的二项式系数最大,此
项为C36 (2x)3=160x3.又Tr+1=C6r (2x)r=2rC6r xr,设第k+1项的系数最大,则
CC66kk
2k 2k
Ck 1 6
Ck 1 6
2k 2k
1, 1 ,
解得
11 3
≤k≤
14 3
,∴k=4,即第5项系数最大,第5项为
C64
(2x)4
=240x4.
所以二项式系数最大的项是第4项,为160x3,系数最大的项是第5项,为240x
4.
(2)令x=0,得a0=1,记f(x)=(1+2x)n=a0+a1x+a2x2+…+anxn(n≥6,n为偶数), 则f(1)=3n=a0+a1+a2+…+an, f(-1)=(-1)n=a0-a1+a2-a3+…-an-1+an,
所以a0+a2+a4+…+an= f (1) f (1) = 3n (1)n = 3n 1 ,
2
2
2
所以a2+a4+…+an=
3n
2
1
-1=
3n
2
1
.
专题十 计数原理
10.2 二项式定理
1.二项式定理
考点 二项式定理
1)公式(a+b)n=
C0n
an+
C1n
an-1b1+…+
Ckn
an-kbk+…+
C
n n

二项式定理 复习课件


5.二项展开式的各项系数和、奇数项系数和与偶数项系数和的求法 一般地，若 f(x)＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，则 f(x)的展开式中 (1)各项系数之和为 f(1). (2)奇数项系数之和为 a0＋a2＋a4＋…＝f1＋f－1.
2 (3)偶数项系数之和为 a1＋a3＋a5＋…＝f1－f－1.
2
3.求形如（a+b+c)n的展开式中特定项的四步骤
第一步
把三项的和a+b+c看作(a+b)与c两项的和
第二步
根据二项式定理求出[(a+b)+c]n的展开式的通项
第三步
对特定项的次数进行分析，弄清特定项是由 (a+b)n-r的展开式中哪些项和cr相乘得到的
第四步
把相乘后的项相加减即可得到特定项
4.赋值法的应用 二项式定理给出的是一个恒等式，对于形如(ax＋b)n 中，可将 x 设定为 一些特殊的值．在使用赋值法时，令 x 等于多少，应视具体情况而定，一般 取“1，－1 或 0”．如： (1)形如(ax＋b)n(a，b∈R)的式子，求其展开式的各项系数之和，只需 令 x＝1 即可． (2)形如(ax＋by)n(a，b∈R)的式子，求其展开式的各项系数之和，只需 令 x＝y＝1 即可.
通项公式 二项式系数 二项展开式每一项中的 C0n，C1n，…，Cnn.叫做二项式系数 项的系数 一项中所有的数字因数称为这一项的系数.
2.二项式系数的性质
性质
性质描述
对称性
与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即 Cmn ＝Cnn－m
增减性
n＋1 二项式 当 k＜ 2 时，二项式系数是递增的.
3．常用结论 (1)Cn0＋Cn1＋Cn2＋…＋Cnn＝2n. (重要) (2)Cn0＋Cn2＋Cn4＋…＝Cn1＋Cn3＋Cn5＋…＝2n－1. (3)Cn1＋2Cn2＋3C3n＋…＋nCnn＝n2n－1. (4)(Cn0)2＋(C1n)2＋(C2n)2＋…＋(Cnn)2＝C2nn.

第三节 二项式定理 课件(共36张PPT)


其展开式的第k＋1项为Tk＋1＝Ck4(x2＋x)4－kyk，
因为要求x3y2的系数，所以k＝2， 所以T3＝C24(x2＋x)4－2y2＝6(x2＋x)2y2. 因为(x2＋x)2的展开式中x3的系数为2， 所以x3y2的系数是6×2＝12.
法二 (x2＋x＋y)4表示4个因式x2＋x＋y的乘积，在 这4个因式中，有2个因式选y，其余的2个因式中有一个 选x，剩下的一个选x2，即可得到含x3y2的项，故x3y2的系 数是C24·C12·C11＝12.
对于几个多项式和的展开中的特定项(系数)问题， 只需依据二项展开式的通项，从每一项中分别得到特定 的项，再求和即可．
角度 几个多项式积的展开式中特定项(系数)问题 [例4] (1)(2x－3) 1＋1x 6 的展开式中剔除常数项后的 各项系数和为( ) A．－73 B．－61 C．－55 D．－63 (2)已知(x－1)(ax＋1)6的展开式中含x2项的系数为0， 则正实数a＝________． 解析：(1)(2x－3)1＋1x6的展开式中所有项的系数和为 (2－3)(1＋1)6＝－64，(2x－3)1＋1x6＝
为( )
A．－1
B．1
C．32
解析：由题意可得CC6162aa54bb＝2＝－13158，，
D．64
解得ab＝＝1－，3，或ab＝＝－3. 1，则(ax＋b)6＝(x－3)6， 令x＝1得展开式中所有项的系数和为(－2)6＝64，故选D. 答案：D
2．(2020·包头模拟)已知(2x－1)5＝a5x5＋a4x4＋a3x3＋
[例2] (1)若(1－x)5＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋ a5x5，则|a0|－|a1|＋|a2|－|a3|＋|a4|－|a5|＝( )

2025高考数学一轮复习-10.3-二项式定理【课件】

解析 (x－1)3 展开式的通项 Tr＋1＝Cr3x3－r·(－1)r，(x＋1)4 展开式的通项 Tk＋1 ＝Ck4x4－k， 则 a1＝C03＋C14＝1＋4＝5； a2＝C13(－1)1＋C24＝3；
a3＝C23(－1)2＋C34＝7；a4＝C33(－1)3＋C44＝0，
所以a2＋a3＋a4＝3＋7＋0＝10.
大值 当 n 为奇数时，中间的两项
与 相等且取得最大值
3.各二项式系数和
(1)(a＋b)n 展开式的各二项式系数和：C0n＋C1n＋C2n＋…＋Cnn＝__2_n___. (2)奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和，即 C0n＋C2n＋C4n ＋…＝C1n＋C3n＋C5n＋…＝____2_n_－_1 ___.
当n＝4k－1时，展开式中存在x的一次项，D正确，C错误.
4.
x＋y2 x
(x＋y)5
的展开式中
x3y3
的系数为(
C
)
A.5
B.10
C.15
D.20
解析 法一 ∵x＋yx2(x＋y)5＝x＋yx2(x5＋5x4y＋10x3y2＋10x2y3＋5xy4＋y5)，
∴x3y3的系数为10＋5＝15.
法二 当 x＋yx2中取 x 时，x3y3 的系数为 C35， 当 x＋yx2中取yx2时，x3y3 的系数为 C15， ∴x3y3 的系数为 C35＋C15＝10＋5＝15.
(a＋b)n 的展开式形式上的特点 (1)项数为 n＋1. (2)各项的次数都等于二项式的幂指数 n，即 a 与 b 的指数的和为 n. (3)字母 a 按降幂排列，从第一项开始，次数由 n 逐项减 1 直到零；字母 b 按升 幂排列，从第一项起，次数由零逐项增 1 直到 n. (4)二项式系数从 C0n，C1n，一直到 Cnn－1，Cnn.
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.
• 高考二项式定理的三种题型:
• 《二项式定理》是高考主要内容之一。 高考要求是：掌握二项式定理和二项展 开式的性质，并能用它们计算和证明一 些简单的问题。它在高考中总是以选择 和填空的形式出现，分值为5分。出现 的题型主要有三类：
• 1、求二项展开式中指定项，如常数项、 有理项、整式项、系数最大的项等。
3
2
∵r∈Z，∴k应为偶数.
∴k可取2,0,-2，即r可取2,5,8.
∴第3项，第6项与第9项为有理项，它们分别为
C120
(
1) 2
2
x
2
,
C150
(
1)5 2
,
C180
(
1)8 2
x2
.
题型一 求展开式中的特定项或特定项的系数
【例1】在二项式 (
x

1 24
x
)
n
的展开式中，前三项的
系数成等差数列，求展开式中的有理项和二项式系
令x=-1,则a0-a1+a2-a3+a4-a5+a6-a7=37
②
(1)∵a0= C07 =1,∴a1+a2+a3+…+a7=-2. (2)(①-②)÷2,
得a1+a3+a5+a7= 1 37 =-1 094.
2
(3)(①+②)÷2,得
a0+a2+a4+a6= 1 37 =1 093.
2
中x5的系数为
C
5 6
-
C
2 6
=-9.
题型二 求展开式中各项系数之和
【例1】已知(1-2x)7=a0+a1x+a2x2+…+a7x7. 求:(1) a1+a2+…+a7; (2) a1+a3+a5+a7; (3) a0+a2+a4+a6; (4) |a0|+|a1|+|a2|+…+|a7|.
解: 令x=1,则a0+a1+a2+a3+a4+a5+a6+a7=-1 ①
• 2、求某二项式系数。 • 3、求系数和.
一、解答题
第16.项已为知常在(数3 x项.231 x )n
的展开式中，
（1）求n；
（2）求含x2项的系数；
（3）求展开式中所有的有理项.
解Crn（(112）)r通xn项32公r 式∵为第Tr6+项1= 为Crn常xn3数r (项12，)r x
令x=-1, 得 a0-a1+a2-a3+…+a100=(2+ 3 )100 ②
（2）增减性与最大值：
n
当n是偶数时，中间的一项 Cn2取得最大值
当n是奇数时，中间两项同时取得最大值，
分别是 和 n1
Cn2
n1
Cn2
。
（3） 二项式系数的和
=2 C0n C1n Cn2 Crn Cnn
n
= = C1n C3n C5n C0n C2n C4n 2n1
复习课
----二项式定理及应用
§1.3.2二项式定理
要点梳理
1.二项式定理
(a b)n Cn0an Cn1an1b Cnranrbr Cnnbn 2.通项公式
Tr 1

C
r n
a
n
r
br
,(r

0,1, 2,
n)
3.二项式系数的性质
（1）对称性： Cmn Cnnm .
(4)∵(1-2x)7展开式中,a0,a2,a4,a6都大于零, 而a1,a3,a5,a7都小于零,
∴|a0|+|a1|+|a2|+…+|a7| =(a0+a2+a4+a6)-(a1+a3+a5+a7), =1093-（-1094）=2 187
探究提高 本题采用的是“赋值法”，它普遍适 用于恒等式，是一种重要的方法，在解有关问题时， 经常要用到这种方法. 对 形 如 （ ax+b ） n 、 （ ax2+bx+c ） m （ a ， b ， c∈R,m,n∈N*）的式子求其展开式的各项系数之 和，常用赋值法，只需令x=1即可；对（ax+by）n （a，b∈R，n∈N*）的式子求其展开式各项系数之 和，只需令x=y=1即可.
(2)a1+a3+a5+…+a99; (3)(a0+a2+a4+…+a100)2-(a1+a3+…+a99)2; (4)|a0|+|a1|+|a2|+…+|a100|. 解 : （ 1 ） 方 法 一 : 由 （ 2- 3x ） 100 展 开 式 中 的 常 数 项 为 C100·0 2100，得a0=2100. 方法二 : 令x=0，则展开式可化为a0=2100. （2）令x=1, 得 a0+a1+a2+…+a99+a100=(2- 3 )100 ①
当4- 43k∈Z时，Tk+1为有理项，
∵0≤k≤8且k∈Z,∴k=0，4，8符合要求.
故有理项有3项，分别是
T1=x4，T5=
35 8
x，T9=
1 x-2. 256
∵n=8，∴展开式中共9项，
中间一项即第5项的二项式系数最大且为T5=
35x. 8
探究提高 求二项展开式中的指定项，一般是利用
通项公式进行，化简通项公式后，令字母的指数符
合要求（求常数项时，指数为零；求有理项时，指
数为整数等），解出项数k+1，代回通项公式即可.
.在（1-x3）(1+x)6的展开式中，x5的系数为 -9 .
解析
因为(1+x)6的通项是Tr+1=
C
r 6
xr,令r=5得T6=
C56 x5;令r=2得T3= C62 x2,所以（1-x3）(1+x)6展开式
r 3
∴r=5时，有 n 2r =0，即n=10.
3
（2）令 n 2r =2,得r= 1 (n-6)=2,
3
2
∴所求的系数为C120 (
1)2 2

45. 4
（3）根据通项公式，由题意得
10 2r∈Z, 3
0≤r≤10,
r∈Z,
令 10 2r =k (k∈Z),则10-2r=3k，即r=5-3 k.
数最大的项.
思维启迪 利用已知条件前三项的系数成等差数
列求出n,再用通项公式求有理项.
解 ∵二项展开式的前三项的系数分别是1，n ，
1
2
∴8 2n·（n2n-=11）+，81 n（n-1），
解得n=8或n=1（不合题意，舍去），
Tk1

C8k
x
8k 2
(
1 24
x
)k

C8k
2k
43k
x 4,
一般地，若f（x）=a0+a1x+a2x2+…+anxn，则f（x）
展开式中各项系数之和为f（1），奇数项系数之和
为 a0+a2+a4+…= f (1) f (1)， 偶 数 项 系 数 之 和 为 2
a1+a3+a5+…=
f (1) f (1). 2
知能迁移2
设（2- 3 x）100=a0+a1x+a2x2+…+a100x100, 求: (1)a0;